第一篇：容斥問題知識點及實例解析

一、知識點 ?

1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一個集合。每個集合總是由一些成員組成的，集合的這些成員，叫做這個集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，??，9}，其中0，1，2，?9為A的元素。

2、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，記作A∪B，記號“∪”讀作“并”。A∪B讀作“A并B”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合A，B的并集A∪B。

? 例：已知6的約數集合為A={1，2，3，6}，10的約數集合為B={1，2，5，10}，則A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B兩個集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合叫做A和B的交集，記作“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表示：

? 例：已知6的約數集合A={1，2，3，6}，10的約數集合B={1，2，5，10}，則A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含與排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的個數，如A={1，2，3}，則|A|=3）

原理一：給定兩個集合A和B，要計算A∪B中元素的個數，可以分成兩步進行：

第一步：先求出?A?+?B?（或者說把A，B的一切元素都“包含”進來，加在一起）；

第二步：減去?A∩B?（即“排除”加了兩次的元素）

總結為公式：|A∪B|=?A?+?B?-?A∩B? 原理二：給定三個集合A，B，C。要計算A∪B∪C中元素的個數，可以分三步進行：

第一步：先求?A?+?B?+?C?；

第二步：減去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?；

第三步：再加上?A∩B∩C?。

即有以下公式：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?B∩C?-|C∩A|+|A∩B∩C?

二、例題分析：

例1 求不超過20的正整數中是2的倍數或3的倍數的數共有多少個。

分析：設A={20以內2的倍數}，B={20以內3的倍數}，顯然，要求計算2或3的倍數個數，即求?A∪B?。

解1：A={2，4，6，?20}，共有10個元素，即|A|=10 B={3，6，9，?18}，共有6個元素，即|B|=6 A∩B={既是2的倍數又是3的倍數}={6，12，18}，共有3個元素，即|A∩B|=3 所以?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=10+6-3=13，即A∪B中共有13個元素。

解2：本題可直觀地用圖示法解答

? 如圖,其中,圓A中放的是不超過20的正整數中2的倍數的全體;圓B中放的是不超過20的正整數中3的倍數的全體,其中陰影部分的數6,12,18是既是2的倍數又是3的倍數的數(即A∩B中的數)只要數一數集合A∪B中的數的個數即可。例2 某班統計考試成績，數學得90分上的有25人；語文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人？

解：設A={數學成績90分以上的學生} B={語文成績90分以上的學生} 那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學生，由題意知，?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38 現要求兩科均在90分以上的學生人數，即求?A∩B?，由容斥原理得 ?A∩B?=?A?+?B?-?A∪B?=25+21-38=8 點評：解決本題首先要根據題意，設出集合A，B，并且會表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同學中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項體育活動的總人數是多少？

解：設A={打籃球的同學}；B={跑步的同學} 則 A∩B={既打籃球又跑步的同學} A∪B={參加打籃球或跑步的同學} 應用容斥原理?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=39+37-25=51（人）

例4 求在不超過100的自然數中，不是5的倍數，也不是7的倍數有多少個？

分析：這個問題與前幾個例題看似不相同，不能直接運用容斥原理，要計算的是“既不是5的倍數，也不是7的倍數的數的個數?！钡?，只要同學們仔細分析題意，這只需先算出“100以內的5的倍數或7的倍數的數的個數?！痹購?00中減去就行了。

解：設A={100以內的5的倍數} B={100以內的7的倍數} A∩B={100以內的35的倍數} A∪B={100以內的5的倍數或7的倍數} 則有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2 由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=20+14-2=32 因此，不是5的倍數，也不是7的倍數的數的個數是：100-32=68（個）

點評：從以上的解答可體會出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣，但經過細心的推敲就會發(fā)現它們之間有著緊密的聯系，應當善于將一個問題轉化為另一個問題。

例5 某年級的課外學科小組分為數學、語文、外語三個小組，參加數學小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人；同時參加數學、語文兩個小組的有4人，同時參加數學、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人；三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學科小組共有多少人？

解1：設A={數學小組的同學}，B={語文小組的同學}，C={外語小組的同學}，A∩B={數學、語文小組的同學}，A∩C={參加數學、外語小組的同學}，B∩C={參加語文、外語小組的同學}，A∩B∩C={三個小組都參加的同學} 由題意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18 ?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2 根據容斥原理二得：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?A∩C|-?B∩C|+|A∩B∩C? =23+27+18-（4+5+7）+2 =54（人）

