第一篇：2016學(xué)年四川成都石室中學(xué)高二數(shù)學(xué)精選教案：2.4《等比數(shù)列》1(新人教A版必修5)

《等比數(shù)學(xué)列公比q的顯著性》教學(xué)設(shè)計

廣東省汕頭市潮陽林百欣中學(xué) 彭小謀

教學(xué)目標(biāo)︰

重點關(guān)注公比q的幾個關(guān)鍵值；

通過從豐富實例中抽象出不同公比對等比數(shù)列的項值影響，使學(xué)生認(rèn)識到掌握好公比q的特點是學(xué)好等比數(shù)列的不二抓手;同時經(jīng)歷由解決幾個具體問題，體會公比q的顯著性。

教學(xué)重點：公比q的不同類型：

教學(xué)難點：解題中如何通過q的不同取值優(yōu)化解題過程，提高解題品質(zhì)。

教學(xué)過程：

一、回顧舊知，歸納拓展

在前幾節(jié)課中,我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的相關(guān)知識，今天我們在原有知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一次拓展延伸。

【老師】首先請一位同學(xué)回答，你感覺等比數(shù)列中哪個基本量對等比數(shù)列起關(guān)鍵性影響？老師引導(dǎo)學(xué)生分析各個基本量的特點，并著重強(qiáng)調(diào)公比q的特點。

【學(xué)生】通過觀察，分析，理解，從而得到公比q對等比數(shù)列的影響很關(guān)鍵。

二、實例講解：

? 類型分析1：q?1或q??1

例

1、化簡求和：S?x?x?x?......?x(x?0)

【學(xué)生】思考、討論，考慮和式的結(jié)構(gòu)特點。

【老師】求和的關(guān)鍵是看通項結(jié)構(gòu)，同學(xué)們是否認(rèn)可上式具有等比數(shù)列特點？ 【學(xué)生】發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，又感覺缺點什么。 【老師】認(rèn)可是等比數(shù)列的同學(xué)舉手！

【學(xué)生】要注意x的取值，尤其是x?1可能要討論！【老師】很好！

解析：1）當(dāng)x?1時，S?1?1?......?1?n 123nx(1?xn)

2）當(dāng)x?1時，S?

1?x

【設(shè)計意圖】目的是讓學(xué)生形式上的等比數(shù)列問題一定要關(guān)注q取值對求和的影響，學(xué)會分類討論，關(guān)注解題的完備性。

? 類型分析2：q?0?an.an?1?0，q?0?an.an?1?0

例2：設(shè)?an?是公比為q的等比數(shù)列，q?1，令bn?an?1(n?1,2,.....)，若數(shù)列?bn?有連續(xù)四項在集合??53,?23,19,37,82?中，求6q的值?！緦W(xué)生】思考、討論，考慮條件中q的限制。

【老師】已知集合中正、負(fù)項的個數(shù)對解題有沒有幫助！

【學(xué)生】集合中正、負(fù)項的個數(shù)均不足四項，說明數(shù)列相鄰項不可能同號！【老師】很好，這說明什么問題呢？ 【學(xué)生】多數(shù)學(xué)生發(fā)聲：q?0！解析：an?bn?1???54,?24,18,36,81??q2?故6q??9。

54243 或q2?且q?0且q?1?q??24542【設(shè)計意圖】掌握好公比q的正負(fù)對數(shù)列各項的調(diào)和作用！例

3、若等比數(shù)列的前n項和Sn?0，求公比q的范圍。

【學(xué)生】思考、討論，回顧求和公式的結(jié)構(gòu)特點。

【老師】同q?0學(xué)們有沒有一個直觀感覺，比方說q?0是否成立，能否得到a1?0？ 【學(xué)生】可以得到a1?0顯然成立！q?0似乎也符合題意！但必要嗎？ 【老師】很好的反問！誰能回答？…… 解析：由Sn?0?S1?a1?0成立；

1）當(dāng)q?0?an.an?1?0且a1?0?Sn?0顯然恒成立，故q?0符合題意；

a1(1?qn)1?qn?0且a1?0??0即2)當(dāng)q?0時，考慮Sn?1?q1?q故若?1?q?0?0?q?1時，顯然符合題意，若q??1?qn?1(1?qn)(1?q)?0，時顯然不符題意，故所求公比q的取值范圍為q???1,0???0,1?

