第一篇：1.5分段函數(shù)與映射教案

1.5分段函數(shù)與映射教案

? ? ? ? ? ? ?

一、知識(shí)與技能：

通過實(shí)例，讓學(xué)生總結(jié)、體會(huì)分段函數(shù)的概念并了解分段函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)踐的意識(shí)或觀念，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。經(jīng)歷映射概念的提出過程，體會(huì)由特殊到一般的思維方法，掌握映射的概念，會(huì)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是映射。

體會(huì)用映射刻畫函數(shù)的方法，理解函數(shù)是一種特殊的映射。

二、過程與方法：

自主學(xué)習(xí)，了解作圖的基本要求。

探究與活動(dòng)，明白作圖是由點(diǎn)到線，由局部到全體的運(yùn)動(dòng)變化過程。會(huì)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射。

重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基礎(chǔ)技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造性地解決問題；通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和邏輯思維能力。

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)辯證地看待事物的觀念和數(shù)形結(jié)合的思想。

使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物間是有聯(lián)系的，對(duì)應(yīng)、映射是一種聯(lián)系方式。

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔的意志，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。? ? ?

四、重點(diǎn)：分段函數(shù)及其表示，映射概念的理解。

五、難點(diǎn)：分段函數(shù)解析式的建立及圖象的描繪，用映射來定義函數(shù)。

六、分段函數(shù)的定義：對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。

注意：

? 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，處理分段函數(shù)問題時(shí)，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪個(gè)區(qū)間段，從而選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則。

? 定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域是分段函數(shù)值域的并集。? 求分段函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)函數(shù)自變量的值選擇相應(yīng)的解析式求解。

? 作分段函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)分別分段作出其圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，用虛線作出其圖象，再用實(shí)線保留定義域內(nèi)的一段圖象即可。

七、例6：思考：

? 自變量的范圍是怎樣得到的？

? 自變量的范圍為什么分成了四個(gè)區(qū)間？區(qū)間端點(diǎn)是怎樣確定的？ ? 每段上的函數(shù)解析式是怎樣求出的？ ? 畫圖象要注意什么？

八、函數(shù)是“兩個(gè)非空數(shù)集間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系?！比绻麑?shù)集擴(kuò)展到任意的集合，會(huì)得到什么結(jié)論呢？什么是映射？

九、映射的定義：

十、設(shè)A,B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x。在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f:A?B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。

象與原象：

y是x在映射f作用下的象，記作f(x),x稱做y的原象。

其中A叫做映射f的定義域，由所有象f(x)構(gòu)成的集合叫做映射f的值域，通常記作f(A).十一、映射要注意什么？

? 有三個(gè)要素：兩個(gè)集合，一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，三者缺一不可。? A中每個(gè)元素在B中都有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)。? 對(duì)應(yīng)可以是“一對(duì)一，多對(duì)一，”但不能是“一對(duì)多”。

十二、練習(xí)：判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系哪些是從集合A到集合B的映射哪些不是，為什么？

1．A?B?N*,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:x?y?x?3

x?0 x?0?1,y?0,1?,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:x?2．A?R,B????0,3．A?B?R,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:x?y??x x4．A?Z,B?Q,對(duì)應(yīng)關(guān)系f:x?y?5．

十三：作業(yè)：課本第23頁：第3題。第24頁第8題。

A??0,1,2,9?,B??0,1,4,9,64?對(duì)應(yīng)關(guān)系f:a?b??a?1?2

第二篇：分段函數(shù)（范文模版）

RD輔導(dǎo)

Feel good Feel dream Feel hope 心存美好 心存夢想 心存希望

主題一 函數(shù)

分段函數(shù)專篇

在新課標(biāo)中，對(duì)分段函數(shù)的要求有了進(jìn)一步的提高，在近幾年的高考試題中，考察分段函數(shù)的題目頻頻出現(xiàn)，分段函數(shù)已經(jīng)成為高考的必考內(nèi)容。

一.分段函數(shù)的定義

在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。

例：1.已知函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間?0,2?，當(dāng)x??0,1?時(shí)，對(duì)應(yīng)法則為y?x，當(dāng)x??1,2]時(shí)，對(duì)應(yīng)法則為y?2?x，試用解析式法與圖像法分別表示這個(gè)函數(shù)。

2.寫出下列函數(shù)的解析表達(dá)式，并作出函數(shù)的圖像：

（1）設(shè)函數(shù)y?f(x)，當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?0；當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?

