第一篇：排列組合常見的解題策略

“排列組合常見的解題策略”課例

張玉華

一、教材分析

排列和組合是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分之一，它在解決實際問題以及科學(xué)技術(shù)的研究中都有廣泛的應(yīng)用；在排列組合問題中充分體現(xiàn)了分類、化歸的數(shù)學(xué)思想。它應(yīng)用性強，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復(fù)雜，問題交錯，易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯誤等特征。因而在這部分教學(xué)中，應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生的積極性，強調(diào)學(xué)生的主體作用，明確基本原理，注重思維過程的分析，讓學(xué)生在問題解決的過程中不斷反思探索規(guī)律，體驗成功，從而提升學(xué)生的思維能力。而且是概率的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

高三(1)班的同學(xué)基礎(chǔ)差，但勤奮好學(xué)，有一定的潛力。

三、教學(xué)目的

1、認(rèn)知目標(biāo)：

使學(xué)生進(jìn)一步理解并掌握處理排列組合問題的基本策略，進(jìn)一步體會分類與化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及分析與解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新意識。

2、技能目標(biāo)：

充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體作用，使學(xué)生的自主意識、自學(xué)能力、探索創(chuàng)新意識得到發(fā)展。

3、情感目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，樹立實事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難的進(jìn)取精神，積極探索，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

四、教法分析

根據(jù)排列組合的知識特點“條件隱晦，思維抽象”，在教學(xué)中采用發(fā)現(xiàn)法，堅持“思路教學(xué)”，深鉆教材，注意從實驗入手，模擬發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，歸納出一般的規(guī)律，優(yōu)化學(xué)生的思路，激活學(xué)生的思維。

五、教學(xué)過程分析

1、復(fù)習(xí)思考

（1）處理排列組合問題的常見解題策略(提問學(xué)生作答)問題

一、街道旁有編號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三只燈相滅，但不能同時熄滅相鄰兩只，在兩端的兩只路燈不熄滅的情況下，問不同的熄燈方法有多少種? ①通過復(fù)習(xí)提問總結(jié)解決排列組合問題的基本思路和方法。

②設(shè)置問題情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。通過引導(dǎo)，學(xué)生得出多種解法，從而優(yōu)化思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為構(gòu)造數(shù)學(xué)模型一做好鋪墊。

2、創(chuàng)設(shè)情景 練習(xí)（1）：四個相同蘋果分給三個人，沒人至少一個，有多少種分配方案?(提問，多解)，電腦演示。

（2）：把六個名額分給三個班級，沒班至少一個名額，有多少種分法?(提問多解)，電腦演示，介紹插板法。鞏固創(chuàng)設(shè)情景。

體現(xiàn)化歸思想，并將問題發(fā)散，從不同角度展示出問題的共性，給學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探索的空間，引入“插板”這一解決問題的策略。

3、提出猜想

你能編一道與本題意思相近的習(xí)題或?qū)⒈绢}推廣嗎? 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是課堂教學(xué)的探索者、發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者，讓他們的智慧火花充分閃亮。

4、探得索出分結(jié)析論 模型一：把n個相同的小球放入m個不同的盒子中，要求每盒至少有一個球，問有多少種不同的方法? 歸納出共性，推廣到一般，抽象出數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的思維得到提升。

5、問題解決進(jìn)一步推廣 練習(xí)：(分組討論)（1）求方程x+y+z=16的正整數(shù)解的組數(shù)。

（2）15個蘋果分給三個人，每人至少兩個，有多少種分法?（3）把二十個相同的小球放入編號為1、2、3、4、的四個盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)目不少于編號數(shù)，求不同的放法種數(shù)。

弄清問題本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為模型，并能應(yīng)用模型解決問題。

6、新情境設(shè)計

（1）第二小題條件改為每人至少三個，有多少種分法?（2）學(xué)生總結(jié)規(guī)律。

（3）如果條件改為每人分得蘋果個數(shù)不限，有多少種分法種數(shù)?（4）你能將本題推廣嗎?（5）改變條件提出新問題，讓學(xué)生有一個再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的過程。（6）培養(yǎng)學(xué)生自主探索創(chuàng)新意識。

