第一篇：第2章《圓錐曲線與方程-2.1 圓錐曲線》導(dǎo)學(xué)案
第2章 《圓錐曲線與方程-2.1》 導(dǎo)學(xué)案
教學(xué)過程
一、問題情境
2011年9月29日，中國成功發(fā)射了“天宮一號(hào)”飛行器，你知道“天宮一號(hào)”繞地球運(yùn)行的軌跡是什么嗎？
二、數(shù)學(xué)建構(gòu)
橢圓是物體運(yùn)動(dòng)的一種軌跡，物體運(yùn)動(dòng)的軌跡有很多，常見的還有直線、圓、拋物線等.一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線；當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截得的圖形是一個(gè)圓.當(dāng)我們改變平面的位置時(shí)，截得的圖形也在發(fā)生變化.請(qǐng)觀察圖1.(圖1)
對(duì)于第一種情形，可在截面的兩側(cè)分別放置一個(gè)球，使它們都與截面相切(切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2)，且與圓錐面相切，兩球與圓錐面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2(如圖2).(圖2)
設(shè)M是平面與圓錐面的截線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2于P，Q兩點(diǎn)，則MP和MF1，MQ和MF2分別是上、下兩球的切線.因?yàn)檫^球外一點(diǎn)所作球的切線的長都相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因?yàn)镻Q=VP-VQ，而VP，VQ是常數(shù)(分別為兩個(gè)圓錐的母線的長)，所以PQ是一個(gè)常數(shù).也就是說，截線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù).通過分析，給出橢圓的概念:
F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.問題1 為什么常數(shù)要大于F1F2？
解 因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與F1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形，三角形的兩邊之和大于第三邊，所以MF1+MF2>F1F2.問題2 若MF1+MF2=F1F2，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？ 解 線段F1F2.問題3 若MF1+MF2
【例1】 已知定點(diǎn)P(0，3)和定直線l:y+3=0，動(dòng)圓M過點(diǎn)P且與直線l相切，求證:圓心M的軌跡是一條拋物線.(見學(xué)生用書P15)[處理建議] 讓學(xué)生仔細(xì)審題，作出圖形，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照拋物線的定義尋找相等關(guān)系，使問題得以解決.[規(guī)范板書] 證明 設(shè)圓M的半徑為r，點(diǎn)M到直線l的距離為d.∵動(dòng)圓M過點(diǎn)P且與l相切，∴MP=r，d=r，∴MP=d.而點(diǎn)P不在l上，∴由拋物線的定義知圓心M的軌跡是一條拋物線.(例2)[題后反思] 本題要緊扣拋物線的定義，主要注意兩點(diǎn):①到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離；②定點(diǎn)不在定直線上.【例2】(教材第27頁習(xí)題2.1第3題)如圖，圓F1在圓F2的內(nèi)部，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2不重合，求證:與圓F1外切且與圓F2內(nèi)切的圓的圓心C的軌跡為橢圓.(見學(xué)生用書P16)[處理建議] 讓學(xué)生仔細(xì)審題，明確需要解決什么問題，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)橢圓的定義尋找“到兩定點(diǎn)的距離之和為定值”的關(guān)系，使問題得以解決.[規(guī)范板書] 證明 設(shè)圓F1，F(xiàn)2的半徑分別為r1，r2，動(dòng)圓C的半徑為t.依題意有CF1=r1+t，CF2=r2-t，消去t得CF1+CF2=r1+r2(一個(gè)大于F1F2的常數(shù))，所以動(dòng)圓圓心C的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓.[題后反思] 要證明某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以先考慮動(dòng)點(diǎn)是否滿足圓錐曲線的定義.本題要緊緊抓住到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓這一定義.變式1 如圖，已知?jiǎng)訄AC與圓F1，F(xiàn)2均外切(圓F1與圓F2相離)，試問:動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是什么曲線？
(變式1)
[處理建議] 從例2的解法中聯(lián)想思考，尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)是什么.[規(guī)范板書] 解 雙曲線的一支.證明如下: 設(shè)圓F1，F(xiàn)2的半徑分別為r1，r2(r1>r2)，動(dòng)圓C的半徑為t.依題意有CF1=r1+t，CF2=r2+t，消去t得CF1-CF2=r1-r2(一個(gè)小于F1F2的正數(shù))，所以動(dòng)圓圓心C的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.[題后反思] 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用圓錐曲線的定義直接得出軌跡.本題還有其他方式的變式:當(dāng)兩圓相離時(shí)，動(dòng)圓與兩圓均內(nèi)切或與一圓內(nèi)切與另一圓外切，其動(dòng)圓圓心的軌跡均為雙曲線的一支.2 2 2 2變式2(1)動(dòng)圓與圓C1:x+y=1和C2:(x-4)+y=4都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.(2)動(dòng)圓與圓C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4)2+y 2=4都內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.(3)動(dòng)圓與圓C1:x 2+y 2=1內(nèi)切，與圓C2:(x-4)2+y 2=4外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.(4)動(dòng)圓與圓C1:x 2+y 2=1外切，與圓C2:(x-4)2+y 2=4內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.*
2【例3】 已知圓F的方程為(x-2)+y=1，動(dòng)圓P與圓F外切且和y軸相切.求證:動(dòng)圓的圓心P在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，并請(qǐng)寫出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.[處理建議] 因?yàn)橐C明圓心P的軌跡是拋物線，所以可引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖找到定點(diǎn)和定直線.[規(guī)范板書] 證明 設(shè)圓P的半徑為r，它與y軸相切于T，則PF=r+1，PT=r，所以PF=PT+1，作直線l:x=-1，PT的延長線交直線l于A，則PF=PA，故點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，所以點(diǎn)P在以F(2，0)為焦點(diǎn)，直線l:x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上運(yùn)動(dòng).[題后反思] 三種圓錐曲線的概念都與距離有關(guān):橢圓和雙曲線的概念描述的都是點(diǎn)到點(diǎn)的距離；拋物線的概念描述的是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，同時(shí)還有點(diǎn)到線的距離.圓與直線相切，能夠聯(lián)想到拋物線的條件.變式 點(diǎn)P到定點(diǎn)F(2，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，求點(diǎn)P的軌跡.[處理建議] 引導(dǎo)學(xué)生考慮本題條件與哪種圓錐曲線的定義一致.[規(guī)范板書] 解 過點(diǎn)P作PT⊥y軸，垂足為T，所以PF=PT+1，作直線l:x=-1，PT的延長線交直線l于A，則PF=PA，故點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，所以點(diǎn)P在以F(2，0)為焦點(diǎn)、直線l:x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上運(yùn)動(dòng).[題后反思] 本題依然是屬于動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離，但不相等的問題，關(guān)鍵是
[2]將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生類比推理、歸納猜想、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思維能力.四、課堂練習(xí)
1.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-3，0)和F2(3，0)，則此雙曲線的焦距為 6.2.已知點(diǎn)A(0，-2)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA-MB|=2a(a為正常數(shù)).若點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，則常數(shù)a的取值范圍為(0，提示 因?yàn)锳B=