2（2）設(shè)函數(shù)y?f(x)，當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?x?1；當(dāng)?1?x?1時(shí)，f(x)?0；當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?x?

1-1RD輔導(dǎo)

Feel good Feel dream Feel hope 心存美好 心存夢想 心存希望

三、分段函數(shù)的應(yīng)用

例：1.在某地投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg?0?x?100?的信應(yīng)付多少分郵資（單位：分）？寫出函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的值域。

2.某市的空調(diào)公共汽車的票價(jià)制定的規(guī)則是：

（1）乘坐5km以內(nèi)，票價(jià)2元；

（2）乘坐5km以上，每增加5km，票價(jià)增加1元（不足5km的按5km計(jì)算）。

已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站之間相距約1km，如果在某條路線上（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）設(shè)21個(gè)汽車站，請根據(jù)題意寫出這條路線的票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并作出函數(shù)的圖像。

3.如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)（起點(diǎn)）向A點(diǎn)（終點(diǎn)）移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，?ABP的面積為y?f(x)。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式 D

C（2）作出函數(shù)的圖像

5）y??5?x3）y?x?1

（（RD輔導(dǎo)

Feel good Feel dream Feel hope 心存美好 心存夢想 心存希望

2.把下列函數(shù)分區(qū)間表達(dá)，并作出函數(shù)的圖像

（1）y?x?1?x?（2）y?2x?1?3x

??x,?1?x?0(3)f(x)???x2,0?x?1

??x,1?x?2

五、分段函數(shù)題型分類解析

1、求分段函數(shù)的函數(shù)值

?2,x??2例1：已知函數(shù)

f(x)???0,?2?x?2 ???2,x?2f(?3),f(2),f(?1),f(1),f(100)。）RD輔導(dǎo)

Feel good Feel dream Feel hope 心存美好 心存夢想 心存希望

例2：設(shè)???x???，求函數(shù)y?2x?1?3x的最大值。

例3：解不等式2x?1?x?2。

4、解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式

例1：已知f(x)???x?1,x?0?，則不等式x?(x?1)f(x?1)?1的解集是（?x?1,x?0A、{x|?1?x?2?1}

B、{x|x?1}

C、{x|x?2?1}

D、{x|?2?1?x?2?1}

例2：設(shè)函數(shù)f(x)???21?x,x?11?log，則滿足f(x)?2的x的取值范圍是（?2x,x?1A、[?1,2]

B、[0,2]

C、[1,??)

D、[0,??)））RD輔導(dǎo)

Feel good Feel dream Feel hope 心存美好 心存夢想 心存希望

第三篇：映射與函數(shù)的概念

教案一

課題：3.1映射與函數(shù)：

一、映射與函數(shù)的概念.教學(xué)目標(biāo)：1.了解映射的概念.如果給出兩個(gè)集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能判斷它是不是映射關(guān)系.2.理解以映射為基礎(chǔ)的函數(shù)概念，加深對(duì)初中函數(shù)概念的理解和溝通.理解和掌握函數(shù)符號(hào)的意義和簡單應(yīng)用.3.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、識(shí)圖能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力、運(yùn)算能力.4.學(xué)會(huì)分析綜合、歸納演繹，用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題.滲透符號(hào)化思想和聯(lián)系的觀點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)函數(shù)概念的理解.教學(xué)方法：講授法.教學(xué)手段：三角板、小黑板、投影儀、膠片.課時(shí)安排：1課時(shí).課堂類型：新授課.教學(xué)過程： 課件

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

1.復(fù)習(xí)提問：初中所學(xué)的函數(shù)的概念是什么？(學(xué)生口答這一問題.)