7、探索分析

用電腦演示每人至少分得一個蘋果、二個蘋果和三個蘋果的情形，并由學(xué)生總結(jié)規(guī)律。體現(xiàn)從特殊到一般的思維方法，模擬發(fā)現(xiàn)，激勵探索，激活思路。

8、得出結(jié)論

模型

二、把n個相同的小球放入m個不同盒子(n≥m≥1)，每個盒子容量不限，有多少種不同方法? 比較差異，將模型一進(jìn)一步推廣，使學(xué)生在“好奇”中產(chǎn)生“內(nèi)驅(qū)力”，進(jìn)而產(chǎn)生不斷探索的愿望。

9、問題

（1）中日圍棋擂臺賽規(guī)定各國各出7名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊員比賽?，直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一個比賽過程，試求中方獲勝的所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)?（2）從7個學(xué)校選出12人組成足球聯(lián)隊，要求每校至少有一個人參加，問各校名額分配共有多少種不同情況? 將問題綜合，讓學(xué)生分享探索帶來的成果，感受問題解決的成功喜悅，同時也使他們進(jìn)一步掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，激發(fā)探索的欲望。

10、小結(jié)

小結(jié)：回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應(yīng)關(guān)系而化難為易的方法是數(shù)學(xué)中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了兩個模型，大家回去后希繼續(xù)對這個模型進(jìn)行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結(jié)成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。

六、課題后記

1、本著堅持以學(xué)生是探索發(fā)現(xiàn)的主體這一教學(xué)原則，教師的角色從知識的傳播者轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動學(xué)習(xí)，主動探索的引導(dǎo)者和促進(jìn)者：學(xué)生以被動接受知識轉(zhuǎn)到主動參與，在討論探索中獲取知識。學(xué)生在教師的適時點撥下，通過自己動腦，探索出兩個模型。由于學(xué)生親自品嘗了自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，更激起了他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。

2、體現(xiàn)循序漸進(jìn)原則。本課例的例題，練習(xí)題的安排體現(xiàn)了思維的階梯性，一步一個臺階，逐步引向深入。由于問題處在學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，因而為學(xué)生提供了自由想象的空間，最后指引學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，提出了新的探索目標(biāo)，從而滿足了不同層次學(xué)生的需要，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的思想。同時充分肯定學(xué)生的每一點進(jìn)步，使學(xué)生增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

3、通過現(xiàn)代化教育技術(shù)，以電腦動畫方式模擬思維的動態(tài)過程，將抽象內(nèi)容形象化，激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和抽象概括能力。學(xué)生的“再發(fā)現(xiàn)”不是放任自流，而是在教師精心設(shè)計教學(xué)過程，創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生自己從知識的發(fā)生，發(fā)展過程中去發(fā)現(xiàn)新知識，認(rèn)識新知識，從而積極主動地參與學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

4、層層建構(gòu)，分層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，符合學(xué)生的認(rèn)知特點使學(xué)生易于理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。解決重點，突破難點，通過分層遞進(jìn)，既可照顧后進(jìn)生，又可促進(jìn)優(yōu)等生，達(dá)到面向全體學(xué)生的目的，使不同的學(xué)生都能得到發(fā)展。

七、點評

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，通過精心設(shè)計問題，讓學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)從特殊到一般，歸納規(guī)律，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，分層遞進(jìn)不斷深化。課堂思維密度大，高潮迭起，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學(xué)習(xí)的典型范例。

第二篇：排列組合問題的解題策略的教學(xué)設(shè)計

《排列組合問題的解題策略》教學(xué)設(shè)計

河北圍場一中 王嘉偉

一、整體設(shè)計思路、指導(dǎo)依據(jù)：

《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出好的數(shù)學(xué)教育要從學(xué)習(xí)者的已有知識和實際生活經(jīng)驗出發(fā)，提供給學(xué)生數(shù)學(xué)實踐和交流的機會?！睌?shù)學(xué)是解決生活中一些實際問題的工具，同時還開發(fā)智力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。面對實際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略，是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要體現(xiàn)。為學(xué)生后面學(xué)習(xí)排列組合問題打下基礎(chǔ)。

