第一篇：數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案：第67課時(shí)：第八章 圓錐曲線方程-軌跡問(wèn)題

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)名師精品教案

第67課時(shí)：第八章 圓錐曲線方程——軌跡問(wèn)題（2）

課題：軌跡問(wèn)題（2）一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1．掌握求軌跡方程的另幾種方法——相關(guān)點(diǎn)法（代入法）、參數(shù)法（交規(guī)法）； 2．學(xué)會(huì)用適當(dāng)?shù)膮?shù)去表示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，掌握常見(jiàn)的消參法． 二．知識(shí)要點(diǎn)：

1．相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：對(duì)于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0),Q(x,y)，點(diǎn)P在已知曲線上運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)形成軌跡時(shí)，只需根據(jù)條件找到這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的等量關(guān)?x0?f(x,y)系并化為?然后將其代入已知曲線的方程即得到點(diǎn)Qy?g(x,y)?0的軌跡方程．

2．參數(shù)法（交規(guī)法）：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t，并用t表示動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x,y，從而動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程?x?f(t)消去參數(shù)t，便可得到動(dòng)點(diǎn)P?y?g(t)?的的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價(jià)性，即有t的范圍確定出x,y的范圍． 三．課前預(yù)習(xí)： 1．已知橢圓Q分FP x225?y216?1的右焦點(diǎn)為F，Q、P分別為橢圓上和橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的比為1:2，則點(diǎn)P的軌跡方程為（C）

(A)(x?6)752?y248?1(B)(x?6)752?y248?1(C)(x?6)2252?y2144?1(D)(2x?3)2252?4y2144?1

2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線x?1?0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直角邊，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形OPQ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（B）

(A)(B)兩條平行直線(C)拋物線(D)雙曲線

3．已知點(diǎn)P(x,y)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(x?y,xy)的軌跡是（B）

(B)

拋物線

(C)橢圓

(D)雙曲線(A)圓

4．雙曲線x24?y23?1關(guān)于直線x?y?2?0對(duì)稱的曲線方程是

(y?2)42?(x?2)32?1

5．傾斜角為的直線交橢圓4?x24?y2?1于A,B兩點(diǎn)，則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是x?4y?0(|x|?455)

四．例題分析： 例1．動(dòng)圓C:(x?1)2?y2?1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任一弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

解：

（一）直接法：設(shè)OQ為過(guò)O的任一條弦P(x,y)是其中點(diǎn)，則CP?OQ，則????????1212CP?OQ?0 ∴(x?1,y)(x,y)?0，即(x?)?y?(0?x?1)

4（二）定義法：∵?OPC?90120，動(dòng)點(diǎn)P在以M(2212,0)為圓心，OC為直徑的圓上，∴所求點(diǎn)的軌跡方程為(x?)?y?14(0?x?1)

?y?kx

（三）參數(shù)法：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為y?kx，由? 得： 22?(x?1)?y?1(1?k)x?2x?0，設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)22，PQ的中點(diǎn)為(x,y)，則：

12)?y?22x?x1?x22?11?k2，y?kx?k1?k2 消去k得(x?114(0?x?1)

例2．求過(guò)點(diǎn)A(1,2)，離心率為，且以x軸為準(zhǔn)線的橢圓的下方的頂點(diǎn)軌跡方程．

2解：設(shè)橢圓下方的焦點(diǎn)F(x0,y0)，橢圓的下方的頂點(diǎn)為

由定義又x0|AF|2?3212y，∴|AF|?1，即點(diǎn)F的軌跡方程是(x，∴點(diǎn)的P軌跡方程為(x?1)220?1)?(y0?2)?1，22?x,y0??(32y?2)?1.2例3．設(shè)橢圓方程為x坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)求： ?y24?1，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是

N的坐標(biāo)為(11,)22????1????????P滿足OP?(OA?OB)，點(diǎn)

2，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）????|NP|的最小值與最大值.（1）解法一：直線l過(guò)點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y?kx?1.記A(x1,y1)、B(x2,y2),由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)是方程組

① ?y?kx?1?2 的解.?2y?1② ?x?4?將①代入②并化簡(jiǎn)得，(4?k2)x22k?x?x??,122??4?k于是 ?8?y?y?.122?4?k??2kx?3?0，所以

OP?12(OA?OB)?(x1?x22,y1?y22)?(?k4?k2,44?k2).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則

?k?x?,2??4?k消去參數(shù)?4?y?.2?4?k?k得4x2?y?y?0 ③

2當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2?y?y?0.2解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，因A(x1,y1)、B(x2,y2)在橢圓上，所以

