第一篇：高等數(shù)學(xué)(上冊)教案05 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

【教學(xué)目的】：

1.理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念； 2.會求簡單函數(shù)的間斷點；

【教學(xué)重點】：

1.函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；

2.函數(shù)在一點處連續(xù)的判定方法； 3.函數(shù)間斷點的分類；

【教學(xué)難點】：

1.函數(shù)在一點處連續(xù)的判定方法； 2.分段函數(shù)分段點處的連續(xù)性判斷； 3.函數(shù)間斷點的分類。

【教學(xué)時數(shù)】：2學(xué)時 【教學(xué)過程】：

1.4.1函數(shù)的連續(xù)性的概念

1、函數(shù)的增量

2、函數(shù)的連續(xù)性

定義1 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0及其附近有定義，且lim?y?0，則稱函數(shù)

?x?0f(x)在點x0連續(xù)，x0稱為函數(shù)y?f(x)的連續(xù)點．

連續(xù)的另一等價定義是：

定義2 設(shè)函數(shù)y?f?x?在點x0及其附近有定義，如果函數(shù)f?x?當(dāng)x?x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f?x0?，即limf?x??f?x0?，那么就稱函數(shù)y?f?x?在點x0連續(xù).注意：由定義知函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)要limf?x??f?x0?成立，則必須同時

x?x0x?x0滿足以下三個條件

(1)函數(shù)f(x)在x0處有定義；

(2)極限limf(x)存在；

x?x0(3)極限值等于函數(shù)值，即limf(x)?f(x0)．

x?x0定義3 如果函數(shù)y?f(x)在x0處及其左鄰域內(nèi)有定義，且limf(x)=f(x0)，?x?x0則稱函數(shù)y?f(x)在x0處左連續(xù)．如果函數(shù)y?f(x)在x0處及其右鄰域內(nèi)有定義，且limf(x)?f(x0)，則稱函數(shù)y?f(x)在x0處右連續(xù)．

?x?x0y?f(x)在x0處連續(xù) ? y?f(x)在x0處既左連續(xù)且右連續(xù)．

?x?1x?0?例5 討論函數(shù)f(x)??0x?0 在點x?0處的連續(xù)性.?x?1x?0?解 函數(shù)定義域為(??,??)，x?0?limf(x)=lim(x?1)??1，limf(x)?lim(x?1)?1，???x?0x?0x?0由于左極限與右極限雖然都存在但不相等，所以limf(x)不存在，函數(shù)f(x)在點

x?0x?0處不連續(xù).定義4 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)任何一點處都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)；若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在左端點a處右連續(xù)，在右端點b處左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).可以證明，基本初等函數(shù)以及常數(shù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．

3、函數(shù)的間斷點

如果函數(shù)y?f(x)在點x0處不連續(xù)，則稱f(x)在x0處間斷，并稱x0為f(x)的間斷點．

設(shè)x0是f(x)的間斷點，若f(x)在x0點的左、右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點；其他的間斷點都稱為第二類間斷點．

在第一類間斷點中，如果左、右極限存在但不相等，這種間斷點又稱為跳躍間斷點；如果左、右極限存在且相等(即極限存在)，但函數(shù)在該點沒有定義，或者雖然函數(shù)在該點有定義，但函數(shù)值不等于極限值，這種間斷點又稱為可去間斷點．在第二類間斷點中左、右極限至少有一個為無窮大的間斷點稱為無窮間斷點.【教學(xué)小節(jié)】：

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，理解函數(shù)連續(xù)的一系列概念，并掌握判斷函數(shù)連續(xù)的方法，學(xué)會判斷函數(shù)的間斷點并分類。

【課后作業(yè)】：

無

第二篇：函數(shù)的間斷點分類

怎么理解函數(shù)的間斷點及其分類？

[答] 函數(shù)的間斷點是以否定連續(xù)性來定義的，要討論函數(shù)f(x)在點x=x0 的連續(xù)性，主要是討論極限limf?x?。按現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材的定義，只有當(dāng)f(x)在x?x0

??x0的鄰域或某個去心鄰域U?x?0,??內(nèi)有定義時，才可能討論此極限，這時也說此

??

極限是有意義的（注意：極限是否有意義與極限是否存在是兩碼事）。如果極限沒有意義，說函數(shù)f(x)在點x0是連續(xù)或間斷，也就沒有意義。此外，由于我們

定義了單側(cè)極限，因此，在雙側(cè)極限無意義而單側(cè)極限有意義時，我們也可說該點是函數(shù)的連續(xù)點或間斷點。

間斷點的分類也按極限limf?x?的情況來分：左、右極限都存在的間斷點稱x?x0

第一類間斷點（包括可去間斷點和跳躍間斷點兩種）左右極限至少有一個不存在的間斷點稱為 第二類間斷點（包括無窮間斷點，振蕩間斷點，以及其它有名稱或無名稱的間斷點）。此外，在雙側(cè)極限無意義而單側(cè)極限有意義時，也按單側(cè)極限存在與否來對間斷點分類，例如

x=0是f1?x?的第二類間斷點。因此f1?0?0????，f1?0?0??0，f1?x??e，所以x=0不是第一類間斷點，也不是無窮間斷點。1x

f2?x??lnx，x=0是f2?x?的第二類（無窮）間斷點（雖然在x=0只有單側(cè)極限）；x=-1即不是f2?x?的間斷點，也不是連續(xù)點。

f3?x??x，x=0是f3?x?的連續(xù)點，因為limf3?x??f3?0?，即f3?x?在x=0x?0?0

右連續(xù)，而在x<0時f3?x?無定義。

f4?x??sinx

x，x=0是f4?x?的第一類（可去）間斷點，因為右極限存在，而左極限無意義。

第三篇：高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限教案

高等數(shù)學(xué)教案

課程的性質(zhì)與任務(wù)

高等數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學(xué)習(xí)，也是該專業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運算；同時要通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識的同時，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實際問題的意識、興趣和能力。

第一章：函數(shù)與極限

教學(xué)目的與要求

18學(xué)時

1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

7.了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質(zhì)P}

元素與集合的關(guān)系：a?A

a?A

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關(guān)系：

A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集?？占?： ??A2、集合的運算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B

全集I、E

補集AC：

集合的并、交、余運算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

對偶律

(A?B)?A?B

(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區(qū)間和鄰域

開區(qū)間

(a,b)閉區(qū)間

?a,b? 半開半閉區(qū)間

?a,b?有限、無限區(qū)間 cccccc?a,b?