二、教學(xué)背景分析： “排列組合問題的解題策略”是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）教科書選修2-3第一章計數(shù)原理中的內(nèi)容，排列和組合的思想方法不僅應(yīng)用廣泛，而且是學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的知識基礎(chǔ)，同時也是發(fā)展學(xué)生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。在高考中也是考點之一，本節(jié)重點在向?qū)W生滲透分類討論，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，并初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計奠定基礎(chǔ)。簡單的兩種計數(shù)原理和排列組合 基本掌握了，由于本班學(xué)生的基礎(chǔ)不是很好，數(shù)學(xué)水平參差不齊，所以采取小組合作學(xué)習(xí)的方式合理分配學(xué)生資源，借助集體的智慧來解決問題。本節(jié)課是在學(xué)生掌握簡單的排列組合問題的基礎(chǔ)上的，對排列組合問題的一個拓展。

三、教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：1.掌握加法原理和乘法原理，并能用這兩個計數(shù)原理解決簡單問題。2.掌握排列、組合問題應(yīng)用的幾種常見方法。能力目標(biāo)：掌握有限制條件的排列組合的應(yīng)用題的常用分析方法。情感目標(biāo)：體會解決排列組合問題中運用的數(shù)學(xué)思想。

四、教學(xué)重點、難點分析：

重點：有限制條件的排列組合問題的綜合應(yīng)用。難點：解決較復(fù)雜的排列組合問題的思想與解題策略

五、教學(xué)過程設(shè)計：

1．課程引入：平安夜的故事：

“蘋果”是平平安安的諧音，象征著平安、祥和之意，所以說平安夜吃蘋果能保一年平安。時間：13年12月24日晚。地點：XX職校女生公寓樓302室。

人物：寢室所有成員，包括英亞、竹萍、陳燕、劉佳、徐紅、周甜、龔佳、錢麗共八人。在這個特別的夜晚，劉佳提議，準(zhǔn)時在十二點吃蘋果，可大家發(fā)現(xiàn)沒有準(zhǔn)備蘋果。陳燕說：“我這里有些蘋果?！彼贸鲆淮O果。大家一看，只有大小不一的五個。竹萍說：“我柜子里面還有幾個梨?！敝衿寄贸鰜硪磺?，有四個形狀各異的梨。大家說：“沒辦法了，拿三個梨來湊吧?！?/p>

出招：從四個形狀各異的梨中拿出三個，有多少種方法？ 竹萍從中拿出了三個最好看的梨。

徐紅說：“我不喜歡吃梨，我只喜歡吃蘋果，所以我一定要吃蘋果?！?英亞說：“好吧。我來負(fù)責(zé)分派?！?/p>

出招：要保證徐紅一定吃到蘋果，有多少種分派方法？ 周甜說：“我也要吃蘋果！平安夜當(dāng)然吃蘋果?！?/p>

出招：，徐紅和周甜兩人都吃到蘋果，有多少種分派方法？

竹萍出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨分給八個人，每人一個，其中周甜吃蘋果，徐紅吃梨，有多少種分派方法？

有人說，你們倆只能有一個人吃蘋果。徐紅說：“那讓周甜吃蘋果吧，我吃梨好了。錢麗說：“這樣吧，我們把八個水果放在桌上排成一排，然后關(guān)燈，每人摸一個。” 出招：八個不同的水果排成一排，有多少種排方法？

劉佳說：“平安夜，第一個一定要放蘋果以示平安?！背稣校何鍌€大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，第一個一定要放蘋果，有多少種排法？

