第一篇：中小學(xué)數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)中的抽屜原理

中小學(xué)數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)中的抽屜原理

基本介紹

抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。

抽屜原理-表述

抽屜原理的一種更一般的表述為：

“把多于kn+1個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜（k是正整數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少k+1個(gè)東西?！?/p>

利用上述原理容易證明：“任意7個(gè)整數(shù)中，至少有3個(gè)數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！币?yàn)槿我徽麛?shù)除以3時(shí)余數(shù)只有0、1、2三種可能，所以7個(gè)整數(shù)中至少有3個(gè)數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。

如果問題所討論的對(duì)象有無限多個(gè)，抽屜原理還有另一種表述：

“把無限多個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了無限多個(gè)東西?！?/p>

抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。

應(yīng)用抽屜原理解題

例1：同年出生的400人中至少有2個(gè)人的生日相同。

解：將一年中的365天視為365個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)物體，由抽屜原理1可以得知：至少有2人的生日相同.400/365=1…35,1+1=2 又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同。

“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。” “從數(shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同?！?/p>

例2： 幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同，試說明道理.解 ：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：（兔、兔），（兔、熊貓），（兔、長頸鹿），（熊貓、熊貓），（熊貓、長頸鹿），（長頸鹿、長頸鹿）。把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜，把7個(gè)小朋友看作物體，那么根據(jù)原理1，至少有兩個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里，也就是說，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同.上面數(shù)例論證的似乎都是“存在”、“總有”、“至少有”的問題，不錯(cuò)，這正是抽屜原則的主要

作用.（需要說明的是，運(yùn)用抽屜原則只是肯定了“存在”、“總有”、“至少有”，卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少.抽屜原理雖然簡單，但應(yīng)用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當(dāng)?shù)碾y度。下面我們來研究有關(guān)的一些問題。

制造抽屜是運(yùn)用原則的一大關(guān)鍵

例1 從2、4、6、…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：

此抽屜特點(diǎn)：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)可以在同一個(gè)抽屜中（符合上述特點(diǎn)）.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。

例2：從1、2、3、4、…、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12。

分析與解答在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：{20，8}，{19，7}，{18，6}，{17，5}，{16，4}，{15，3}，{14，2}，{13，1}。

另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù){9}，{10}，{11}，{12}，共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜）.只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到（取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）。

例3： 從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。分析與解答 根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原則制造抽屜.把這20個(gè)數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個(gè)抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：

{1，2，4，8，16}，{3，6，12}，{5，10，20}，{7，14}，{9，18}，{11}，{13}，{15}，{17}，{19}。

從這10個(gè)數(shù)組的20個(gè)數(shù)中任取11個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個(gè)數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)一定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

例4：某校校慶，來了n位校友，彼此認(rèn)識(shí)的握手問候.請(qǐng)你證明無論什么情況，在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。

分析與解答 共有n位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是0次，即這個(gè)人與其他校友都沒有握

過手；最多有n-1次，即這個(gè)人與每位到會(huì)校友都握了手.然而，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的不能少于1次.不管是前一種狀態(tài)0、1、2、…、n-2，還是后一種狀態(tài)1、2、3、…、n-1，握手次數(shù)都只有n-1種情況.把這n-1種情況看成n-1個(gè)抽屜，到會(huì)的n個(gè)校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，則這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多。

在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。

例5：15個(gè)網(wǎng)球分成數(shù)量不同的4堆，數(shù)量最多的一堆至少有多少個(gè)球？ 分析與解答 此題實(shí)際是求出15可分拆多少種4個(gè)互不相同的整數(shù)之和，而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6，所以最多一堆的球數(shù)可能是9、8、7、6，其中至少有6個(gè)。[1]

整除問題

把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一個(gè)類含有無窮多個(gè)數(shù)，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究與整除有關(guān)的問題時(shí)，常用剩余類作為抽屜.根據(jù)抽屜原理，可以證明：任意n+1個(gè)自然數(shù)中，總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n的倍數(shù)。(證明：n+1個(gè)自然數(shù)被n整除余數(shù)至少有兩個(gè)相等（抽屜原理），不妨記為m=a1*n+b n=a2*n+b，則m-n整除n)。

例1 證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。

分析與解答 在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差a-b是m的倍數(shù).根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，本題只需證明這8個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同.我們可以把所有自然數(shù)按被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類.也就是7個(gè)抽屜.任取8個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。

例2：對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，證明其中必有3個(gè)數(shù)的和能被3整除.證明∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0，1，2，不妨分別構(gòu)造為3個(gè)抽屜： [0]，[1]，[2] ①若這五個(gè)自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個(gè)抽屜中(即抽屜中分別為含有余數(shù)為

0,1,2的數(shù))，我們從這三個(gè)抽屜中各取1個(gè)(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.②若這5個(gè)余數(shù)分布在其中的兩個(gè)抽屜中，則其中必有一個(gè)抽屜至少包含有3個(gè)余數(shù)（抽屜原理），即一個(gè)抽屜包含1個(gè)余數(shù)，另一個(gè)包含4個(gè)，或者一個(gè)包含2個(gè)余數(shù)另一個(gè)抽屜包含3個(gè)。從余數(shù)多的那個(gè)抽屜里選出三個(gè)余數(shù)，其代數(shù)和或?yàn)?，或?yàn)?，或?yàn)?，均為3的倍數(shù)，故所對(duì)應(yīng)的3個(gè)自然數(shù)之和是3的倍數(shù).③若這5個(gè)余數(shù)分布在其中的一個(gè)抽屜中，很顯然，從此抽屜中任意取出三個(gè)余數(shù)，同情況②，余數(shù)之和可被3整除，故其對(duì)應(yīng)的3個(gè)自然數(shù)之和能被3整除.例2′：對(duì)于任意的11個(gè)整數(shù)，證明其中一定有6個(gè)數(shù)，它們的和能被6整除.證明：設(shè)這11個(gè)整數(shù)為：a1，a2，a3……a11 又6=2×3 ①先考慮被3整除的情形

由例2知，在11個(gè)任意整數(shù)中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨設(shè)a1+a2+a3=b1；

同理，剩下的8個(gè)任意整數(shù)中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.設(shè)a4+a5+a6=b2； 同理，其余的5個(gè)任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設(shè)：a7+a8+a9=b3 ②再考慮b1、b2、b3被2整除.依據(jù)抽屜原理，b1、b2、b3這三個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)是同奇或同偶，這兩個(gè)同奇（或同偶）的整數(shù)之和必為偶數(shù).不妨設(shè)2|b1+b2 則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11個(gè)整數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)的和是6的倍數(shù).例3： 任意給定7個(gè)不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個(gè)整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù).分析：注意到這些數(shù)除以10的余數(shù)即個(gè)位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個(gè)抽屜，標(biāo)以[0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個(gè)自然數(shù)，似不便運(yùn)用抽屜原則，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]，[9]四個(gè)抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).面積問題

例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過同一點(diǎn).證明：如圖，設(shè)直線EF將正方形分成兩個(gè)梯形，作中位線MN。由于這兩個(gè)梯形的高相等，故它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|:|NH|。于是點(diǎn)H有確定的位置（它在正方形一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線上，且|MH|:|NH|=2:3）.由幾何上的對(duì)稱性，這種點(diǎn)共有四個(gè)（即圖中的H、J、I、K）.已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、K這四點(diǎn)中的一點(diǎn).把H、J、I、K看成四個(gè)抽屜，九條直線當(dāng)成9個(gè)物體，即可得出必定有3條分割線經(jīng)過同一點(diǎn).應(yīng)該是 [(物體數(shù)-1)÷抽屜數(shù)]+1 染色問題

