第一篇:2012年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析Microsoft Word 文檔
2012年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析
一、試卷總體評(píng)價(jià)
2012年高考數(shù)學(xué)是以《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試大綱》及其《考試說(shuō)明》為依據(jù),試題的形式和結(jié)構(gòu)上與往年一樣,遵循“穩(wěn)中有變、立足基礎(chǔ)、突出能力、銳意求新”的命題指導(dǎo)思想,全卷設(shè)計(jì)合理、梯度適中,覆蓋面廣。突出對(duì)考生數(shù)學(xué)理性思維能力、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解能力及考生素養(yǎng)的考查,體現(xiàn)了新課程理念。
二、試卷特點(diǎn)評(píng)析
1.試題注重基礎(chǔ)知識(shí)和主干知識(shí)的考查
試題在題型、題量、分值、難度、知識(shí)分布上保持相對(duì)穩(wěn)定,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查,既全面又突出重點(diǎn)。對(duì)于傳統(tǒng)內(nèi)容的考查如立體幾何,解析幾何,統(tǒng)計(jì)與概率,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等所占比例很大,對(duì)于新增內(nèi)容三視圖、程序框圖、文科的相關(guān)系數(shù)所占的比例較小,考生感覺有些題目似曾相識(shí),與平時(shí)的模擬練習(xí)很類似,但題目在條件給出及設(shè)問環(huán)節(jié)有所創(chuàng)新,增加了難度。
2.淡化技巧重視通法 能力立意強(qiáng)化思維 整張?jiān)嚲碜⒅赝ǚê蛿?shù)學(xué)思想方法的考查。數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,分類討論思想等均有體現(xiàn),數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,數(shù)學(xué)家布魯納指出,掌握數(shù)學(xué)思想方法可以使數(shù)學(xué)更容易理解和記憶,在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下解決數(shù)學(xué)問題就更容易了。
另外試卷突出對(duì)五個(gè)能力和兩個(gè)意識(shí)的考查。我們說(shuō),知識(shí)是學(xué)不完的,但只要掌握了學(xué)習(xí)方法形成一定的能力尤其重要,這樣可以避免題海戰(zhàn)術(shù),減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),提高學(xué)習(xí)能力,而且有利于人才的培養(yǎng),素質(zhì)的提高。
3注重各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系
無(wú)論文理試題,本次考試都注重考查各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。
如:文理第18題,概率統(tǒng)計(jì)的問題,以銷售玫瑰花為實(shí)際背景,體現(xiàn)了新課程的應(yīng)用價(jià)值,符合新課程的要求,題目基于統(tǒng)計(jì)的知識(shí),注重頻率和概率的聯(lián)系,給了我們耳目一新的感覺。
例如:文科試題第3題,考查的知識(shí)點(diǎn)為線性回歸方程、回歸系數(shù)的概念,但區(qū)別于往常的是,試題不僅僅停留在定性分析及簡(jiǎn)單計(jì)算上,更深入到定量分析、靈活應(yīng)用上。學(xué)生必須對(duì)這個(gè)概念有深入理解才能很好地解決這個(gè)問題。
再如:文理的第20題,解析幾何問題。跳出了原來(lái)傳統(tǒng)對(duì)橢圓部分知識(shí)的考查,而將目光放在了拋物線上,并且題中還結(jié)合了部分圓的知識(shí),從近幾年看,這道解析幾何問題也屬于綜合性較強(qiáng)的問題了,且比較新穎,當(dāng)然,對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō),也屬于難度較大的問題。
4.文理試題姊妹設(shè)計(jì) 同一事物多維呈現(xiàn)
試卷沿襲了文理同題有10個(gè),同背景的有5個(gè)題,但編排順序有別,同一事物從不同的角度思考、觀察、研究,同一事物選擇不同的背景呈現(xiàn),根據(jù)于文理試題在能力上的要求,文理的立體幾何試題,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,統(tǒng)計(jì)與概率,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用都體現(xiàn)了這一設(shè)計(jì)理念。
總體看,2012年數(shù)學(xué)試題符合新課程標(biāo)準(zhǔn)理念和要求,是從舊到新的平穩(wěn)過(guò)渡,區(qū)分度也更加明顯,只要考生基礎(chǔ)扎實(shí),有較強(qiáng)的應(yīng)變能力,合理支配答題時(shí)間,完全可以取得理想成績(jī)。
在高三備考期間,我們數(shù)學(xué)備課組經(jīng)常積極交流,團(tuán)結(jié)協(xié)作,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況制訂了一些教學(xué)方案.回顧一年的教學(xué)工作,我們有成功的經(jīng)驗(yàn),也發(fā)現(xiàn)了不足之處.下面就我在高三備考期間的具體做法談?wù)勛约旱男牡皿w會(huì),總結(jié)如下: 一 加強(qiáng)集體備課 優(yōu)化課堂教學(xué)
新的高考形勢(shì)下,高三數(shù)學(xué)怎么去教,學(xué)生怎么去學(xué),針對(duì)這一問題備課組,制定了嚴(yán)密的教學(xué)計(jì)劃,提出了優(yōu)化課堂教學(xué),強(qiáng)化集體備課。在集體備課中發(fā)揮集體力量.在資料的征訂,測(cè)試題的命題,批卷中發(fā)現(xiàn)的問題,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài)等方面上,既有分工又有合作,既有統(tǒng)一要求又有各班實(shí)際情況。在任何地方,任何時(shí)間都有我們探討,爭(zhēng)議,交流的聲音.集體備課后,各位教師根據(jù)自己班級(jí)學(xué)生的具體情況進(jìn)行自我調(diào)整和重新備課,做到因材施教.二 立足課本 注重基礎(chǔ)
高考復(fù)習(xí),立足課本,注重基礎(chǔ).復(fù)習(xí)時(shí)要求全面周到,注重教材的科學(xué)體系,打好“雙基”,準(zhǔn)確把握教學(xué)要求,根據(jù)學(xué)生實(shí)際循序漸進(jìn)地教學(xué)。在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)要注重能力的培養(yǎng),要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,為更多優(yōu)秀的學(xué)生脫穎而出提供機(jī)會(huì),對(duì)于差生充分利用自習(xí)課的時(shí)間幫助他們分析學(xué)習(xí)上存在的問題,培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,激勵(lì)他們勇于迎接挑戰(zhàn)。
三 因材施教 全面提高
我?guī)У檬俏目疲瑢W(xué)生的整體情況不一樣,同一班級(jí)的學(xué)生,層次差別也較大,這就要求教師從整體上把握教學(xué)目標(biāo),又要根據(jù)各班實(shí)際情況制定出具體要求,對(duì)不同層次的學(xué)生,應(yīng)區(qū)別對(duì)待,對(duì)課前預(yù)習(xí),課堂訓(xùn)練,課后作業(yè)的布置因人而異,及時(shí)掌握學(xué)情,做到了有的放矢,讓每一位同學(xué)在學(xué)習(xí)中得到屬于自己的收益.總之,2012新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題對(duì)我們今后數(shù)學(xué)教學(xué)起著重要的作用,我們教師必須站在課改前沿,認(rèn)真解讀新課標(biāo)理念,貫徹新課標(biāo)精神,要大膽取舍,勇于創(chuàng)新,為培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力而教學(xué)。
第二篇:高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo))(含解析版),10級(jí)
2010年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo))一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(5分)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|≤4,x∈Z},則A∩B=()A.(0,2)B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2} 2.(5分)平面向量,已知=(4,3),=(3,18),則夾角的余弦值等于()A. B. C. D. 3.(5分)已知復(fù)數(shù)Z=,則|z|=()A. B. C.1 D.2 4.(5分)曲線y=x3﹣2x+1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=2x﹣2 D.y=﹣2x+2 5.(5分)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),則它的離心率為()A. B. C. D. 6.(5分)如圖,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為P0(,﹣),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為()A. B. C. D. 7.(5分)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 8.(5分)如果執(zhí)行如圖的框圖,輸入N=5,則輸出的數(shù)等于()A. B. C. D. 9.(5分)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x﹣4(x≥0),則{x|f(x﹣2)>0}=()A.{x|x<﹣2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<﹣2或x>2} 10.(5分)若cos α=﹣,α是第三象限的角,則sin(α+)=()A. B. C. D. 11.(5分)已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(﹣1,2),B(3,4),C(4,﹣2),點(diǎn)(x,y)在?ABCD的內(nèi)部,則z=2x﹣5y的取值范圍是()A.(﹣14,16)B.(﹣14,20)C.(﹣12,18)D.(﹣12,20)12.(5分)已知函數(shù),若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)二、填空題:本大題共4小題,每小題5分. 13.(5分)圓心在原點(diǎn)上與直線x+y﹣2=0相切的圓的方程為 . 14.(5分)設(shè)函數(shù)y=f(x)為區(qū)間(0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由曲線y=f(x)及直線x=0,x=1,y=0所圍成部分的面積S,先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè)),區(qū)間(0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,由此得到N個(gè)點(diǎn)(x,y)(i﹣1,2…,N).再數(shù)出其中滿足y1≤f(x)(i=1,2…,N)的點(diǎn)數(shù)N1,那么由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為 ?。?15.(5分)一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形,則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱. 16.(5分)在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,則BD= ?。? 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 17.(10分)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5,a10=﹣9.(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值. 18.(10分)如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高.(Ⅰ)證明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱錐P﹣ABCD的體積. 19.(10分)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如表:
性別 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的比例;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例?說(shuō)明理由. P(K2≥k)0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附:K2=. 20.(10分)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn),且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.(Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直線l的斜率為1,求b的值. 21.設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex﹣1)﹣ax2(Ⅰ)若a=,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍. 22.(10分)如圖:已知圓上的弧,過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),證明:
(Ⅰ)∠ACE=∠BCD.(Ⅱ)BC2=BE?CD. 23.(10分)已知直線C1(t為參數(shù)),C2(θ為參數(shù)),(Ⅰ)當(dāng)α=時(shí),求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線,垂足為A,P為OA中點(diǎn),當(dāng)α變化時(shí),求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線. 24.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣4|+1.(Ⅰ)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象:
(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范圍. 2010年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo))參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(5分)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|≤4,x∈Z},則A∩B=()A.(0,2)B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2} 【考點(diǎn)】1E:交集及其運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】由題意可得A={x|﹣2≤x≤2},B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},從而可求 【解答】解:∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2} B={x|≤4,x∈Z}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} 則A∩B={0,1,2} 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集的求解,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解A,B,屬于基礎(chǔ)試題 2.(5分)平面向量,已知=(4,3),=(3,18),則夾角的余弦值等于()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】9S:數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】先設(shè)出的坐標(biāo),根據(jù)a=(4,3),2a+b=(3,18),求出坐標(biāo),根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式的變形公式,求出兩個(gè)向量的夾角的余弦 【解答】解:設(shè)=(x,y),∵a=(4,3),2a+b=(3,18),∴ ∴cosθ= =,故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題是用數(shù)量積的變形公式求向量夾角的余弦值,數(shù)量積的主要應(yīng)用:①求模長(zhǎng);