陳燕說：“第一個放不放蘋果不要緊，大家只要盡量把蘋果和梨分開就好，就是不要讓任何兩個梨挨在一起?！?出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨不能挨在一起，有多少種排方法？ 徐紅說：“這樣不好，分梨分離。我們寢室每個人都應(yīng)該團(tuán)結(jié)，心不能分離。所以，應(yīng)該把這些梨全放在一起。出招：五個大小不一的蘋果和三個形狀各異的梨排成一排，其中梨必須放在一起有多少種排方法？ 正在大家討論得正熱烈的時間，響起了熄燈鈴聲。

“唉啊，快?！庇喌吐暯械溃骸八X時間到了！快去床上！”

英亞連忙關(guān)掉燈。黑暗中誰低聲叫了一句：“快拿水果！”大家連忙從桌上各自摸起一個水果，快速鉆入被窩。寢室迅速安靜下來。

漸漸地，八個同學(xué)都在安靜中睡著了。當(dāng)然，最終她們沒有破壞寢室的紀(jì)律，沒有在半夜起來吃蘋果。故事新編:(課下思考）

對＜平安夜的故事＞進(jìn)行重新編排，要求在故事里穿插至少三個有關(guān)排列，組合，或基本計數(shù)原理的問題。

從上面的故事中找出我們所運用到的排列組合這一章所學(xué)的知識和方法。

設(shè)計意圖：用一則小故事引出排列組合常見的問題：相鄰，不相鄰，特殊元素，特殊位置安排的問題。

2、典例分析：（分組討論，學(xué)生講解，教師指導(dǎo)幫助總結(jié)）

（1）特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略：

例

1、由0,1,2,3,4,5，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)。師：若改成偶數(shù)呢，又該如何分析？

變式：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少種不同的種法？

設(shè)計意圖： 位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法，要求學(xué)生熟練掌握。（2）相鄰元素捆綁策略：

例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法。練習(xí)：5個男生3個女生排成一排，3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？ 設(shè)計意圖：要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.（3）不相鄰問題插空策略: 例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈，兩個相聲，三個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？

變式：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為________.師：元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端 拓展：請同學(xué)把上述兩個問題綜合在一起出道題，題中包含相鄰和不相鄰問題。

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生分析這兩類問題的解決辦法，并進(jìn)行延伸，通過小組討論解決問題，形成思路。（4）、定序問題：空位，插入；倍縮策略

例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定，共有多少種不同的排法？

練習(xí)：學(xué)考考試6門科目，歷史要排在化學(xué)前面考，有多少種不同的安排順序？ 師：定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插入模型處理

設(shè)計意圖：通過演示，板書讓學(xué)生理解占位插入模型的含義，從而解決排列組合中相似的問題。（5）重排問題求冪策略：

例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法？ 練習(xí)：

1、4人爭奪3個比賽項目的冠軍，問冠軍得主的可能性。

2、某8層大樓，一樓電梯上來8名乘客，他們到各自的一層下電 梯，下電梯的方法有（）種。師：一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為(6)排列組合混合問題先選后排策略：

種

例6.有5個不同小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一球，共有多少種不同的裝法。

練習(xí)：一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人，現(xiàn)在從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有________種。師：解決排列組合的混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.設(shè)計意圖：近幾年高考中出現(xiàn)頻率較多的一類問題，通過典型例題找出解決問題的思路，引導(dǎo)學(xué)生尋求解題辦法。

(7)平均分組問題除法策略：

例8.6本不同的書，按如下方式分配，各有多少種不同的分法？ 1.分成一堆一本，一堆2本，一堆3本。2.甲得一本，乙得2本，丙得3本。3.一人得一本，一人得2本，一人得3本。4.平均分成3堆，每堆2本.5.分給甲乙丙三人，每人選2本。

練習(xí)：1.將13個球隊分成3組，一組5個隊，其他2組4個隊，有多少分法？

2.某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為__________.師：平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。

設(shè)計意圖：學(xué)生對于這類問題容易把幾個問題混淆，通過解決這個例題讓學(xué)生理解平均分組問題的解決方案。

（8）合理分類與分步策略：

例8.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能夠唱歌，5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？