例1正方體各面上涂上紅色或藍(lán)色的油漆（每面只涂一種色），證明正方體一定有三個(gè)面顏色相同.證明：正方形有6個(gè)面 由最多[(m-1)÷n]+1 得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3 例2 有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

例3：假設(shè)在一個(gè)平面上有任意六個(gè)點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，每兩點(diǎn)用紅色或藍(lán)色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個(gè)由這些線構(gòu)成的三角形，使三角形的三邊同色？

解：首先可以從這六個(gè)點(diǎn)中任意選擇一點(diǎn)，然后把這一點(diǎn)到其他五點(diǎn)間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現(xiàn)在我們?cè)賳为?dú)來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設(shè)這三條線段（虛線）中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍(lán)色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點(diǎn)之間的所有線段中至少能找到一個(gè)同色三角形。

例3′（六人集會(huì)問題）證明在任意6個(gè)人的集會(huì)上，或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)?！?/p>

例3”：17個(gè)科學(xué)家中每個(gè)人與其余16個(gè)人通信，他們通信所討論的僅有三個(gè)問題，而任兩個(gè)科學(xué)家之間通信討論的是同一個(gè)問題。證明：至少有三個(gè)科學(xué)家通信時(shí)討論的是同一個(gè)問題。

解：不妨設(shè)A是某科學(xué)家，他與其余16位討論僅三個(gè)問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。設(shè)這6位科學(xué)家為B，C，D，E，F(xiàn)，G，討論的是甲問題。

若這6位中有兩位之間也討論甲問題，則結(jié)論成立。否則他們6位只討論乙、丙兩問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設(shè)這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。

若C，D，E中有兩人也討論乙問題，則結(jié)論也就成立了。否則，他們間只討論丙問題，這

樣結(jié)論也成立。

第二篇：[數(shù)學(xué)運(yùn)算]抽屜原理

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8326127 抽屜原理一

把4只蘋果放到3個(gè)抽屜里去，共有4種放法，不論如何放，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。

同樣，把5只蘋果放到4個(gè)抽屜里去，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。

……

更進(jìn)一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1只蘋果放到n個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。這個(gè)結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

【例1】一個(gè)小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個(gè)月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個(gè)月，任何一個(gè)人的生日，一定在其中的某一個(gè)月。如果把這12個(gè)月看成12個(gè)“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進(jìn)12個(gè)抽屜里，一定有一個(gè)抽屜里至少放2個(gè)蘋果，也就是說，至少有2名同學(xué)在同一個(gè)月過生日。

【例 2】任意4個(gè)自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個(gè)自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個(gè)自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個(gè)“抽屜”。我們把4個(gè)數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)數(shù)。換句話說，4個(gè)自然數(shù)分成3類，至少有兩個(gè)是同一類。既然是同一類，那么這兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個(gè)自然數(shù)，至少有2個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

想一想，例2中4改為7，3改為6，結(jié)論成立嗎？

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補(bǔ)進(jìn)2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補(bǔ)進(jìn)2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會(huì)配成3雙。

【例4】一個(gè)布袋中有35個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個(gè)，另外還有3個(gè)藍(lán)色球、2個(gè)綠色球，試問一次至少取出多少個(gè)球，才能保證取出的球中至少有4個(gè)是同一顏色的球？

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【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個(gè)球中，有3個(gè)是藍(lán)色球、2個(gè)綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個(gè)抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個(gè)，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個(gè)，即至少應(yīng)取出10個(gè)球，就可以保證取出的球至少有4個(gè)是同一抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應(yīng)取出10＋5=15個(gè)球，才能符合要求。

思考：把題中要求改為4個(gè)不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個(gè)”這樣的問題時(shí)，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

教練員提示語

抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，放2個(gè)或2個(gè)以上蘋果的抽屜一個(gè)也沒有（與“必有一個(gè)抽屜放2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果”相反），那么，每個(gè)抽屜最多只放1個(gè)蘋果，n個(gè)抽屜最多有n個(gè)蘋果，與“n+1個(gè)蘋果”的條件矛盾。

運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個(gè)“蘋果”進(jìn)行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個(gè)同學(xué)可按出生的月份不同分為12類，自然數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類等等

抽屜原理二

這里我們講抽屜原理的另一種情況。先看一個(gè)例子：如果將13只鴿子放進(jìn)6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個(gè)例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到（m＋1）件，即每個(gè)抽屜里的物品都不多于m件，這樣，n個(gè)抽屜中可放物品的總數(shù)就不會(huì)超過m×n件。這與多于m×n件物品的假設(shè)相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個(gè)抽屜中物品的件數(shù)不少于m＋1。

從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此時(shí)再放入1件物品，無論放入哪個(gè)抽屜，都至少有一個(gè)抽屜不少于（m＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當(dāng)m＝1時(shí)，抽屜原理2就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。即抽屜原理2是抽屜原理1的推廣。

例1某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會(huì)有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個(gè)抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應(yīng)用抽屜

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8326127 原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個(gè)抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會(huì)有一個(gè)小朋友得到4件或4件以上的玩具。

例2一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號(hào)碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？

分析與解：將1，2，3，4四種號(hào)碼看成4個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號(hào)碼相同的木塊。

例3六年級(jí)有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？

分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因?yàn)?00＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。

例4籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友拿的水果是相同的？

分析與解：首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種。兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”。

81÷10=8……1（個(gè)）。

根據(jù)抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個(gè)）小朋友拿的水果相同。

例5學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同？

分析與解：首先要弄清參加學(xué)習(xí)班有多少種不同情況。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個(gè)學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個(gè)學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。共有1＋3＋3＝7（種）情況。將這7種情況作為7個(gè)“抽屜”，根據(jù)抽屜原理2，要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同，要有學(xué)生

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7×（5-1）＋1＝29（名）。

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第三篇：抽屜原理在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

抽屜原理在初等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

摘要：抽屜原理也稱為鴿巢原理，它是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基本的原理.也是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理，抽屜原理的簡單形式可以描述為：“如果把n+1個(gè)球或者更多的球放進(jìn)n個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜至少有兩個(gè)球.”它的正確性十分明顯，很容易被并不具備多少數(shù)學(xué)知識(shí)的人所接受，如果將其靈活地運(yùn)用，則可得到一些意想不到的效果.運(yùn)用抽屜原理可以論證許多關(guān)于“存在”、“總有”、“至少有”的存在性問題。學(xué)習(xí)抽屜原理可以用來解決數(shù)學(xué)中的許多問題，也可以解決生活中的一些現(xiàn)象。如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評(píng)定等等，都不難看到抽屜原理的作用。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)有非常重要的作用.抽屜原理主要用于證明某些存在性問題及必然性題目，如幾何問題、涂色問題等.各種形式的抽屜原理在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常被采用，使用該原理的關(guān)鍵在于如何巧妙地構(gòu)造抽屜，即如何找出合乎問題條件的分類原則，抽屜構(gòu)造得好，可得出非常巧妙的結(jié)論.本文著重從抽屜的構(gòu)造方法闡述抽屜原理在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)（競(jìng)賽題）中的應(yīng)用,同時(shí)指出了它在應(yīng)用領(lǐng)域中的不足之處.關(guān)鍵詞：抽屜原理；初等數(shù)學(xué)；應(yīng)用