解2： 利用圖示法逐個填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個數，然后求出最后結果。? ? ? 設A、B、C分別表示參加數學、語文、外語小組的同學的集合，其圖分割成七個互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三個小組都參加的同學的集合，由題意，應填2。區(qū)域Ⅳ表示僅參加數學與語文小組的同學的集合，其人數為4-2=2（人）。區(qū)域Ⅵ表示僅參加數學與外語小組的同學的集合，其人數為7-2=5（人）。區(qū)域Ⅴ表示僅參加語文、外語小組的同學的集合，其人數為5-2=3（人）。區(qū)域Ⅰ表示只參加數學小組的同學的集合，其人數為23-2-2-5=14（人）。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數逐個算出，分別填入相應的區(qū)域內，則參加課外小組的人數為：

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

點評：解法2簡單直觀，不易出錯。由于各個區(qū)域所表示的集合的元素個數都計算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。

例6 學校教導處對100名同學進行調查，結果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學只喜歡看電影？有多少同學既喜歡看球賽又喜歡看電影（但不喜歡看戲?。?？（假定每人至少喜歡一項）

解法1：畫三個圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分（如圖）這三個圓圈分別表示三種不同愛好的同學的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個圓圈的公共部分內（圖中陰影部分），其它6部分填上題目中所給出的不同愛好的同學的人數（注意，有的部分的人數要經過簡單的計算）其中設既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數為χ，這樣，全班同學人數就是這7部分人數的和，即

16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100 解得 χ=14 只喜歡看電影的人數為 36-14=22 ? 解法2：設A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看電影的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（這里加12是因為三種都喜歡的人當然喜歡其中的兩種），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12 解得：х=14 ∴36-14=22 所以既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數為14，只喜歡看電影的人數為22。

點評：解法1沒有用容斥原理公式，而是先分別計算出（未知部分設為х）各個部分（本題是7部分）的數目，然后把它們加起來等于總數，這種計算方法也叫“分塊計數法”，它是利用圖示的方法來解決有關問題，希望同學們能逐步掌握此類方法，它比直接用容斥原理公式更直觀，更具體。

例

7、某車間有工人100人，其中有5個人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人？

解：工人總數100，只能干電工工作的人數是5人，除去只能干電工工作的人，這個車間還有95人。利用容斥原理，先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一部分，其總數為163，然后找出這一公共部分，即163-95=68 例

8、某次語文競賽共有五道題（滿分不是100分），丁一只做對了（1）、（2）、（3）三題得了16分；于山只做對了（2）、（3）、（4）三題，得了25分；王水只做對了（3）、（4）、（5）三題，得了28分，張燦只做對了（1）、（2）、（5）三題，得了21分，李明五個題都對了他得了多少分？

解：由題意得：前五名同學合在一起，將五個試題每個題目做對了三遍，他們的總分恰好是試題總分的三倍。五人得分總和是16+25+28+21=90。因此，五道題滿分總和是90÷3=30。所以李明得30分。

例9，某大學有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，則不教三門課的外語教師有多少名？

解：本題只有求出至少教英、日、法三門課中一種的教師人數，才能求出不教這三門課的外語教師的人數。至少教英、日、法三門課中一種教師人數可根據容斥原理求出。根據容斥原理,至少教英、日、法三門課中一種的教師人數為50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教這三門課的外語教師的人數為120-106=14（人）。

第二篇：小五班容斥問題講義

小五班容斥問題講義

容斥原理1.二量重疊問題：總和=A+B-AB 容斥原理2.三量重疊問題：總和=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 例題1.一個班有45個小學生,統計借課外書的情況是:全班學生都借有語文或數學課外書。借語文課外書的有39人,借數學課外書的有32人。語文、數學兩種課外書都借的有（）人。

練習1.某區(qū)100個外語教師懂英語或俄語,其中懂英語的75人,既懂英語又懂俄語的20人,那么懂俄語的教師為（）人。

練習2.六一班有學生46人,其中會騎自行車的17人,會游泳的14人,既會騎車又會游泳的4人,問兩樣都不會的有（）人。

練習3.民兵進行訓練，每橫排人數一樣多，每豎行人數也一樣多，李軍站的位置從前面數是第4人，從后面數是第6人，從左面數是第3人，從右面數是第2人，一共有多少人參加訓練? 練習4.王紅從前面數是第6人，郝文排在最后，和王紅間隔3個人，王紅和黃克在同一橫排上，王紅從左數是第2個人，黃克從右數是第1人，他們間隔5人。三二班同學一共有多少人? 練習5.六一兒童節(jié)那天，全班45人到頤和園去玩，有33人劃了船，20人爬了山，5名同學因身體不好，他們既沒劃船也沒爬山，他們游覽了長廊。問：既劃了船也爬了山的同學有多少？

例題2.在100個學生中,音樂愛好者有56人,體育愛好者有75人,那么既愛好音樂,又愛好體育的人最少有（）人,最多有（）人。

例題3.在1至100的自然數中,是5的倍數或是7的倍數的數有（）個。練習1.在1至10000中不能被5或7整除的數共有（）個。

練習2.在1至10000之間既不是完全平方數,也不是完全立方數的整數有（）個。練習3.在1到10000這10000個自然數中，即不能被8整除也不能被125整除的數有多少個？ 練習4.有若干卡片，每張卡片上寫著一個數，它是3的倍數或4的倍數，其中標有3的倍數的卡片占，標有4的倍數的卡片占，標有12的倍數的卡片有15張．那么，這些卡片一共有多少張?