21x?y142?1, ④ x?22212y242?1.⑤

④—⑤得x?x2?1414(y1?y2)?0，所以 22(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0.當(dāng)x1?x2時(shí)，有x1?x2?14(y1?y2)?y1?y2x1?x2?0.⑥

?x1?x2x?,?2?y1?y2并且? ⑦ y?,?2?y1?y2?y?1?.?x1?x2?x將⑦代入⑥并整理得 4x2當(dāng)x10）?x2時(shí)，點(diǎn)

?y?y?0.⑧

2A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，－2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

x2(y??1412)2116?1.五．課后作業(yè)： 1．拋物線y2(A)y2?4x經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）

2?x?1(B)y?2(x?1)(C)y2?x?12(D)y2?2x?1

2．已知橢圓x29?y24?1的左、右頂點(diǎn)分別為A1和A2，垂直于橢圓長(zhǎng)軸的動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P1和P2，其中P1的縱坐標(biāo)為正數(shù)，則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)M的軌跡方程（）

(A)x29?y24?1(B)y29?x24?1(C)x29?y24?1(D)y29?x24?1

3．已知拋物線y??x2?mx?1(m?R)的頂點(diǎn)為A，那么當(dāng)m變化時(shí)，此拋物線焦點(diǎn)F的軌跡方程是___________________________． 4．自橢圓Mx220?y24?1上的任意一點(diǎn)P向x軸引垂線，垂足為Q，則線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為

x25．已知橢圓9?y25?1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2，△MF1F2的重心G恰為橢圓上的點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．

??6．如圖，7．設(shè)x,y?Ri,j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量，若向的軌跡C的方程． 量a?(x?5)i?????????yj b?(x?5)i?yj，|a|?|b|?8，求點(diǎn)M(x,y)7．某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)晚4s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到中心的距離都是1020m，試確定該巨響發(fā)生的位置．（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s；相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上）8．設(shè)雙曲線C:xa22?yb22右準(zhǔn)線l?1(a?0,b?0)的離心率為e，與兩條漸近線交于P,Q兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，且?PQF為等邊三角形．

（1）求雙曲線C的離心率e的值；（2）若雙曲線C被直線y?ax?b截得的弦長(zhǎng)為bea22，求雙曲線C的方程；（3）設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，以F為左焦點(diǎn)，l為左準(zhǔn)線的橢圓，其短軸的端點(diǎn)為B，求BF中點(diǎn)的軌跡方程．

第二篇：求軌跡方程教案

求軌跡的方程

婁底一中 劉瑞華

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握和熟練運(yùn)用求軌跡方程的常用方法.2、培養(yǎng)思維的靈活性和嚴(yán)密性.3、進(jìn)一步滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：落實(shí)軌跡方程的幾種常規(guī)求法。

難點(diǎn)：教會(huì)學(xué)生如何審題，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ筌壽E的方程。教學(xué)方法：

討論法、類比法． 教具準(zhǔn)備： 多媒體投影． 教學(xué)設(shè)計(jì)：

求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)。這類題目把基本知識(shí)、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體，因而也是歷屆高考考查的重要內(nèi)容之一。

一、知識(shí)回顧

求曲線軌跡方程的基本步驟

在求曲線的軌跡方程時(shí)，要經(jīng)歷審題、尋找和確定求解途徑、分清解答步驟、逐步推演、綜合陳述、完整作答或給出恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論等多個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)，其基本步驟是：

（1）建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,y)；

（2）列式：寫(xiě)出適合條件的點(diǎn)的集合P?MP(M)，關(guān)鍵是根據(jù)條件列出適合條件的等式；

（3）代換：用坐標(biāo)代換幾何等式，列出方程f(x,y)?0；（4）化簡(jiǎn)：把方程f(x,y)?0化成最簡(jiǎn)形式；

（5）證明：以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。

二、基礎(chǔ)訓(xùn)練

??