一、抽屜原理（鴿巢原理）

什么是抽屜原理？先舉個(gè)簡單的例子說明，就是將3個(gè)球放入2個(gè)籃子里，無論怎么放，必有一個(gè)籃子中至少要放入2個(gè)球，這就是抽屜原理.或者假定有五個(gè)鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，當(dāng)鴿子飛回巢中，那么一定至少有一個(gè)鴿籠里有兩只鴿子，這就是著名的鴿巢原理.除了這種比較普遍的形式外，抽屜原理還經(jīng)許多學(xué)者推廣出其他的形式.比如陳景林、閻滿富編著的中國鐵道出版社出版的《組合數(shù)學(xué)與圖論》一書中對(duì)抽屜原理給出了比較具體的定義，概括起來主要有下面幾種形式: 原理1 把多于n個(gè)的元素按任一確定的方式分成n個(gè)集合，則一定有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素.原理2 把m個(gè)元素任意放到n(m>n)個(gè)集合里，則至少有一個(gè)集合里至少有k個(gè)元素，其中

原理3 把無窮個(gè)元素按任一確定的方式分成有窮個(gè)集合，則至少有一個(gè)集合中仍含無窮個(gè)元素.盧開澄在《組合數(shù)學(xué)》（第三版）中將抽屜原理（書中稱為鴿巢原理）又進(jìn)行了推廣[2].鴿巢原理：設(shè)k和n都是任意正整數(shù)，若至少有kn+1只鴿子分配在n個(gè)鴿巢中，則至少存在一個(gè)鴿巢中有至少k+1只鴿子.二、抽屜的構(gòu)造途徑

在利用抽屜原理解題時(shí)，首先要明確哪些是“球”，哪些是“抽屜”，而這兩者通常不會(huì)現(xiàn)成存在于題目中，尤其是“抽屜”，往往需要我們用一些巧妙的方法去構(gòu)造。我們利用抽屜原理解題的關(guān)鍵,就在于怎樣設(shè)計(jì)“抽屜”.三、抽屜原理在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

初等數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)：只給出一些相關(guān)的條件，或者即使給出一些數(shù)值條件，也不能利用這些條件進(jìn)行計(jì)算、或代入求值、或列方程、或做圖、或證明等方法去解決，只能利用這些條件進(jìn)行推理、判斷，從而解決問題.討論存在性問題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一類常見問題。處理這類問題常用到抽屜原理。下面我們就列舉抽屜原理在初等數(shù)學(xué)(競(jìng)賽)中的應(yīng)用.例9 某次考試有5道選擇題，每題都有4個(gè)不同的答案供選擇，每人每題恰選1個(gè)答案.在2000份答卷中發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)n,使得任何n份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3題相同.n的最小可能值.(2000，中國數(shù)學(xué)奧林匹克)解：將每道題的4種答案分別記為1，2，3，4，每份試卷上的答案記為(g,h,i,j,k)，其中g(shù),h,i,j,k∈{1,2,3,4}，令{(1,h,i,j,k),(2,h,i,j,k),(3,h,i,j,k),(4,h,i,j,k)}，h,i,j,k=1，2，3，4，共得256個(gè)四元組.由于2000=256×7+208，故由抽屜原理知，有8份試卷上的答案屬于同一個(gè)四元組.取出這8份試卷后，余下的1992份試卷中仍有8份屬于同一個(gè)四元組，再取出這8份試卷，余下的1984份試卷中又有8份屬于同一個(gè)四元組.又取出這8份試卷.三次共取出24份試卷，在這24份試卷中，任何4份中總

有2份的答案屬于同一個(gè)四元組，不滿足題目的要求.所以，n下面證明n=25.令

≥25.}S={(g,h,i,j,k)|g+h+i+j+k≡0(mod4),g,h,i,j,k∈{1,2,3,4}.則S=256，且S中去掉6個(gè)元素，當(dāng)余下的250種答案中的每種答案都恰有8人選用時(shí)，共得到2000份答案，其中的25份答案中，總有4份不相同.由于它們都在S中，當(dāng)然滿足題目要求.這表明，n=25滿足題目要求.綜上可知，所求的n的最小可能值為25.先運(yùn)用抽屜原理給出n的下界，然后用構(gòu)造法給出例子.這是一道典型的運(yùn)用構(gòu)造法解題的好題目.在解題中合理構(gòu)造抽屜往往會(huì)收到意想不到的效果.例10 任給7個(gè)實(shí)數(shù)，證明必存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足0≤3

(a-b)<1+ab.ππ證明：設(shè)七個(gè)實(shí)數(shù)為a1,a2,a3,?,a7，作Qi=arctgai(i=1,　2,　?　,7),顯然Qi∈(-,)，22ππππππππππππ把(-,)等分成六個(gè)區(qū)間：(-,-)，(-,-)，(-,0)，(0,)，(,)，(,)，222336666332由抽屜原理，Q1,Q2,?,Q7必有兩個(gè)屬于同一區(qū)間，不妨設(shè)為Qi,Qj,而不論Qi,Qj屬于哪個(gè)小Qi-Qj<區(qū)間都有0≤ππ1(*)，不，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，0

a-bab,b=tgQj，則tg(Qi-Qj)=妨記a=tgQ,而由(?)知0≤0(Qi>Qj),1+ab>0, 從而有0≤3(a-b)<1+ab.例11 從1-100的自然數(shù)中，任意取出51個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。

分析：要解決該題，就得找到其關(guān)鍵，其實(shí)就在于“兩個(gè)數(shù)”，他們的關(guān)系是“其中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍”。我們要構(gòu)造“抽屜”，就要在每個(gè)抽屜中任取兩個(gè)數(shù)，并且有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的整數(shù)倍，而只有把公比是正整數(shù)的整個(gè)等比數(shù)列都放在同一個(gè)抽屜才行，這里用得到一個(gè)自然數(shù)分類的基本知識(shí)：任何一個(gè)正整數(shù)都可以表示成一個(gè)奇數(shù)與2的方冪的積，即若m∈N,K∈N，n∈N,則m=(2k-1)·2，并且這種表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×2，3=3×2°，?

+

+

n

證明：因?yàn)槿魏我粋€(gè)正整數(shù)都能表示成一個(gè)奇數(shù)乘2的方冪，并且這種表示方法是唯一的，所以我們可把1-100的正整數(shù)分成如下50個(gè)抽屜（因?yàn)?-100中共有50個(gè)奇數(shù)）：

（1）{1，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2，1×2}；

（2）{3，3×2，3×2，3×2，3×2，3×2}；

（3）{5，5×2，5×2，5×2，5×2}；

（4）{7，7×2，7×2，7×2}；

（5）{9，9×2，9×2，9×2}；

??

（25）{49，49×2}；

（26）{51}；

??