師：請同學(xué)們選擇3個分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論：

練習(xí)：從4名男生和3名女生中選4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有________.設(shè)計意圖：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

課堂檢測：(考題重現(xiàn)）

1、(2014年廣西）有6名男醫(yī)生，5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生，1名女醫(yī)生，組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有____種。

2、（2013大綱卷）6個人排成一行，其中甲乙兩人不相鄰的不同排法有____種。

3、（2013北京）將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀卷，全部分給4人，每人至少一張，如果分給同一人的2張參觀卷連號，那么不同的分法種數(shù)是_____種。

4、（2014北京）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_____種。

5、（2014四川）6個人從左到右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有_____種。

6、（2014重慶理）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，兩個小品和一個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是_____.小結(jié)：

回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應(yīng)關(guān)系而化難為易的方法是數(shù)學(xué)中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了幾個模型，大家回去后希繼續(xù)對這個模型進(jìn)行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結(jié)成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。

六、教學(xué)評價與反思：

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，通過精心設(shè)計排列組合中常見的問題，進(jìn)行分類，讓學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)方法，并能構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過小組合作和教師的點撥，使學(xué)生的思維拓展，本節(jié)課堂容量較大，通過學(xué)生提前做學(xué)案預(yù)習(xí)基本能順利完成，本節(jié)課設(shè)計較合理，環(huán)環(huán)相扣比較連貫，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學(xué)習(xí)的典型范例。

第三篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 排列組合的解題策略（本站推薦）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：排列組合的解題策略

讓學(xué)生成為“演員”——也談排列組合的解題策略

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學(xué)”難點。有相當(dāng)一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學(xué)生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學(xué)生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”.針對這一現(xiàn)象，筆者在日常教學(xué)過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認(rèn)為之所以學(xué)生“怕”學(xué)排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進(jìn)行一下轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生走進(jìn)題目當(dāng)中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識和主觀能動性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應(yīng)萬變。當(dāng)然，在具體的教學(xué)過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性，可操作性。

下面筆者將就教學(xué)過程中的兩個難點通過兩個特例作進(jìn)一步的說明：

1、占位子問題例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進(jìn)編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

① 仔細(xì)審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：讓學(xué)號為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準(zhǔn)備好放在講臺前），要求只有兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③ 解決問題：這時我在選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子（學(xué)生爭著上臺，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學(xué)生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學(xué)，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④ 學(xué)生小結(jié)：接著我讓學(xué)生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤ 老師總結(jié)：對于這一類占位子問題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù)，問這樣的五位數(shù)有幾個？

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專心 1

（本題我是先讓學(xué)生計算，有很多同學(xué)得出的結(jié)論是P ×P）

① 仔細(xì)審題：先由學(xué)生審題，明確組成五位數(shù)是一個排列問題，但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換。

② 轉(zhuǎn)換題目：在學(xué)生充分審題后，我讓學(xué)生自己對題目進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，有一位同學(xué)A將題目轉(zhuǎn)換如下：從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學(xué)分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)競賽，問有多少種不同的選法？

③ 解決問題：接著我就讓同學(xué)A來提出選人的方案同學(xué)A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P ×P 種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（P ×P）×（P ×P）（種）。（這時同學(xué)B表示反對）

同學(xué)B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P ×P.（同學(xué)們都表示同意，但是同學(xué)C說太蘩）

同學(xué)C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學(xué)科中排列，他列出的計算式是C ×C ×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C ×C ×P（種）。

④ 老師總結(jié)：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進(jìn)行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學(xué)效果比較明顯），進(jìn)一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在互相討論的過程中學(xué)會自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題。