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

?

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射 1.映射概念

定義

設(shè)X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應(yīng)法則f

2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復(fù)合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)

記為

y?f(x)x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用f、g、?

函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符號函數(shù)

?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數(shù) y??x?

（階梯曲線）

?2x0?x?1x?15)分段函數(shù) y??

2、函數(shù)的幾種特性

?1?x1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點比較函數(shù)值

f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)

圖形特點(關(guān)于原點、Y軸對稱)

4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數(shù)

函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對稱

復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域為D1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算)

5、初等函數(shù)：

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的

1)冪函數(shù)：y?xa

2)指數(shù)函數(shù)：y?ax

3)對數(shù)函數(shù) y?loga(x)

4)三角函數(shù)

()

y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx

5)反三角函數(shù)

y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

e?e2x?xy?arccot(x)

shx?

chx?xx?x?xe?e2x?x

thx?shxchx?e?ee?e

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：y?archxy?arthx

作業(yè)： 同步練習(xí)冊練習(xí)一

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。

1）這個序列中的每個數(shù)都編了號。

2）序列中有無限多個成員。一般寫成：a1縮寫為?un?

例 1 數(shù)列??是這樣一個數(shù)列?xn?，其中

?n??1?a2a3a4??an??

xn?也可寫為：

1121n，n?1,2,3,4,5???

131415????

1n?0 可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為lim1、極限的??N定義：

???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數(shù)列?xn?的極限為a，記成

limxn?a

n??也可等價表述：

1）???0

2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??

xn?O(a?)

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒有關(guān)系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1：如果數(shù)列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數(shù)列?xn?收斂，那么數(shù)列?xn?一定有界

定理3：如果limxn?a且a>0(a<0)那么存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時，xn?0x??(xn?0)

定理

4、如果數(shù)列{xn}收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、極限的定義

1、在x0點的極限

1）x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數(shù)值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x)有一個總趨勢-----以某個實數(shù)A為極限，則記為 ：limf(x)?A。

x?x0形式定義為：

???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系

2、x??的極限

設(shè)：y?f(x)x?(??,??)如果當(dāng)時函數(shù)值 有一個總趨勢------該曲線有一條水平漸近

f(x)?A??

線y?A-----則稱函數(shù)在無限遠點?有極限。記為：limf(x)?A

x??

在無窮遠點?的左右極限：

f(??)?lim關(guān)系為： x???f(x)

f(??)?limf(x)

x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)

x??x???x???

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性

2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的局部保號性

4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

第四節(jié)：無窮小與無窮大

一、無窮小定義

定義：對一個數(shù)列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：

1、??? 則稱它為無窮小量，即limxn?0

x???的意義；

2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??

3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)?，存在一個號碼N，使在這個號碼以后的所有的號碼n，相應(yīng)的xn與極限0的距離比這個給定的?還小。它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于0的認識。

定理1 在自變量的同一變化過程x?x0（或x??)中，函數(shù)f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小。

二、無窮大定義

一個數(shù)列?xn?，如果成立：

?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無窮大量。記成：limxn??。

x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無窮大，記成limxn???

x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負無窮大，記成limxn??? x??注：無法區(qū)分正負無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關(guān)系

定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1f(x)為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)?0則

1f(x)為無窮大

即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)xn?0時：有

lim?0?limx??1xnx????

lim???limx??1xnx???0

注意是在自變量的同一個變化過程中

第五節(jié)：極限運算法則

1、無窮小的性質(zhì)

設(shè)?xn?和?yn?是無窮小量于是：（1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量：

limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列?c?xn?也是無窮小量：

limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小量。

limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（4）?xn?也是無窮小量：

x?x0limxn?0?limxn?0

x?x0（5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。

2、函數(shù)極限的四則運算

1、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0

2、函數(shù)f在點x0有極限，則對任何常數(shù)a成立

lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)

3、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x03、若函數(shù)f和g在點x0有極限，并且limg(x)???0，則

x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????

lim?

x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運算成立的條件是若函數(shù)f和g在點x0有極限 例：求下述極限

lim

x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322

4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復(fù)合函數(shù)的極限運算法則

定理6 設(shè)函數(shù)y?f[g(x)}是由函數(shù)y?f(u)與u?g(x)復(fù)合而成，f[g(x)]在點x0的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當(dāng)x?u(x0,?0)時，有

g(x)?u0，則

x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節(jié)：極限存在準則

兩個重要極限

定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個號碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結(jié)論：

x??x??limyn?a

x??

定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。

例：證明：limx?0sinxx?1

例：

limx?0

例：證明：lim(1?x??tanxx

limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1?)x的極限

x??x1x

第七節(jié)：無窮小的比較

定義：若?,?為無窮小

limlim????????0???c?0?c?0?1且

limlimlim

?K??高階、低階、同階、k階、等價?～?

1、若?,?為等價無窮小，則?????(?)

2、若?～?1、?～?1且

lim??11??11存在，則： lim???lim

例：

limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12

第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

一、函數(shù)在一點的連續(xù)性

函數(shù)f在點x0連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點的函數(shù)值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：

f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)

或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f在點x0有極限且此極限等于該點的函數(shù)值。

limf(x)?f(x0)

其形式定義如下：

x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??

函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時裝意端點。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點)

連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線

二、間斷點

若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點：

f(x0?0)?f(x0?0)

即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。、第二類間斷點x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個不存在

例：見教材

第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的四則運算

1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)

x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)

3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)

x?Df是嚴格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y?f(x)的，則存在它的反函數(shù)f并且連續(xù)的。

注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。

?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴格單調(diào)增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成

y?f?1(x)x?Df?1

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)f和g滿足復(fù)合條件?g?Df，若函數(shù)g在點x0連續(xù)；g(x0)?u0，又若f函數(shù)在點u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f?g在點x0連續(xù)。

注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：

x?x0limf(g(x))?f(limg(x))

x?x0從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、最大、最小值

設(shè)函數(shù)：y?f(x),x?D在上有界，現(xiàn)在問在值域

D1??yy?f(x),x?D?