（50）{99}。

這樣，1-100的正整數(shù)就無重復(fù)，無遺漏地放進(jìn)這50個(gè)抽屜內(nèi)了。從這100個(gè)數(shù)中任取51個(gè)數(shù)，也即從這50個(gè)抽屜內(nèi)任取51個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原則，其中必定至少有兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè)抽屜，即屬于（1）-（25）號(hào)中的某一個(gè)抽屜，顯然，在這25個(gè)抽屜中的任何同一個(gè)抽屜內(nèi)的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。

說明：（1）從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1-2n的自然數(shù)中，任意取出n+1個(gè)數(shù)，則其中必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍。想一想，為什么？因?yàn)?-2n中共含1，3，?，2n-1這n個(gè)奇數(shù)，因此可以制造n個(gè)抽屜，而n+1＞n，由抽屜原則，結(jié)論就是必然的了。給n以具體值，就可以構(gòu)造出不同的題目。例2中的n取值是50，還可以編制相反的題目，如：“從前30個(gè)自然數(shù)中最少要（不看這些數(shù)而以任意方式地）取出幾個(gè)數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個(gè)數(shù)，其中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)？”

（2）如下兩個(gè)問題的結(jié)論都是否定的（n均為正整數(shù)）想一想，為什么？

①從2，3，4，?，2n+1中任取n+1個(gè)數(shù)，是否必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍？

②從1，2，3，?，2n+1中任取n+1個(gè)數(shù)，是否必有兩個(gè)數(shù)，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍？

你能舉出反例，證明上述兩個(gè)問題的結(jié)論都是否定的嗎？

（3）如果將（2）中兩個(gè)問題中任取的n+1個(gè)數(shù)增加1個(gè)，都改成任取n+2個(gè)數(shù)，則它們的結(jié)論是肯定的還是否定的？你能判斷證明嗎？

例12（第6屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克試題）17名科學(xué)家中每兩名科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們通信時(shí)，只討論三個(gè)題目，而且任意兩名科學(xué)家通信時(shí)只討論一個(gè)題目，證明：其中至少有三名

科學(xué)家，他們相互通信時(shí)討論的是同一個(gè)題目。

證明：視17個(gè)科學(xué)家為17個(gè)點(diǎn)，每兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線表示這兩個(gè)科學(xué)家在討論同一個(gè)問題，若討論第一個(gè)問題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連紅線，若討論第2個(gè)問題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條黃線，若討論第3個(gè)問題則在相應(yīng)兩點(diǎn)連條藍(lán)線。三名科學(xué)家研究同一個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為找到一個(gè)三邊同顏色的三角形。（本例同第十二講染色問題例4）

考慮科學(xué)家A，他要與另外的16位科學(xué)家每人通信討論一個(gè)問題，相應(yīng)于從A出發(fā)引出16條線段，將它們?nèi)境?種顏色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1條同色，不妨記為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同紅色，若Bi（i=1，2，?，6）之間有紅線，則出現(xiàn)紅色三角線，命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6之間的連線只染有黃藍(lán)兩色。

考慮從B1引出的5條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因?yàn)?=2×2+1，故必有3=2+1條線段同色，假設(shè)為黃色，并記它們?yōu)锽1B2，B1B3，B1B4。這時(shí)若B2，B3，B4之間有黃線，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，B3，B4，之間無黃線，則△B2，B3，B4，必為藍(lán)色三角形，命題仍然成立。

說明：（1）本題源于一個(gè)古典問題--世界上任意6個(gè)人中必有3人互相認(rèn)識(shí)，或互相不認(rèn)識(shí)。（美國普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）。

（2）將互相認(rèn)識(shí)用紅色表示，將互相不認(rèn)識(shí)用藍(lán)色表示，（1）將化為一個(gè)染色問題，成為一個(gè)圖論問題：空間六個(gè)點(diǎn)，任何三點(diǎn)不共線，四點(diǎn)不共面，每兩點(diǎn)之間連線都涂上紅色或藍(lán)色。求證：存在三點(diǎn)，它們所成的三角形三邊同色。

（3）問題（2）可以往兩個(gè)方向推廣：其一是顏色的種數(shù)，其二是點(diǎn)數(shù)。

本例便是方向一的進(jìn)展，其證明已知上述。如果繼續(xù)沿此方向前進(jìn)，可有下題：

在66個(gè)科學(xué)家中，每個(gè)科學(xué)家都和其他科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論四個(gè)題目，而任何兩個(gè)科學(xué)家之間僅僅討論一個(gè)題目。證明至少有三個(gè)科學(xué)家，他們互相之間討論同一個(gè)題目。

（4）回顧上面證明過程，對(duì)于17點(diǎn)染3色問題可歸結(jié)為6點(diǎn)染2色問題，又可歸結(jié)為3點(diǎn)染一色問題。反過來，我們可以繼續(xù)推廣。從以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的過程，易發(fā)現(xiàn)

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958?記為r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，?

我們可以得到遞推關(guān)系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4?這樣就可以構(gòu)造出327點(diǎn)染5色問題，1958點(diǎn)染6色問題，都必出現(xiàn)一個(gè)同色三角形。

參考文獻(xiàn)

[1]陳景林,閻滿富.組合數(shù)學(xué)與圖論.北京：中國鐵道出版社出版,2000.4-6 [2]盧開澄.組合數(shù)學(xué)（第3版）.北京清華大學(xué)出版社，2002.07

[2]曹汝成.組合數(shù)學(xué).廣州：華南理工大學(xué)出版社,2001.170-173 [3]忘向東,周士藩等.高等代數(shù)常用方法.山西：高校聯(lián)合出版社,1989.64-66 [4]劉否南.華夏文集.太原：高校聯(lián)合出版社,1995.88-90 [6]嚴(yán)示健.抽屜原則及其它的一些應(yīng)用.數(shù)學(xué)通報(bào),1998,4.10-11 [7]丁一鳴《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，1988年第02期 [8] 楊忠.《中學(xué)生數(shù)學(xué)》，2010年第08期

[9]石立葉，于娜，劉文涵.《抽屜原理及其應(yīng)用》，2009，4.11 [10]《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》，1987年第03期 [11]《中學(xué)生數(shù)學(xué)》，2005年第18期

第四篇：統(tǒng)計(jì)與概率教案

第1課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（1）

【教學(xué)內(nèi)容】 統(tǒng)計(jì)表。

【教學(xué)目標(biāo)】

使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的意義，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)表，掌握整理數(shù)據(jù)、編制統(tǒng)計(jì)表的方法，學(xué)會(huì)進(jìn)行簡單統(tǒng)計(jì)?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

讓學(xué)生系統(tǒng)掌握統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情景導(dǎo)入】 1.揭示課題

提問：在小學(xué)階段，我們學(xué)過哪些統(tǒng)計(jì)知識(shí)？為什么要做統(tǒng)計(jì)工作？ 2.引入課題

在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常需要對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、比較，這樣就需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，又經(jīng)常要用統(tǒng)

計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖，并且常常進(jìn)行平均數(shù)的計(jì)算。今天我們開始復(fù)習(xí)簡單的統(tǒng)計(jì)，這節(jié)課先復(fù)習(xí)如何設(shè)計(jì)調(diào)查表，并進(jìn)行調(diào)

查統(tǒng)計(jì)。

【整理歸納】

收集數(shù)據(jù)，制作統(tǒng)計(jì)表。

教師：我們班要和希望小學(xué)六（2）班建立“手拉手”班級(jí)，你想向“手拉手”的同學(xué)介紹哪些情況？ 學(xué)生可能回答：（1）身高、體重（2）姓名、性別（3）興趣愛好

為了清楚記錄你的情況，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)個(gè)人情況調(diào)查表。課件展示：

為了幫助和分析全班的數(shù)據(jù)，同學(xué)們又設(shè)計(jì)了一種統(tǒng)計(jì)表。六（2）班學(xué)生最喜歡的學(xué)科統(tǒng)計(jì)表