例題4.五一小學舉行小學生畫展，其中18幅不是六年級的，20幅不是五年級的。現在知道五、六年級共展出22幅畫，問：其它年級共展出多少幅畫？ 練習1.東河小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的。現知道五、六年級共有25幅畫，那么其他年級的畫共有多少幅? 練習2.光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品,其中有24幅不是五年級的,有22幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有10幅,其他年級參展的書法共有多少幅?

練習3.實驗小學舉辦學生書法展.學校的櫥窗里展出每個年級學生的書法作品,其中有28幅不是五年級的,有24幅不是六年級的,五、六年級參展的書法作品共有20幅.一、二年級參展的作品總數比三、四年級參展作品的總數少4幅.一、二年級參展的書法作品共有多少幅?

例題5.洗好的8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個夾子？(9)練習1.把圖畫每兩張重疊在一起釘在墻上，現在有5張畫要多少個圖釘呢？(12)例題6.羅明、李陽和趙剛每人都有幾本書，羅明和李陽共有33本，羅明和趙剛共有39本，李陽和趙剛共有34本。問：他們三人各有幾本書？

練習3.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？

例題7.二年一班共42名同學，其中少先隊員33人。這個班男生20人，女生中有4人不是少先隊員，求男生中有多少人是少先隊員。

練習1.某班有學生46人，在調查他們家中是否有電子琴和小提琴時發(fā)現，有電子琴的22人，兩種琴都沒有的14人，只有小提琴的與兩種琴都有的人數之比是5∶3。問：只有電子琴的有多少人？

例題8.一次數學測驗，甲答錯了題目總數的1/4，乙答錯了3道題，兩人都答錯的題目是題目總數的1/6。求甲、乙都答對的題目數。

練習1.一次數學速算練習，甲答錯題目總數的1/9，乙答對7道題，兩人都答對的題目是題目總數的1/6。問：甲答對了多少道題？

例題9.有一根長為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標有記號的地方剪斷．問繩子共被剪成了多少段?

例題10.某班共有30名男生，其中20人參加足球隊，12人參加藍球隊，10人參加排球隊．已知沒一個人同時參加3個隊，且每人至少參加一個隊，有6人既參加足球隊又參加藍球隊，有2人既參加藍球隊又參加排球隊，那么既參加足球隊又參加排球隊的有（4）人．

練習1.某班有42人，其中26人愛打藍球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打藍球又愛踢足球，4人既愛打排球又愛踢足球。沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好。問：既愛打藍球又愛打排球的有幾人？ 練習2.100個學生只有一人沒學過外語，學過英語的有39人，學過法語的有49人，學過俄語的有41人，學過英語也學過法語的有14人，學過英語也學過俄語的有13人，學過法語也學過俄語的有9人。問：三種語言都學過的有多少人？ 練習3.64個小學生都訂了報紙，其中訂A報的28人，訂B報的41人，訂C報的20人，并且同時訂A、B報的10人，同時訂A、C報的12人，同時訂B、C報的也是12人。問：三種報都訂的有多少人？

練習4.在一個炎熱的夏日，10個小學生去冷飲店每人都買了冷飲。其中6人要了汽水，6人要了可樂，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可樂，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可樂又要了果汁。問：(1)三樣都要的有幾人？(2)只要一樣的有幾人？

練習5.在某個風和日麗的日子，10個同學相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中6個人帶了漢堡，6個人帶了雞腿，4個人帶了芝士蛋糕，有3個人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕，2個人既帶了漢堡又帶了芝士蛋糕。問：

（1）三種都帶了的有幾人？（2）只帶了一種的有幾人？ 答案：0人，4人

練習6.六年級100名同學，每人至少愛好體育、文藝和科學三項中的一項。其中，愛好體育的55人，愛好文藝的56人，愛好科學的51人，三項都愛好的15人，只愛好體育和科學的4人，只愛好體育和文藝的17人。問：有多少人只愛好科學和文藝兩項？只愛好體育的有多少人？