1、已知向量OP與OQ是關(guān)于y軸對(duì)稱，且2OPOQ?1則點(diǎn)P?x,y?的軌跡方程是____________

2.△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)________.aa1,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,222x2y2??1上的動(dòng)點(diǎn)，則F1F2P重心的軌跡方程為

3、點(diǎn)P是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓

259___________________.4、已知點(diǎn)P?x,?y滿足x?y?4，則點(diǎn)Q?x,y?x22?的y軌跡方程為_(kāi)____________________ 解答與分析：

1、y?x?221 方法為：直譯法即是如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量2關(guān)系,則只需直接把這些關(guān)系“翻譯”成x，y的等式，由此得到曲線的方程．

x2y2??1 方法為：定義法就是若動(dòng)點(diǎn)的軌跡的條件符合某一基本軌跡（如：圓，橢2、43圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可以根據(jù)定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

9x2?y2?1?y?0?方法為：代入法就是若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于已知方程的曲線上另一個(gè)動(dòng)3、25點(diǎn)C（x0，y0）運(yùn)動(dòng)時(shí)，找出點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的坐標(biāo)關(guān)系式，用（x，y）表示（x0，y0）再將x0，y0代入已知曲線方程，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程。

4、y2?2x?4??2?x?2?方法為：所謂參數(shù)法就是在求曲線方程時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y關(guān)系不易表達(dá)，可根據(jù)具體題設(shè)條件引進(jìn)一個(gè)（或多個(gè)）中間變量來(lái)分別表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y，間接地把x，y的關(guān)系找出來(lái)，然后消去參數(shù)即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

小結(jié)：

一、由以上幾個(gè)題目可以看出求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用的方法有： 1.直譯法;2.定義法

3.相關(guān)點(diǎn)法（代入法）;4.參數(shù)法

二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程中的注意點(diǎn)：

1.注意方程的純粹性和完備性即不多不少。2.注意平面幾何知識(shí)的運(yùn)用。3.注意要求是求軌跡方程還是軌跡

三、例題講解

22例1.已知定點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)Q是圓x＋y＝1的動(dòng)點(diǎn)，∠AOQ的平分線交AQ于M，當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。的性質(zhì)，知 分析1：由三角形的內(nèi)角平分線|AM|?2，|MQ||AM||OA|?

|MQ||OQ| 而|OA|?2，|OQ|?1，故 即點(diǎn)M分AQ成比為??2，若設(shè)出M（x，y），則由分點(diǎn)坐標(biāo)公式，可表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，因Q、M為相關(guān)點(diǎn)，（Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)），可采用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)M的軌跡方程。

解法1：設(shè)M（x，y），由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，得 ∵M(jìn)在AQ上，∴點(diǎn)M分AQ成比為??2，|AM||AO|??2，|MQ||OQ|2?2·x0?x???1?20)若設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，則? 又A(2，0?2·y0?y??1?2?3x?2?x???02 ???y?3y0?2?22而點(diǎn)Q(x0，y0)在圓x2?y2?1上

3x?223y24)?()2?1，化簡(jiǎn)，得(x?)2?y2? 22392242 ?點(diǎn)M的軌跡方程為(x?)?y?。

?x0?y0?1，即(性質(zhì)，知 分析2：由三角形的內(nèi)角平分線|AM||AO|??2，|QM||QO| 若過(guò)M作MN∥OQ交OA于N，則|AN||AM|??2，|ON||QM|0)，而 從而N(，|MN|? ?23|MN||AM|2??，|OQ|?1，|OQ||AQ|3222|OQ|?為定值，可見(jiàn)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)N的距離為定值。3332 因此M的軌跡是以N為圓心，半徑為的圓，32242 ?其方程為(x?)?y?，39 而當(dāng)∠AOQ＝180°時(shí)，其角分線為y軸，它與AQ交點(diǎn)為原點(diǎn)O，顯然，該點(diǎn)也滿足上述軌跡方程。

注：此種解法為定義法。例

2、設(shè)過(guò)點(diǎn)A?1,0?的直線與拋物線x2?4y交于不同的兩點(diǎn)P,Q，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：法一：設(shè)M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，又由已知可設(shè)直線PQ的方程y為：y?k?x?1?，則由

???y?k?x?1?消去??x2?4yy得： x2?4kx?4k?0

?x1?x2?4k,x1x2?4k

x222?y1?x2?x1?x2??2x1x21?y2?4?4?4k2?2k

????x?x1?x2?2k?2消去k得：y?1?x2?x?

?y?y1?y22??2?2k2?2k又直線PQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)

??16k2?16k?0即k?1或k?0

?x?2或x?0?點(diǎn)M的軌跡方程為：y?12?x2?x?,?x?2或x?0?

法二：設(shè)M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，由P,Q在拋物線上得

???x21?4y1兩式相減得：??x2?x221?x2??4?y1?y2? 2?4y2變形得x1?x1?y22?4yx?x?4kPQ

12?2x?4kyPQ又kPQ?x?1，消去k12PQ得y?2?x?x?。?又由??y?12?x2?x?得其交點(diǎn)坐標(biāo)為?0,0?,?2,1? ??x2?4yQPoAx因?yàn)橹悬c(diǎn)必須在拋物線內(nèi)，由圖可知x?2或x?0

?點(diǎn)M的軌跡方程為：y?