中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點x0?D的函數(shù)值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數(shù)在D上的最大值。

x?D

類似地，如果 Df中有一個最小實數(shù)，譬如說它是某個點x2?Df的函數(shù)值y2?f(x2)，則記y2?min

二、有界性

x?Df?f(x)?稱為函數(shù)在上的最小值。

有界性定理：如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則它在?a,b?上有界。

三、零點、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數(shù) f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點?和?，使得

f(?)?f(x)?f(?),亦即

x??a,b?

f(?)?min x??a,b??f(x)?

f(?)?max?f(x)?

x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數(shù)的零點

零點定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f在區(qū)間?a,b?的兩個端點異號：f(a)*f(b)?0則至少有一個零點??(a,b)，使f(?)?0

中值定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個中間值。

作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。

第四篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之三函數(shù)的連續(xù)性

第三章函數(shù)的連續(xù)性

一，函數(shù)連續(xù)性的定義（極限定義）第一定義：設(shè)函數(shù)f?x?在某個U?a,??內(nèi)有定義，如果極限limf?x?

x?a存在并且

limf?x?

x?a=f?a?則稱函數(shù)f?x?在a點連續(xù)或稱a是f?x?的一個連續(xù)點。

解析:注意連續(xù)函數(shù)的鄰域與極限鄰域的區(qū)別與聯(lián)系(局部性定義)第二定義： 設(shè)函數(shù)f?x?在某個U?a,??內(nèi)有定義，如果對于任意的正數(shù)?>0,存在???0,?0?使得當(dāng)x?U?a,??時有 f?x??f?a

x?a=0時, lim?y

x?a=0。

解析：⑴連續(xù)函數(shù)與函數(shù)極限的聯(lián)系：直觀地講,當(dāng)自變量x的改變量(?x)非常小時函數(shù)f?x?相應(yīng)的改變量也非常小,則f?x?就叫做連續(xù)函數(shù)。

⑵ 由于?x的引入使得在某點連續(xù)擴展到區(qū)間連續(xù)。

⑶ 該定義體現(xiàn)了自變量x所對應(yīng)的點填滿了整條曲線.換句話說.曲線可以一筆畫出.⑷ 表明了可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

⑸ 用定義證明函數(shù)連續(xù)性的一般步驟：①檢查函數(shù)f?x?在點a處及其附近是否有定義②兩種操作(由選擇定義的不同而不同):㈠求極限limf(x)

x?a㈡根據(jù)自變量的初值a和終

值a??x求出函數(shù)的增量?y?f?a??x??f?a?③ 兩種操作(由選擇定義的不同而不同):㈠檢驗limf(x)

x?a與f?a?是否相等㈡求極限lim?y

?x?0是否為0。單側(cè)連續(xù)（左（右）連續(xù)）：設(shè)f?x?在某個?a,a???（或?a??,a?）上有定義，如果limf?x?

x?a?=f?a?（或limf?x?x?a?=f?a?）則稱f?x?在點x=a右（左）連續(xù)。

左(右)連續(xù)與連續(xù)之間的關(guān)系:在某點既左連續(xù)又右連續(xù)則記稱在該點連續(xù)。

解析:類比于單側(cè)極限。

4.一致連續(xù)性(區(qū)間連續(xù)性):設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義,如果對于任意給定的正數(shù)?總存在著正數(shù)?使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1,x2當(dāng)x1?x2??時就有f(x1)?f(x2)??,那么稱函數(shù)f?x?在區(qū)間I上是一致連續(xù)的.如果函數(shù)f?x?在?a,b?上第1頁

連續(xù)那么它在該區(qū)間上一致連續(xù)。

解析: ⑴與柯西(Cauchy)準則的聯(lián)系。

⑵如果函數(shù)在某區(qū)間上每一點都連續(xù)則稱在該區(qū)間上連續(xù).如果函數(shù)在非開區(qū)間內(nèi)每一點連續(xù),而在端點處單側(cè)連續(xù)(即在左端點右連續(xù),在右端點左連續(xù))則稱在整個區(qū)間上一致連續(xù)。二，函數(shù)的間斷點及其分類:定義:使函數(shù)不連續(xù)的點x0叫做函數(shù)f?x?的間斷點(或不連續(xù)點)。

解析: 間斷情況的三種情形(函數(shù)f?x?在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義)⑴在x=x0沒有定義。⑵雖然在x=x0有定義但limf?x?

x?x0不存在。⑶雖在x=x0有定義且limf?x?x?x0存在但

limf?x?

x?x0≠f?x0?。間斷點的分類(按照函數(shù)f?x?在間斷點x0處的左右極限是否存在)⑴第一類間斷點:當(dāng)f?x?在間斷點x0的左右極限都存在時, x0就叫做f?x?的第一類間斷點。(其中第一類間斷點包括可去間斷點(對該點通過補充定義可以連續(xù))和不可去間斷點(或跳躍間斷點))即:①第一類可去間斷點:函數(shù)f?x?在點x0處無定義,但limf?x?

x?x0存在或函數(shù)f?x?在點x0處

有定義為f?x0?但limf?x?

x?x0≠f?x0?(特點:函數(shù)在點x0處間斷但有極限)②不可去間斷點

(或跳躍間斷點): 函數(shù)f?x?在點x0處的兩個單側(cè)極限存在,但函數(shù)在該點無極限,即limf?x?

x?x?

0≠limf?x?x?x?