2.導(dǎo)入新課：初中所學(xué)函數(shù)的概念可看成是數(shù)集到數(shù)集的一種對(duì)應(yīng)，有一定的局限性.其實(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)研究中有很多非數(shù)集之間的對(duì)應(yīng).這節(jié)課我們將繼續(xù)研究函數(shù)的概念，今天我們學(xué)習(xí)第三章3.1節(jié)映射與函數(shù).(教師口述這些導(dǎo)入語，并板書課題，導(dǎo)入新課.)

二、講授新課

1.實(shí)例分析

例1：(出示小黑板)設(shè)表示東方職業(yè)高級(jí)中學(xué)全體同學(xué)構(gòu)成的集合，則對(duì)中任一元素(某個(gè)學(xué)生)，通過測量身高，在實(shí)數(shù)集中必有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)和對(duì)應(yīng).解：(教師口述)因?yàn)橹械拿總€(gè)同學(xué)都有自己確定的身高，身高是一個(gè)確定的正實(shí)

中任一元素對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)正數(shù)，同一個(gè)同學(xué)在同一次測量中只可能有一個(gè)身高，所以對(duì)實(shí)數(shù).這是典型的人與數(shù)的對(duì)應(yīng).(啟發(fā)學(xué)生思考、回答，教師板書.)

例2：(出示小黑板)對(duì)任一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)，在直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)唯一一點(diǎn)(，).解：(教師口述畫圖說明)任一有序?qū)崝?shù)對(duì)(，第3.1節(jié)例2.如圖，任一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(，點(diǎn)(，).如?。?，)與點(diǎn)(，)對(duì)應(yīng) ,演示課件：)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)唯一一

(1，1).＝1，有序?qū)崝?shù)時(shí)(1，1)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中唯一一點(diǎn)這是典型的有序?qū)崝?shù)對(duì)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng).(啟發(fā)學(xué)生思考、回答，教師板書.)

例3：(出示小黑板)△△上有唯一對(duì)稱點(diǎn)

與△關(guān)于軸對(duì)稱.對(duì)△邊上任一點(diǎn)，在與之對(duì)應(yīng).解：如圖，對(duì)△→，→，→

邊上任一點(diǎn)，在△，→

上都有唯一對(duì)稱點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).如

.這是典型的點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng).(啟發(fā)學(xué)生思考、回答，教師板書.)

2.映射的定義(重點(diǎn)，紅字突出，通過對(duì)上述三個(gè)實(shí)例的分析，歸納出映射的定義，并板書.)

設(shè)、是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則

和對(duì)應(yīng)，則稱

＝

是集合，對(duì)到

內(nèi)任一個(gè)元素，在是在映射中總有一個(gè)，且僅有一個(gè)元素的作用下的象，記作的映射；稱，于是，稱作的原象，映射可記為：

：→，→，其中定等于.)叫做的定義域，由所有象所構(gòu)成的集合叫做的值域.(強(qiáng)調(diào)值域不一

3.函數(shù)的概念(重點(diǎn)，紅筆突出.板書，在映射的基礎(chǔ)上定義函數(shù)的概念，明確定義域、值域.的意義，強(qiáng)調(diào)允許函數(shù)的多種說法并存.)

映射概念是初中函數(shù)概念的推廣，通常就把映射叫做函數(shù).函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的實(shí)數(shù)全體構(gòu)成的集合，函數(shù)的值域是所有函數(shù)值的集合.的函數(shù)值.關(guān)于的函數(shù)

4.例題分析

經(jīng)常寫作函數(shù)

＝

或函數(shù)

． 的意義是函數(shù)

在 例4：(出示投影.重點(diǎn)例題.)在圖3-3中，圖(1)、(2)、(3)、用箭頭所標(biāo)明的元素與中元素的對(duì)應(yīng)法則，是不是映射？

中

解：(啟發(fā)學(xué)生思考、分析、老師總結(jié)、分析、板書.)在圖(1)中，通過開平方運(yùn)算，在中的一個(gè)元素，中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).這種對(duì)應(yīng)法則不符合上述映射的定義，所以這種對(duì)應(yīng)關(guān)系不是映射；

在圖(2)中，中任一個(gè)元素，通過加倍運(yùn)算，在中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以這種對(duì)應(yīng)法則是映射；