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專心 2

第四篇：龔前祥 排列組合解題探究

排列組合解題探究

秭歸二中

龔前祥

排列組合歷來是高中學(xué)生認(rèn)為難學(xué)的內(nèi)容，原因之一是由于它們研究的對象不具體，而且結(jié)果不便于檢驗.而排列組合應(yīng)用廣泛.如抽獎、比賽場次、任務(wù)安排、物品分配等都涉及到排列組合.很多涉及到排列組合的問題，只要加強類比分析和歸納，仍然有規(guī)律可循，收到多題一法，一法多用的效果.現(xiàn)就排列組合問題的求解策略做一下探究.一、排列組合應(yīng)用題解法

解排列組合應(yīng)用題，不能單靠現(xiàn)成的公式，更不能死套公式，首先需要認(rèn)真審題，弄明確題中每一個字和每一句話的確切含義，弄明確題中所要做的“事情”是什么，以及怎樣的結(jié)果才算完成了這樣事情，然后緊緊抓住是排列問題還是組合問題，是乘法原理還是加法原理的問題進(jìn)行分析，這樣不僅有助于尋找正確答案的解題途徑，而且還能培養(yǎng)我們細(xì)致深入思考問題的習(xí)慣和分析問題與解決問題的能力.例1 把4個男同學(xué)和4個女同學(xué)平均分成4組，到4輛公共汽車上勞動，如果同樣的2人在不同的汽車上勞動作為不同情況看待，問有幾種不同的分法？如果每個小組必須是一個男同學(xué)和一個女同學(xué)，問有幾種不同的分發(fā)？如果男同學(xué)、女同學(xué)分別分組，又有幾種分法？

解：（1）題中要做的“事情”是把男女8個同學(xué)混在一起平均分成4組，分配到4個汽車上去，我們把這個分配的總?cè)蝿?wù)分成4個步驟來做，首先安排其中2人上第一

2輛車，有C82種分法，再由其余的6人中安排2人到第2輛車，有C6種分法，然后依次

22安排第3，4輛車分別有C4、C2種分法.由于各車分派人數(shù)是相關(guān)的，而且都必須安2222排好，由乘法原理，共有C8?C6?C4?C2?2520種分法.（2）要求每一個車上必須要有一男一女，我們不妨先把4個男同學(xué)分別派上4輛車上，這顯然是一個與順序有關(guān)的排列問題，有P44種不同的方法.再把4個女同學(xué)安排上這4輛車，這自然也是一個排列問題，有P44種不同的方法.男、女安排是相關(guān)的，而且每一輛車上的男女都必須搭配好，由乘法原理，共有：

44P4?P4?576種不同的分法.2（3）男女分別分組，4個男同學(xué)平均分成兩組，有C4?3種方法（這是一個與順序無關(guān)的問題，這與把4個男同學(xué)平均分成兩組分別上甲、乙兩汽車的分法不同，222后者是與順序有關(guān)的，其分法為C4（或C4，同樣，4個女同學(xué)平均分C2）種分法）2成2組，也有C4/2?3種分法，由乘法原理，分組的方法就有3?3?9種，對于這樣的每一種分法中的4個小組分別上4輛不同的車，又有P44種分法，再由乘法原理，所以共有9?P44?216種不同的分法.例2 分配5個人分別擔(dān)任5種不同的工作，如果甲不能擔(dān)任第一種工作，乙不能擔(dān)任第5種工作，有多少種分配法？

為了明確起見，我們可以用a,b,c,d,e表示這5個人，那么這個問題就是5個不同 1 元素a,b,c,d,e全取的排列，求a不排在首位，b不排在末位的排列數(shù).解法一：因a不能在首位，因此排在首位的只能是b或c,d,e，所以可將所求的排列數(shù)分為兩類：

一類是b在前位，此時余下的四個元素a,c,d,e不論怎么排都合要求，這種排列

1b有P44個，另一類是先想c,d,e三個元素之一排在首位，有P3種方法.次將排在中間133個位置上，又有P最后將其它3個元素排在其它3個位置上，有P3種方法，3種方法，3這3步是相關(guān)聯(lián)的，而且必須都完成，由乘法原理，這類排列共有3?3?P3個，再由43加法原理，所求的排列共有P4?3?3?P3?78個.故有78種合乎條件的排列法.（注）本題若不仔細(xì)分析，可能得出下面兩個錯誤的解法：一是錯誤的把題設(shè)條件理解為“a與b不同時排在首、末兩個位置上.”5個元素a,b,c,d,e的全排列有