四、小結(jié)

略。

五、作業(yè)

12x?x?,?x?2或x?0? ?

21、過(guò)拋物線x2?4y的焦點(diǎn)的弦PQ的中點(diǎn)的軌跡方程？

2、過(guò)點(diǎn)A?1,0?的直線與圓x?y?221交于不同的兩點(diǎn)P,Q則PQ的中點(diǎn)的軌跡方程？ 4

第三篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)歸納22 軌跡方程的求法教案

高考網(wǎng)

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難點(diǎn)22 軌跡方程的求法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問(wèn)題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.●案例探究

［例1］如圖所示，已知P(4，0)是圓x+y=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.錯(cuò)解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題.技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=代入方程x+y－4x－10=0,得

(x?42)?(22

2x?42,y1?y?02, 22y2)?4?2x?42－10=0 整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.［例2］設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：直線與拋物線的位置關(guān)系.錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)“x1=x2”的討論.技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系.解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有

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???2?y1?4px1?2y?4px2?2?y1y2???1 ?xx2?1?yy?y12??1???xx1?x2?y?yy?y112??x?x1?x1?x2① ② ③ ④ ⑤

①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,則有2y1?y2x1?x2

2?2

4py1?y2

⑥

①3②,得y12y2=16px1x2

③代入上式有y1y2=－16p2

⑥代入④，得4py1?y24py1?y2

⑦ ⑧

??xy

⑥代入⑤，得?y?y1x?x1?y?y1x?y12

4p所以4py1?y2?4p(y?y1)4px?y12

即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2

⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)當(dāng)x1=x2時(shí)，AB⊥x軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

xy

由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2=bk22,消x,得ky2－4py+4pb=0

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http://004km.cn 所以y1y2=4pkk4pbk，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2

22所以=－bk,b=－4kp

xy2故y=kx+b=k(x－4p),用k=－

2代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x+y－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).［例3］某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn).錯(cuò)解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是順利解答此題的關(guān)鍵.技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動(dòng)圓圓心的軌跡方程.解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2.5的橢圓上，其方程為

16(x?2514)2?2y32=1

①

同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，其方程為(x－12)2+43y2=1

②

3912912,),Q(,?)，∴r=?14141414267由①、②可解得P((914)?(21214)2?37

故所求圓柱的直徑為●錦囊妙計(jì)

cm.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.(1)直接法

直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法

若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(3)相關(guān)點(diǎn)法

根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(4)參數(shù)法

若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）A.圓

C.雙曲線的一支

x2B.橢圓 D.拋物線

9?y

2.(★★★★)設(shè)A1、A2是橢圓

4=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為（）A.C.xx292??yy242?1 ?1

B.D.yy292??xx242?1 ?1

949

4二、填空題

3.(★★★★)△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－－sinB=12a2,0),C（a2,0)，且滿足條件sinCsinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)________.4.(★★★★)高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________.三、解答題

5.(★★★★)已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過(guò)B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.6.(★★★★)雙曲線

xa22?yb22=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.7.(★★★★★)已知雙曲線

xm22?yn22=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)m≠n時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.京翰教育http://004km.cn/

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http://004km.cn 8.(★★★★★)已知橢圓

xa22?yb22=1(a＞b＞0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+2a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn).則由題設(shè)，得|MA||MB|=λ,坐標(biāo)代入，得

(x?a)?y(x?a)?y2222=λ,化簡(jiǎn)得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸).(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x+y+22

22a(1??)1??22x+a2=0.點(diǎn)M的軌跡是以

(－a(1??)1??2，0）為圓心，2a?|1??|2為半徑的圓.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案：A 2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共線，∴

y?y0x?x0y?y0x?x0?yx?3yx?3

∵A2、P2、P共線，∴

?

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22解得x0=,y0?x93yx,代入得x09?y04?1,即x29?y24?1

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=

12sinA,得c－b=

a212a，2∴應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長(zhǎng)為,故方程為

16xa2?16y3a22?1(x?a4).答案：16xa22?16y3a22?1(x?a4)

4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0

5(x?5)?y22?3(x?5)?y22,化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為

三、5.解：設(shè)過(guò)B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x281?y272=1(y≠0)6.解：設(shè)P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).??x?由條件????x?x0??x(x0??a)?ax0?a?22 得?x?ay0yy??0???1y??ax0?ay?y0??1而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b(－x)－a(222x?ay22)2=a2b2

化簡(jiǎn)得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 則A1P的方程為：y=

y1x1?my1x1?m22(x?m)