圖(3)中的平方運(yùn)算法則同樣是映射.因?yàn)橹忻恳粋€(gè)數(shù)通過平方運(yùn)算，在中都有唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng).圖(3)與(2)不同的是，(啟發(fā)學(xué)生分析比較，找出不同點(diǎn).)在圖(3)的中每兩個(gè)元素同時(shí)對(duì)應(yīng)

中的一個(gè)元素，而在中，10和16在中沒有原象.結(jié)論：(投影，啟發(fā)學(xué)生歸納出映射的實(shí)質(zhì))到的映射只允許多個(gè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)

相等，一般是的一個(gè)子集.元素，而不允許一個(gè)元素對(duì)應(yīng)多個(gè)元素.映射的值域不一定和

例5：(投影)有、、三名射手參加射擊比賽，他們在一輪射擊中(每人5發(fā)子彈)，射得的總環(huán)數(shù)分別為32，48，40.試問三名射手所構(gòu)成的集合與每人射擊可能得的總環(huán)數(shù)構(gòu)成的集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是不是映射？如果是映射，試寫出映射的定義域和值域.解：(啟發(fā)學(xué)生思考、分析講解，老師分析、總結(jié)，投影.)設(shè)三名射手所構(gòu)成的集合為，則＝{，}，每人5次射擊所得可能總環(huán)數(shù)構(gòu)成的集合是

＝{∈

|0≤≤50}.由于三名射手每在一輪射擊中，有且只有一個(gè)總環(huán)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以A到B的對(duì)應(yīng)法則是映射.定義域：；值域：{32，48，40}.三、課堂練習(xí)

1.(重點(diǎn)練習(xí)題.投影，啟發(fā)學(xué)生思考、分析、口答，老師定正.)在下列各題中，哪些對(duì)應(yīng)法則是映射？哪些不是？如果是映射，哪些映射的值域與的真子集？

相等，哪些映射的值域是

(1)＝{0，1，2，3}，＝{1，2，3，4}，對(duì)應(yīng)法則：“加1”；

(2)＝，＝，對(duì)應(yīng)法則：“求平方根”；

(3)＝，＝，對(duì)應(yīng)法則：“3倍”；

(4)＝，＝，對(duì)應(yīng)法則：“求絕對(duì)值”；

(5)＝，＝，對(duì)應(yīng)法則：“求倒數(shù)”.2.(重點(diǎn)練習(xí)題.投影，啟發(fā)學(xué)生思考、練習(xí)、出示解題過程.)已知函數(shù)∈{0，1，2，3，5}，求

(0)，(2)，(5)及的值域.＝2-3，解：(老師強(qiáng)調(diào)值域的求法.)(0)＝-3，(2)＝1，(5)＝7.又(1)＝-1，(3)＝3，∴的值域?yàn)閧-3，-1，1，3，7}.3.(投影，啟發(fā)學(xué)生分析、討論、舉例說明，老師定正.)已知集合是映射，試問中的元素在中是否都有象？

中的元素是否在到集合的對(duì)應(yīng)

中都有原象？為什么？

四、課堂小結(jié)(老師口述投影)

這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了映射與函數(shù)的概念及簡單應(yīng)用，要求同學(xué)們加深對(duì)映射與函數(shù)概念的理解，掌握函數(shù)的意義.五、布置作業(yè)(投影說明)

1.復(fù)習(xí)本節(jié)課文，并整理筆記.2.書面作業(yè)：第85頁習(xí)題3-1第1，2題

數(shù)學(xué)思想方法

函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想．待定系數(shù)法．

1.函數(shù)的思想

本章的中心議題是函數(shù).初中用自變量和因變量之間的單值對(duì)應(yīng)的定義初步探討了函數(shù)的概念、函數(shù)關(guān)系的表示方法.本章則用集合、映射的思想對(duì)函數(shù)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，研究了函數(shù)關(guān)系的建立、函數(shù)的表示方法和函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì).在教學(xué)中要充分重視映射（函數(shù)）思想方法的培養(yǎng)，在練習(xí)和作業(yè)中，訓(xùn)練學(xué)生用函數(shù)的思想觀察、分析有關(guān)問題.2.數(shù)形結(jié)合的思想