0③第一類間斷點定理:設(shè)函數(shù)f?x?在開區(qū)間I上單調(diào),如果存在間斷點的話,則函數(shù)f?x?在開區(qū)間I上只有第一類間斷點⑵第二類間斷點:當(dāng)函數(shù)f?x?在間斷點x0處的左右極限至少有一個不存在時, x0就叫做f?x?的第二類間斷點.(其中第二類間斷點包括無窮大間斷點和無窮振蕩間斷點)即:①無窮大間斷點:如果在點x0處函數(shù)f?x?的極限為無窮大,則稱點x0為第二類無窮大間斷點②第二類無窮振蕩間斷點:如果當(dāng)x?x0時函數(shù)f?x?產(chǎn)生無窮振蕩(函數(shù)值在某一范圍之間變動無限多項)則點x0稱為函數(shù)f?x?的第二類無窮振蕩間斷點。

三，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):四則運算性質(zhì):有限個連續(xù)函數(shù)的和差積商仍為連續(xù)函數(shù)。

第2頁復(fù)合運算: 有限個連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)與函數(shù)極限的關(guān)系:若函數(shù)f?x?為連續(xù)函數(shù),那么進行極限運算時可將極限符號移入函數(shù)符號之內(nèi),達到簡化目的。局部性質(zhì)(極限角度)(1).局部保號性:設(shè)函數(shù)f:I?R在點x0?I連續(xù)且f?x0??u,?f?x0??u?則存在??0當(dāng)x?U?x0,???I時有f?x??u,?f?x??u?⑵局部有界性:設(shè)函數(shù)f:I?R在點x0?I連續(xù),則存在??0使f?x?在x?U?x0,???I上有界。如果函數(shù)f?x?在點x0連續(xù)則f?x?在點x0也連續(xù)(利用極限定義證明)特別地,若f?x?及g?x?都是連續(xù)函數(shù)則,??x??max?f?x?,g?x??及??x??min?f?x?,g?x??也是連續(xù)的即:??x??1?f?x??g?x??f?x??g?x??,??x??1?f?x??g?x??f?x??g?x??。22閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): ⑴最值定理:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性)

解析:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在這個區(qū)間上取得最大(小)值是唯一的（值域的角度）,但取得最大(小)值的最大(小)值點則不一定是唯一的（定義域的角度）。

⑵介值定理:設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值: f?a? =A及f?b?=B,那么對于A與B之間的任意一個數(shù)c在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點?使得f????c(a

解析: ⑴幾何意義:連續(xù)曲線弧y=f?x?與水平直線y=c至少有一個交點。

⑵該定理表明:通過閉區(qū)間端點值的屬性來研究開區(qū)間內(nèi)函數(shù)值的性質(zhì)。

⑶推論:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。⑶零點定理:設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且f?a?與f?b?異號(即f?a?f?b??0)那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點?使f????0。

解析: ⑴介值定理與零點定理的統(tǒng)一性。

⑵與方程根的分布及近似解有關(guān)進而引進了一種求解高次代數(shù)方程或其他類型方程近似根的有效方法——二分法?？墒蛊涓蛇_到任意精度。其方法的過程：判斷一根在?a,b?之間，則為加強其精度，則取其中點，再應(yīng)用零點定理對中點與端點進行符號判斷，依次進行下去，進而無限二分，無限應(yīng)用零點定理直至比較精確為止。其誤差小于

⑶應(yīng)用該定理時需構(gòu)造函數(shù),其具有試驗的意味。

⑷此定理與單調(diào)性的結(jié)合判斷“只有性”問題。

第3頁 1?b?a?。2n

四，幾類函數(shù)的連續(xù)性:復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:設(shè)函數(shù)y?f?g?x??是由函數(shù)y?f?u?與函數(shù)u?g?x?復(fù)合而成,U?x0??Df?g若函數(shù)u?g?x?在x?x0連續(xù)且g?x0??u0而函數(shù)y?f?u?在u?u0連續(xù)則復(fù)合函數(shù)y?f?g?x??在x?x0也連續(xù)。反函數(shù)的連續(xù)性:如果函數(shù)y=f?x?在區(qū)間上嚴格單調(diào)且連續(xù),那么其反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上嚴格單調(diào)且連續(xù)。

解析:函數(shù)是區(qū)間上為單值,嚴格單調(diào)的函數(shù)。分段函數(shù)的連續(xù)性的判斷:⑴判斷各子區(qū)間上的連續(xù)性⑵判斷銜接點處的連續(xù)性。4 初等函數(shù)的連續(xù)性:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。．．．．

五,函數(shù)連續(xù)性的證明方法利用定義證明(通法)。利用其性質(zhì)證明。

第4頁

第五篇：高等數(shù)學(xué) 第一章函數(shù)與極限教案

-----

y ,或 {x0?x?a??}?.記為5.點6.點7.函數(shù)是實數(shù)集到實數(shù)集的映射U(a , ?)a?(a?? , a)a?(a , a??)f的左鄰域: 的右鄰域: 中有唯一的實數(shù)

...單值函數(shù)是指對于定義域

Df內(nèi)的任何實數(shù)

x，在值域Rf 其中y與之對應(yīng)，記作

y?f(x)x?Dfxy，稱為自變量，稱為因變量.，8.函數(shù)的自然定義域: 通常指使得函數(shù)算式有意義的一切實數(shù)組成的集合.9.絕對值函數(shù): ?x , x?0 ,x????x , x?0.10.符號函數(shù):

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

? 1 , x?0,?sgn(x)?? 0 , x?0,??1 , x?0.?11.取整函數(shù):

?x??n , n?x?n?1(n?0 , ?1 , ?2 , ?)?x? x?3.2??3??3.2???4?3??3?0.5??0.其中表示不超過的最大整數(shù).例如，.，即定義域為

?x?0P4?221?1?x?0?1?x?00?x?1[?1 , 0)?(0 , 1]③.解: 令，得

或

.，練習(xí)1.求函數(shù)的定義域.1f(x)?lnx?3.-----高等數(shù)學(xué)教案-----??x?3??1 , ?x?2 , 解: 令?x?3?0 , ?得

?x?3 ,即定義域為

?x?3?1 ,?x?4 ,D??(?? , 2)??(2 , 3)?(3 , ?(4 , ??).練習(xí)2.求函數(shù)的定義域.y?cosx2.解: 令cosx2?0，得

0?x2??22k???2?x2?2k???2，?x??2?x??2

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

4)或即定義域為 或

???2k???x??2k??222

或

??2k???x?2k??.的定義域為，數(shù)集

.12.函數(shù)的有界性: 設(shè)對任一在對任一在(k?1 , 2 , ?)}f(x)DX?DK1f(x)?K1x?Xf(x)XK1f(x)XK2f(x)?K2x?Xf(x)XK2f(x)XM①.如果存在數(shù)，使得，都成立，則稱