組織學(xué)生完善調(diào)查表，怎樣調(diào)查？怎樣記錄數(shù)據(jù)?調(diào)查中要注意什么問題？ 組織學(xué)生議一議，相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)，再集體評(píng)議。

組織學(xué)生在全班范圍內(nèi)以小組形式展開調(diào)查，先由每個(gè)小組整理數(shù)據(jù)，再由每個(gè)小組向全班匯報(bào)。填好統(tǒng)計(jì)表。【課堂作業(yè)】

教材第96頁例3?！菊n堂小結(jié)】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 【課后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第1課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（1）（1）統(tǒng)計(jì)表

（2）統(tǒng)計(jì)圖：折線統(tǒng)計(jì)圖 條形統(tǒng)計(jì)圖 扇形統(tǒng)計(jì)圖

第2課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（2）

【教學(xué)內(nèi)容】

統(tǒng)計(jì)與概率（2）。【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生初步掌握把原始數(shù)據(jù)分類整理的統(tǒng)計(jì)方法 2.滲透統(tǒng)計(jì)意識(shí)。【重點(diǎn)難點(diǎn)】

能根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，做出正確的判斷或簡單預(yù)測(cè)?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情景導(dǎo)入】

上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了如何設(shè)計(jì)調(diào)查表，今天我們來一起整理一下制作統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)知識(shí)。

【歸納整理】 統(tǒng)計(jì)圖

1.你學(xué)過幾種統(tǒng)計(jì)圖？分別叫什么統(tǒng)計(jì)圖？各有什么特征？ 條形統(tǒng)計(jì)圖（清楚表示各種數(shù)量多少）折線統(tǒng)計(jì)圖（清楚表示數(shù)量的變化情況）扇形統(tǒng)計(jì)圖（清楚表示各種數(shù)量的占有率）教師：結(jié)合剛才的數(shù)據(jù)例子，議一議什么類型的數(shù)據(jù)用什么樣的統(tǒng)計(jì)圖表示更合適？

組織學(xué)生議一議，相互交流。2.教學(xué)例4 課件出示教材第97頁例4。

（1）從統(tǒng)計(jì)圖中你能得到哪些信息？ 小組交流。重點(diǎn)匯報(bào)。

如：從扇形統(tǒng)計(jì)圖可以看出，男、女生占全班人數(shù)的百分率； 從條形統(tǒng)計(jì)圖可以看出，男、女生分別喜歡的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)；

從折線統(tǒng)計(jì)圖可以看出，同學(xué)們對(duì)自己的綜合表現(xiàn)滿意人數(shù)的情況變化趨勢(shì)。（2）還可以通過什么手段收集數(shù)據(jù)？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。

如：問卷調(diào)查，查閱資料，實(shí)驗(yàn)活動(dòng)等。

（3）做一項(xiàng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)工作的主要步驟是什么？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。

指名學(xué)生匯報(bào)，并集體訂正，使學(xué)生明確并板書： a.確定調(diào)查的主題及需要調(diào)查的數(shù)據(jù)； b.設(shè)計(jì)調(diào)查表或統(tǒng)計(jì)表； c.確定調(diào)查的方法； d.進(jìn)行調(diào)查，予以記錄； e.整理和描述數(shù)據(jù)；

f.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析數(shù)據(jù)，作出判斷和決策。【課堂作業(yè)】

教材第98頁練習(xí)二十一第2、3題?！菊n堂小結(jié)】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 【課后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第2課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（2）

做一項(xiàng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)工作的主要步驟： ①確定調(diào)查的主題及需要調(diào)查的數(shù)據(jù)； ②設(shè)計(jì)調(diào)查表或統(tǒng)計(jì)表； ③確定調(diào)查的方法； ④進(jìn)行調(diào)查，予以記錄； ⑤整理和描述數(shù)據(jù)；

⑥根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析數(shù)據(jù)，作出判斷和決策。

第3課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（3）

【教學(xué)內(nèi)容】

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的整理和復(fù)習(xí)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生加深對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的認(rèn)識(shí)。體會(huì)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的不同特征和使用范圍。

2.使學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，發(fā)展初步的推理能力和綜合應(yīng)用意識(shí)。3.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，體會(huì)三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的不同特征和使用范圍?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情境導(dǎo)入】

教師：CCTV-3舉行青年歌手大獎(jiǎng)賽，一歌手演唱完畢，評(píng)委亮出的分?jǐn)?shù)是： 9.87,9.65,9.84,9.78,9.75,9.72,9.90,9.83，要求去掉一個(gè)最高分，一個(gè)最低分，那么該選手的最后得分是多少？

學(xué)生獨(dú)立思考，然后組織學(xué)生議一議，然后互相交流。指名學(xué)生匯報(bào)解題思路。由此引出課題：

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù) 【復(fù)習(xí)回顧】 1.復(fù)習(xí)近平均數(shù)

教師：什么是平均數(shù)？它有什么用處？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。

指名學(xué)生匯報(bào)，并組織學(xué)生集體評(píng)議。使學(xué)生明確：平均數(shù)能直觀、簡明地反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，用它可以進(jìn)行不

同數(shù)據(jù)的比較，看出組與組之間的差別。課件展示教材第97頁例5兩個(gè)統(tǒng)計(jì)表。

①提問：從上面的統(tǒng)計(jì)表中你能獲取哪些信息？ 學(xué)生思考后回答

②小組合作學(xué)習(xí)。（課件出示思考的問題）a.在上面兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)是多少？

b.不用計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)上面兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小嗎？ c.用什么統(tǒng)計(jì)量表示上面兩組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適？ ③小組匯報(bào)。

第一組數(shù)據(jù)：平均數(shù)是（1.40＋1.43×3＋1.46×5＋1.49×10＋1.52×12＋1.55×6＋1.58×3）÷（1+3+5+10+12+6+3）≈1.50（m）

第二組數(shù)據(jù)：平均數(shù)是（30×2+33×4+36×5+39×12+42×10+45×4+48×3）÷40=39.6（kg）

④用什么統(tǒng)計(jì)量表示上面兩組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適？為什么？ 組織學(xué)生議一議，相互交流。

學(xué)生匯報(bào)：上面數(shù)據(jù)的一般水平用平均數(shù)比較合適。因?yàn)樗c這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系。2.復(fù)習(xí)中位數(shù)、眾數(shù)

（1）教師：什么是中位數(shù)？什么是眾數(shù)？它們各有什么特征？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)。

使學(xué)生明白:在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置上 的一個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

（2）課件展示教材第97頁例5的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)表，提問：你能說說這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)嗎？

學(xué)生認(rèn)真觀察統(tǒng)計(jì)表，思考并回答。指名學(xué)生匯報(bào)，并進(jìn)行集體評(píng)議?！練w納小結(jié)】

1.教師：不用計(jì)算，你能發(fā)現(xiàn)上面每組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)之間的大小關(guān)系嗎？

組織學(xué)生議一議，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)并進(jìn)行集體評(píng)議。

2.教師：用什么統(tǒng)計(jì)量表示兩組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適？ 組織學(xué)生議一議，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)。師生共同評(píng)議。師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行板書?！菊n堂作業(yè)】

教材第98頁練習(xí)二十一第4、5題，學(xué)生獨(dú)立完成，集體訂正。答案：

第4題：（1）不合理，因?yàn)閺倪M(jìn)貨量和銷售量的差來看，尺碼是35、39、40三種型號(hào)的鞋剩貨有些多。

（2）建議下次進(jìn)貨時(shí)適當(dāng)降低35、39、40三種型號(hào)鞋的進(jìn)貨量，根據(jù)銷貨量的排名來看，每種型號(hào)的鞋的進(jìn)貨量的比