本章在分析函數(shù)性質(zhì)時(shí)，既觀察函數(shù)圖象，又重視對(duì)函數(shù)解析式的代數(shù)分析，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.在教學(xué)中，不能單打一的讓學(xué)生只通過觀察圖象來總結(jié)函數(shù)性質(zhì)，也不能不看圖只對(duì)解析式進(jìn)行代數(shù)分析就得出函數(shù)性質(zhì).前者只會(huì)使學(xué)生仍停留在初中的具體直觀思維階段，而后者則容易脫離學(xué)生原有認(rèn)識(shí)水平，造成學(xué)習(xí)困難.正確的做法是數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生順利進(jìn)行由具體直觀思維到抽象思維、理論思維的發(fā)展.3.待定系數(shù)法

本章專設(shè)一節(jié)待定系數(shù)法，應(yīng)該很好的利用這個(gè)優(yōu)勢，對(duì)學(xué)生進(jìn)行待定系數(shù)法的教學(xué).4.配方法

在研究二次函數(shù)時(shí)，配方法是重要方法.在今后也有大量應(yīng)用

第四篇：函數(shù)性質(zhì)培優(yōu)教案2(映射、反函數(shù))

函

數(shù)（2）

映 射

逆映射：如果f是A與B之間的一一對(duì)應(yīng)，那么可得B到A的一個(gè)映射g：任給b?B，規(guī)定g(b)?a，其中a是b在f下的原象，稱這個(gè)映射g是f的逆映射，并將g記為f —1.顯然有（f —1）—1= f，即如果f是A與B之間的一一對(duì)應(yīng)，則f —1是B與A之間的一一對(duì)應(yīng)，并且f —1的逆映射是f.典例分析

例1：設(shè)A={a,b,c},B={0,1},請寫出所有從A到B的映射

變式1：設(shè)集合A＝??1,0,1,2?集合B＝??1,0,1?。

（1）從集合A到集合B可以構(gòu)造多少不同的映射？（2）從B到A的映射有多少個(gè)？

（3）若B中每個(gè)元素都要有原象，這樣的映射有多少個(gè)？

例2：假設(shè)集合M ={0,-1,1} N ={-2,-1 ,0,1,2} 映射f：M→N 滿足條件“對(duì)任意的x屬于M ,x+f(x)是奇數(shù)”，這樣的映射有多少個(gè)？

變式2：設(shè)集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 從A到B的映射 f滿足條件 ：對(duì)每個(gè)X∈A 有 f（X）+X為偶數(shù) 那么這樣的映射f的個(gè)數(shù)是多少？

變式3：設(shè)集合X＝

??1,0,1?，Y＝?2,3,4,5,6?，映射f：

X?Y，使得對(duì)任意的x?X，都有x+f?x?+xf?x?是奇數(shù)，這樣的映射f有多少個(gè)？

例3：已知：集合M?{a,b,c}，N?{?1,0,1}，映射f:??M?N滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，那么映射f:??M?N的個(gè)數(shù)是多少？

例4：設(shè)集合A＝??1,0,1?，集合B＝??2,?1,0,1,2?。若A中的元

素x對(duì)應(yīng)B中元素f（x），且滿足f?x??f?x2?，則這樣的映射有

多少個(gè)？

變式4：知集合M＝

?x,y,z?，N＝??1,0,1?，由集合M到N的映射f滿足：f?x?＝f?y?+f?z?，那么這樣的映射有多少個(gè)？

反 函 數(shù)

1．反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=φ(y)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)，習(xí)慣表示為y=f-1(x)．注意：函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù)y=f-1(x)的值域和定義域，例如：f(x)=的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數(shù)f-1(x)=x2-1, x≥0，定義域?yàn)閇0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函數(shù)存在的條件

按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個(gè)元素x，都唯一地對(duì)應(yīng)著值域中的元素y，如果值域中的每一個(gè)元素y也有定義域中的唯一的一個(gè)元素x和它相對(duì)應(yīng)，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過對(duì)應(yīng)法則y=f(x)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)．

3．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系

函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱．若點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上．