①

A2Q的方程為：y=－(x?m)

②

①3②得：y=－

2y12x1?m(x?m)

③

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http://004km.cn 又因點(diǎn)P在雙曲線上，故

x1m22?y1n22?1,即y1?2nm22(x1?m).22代入③并整理得xm22?yn22=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)m≠n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.(ⅰ)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±m(xù)?n,0)，準(zhǔn)線方程為x=±

m22m22?n2,離心率e=m?nm22；

22(ⅱ)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±m(xù)?n),準(zhǔn)線方程為y=±

22n2,離心率

n?me=n?mn22.8.解：(1)∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.x1?c?x?0??2又?

y?y?10?2?得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的軌跡方程為：x+y=a(y≠0)(2)如右圖，∵S△AOB=

122

|OA|2|OB|2sinAOB=

12a22sinAOB

當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S△AOB最大值為|2ak|1?k2a.2此時(shí)弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，?|OC||OA|?|2ak|2?cos45??22,?k??33.a1?k

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第四篇：546教學(xué)一得：如何求圓錐曲線中點(diǎn)弦的軌跡方程

教學(xué)一得：如何求圓錐曲線中點(diǎn)弦的軌跡方程

冰兒

求曲線的軌跡方程時(shí)，要仔細(xì)審題，尋找和確定求解途徑，分清解題步驟，逐步推演，綜合陳述完整作答，但求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題題把基礎(chǔ)知識(shí)、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融為一體。有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題，主要有以下三種類型：過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法等，現(xiàn)具體介紹以上幾種弦中點(diǎn)軌跡方程的求法。

一、求圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)弦的軌跡方程。其求法：

（1）用直線的點(diǎn)斜式，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)它的方程為y=k(x-x0)+y0代入F(x,y)=0中。由韋達(dá)定理得x1+x2=f(k)。設(shè)中點(diǎn)M(x,y)，則x?y?y01f(k),將k?代入上式得G(x,y)=0。2x?x0當(dāng)P在圓錐曲線外部時(shí)，再由直線與圓錐曲線相交的條件△>0。求中點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y的取值范圍。最后檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)x=x0與圓錐曲線的弦AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是否滿足G(x,y)=0(2)代點(diǎn)相減法也稱“點(diǎn)差法”；

x2y2??1的左焦點(diǎn)作弦。求弦中點(diǎn)的軌跡方程。例1，過(guò)橢圓54精析：由已知能得到什么，與弦中點(diǎn)的軌跡方程如何轉(zhuǎn)化，畫(huà)出草圖進(jìn)行分析，尋求解答。

方法一：巧解：設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)F（-1，0）的弦與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)。設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）,xyxy弦中點(diǎn)為M（x,y）,則1?1?1 ① 2?2?1 ②

54542222由①-②整理得 4(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0 又因?yàn)閤1+x2=2x.y1+y2=2y 所以 8x(x1-x2)+10(y1-y2)=0 當(dāng)x1≠x2時(shí) kAB?y1?y28x4x???? ③

x1?x210y5y由題意知 kAB?y1?y2y ④ ?x1?x2x?11由③、④整理得 4(x?)2?5y2?1

2當(dāng)x1=x2時(shí)M(-1,0)滿足上式。

方法二：橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1，0），設(shè)焦點(diǎn)弦所在的直線方程為

y=k(x+1)代入橢圓方程并整理得(4?5k2)x2?10k2x?5k2?20?0 設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)M(x,y),則 x1?x2??10k 24?5k

所以 x?x1?x25k4x2?? 將代入y=k(x+1)得； k??25(1?x)4?5k24y2?k2(x?1)2??x(x?1)

5當(dāng)k不存在時(shí)，弦中點(diǎn)為（-1，0）滿足上述方程

1即 4(x?)2?5y2?1為所求的軌跡方程

2二、求圓錐曲線中斜率為定值的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程；

①利用直線的斜截式方程：設(shè)平行弦所在的方程為y=kx+m(m為參數(shù))代入F(x,y)=0中。

f(k,m)利用韋達(dá)定理得x1+x2=f(k,m)，設(shè)中點(diǎn)M(x,y),則x?,y =kx+m,從中消去M，可得G

2（x,y）=0,再由直線與圓錐曲線相交的條件△>0.得M的坐標(biāo)x，y的取值范圍。

②代點(diǎn)相減法；

例

2、求y2?2px(p?0)的斜率為k的平行弦中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：設(shè)平行弦所在的直線方程為y=kx+m（m為參數(shù)）代入y2?2px，整理得 k2x2?2(km?p)x?m2?0 當(dāng)???2(km?p)??4k2m2?0 ① 2 即2km