【設(shè)計意圖】利用q的關(guān)鍵值嘗試分析法解不等式。

? 類型分析3：q?0

例4：已知兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．（1）若a=1，求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{an}唯一，求a的值．

【老師】思考:公比q的取值范圍是什么呢？ 【學(xué)生】正數(shù)、負(fù)數(shù)，但是不能為零。【老師】很好，由于自然運算的需要，q?0！同學(xué)們對它的限制是如何把握的？

【學(xué)生】常識性的問題，還能怎么把握??？

【老師】實踐出真知，我們不妨一塊來考察上述問題。

解析：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，又∵b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3．且{bn}為等比數(shù)列

∴（2+q）=2（3+q）∴q=2±

2∴

2（2）由（1）知（2+aq）=（1+a）（3+aq）

2整理得：aq﹣4aq+3a﹣1=0 【老師】同學(xué)們在這兒會聯(lián)想到什么？ 【學(xué)生】二次方程！

【老師】并且是含有參數(shù)的二次方程！題目說 等比數(shù)列唯一?！緦W(xué)生】說明公比唯一，說明方程有等根！說明△=0！【老師】繼續(xù)吧！

2∵a＞0，△=4a+4a＞0（【老師】納悶吧？?。緦W(xué)生】奇怪！難道是錯題！

2【老師】再想想！△=4a+4a＞0說明方程必有兩不等根！是否與題設(shè)矛盾？ 【學(xué)生】......應(yīng)該兩根中只有一個能做公比q！【老師】漂亮！公比不能為0！

【學(xué)生】數(shù)列{an}唯一，∴方程必有一根為0！

∵數(shù)列{an}唯一，∴方程必有一根為0，得a=

【設(shè)計意圖】在實踐中感受公比q的顯著性，提高的是學(xué)生的思維品質(zhì)，煉就的是學(xué)生良好的解題習(xí)慣。

三、歸納小結(jié) 提煉精華

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了公比q不同取值對數(shù)列特征的影響，包含以下幾類：

1、q2、q3、q?1或q??1（分類討論需要）

?0?an.an?1?0，q?0?an.an?1?0（關(guān)注調(diào)和）

?0（自然運算需要）

4、涉及數(shù)學(xué)思想方法包括：分類討論，函數(shù)與方程、分析與綜合等。

【老師】通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

【學(xué)生1】在本節(jié)課中，我懂得了學(xué)好等比數(shù)列，必需以公比q為切入點，把握好公比q的幾個臨界值，是我們深刻理解等比數(shù)列的關(guān)鍵！

【學(xué)生2】在本節(jié)課中我還學(xué)習(xí)了分類討論、分析與綜合等數(shù)學(xué)思想方法。

【老師】當(dāng)然我們還有方程的思想以及函數(shù)的思想。目的只有一個：從細(xì)節(jié)做起，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，練就優(yōu)秀的解題品質(zhì)！

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅僅總結(jié)知識更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法。這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識體系，理清知識脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、作業(yè)

求下列各組數(shù)中插入怎樣的數(shù)后是等比數(shù)列。

（1）1，____，9（2）-1，____，-4

（3）-12，____，-3（4）1，_____，1 2.根據(jù)右圖的框圖,寫出所打印數(shù)列的前5項,并建立數(shù)列的遞推公式.這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎?