例總體上不會(huì)有大的變化。第5題：（1）平均數(shù)：（9.8+9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2+9.1）÷11≈9.55（分）（2）有道理，因?yàn)槠骄鶖?shù)與一組

數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，但它易受極端數(shù)據(jù)的影響，所以為了減小這種影響，在評(píng)分時(shí)就采取“去掉一個(gè)最高分和

一個(gè)最低分”，再計(jì)算平均數(shù)的方法，這樣做是合理的。平均分：（9.7×2+9.6×4+9.5+9.4×2）÷9≈9.57（分）【課堂小結(jié)】

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動(dòng)，你有什么收獲？學(xué)生談?wù)剬W(xué)到的知識(shí)及掌握的方法。

【課后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第3課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（3）

平均數(shù)：能較充分的反映一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，但它容易受極端值的影響。

中位數(shù)：部分?jǐn)?shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒有影響

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有。

第4課時(shí) 統(tǒng)計(jì)與概率（4）

【教學(xué)內(nèi)容】

可能性的整理與復(fù)習(xí)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】 1.使學(xué)生加深認(rèn)識(shí)事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求簡單事件發(fā)生的可能性，并會(huì)對(duì)事件發(fā)生的可能性作出

預(yù)測(cè)。

2.培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)數(shù)據(jù)和事件分析并解決問題，作出判斷、預(yù)測(cè)和決策的能力。3.使學(xué)生體驗(yàn)到用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】

認(rèn)識(shí)事件發(fā)生的可能性和游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求簡單事件發(fā)生的可能性，并會(huì)對(duì)事件發(fā)生的可能性作出預(yù)測(cè)，掌握用

分?jǐn)?shù)表示可能性大小的方法?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】 多媒體課件。

【情景導(dǎo)入】

1.教師出示情境圖。表哥：我想看足球比賽。表弟：我想看動(dòng)畫片。表妹：我想看電視劇。

教師：3個(gè)人只有一臺(tái)電視，他們都想看自己喜歡的節(jié)目，那么如何決定看什么節(jié)目呢？必須想出一個(gè)每個(gè)人都能接受 的公平的辦法來決定看什么節(jié)目。

提問：你能想出什么公平的辦法確定誰有權(quán)決定看什么節(jié)目嗎？ 學(xué)生：抽簽、擲骰子。2.揭示課題。

教師：同學(xué)們想出的方法都不錯(cuò)。這節(jié)課我們來復(fù)習(xí)可能性的有關(guān)知識(shí)。（板書課題）

【復(fù)習(xí)講授】

1.教師：說一說學(xué)過哪些有關(guān)可能性的知識(shí)。（板書：一定、可能、不可能）

2.教師：在我們的生活中，同樣有些事情是一定會(huì)發(fā)生的，有些事情是可能發(fā)生的，還有些事情是不可能發(fā)生的。下面

舉出了幾個(gè)生活中的例子，請(qǐng)用“一定”“可能”或“不可能”來判斷這些事例的可能性。課件展示：

（1）我從出生到現(xiàn)在沒吃一點(diǎn)東西。（2）吃飯時(shí)，有人用左手拿筷子。（3）世界上每天都有人出生。組織學(xué)生獨(dú)立思考，并相互交流。指名學(xué)生匯報(bào)，并進(jìn)行集體評(píng)議。3.解決問題，延伸拓展

（1）教師：用“一定”“不可能”“可能”各說一句話，在小組內(nèi)討論交流。指名學(xué)生匯報(bào)并進(jìn)行集體評(píng)議。（2）課件展示買彩票的片段。

組織學(xué)生看完這些片段，提問：你有什么想法嗎？

你想對(duì)買彩票的爸爸、媽媽、叔叔、阿姨說點(diǎn)什么呢？ 【課堂作業(yè)】 1.填空。（1）袋子里放了10個(gè)白球、5個(gè)黃球和2個(gè)紅球，這些球除顏色外其它均一樣，若從袋子里摸出一個(gè)球來，則摸到（）色球的可能性最大，摸到（）色球的可能性最小。

（2）一個(gè)盒子里裝有數(shù)量相同的紅、白兩種顏色的球，每個(gè)球除了顏色外都相同，摸到紅球甲勝，摸到白球乙勝，若

摸球前先將盒子里的球搖勻，則甲、乙獲勝的機(jī)會(huì)（）。2.選擇。

（1）用1、2、3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，組成偶數(shù)的可能性為（）。A.B.C.D.（2）一名運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射靶10次，其中兩次命中十環(huán)，兩次命中九環(huán)，六次命中八環(huán)，針對(duì)某次射擊，下列說法正確的

是（）。

A.命中十環(huán)的可能性最大 B.命中九環(huán)的可能性最大 C.命中八環(huán)的可能性最大 D.以上可能性均等

3.有一個(gè)均勻的正十二面體的骰子，其中1個(gè)面標(biāo)有“1”，2個(gè)面標(biāo)有“2”，3個(gè)面標(biāo)有“3”，2個(gè)面標(biāo)有“4”，1個(gè)

面標(biāo)有“5”，其余面標(biāo)有“6”，將這個(gè)骰子擲出。（1）“6”朝上的可能性占百分之幾？（2）哪些數(shù)字朝上的可能性一樣？ 答案：

1.（1）白 紅（2）相等 2.（1）A（2）D 3.（1）25％（2）標(biāo)有“1”和“5”，標(biāo)有“2”與“4”，標(biāo)有“3”和“6”的可能性一樣?！菊n堂小結(jié)】

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？學(xué)生暢談學(xué)到的知識(shí)和掌握的方法?！菊n后作業(yè)】

完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí)。

第4課時(shí)統(tǒng)計(jì)與概率（4）

一定 可能 不可能 必然發(fā)生 可能發(fā)生 不會(huì)發(fā)生

第五篇：統(tǒng)計(jì)與概率總結(jié)

“統(tǒng)計(jì)與概率”課題實(shí)施總結(jié)

一年多來，我校課題組全體成員解放思想，勇于創(chuàng)新，以推進(jìn)素質(zhì)教育為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)理論，圍繞《統(tǒng)計(jì)與概率》課堂教學(xué)改革和課題的實(shí)驗(yàn)工作，認(rèn)真分析課堂案例，調(diào)查研究，收集材料，努力探究《統(tǒng)計(jì)與概率》課堂教學(xué)的有效模式，對(duì)照課題實(shí)驗(yàn)方案，順利地完成了各項(xiàng)教育教學(xué)任務(wù)和課題研究的階段工作。下面就這近一年來的課題研究工作總結(jié)如下。

一、做好課題研究的準(zhǔn)備工作。

1、在課題實(shí)施之前，我們積極主動(dòng)的收集和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)和理論，我們深入課堂，了解、分析我校《統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)現(xiàn)狀，找出教學(xué)中存在的各種問題，確定本課題的研究內(nèi)容。

（1）關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率部分教學(xué)現(xiàn)狀、存在問題的調(diào)查研究；

（2）對(duì)于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于統(tǒng)計(jì)與概率部分內(nèi)容的分布、與原有教材對(duì)比變化、教學(xué)難點(diǎn)及其編寫特點(diǎn)的分析研究；