設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中點(diǎn)M(x,y)

x?x2km?p?pp?x?1??2y?x?則? 消去m，得 又由①式及x的代數(shù)式得 2k2k2k?y?kx?m?故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為y?pp(x?2)k2k方法二：設(shè)動(dòng)弦與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，弦中點(diǎn)M(x,y)

2則 y12?2px1 ① y2?2px2 ②

由①－②，整理得 y1?y2p?

x1?x2yp 22k又點(diǎn)M(x,y)在拋物線內(nèi)部，所以y2?2px 即x?所以所求軌跡方程為y?pp(x?2)k2k注意：在使用代點(diǎn)相減法時(shí)，應(yīng)該注意中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的條件，否則會(huì)增解。

三、長(zhǎng)為定值的圓錐曲線動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程

求長(zhǎng)為定值的弦中點(diǎn)的軌跡方程的方法為：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)M(x0,y0),弦與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1,y1）,B(x2,y2)，利用代點(diǎn)相減法用x0,y0表示kAB。寫(xiě)出直線AB的點(diǎn)斜式方程，代入圓錐曲線方程，用弦長(zhǎng)公式求解。

例

3、定長(zhǎng)為2l(l?1)的線段AB。其兩端點(diǎn)在拋物線x2?y上移動(dòng)。求線段中點(diǎn)M的軌2跡方程。

解：設(shè)中點(diǎn)M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則

2?y2 ② x12?y1 ① x2由①－②得 y1-y2=(x1+x2)(x1-x2)由題意得x1≠x2?！鄖1?y2?2x0

x1?x22∴直線AB的方程為y-y0=2x0(x-x0)代入y?x2得 ；x2?2x0x?2x0?y0?0

由弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理得 AB?1?k2x1?x2 x1+x2=2x0 x1x2=2x02-y0

2?(x1?x2)2?4x1x2 又∵∣AB∣=2l ∴2l?1?4x02即(y0?x0)2(1?4x0)?l2

∴AB中點(diǎn)的軌跡方程為(y?x2)(1?4x2)?l2

四、變式訓(xùn)練: x2?y2?1，求滿足條件的軌跡方程；

1、已知2（1）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；

（2）過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線與橢圓相交，求直線l被截得弦的中點(diǎn)軌跡方程；

11（3）求過(guò)點(diǎn)p(,)且被P平分的弦所在直線方程；

22x2?y2?1 整理得：9x2+8bx+2b2-2=0 解：（1）設(shè)斜率為2的直線方程為y=2x+b代入2設(shè)平行弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，（x2,y2）,則

△ =b2-4ac=(8b)2-4×9(2b2-2)＞0 得-3＜b＜3 則 x1?x2??x?x28b94444b?? ∴b??x,(???b?)x?19439329 y?y1?y244b?(x1?x2)?b? ∴x?4y?0,(??x?)

3329（2）設(shè)l與橢圓的焦點(diǎn)為（x1,y1）(x2,y2),弦中點(diǎn)為（x,y）

2x12x222?y1?1 ① ?y2?1 ② 則 22由①-②整理得（x1+x2）(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③ 又∵ x1?x2?2x,y1?y2?2y

∴x?2y?y1?y2?0 ④

x1?x2y1?y2y?1 ⑤ ?x1?x2x?2由題意知

y?1?0 即x2?2y2?2x?2y?0 x?2(3)由（2）得 x1+x2=1 y1+y2=1 代入①得 代入④整理得x?2y? y1?y21??

x1?x22故所求的直線方程為2x+4y-3=0 通過(guò)以上幾例要注意一些隱含條件,若軌跡是曲線的一部分，應(yīng)對(duì)方程注明x的取值范圍，同時(shí)注明x,y的取值范圍。若軌跡有不同情況，應(yīng)分類討論,以保證它的完整性。

第五篇：圓錐曲線教案 對(duì)稱問(wèn)題教案

圓錐曲線教案 對(duì)稱問(wèn)題教案

教學(xué)目標(biāo)

1．引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握解決中心對(duì)稱及軸對(duì)稱問(wèn)題的解析方法． 2．通過(guò)對(duì)稱問(wèn)題的研究求解，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

3．通過(guò)對(duì)稱問(wèn)題的探討，使學(xué)生會(huì)進(jìn)一步運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)處理問(wèn)題．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

兩曲線關(guān)于定點(diǎn)和定直線的對(duì)稱知識(shí)方法是重點(diǎn)．把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題，即用對(duì)稱觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題是難點(diǎn)．