在上有上界，而

為上的一個上界.②.如果存在數(shù)，使得，都成立，則稱

在上有下界，為上的一個下界.③.如果存在正數(shù)，使得

-----高等數(shù)學(xué)教案-----對任一④.如果對于任何正數(shù)則稱13.函數(shù)的單調(diào)性: 設(shè)①.如果對于區(qū)間則稱②.如果對于區(qū)間則稱14.函數(shù)的奇偶性: 設(shè)函數(shù)①.如果對于任一f(x)?Mx?Xf(x)XMx0?Xf(x0)?Mf(x)Xf(x)DI?DIx1x2x1?x2f(x1)?f(x2)f(x)IIx1x2x1?x2f(x1)?f(x2)f(x)If(x)Dx?D，都成立，則稱

在上有界.，總存在，使得，在上無界.的定義域為，區(qū)間上任意兩點

及，當(dāng)，在區(qū)間

上是單調(diào)增加的.上任意兩點

及，當(dāng)

時，恒有，在區(qū)間

上是單調(diào)減少的.的定義域

關(guān)于原點對稱，.時，恒有

-----高等數(shù)學(xué)教案-----恒成立，則稱②.如果對于任一恒成立，則稱15.函數(shù)f(?x)??f(x)f(x)x?Df(?x)?f(x)f(x)y?f(x)Df為奇函數(shù).，為偶函數(shù).的定義域為，值域為

Rf，如果

f是一一映射，則f存在逆映射f?1:

Rf?Df?1，即對于任意

y?Rf?1為，有唯一的記作 x?Df，使得

f(x)?yf，稱，f的反函數(shù)，x?f(y)y?Rf 16.設(shè)函數(shù)

.y?f(u)的定義域為的定義域為

Df，且，值域為

Rf;函數(shù)u?g(x)由下式確定的函數(shù)

Dg，值域為

RgRg?Df，則y?f[g(x)] x?Dg，-----高等數(shù)學(xué)教案-----稱為由u?g(x)y?f(u)uy與中間變量，因變量.構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).x自變量，P1422 ④.解：y?ex2.y?e?e?1y?e?e?e，①.冪函數(shù)x2102x2212.17.基本初等函數(shù): y?x?（?為實數(shù)）.②.指數(shù)函數(shù)y?a(a?0 , a?1).x，特例③.對數(shù)函數(shù)特例y?ey?logax(a?0 , a?1)y?logex?lnx.④三角函數(shù) x，y?sinx y?cosxy?tanxy?cotxy?secxy?cscx，，⑤反三角函數(shù)，.-----高等數(shù)學(xué)教案-----y?arcsinxy?arccosx y?arctanxy?arccotx，.，18.初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).19.雙曲函數(shù)

①雙曲正弦②雙曲余弦③雙曲正切

e?eshx?2x?xe?echx?2x?xshxe?ethx??x?xchxe?e..x?x.§1.2 數(shù)列的極限

1.如果按照某一法則，對每個

n?N?，對應(yīng)著一個確定的數(shù)照下標nxn，這些實數(shù)

xn按從小到大排列得到的一個序列

叫做數(shù)列，簡記為數(shù)列般項.x1 , x2 , ? , xn , ?nxn?xn?，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，-----

當(dāng)自變量例如.① xn?f(n)n?Nn?xn?111 , , ? , , ?2n，.依次取1，2，3，…一切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排成數(shù)列

;

?.②

1?(?1)1 , 0 , 1 , 0 , ? , , ?21 , 2 , ? , n , ?1 , 1 , 1 , ? , 1 , ?n248234n?12 , , , ? , , ?23nnan??xna?xn?xna;③

;④

;⑤

2.深刻理解數(shù)列極限的概念.當(dāng)無限增大時(即

時)，對應(yīng)的項

無限接近于某個確定的數(shù)值，稱常數(shù)是數(shù)列的極限.無限接近于

是什么含意? 考察數(shù)列

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

n?134n?12 , , , ? , , ?23nn?11xn1n??xn?n1xn?1?n0.110n?101xn?1??0.1n0.01100n?1001xn?1??0.01n11?[]n?[]

當(dāng)時，無限接近于，也就是說

與要多小就有多小.比如說: ①給定，在-----它多么?。偞嬖谡麛?shù)都成立，那么稱常數(shù)Nn?Nxn?a??a?xn??xn?alimxn?axn?a(n??)n??，使得當(dāng)

時，不等式

是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列

收斂于

或，正整數(shù)，當(dāng)，則稱數(shù)列

以，記為

.???0?Nn?Nxn?a???xn?alimxn?an?????0?N?xn?a?N1?NxN?a???xn?alim0.999?9?1P3 31?????3'.對于

.4.數(shù)列不以

為極限的定義:，對于

正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列

時，為極限，記為，1不以為極限.④證: 等價于

n??n個1lim(1?n)?1n??10.-----高等數(shù)學(xué)教案-----對于

只要???011(1?n)?1?n??101011n?lgN?[lg]n?N，要使

?，取

?，當(dāng)時，1(1?n)?1??101lim(1?n)?1n??10lim0.999?9?1?????n??n個5.有界數(shù)列: 對于數(shù)列，所以，故

.?xn?，如果存在正數(shù)

M，使得對于任意

n，不等式

都成立，那么稱數(shù)列無界數(shù)列: 對于數(shù)列xn?M?xn??xn?