練習7.五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至少參加一項．其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術興趣小組的有12人，參加自然同時又參加美術興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術、自然3科興趣小組都參加的有4人。求這個班的學生人數。

練習8.建平學校第14屆秋季運動會中，參加100米短跑的共156人，比參加200米短跑的少40人，比參加50米短跑的多26人，同時參加100米和50米短跑的有74人，同時參加200米和100米的有80人，是同時參加50米和200米人數的2倍，同時參加50米、100米和200米的有30人，求這屆運動會中參加50、100米和200米的共有多少人？

練習9.在游藝會上，有100名同學抽到了標簽分別為1至100的獎券．按獎券標簽號發(fā)放獎品的規(guī)則如下：①標簽號為2的倍數，獎2支鉛筆；②標簽號為3的倍數，獎3支鉛筆；③標簽號既是2的倍數，又是3的倍數可重復領獎；④其他標簽號均獎1支鉛筆．那么游藝會為該項活動準備的獎品鉛筆共有多少支? 例題11.分母是1001的最簡真分數有（）個。練習1.以105為分母的最簡真分數共有多少個？

練習2.在前200個自然數中，能被2或3或5整除的有多少個？

練習3.試求：在1000以內(含1000)的自然數中，不能被3、5、8任何一個整除的數的個數。

例題12.有28人參加田徑運動會，每人至少參加兩項比賽。已知有8人沒參加跑的項目，參加投擲項目的人數與同時參加跑和跳兩項的人數都是17人。問：僅參加跑和投擲兩項的有多少人？

練習1.學校數學競賽出了A、B、C三道題，至少做對一道的有25人，其中做對A題的有10人，做對B題的有13人，做對C題的有15人。如果三道題都做對的只有一人，那么只做對兩道題和只做對一道題的各有多少人？

練習2.某年級60人中有2/3的同學愛打乒乓球，3/4的同學愛踢足球，4/5的同學愛打藍球，這三項運動都愛好的有22人。問：這個年級最多有多少人這三項運動都不愛好？

練習3.某班共有學生48人，其中27人會游泳，33人會騎自行車，40人會打乒乓球。那么，這個班至少有多少學生這三項運動都會？

練習4.康大六校五年二班學生參加語文、數學、英語三科考試，90分以上的語文有21人，數學有19人，英語有20人，語文、數學都在90分以上的有9人，數學、英語在90分以上的有7人，語文、英語都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，這個班最多能有多少人？

練習5.圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33，44和55本，其中同時有甲、乙簽名的圖書為29本，同時有甲、丙簽名的圖書為25本，同時有乙、丙簽名的圖書為36本．問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過? 練習6.甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個故事．每個人都從某一個故事開始，按順序往后讀．已知甲讀了7.5個故事，乙讀了60個故事，丙讀了52個故事．那么甲、乙、丙3人共同讀過的故事最少有多少個? 練習7.學校舉行棋類比賽，設象棋、圍棋和軍棋三項，每人最多參加兩項。根據報名的人數，學校決定對象棋的前六名、圍棋的前四名和軍棋的前三名發(fā)放獎品。問：獲獎人數最多為幾人？最少為幾人？

例題13.某小學的統計數字表明：學校共有學生1200名，其中男生650名，高年級學生300名，三好學生100名，男生中的三好學生60名，高年級學生中男生160名，高年級女生中三好學生20名，非高年級女生中不是三好學生的400名。試證明：這個統計數字一定有錯誤。

練習1.全班有25個學生，其中17人會騎自行車，13人會游泳，8人會滑冰，這三個運動項目沒有人全會。至少會這三項運動之一的學生數學成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀。如果全班有6個人數學不及格，問：(1)全班數學成績優(yōu)秀的有幾名？(2)全班有幾個人即會游泳又會滑冰？

例題14.某工廠一季度有80％的人全勤，二季度有85％的人全勤，三季度有95％的人全勤，四季度有90％的人全勤。問：全年全勤的人至多占全廠人數的百分之幾？至少占百分之幾？

練習1.五（6）班有54人參加秋游活動其中35人喜歡玩“捉特務”，45人喜歡玩“老鷹捉小雞”，40人喜歡踢足球，50人喜歡跳牛皮筋，你是否可以肯定這個班至少有多少學生對這四項活動都喜歡。

第三篇：公務員考試——容斥原理問題

知識框架

數學運算問題一共分為十四個模塊，其中一塊是容斥原理問題。

在公務員考試中，根據集合的個數，容斥原理問題一般只有兩集合容斥關系和三集合容斥關系兩種類型，兩集合容斥關系一般只要采用公式法就可輕松解決，三集合容斥關系又可分為標準型、圖示標數型、整體重復型三類，對應解題方法分別是公式法、文氏圖法、方程法。無論集合中的元素怎么變化，同學只要牢牢把握這兩類型，就能輕松搞定容斥原理問題。核心點撥