4．反函數(shù)的幾個(gè)簡單命題

（1）一個(gè)奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù)．

（2）一個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增（減）函數(shù)． 典例分析

例1：求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]

(2)y=

（3）已知f(x)=(0≤x≤4)

例2：已知點(diǎn)（1，2）既在y=的圖象上，又在它反函數(shù)的圖象上，求a、b．

例3：函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象（）.A、關(guān)于直線y=x對(duì)稱

B、關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱

C、關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱

D、關(guān)于直線y=-x對(duì)稱

例4：設(shè)y=f(x)=, y=g(x)的圖象與 y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于y=x

對(duì)稱，求g(3)的值．

例5：函數(shù)y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．

例6．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).課后練習(xí)

1．定義在R上的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+a)+b的圖象與

y=f-1(x+a)+b的圖象間的關(guān)系是（）.A、關(guān)于直線y=x+a+b對(duì)稱

B、關(guān)于直線x=y+a+b對(duì)稱

C、關(guān)于直線y=x+a-b對(duì)稱

D、關(guān)于直線x=y+a-b對(duì)稱

2．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f(x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g(5)= 1999，那么 f(4)=（）

A、1999

B、2000

C、2001

D、2002

3．設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)函數(shù)式y(tǒng)=f(x)，第二個(gè)函數(shù)是它的反函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱。則第三個(gè)函數(shù)是（）A、y=-f（x）

B、y=-f（-x）

C、y=-f-1(x)

D、y=-f-1(-x)

4．若函數(shù)f(x)的圖象過（0，1）點(diǎn)，則f-1(x+4)的圖象必過點(diǎn)________．

5．已知f(x)?2x?3，則f?1(x?1)______________．

6．已知f(x)?2x?3，則f(x?1)的反函數(shù)為_____________．

7．已知y?f(x)反函數(shù)為y?f?1(x)，則f(x?3)的反函數(shù)

_____________．

8．已知y?f(x)的圖象過點(diǎn)（0,1），則函數(shù)y?f(4?x)的反函數(shù)圖象過點(diǎn)____________． 9．若函數(shù)圖象y?f?1(x)過點(diǎn)（-2,0），則函數(shù)圖象y?f(x?5)過點(diǎn)___________． 10．若函數(shù)f(x)?x,則f?11x?2(3)=______________． 參 考 答 案

映射

例

1、從A到B的映射共有2^3=8個(gè)：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）。

變式

1、分析 這個(gè)問題是要建立沒有限制條件的映射。它的關(guān)鍵是正確理解映射的概念。對(duì)于映射f：A?B，集合A中的任何一個(gè)元素在集合B中都有B中都有唯一的象(可理解為放球模型)，因此，建立從A到B的映射就是給A中的每個(gè)元素找到一個(gè)象，而A中的每個(gè)元素都有3種對(duì)應(yīng)方式，根據(jù)乘法原理，共有34個(gè)不同的映射。

1)變形思考 C234P3＝36個(gè) 2)43個(gè)

例

2、①當(dāng)x=-1時(shí)，x+f(x)=-1+f(-1)恒為奇數(shù)，相當(dāng)于題目中的限制條件“使對(duì)任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數(shù)” f(-1)=-2,0,2 ②當(dāng)x=0時(shí)，x+f(x)=f(0),根據(jù)題目中的限制條件“使對(duì)任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數(shù)”可知f(0)只能等于-1和1 ③當(dāng)x=1時(shí)，x+f(x)=1+f(1)恒為奇數(shù)

f(1)=-2,0,2 綜上①②③可知，只有第②種情況有限制，所以這樣的映射共有3×2×3=18個(gè)

變式

2、映射可以多對(duì)一，要讓f（X）+X＝偶數(shù)，當(dāng)X＝－1和1時(shí)，只能從B中取奇數(shù)，有3，5兩種可能，當(dāng)X＝0從B中取偶數(shù)有2 4 6三種，則一共有2×2×3＝12個(gè)

變式

3、分析 此題需仔細(xì)分析題意，根據(jù)映射的定義，要使X中的每個(gè)元素都有象，而集合X中只有三個(gè)元素，所以我們可以直接對(duì)元素進(jìn)行分類。