是有界的.，如果對于任意正數(shù)

M，存在正整數(shù)

N，使得不等式

-----高等數(shù)學(xué)教案-----成立，那么稱數(shù)列 6.子數(shù)列: 在數(shù)列序,這樣得到的數(shù)列xN?M?xn??xn?xn，是無界的.??k中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列

稱為原數(shù)列

?xn??xn?中的先后次的子數(shù)列.7.收斂數(shù)列的性質(zhì).①唯一性: 如果數(shù)列②有界性: 如果數(shù)列?xn??xn?收斂，那么它的極限唯一.收斂，那么數(shù)列

?xn?一定有界.③保號性: 如果 推論: 如果數(shù)列l(wèi)imxn?aa?0a?0n???Nn?Nxn?0xn?0?xn?xn?0xn?0limxn?aa?0a?0n??，且

(或，當(dāng)

時，都有

(或

從某項起有

(或，那末

(或).④.數(shù)列)，那末).)，且?xn?斂，且有相同的極限；若

?x??x??x??x??x?與子數(shù)列

n的關(guān)系: 若

kn收斂，則

n也收

kn收斂，則

kn不一定收斂.-----高等數(shù)學(xué)教案-----P31 5?xn?xn?M 證: 由于

都成立.對于，由于

有界，所以

?M正數(shù)，對于

?n，不等式

當(dāng)

?n?Nyn?時，yn?0?N???0limn??，所以

正整數(shù)，故當(dāng)，使得從而所以

M?xnyn?M???Mlimxnyn?0n??P31 6???0x2k?1?a(k??)?N1k?N1x2k?1?a??時，..證：對于，由于，正整數(shù)，使得當(dāng)

時，n?N.又由于

所以x2k?a(k??)?N2k?N2x2k?a??，正整數(shù)，使得當(dāng)

時，.-----高等數(shù)學(xué)教案-----N?Max{2N1?1 , 2N2}xn?a??n?Nxn?a(n??)x?x?x0x?x0xx0取時，.§1.3 函數(shù)的極限 1.自變量的六種變化趨勢.① :，任意地接近于有限值

.②，當(dāng)

所以x?xx?x0xx0x?x0x?x0xx0x???xx???xx??xxf(x)x?x0f(x)x0A??0?x?x0??f(x)，任意地接近于有限值

.③ :，任意地接近于有限值

.④⑤

: :

沿著數(shù)軸負向無限遠離原點.沿著數(shù)軸正向無限遠離原點.⑥ : 的絕對值

無限增大.2.函數(shù)當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在點一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，使得當(dāng)

時，對應(yīng)的函數(shù)值不等式

-----高等數(shù)學(xué)教案-----? : 0的某

（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)

都滿足那么常數(shù)f(x)?A??Af(x)x?x0limf(x)?A，就叫做函數(shù)

當(dāng)

時的極限，記作

或

取f(x)?A(x?x0)???0P5382x?4?(?4)?x?(?2)??x?20?x?(?2)?????.③.證: 對于，要使，當(dāng)

時x?x0，某一左鄰域內(nèi)有定義.對于x?4?(?4)?x?(?2)??x?22x?4lim??4x??2x?2f(x)x?x0f(x)x0???0???0.3.函數(shù)當(dāng)

時的左極限: 設(shè)函數(shù)

在點，2，所以的，當(dāng)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----0?x0?x???x?x04.函數(shù)

或

時，f(x)?A???0.，則limf(x)?Af(x)?A當(dāng)

時的右極限: 設(shè)函數(shù)某一右鄰域內(nèi)有定義.對于f(x)x?x0f(x)x0???0???00?x?x0??f(x)?A??在點，時，的，當(dāng)，則limf(x)?Af(x)?A?x?x0或 5.函數(shù)

?0.f(x)x?x0當(dāng)

時的極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在且相等，即

limf(x)?A?x?x0

limf(x)?limf(x)?A?x?x0?x?x0.P438limf(x)?lim1?1??.解: ①，x?0x?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----limf(x)?lim1?1??x?0于

.由limf(x)?limf(x)?1??x?0x?0.x?0，所以limf(x)?1x?0②

lim?(x)?lim(?1)??1??lim?(x)?lim1?1??x?0x?0由于，x?0x?0.lim?(x)lim?(x)?lim?(x)??x?0，所以

不存在

x?0x?0練習(xí)1.設(shè)函數(shù)(A)

x?2limf(x)f(x)?x?2x?2?101，則.(B).(C)

.當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在為.(D)不存在.[ D ] 6.函數(shù)一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)使得當(dāng)f(x)x??f(x)xXA?x?Xf(x)，對于任意給定的正數(shù)

（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值

都滿足不等式

大于某，-----高等數(shù)學(xué)教案-----那么常數(shù)f(x)?A??Af(x)x??limf(x)?A，就叫做函數(shù)

當(dāng)

時的極限，記作

或x??一負數(shù)時有定義.對于時，某一正數(shù)時有定義.對于f(x)?A(x??)f(x)x???f(x)x???0?X?0x??Xf(x)?A??limf(x)?Ax???f(x)x???f(x)x???0?X?0x?Xf(x)?A??limf(x)?Ax???f(x)x??x???x???limf(x)?A?x??.7.函數(shù)當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在，當(dāng)，則

.8.函數(shù)當(dāng)

時的極限: 設(shè)函數(shù)

在，當(dāng)，則

.9.函數(shù)當(dāng)時極限及當(dāng)

時極限都存在且相等，即

小于某

大于

時，時的極限存在的充分必要條件是當(dāng)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----limf(x)?limf(x)?Ax???x???9.水平漸近線: 若

.limf(x)?cx??或

x???或 limf(x)?climf(x)?c是函數(shù)，x???則稱直線y?cy?f(x)圖形的水平漸近線.10.函數(shù)極限的性質(zhì).①唯一性: 若limf(x)x?x00，當(dāng)

存在，此極限唯一.②局部有界性: 若limf(x)?Ax?x.，那末存在常數(shù)

M?0時，和??00?x?x0??，且

有 ③局部保號性: 若f(x)?Mlimf(x)?AA?0x?x0），那末存在，當(dāng)

（或A?0??00?x?x0??時，-----高等數(shù)學(xué)教案-----有③'若f(x)?0f(x)?0limf(x)?AA?0（或）.（），那末存在點x?x0x0的某一去心鄰域內(nèi)，使得

Af(x)?2f(x)?0f(x)?0x0A?0A?0limf(x)?Ax?x.推論: 若在點的某一去心鄰域內(nèi)

（，那末

（）.），且0§1.4 無窮小與無窮大

1.無窮小: 若

limf(x)?0x?x0為當(dāng)

（或取limf(x)?0f(x)x?x0x??x?????0P2421xsin?x??x0?x?????），則稱）時的無窮小.②.證: 對于，要使，當(dāng)

時

（或，-----高等數(shù)學(xué)教案-----2.極限與無窮小的關(guān) 系:

11y?xsinxsin?x??xxx?0limf(x)?A?f(x)?A??x?x，所以時的無窮小.①

.為當(dāng)0②limf(x)?A?f(x)?A??x??為無窮小.在點

.其中 3.無窮大: 設(shè)函數(shù)f(x)x0?M?0???00?x?x0??，當(dāng)?的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果對于時，總有

那f(x)?Mf(x)x?x0limf(x)??，么稱

為

當(dāng)

.時的無窮大，記作x?x03'.無窮大: 設(shè)函數(shù)f(x)x在大于某一正數(shù)時有定義.如果對于

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?M?0?X?0，那么稱，當(dāng)

x?X時，總有f(x)?Mf(x)x??為當(dāng)

時的無窮大，記作limf(x)??.x??P423.① 證: 對于

?M?0，要使

1?x2x?1x?2?M，而 1x?2?1x?2，只要 1x?2?M，x?M1，取??M1?2?2，當(dāng)

0?x??