五、目標(biāo)檢測設(shè)計

1:求下列等比數(shù)列的第4項和第5項；（1）4，-8,16,...(2)

2：求下列各組數(shù)的等比中項；（1）4,9；（2）3:已知等比數(shù)列的公比是q，第 項為，試求其第n項

第二篇：高二數(shù)學(xué) 2.4《等比數(shù)列》(2課時)教案(新人教A版必修5)

課題: §2.4等比數(shù)列

授課類型：新授課

（第２課時）

●三維目標(biāo)

知識與技能：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式；深刻理解等比中項概念；熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法

過程與方法：通過自主探究、合作交流獲得對等比數(shù)列的性質(zhì)的認(rèn)識。

情感態(tài)度與價值觀：充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實生活的，數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學(xué)習(xí)的興趣?！窠虒W(xué)重點

等比中項的理解與應(yīng)用 ●教學(xué)難點

靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題 ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：

1．等比數(shù)列：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0）an?1n?12.等比數(shù)列的通項公式: an?a1?q(a1?q?0)，an?am?qn?m(am?q?0)

an?1?3．｛an｝成等比數(shù)列?=q（n?N,q≠0）

“an≠0”是數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列

an的必要非充分條件

4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列 Ⅱ.講授新課

1．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項.即G=±ab（a,b同號）

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則Gb??G2?ab?G??ab，aG反之，若G=ab,則≠0）[范例講解] 課本P58例4 證明：設(shè)數(shù)列?an?的首項是a1，公比為q1;?bn?的首項為b1，公比為q2，2Gb?，即a,G,b成等比數(shù)列?！郺,G,b成等比數(shù)列?G2=ab（a·baG

Ⅴ.課后作業(yè) ●板書設(shè)計 ●授后記

第三篇：2012高中數(shù)學(xué)教案 2.4 等比數(shù)列(第1課時)(人教A版必修5)

2.4等比數(shù)列教案

（一）授課類型：新授

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo) 1.等比數(shù)列的定義； 2.等比數(shù)列的通項公式．

（二）過程與能力目標(biāo) 1.明確等比數(shù)列的定義；

2.掌握等比數(shù)列的通項公式，會解決知道an，a1，q，n中的三個，求另一個的問題．

教學(xué)重點

1.等比數(shù)列概念的理解與掌握；

2.等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．

教學(xué)難點

等差數(shù)列＂等比＂的理解、把握和應(yīng)用．

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入：

下面我們來看這樣幾個數(shù)列，看其又有何共同特點?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，2;① 1，6

312，14，18，…； ②

1，20,202,203，…； ③ 1.0198,1.1098,1.1098......④

23對于數(shù)列①，an=2n?1;

anan?1 =2（n≥2）．對于數(shù)列②，an=

12n?1；

anan?1?12（n≥2）．

對于數(shù)列③，an=20n?1;

anan?1=20（n≥2）．

共同特點：從第二項起，第一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)．

二、檢查預(yù)習(xí)

1．等比數(shù)列的定義．

2.等比數(shù)列的通項公式: an?a1?qn?1(a1,q?0)，an?am?qn?m(am,q?0)，an?AB(A,B?0)

n3．｛an｝成等比數(shù)列?an?1an?q(n?N,q?0)

?4．求下面等比數(shù)列的第4項與第5項：

（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）,.,??;(4)2,1,32821322，…….三、合作探究

（1）等比數(shù)列中有為0的項嗎？（2）公比為1的數(shù)列是什么數(shù)列？

（3）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？（4）常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？ 四交流展示

1． 等比數(shù)列的定義：一般地，若一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示（q≠0），即：

anan?1=q（q≠0）

注：(1)“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)q； ｛an｝成等比數(shù)列?an?1an=q（n?N?，q≠0．）

(2)隱含：任一項an?0且q?0

(3)q=1時，{an}為常數(shù)數(shù)列．

（4）．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列． 2.等比數(shù)列的通項公式1: an?a1?qn?1(a1,q均不為0)