教學(xué)過(guò)程

師：前面學(xué)過(guò)了幾種常見(jiàn)的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì)．今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對(duì)稱的問(wèn)題．大家想一想：點(diǎn)P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？

師：P(x，y)，P′(x′，y′)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)滿足什么條件？ 生：P和P′的中點(diǎn)是原點(diǎn)．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′．

師：若P和P′關(guān)于y軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 生：y=y′且x=-x′．

師：若P和P′關(guān)于直線y=x對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？ 生：y=x′且x=y′．

生：它們關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

師：若P與P′關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱，它們?cè)谖恢蒙嫌惺裁刺卣鳎?生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)． 師：還有補(bǔ)充嗎？

生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直．

師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)且與直線垂直就能對(duì)稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？

生：就是P與P′的中點(diǎn)落在直線Ax+By+C=0上，換句話說(shuō)P與P′的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程Ax+By+C=0．

師：下面誰(shuí)來(lái)總結(jié)一下，兩點(diǎn)P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱應(yīng)滿足的條件？

生：應(yīng)滿足兩個(gè)條件． 生：方程組中含有x′，y′，也可認(rèn)為這是一個(gè)含x′，y′的二元一次方程組．換句話說(shuō)，給定一個(gè)點(diǎn)P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)．

師：今后有很多有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題．

例1 已知直線l1和l關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(選題目的：熟悉對(duì)稱直線方程)師：哪位同學(xué)有思路請(qǐng)談?wù)劊?/p>

生：先求出已知兩直線的交點(diǎn)，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點(diǎn)斜式求得l2的方程．

(讓這位同學(xué)在黑板上把解題的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，大家訂正．)

由點(diǎn)斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？

生：在直線l1上任取一點(diǎn)，求出這點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)，然后再利用交點(diǎn)，兩點(diǎn)式可求出l的直線方程。(讓這位學(xué)生在黑板上把解題過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，如有錯(cuò)誤，大家訂正．)解 由方程組：

師：還有別的解法嗎？

生：在l2上任取一點(diǎn)P(x，y)，則P點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問(wèn)題就解決了．

師：請(qǐng)你到黑板上把解題過(guò)程寫(xiě)出來(lái)． 解 設(shè)P(x，y)為l上的任意一點(diǎn)，2則P點(diǎn)關(guān)于直線2x-2y+1=0對(duì)稱，點(diǎn)P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)，

又因?yàn)镻′(x′，y′)在直線l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程為：4x-6y+3=0．

師：很好，大家剛才的幾種解法是求對(duì)稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對(duì)稱的曲線方程呢？

引申：已知：曲線C：y=x2，求它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的曲線方程．(選題目的：進(jìn)一步熟悉對(duì)稱曲線方程的一般方法．)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：

(讓學(xué)生把他的解法寫(xiě)出來(lái)．)解 設(shè)P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)為P′(x1，y1)，因此，連結(jié)P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點(diǎn)的直線方程為y-y0=-(x-x0)．

師：還有不同的方法嗎？

生：用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫(xiě)在黑板上．

生：解：設(shè)M(x，y)為所求的曲線上任一點(diǎn)，M0(x0，y0)是M關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)，所以M0定在曲線C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個(gè)例子．

點(diǎn)出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．(如圖2-77)

師：解這題的關(guān)鍵是什么？ 生：關(guān)鍵是找到x軸的交點(diǎn)． 師：有辦法找到交點(diǎn)嗎？ 生：沒(méi)人回答．

師：交點(diǎn)不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點(diǎn)，利用交點(diǎn)M對(duì)解決這個(gè)問(wèn)題有什么幫助嗎？

生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點(diǎn)，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx．

師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？

生：可以先找A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，-2)，由對(duì)稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉(zhuǎn)化為|A′M|+|MD|即|A′D|．

師：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|實(shí)際上是過(guò)A′點(diǎn)到圓切線的長(zhǎng)，要求切線長(zhǎng)，只需先連結(jié)半徑CD，再連結(jié)A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77)(讓這位學(xué)生把解答寫(xiě)在黑板上．)解 已知點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0，-2)，所求的路程即為

師：巧用對(duì)稱性，化簡(jiǎn)了計(jì)算，很好．哪位同學(xué)能把這個(gè)題適當(dāng)改一下，變成另一個(gè)題目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點(diǎn)，在x軸上，求一點(diǎn)P，使得|AP|+|PD|為最短．