1)當(dāng)x＝－1時(shí)，x+f?x?+xf?x?＝－1，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。

2)當(dāng)x＝0時(shí)x+f?x?+xf?x?＝f?0?，要滿足題意，0的象可在3，5中任取一個(gè)，有2種可能。3)當(dāng)x＝1時(shí)，x+f?x?+xf?x?＝1+2f?1?，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。由乘法原理得：共有映射5?2?5＝50個(gè)。

例

3、思路提示：滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，則只可能

0?0?0?0?1?(?1)?0，即f(a)、f(b)、f(c)中可以全部為0，或0,1,?1各取一個(gè)．

解：∵f(a)?N,??f(b)?N,??f(c)?N，且f(a)?f(b)?f(c)?0 ∴有0?0?0?0?1?(?1)?0．

當(dāng)f(a)?f(b)?f(c)?0時(shí)，只有一個(gè)映射；

當(dāng)f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1，－1時(shí)，有3?2＝6個(gè)映射．因此所求的映射的個(gè)數(shù)為1＋6＝7．

評(píng)注：本題考查了映射的概念和分類討論的思想．

例

4、分析 這是一個(gè)要建立有限制條件的映射，所以關(guān)鍵是分析它有何限制條件。由條件f?x??f?x2?可知，f??1??f???1?2?＝

f?1?，也就是說，－1和1應(yīng)該和同一個(gè)元素對(duì)應(yīng)，又f?0??f?02?是一定

滿足的，所以這樣的映射可以有：5?5＝25個(gè)。變式:

4、7個(gè)。

反 函 數(shù)

例

1、解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2]，∴-2≤y≤1且(x+1)

2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-，∴ 所求反函數(shù)y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，則y=x2

≥0, x=-.若x>0, 則 y=-x-1<-1, x=-y-1.∴ 所求反函數(shù)y=.（3）∵0≤x≤4,∴0≤x2

≤16, 9≤25-x2≤25, ∴ 3≤y≤5，∵ y=, y2

=25-x2, ∴ x2

=25-y2

.∵ 0≤x≤4, ∴x=

(3≤y≤5)

將x, y互換，∴ f(x)的反函數(shù)f-1(x)=(3≤x≤5).評(píng)注：求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟是

（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）將x、y交換位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，它們聯(lián)合在一起構(gòu)成原函數(shù)的反函數(shù)．

例

2、解：∵點(diǎn)（1，2）在y=上，∴ 2=...........(1)

∵點(diǎn)（1，2）在y=的反函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)（2，1）在y=

上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

評(píng)議：本題目巧妙的運(yùn)用了：若點(diǎn)(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(diǎn)(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上．

例

3、解答：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x), y=f-1(x)的圖象向左平移一個(gè)單位所得，∵ y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，y=x向左平移一個(gè)單位而得y=x+1.故選B.例

4、解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-

1(x+1)的反函數(shù)，即它們關(guān)于y=x對(duì)稱．所以g(x)=f(x)-1，∴g(3)=f(3)-1=

-1=

．

例

5、分析：若先求出反函數(shù)f-

1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，這時(shí)由題設(shè)有

2-2=(1+)2-2.整理得四次方程，求解

有困難，但我們可利用y=f(x)與y=f-1

(x)的圖象關(guān)系求解．

首先畫出y=f(x)=(1+)2-2的圖象，如圖所示．因?yàn)榛榉春瘮?shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的，故立即可畫出y=f-1

(x)的圖象，由圖可見兩圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在y=x上，因此可由方程組：

解得 x=2或-2, 從而得方程f(x)=f-1

(x)的解集為{-2,2}． 例

6、解：設(shè)f-

1(5)=x0, 則 f(x0)=5,即 =5(x0≥3)

∴ x02+1=5x0-5, x0

2-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f-1

(5)=3.課后練習(xí)

1、解答:將y=x向左平移a個(gè)單位，向上平移b個(gè)單位得y=x+a+b，故選A.2、解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，∴y = g-1(x－2)反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g-

1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,應(yīng)選（C）

3、B

4、分析：∵f(x)的圖象過（0，1）點(diǎn)，∴ f-1(x)的圖象過（1，0）點(diǎn)，而f-1(x+4)-1的圖象是把y=f-

1(x)的圖象向左平移4個(gè)單位而得到的，故f(x+4)的圖象過(-3,0)點(diǎn)．

5、f?1(x?1)=12(x?4)

6、y?12(x?1)

7、y?f?1(x)?