1、題型簡介

容斥原理是在不考慮重疊的情況下，先將所有對象的數目相加，然后再減去重復的部分，從而使得計算的結果既無遺漏又無重復。掌握容斥原理問題，可以幫助同學們解決多集合元素個數的問題。

2、核心知識

（1）兩個集合容斥關系

（2）三個集合容斥關系 A、標準型公式

B、圖示標數型（文氏圖法）

畫圖法核心步驟： 1 畫圈圖； 數字(先填最外一層，再填最內一層，然后填中間層)； ③做計算。C、整體重復型

A、B、C分別代表三個集合（比如“分別滿足三個條件的元素數量”）； W代表元素總量（比如“至少滿足三個條件之一的元素的總量”）； x代表元素數量1（比如“滿足一個條件的元素數量”）； y代表元素數量2（比如“滿足兩個條件的元素數量”）； z代表元素數量3（比如“滿足三個條件的元素數量”）。

3、核心知識使用詳解

（1）容斥原理問題要清楚容斥原理公式中各項的實際含義，與題中的數據準確對應。（2）容斥原理問題的關鍵在于把文字轉化為文氏圖，在圖中應準備反應題中集合之間的關系。（3）容斥問題的難度在于題中集合可能較多，某些集合之間的關系可能不確定，這需要仔細的分析，抓住不確定的。

夯實基礎 1.兩個集合容斥關系

例1：(2007年中央第50題)小明和小強參加同一次考試，如果小明答對的題目占題目總數的，小強答對了27道題，他們兩人都答對的題目占題目總數的，那么兩人都沒有答對的題目共有（）。

A.3道 B.4道 C.5道 D.6道 【答案】 D 【解析】 [題鑰]

由于不知道這次考試題目的總數，所以可先設題目總數即元素總量為。

“小明答對的題目占題目總數的”，相當于集合A為。

“小強答對了27道題”，相當于集合B為27。

“他們兩人都答對的題目占題目總數的”，相當于集合。

“兩人都沒有答對的題目”，相當于求集合。

[解析]

根據題意，確定元素總量W：；

確定集合A：；

確定集合B：27；

確定集合：；

代入兩集合公式：

＝＝

因為和均為題數，須均為正整數，所以必須為12的倍數，而且由選項知：3≤≤6

當W＝12時，＝－16，不合題意；

當W＝24時，＝－5，不合題意；

當W＝36時，＝6，符合題意。

所以，兩人都沒答對的題目為6道。

因此，選B。2.三個集合容斥關系

例2：（浙江行測真題）某專業(yè)有學生50人，現開設甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課的有28人，兼選甲、丙兩門課的有26人，兼選乙、丙門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三課均未選的有多少人？（）A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】 B 【解析】 [題鑰]

“某專業(yè)有學生50人”，相當于元素總量W為50。

“有40人選修甲課程”，相當于集合A為40。

“36選修乙課程”，相當于集合B為36。

“30人選修丙課程”，相當于集合C為30。

“兼選甲、乙兩門課的有28人”，相當于集合=28。

“兼選甲、丙兩門課的有26人”，相當于集合=26。

“兼選乙、丙門課程的有24人”，相當于集合=24。

“甲、乙、丙三門課程均選的有20人”，相當于集合=20。

“問三課均未選的有多少人?”相當于求集合。

[解析]

根據題意，確定元素總量W：50

確定集合A：40 確定集合B：36

確定集合C：30

確定集合：28

確定集合：26

確定集合：24

確定集合：20

代入三集合標準型公式：

＝50-（40+36+30-28-24-26+20）

＝2

因此，選B。例3：（國家行測真題）

某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調查的學生共有多少人？（）A.120 B.144 C.177 D.192 【答案】 A 【解析】 [題鑰]

觀察題目，屬于三個集合容斥關系中的標數型問題，可采用文氏圖法求解。[解析]

本題屬于標數型問題，可采用文氏圖法求解，如下圖所示。

圖中，黑色部分是準備參加兩種考試的學生，灰色部分是準備參加三種考試的學生。計算總人數時，黑色部分重復計算了一次，灰色部分重復計算了兩次，所以接受調查的學生共有：

63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。

因此，選A。例4：(浙江2004－20)某班有35個學生，每個學生至少參加英語小組、語文小組、數學小組中的一個課外活動小組。現已知參加英語小組的有17人，參加語文小組的有30人，參加數學小組的有13人。如果有5個學生三個小組全參加了，問有多少個學生只參加了一個小組？（）A.15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】 A 【解析】 [題鑰]