②求夾角;
③判垂直,實(shí)際上在數(shù)量積公式中可以做到知三求一. 3.(5分)已知復(fù)數(shù)Z=,則|z|=()A. B. C.1 D.2 【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)的運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)可得Z=,由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得答案. 【解答】解:化簡(jiǎn)得Z===? =?=?=,故|z|==,故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,涉及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng),屬基礎(chǔ)題. 4.(5分)曲線y=x3﹣2x+1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=2x﹣2 D.y=﹣2x+2 【考點(diǎn)】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】1:常規(guī)題型;
11:計(jì)算題. 【分析】欲求在點(diǎn)(1,0)處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決. 【解答】解:驗(yàn)證知,點(diǎn)(1,0)在曲線上 ∵y=x3﹣2x+1,y′=3x2﹣2,所以k=y′|x﹣1=1,得切線的斜率為1,所以k=1;
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為:
y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1. 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.屬于基礎(chǔ)題. 5.(5分)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),則它的離心率為()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】KC:雙曲線的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】先求漸近線斜率,再用c2=a2+b2求離心率. 【解答】解:∵漸近線的方程是y=±x,∴2=?4,=,a=2b,c==a,e==,即它的離心率為. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì). 6.(5分)如圖,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為P0(,﹣),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】3A:函數(shù)的圖象與圖象的變換.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】本題的求解可以利用排除法,根據(jù)某具體時(shí)刻點(diǎn)P的位置到到x軸距離來(lái)確定答案. 【解答】解:通過(guò)分析可知當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)P到x軸距離d為,于是可以排除答案A,D,再根據(jù)當(dāng)時(shí),可知點(diǎn)P在x軸上此時(shí)點(diǎn)P到x軸距離d為0,排除答案B,故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的圖象,以及排除法的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題. 7.(5分)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 【考點(diǎn)】LG:球的體積和表面積.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積和表面積公式,由長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的直徑,即球的半徑R滿足(2R)2=6a2,代入球的表面積公式,S球=4πR2,即可得到答案. 【解答】解:根據(jù)題意球的半徑R滿足(2R)2=6a2,所以S球=4πR2=6πa2. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】長(zhǎng)方體的外接球直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng). 8.(5分)如果執(zhí)行如圖的框圖,輸入N=5,則輸出的數(shù)等于()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】EF:程序框圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】28:操作型. 【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是累加并輸出S=的值. 【解答】解:分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:
該程序的作用是累加并輸出S=的值. ∵S==1﹣= 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)流程圖(或偽代碼)寫程序的運(yùn)行結(jié)果,是算法這一模塊最重要的題型,其處理方法是::①分析流程圖(或偽代碼),從流程圖(或偽代碼)中即要分析出計(jì)算的類型,又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)(如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多,也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理)?②建立數(shù)學(xué)模型,根據(jù)第一步分析的結(jié)果,選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模. 9.(5分)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x﹣4(x≥0),則{x|f(x﹣2)>0}=()A.{x|x<﹣2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<﹣2或x>2} 【考點(diǎn)】3K:函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】由偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x﹣4(x≥0),可得f(x)=f(|x|)=2|x|﹣4,根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù),再求解不等式,可得答案. 【解答】解:由偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x﹣4(x≥0),可得f(x)=f(|x|)=2|x|﹣4,則f(x﹣2)=f(|x﹣2|)=2|x﹣2|﹣4,要使f(|x﹣2|)>0,只需2|x﹣2|﹣4>0,|x﹣2|>2 解得x>4,或x<0. 應(yīng)選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查偶函數(shù)性質(zhì)、不等式的解法以及相應(yīng)的運(yùn)算能力,解答本題的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值函數(shù),從而簡(jiǎn)化計(jì)算. 10.(5分)若cos α=﹣,α是第三象限的角,則sin(α+)=()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】GG:同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系;
GP:兩角和與差的三角函數(shù).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】根據(jù)α的所在的象限以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα的值,進(jìn)而利用兩角和與差的正弦函數(shù)求得答案. 【解答】解:∵α是第三象限的角 ∴sinα=﹣=﹣,所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣. 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù),以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用.根據(jù)角所在的象限判斷三角函數(shù)值的正負(fù)是做題過(guò)程中需要注意的. 11.(5分)已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(﹣1,2),B(3,4),C(4,﹣2),點(diǎn)(x,y)在?ABCD的內(nèi)部,則z=2x﹣5y的取值范圍是()A.(﹣14,16)B.(﹣14,20)C.(﹣12,18)D.(﹣12,20)【考點(diǎn)】7C:簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
16:壓軸題. 【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用向量相等求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)平移直線求出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍. 【解答】解:由已知條件得?D(0,﹣4),由z=2x﹣5y得y=,平移直線當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,4)時(shí),﹣?zhàn)畲?,即z取最小為﹣14;
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0,﹣4)時(shí),﹣?zhàn)钚。磟取最大為20,又由于點(diǎn)(x,y)在四邊形的內(nèi)部,故z∈(﹣14,20). 如圖:故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的頂點(diǎn)之間的關(guān)系,用到向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,體現(xiàn)了向量的工具作用,考查學(xué)生線性規(guī)劃的理解和認(rèn)識(shí),考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.屬于基本題型. 12.(5分)已知函數(shù),若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【考點(diǎn)】3A:函數(shù)的圖象與圖象的變換;
3B:分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法;
4H:對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);
4N:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】13:作圖題;
16:壓軸題;
31:數(shù)形結(jié)合. 【分析】畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)f(a)=f(b)=f(c),不妨a<b<c,求出abc的范圍即可. 【解答】解:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,不妨設(shè)a<b<c,則 ab=1,則abc=c∈(10,12). 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力. 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分. 13.(5分)圓心在原點(diǎn)上與直線x+y﹣2=0相切的圓的方程為 x2+y2=2?。? 【考點(diǎn)】J1:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
J9:直線與圓的位置關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】可求圓的圓心到直線的距離,就是半徑,寫出圓的方程. 【解答】解:圓心到直線的距離:r=,所求圓的方程為x2+y2=2. 故答案為:x2+y2=2 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題. 14.(5分)設(shè)函數(shù)y=f(x)為區(qū)間(0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由曲線y=f(x)及直線x=0,x=1,y=0所圍成部分的面積S,先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè)),區(qū)間(0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,由此得到N個(gè)點(diǎn)(x,y)(i﹣1,2…,N).再數(shù)出其中滿足y1≤f(x)(i=1,2…,N)的點(diǎn)數(shù)N1,那么由隨機(jī)模擬方法可得S的近似值為. 【考點(diǎn)】CE:模擬方法估計(jì)概率;
CF:幾何概型.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】由題意知本題是求∫01f(x)dx,而它的幾何意義是函數(shù)f(x)(其中0≤f(x)≤1)的圖象與x軸、直線x=0和直線x=1所圍成圖形的面積,積分得到結(jié)果. 【解答】解:∵∫01f(x)dx的幾何意義是函數(shù)f(x)(其中0≤f(x)≤1)的圖象與x軸、直線x=0和直線x=1所圍成圖形的面積,∴根據(jù)幾何概型易知∫01f(x)dx≈. 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型,古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),而不能列舉的就是幾何概型,幾何概型的概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積和體積的比值得到. 15.(5分)一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形,則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的 ①②③⑤(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱. 【考點(diǎn)】L7:簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題;
16:壓軸題. 【分析】一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形,由三視圖的正視圖的作法判斷選項(xiàng). 【解答】解:一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形,顯然①②⑤正確;
③是三棱柱放倒時(shí)也正確;
④⑥不論怎樣放置正視圖都不會(huì)是三角形;
故答案為:①②③⑤ 【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,考查空間想象能力,是基礎(chǔ)題. 16.(5分)在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,則BD= 2+?。? 【考點(diǎn)】HR:余弦定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