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

時，有 ②取

1?2x1?2x?My?xxx?01??40?x??10?21?2x?1?2xx1??2x，所

以的無窮大.，當(dāng)

時，為當(dāng)1??21410?24?10

.-----高等數(shù)學(xué)教案-----練習(xí)1.若limf(x)??limg(x)??x?xx?x，00則下列式子成立的是

(A)lim[f(x)?g(x)]??x?xlim[f(x)?g(x)]??x?x00.(B).(C)(D)

1lim?0x?xf(x)?g(x)1lim?0x?xf(x)?g(x)0..0[ D ] 4.鉛直漸近線: 如果

limf(x)??x?x0或

limf(x)???x?x0

或 limf(x)???x?x0是函數(shù)，那么稱直線x?x0y?f(x)圖形的鉛直漸近線.-----高等數(shù)學(xué)教案-----P342.解：由于

所以

4limf(x)?lim2?0x??x??2?xy?0是水平漸近線.，由于

所以 5.無窮小與無窮大的關(guān)系: 在自變量的同一變化過程中，如果

4limf(x)?lim2??x??2x??22?x4limf(x)?lim2??x?2x?22?xx??2x?2f(x)1f(x)f(x)?0f(x)1f(x)，，都是鉛直漸近線.為無窮小；如果

為無窮小，且為無窮大.為無窮大，則，則§1.5 極限運算法則 1.無窮小的性質(zhì): ①有限個無窮小的和也是無窮小.-----高等數(shù)學(xué)教案-----②.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個無窮小的乘積也是無窮小.P4932.①解: 由于當(dāng)

x?0x時

是

當(dāng)

2是無窮小，而

1sinx的無

窮

是有界變量，所以1xsinx?0x21limxsin?0x?0xlimf(x)?Alimg(x)?Blim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?Blim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?Bc時

小，故

.2.極限的四則運算:，.①..②..推論1: 為常數(shù)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----推論2: ③.lim[c?f(x)]?c?limf(x)?c?Annnnlim[f(x)]?[limf(x)]?Af(x)limf(x)Alim??g(x)limg(x)B(B?0)?(x)??(x)lim?(x)?alim?(x)?ba?bx?x0nn?1f(x)?a0x?a1x???anlimf(x)?f(x0).為正整數(shù)，..3.極限的單調(diào)性: 若，而，則

.4.有理整函數(shù)(多項式)、有理分式函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限: ①.多項式，.，x?x0例1.②.有理分式

?16lim(x?2x?1)?3?2?3?1x?3P(x)F(x)?P(x)Q(x)Q(x)，其中、22.是多項式，-----高等數(shù)學(xué)教案-----Q(x0)?00，P(x0)P(x)limF(x)?lim?x?xx?xQ(x)Q(x0)?F(x0)3x?13?2?1lim?lim33x?2x?xx?22?21?22x?1lim?lim(x?1)x??1x?1x??1??22x?3lim2x?1x?3x?20.例2..例3..例4.求

.解: x?3x?21?3?1?2lim?x?12x?32?1?3

-----高等數(shù)學(xué)教案-----225.有理分式函數(shù)當(dāng)?02x?3lim??2x?1x?3x?2x??mm?1a0x?a1x???amlimnn?1x??bx?bx???b01n?a0 , n?m ,?b0???0 , n?m , ?? , n?m.??，.的極限:

例5.??111lim????n???1?22?3n(n?1)???

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

111?lim[(1?)?(?)??n??223 11?(?)]nn?1例6.1?lim1?n??n?1?1na?1lima?1n?1n??1?a???an?1?1?a???a??a?1??limn?1n??1?a???a?lim(a?1)n??

.（??)

?a?1(A).例7.下列數(shù)列中收斂的是.nan?(?1)n?1n.-----高等數(shù)學(xué)教案-----(B)bn?1?2n.(C)(D)?1?1 , n為奇數(shù) ,?n?2Cn??1?1? , n為偶數(shù).?n?1?n , n為奇數(shù) ,?n?1Dn??n? , n為偶數(shù).?1?n

[ C ] 例8.設(shè)

x?1lim(?ax?b)?1x??x?1則有(A)(B)2，(C)a??1b?0a?1b??1a?1b?0，，...-----高等數(shù)學(xué)教案-----(D)a?1b?1，.[ C ] 例9.設(shè)

2x?1lim(?ax?b)?02x??x?1則有(A)(B)3，(C)(D)a?1b?0a??2b?1a??2b?0a?2b?1，.，，...[ C ] 例10.已知

求x?ax?blim?5x?11?xab，的值.2，解: 一方面，lim(x?ax?b)x?122

x?ax?b???lim?(1?x)x?1???1?x?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

?5?0?0.另一方面，lim(x?ax?b)?1?a?bx?1所以，即

.故

2.1?a?b?0b??a?12x?ax?blimx?11?x2x?ax?a?1?limx?11?x(x?1)(x?1)?a(x?1)?limx?11?x?lim[?(x?1)?a]x?1

從而 6.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則: 設(shè)函數(shù)??2?a?2?a?5a??7b?6y?f[g(x)].，得，.是由函數(shù)

-----高等數(shù)學(xué)教案-----u?g(x)y?f(u)y?f[g(x)]x0limg(x)?u0limf(u)?Ax?xu?u與

復(fù)

合在點，而成，的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在00?0?0x?U(x0 , ?0)g(x)?u0，當(dāng)