“某班有35個學生，每個學生至少參加英語小組、語文小組、數學小組中的一個課外活動小組”，相當于元素總量W為35。

“參加英語小組的有17人”，相當于集合A為17。

“參加語文小組的有30人”，相當于集合B為30。

“參加數學小組的有13人”，相當于集合C為13?！叭绻?個學生三個小組全參加了”，相當于元素數量3為5。

“問有多少個學生只參加了一個小組？”，此類題目屬于整體重復型問題，可采用方程法求解。

[解析]

根據題意，設：

參加一個小組的人數為x，即元素數量1為x；

參加兩個小姐的人數為y，即元素數量2為y；

確定元素總量W：38

確定集合A：17

確定集合B：30

確定集合C：13

確定元素數量3：5

代入公式，列方程：

因此，選A。

進階訓練

1.兩個集合容斥關系

例5：某校學生參加數學競賽的有120名男生，80名女生，參加英語競賽的有120名女生，80名男生。已知該?？偣灿?60名學生參加競賽，其中75名男生兩科競賽都參加了，那么參加數學競賽而沒有參加英語競賽的女生人數是多少人?（）A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】 A 【解析】 [題鑰]

假設260名學生當中有m名男生、n名女生，同時參加了教學和英語競賽的女生人數為x。

對于男生：

“m名男生”，相當于元素總量為m。

“參加數學競賽的有120名男生”，相當于集合為120。

“參加英語競賽的”，“80名男生”，相當于集合為80。

“其中75名男生兩科競賽都參加了”，相當于集合為75。

對于女生：

“n名女生”，相當于元素總量為n。

“參加數學競賽的”、“80名女生”，相當于集合為80。

“參加英語競賽的有120名女生”，相當于集合為120。

同時參加了教學和英語競賽的女生人數，相當于集合為x。

“已知該?？偣灿?60名學生參加競賽”，可知260名學生都參加了競賽，沒有“數學競賽和英語競賽都沒參加”的情況。相當于集合、集合為0。

[解析]

根據題意，設：

260名學生當中有m名男生、n名女生； 同時參加了教學和英語競賽的女生人數為x。

對于男生：

確定元素總量：m

確定集合：120

確定集合：80

確定集合：75

確定集合：0

對于女生：

確定元素總量：n

確定集合：80

確定集合：120

確定集合：x

確定集合：0

男女生總數，即m＋n＝260。

代入兩集合公式，列方程：

則有

即同時參加了教學和英語競賽的女生人數為65。

由于參加數學競賽的女生有80名，則參加數學競賽而沒有參加英語競賽的女生人數：

80－65＝15名。

因此，選A。2.三個集合容斥關系

例6：(廣州2007－33)如右圖所示，每個圓紙片的面積都是36，圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9，三個圓紙片覆蓋的總面積為88，則圖中陰影部分的面積為?()

A.66 B.68 C.70 D.72 【答案】 C 【解析】 [題鑰]

“三個圓紙片覆蓋的總面積為88”，相當于元素總量W為88，集合為0?！懊總€圓紙片的面積都是36”，相當于集合A、集合B、集合C都為36。

“圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9”，相當于集合為6，集合為9。

為7，集合要求“陰影部分的面積”，可先求出集合。

[解析]

根據題意，確定元素總量W：88

確定集合A：36

確定集合B：36

確定集合C：36

確定集合：7

確定集合：6

確定集合：9

確定集合：0

代入公式：

=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）

=2

“由中間向外圍”進行數據標記，進行簡單加減運算，如下圖過程所示：

據圖可知，陰影部分的面積為：22＋25＋23＝70。

因此，選C。例7：(江蘇2009A類－19)某調查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進行調查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影全看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數是（）。A.69 B.65 C.57 D.46 【答案】 D 【解析】 [題鑰]

“某調查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進行調查”、“20人一部也沒有看過”，相當于元素總量W為125－20＝105。

“有80人看過甲片”，相當于集合A為89。

“有47人看過乙片”，相當于集合B為47。

“有63人看過丙片”，相當于集合C為63。

“其中有24人三部電影全看過”，相當于元素數量3為24。

求解“只看過其中兩部電影的人數”，此類題目屬于整體重復型問題，可采用方程法求解。

[解析] 根據題意，設：

只看過其中一部電影的人數為x，即元素數量1為x；

看過其中兩部電影的人數為y，即元素數量2為y；

確定元素總量W：125－20＝105

確定集合A：89

確定集合B：47

確定集合C：63

確定元素數量3：24

代入公式，列方程：

因此，選D。

例8：建華中學共有1600名學生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡羽毛球的有1040人，問以上四項球類運動都喜歡的至少有幾人？ A.20 B.30 C.40 D.50 【答案】 B 【解析】 [題鑰]