3P55個，其中a排在首位，同時b排在末位的排列數(shù)有1?P3?1個，故所求的排列有53555個元素的全排列有P這PP5?P3?114種.第二種是計算的錯誤，5種，5種包括了a為首位的P44種，也包括了b排在末位的P44種，故所求的排列有：

544P5?P4?P4?72種.現(xiàn)把上述兩種錯誤解法加以改正，得到以下兩種正確的解法：

解法二： 前一解法的錯誤在于沒有把不合條件的排列都除去.因為在53bbP?P53?144種中，既包括a排在首位，但不能排在末位上，也包括排在末位，43但a不排在首位上，這兩類排列數(shù)均為P?P43，所以，正確的答案為：

5343P5?P3?2(P4?P3)?78種.解法三： 后一解法的錯誤在于忽略了在a排列首位的P44種排列中和b排在末位的P44種排列中有公共的部分，這公共的部分就是a排在首位，同時b排在末位的3排列，這種排列數(shù)P3被減去了兩次，應(yīng)補加一次才行，故正確的答案為： 5443P5?P4?P4?P3?78種.（注）解法一的特點是將所要求的排列先分解成若干類，然后分別計算各類的排列數(shù)，最后相加，即分解法.使用這種解法的要點是使適合所求條件的每一個排列必須屬于而且只能屬于所分的某一類；解法二與解法三的特點都是從所有的排列中排除不合要求的排法，即排除法.使用這種解法的要點是必須把不合要求的排法排除干凈，既不能排除多了，也不能排除少了.例3 從1,2,3,?,100中取兩個數(shù)相乘，其積能被3除盡的有幾對？

“據(jù)兩數(shù)之積能被3除盡的充分必要條件是至少有一個因數(shù)是3的倍數(shù)”.必須調(diào)查在1，2，3，…，100這100個整數(shù)中有多少個是3的倍數(shù).解法一：（分解法）

在1,2,3,?,100這100個數(shù)中3的倍數(shù)有33個，不是3的倍數(shù)的數(shù)有67個，兩數(shù)之積能被3整除的有而且只有下面的兩情況：

11（1）所取2個數(shù)中有一個是3的倍數(shù)，另一個不是3的倍數(shù)，故共有C33 對； C672（2）所取兩個數(shù)都是3的倍數(shù)，共有C33對.112由加法原理，能被3整除的數(shù)共有C33?C67?C33?2739對.解法二：（排除法）

22先由1,2,3,?,100這100個數(shù)中，任取其兩數(shù)之積有C100個，在這C100個整數(shù)中，222不能被3整除的有而且只有C67個必須排除，所以合乎條件的有C100?C67?2739對.二、“插空法”應(yīng)用系列

所謂“插空法”，是指先排定某些元，再用余下的元插空的排法，這是大家很熟悉的方法.根據(jù)其應(yīng)用的廣泛性，可以歸納出十個系列.（1）相鄰排列與插空

例

七人排一排，要求甲、乙兩人之間正好隔兩人的不同排法共有多少種？ 解：先在甲、乙兩人之間插入兩人排定，然后將這四人視作一個元，與其余三

24人一起排列，共有P22P5P4?960種.（2）不全相鄰排列與插空

例

由1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，1，2，3不全相鄰的五位數(shù)有多少個？

解：先排1，2，3成四個空，再用4，5去插空，分為4與5連在一起或單個兩種情況去插空.且不把4，5同時排在首末兩位.故所排的五位數(shù)共有3212P3[P2P2?(P4?2)]?84.本題的間接求解是：在1，2，3，4，5的全排列中去掉1，2，3全相鄰的那些全