16:壓軸題. 【分析】先利用余弦定理可分別表示出AB,AC,把已知條件代入整理,根據(jù)BC=3BD推斷出CD=2BD,進(jìn)而整理 AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB,代入整理,最后聯(lián)立方程消去AB求得BD的方程求得BD. 【解答】用余弦定理求得 AB2=BD2+AD2﹣2AD?BDcos135° AC2=CD2+AD2﹣2AD?CDcos45° 即 AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ② 又BC=3BD 所以 CD=2BD 所以 由(2)得AC2=4BD2+2﹣4BD(3)因?yàn)? AC=AB 所以 由(3)得 2AB2=4BD2+2﹣4BD(4)(4)﹣2(1)BD2﹣4BD﹣1=0 求得 BD=2+ 故答案為:2+ 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用.考查了學(xué)生創(chuàng)造性思維能力和基本的推理能力. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 17.(10分)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5,a10=﹣9.(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值. 【考點(diǎn)】84:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;
85:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】(1)設(shè)出首項(xiàng)和公差,根據(jù)a3=5,a10=﹣9,列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程組,解方程組得到首項(xiàng)和公差,寫出通項(xiàng).(2)由上面得到的首項(xiàng)和公差,寫出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,整理成關(guān)于n的一元二次函數(shù),二次項(xiàng)為負(fù)數(shù)求出最值. 【解答】解:(1)由an=a1+(n﹣1)d及a3=5,a10=﹣9得 a1+9d=﹣9,a1+2d=5 解得d=﹣2,a1=9,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=11﹣2n(2)由(1)知Sn=na1+d=10n﹣n2. 因?yàn)镾n=﹣(n﹣5)2+25. 所以n=5時(shí),Sn取得最大值. 【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列可看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取值對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,因此它具備函數(shù)的特性. 18.(10分)如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高.(Ⅰ)證明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱錐P﹣ABCD的體積. 【考點(diǎn)】LF:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;
LY:平面與平面垂直.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
14:證明題;
35:轉(zhuǎn)化思想. 【分析】(Ⅰ)要證平面PAC⊥平面PBD,只需證明平面PAC內(nèi)的直線AC,垂直平面PBD內(nèi)的兩條相交直線PH,BD即可.(Ⅱ),∠APB=∠ADB=60°,計(jì)算等腰梯形ABCD的面積,PH是棱錐的高,然后求四棱錐P﹣ABCD的體積. 【解答】解:
(1)因?yàn)镻H是四棱錐P﹣ABCD的高. 所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD內(nèi),且PH∩BD=H. 所以AC⊥平面PBD. 故平面PAC⊥平面PBD(6分)(2)因?yàn)锳BCD為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=. 所以HA=HB=. 因?yàn)椤螦PB=∠ADB=60° 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面積為S=ACxBD=2+(9分)所以四棱錐的體積為V=×(2+)×=.(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,考查空間想象能力,計(jì)算能力,推理能力,是中檔題. 19.(10分)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如表:
性別 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的比例;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例?說(shuō)明理由. P(K2≥k)0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附:K2=. 【考點(diǎn)】BL:獨(dú)立性檢驗(yàn).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
5I:概率與統(tǒng)計(jì). 【分析】(1)由樣本的頻率率估計(jì)總體的概率,(2)求K2的觀測(cè)值查表,下結(jié)論;
(3)由99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān),則可按性別分層抽樣. 【解答】解:(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此在該地區(qū)老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為(2)K2的觀測(cè)值 因?yàn)?.967>6.635,且P(K2≥6.635)=0.01,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).(3)根據(jù)(2)的結(jié)論可知,該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān),并且從樣本數(shù)據(jù)能夠看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例,再把老年人分成男女兩層,并采取分層抽樣方法比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了抽樣的目的,獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法及抽樣的方法選取,屬于基礎(chǔ)題. 20.(10分)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn),且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.(Ⅰ)求|AB|;
(Ⅱ)若直線l的斜率為1,求b的值. 【考點(diǎn)】K4:橢圓的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題. 【分析】(1)由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,再由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列,能夠求出|AB|的值.(2)L的方程式為y=x+c,其中,設(shè)A(x1,y1),B(x1,y1),則A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組,化簡(jiǎn)得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0.然后結(jié)合題設(shè)條件和根與系數(shù)的關(guān)系能夠求出b的大?。?【解答】解:(1)由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得(2)L的方程式為y=x+c,其中 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組.,化簡(jiǎn)得(1+b2)x2+2cx+1﹣2b2=0. 則. 因?yàn)橹本€AB的斜率為1,所以 即. 則. 解得. 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其運(yùn)用和直線與橢圓的位置關(guān)系,解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用. 21.設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex﹣1)﹣ax2(Ⅰ)若a=,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍. 【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題;
53:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 【分析】(I)求導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)f(x)=x(ex﹣1﹣ax),令g(x)=ex﹣1﹣ax,分類討論,確定g(x)的正負(fù),即可求得a的取值范圍. 【解答】解:(I)a=時(shí),f(x)=x(ex﹣1)﹣x2,=(ex﹣1)(x+1)令f′(x)>0,可得x<﹣1或x>0;
令f′(x)<0,可得﹣1<x<0;
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,﹣1),(0,+∞);
單調(diào)減區(qū)間為(﹣1,0);
(II)f(x)=x(ex﹣1﹣ax). 令g(x)=ex﹣1﹣ax,則g'(x)=ex﹣a. 若a≤1,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x≥0時(shí)g(x)≥0,即f(x)≥0. 若a>1,則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),而g(0)=0,從而當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g(x)<0,即f(x)<0. 綜合得a的取值范圍為(﹣∞,1]. 另解:當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0成立;
當(dāng)x>0,可得ex﹣1﹣ax≥0,即有a≤的最小值,由y=ex﹣x﹣1的導(dǎo)數(shù)為y′=ex﹣1,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)y遞增;
x<0時(shí),函數(shù)遞減,可得函數(shù)y取得最小值0,即ex﹣x﹣1≥0,x>0時(shí),可得≥1,則a≤1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題. 22.(10分)如圖:已知圓上的弧,過(guò)C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),證明:
(Ⅰ)∠ACE=∠BCD.(Ⅱ)BC2=BE?CD. 【考點(diǎn)】N9:圓的切線的判定定理的證明;
NB:弦切角.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】14:證明題. 【分析】(I)先根據(jù)題中條件:“”,得∠BCD=∠ABC.再根據(jù)EC是圓的切線,得到∠ACE=∠ABC,從而即可得出結(jié)論.(II)欲證BC2=BE x CD.即證.故只須證明△BDC~△ECB即可. 【解答】解:(Ⅰ)因?yàn)?,所以∠BCD=∠ABC. 又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C,故∠ACE=∠ABC 所以∠ACE=∠BCD.(5分)(Ⅱ)因?yàn)椤螮CB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,所以△BDC~△ECB,故. 即BC2=BE×CD.(10分)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線的判定定理的證明、弦切角的應(yīng)用、三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題. 23.(10分)已知直線C1(t為參數(shù)),C2(θ為參數(shù)),(Ⅰ)當(dāng)α=時(shí),求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線,垂足為A,P為OA中點(diǎn),當(dāng)α變化時(shí),求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線. 【考點(diǎn)】J3:軌跡方程;
JE:直線和圓的方程的應(yīng)用;
Q4:簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;
QJ:直線的參數(shù)方程;
QK:圓的參數(shù)方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題;
16:壓軸題. 【分析】(I)先消去參數(shù)將曲線C1與C2的參數(shù)方程化成普通方程,再聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可,(II)設(shè)P(x,y),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,消去參數(shù)即得普通方程,由普通方程即可看出其是什么類型的曲線. 【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)α=時(shí),C1的普通方程為,C2的普通方程為x2+y2=1. 聯(lián)立方程組,解得C1與C2的交點(diǎn)為(1,0).(Ⅱ)C1的普通方程為xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①. 則OA的方程為xcosα+ysinα=0②,聯(lián)立①②可得x=sin2α,y=﹣cosαsinα;
A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α,﹣cosαsinα),故當(dāng)α變化時(shí),P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為:,P點(diǎn)軌跡的普通方程. 故P點(diǎn)軌跡是圓心為,半徑為的圓. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化,利用參數(shù)方程研究軌跡問題的能力. 24.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣4|+1.(Ⅰ)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象:
(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范圍. 【考點(diǎn)】3A:函數(shù)的圖象與圖象的變換;
7E:其他不等式的解法;
R5:絕對(duì)值不等式的解法.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
13:作圖題;
16:壓軸題. 【分析】(I)先討論x的范圍,將函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù),然后根據(jù)分段函數(shù)分段畫出函數(shù)的圖象即可;
(II)根據(jù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象可知先尋找滿足f(x)≤ax的零界情況,從而求出a的范圍. 【解答】解:(Ⅰ)由于f(x)=,函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.(Ⅱ)由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象可知,極小值在點(diǎn)(2,1)當(dāng)且僅當(dāng)a<﹣2或a≥時(shí),函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象有交點(diǎn). 故不等式f(x)≤ax的解集非空時(shí),a的取值范圍為(﹣∞,﹣2)∪[,+∞). 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的圖象,以及利用函數(shù)圖象解不等式,同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.