2).，即0 .，由雙曲線的定義知0<2a<23.若動(dòng)圓M過點(diǎn)(3，2)，且與直線3x-2y-1=0相切，則點(diǎn)M的軌跡是拋物線.4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為F1F2的中點(diǎn)，P為橢圓上任一動(dòng)點(diǎn)，取線段PF1的中點(diǎn)Q，求證:動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡也是一個(gè)橢圓.證明 設(shè)PF1+PF2=m(定值)，且m>F1F2，則QF1+QO=PF1+PF2=m>F1F2=F1O，所以點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓.五、課堂小結(jié) 1.圓錐曲線可通過平面截圓錐面得到.當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線；當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截得的圖形是一個(gè)圓；當(dāng)平面平行于圓錐面的軸時(shí)，截得的圖形是雙曲線；當(dāng)平面平行于圓錐面的母線時(shí)，截得的圖形是拋物線；當(dāng)平面既不平行、不垂直于圓錐面的軸也不平行于圓錐面的母線時(shí)，截得的圖形是橢圓.2.掌握三種圓錐曲線的定義，并注意:橢圓中常數(shù)大于兩個(gè)定點(diǎn)間距離，雙曲線中常數(shù)小于兩個(gè)定點(diǎn)間距離.3.會(huì)用圓錐曲線的定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡. 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力． (三)學(xué)科滲透點(diǎn) 通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)． (解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答． 四、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入 前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答： 問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 對(duì)上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)． 提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形． 問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？ 一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如： “到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神． 比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖： 取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓． 教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等?? 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義： 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距． 學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)： (1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”． (2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”． (二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程． 如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟． (1)建系設(shè)點(diǎn) 建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p> 以兩定點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)． (2)點(diǎn)的集合 由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程 (4)化簡(jiǎn)方程 化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示： ①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要 (a＞b＞0)． 關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略． 示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納) 0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2； -c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上． (三)例題與練習(xí) 例題 平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程． 分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系． ∵2a=10，2c=8． ∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分 練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是 [ ] 由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié) 1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡． 3．圖形如圖2- 15、2-16． 4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)． 五、布置作業(yè) 1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案： 4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a． 六、板書設(shè)計(jì) 與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生掌握與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問題等． (二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過對(duì)圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用圓錐曲線知識(shí)的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn) 通過與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題的教學(xué)，使學(xué)生掌握一些相關(guān)學(xué)科中的類似問題的處理方法． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題． (解決辦法：先介紹基礎(chǔ)知識(shí)，再講解應(yīng)用．)2．難點(diǎn)：雙圓錐曲線的相交問題． (解決辦法：要提醒學(xué)生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析．)3．疑點(diǎn)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題． (解決辦法：因?yàn)檫@類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 演板、講解、練習(xí)、分析、提問． 四、教學(xué)過程(一)引入 與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見到，為了讓大家對(duì)這方面的知識(shí)有一個(gè)比較系統(tǒng)的了解，今天來講一下“與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題”． (二)與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長求法 設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|為： (2)若弦AB過圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|． A、B兩點(diǎn)，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長公式易解． 由學(xué)生演板完成．解答為： ∵ 拋物線方程為x2=-4y，∴焦點(diǎn)為(0，-1)． 設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． ∴ k=±1． ∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結(jié)果，由學(xué)生課外完成． 2．與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)的問題 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍． 例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)： 將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y 由點(diǎn)(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知： 4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1． ∴0≤y≤2． 當(dāng)y=0時(shí)，(x2+y2)min=0． 解(2)： 分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關(guān)于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值． 令x+y=u，則有x=u-y． 代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． 3．與圓錐曲線有關(guān)的證明問題 它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法． 例3 在拋物線x2＝4y上有兩點(diǎn)A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證： (1)A、B和這拋物線的焦點(diǎn)三點(diǎn)共線； 證明： (1)∵拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1． ∴ A、B到準(zhǔn)線的距離分別d1＝y(tǒng)1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)． 由拋物線的定義： |AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點(diǎn)共線．(2)如圖2－46，設(shè)∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ． 小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題解決的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)． 4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題 直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個(gè)方程聯(lián)立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0” 與直觀圖形相結(jié)合；方法2，由“△≥0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法3，轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講)． 實(shí)數(shù)a的取值范圍． 可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知： (三)鞏固練習(xí)(用一小黑板事先寫出．) 2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個(gè)公共點(diǎn)，求P的取值范圍． 