觀察題目，發(fā)現采用公式法，文氏圖法都是比較麻煩的。那么逆向考慮，看下各項活動都不喜歡的人有多少人，當這各項活動都不喜歡的人互不重疊的時候，可滿足四項活動都喜歡的人最少。

[解析]

根據題意，可知：

不喜歡乒乓球的有：1600-1180=420人； 不喜歡羽毛球的有：1600-1360=240人；

不喜歡籃球的有：1600-1250=350人；

不喜歡足球的有：1600-1040=560人；

若這些人互不重疊則可滿足四項運動都喜歡的人最少，為：

1600-（420+240+350+560）=30人。

第四篇：小學奧數教案——容斥問題

教案

容斥問題

一 本講學習目標

理解并掌握容斥問題。

二 重點難點考點分析

容斥問題涉及到一個重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復的計數，應從它們的和中排除重復部分。

三 概念解析

容斥原理：對幾個事物，如果采用兩種不同的分類標準，按性質1和性質2分類，那么具有性質1或性質2的事物個數等于性質1加上性質2減去它們的共同性質。

四 例題講解

一班有48人，班主任在班會上問：“誰做完了語文作業(yè)？請舉手”有37人舉手，又問：“誰做完了數學作業(yè)？請舉手”有42人舉手，最后問：“誰語文、數學作業(yè)都沒做完？請舉手”結果沒有人舉手。求這個班語文、數學作業(yè)都做完的人數是多少個？

四年級一班有54人，訂閱《小學生優(yōu)秀作文》和《數學大世界》兩種讀物的有13人，訂閱《小學生優(yōu)秀作文》的有45人，每人至少訂閱一種讀物，訂閱《數學大世界》的有多少人？

某班有36個同學在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的人有23人，兩題都答對的有15人。問多少個同學兩題都答的不對？

某班有56人，參加語文競賽的有28人，參加數學競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么參加語文、數學兩科競賽的有多少人？

在1到100的全部自然數中，既不是5的倍數，也不是6的倍數的數有多少個？

光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品一共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？

學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手提琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩樣都會的有8人。這個文藝組一共有多少人？

一個班有55名學生，訂閱《小學生數學報》的有32人，訂閱《中國少年報》的有29人，兩種都訂閱的有25人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？

一個俱樂部有103人，其中會下中國象棋的有69人，會下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有12人。問這個俱樂部里兩種棋都會下的有多少人？

100個人參加測試，要求回答五道試題，并且規(guī)定凡答對3題或3題以上的為測試合格。測試結果是：答對第一題的有81人，答對第二題的有91人，答對第三題的有85人，答對第四題的79人，答對第五題的有74人，那么至少有多少人合格。

五 課堂練習

在1到130的全部自然數中，既不是6的倍數，也不是5的倍數的數有多少個？

實驗小學舉辦學生書法展，學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有28幅不是五年級的，有24幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有20幅。

一、二年級參展的作品總數比三、四年級參展的作品總數少4幅。

一、二年級參展的書法作品共有多少幅？

六 課后作業(yè)

六

（一）兒童節(jié)那天，學校的畫廊里展出了每個年級學生的圖畫作品，其中有25幅不是三年級的，有19幅不是四年級的，三、四年級參展的圖畫共有8幅，其他年級參展的畫共有多少幅？

五年級有22名學生參加語文、數學考試，每個至少有一門功課取得優(yōu)秀成績，其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數學成績優(yōu)秀的有87人。語文、數學都優(yōu)秀的有多少人？

七 勵志或學科小故事——阿契塔

阿契塔（Archytas）希臘數學家。公元前約420年生于意大利塔倫通（現塔蘭托）；公元前約350年卒。阿契塔是畢達哥拉斯學派的成員，居住在塔倫通，那里是當時保留到最后的一個紡織畢達哥拉斯學派的活動中心。阿契塔象公元前四世紀的許多希臘學者那樣，致力于說服希臘各城邦聯合起來反對日