第三篇:高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo))(含解析版)11版
2011年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo))一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分)1.(5分)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,則P的子集共有()A.2個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè) 2.(5分)復(fù)數(shù)=()A.2﹣i B.1﹣2i C.﹣2+i D.﹣1+2i 3.(5分)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A.y=2x3 B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+4 D.y=2﹣|x| 4.(5分)橢圓=1的離心率為()A. B. C. D. 5.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的N是6,那么輸出的p是()A.120 B.720 C.1440 D.5040 6.(5分)有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A. B. C. D. 7.(5分)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos2θ=()A.﹣ B.﹣ C. D. 8.(5分)在一個(gè)幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()A. B. C. D. 9.(5分)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直.l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABP的面積為()A.18 B.24 C.36 D.48 10.(5分)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x﹣3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(,)B.(﹣,0)C.(0,)D.(,)11.(5分)設(shè)函數(shù),則f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),則()A.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 B.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 C.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 D.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 12.(5分)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí) f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象的交點(diǎn)共有()A.10個(gè) B.9個(gè) C.8個(gè) D.1個(gè) 二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分)13.(5分)已知a與b為兩個(gè)垂直的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量+與向量k﹣垂直,則k= ?。?14.(5分)若變量x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最小值為 ?。?15.(5分)△ABC中,∠B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為 ?。?16.(5分)已知兩個(gè)圓錐有公共底面,且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上,若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的,則這兩個(gè)圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 ?。? 三、解答題(共8小題,滿分70分)17.(12分)已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.(Ⅰ)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:Sn=(Ⅱ)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 18.(12分)如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明:PA⊥BD(Ⅱ)設(shè)PD=AD=1,求棱錐D﹣PBC的高. 19.(12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn),各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗(yàn)結(jié)果:
A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10(Ⅰ)分別估計(jì)用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;
(Ⅱ)已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y= 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,其利潤(rùn)記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率)20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2﹣6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x﹣y+a=0交與A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,求a的值. 21.(12分)已知函數(shù)f(x)=+,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y﹣3=0.(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),f(x)>. 22.(10分)如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個(gè)根.(Ⅰ)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑. 23.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)滿足=2,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線θ=與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|. 24.設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥3x+2的解集(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤﹣1},求a的值. 2011年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo))參考答案與試題解析 一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分)1.(5分)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,則P的子集共有()A.2個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè) 【考點(diǎn)】1E:交集及其運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】利用集合的交集的定義求出集合P;
利用集合的子集的個(gè)數(shù)公式求出P的子集個(gè)數(shù). 【解答】解:∵M(jìn)={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴P=M∩N={1,3} ∴P的子集共有22=4 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用集合的交集的定義求交集、考查一個(gè)集合含n個(gè)元素,則其子集的個(gè)數(shù)是2n. 2.(5分)復(fù)數(shù)=()A.2﹣i B.1﹣2i C.﹣2+i D.﹣1+2i 【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)的運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】將分子、分母同時(shí)乘以1+2i,再利用多項(xiàng)式的乘法展開,將i2用﹣1 代替即可. 【解答】解:=﹣2+i 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù). 3.(5分)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A.y=2x3 B.y=|x|+1 C.y=﹣x2+4 D.y=2﹣|x| 【考點(diǎn)】3K:函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
51:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì),對(duì)選項(xiàng)一一加以判斷,即可得到既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù). 【解答】解:對(duì)于A.y=2x3,由f(﹣x)=﹣2x3=﹣f(x),為奇函數(shù),故排除A;
對(duì)于B.y=|x|+1,由f(﹣x)=|﹣x|+1=f(x),為偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),y=x+1,是增函數(shù),故B正確;
對(duì)于C.y=﹣x2+4,有f(﹣x)=f(x),是偶函數(shù),但x>0時(shí)為減函數(shù),故排除C;
對(duì)于D.y=2﹣|x|,有f(﹣x)=f(x),是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),y=2﹣x,為減函數(shù),故排除D. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用,注意定義的運(yùn)用,以及函數(shù)的定義域,屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題. 4.(5分)橢圓=1的離心率為()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】K4:橢圓的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】根據(jù)橢圓的方程,可得a、b的值,結(jié)合橢圓的性質(zhì),可得c的值,有橢圓的離心率公式,計(jì)算可得答案. 【解答】解:根據(jù)橢圓的方程=1,可得a=4,b=2,則c==2;
則橢圓的離心率為e==,故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的基本性質(zhì):a2=b2+c2,以及離心率的計(jì)算公式,注意與雙曲線的對(duì)應(yīng)性質(zhì)的區(qū)分. 5.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的N是6,那么輸出的p是()A.120 B.720 C.1440 D.5040 【考點(diǎn)】EF:程序框圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5K:算法和程序框圖. 【分析】執(zhí)行程序框圖,寫出每次循環(huán)p,k的值,當(dāng)k<N不成立時(shí)輸出p的值即可. 【解答】解:執(zhí)行程序框圖,有 N=6,k=1,p=1 P=1,k<N成立,有k=2 P=2,k<N成立,有k=3 P=6,k<N成立,有k=4 P=24,k<N成立,有k=5 P=120,k<N成立,有k=6 P=720,k<N不成立,輸出p的值為720. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了程序框圖和算法,屬于基礎(chǔ)題. 6.(5分)有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】CB:古典概型及其概率計(jì)算公式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5I:概率與統(tǒng)計(jì). 【分析】本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是3×3種結(jié)果,滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組有3種結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果. 【解答】解:由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是3×3=9種結(jié)果,滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組,由于共有三個(gè)小組,則有3種結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式得到P=,故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型概率公式,是一個(gè)基礎(chǔ)題,題目使用列舉法來(lái)得到試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù),出現(xiàn)這種問題一定是一個(gè)必得分題目. 7.(5分)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos2θ=()A.﹣ B.﹣ C. D. 【考點(diǎn)】GS:二倍角的三角函數(shù);