（3）在統(tǒng)計(jì)知識(shí)教學(xué)中，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)據(jù)的收集、記錄和整理能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生關(guān)于數(shù)據(jù)的分析、處理并由此作出解釋、推斷與決策的能力，對(duì)數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)信息有良好的判斷能力的教學(xué)策略改進(jìn)，加強(qiáng)目標(biāo)設(shè)定與目標(biāo)達(dá)成的實(shí)驗(yàn)研究；

（4）培養(yǎng)小學(xué)生用數(shù)據(jù)表示可能性的大小并對(duì)事件作出合理推斷和預(yù)測(cè)的能力的教法研究；（5）在統(tǒng)計(jì)和概率部分教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，促進(jìn)教學(xué)有效性的研究；

（6）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與概率部分的課堂教學(xué)有效模式的研究。

2、落實(shí)好課題組人員，成員如下：

組 長：陳 麗

副 組 長：陳萬江 吳學(xué)峰

核 心 成 員：馬玉鳳 王立波 李天鳳 陳維 李玉靜 孫曉慧 薛麗華

二、加強(qiáng)對(duì)課題組的管理，進(jìn)一步發(fā)揮課題的作用。

1、嚴(yán)格按計(jì)劃實(shí)施研究，積極開展課題研究活動(dòng)。

課題立項(xiàng)之后，我們集中大家認(rèn)真學(xué)習(xí)了《統(tǒng)計(jì)與概率》課題研究方案，制定了課題的研究計(jì)劃，對(duì)組內(nèi)教師合理分工，在管理上做到定計(jì)劃、定時(shí)間、定地點(diǎn)、定內(nèi)容，讓實(shí)驗(yàn)老師們深刻理解了《人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“統(tǒng)計(jì)與概率”課堂教學(xué)有效性研究》課題中研究項(xiàng)目的主要內(nèi)容和意義，進(jìn)一步增強(qiáng)科研能力，樹立科研信心每次的校本教研既有骨干教師的教學(xué)論壇，也有年青教師的課堂展示，有理論學(xué)習(xí)，也有實(shí)際的課堂點(diǎn)評(píng)。

2、優(yōu)化聽課制度，促進(jìn)課題實(shí)驗(yàn)

學(xué)校教導(dǎo)處規(guī)定，每周的周三各備課組進(jìn)行集體備課，下一周的周一課題組成員走進(jìn)課堂聽課，一方面是為課題組成員搭建相互交流的平臺(tái)，另一方面也是驗(yàn)證前一周集體備課設(shè)計(jì)方案的可行性，這樣有利于及時(shí)、靈活地掌握課題實(shí)施情況和課堂教學(xué)情況，有效地促進(jìn)教師上課改課、上優(yōu)質(zhì)課，從而真正地把課題理念落實(shí)到每一節(jié)課堂教學(xué)之中；同時(shí)，課題組還要求聽課者帶著一定的目的從多個(gè)角度進(jìn)行聽課，并對(duì)收集到的事實(shí)材料進(jìn)行多角度詮釋、解讀和分析，有針對(duì)性地提出討論的問題和改進(jìn)的建議。聽課制度的優(yōu)化，有效地避免形式主義的聽課、評(píng)課活動(dòng)，對(duì)促進(jìn)課題研究和實(shí)驗(yàn)起到了很大的作用。

三、課題研究的實(shí)施過程

課題申報(bào)后，課題組成員就著手調(diào)查我校《統(tǒng)計(jì)與概率》的教學(xué)現(xiàn)狀以及存在的問題。

1、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)各冊(cè)教材使用中，關(guān)于統(tǒng)計(jì)與可能性部分教學(xué)問題及其改進(jìn)策略的調(diào)查研究。

教學(xué)現(xiàn)狀：課堂教學(xué)多數(shù)“照本宣科”，教學(xué)目標(biāo)定位不準(zhǔn)，教師和學(xué)生都不很重視這一領(lǐng)域的教和學(xué)。原因有如下幾點(diǎn)：一是教師專業(yè)知識(shí)不能適應(yīng)新課程的教學(xué)需要；二是《統(tǒng)計(jì)與概率》這一領(lǐng)域里的可學(xué)習(xí)和參考的案例較少，教師看得不多，所以課堂改革的水平提高不快；三是在小學(xué)階段，關(guān)于《統(tǒng)計(jì)與概率》的考試內(nèi)容相對(duì)較少，且難度不大，所以教師和學(xué)生重視不夠。

存在問題：統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，教師只按教材幫助學(xué)生收集、整理數(shù)據(jù)，而忽視了對(duì)數(shù)據(jù)的分析和運(yùn)用；概率教學(xué)中比較突出的問題是重結(jié)果、輕過程，沒有把學(xué)生隨機(jī)意識(shí)的培養(yǎng)放在重要的位置。比如，有一個(gè)老師在執(zhí)教二年級(jí)《可能性》一課時(shí)，沒有充分地讓學(xué)生感受確定現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象，而是把訓(xùn)練的重點(diǎn)放在讓學(xué)生用“一定”“可能”和“不可能”的說話訓(xùn)練上，把數(shù)學(xué)課當(dāng)作了語文課來上。再如，有一個(gè)老師在執(zhí)教《用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小》時(shí)，始終把重點(diǎn)放在學(xué)生的計(jì)算訓(xùn)練上，而忽視了學(xué)生對(duì)事件發(fā)生的可能性從感性描述到定量刻畫的過程訓(xùn)練上。

改進(jìn)策略：（1）加強(qiáng)教師的專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)。要求課題組的成員認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)并深刻領(lǐng)會(huì)其主要精神，同時(shí)督促教師學(xué)習(xí)《統(tǒng)計(jì)與概率》的相關(guān)理論，聘請(qǐng)教學(xué)骨干做專題講座，提高教師的理論素養(yǎng)；（2）定期召開研討會(huì)，選擇有典型的課例進(jìn)行會(huì)課或教學(xué)比賽，有的是采取同課異構(gòu)的形式進(jìn)行多層次的研究；（3）圍繞某一難點(diǎn)進(jìn)行針對(duì)性討論，反復(fù)研究，取得了較為顯著的成效。如，在教學(xué)《等可能性》時(shí)，多數(shù)教師都遇到了一個(gè)較為棘手的問題：當(dāng)袋子里放有相同數(shù)量的黃球和白球，啟發(fā)學(xué)生猜想：從中任意摸40次，摸到黃球和白球的可能性怎樣？學(xué)生很容易猜想并認(rèn)可結(jié)果：摸到黃球和白球的可能性相等?？墒?，學(xué)生實(shí)驗(yàn)后，立刻質(zhì)疑并迅速推翻自己的猜想。此時(shí)教師無所適從，只好自圓其說：同學(xué)們，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)越多，摸到黃球的次數(shù)和摸到白球的次數(shù)就越接近。針對(duì)上述存在的問題，我們開展了一次又一次的研究，最終按照“現(xiàn)實(shí)情境—猜想—實(shí)驗(yàn)—驗(yàn)證猜想—分析原因”的步驟，緊緊抓住“任意”關(guān)鍵詞，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識(shí)，讓學(xué)生真切地感到：袋子里放有相同數(shù)量的黃球和白球，任意去摸若干次，摸到黃球的可能性和白球的可能性相等，但結(jié)果是隨機(jī)的，即摸到黃球的次數(shù)和白球的次數(shù)不一定相等。

2、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境對(duì)于小學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)效果的作用與影響的研究。