觀察法：由等比數(shù)列的定義，有：a2?a1q；

a3?a2q?(a1q)q?a1q； a4?a3q?(a1q)q?a1q；… … … … … … … an?an?1q?a1?qn?1223(a1，q?0)．

迭乘法：由等比數(shù)列的定義，有：

a2a1?q；

a3a2?q；

a4a3?q；…；

anan?1?q

所以a2a1?a3a4an?1n?1，即an?a1?q(a1，q?0)??n?qa2a3an?1n?m(am，q?0)等比數(shù)列的通項公式2: an?am?q五精講精練

例1．一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.解：?1812?32?q?32 ?a2?a3q?12?23?8,a1?a2q?8?23?163.點評：考察等比數(shù)列項和通項公式的理解 變式訓(xùn)練一：教材第52頁第1 例2．求下列各等比數(shù)列的通項公式：

(1)a1??2,a3??8;(2)a1?5,且2an?1??3an

2解：(1)a3?a1q?q?4?q??2?an?(?2)2n?1??2或an?(?2)(?2)nn?1?(?2)

n

(2)q?an?1an??32又：a1?5?an?5?(?32)n?1

點評：求通項時，求首項和公比 變式訓(xùn)練二 ：教材第52頁第2 例3．教材P50面的例1。

012n?15例4． 已知無窮數(shù)列105,105,105,??10 求證：（1）這個數(shù)列成等比數(shù)列； ,??，110（2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的；

（3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中．

n?1證：（1）anan?1?10105n?251?105（常數(shù)）∴該數(shù)列成等比數(shù)列．

n?1（2）anan?5?10105n?45?10?1?110，即：an?110an?5．

p?1q?1p?q?2（3）apaq?105105?105，∵p,q?N，∴p?q?2．

∴p?q?1?1且?p?q?1??N，p?q?2∴105???10?n?15?（第p?q?1項）． ?，? 變式訓(xùn)練三：教材第53頁第3、4題．

六、課堂小結(jié)：

1.等比數(shù)列的定義；

2.等比數(shù)列的通項公式及變形式

七、板書設(shè)計

八、課后作業(yè)

閱讀教材第48～50頁；

第四篇：高中數(shù)學(xué)《2.4等比數(shù)列》第1課時評估訓(xùn)練 新人教A版必修5

2.4 等比數(shù)列

第1課時

等比數(shù)列的概念及通項公式

雙基達(dá)標(biāo) 限時20分鐘

1，3，63，則它的第四項是

A．1B.83C.93D.123解析 a＝aa2643q＝a3a＝3×＝＝30＝1.13

答案 A

2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于

A．64B．81C．128D．243

解析 由???a1＋a1q＝3，得??a1＝1，??aa2

1q＋1q＝6，??q＝2，?

∴a6

7＝a1q＝64，選A.答案 A

3．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么

A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9

解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b與首項－1同號，∴b＝－3，且a，c必同號．

∴ac＝b2＝9.答案 B

4．在等比數(shù)列{an}中，若2a4＝a6－a5，則公比q是________．

解析 法一 由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.法二 ∵a5＝a4q，a6＝a4q2，∴由已知條件得2a2

4＝a4q－a4q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.答案 －1或2

5．已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.()．)．()． 1（解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，633得a＝5，則a1＝4，qan＝4·?n－1.42?2?

3答案 4·??n－1 ?2?