I5:直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值,由已知直線的斜率得到tanθ的值,然后根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosθ的平方,然后根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡(jiǎn)后,把cosθ的平方代入即可求出值. 【解答】解:根據(jù)題意可知:tanθ=2,所以cos2θ===,則cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系,靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值,是一道中檔題. 8.(5分)在一個(gè)幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】L7:簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】13:作圖題. 【分析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體,是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開的半個(gè)圓錐組成,根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征,得到組合體的側(cè)視圖. 【解答】解:由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體,是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開的半個(gè)圓錐組成,∴側(cè)視圖是一個(gè)中間有分界線的三角形,故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖,考查由三視圖看出原幾何圖形,再得到余下的三視圖,本題是一個(gè)基礎(chǔ)題. 9.(5分)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直.l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABP的面積為()A.18 B.24 C.36 D.48 【考點(diǎn)】KH:直線與圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】44:數(shù)形結(jié)合法. 【分析】首先設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)2=2px(p>0),寫出次拋物線的焦點(diǎn)、對(duì)稱軸以及準(zhǔn)線,然后根據(jù)通徑|AB|=2p,求出p,△ABP的面積是|AB|與DP乘積一半. 【解答】解:設(shè)拋物線的解析式為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)為F(,0),對(duì)稱軸為x軸,準(zhǔn)線為x=﹣ ∵直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),A、B是l與C的交點(diǎn),又∵AB⊥x軸 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6 又∵點(diǎn)P在準(zhǔn)線上 ∴DP=(+||)=p=6 ∴S△ABP=(DP?AB)=×6×12=36 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線焦點(diǎn)、對(duì)稱軸、準(zhǔn)線以及焦點(diǎn)弦的特點(diǎn);
關(guān)于直線和圓錐曲線的關(guān)系問題一般采取數(shù)形結(jié)合法. 10.(5分)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x﹣3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(,)B.(﹣,0)C.(0,)D.(,)【考點(diǎn)】52:函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】52:導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用. 【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f(x)=ex+4x﹣3單調(diào)遞增,運(yùn)用零點(diǎn)判定定理,判定區(qū)間. 【解答】解:∵函數(shù)f(x)=ex+4x﹣3 ∴f′(x)=ex+4 當(dāng)x>0時(shí),f′(x)=ex+4>0 ∴函數(shù)f(x)=ex+4x﹣3在(﹣∞,+∞)上為f(0)=e0﹣3=﹣2<0 f()=﹣1>0 f()=﹣2=﹣<0 ∵f()?f()<0,∴函數(shù)f(x)=ex+4x﹣3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(,)故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考察了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法,借助導(dǎo)數(shù),函數(shù)值,屬于中檔題. 11.(5分)設(shè)函數(shù),則f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),則()A.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 B.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 C.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 D.y=f(x)在(0,)單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱 【考點(diǎn)】H5:正弦函數(shù)的單調(diào)性;
H6:正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】57:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 【分析】利用輔助角公式(兩角和的正弦函數(shù))化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),然后求出對(duì)稱軸方程,判斷y=f(x)在(0,)單調(diào)性,即可得到答案. 【解答】解:因?yàn)閒(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x.由于y=cos2x的對(duì)稱軸為x=kπ(k∈Z),所以y=cos2x的對(duì)稱軸方程是:x=(k∈Z),所以A,C錯(cuò)誤;
y=cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),即(k∈Z),函數(shù)y=f(x)在(0,)單調(diào)遞減,所以B錯(cuò)誤,D正確. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),三角函數(shù)的性質(zhì):對(duì)稱性、單調(diào)性,考查計(jì)算能力,??碱}型. 12.(5分)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí) f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象的交點(diǎn)共有()A.10個(gè) B.9個(gè) C.8個(gè) D.1個(gè) 【考點(diǎn)】3Q:函數(shù)的周期性;
4N:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】16:壓軸題;
31:數(shù)形結(jié)合. 【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與絕對(duì)值的非負(fù)性質(zhì),作出兩個(gè)函數(shù)圖象,再通過(guò)計(jì)算函數(shù)值估算即可. 【解答】解:作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如上 ∵函數(shù)y=f(x)的周期為2,在[﹣1,0]上為減函數(shù),在[0,1]上為增函數(shù) ∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,10]上有5次周期性變化,在[0,1]、[2,3]、[4,5]、[6,7]、[8,9]上為增函數(shù),在[1,2]、[3,4]、[5,6]、[7,8]、[9,10]上為減函數(shù),且函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間的取值都為[0,1],再看函數(shù)y=|lgx|,在區(qū)間(0,1]上為減函數(shù),在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),且當(dāng)x=1時(shí)y=0;
x=10時(shí)y=1,再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的草圖,可得兩圖象的交點(diǎn)一共有10個(gè),故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查了基本初等函數(shù)的圖象作法,以及函數(shù)圖象的周期性,屬于基本題. 二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分)13.(5分)已知a與b為兩個(gè)垂直的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量+與向量k﹣垂直,則k= 1?。? 【考點(diǎn)】9T:數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】利用向量垂直的充要條件:數(shù)量積為0;
利用向量模的平方等于向量的平方列出方程,求出k值. 【解答】解:∵ ∴ ∵垂直 ∴ 即 ∴k=1 故答案為:1 【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量垂直的充要條件、考查向量模的性質(zhì):向量模的平方等于向量的平方. 14.(5分)若變量x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最小值為 ﹣6?。? 【考點(diǎn)】7C:簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題. 【分析】在坐標(biāo)系中畫出約束條件的可行域,得到的圖形是一個(gè)平行四邊形,把目標(biāo)函數(shù)z=x+2y變化為y=﹣x+,當(dāng)直線沿著y軸向上移動(dòng)時(shí),z的值隨著增大,當(dāng)直線過(guò)A點(diǎn)時(shí),z取到最小值,求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得到最小值. 【解答】解:在坐標(biāo)系中畫出約束條件的可行域,得到的圖形是一個(gè)平行四邊形,目標(biāo)函數(shù)z=x+2y,變化為y=﹣x+,當(dāng)直線沿著y軸向上移動(dòng)時(shí),z的值隨著增大,當(dāng)直線過(guò)A點(diǎn)時(shí),z取到最小值,由y=x﹣9與2x+y=3的交點(diǎn)得到A(4,﹣5)∴z=4+2(﹣5)=﹣6 故答案為:﹣6. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃問題,考查根據(jù)不等式組畫出可行域,在可行域中,找出滿足條件的點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入,求出最值. 15.(5分)△ABC中,∠B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為. 【考點(diǎn)】HP:正弦定理;
HR:余弦定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】58:解三角形. 【分析】先利用余弦定理和已知條件求得BC,進(jìn)而利用三角形面積公式求得答案. 【解答】解:由余弦定理可知cosB==﹣,求得BC=﹣8或3(舍負(fù))∴△ABC的面積為?AB?BC?sinB=×5×3×= 故答案為:
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.在求三角形面積過(guò)程中,利用兩邊和夾角來(lái)求解是常用的方法. 16.(5分)已知兩個(gè)圓錐有公共底面,且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上,若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的,則這兩個(gè)圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為. 【考點(diǎn)】L5:旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái));
LG:球的體積和表面積.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
16:壓軸題. 【分析】所成球的半徑,求出球的面積,然后求出圓錐的底面積,求出圓錐的底面半徑,即可求出體積較小者的高與體積較大者的高的比值. 【解答】解:不妨設(shè)球的半徑為:4;
球的表面積為:64π,圓錐的底面積為:12π,圓錐的底面半徑為:2;
由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離,求的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形 由此可以求得球心到圓錐底面的距離是,所以圓錐體積較小者的高為:4﹣2=2,同理可得圓錐體積較大者的高為:4+2=6;
所以這兩個(gè)圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為:. 故答案為:
【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題,考查旋轉(zhuǎn)體的體積,球的內(nèi)接圓錐的體積的計(jì)算,考查計(jì)算能力,空間想象能力,??碱}型. 三、解答題(共8小題,滿分70分)17.(12分)已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=.(Ⅰ)Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:Sn=(Ⅱ)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 【考點(diǎn)】89:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題. 【分析】(I)根據(jù)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a1=,公比q=,求出通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn,然后經(jīng)過(guò)運(yùn)算即可證明.(II)根據(jù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 【解答】證明:(I)∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=,q= ∴an=×=,Sn= 又∵==Sn ∴Sn=(II)∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…+(﹣nlog33)=﹣(1+2+…+n)=﹣ ∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為:bn=﹣ 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和以及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). 18.(12分)如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明:PA⊥BD(Ⅱ)設(shè)PD=AD=1,求棱錐D﹣PBC的高. 【考點(diǎn)】LF:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積;
LW:直線與平面垂直.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
14:證明題;
15:綜合題. 【分析】(Ⅰ)因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,利用勾股定理證明BD⊥AD,根據(jù)PD⊥底面ABCD,易證BD⊥PD,根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可證PA⊥BD;