良好的教學(xué)情境，能使學(xué)生積極主動(dòng)地、充滿自信的參與到學(xué)習(xí)之中，使學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)與情感活動(dòng)有機(jī)地結(jié)合，從而促進(jìn)學(xué)生非智力因素的發(fā)展和健康人格的形成。比如我們?cè)谘芯恳荒昙?jí)下冊(cè)第98頁的《統(tǒng)計(jì)》這一內(nèi)容時(shí)，就歷經(jīng)了“沒有教學(xué)情境—一創(chuàng)設(shè)有教學(xué)情境——?jiǎng)?chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境”的過程，研究中我們發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果差異較大。

??反復(fù)的實(shí)踐和研究使我們深深地體會(huì)到：教學(xué)情境對(duì)教學(xué)效果的影響較大。只有創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活實(shí)際的教學(xué)情境，才能把學(xué)生真正地帶入到具體的情境中去，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種親近感，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)是活生生的，感受到數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。

3、“統(tǒng)計(jì)與概率”有效教學(xué)模式研究

課題研究之前，多數(shù)教師反映《統(tǒng)計(jì)與概率》的教學(xué)有著一定的困難，教學(xué)時(shí)也只是“照本宣科”，根本談不上有效和優(yōu)化。為此，我們通過典型引路，反復(fù)研究，不斷實(shí)踐，在數(shù)次的實(shí)踐中摸索了“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)模式：創(chuàng)設(shè)情境――猜想探究――驗(yàn)證概括――實(shí)踐運(yùn)用。

“創(chuàng)設(shè)情境”旨在把學(xué)生帶入到具體的生活情境中，一方面是為了幫助學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)自主探究新知，另一方面也可以讓學(xué)生初步感悟統(tǒng)計(jì)與概率在生活中的作用，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；“猜想探究” 就是先鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想結(jié)果，然后引領(lǐng)學(xué)生探究新知，這樣可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交個(gè)學(xué)生，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，在具體的學(xué)習(xí)過程中鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，同時(shí)也能讓學(xué)生體驗(yàn)自主探究新知的快樂；“驗(yàn)證概括”就是運(yùn)用多種手段幫助學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想，從而使學(xué)生獲得成就感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，同時(shí)把剛剛獲得的新知高度、凝練地概括出一般的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)“實(shí)踐運(yùn)用”就是將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)生活的思想。

通過改革實(shí)驗(yàn)，我們高興地發(fā)現(xiàn)課堂成效發(fā)生了較為顯著的變化。課堂的教學(xué)結(jié)構(gòu)完整了，教學(xué)板塊清晰了教學(xué)目標(biāo)定位準(zhǔn)確而又全面，教師經(jīng)過了迷茫無奈－有條有理－精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)的過程。學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)－主動(dòng)探究，學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，使課堂氣氛活躍了許多，也大大提高了課堂教學(xué)效率。

四、課題研究的成效

1、對(duì)課題研究的意義的理解和認(rèn)識(shí)。

21世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程改革，把《統(tǒng)計(jì)與概率》作為一個(gè)單獨(dú)的領(lǐng)域，進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)課程，這是一個(gè)重大的舉措具有里程碑的意義。因?yàn)樵谛畔⑸鐣?huì)，收集、整理、描述、展示和解釋數(shù)據(jù)，根據(jù)情報(bào)作出決定和預(yù)測(cè)，已成為公民日益重要的技能。加強(qiáng)《統(tǒng)計(jì)與概率》課題的研究，可以強(qiáng)化學(xué)生數(shù)據(jù)的收集、記錄和整理能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生分析、處理數(shù)據(jù)并由此作出解釋、推斷與決策的能力。

2、重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生

新課標(biāo)明確指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。所以我們?cè)跀?shù)學(xué)課題的研究中，非常關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究，注重在具體的情境中對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的體驗(yàn)，而不是單純地只獲取結(jié)論結(jié)合學(xué)生生活的實(shí)際，精心創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，使學(xué)生主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)的狀態(tài)，提出關(guān)鍵的問題；搜集、整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)，作出推測(cè)，并用一種別人信服的方式交流信息。不僅讓學(xué)生親身經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)與實(shí)驗(yàn)的過程，而且還讓學(xué)生在實(shí)踐中自我感悟信息的價(jià)值。根據(jù)獲取的信息作出合理的推斷，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

3、營造教研氛圍，提高研究實(shí)效

我們以課題研究為契機(jī)，開展形式多樣的教研活動(dòng)，旨在增強(qiáng)教師的教科研意識(shí)，營造良好的教研氛圍，豐富教師的科研素養(yǎng)，提高課堂教學(xué)效率。一年來，我們召開了《統(tǒng)計(jì)與概率》的專題研討會(huì)，舉行了課題研討會(huì)課比賽，開展了教師百花獎(jiǎng)比賽、課堂教學(xué)擂臺(tái)賽等全校性教學(xué)教研活動(dòng)，收到了較好的效果，得到了老師們的認(rèn)可，兄弟學(xué)校的積極參與，社會(huì)的肯定。每次活動(dòng)，我們堅(jiān)持“實(shí)踐、思考、再實(shí)踐、再思考”的基本方法，確立一個(gè)研究主題，本著“學(xué)有所獲，研有所果”的原則，發(fā)動(dòng)每個(gè)教師全程參與，45周歲以下的教師必須參與課堂展示或設(shè)計(jì)，年老的教師參與課堂點(diǎn)評(píng)，實(shí)實(shí)在在的教研活動(dòng)，不僅調(diào)動(dòng)了校內(nèi)教師的教研熱情，也吸引了區(qū)內(nèi)兄弟學(xué)校老師的加盟，他們積極參與了我們的課題研究。

五、今后的思考

雖然在課題的前期研究過程中，我們?nèi)〉昧顺醪降某尚?，但我們深知我們的課題研究工作還有許多不盡如人意的地方。為了進(jìn)一步做好下一階段課題的研究工作，我們想從以下幾個(gè)方面力求突破：

1、細(xì)化分工，明確職責(zé)。根據(jù)課題的研究內(nèi)容和前期的研究進(jìn)展，我們決定對(duì)后期的研究工作作一些適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，更加細(xì)化分工，各負(fù)其責(zé)，確保課題的研究工作順利進(jìn)行。通過課堂教學(xué)研究，提高學(xué)生收集、整理數(shù)據(jù)的能力，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生推斷與決策的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。以課堂教學(xué)為主陣地，重點(diǎn)研究概率教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識(shí)，提高學(xué)生分析問題和預(yù)測(cè)未來的能力。

2、加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，提高研究水平。前期的研究工作我們主要把精力放在課堂教學(xué)研究上，了解《統(tǒng)計(jì)與概率》的教學(xué)現(xiàn)狀、教學(xué)困惑，尋找課堂教學(xué)的有效模式，應(yīng)該說在實(shí)際層面探討的比較多。接下來的課題研究工作我們 將在關(guān)注課堂教學(xué)的同時(shí)，重視理論學(xué)習(xí)，把目光聚焦在理論層面的研究上，遵循理論結(jié)合實(shí)際的原則，用理論豐富研究成果。

3、全面總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，推廣研究成果。2010年下半年我們打算召開一次“課題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)暨成果展示會(huì)”，旨在進(jìn)一步加強(qiáng)和深入課題的研究工作，提升我們課題的研究水平，同時(shí)通過總結(jié)、展示，來推廣我們的研究成果，改進(jìn)和優(yōu)化今后的課堂教學(xué)。