效力增長的外來勢力。可是，同所有其他希臘學者一樣，他也失敗了。希臘人堅持彼此之間的自相殘殺，直到被馬其頓所征服。

阿契塔的灑趣在于希臘的三大問題之一——立方倍積，即給定一個立方體，僅用圓規(guī)和直尺作另一個立方體，使這個立方體的體積是給定的立方體的兩倍。后來發(fā)現，在所指定的條件下，這個問題是不可解，但是在經過一番努力之后，阿契塔發(fā)現了與比例中項（即在兩個外項之間插入的一些線或數值）有關的一些定理，他使用比立方倍積問題所給條件的嚴格要求要自由一引起的工具，通過精巧的三維構體這個問題。他是試圖把純粹的技藝應用于力學的第一個希臘數學家，當時他按照自己的方式創(chuàng)立了關于聲音和音理論。他仿照算術級數（1，2，3，4??）和幾何級數（1，2，4，8，??），提出了調和級數（1，0.5，0.33，0.25，??）的概念，他主張音調取決于空氣的振動速度。他是正確的，但是他完全沒有波動的概念。他相信音調高的聲音在空氣、物體中傳播的速度比音調低的聲音快，這當然是錯誤的。據信他還是滑輪的發(fā)明者。

第五篇：容斥原理五年級試題

容斥原理五年級試題一

1、在1到500的全部自然數中，不是7的倍數，也不是9的倍數的數共有多少個?

2、六年級一班有45名同學，每人都參加暑假體育培訓班，其中足球班報25人，籃球班報20人，游泳班報30人，足球、籃球都報者有10人，足球、籃球都報者有12人。問三項都報的有多少人?

3、某校六年級二班有49人參加了數學、英語、語文學習小組，其中數學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人參加，老師告訴同學既參加數學又參加語文小組的有3人，既參加數學又參加英語和既參加英語又參加語文的人數均為質數，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數學小組的人數。

4、某班同學參加升學考試，得滿分的人數如下：數學20人，語文20人，英語20人，數學、英語兩科滿分者8人，數學、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒有得滿分者3人。問這個班最多多少人?最少多少人?

5、向50名同學調查春游去頤和園還是去動物園的態(tài)度，贊成去頤和園的人數是全體的35，其余不贊成;贊成去動物園的比贊成去頤和園的學生多3人，其余不贊成，另外對去兩處都不贊成的學生數比對去兩處都贊成的學生數的13多1人，同時去頤和園和去動物園都贊成和都不贊成的學生各有多少人?

6、分母是1001的最簡真分數共有多少人?

7、李老師出了兩道數學題，全班40人中，第一有30人做對，第二題有12人未做對，兩題都做對的有20人。

(1)第2題對第1題不對有幾個人?

(2)兩題都不對的有幾人?

8、每邊長為10厘米的正方形紙片，正中間挖一個正方形的洞，成為寬1厘米的方框，把五個這樣的方框放在桌面上，成為如的圖案。問桌面上放這些方框蓋住部分的面積是多少平方厘米?

9、一次數學競賽都是填空題，小明答錯的恰是題目總數的14，小亮答錯5題，兩人都答錯的題目的總數的16，已知小明，小亮都答對題目超過了試題總數的一半，則他們都答對了多少道題?

10、在1到1998的自然數中，能被2整除，但不能被3或7整除的數有多少個?

容斥原理五年級試題二

1、全班有46名同學,僅會打乒乓球的有18人,會打乒乓球以及會打羽毛球的有7人,不會打乒乓球又不會打羽毛球的有6人,問,僅會打羽毛球的有多少人?

2、電視臺向100人調查昨天收看電視情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問：兩個頻道都沒有看過的有多少人?

3、一次數學小測驗只有兩道題，結果全班有10人全對，第一題有25人做對，第二題有18人做錯，那么兩題都做錯的有多少人?

4、在小于100的自然數中既不能被3整除，又不能被2整除的數有多少個?

5、某班45名同學參加了體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠均得優(yōu)者7人，跳高、百米均得優(yōu)者6人，跳高、跳遠均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學各項都沒有達到優(yōu)，求三項都是優(yōu)的人數。

6、某班四年級時，五年級時和六年級時分別評出10名三好學生，又知四、五年級連續(xù)三好生4人，五、六年級連續(xù)三好生3人，四年級六年級兩年評上三好生的有5人，四、五、六三年沒有評過三好生的有20人，問這個班最多有多少名同學?最少有多少名同學?

7、六一兒童節(jié)那天，全班45人到頤和園去玩，有33人劃了船，20人爬了山。5名同學因身體不好，他們既沒有劃船也沒有爬山，他們游覽了長廊。問：既劃了船也爬了山的同學有多少人?

8、六(3)班有32人參加數學競賽，27人參加英語競賽，22人參加語文競賽，其中參加英語、數學兩科的有12人，參加英語和語文兩科的有14人，參加數學和語文兩科的有10人，這個班至少有多少人?

9、分母是273的最剪真分數共有多少個?

10、博文學校參加數學競賽有120名男生，80名女生，參加語文競賽的有120名女生，80名男生，已知該校總共有260名學生參加競賽，其中75名男生兩科競賽都參加了，那么只參加數學競賽而沒有參加語文競賽的女生有多少人?