(II)要求棱錐D﹣PBC的高.只需證BC⊥平面PBD,然后得平面PBC⊥平面PBD,作DE⊥PB于E,則DE⊥平面PBC,利用勾股定理可求得DE的長(zhǎng). 【解答】解:(Ⅰ)證明:因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=,從而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(II)解:作DE⊥PB于E,已知PD⊥底面ABCD,則PD⊥BC,由(I)知,BD⊥AD,又BC∥AD,∴BC⊥BD. 故BC⊥平面PBD,BC⊥DE,則DE⊥平面PBC. 由題設(shè)知PD=1,則BD=,PB=2. 根據(jù)DE?PB=PD?BD,得DE=,即棱錐D﹣PBC的高為. 【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)中檔題.考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理,以及點(diǎn)到面的距離,查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力. 19.(12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn),各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗(yàn)結(jié)果:
A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10(Ⅰ)分別估計(jì)用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;
(Ⅱ)已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y= 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,其利潤(rùn)記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率)【考點(diǎn)】B2:簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;
BB:眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù);
CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
15:綜合題. 【分析】(I)根據(jù)所給的樣本容量和兩種配方的優(yōu)質(zhì)的頻數(shù),兩個(gè)求比值,得到用兩種配方的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值.(II)根據(jù)題意得到變量對(duì)應(yīng)的數(shù)字,結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和第一問的結(jié)果寫出變量對(duì)應(yīng)的概率,寫出分布列和這組數(shù)據(jù)的期望值. 【解答】解:(Ⅰ)由試驗(yàn)結(jié)果知,用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為 ∴用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3. 由試驗(yàn)結(jié)果知,用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 ∴用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42;
(Ⅱ)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中,其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間 [90,94),[94,102),[102,110]的頻率分別為0.04,0.54,0.42,∴P(X=﹣2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列為 X ﹣2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 ∴X的數(shù)學(xué)期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)抽樣和樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用,考查頻數(shù),頻率和樣本容量之間的關(guān)系,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,本題是一個(gè)綜合問題 20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2﹣6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x﹣y+a=0交與A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,求a的值. 【考點(diǎn)】J1:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
J8:直線與圓相交的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5B:直線與圓. 【分析】(Ⅰ)法一:寫出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標(biāo),構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程,通過(guò)解方程確定出圓心坐標(biāo),進(jìn)而算出半徑,寫出圓的方程;
法二:可設(shè)出圓的一般式方程,利用曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,根據(jù)同一性直接求出參數(shù),(Ⅱ)利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x﹣y+a=0的交點(diǎn)A,B坐標(biāo),通過(guò)OA⊥OB建立坐標(biāo)之間的關(guān)系,結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于a的方程,通過(guò)解方程確定出a的值. 【解答】解:(Ⅰ)法一:曲線y=x2﹣6x+1與y軸的交點(diǎn)為(0,1),與x軸的交點(diǎn)為(3+2,0),(3﹣2,0).可知圓心在直線x=3上,故可設(shè)該圓的圓心C為(3,t),則有32+(t﹣1)2=(2)2+t2,解得t=1,故圓C的半徑為,所以圓C的方程為(x﹣3)2+(y﹣1)2=9. 法二:圓x2+y2+Dx+Ey+F=0 x=0,y=1有1+E+F=0 y=0,x2 ﹣6x+1=0與x2+Dx+F=0是同一方程,故有D=﹣6,F(xiàn)=1,E=﹣2,即圓方程為x2+y2﹣6x﹣2y+1=0(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足方程組,消去y,得到方程2x2+(2a﹣8)x+a2﹣2a+1=0,由已知可得判別式△=56﹣16a﹣4a2>0. 在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=4﹣a,x1x2=①,由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以可得2x1x2+a(x1+x2)+a2=0② 由①②可得a=﹣1,滿足△=56﹣16a﹣4a2>0.故a=﹣1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求解,考查學(xué)生的待定系數(shù)法,考查學(xué)生的方程思想,直線與圓的相交問題的解決方法和設(shè)而不求的思想,考查垂直問題的解決思想,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,屬于直線與圓的方程的基本題型. 21.(12分)已知函數(shù)f(x)=+,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y﹣3=0.(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),f(x)>. 【考點(diǎn)】6E:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;
6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題;
16:壓軸題;
32:分類討論;
35:轉(zhuǎn)化思想. 【分析】(I)據(jù)切點(diǎn)在切線上,求出切點(diǎn)坐標(biāo);
求出導(dǎo)函數(shù);
利用導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率及切點(diǎn)在曲線上,列出方程組,求出a,b的值.(II)構(gòu)造新函數(shù),求出導(dǎo)函數(shù),通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,證得不等式. 【解答】解:(I). 由于直線x+2y﹣3=0的斜率為﹣,且過(guò)點(diǎn)(1,1)所以 解得a=1,b=1(II)由(I)知f(x)= 所以 考慮函數(shù),則 所以當(dāng)x≠1時(shí),h′(x)<0而h(1)=0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>0可得;
當(dāng) 從而當(dāng)x>0且x≠1時(shí),【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義:在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率、考查通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)性;
通過(guò)求函數(shù)的最值證明不等式恒成立. 22.(10分)如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個(gè)根.(Ⅰ)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑. 【考點(diǎn)】N7:圓周角定理;
NC:與圓有關(guān)的比例線段.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
14:證明題. 【分析】(I)做出輔助線,根據(jù)所給的AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣14x+mn=0的兩個(gè)根,得到比例式,根據(jù)比例式得到三角形相似,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,得到結(jié)論.(II)根據(jù)所給的條件做出方程的兩個(gè)根,即得到兩條線段的長(zhǎng)度,取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過(guò)G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH,根據(jù)四點(diǎn)共圓得到半徑的大小. 【解答】解:(I)連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中,AD×AB=mn=AE×AC,即 又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ∴C,B,D,E四點(diǎn)共圓.(Ⅱ)m=4,n=6時(shí),方程x2﹣14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12. 故AD=2,AB=12. 取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過(guò)G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH. ∵C,B,D,E四點(diǎn)共圓,∴C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH. 由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5,DF=(12﹣2)=5. 故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理,考查與圓有關(guān)的比例線段,考查一元二次方程的解,考查四點(diǎn)共圓的判斷和性質(zhì),本題是一個(gè)幾何證明的綜合題. 23.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))M是C1上的動(dòng)點(diǎn),P點(diǎn)滿足=2,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線θ=與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|. 【考點(diǎn)】J3:軌跡方程;
Q4:簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
16:壓軸題. 【分析】(I)先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)P滿足的條件代入曲線C1的方程即可求出曲線C2的方程;
(II)根據(jù)(I)將求出曲線C1的極坐標(biāo)方程,分別求出射線θ=與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1,以及射線θ=與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2,最后根據(jù)|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求. 【解答】解:(I)設(shè)P(x,y),則由條件知M(,).由于M點(diǎn)在C1上,所以即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))(Ⅱ)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ. 射線θ=與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1=4sin,射線θ=與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2=8sin. 所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,以及軌跡方程的求解和線段的度量,屬于中檔題. 24.設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥3x+2的解集(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤﹣1},求a的值. 【考點(diǎn)】R5:絕對(duì)值不等式的解法.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
16:壓軸題;
32:分類討論. 【分析】(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥3x+2可化為|x﹣1|≥2.直接求出不等式f(x)≥3x+2的解集即可.(Ⅱ)由f(x)≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等價(jià)不等式組,分別求解,然后求出a的值. 【解答】解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥3x+2可化為 |x﹣1|≥2. 由此可得x≥3或x≤﹣1. 故不等式f(x)≥3x+2的解集為 {x|x≥3或x≤﹣1}.(Ⅱ)由f(x)≤0得 |x﹣a|+3x≤0 此不等式化為不等式組 或 即或 因?yàn)閍>0,所以不等式組的解集為{x|x} 由題設(shè)可得﹣=﹣1,故a=2 【點(diǎn)評(píng)】本題是中檔題,考查絕對(duì)值不等式的解法,注意分類討論思想的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,常考題型.