6．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝kn＋n，n∈N，其中k是常數(shù)．

(1)求a1及an；

(2)若對于任意的m∈N，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，求k的值．

解(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，*2*

an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．

a1＝k＋1也滿足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N.(2)由am，a2m，a4m成等比數(shù)列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，將上式化簡，得2km(k－1)＝0，因為m∈N，所以m≠0，故k＝0或k＝1.綜合提高

7．下列數(shù)列為等比數(shù)列的是

A．2,22,222，…限時25分鐘()． **111B.23，… aaaC．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…

22211解析 A項中，≠2，∴A不是；B項是首項為C項中，當(dāng)s22aa

＝1時，數(shù)列為0,0,0，…，∴不是；D項顯然不是．

答案 B

8．設(shè)x∈R，記不超過x

()．

A．是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

B．是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

解析 可分別求得??5＋1?＝?2??5＋1??5＋1?＋1，?的最大整數(shù)為[x]，令{x}＝x－[x]，則?，2?2??222－15＋1?－15＋1，?＝1，＝1，由等比中項易222?2?＋1??＋1?5＋1?，?得?，2?2??2 2

答案 B

9．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，則an＝________.解析 由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，令an＋1＝bn則bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，∴{bn}是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3

－1 n－1－1.答案 2·3n－1

10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且對任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝

f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，給出以下三個結(jié)論：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正確的個數(shù)是________個．

解析 ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴數(shù)列{f(m,1)}構(gòu)成以1為首項以2為公比的等比數(shù)列，∴f(5,1)＝1·2＝16，∴(2)正確；

當(dāng)m＝1時，條件①變?yōu)閒(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，又f(1,1)＝1，∴數(shù)列{f(1，n)}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正確．

∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，∴{f(5，n)}也成等差數(shù)列．

∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，∴(3)正確，故有3個正確．

答案 3

11．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．

(1)求a2，a3，并證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；

(2)求an.解(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，4

a3＝3a2－2×3＋3＝－15.下面證明{an－n}是等比數(shù)列：

證明

an＋1－n＋13an－2n＋1＋3－n＋1＝ an－nan－n3an－3n＝3(n＝1,2,3，…)． an－n

又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2為首項，以3為公比的等比數(shù)列．

(2)由(1)知an－n＝－2·3

∴an＝n－2·3n－1.n－1，12．(創(chuàng)新拓展)已知數(shù)列{an}的前n項之和為Sn，Sn與an滿足關(guān)系Sn＝2(1)求an＋1與an的關(guān)系式，并求a1的值；

(2)證明：數(shù)列??是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式； ?n??an?n＋2n(n∈N*)． n

(3)是否存在常數(shù)p使數(shù)列{an＋1－pan}為等比數(shù)列？若存在，請求出常數(shù)p的值；若不存在，請說明理由．

(1)解 ∵Sn＋2n＝2－nan①

∴Sn＋1＝2－n＋3n＋1an＋1②

②－①得an＋2n＋1＝nan＋3

n－n＋1an＋1，即2n＋2

n＋1n＋2n＋1＝nn，即2

n＋1a11＋21n＋1＝nn.而a1＝2－1a1，∴a12.(2)證明 由(1)知an＋1a

n＋1nn12，而a11＝12

∴??an?

?n?是以1122

∴an1?1?n－1?1?n

n2?2?＝?2?，∴an

n2n.(3)解 ∵a＋1pn1－2pn＋1

n＋1－pann

2n＋12n＝2n＋1由等比數(shù)列的通項公式知若{an＋1－pan}是等比數(shù)列，則1－2p＝0，∴p＝12.

第五篇：2012高中數(shù)學(xué) 2.4等比數(shù)列(第2課時)教案 新人教A版必修5

2.4等比數(shù)列教案

（二）教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的定義及通項公式；

（二）過程與能力目標(biāo)

利用等比數(shù)列通項公式尋找出等比數(shù)列的一些性質(zhì)

（三）方法與價值觀 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識． 教學(xué)重點，難點

（1）等比數(shù)列定義及通項公式的應(yīng)用；

（2）靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義及通項公式解決一些相關(guān)問題． 教學(xué)過程