38、（1,4）

9、（-5，-2）10、1

第五篇：分段函數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案

專題

二、分段函數(shù)

題型

一、求分段函數(shù)的函數(shù)值

??lgx，x＞0，例1（2011·陜西卷）設(shè)f(x)＝?x??10，x≤0，則f(f(－2))＝________.??－x，x≤0，例2.（2011·浙江卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝?2若f(a)＝4，則實(shí)數(shù)a＝()

??x，x>0.A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2

例3.(2009遼寧)已知函數(shù)f(x)滿足：x≥4,則f(x)＝()x；當(dāng)x＜4時(shí)f(x)＝f(x?1)，則

121311＝()

（A）（B）（C）（D）f(2?log3)2882412鞏固練習(xí)

?|x?1|?2,(|x|?1)?1（05年浙江）已知函數(shù)f(x)??1求f[f(1.2)],(|x|?1)??1?x2?3x?2,x?1,2（2010陜西文數(shù)）已知函數(shù)f（x）＝?2若f（f（0））＝4a，則實(shí)數(shù)a＝.x?ax,x?1,?

??2，x>0，3.（2011·福建卷）已知函數(shù)f(x)＝?

?x＋1，x≤0.?

x

若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于()A．－3 B．－1 C．1 D．3

??2x＋a，x<1，4.（2011·江蘇卷）已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝?

??－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．

5.(2009山東卷文)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ?則f（3）的值為

x?0?log2(4?x),，?f(x?1)?f(x?2),x?0

（）A.-1

B.-2

C.1

D.2 題型

二、分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用 例4.已知函數(shù)f(x)???(3a?1)x?4a,(x?1)是R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）

logx,(|x?1)?a13117317A.(0,1)B.(0,)C.[,)D.[,1)

?x2?4x,例5.（2009天津卷）已知函數(shù)f(x)??2?4x?x,的取值范圍是

x?0x?0

若f(2?a)?f(a),則實(shí)數(shù)a

()A(??,?1)?(2,??)B(?1,2)C(?2,1)D(??,?2)?(1,??)例6.(2010課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)=錯(cuò)誤！未找到引用源。若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，則abc的取值范圍是()

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24)例7.（2011天津）對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b???a,a?b?1,設(shè)函數(shù)

?b,a?b?1.f(x)?(2x?2?)x(?取值范圍是

y?f(x)?c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的。若函數(shù)1x)?,R

（）

A．(?1,1]?(2,??)

B．(?2,?1]?(1,2]

C．(??,?2)?(1,2]

D．[-2，-1] 鞏固練習(xí)

?log2x,x?0,?1（2010天津）若函數(shù)f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)?f(?a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

1??2（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）

?x2?4x?6,x?02（2009天津卷文）設(shè)函數(shù)f(x)??則不等式f(x)?f(1)的解集是（）

?x?6,x?0A.(?3,1)?(3,??)B.(?3,1)?(2,??)C.(?1,1)?(3,??)D.(??,?3)?(1,3)?23（2010江蘇卷）已知函數(shù)f(x)??x?1,x?0,則滿足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范圍是_____。

x?0?1,?1,x?0?1?x4（2009北京）若函數(shù)f(x)?? 則不等式|f(x)|?的解集為____________.3?(1)x,x?0??3?x2+2x-3,x?05（2010福建文）函數(shù)（的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()fx)=??-2+lnx,x>0A．3 B．2 C．1 D．0

26(2011新課標(biāo)）已知函數(shù)y?f(x)的周期為2，當(dāng)x?[?1,1]時(shí)，f(x)?x，那么函數(shù)y?f(x)的圖像與函數(shù)y?lgx的圖像的交點(diǎn)共有（）A.10個(gè) B.9個(gè) C.8個(gè) D.1個(gè)