師：誰(shuí)能解答這個(gè)問(wèn)題？

生：先過(guò)A(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，-2)，連結(jié)A′D與x軸相交于點(diǎn)P，P為所求(如圖2-78)．

師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？

生：因?yàn)锳，A′關(guān)于x軸對(duì)稱，所以|AP|=|A′P|，這時(shí)|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當(dāng)P點(diǎn)在x軸其他位置上時(shí)，如在P′處，那么，連結(jié)AP′、A′P′和P′D．這時(shí)|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于 生：先作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，-2)，連結(jié)A′和圓心C，A′C交x軸于M點(diǎn)，交圓于P點(diǎn)，這時(shí)|AM|+|MP|最小(如圖2-79)．

師：你怎樣想到先找A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的呢？

生：由前題的結(jié)論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最?。?/p>

師：很好，大家一起動(dòng)筆算一算(同時(shí)讓這位學(xué)生上前面書(shū)寫(xiě))． 生：解A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點(diǎn)，因?yàn)锳′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

師：我們一起看下面的問(wèn)題．

例3 若拋物線y=a·x2-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的范圍．

師：這題的思路是什么？

生：如圖2-80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關(guān)于直線x=-

師：很好，誰(shuí)還有不同的解法嗎？

生：曲線y=ax2-1關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方

師：今天我們討論了有關(guān)點(diǎn)，直線，曲線關(guān)于定點(diǎn)，定直線，對(duì)稱的問(wèn)題．解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運(yùn)用兩點(diǎn)關(guān)于定直線對(duì)稱的思想方法，結(jié)合圖象利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題．

作業(yè)：

1．一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四邊形，已知點(diǎn)A(-1，3)和C(-3，2)，點(diǎn)D在直線x-3y-1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光線從點(diǎn)A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點(diǎn)B(3，9)，則此光線所經(jīng)過(guò)的路程的長(zhǎng)是______．

(12)4．已知曲線C：y=-x2+x+2關(guān)于點(diǎn)(a，2a)對(duì)稱的曲線是C′，若C與C′有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求a的取值范圍．(-2＜a＜1)

設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．這節(jié)課是一節(jié)專題習(xí)題課，也可以認(rèn)為是復(fù)習(xí)題，通過(guò)討論對(duì)稱問(wèn)題把有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，最重要的是充分突出以學(xué)生為主體．讓學(xué)生討論和發(fā)言，就是讓學(xué)生參加到數(shù)學(xué)教學(xué)中來(lái)，使學(xué)生興趣盎然，思維活躍，同時(shí)對(duì)自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有一定的時(shí)間讓學(xué)生充分地發(fā)表自己的見(jiàn)解，從而來(lái)提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力．

2．這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在腦海里留下一個(gè)深刻的印象，就是對(duì)稱問(wèn)題，歸根結(jié)底都可以化成點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，即可用方程組去解決．反過(guò)來(lái)，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問(wèn)題帶來(lái)了便利．在解題時(shí)，只有站在一定的高度上去處理問(wèn)題，思路才能開(kāi)闊，方法才能靈活，學(xué)生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時(shí)水平才能提高得較快．

3．習(xí)題課的一個(gè)中心就是解題，怎樣才能讓學(xué)生做盡可能少的題，從而讓學(xué)生掌握通理通法，這是一個(gè)值得研究和探討的問(wèn)題．本節(jié)課采取了讓學(xué)生把題目進(jìn)行一題多變，一題多解，從中使學(xué)生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達(dá)到盡可能做少量的題，而達(dá)到獲取盡可能多的知識(shí)、方法和規(guī)律的目的，真正提高學(xué)生的分析問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．解決當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重的問(wèn)題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學(xué)生帶來(lái)的危害．

4．本課的例題選擇可根據(jù)自己所教學(xué)生的實(shí)際情況，下面幾個(gè)備用題可供參考．

題目1過(guò)圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)A作這圓的切線l，M為l上任一點(diǎn)，過(guò)M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q，求點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，△MAQ垂心的軌跡方程．

(選題目的：熟練用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，活用平幾簡(jiǎn)化計(jì)算．)

解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

題目2若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解(如圖2-82)設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線

(選題目的：結(jié)合對(duì)稱問(wèn)題，訓(xùn)練反證法的應(yīng)用．)此題證法很多．下面給一種證法供參考．

證明 如圖2-83，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，可設(shè)P(a，b)、5．本教案作業(yè)4，5題的參考解答：

4題．解設(shè)P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)(a，2a)的對(duì)稱點(diǎn)是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯(lián)立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關(guān)于直線x-y=1的對(duì)稱點(diǎn)為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，