頂點(diǎn)． 請(qǐng)三個(gè)學(xué)生演板，其他同學(xué)作課堂練習(xí)，教師巡視．解答為： 1．設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則 2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P． ∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)． 四個(gè)交點(diǎn)為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)． 五、布置作業(yè) 1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動(dòng)圓C2∶(x-a)2+y2=1沒有公共點(diǎn)，求a的范圍． 2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 3．證明：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于虛半軸長． 作業(yè)答案： 1．當(dāng)x≤1時(shí)，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則 似證明． 六、板書設(shè)計(jì) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力． (三)學(xué)科滲透點(diǎn) 通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)． (解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明．)3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答． 四、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入 前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答： 問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 對(duì)上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)． 提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形． 問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？ 一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如： “到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神． 比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖： 取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓． 教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等?? 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義： 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)： (1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”． (2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”． (二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程． 如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟． (1)建系設(shè)點(diǎn) 建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p> 以兩定點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)． (2)點(diǎn)的集合 由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 (3)代數(shù)方程 (4)化簡(jiǎn)方程 化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示： ①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要 (a＞b＞0)． 關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略． 示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納) 0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2； -c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上． (三)例題與練習(xí) 例題 平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程． 分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系． ∵2a=10，2c=8． ∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分 練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是 [ ] 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié) 1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡． 3．圖形如圖2- 15、2-16． 4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)． 五、布置作業(yè) 1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案： 4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a． 六、板書設(shè)計(jì) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力． (三)學(xué)科滲透點(diǎn) 通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較．)2．難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)． (解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明．) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 3．疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答． 四、教學(xué)過程(一)橢圓概念的引入 前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答： 問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 對(duì)上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學(xué)生溫故而知新，在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去探求新知識(shí)． 提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個(gè)同解變形． 問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？ 一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”．對(duì)同學(xué)提出的軌跡命題如： “到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” “到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵(lì)同學(xué)們的探索精神． 比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么呢？這時(shí)教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)(如圖2-13)，當(dāng)繩長大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓． 教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等?? 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義： 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距． 學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)： (1)將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”． (2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”． (二)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程． 如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟． (1)建系設(shè)點(diǎn) 建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p> 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 以兩定點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)． (2)點(diǎn)的集合 由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程 (4)化簡(jiǎn)方程 化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示： ①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要 (a＞b＞0)． 關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納) 0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2； -c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上． (三)例題與練習(xí) 例題 平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程． 分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系． ∵2a=10，2c=8． ∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是 [ ] 由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié) 1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡． 3．圖形如圖2- 15、2-16． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)． 五、布置作業(yè) 1．如圖2-17，在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 3．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案： 4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a． 六、板書設(shè)計(jì) 橢圓的幾何性質(zhì) 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用． (二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn) 使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用． (解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié)．)2．難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解． (解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變． (解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說明．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)． 四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問 1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 學(xué)生口述，教師板書．(二)幾何性質(zhì) 根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 b＞0)來研究橢圓的幾何性質(zhì)．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變． 1．范圍 即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)． 2．對(duì)稱性 先請(qǐng)大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2． 設(shè)問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對(duì)稱的” 呢？ 事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．類似可以證明其他兩個(gè)命題． 同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對(duì)稱、關(guān)于x軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對(duì)稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱，那么它一定關(guān)于y軸對(duì)稱． 事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱． 最后指出：x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心即橢圓中心． 3．頂點(diǎn) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 只須令x=0，得y=±b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=±a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)． 教師還需指出： (1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b； (2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長； 這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形． 4．離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義： 等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1． 再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響： (2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了． (三)應(yīng)用 為了加深對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形． 本例前一部分請(qǐng)一個(gè)同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是： (2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱性就可以畫出整個(gè)橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對(duì)稱性可以使計(jì)算量大大減少． 本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時(shí)再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解： 設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 將上式化簡(jiǎn)，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)． 這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義 平面內(nèi)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù) 線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說明 這時(shí)還要講清e(cuò)的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比． (五)小結(jié) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 解法研究圖形的性質(zhì)是通過對(duì)方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無關(guān)．前面我們著重分析了第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)．布置學(xué)生最后小結(jié)下列表格： 五、布置作業(yè) 1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程： (1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0． 2．我國發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程． 3．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程． 作業(yè)答案： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 4．頂點(diǎn)(0，2)可能是長軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故分兩種情況求方程： 六、板書設(shè)計(jì) 橢圓的幾何性質(zhì) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用． (二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn) 使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用． (解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié)．)2．難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解． (解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變． (解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說明．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)． 四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問 1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 學(xué)生口述，教師板書．(二)幾何性質(zhì) 根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是 b＞0)來研究橢圓的幾何性質(zhì)．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變． 1．范圍 即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)． 2．對(duì)稱性 先請(qǐng)大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2． 設(shè)問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對(duì)稱的” 呢？ 事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．類似可以證明其他兩個(gè)命題． 同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對(duì)稱、關(guān)于x軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對(duì)稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對(duì)稱，那么它一定關(guān)于y軸對(duì)稱． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱． 最后指出：x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心即橢圓中心． 3．頂點(diǎn) 只須令x=0，得y=±b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=±a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)． 教師還需指出： (1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b； (2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長； 這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形． 4．離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義： 等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1． 