二．問題情境

221．情境：在等比數(shù)列{an}中，（1）a5?a1a9是否成立？a5?a3a7是否成立？ 2（2）an?an?2an?2(n?2)是否成立？

2．問題：由情境你能得到等比數(shù)列更一般的結(jié)論嗎？ 三．學(xué)生活動

2822對于（1）∵a5?a1q4，a9?a1q8，∴a1a9?a1，a5q?(a1q4)2?a5?a1a9成立． 2同理 ：a5?a3a7成立．

對于（2）an?a1qn?1，an?2?a1qn?3，an?2?a1qn?1，22n?222∴an?2an?2?a1qn?3?a1qn?1?a1，anq?(a1qn?1)2?an?an?2an?2(n?2)成立．

一般地：若m?n?p?q(m,n,q,p?N?)，則am?an?ap?aq． 四．建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．若{an}為等比數(shù)列，m?n?p?q(m,n,q,p?N?)，則am?an?ap?aq． 由等比數(shù)列通項公式得：am?a1qm?1 , an?a1qn?1，ap?a1q故am?an?a1q2m?n?22p?1 ,aq?a1?qq?1，且ap?aq?a1qp?q?2，∵m?n?p?q，∴am?an?ap?aq．

am?qm?n． ana由等比數(shù)列的通項公式知：，則m?qm?n ．

an2．若{an}為等比數(shù)列，則五．?dāng)?shù)學(xué)運用 1．例題：

2例1．（1）在等比數(shù)列{an}中，是否有an?an?1?an?1（n?2）？（2）在數(shù)列{an}中，對于任意的正整數(shù)n（n?2），都有an?an?1?an?1，那么數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列．

解：（1）∵等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項公式數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴2即an?an?1?an?1（n?2）成立．

an?1an?，anan?1用心 愛心 專心 1

2（2）不一定．例如對于數(shù)列0,0,0,?，總有an?an?1?an?1，但這個數(shù)列不是等比數(shù)列．

例2． 已知{an}為GP，且a5?8,a7?2，該數(shù)列的各項都為正數(shù)，求{an}的通項公式。解：設(shè)該數(shù)列的公比為q，由

211a7 ?q7?5得q2??，又?jǐn)?shù)列的各項都是正數(shù)，故q?，842a5n?5n?8則an?8?()?()． 1212例3．已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)。解：由題意可以設(shè)這三個數(shù)分別為

a,a,aq，得： q?aa?3??q?a?aq?27?? ??21?22a(?1?q)?91?a?a2?a2q2?91?q2?2??q12∴9q4?82q2?9?0，即得q2?9或q?，91∴q??3或q??，3故該三數(shù)為：1，3，9或?1，3，?9或9，3，1或?9，3，?1．

a說明：已知三數(shù)成等比數(shù)列，一般情況下設(shè)該三數(shù)為,a,aq．

q例4． 如圖是一個邊長為1的正三角形，將每邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖形（2），如此繼續(xù)下去，得圖形（3）……求第n個圖形的邊長和周長．

解：設(shè)第n個圖形的邊長為an，周長為cn．

由題知，從第二個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形的邊長的等比數(shù)列，首項為1，公比為

1，∴數(shù)列{an}是31． 31n?1∴an?()．

3要計算第n個圖形的周長，只要計算第n個圖形的邊數(shù)． 第一個圖形的邊數(shù)為3，從第二個圖形起，每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形的邊數(shù)的4倍，∴第n個圖形的邊數(shù)為3?4n?1．

14cn?()n?1?(3?4n?1)?3?()n?1．

332．練習(xí)：

1．已知{an}是等比數(shù)列且an?0，a5a6?9，則log3a1?log3a2???log3a10? ．

2．已知{an}是等比數(shù)列，a4?a7??512，a3?a8?124，且公比為整數(shù)，則a10? ．

3．已知在等比數(shù)列中，a3??4，a6?54，則a9? ． 五．回顧小結(jié)：

1．等比數(shù)列的性質(zhì)（要和等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行類比記憶）．

用心 愛心 專心

題，習(xí)題第6，8，9，10題． 用心 愛心 專心 3 六．課外作業(yè)：書練習(xí)第1，2七板書設(shè)計