時，有則

?，limf[g(x)]?limf(u)?Ax?x0u?u0 例如..limln(x?1)u?x?1 limlnux?2u?9§1.6 極限存在準則 兩個重要極限 1.準則I 如果數(shù)列

① ②?ln9?xn??yn??zn?yn?xn?zn(n?1 , 2 , ?)limyn?alimzn?an??n??.、及

滿足:

，，那么limxn?an??.準則I' 如果

-----高等數(shù)學(xué)教案-----① ②g(x)?f(x)?h(x)limg(x)?Alimh(x)?A，，那么limf(x)?A.P564②.解: n(1n?n????12n2?n?)??n(11n2???n2)，n2n2?n??原式

?1，而lim2，所以

n??n2n?n??1lim11n??n?n2?????n2?n???1.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

原

式 2.重要極限I: 例1.例2.例3.sinxlim?1x?0xsin2xsin2xlim?2limx?0x?0x2x?2?1?2tanxsinx1lim?lim(?)x?0x?0xxcosxsinx1?lim?limx?0xx?0cosx?12x2sin1?cosx2lim?lim22x?0x?0xx...-----高等數(shù)學(xué)教案-----例4.xsin12?lim2x?0(x)222?sinx?12???lim2x?0?x??2?1?22sin(x?1)limx?1x?12(x?1)sin(x?1)?lim2x?1x?12sin(x?1)?lim(x?1)?lim2x?1x?1x?12

.-----高等數(shù)學(xué)教案-----?2例5.求極限.解: sinmxmnlimx??sinnxsinmxlimx??sinnx(，為非零整數(shù)).sin(m??my)x???y limy?0sin(n??ny)m?1

(?1)sin(my)?limn?1y?0(?1)sin(ny)sin(my)m?1(?1)m?my?limy?0n?1sin(ny)(?1)n?nym?nm?(?1)n.3.單調(diào)數(shù)列:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----①.如果數(shù)列則稱數(shù)列②.如果數(shù)列x1?x2?x3???xn?xn?1???xn??xn?x1?x2?x3???xn?xn?1??，單調(diào)增加.滿足條件: ?xn?滿足條件:，則稱數(shù)列?xn?單調(diào)減少.4.準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例6.利用極限存在準則證明數(shù)列

2，22.，證: 記數(shù)列的通項為 ①有界性: 222xnxn?1?2xn…的極限存在并求此極限.，則時，.當(dāng) 假設(shè)當(dāng)所以對任意的n?1x1?2?2n?kxk?2n?k?1xk?1?2xk?2?2?2nxn?2xn?0{xn}時，當(dāng)

時，有，是顯然的，故數(shù)列

有界.②單調(diào)性:

-----高等數(shù)學(xué)教案-----xn?1?2xn?xn?xn?xn，所以數(shù)列{xn}單調(diào)增加.由①②可知數(shù)列{xn}的極限存在.設(shè)此極限為

a，則

limxn?1?lim2xn，n??n?? a?2a，得a?2.4.重要極限II: limx??(1?1xx)?elim(1?z)1z?e.z?0例7.limx??(1?1x)x?limx???11?(?1?xx)?

-----高等數(shù)學(xué)教案-----，例8.t??x limt??t1(1?)t1?e.例9.1?1?x?xx?1lim?limx??x?1x???1?1??x1?lim?xxx??111?1?xx1?2ecsc2xlim(cosx)???????x

????

.x?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----?lim(cosx)x?021csc2x2

?2?lim[1?(?sinx)]?x?0?2?1sin2x????12

?? t??sinx lim(1?t)??t?0????e例10.1?12t

?12.x?0lim(1?x)?x?01x

???lim(1?x)(1?x)?1xx?0x?01x

1x ?????lim1?x?lim1?x??

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

1???lim?lim1?x1xx?0??1?x?? 1xx?0??1e?e

?1.§1.7 無窮小的比較

1.無窮小的比較: 設(shè)?、?都是無窮小，且

??0.①如果lim??0，就說

?是比

?高階的無窮小，???(??).②如果lim????，就說

?是比?低階的無窮小.③如果lim???c?0，就說

?與

?是同階無窮小.-----高等數(shù)學(xué)教案-----

記作

?limk?c?0??k??lim?1????~?P59 1 ④如果，就說

是關(guān)于的 ⑤如果，就說

與..解: 由于

階無窮小.是等價無窮小，記作

x?xx?xlim?lim?02x?02x?xx?02?x，232所以 x?x2x?xP592321?xlim?lim(1?x?x)?3x?11?xx?1是比

高階無窮小..解: 由于 232，所以1?x1?x與3是同階無窮小.由于

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

1(1?x2)12lim?lim(1?x)?x?11?x2x?1，所以2.3.幾組等價無窮小量: 當(dāng)1(1?x2)1?x2???????(?)x?0x~sinx~tanx~arcsinx與

是等價無窮小.與是等價無窮的充分必要條件為

.時，~arctanx；

x~ln(1?x)~e?1 ；

x；

121?cosx~x2xa?1~xlna a(1?x)?1~ax(a?0)；

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

.4.等價無窮小量代換: 若???????~????????~??limlim?lim?????、、、都是無窮小量，且，存在，則，.例1.求limtanx?sinxx?0sin3x.x?022解: 由于當(dāng)

時，x~sinx?cosx~122x，所以

-----高等數(shù)學(xué)教案-----，1limtanx?sinxx?0sin3x?lim1?cosx x?0cosxsin2x12?lim2x

x?0cos21x?x?lim2

x?0?1cosx.例2.求lim(21?arcsinx)3?1x?0etanx?1.解: 由

于

當(dāng)

x?0

-----高等數(shù)學(xué)教案-----

時，(1?arcsinx)3?1~3arcsinxarcsintanxx~x，etanx?1~tanx 所以

lim(~1x? arcsinx)3?1x?0etanx?lim3arcsin?x1 x?0tanx?lim3x

x?0?3x.§1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 1.引入記號: 對于函數(shù)y?f(x)，當(dāng)

x?x時，令

?x?x?x0?y?f(x)?0f(x

則 x?x0)，?0??x?yf(x0??x)?f(x0)，-----高等數(shù)學(xué)教案-----，，