533排列，所排的五位數(shù)個數(shù)是P5?P3P3?84.（3）全不相鄰與插空

例

要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法？

解：先排6個歌唱節(jié)目的不同排法有P66種；再用4個舞蹈節(jié)目插空，共有P66P74種排法.（4）部分有序排列與插空

E例

A,B,C,D,五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（可以不相鄰），那么不同的排法有多少種？

3解：先排定C,D,E三人有P然后由A,B分單個或兩個并一起插4個空，3種方法；21321共有C4種插空方法.由乘法原理，共有排法P?C43(C4?C4)?60種.（5）重復(fù)排列與插空

例

由1，2，3，4，5組成的含三個相同數(shù)字的五位數(shù)共有多少個？

3解：先取3個不重復(fù)的數(shù)字，取法有C5種，令某一個數(shù)字重復(fù)3次且排成一排1的排法是C3種；然后用不重復(fù)的兩個數(shù)字插4個空，分單個或兩個并一起插的方法31221有P42?P42P41種，由乘法原理，共有五位數(shù)C5C3(P4?P2P4)?600個.（6）圓排列與插空

例

四個大人和四個小孩圍坐一圓桌，大人之間，小孩之間各不相鄰的坐法有幾種？

4解：四個小孩的圓排列為3!?6種；大人插空方法有P4?24種.共有坐法 3 6?24?144種.（7）相間抽取與插空

例

在前100個自然數(shù)中抽取互不相鄰的20個數(shù)，抽取方法共有多少種？ 解：取80個相同的黑球排成一排，又取20個相同的白球去插黑球相間（含兩端）20的81個空，有C81種.對于每種插法，把這100個球從左到右賦值為1，2，3，……，20100，便得一個合條件的抽法.故共有C81種.（8）不定方程與插空

例

已知方程x?y?z?15，求自然數(shù)解的個數(shù).解：?x,y,z?N，且其和為15，構(gòu)造如下模型：把15個1排成一排成14個相間空（不含兩端），用兩個“0”插空，分15個1成3組，每組里分得1的個數(shù)依次記為x,y,z.每個分法唯一對應(yīng)著一個自然數(shù)解.2故自然數(shù)解的個數(shù)共有C14?91個.（13）有序分拆與插空

例

上一個有10級的臺階，每步可上1級或者2級，共有多少種上臺階的方法？ 解：這一實際問題就是把10寫成1或2之和，且加數(shù)（含順序）不全相同.求共有多少個分拆方法.以含有1的個數(shù)分類：

含10個1時，有1種分拆方法；

1含8個1時，則含一個2，用2去插9個空的插法有C9種，每個插法對應(yīng)一個分拆，此時有9種分法；

含6個1時，則有2個2，用2個2去插7個空且分單一或并一起插，得分法12C7?C7?28種；

123含4個1時，則有3個2，得分法C5?P?C55?35種；

1含2個1和4個2時，得分法C5?C52?15種； 含5個2時，有1種分法.則共有1?9?28?35?15?1?89種.可見,只要我們抓住問題的本質(zhì),找準(zhǔn)突破口,解起題來就得心應(yīng)手了.

第五篇：集合常見解題思路

1、設(shè)集合M?{x|m?x?m?}，N?{x|n??x?n}，并且M N都是集合{x|0?x?1} 的子集,如果b-a叫做集合{x|a?x?b}的長度,那么集合M3413N長度的最小值是多少? 解：首先，M、N均是{x/0＜=x＜=1}的子集，則有m=>0,m+3/4=<1,n-1/3>=0,n＜=1.從而有0<=m<=1/4,1/3<=n<=1.假設(shè)m>=n-1/3,則有m+3/4>n.故M,N交集為{x/m＜=x＜=n},其長度為n-m.取m最大，n最小即可。n=1/3,m=1/4.長度為1/12

同理，設(shè)m<=n-1/3，此時無法比較m+3/4和n的大小。繼續(xù)假設(shè)m+3/4>n，M,N交集為{x/n-1/3＜=x＜=n},長度為1/3.再假設(shè)m+3/4

故最小為1/12