第四篇:高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)?。ê馕霭妫?14版
2014年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)Ⅰ)一、選擇題(共12小題,每小題5分)1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},則A∩B=()A.[1,2)B.[﹣1,1] C.[﹣1,2)D.[﹣2,﹣1] 2.(5分)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 3.(5分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)?g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|?g(x)是奇函數(shù) C.f(x)?|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)?g(x)|是奇函數(shù) 4.(5分)已知F為雙曲線C:x2﹣my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A. B.3 C.m D.3m 5.(5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A. B. C. D. 6.(5分)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動(dòng)點(diǎn),角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為M,將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在[0,π]的圖象大致為()A. B. C. D. 7.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入的a,b,k分別為1,2,3,則輸出的M=()A. B. C. D. 8.(5分)設(shè)α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,則()A.3α﹣β= B.3α+β= C.2α﹣β= D.2α+β= 9.(5分)不等式組的解集記為D,有下列四個(gè)命題:
p1:?(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2 p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3p4:?(x,y)∈D,x+2y≤﹣1 其中真命題是()A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3 10.(5分)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若=4,則|QF|=()A. B.3 C. D.2 11.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)12.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A.6 B.6 C.4 D.4 二、填空題(共4小題,每小題5分)13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為 ?。ㄓ脭?shù)字填寫答案)14.(5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒去過(guò)B城市;
乙說(shuō):我沒去過(guò)C城市;
丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市;
由此可判斷乙去過(guò)的城市為 ?。?15.(5分)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若=(+),則與的夾角為 . 16.(5分)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,則△ABC面積的最大值為 ?。? 三、解答題 17.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ為常數(shù).(Ⅰ)證明:an+2﹣an=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由. 18.(12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);
(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用(i)的結(jié)果,求EX. 附:≈12.2. 若Z~N(μ,σ2)則P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544. 19.(12分)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)證明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值. 20.(12分)已知點(diǎn)A(0,﹣2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程. 21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處得切線方程為y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)證明:f(x)>1. 選修4-1:幾何證明選講 22.(10分)如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且CB=CE.(Ⅰ)證明:∠D=∠E;
(Ⅱ)設(shè)AD不是⊙O的直徑,AD的中點(diǎn)為M,且MB=MC,證明:△ADE為等邊三角形. 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23.已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù))(Ⅰ)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程.(Ⅱ)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值. 選修4-5:不等式選講 24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由. 2014年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)Ⅰ)參考答案與試題解析 一、選擇題(共12小題,每小題5分)1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},則A∩B=()A.[1,2)B.[﹣1,1] C.[﹣1,2)D.[﹣2,﹣1] 【考點(diǎn)】1E:交集及其運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5J:集合. 【分析】求出A中不等式的解集確定出A,找出A與B的交集即可. 【解答】解:由A中不等式變形得:(x﹣3)(x+1)≥0,解得:x≥3或x≤﹣1,即A=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),∵B=[﹣2,2),∴A∩B=[﹣2,﹣1]. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵. 2.(5分)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)的運(yùn)算.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5N:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù). 【分析】由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法,虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì),計(jì)算求得結(jié)果. 【解答】解:==﹣(1+i)=﹣1﹣i,故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法,虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 3.(5分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)?g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|?g(x)是奇函數(shù) C.f(x)?|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)?g(x)|是奇函數(shù) 【考點(diǎn)】3K:函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】51:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論. 【解答】解:∵f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),f(﹣x)?g(﹣x)=﹣f(x)?g(x),故函數(shù)是奇函數(shù),故A錯(cuò)誤,|f(﹣x)|?g(﹣x)=|f(x)|?g(x)為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤,f(﹣x)?|g(﹣x)|=﹣f(x)?|g(x)|是奇函數(shù),故C正確. |f(﹣x)?g(﹣x)|=|f(x)?g(x)|為偶函數(shù),故D錯(cuò)誤,故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵. 4.(5分)已知F為雙曲線C:x2﹣my2=3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A. B.3 C.m D.3m 【考點(diǎn)】KC:雙曲線的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
5D:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 【分析】雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出焦點(diǎn)坐標(biāo),一條漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式,可得結(jié)論. 【解答】解:雙曲線C:x2﹣my2=3m(m>0)可化為,∴一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),一條漸近線方程為=0,∴點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為=. 故選:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),考查點(diǎn)到直線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題. 5.(5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】C6:等可能事件和等可能事件的概率.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
5I:概率與統(tǒng)計(jì). 【分析】求得4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)、周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的情況,利用古典概型概率公式求解即可. 【解答】解:4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),共有24=16種情況,周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng),共有24﹣2=16﹣2=14種情況,∴所求概率為=. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型,是一個(gè)古典概型與排列組合結(jié)合的問題,解題時(shí)先要判斷該概率模型是不是古典概型,再要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù). 6.(5分)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動(dòng)點(diǎn),角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為M,將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在[0,π]的圖象大致為()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】3P:抽象函數(shù)及其應(yīng)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】57:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 【分析】在直角三角形OMP中,求出OM,注意長(zhǎng)度、距離為正,再根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義即可得到f(x)的表達(dá)式,然后化簡(jiǎn),分析周期和最值,結(jié)合圖象正確選擇. 【解答】解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,則OM=|cosx|,∴點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x)=OM|sinx| =|cosx|?|sinx|=|sin2x|,其周期為T=,最大值為,最小值為0,故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,同時(shí)考查二倍角公式的運(yùn)用. 7.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入的a,b,k分別為1,2,3,則輸出的M=()A. B. C. D. 【考點(diǎn)】EF:程序框圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5I:概率與統(tǒng)計(jì). 【分析】根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序,直到不滿足條件,計(jì)算輸出M的值. 【解答】解:由程序框圖知:第一次循環(huán)M=1+=,a=2,b=,n=2;
第二次循環(huán)M=2+=,a=,b=,n=3;
第三次循環(huán)M=+=,a=,b=,n=4. 不滿足條件n≤3,跳出循環(huán)體,輸出M=. 故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,根據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)行程序是解答此類問題的常用方法. 8.(5分)設(shè)α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,則()A.3α﹣β= B.3α+β= C.2α﹣β= D.2α+β= 【考點(diǎn)】GF:三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】56:三角函數(shù)的求值. 【分析】化切為弦,整理后得到sin(α﹣β)=cosα,由該等式左右兩邊角的關(guān)系可排除選項(xiàng)A,B,然后驗(yàn)證C滿足等式sin(α﹣β)=cosα,則答案可求. 【解答】解:由tanα=,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα=sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴當(dāng)時(shí),sin(α﹣β)=sin()=cosα成立. 故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,訓(xùn)練了利用排除法及驗(yàn)證法求解選擇題,是基礎(chǔ)題. 9.(5分)不等式組的解集記為D,有下列四個(gè)命題:
p1:?(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2 p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3p4:?(x,y)∈D,x+2y≤﹣1 其中真命題是()A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3 【考點(diǎn)】2K:命題的真假判斷與應(yīng)用;
7A:二元一次不等式的幾何意義.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】59:不等式的解法及應(yīng)用;
5L:簡(jiǎn)易邏輯. 【分析】作出不等式組的表示的區(qū)域D,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可. 【解答】解:作出圖形如下:
由圖知,區(qū)域D為直線x+y=1與x﹣2y=4相交的上部角型區(qū)域,p1:區(qū)域D在x+2y≥﹣2 區(qū)域的上方,故:?(x,y)∈D,x+2y≥﹣2成立;
p2:在直線x+2y=2的右上方和區(qū)域D重疊的區(qū)域內(nèi),?(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2正確;
p3:由圖知,區(qū)域D有部分在直線x+2y=3的上方,因此p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3錯(cuò)誤;
p4:x+2y≤﹣1的區(qū)域(左下方的虛線區(qū)域)恒在區(qū)域D下方,故p4:?(x,y)∈D,x+2y≤﹣1錯(cuò)誤;
綜上所述,p1、p2正確;
故選:C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于難題. 10.(5分)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若=4,則|QF|=()A. B.3 C. D.2 【考點(diǎn)】K8:拋物線的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
5D:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 【分析】求得直線PF的方程,與y2=8x聯(lián)立可得x=1,利用|QF|=d可求. 【解答】解:設(shè)Q到l的距離為d,則|QF|=d,∵=4,∴|PQ|=3d,∴不妨設(shè)直線PF的斜率為﹣=﹣2,∵F(2,0),∴直線PF的方程為y=﹣2(x﹣2),與y2=8x聯(lián)立可得x=1,∴|QF|=d=1+2=3,故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題. 11.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)【考點(diǎn)】53:函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
51:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;
53:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 【分析】由題意可得f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;
分類討論確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及位置即可. 【解答】解:∵f(x)=ax3﹣3x2+1,∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;
①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=﹣3x2+1有兩個(gè)零點(diǎn),不成立;
②當(dāng)a>0時(shí),f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上有零點(diǎn),故不成立;
③當(dāng)a<0時(shí),f(x)=ax3﹣3x2+1在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn);
故f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上沒有零點(diǎn);
而當(dāng)x=時(shí),f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上取得最小值;
故f()=﹣3?+1>0;
故a<﹣2;
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,﹣2);
故選:D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用,同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題. 12.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A.6 B.6 C.4 D.4 【考點(diǎn)】L!:由三視圖求面積、體積.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5F:空間位置關(guān)系與距離. 【分析】畫出圖形,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出棱長(zhǎng),推出結(jié)果即可. 【解答】解:幾何體的直觀圖如圖:AB=4,BD=4,C到BD的中點(diǎn)的距離為:4,∴.AC==6,AD=4,顯然AC最長(zhǎng).長(zhǎng)為6. 故選:B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的棱長(zhǎng),考查計(jì)算能力. 二、填空題(共4小題,每小題5分)13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為 ﹣20 .(用數(shù)字填寫答案)【考點(diǎn)】DA:二項(xiàng)式定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