再結(jié)合圖形分析離心率的大小對(duì)橢圓形狀的影響： (2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓； 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 (3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了． (三)應(yīng)用 為了加深對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形． 本例前一部分請(qǐng)一個(gè)同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是： (2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱性就可以畫出整個(gè)橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對(duì)稱性可以使計(jì)算量大大減少． 本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的，同時(shí)再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解： 設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 將上式化簡(jiǎn)，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)． 這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義 平面內(nèi)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù) 線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說明 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 這時(shí)還要講清e(cuò)的幾何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比． (五)小結(jié) 解法研究圖形的性質(zhì)是通過對(duì)方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無關(guān)．前面我們著重分析了第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)．布置學(xué)生最后小結(jié)下列表格： 五、布置作業(yè) 1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程： (1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0． 2．我國發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程． 3．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 作業(yè)答案： 4．頂點(diǎn)(0，2)可能是長軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故分兩種情況求方程： 六、板書設(shè)計(jì) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn) 本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí)． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (解決辦法：通過一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過設(shè)問給出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過比較加深認(rèn)識(shí)．)2．難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)． (解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？ (解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié)． 四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問 1．橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口答，教師板書) (二)雙曲線的概念 把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？ 1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支． 注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問 問題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|． 問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 問題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2|？ 請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時(shí)，無軌跡． 3．定義 在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距． 教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時(shí)設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)． 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn) 取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24) 建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)． (2)點(diǎn)的集合 由定義可知，雙曲線就是集合： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程 (4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板)將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得： 化簡(jiǎn)得： 兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． (以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2． 這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 教師指出： (1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b； (2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上． (3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習(xí)與例題 1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4； 3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？ 由教師講解： 按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動(dòng)點(diǎn)無軌跡．(五)小結(jié) 1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡． 3．圖形(見圖2-25)： 4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2． 五、布置作業(yè) 1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過點(diǎn)A(-5，2)； 3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)． 作業(yè)答案： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1 六、板書設(shè)計(jì) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn) 本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)比較深刻的認(rèn)識(shí)． 二、教材分析 1．重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (解決辦法：通過一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過設(shè)問給出雙曲線的定義；對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過比較加深認(rèn)識(shí)．)2．難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)． (解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？ 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 (解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時(shí)讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié)． 四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)提問 1．橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？(學(xué)生口答，教師板書) (二)雙曲線的概念 把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？ 1．簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在按釘上且穿過套管，點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支． 注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 問題1：定點(diǎn)F1、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不能．強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|． 問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？ 請(qǐng)學(xué)生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 問題4：這個(gè)常數(shù)是否會(huì)大于等于|F1F2|？ 請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)＞|F1F2|時(shí)，無軌跡． 3．定義 在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距． 教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時(shí)設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)． 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn) 取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)． (2)點(diǎn)的集合 由定義可知，雙曲線就是集合： P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程 (4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板)將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得： 化簡(jiǎn)得： 兩邊再平方，整理得： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． (以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2． 這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)： 教師指出： (1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b； (2)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上． (3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習(xí)與例題 1．求滿足下列的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4； 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 3．已知兩點(diǎn)F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？ 由教師講解： 按定義，所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，因?yàn)閏=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42． 因?yàn)?a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動(dòng)點(diǎn)無軌跡．(五)小結(jié) 1．定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡． 3．圖形(見圖2-25)： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2． 五、布置作業(yè) 1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過點(diǎn)A(-5，2)； 3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)． 作業(yè)答案： 2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 六、板書設(shè)計(jì) 雙曲線的幾何性質(zhì) 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能具體估計(jì)雙曲線的形狀特征． (二)能力訓(xùn)練點(diǎn) 在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn) 使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 二、教材分析 1．重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用． (解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導(dǎo)學(xué)生證明．)2．難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證． (解決辦法：先引導(dǎo)學(xué)生觀察以原點(diǎn)為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對(duì)角線，再論證這兩條對(duì)角線即為雙曲線的漸近線．)3．疑點(diǎn)：雙曲線的漸近線的證明．(解決辦法：通過詳細(xì)講解．) 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 提問、類比、重點(diǎn)講解、演板、講解并歸納、小結(jié)． 四、教學(xué)過程 (一)復(fù)習(xí)提問引入新課 1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？ 請(qǐng)一同學(xué)回答．應(yīng)為：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率，是從標(biāo)準(zhǔn)方程探討的． 2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 再請(qǐng)一同學(xué)回答．應(yīng)為：中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo) 下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)．(二)類比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)1～3)引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書)．<見下頁>(三)問題之中導(dǎo)出漸近線(性質(zhì)4) 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對(duì)于估計(jì) 仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形)，那么雙曲線和這個(gè)矩形有什么關(guān)系？這個(gè)矩形對(duì)于估計(jì)和畫出雙曲線簡(jiǎn)圖(圖2-26)有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想． 接著再提出問題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線的方程是什么？ 下面，我們來證明它： 雙曲線在第一象限的部分可寫成： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON． 在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況． 現(xiàn)在來看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 母對(duì)調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字 這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精 再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線．(四)順其自然介紹離心率(性質(zhì)5)由于正確認(rèn)識(shí)了漸近線的概念，對(duì)于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對(duì)雙曲線的形狀的影響： 變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊． 這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變． (五)練習(xí)與例題 1．求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程． 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 請(qǐng)一學(xué)生演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視，練習(xí)畢予以訂正． 由此可知，實(shí)半軸長a=4，虛半軸長b=3． 焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-5)，(0，5)． 本題實(shí)質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點(diǎn)講解并加以歸納小結(jié)． 解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合： 人教版高中數(shù)學(xué)全部教案 化簡(jiǎn)得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． 這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 由此例不難歸納出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義 1．定義(由學(xué)生歸納給出)平面內(nèi)點(diǎn)M與一定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e= 叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率． 2．說明 (七)小結(jié)(由學(xué)生課后完成)將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式列表小結(jié)． 五、布置作業(yè) 1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個(gè)焦點(diǎn)、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144． 圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 以圓錐曲線的焦點(diǎn)（橢圓的左焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過極點(diǎn)引相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線的反向延長線為極軸，則圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為??ep，其中e為離心率，p是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。1?ecos? 例 1、過雙曲線x2?y2?4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為105?的直線交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)，則|FP|?|FQ|的值為例 2、拋物線y2?4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上 方的部分交于點(diǎn)A，AK?l，垂足為K，則?AKF的面積是（） A.4B.3C.43D.8 例 3、中心在原點(diǎn)O的橢圓右焦點(diǎn)為F（3,0），右準(zhǔn)線l的方程為x?12.（1）求橢圓的方程； （2）在橢圓上任取三個(gè)不同的點(diǎn)P1、P2、P3，使?P1FP2??P2FP3??P3FP1,證明： 111為定值，并求出此定值。??|FP1||FP2||FP3|第二篇：高二數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線方程：02
第三篇：圓錐曲線教案
第四篇：人教版高中數(shù)學(xué)《圓錐曲線和方程》全部教案
第五篇：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用
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