5P:二項(xiàng)式定理. 【分析】由題意依次求出(x+y)8中xy7,x2y6,項(xiàng)的系數(shù),求和即可. 【解答】解:(x+y)8的展開式中,含xy7的系數(shù)是:8. 含x2y6的系數(shù)是28,∴(x﹣y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為:8﹣28=﹣20. 故答案為:﹣20 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力. 14.(5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒去過(guò)B城市;
乙說(shuō):我沒去過(guò)C城市;
丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市;
由此可判斷乙去過(guò)的城市為 A?。? 【考點(diǎn)】F4:進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5M:推理和證明. 【分析】可先由乙推出,可能去過(guò)A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一個(gè),再由丙即可推出結(jié)論. 【解答】解:由乙說(shuō):我沒去過(guò)C城市,則乙可能去過(guò)A城市或B城市,但甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒去過(guò)B城市,則乙只能是去過(guò)A,B中的任一個(gè),再由丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市,則由此可判斷乙去過(guò)的城市為A. 故答案為:A. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單的合情推理,要抓住關(guān)鍵,逐步推斷,是一道基礎(chǔ)題. 15.(5分)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若=(+),則與的夾角為 90° . 【考點(diǎn)】9S:數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5A:平面向量及應(yīng)用. 【分析】根據(jù)向量之間的關(guān)系,利用圓直徑的性質(zhì),即可得到結(jié)論. 【解答】解:在圓中若=(+),即2=+,即+的和向量是過(guò)A,O的直徑,則以AB,AC為鄰邊的四邊形是矩形,則⊥,即與的夾角為90°,故答案為:90° 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角的計(jì)算,利用圓直徑的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ). 16.(5分)已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,則△ABC面積的最大值為. 【考點(diǎn)】HP:正弦定理;
HR:余弦定理.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
35:轉(zhuǎn)化思想;
48:分析法;
58:解三角形. 【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得2a﹣b2=c2﹣bc,結(jié)合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面積公式即可計(jì)算得解. 【解答】解:因?yàn)椋海?+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC ?(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c ?2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc,又因?yàn)椋篴=2,所以:,△ABC面積,而b2+c2﹣a2=bc ?b2+c2﹣bc=a2 ?b2+c2﹣bc=4 ?bc≤4 所以:,即△ABC面積的最大值為. 故答案為:. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題. 三、解答題 17.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ為常數(shù).(Ⅰ)證明:an+2﹣an=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】83:等差數(shù)列的性質(zhì);
8H:數(shù)列遞推式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】54:等差數(shù)列與等比數(shù)列. 【分析】(Ⅰ)利用anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相減即可得出;
(Ⅱ)假設(shè)存在λ,使得{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d.可得λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,.得到λSn=,根據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是,解得λ即可. 【解答】(Ⅰ)證明:∵anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,∴an+1(an+2﹣an)=λan+1 ∵an+1≠0,∴an+2﹣an=λ.(Ⅱ)解:假設(shè)存在λ,使得{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d. 則λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,∴. ∴,∴λSn=1+=,根據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是,解得λ=4. 此時(shí)可得,an=2n﹣1. 因此存在λ=4,使得{an}為等差數(shù)列. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,考查了推理能力和計(jì)算能力、分類討論的思想方法,屬于難題. 18.(12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);
(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用(i)的結(jié)果,求EX. 附:≈12.2. 若Z~N(μ,σ2)則P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544. 【考點(diǎn)】CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差;
CP:正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11:計(jì)算題;
5I:概率與統(tǒng)計(jì). 【分析】(Ⅰ)運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式,即可求出;
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),從而求出P(187.8<Z<212.2),注意運(yùn)用所給數(shù)據(jù);
(ii)由(i)知X~B(100,0.6826),運(yùn)用EX=np即可求得. 【解答】解:(Ⅰ)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為:
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),從而P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826;
(ii)由(i)知一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826,依題意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差,以及正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解,考查運(yùn)算能力. 19.(12分)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)證明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值. 【考點(diǎn)】M7:空間向量的夾角與距離求解公式;
MJ:二面角的平面角及求法.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5H:空間向量及應(yīng)用. 【分析】(1)連結(jié)BC1,交B1C于點(diǎn)O,連結(jié)AO,可證B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,進(jìn)而可得AC=AB1;
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸的正方向,||為單位長(zhǎng)度,的方向?yàn)閥軸的正方向,的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,分別可得兩平面的法向量,可得所求余弦值. 【解答】解:(1)連結(jié)BC1,交B1C于點(diǎn)O,連結(jié)AO,∵側(cè)面BB1C1C為菱形,∴BC1⊥B1C,且O為BC1和B1C的中點(diǎn),又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO?平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10=CO,∴AC=AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O為B1C的中點(diǎn),∴AO=CO,又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸的正方向,||為單位長(zhǎng)度,的方向?yàn)閥軸的正方向,的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1為正三角形,又AB=BC,∴A(0,0,),B(1,0,0,),B1(0,0),C(0,0)∴=(0,),==(1,0,),==(﹣1,0),設(shè)向量=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,則,可取=(1,),同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量=(1,﹣,),∴cos<,>==,∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量法解決立體幾何問題,建立坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題. 20.(12分)已知點(diǎn)A(0,﹣2),橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率為,F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程. 【考點(diǎn)】K4:橢圓的性質(zhì);
KH:直線與圓錐曲線的綜合.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5D:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 【分析】(Ⅰ)通過(guò)離心率得到a、c關(guān)系,通過(guò)A求出a,即可求E的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx﹣2,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)將y=kx﹣2代入,利用△>0,求出k的范圍,利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面積表達(dá)式,利用換元法以及基本不等式求出最值,然后求解直線方程. 【解答】解:(Ⅰ)設(shè)F(c,0),由條件知,得=又,所以a=2=,b2=a2﹣c2=1,故E的方程.….(5分)(Ⅱ)依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意,故設(shè)直線l:y=kx﹣2,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)將y=kx﹣2代入,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,當(dāng)△=16(4k2﹣3)>0,即時(shí),從而=+ 又點(diǎn)O到直線PQ的距離,所以△OPQ的面積=,設(shè),則t>0,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,k=±等號(hào)成立,且滿足△>0,所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),l的方程為:y=x﹣2或y=﹣x﹣2.…(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,橢圓的求法,基本不等式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力. 21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處得切線方程為y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)證明:f(x)>1. 【考點(diǎn)】6E:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;
6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題;
53:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 【分析】(Ⅰ)求出定義域,導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)題意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等價(jià)于xlnx>xe﹣x﹣,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,函數(shù)h(x)=,只需證明g(x)min>h(x)max,利用導(dǎo)數(shù)可分別求得g(x)min,h(x)max;
【解答】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=+,由題意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+,∵f(x)>1,∴exlnx+>1,∴l(xiāng)nx>﹣,∴f(x)>1等價(jià)于xlnx>xe﹣x﹣,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g′(x)=1+lnx,∴當(dāng)x∈(0,)時(shí),g′(x)<0;
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),g′(x)>0. 故g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g()=﹣. 設(shè)函數(shù)h(x)=xe﹣x﹣,則h′(x)=e﹣x(1﹣x). ∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為h(1)=﹣. 綜上,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即f(x)>1. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等,考查轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生分析解決問題的能力. 選修4-1:幾何證明選講 22.(10分)如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且CB=CE.(Ⅰ)證明:∠D=∠E;
(Ⅱ)設(shè)AD不是⊙O的直徑,AD的中點(diǎn)為M,且MB=MC,證明:△ADE為等邊三角形. 【考點(diǎn)】NB:弦切角;
NC:與圓有關(guān)的比例線段.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】15:綜合題;
5M:推理和證明. 【分析】(Ⅰ)利用四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可證明:∠D=∠E;
(Ⅱ)設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連接MN,證明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,進(jìn)而可得∠A=∠E,即可證明△ADE為等邊三角形. 【解答】證明:(Ⅰ)∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠D=∠CBE,∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;
(Ⅱ)設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連接MN,則由MB=MC知MN⊥BC,∴O在直線MN上,∵AD不是⊙O的直徑,AD的中點(diǎn)為M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE為等邊三角形. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題. 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23.已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù))(Ⅰ)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程.(Ⅱ)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值. 【考點(diǎn)】KH:直線與圓錐曲線的綜合;
QH:參數(shù)方程化成普通方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】5S:坐標(biāo)系和參數(shù)方程. 【分析】(Ⅰ)聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲線C的參數(shù)方程,直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ,3sinθ).由點(diǎn)到直線的距離公式得到P到直線l的距離,除以 sin30°進(jìn)一步得到|PA|,化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值. 【解答】解:(Ⅰ)對(duì)于曲線C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲線C的參數(shù)方程為,(θ為參數(shù)). 對(duì)于直線l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;
(Ⅱ)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ,3sinθ). P到直線l的距離為. 則,其中α為銳角. 當(dāng)sin(θ+α)=﹣1時(shí),|PA|取得最大值,最大值為. 當(dāng)sin(θ+α)=1時(shí),|PA|取得最小值,最小值為. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化,訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題. 選修4-5:不等式選講 24.若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】RI:平均值不等式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】59:不等式的解法及應(yīng)用. 【分析】(Ⅰ)由條件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.(Ⅱ)根據(jù) ab≥2及基本不等式求的2a+3b>8,從而可得不存在a,b,使得2a+3b=6. 【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,∴=+≥2,∴ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào). ∵a3+b3 ≥2≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào),∴a3+b3的最小值為4.(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí),取等號(hào). 而由(1)可知,2≥2=4>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式在最值中的應(yīng)用,要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立條件是否具備,屬于基礎(chǔ)題.
第五篇:2012江蘇高考數(shù)學(xué)試卷評(píng)析
2012年江蘇數(shù)學(xué)高考試題總體評(píng)述
江蘇省常熟市中學(xué) 査正開 215500
2012年高考江蘇數(shù)學(xué)試卷繼續(xù)遵循了新課程高考方案的基本思想,試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,突出雙基,重視能力,知識(shí)點(diǎn)廣,容易上手,難度遞增,區(qū)分提升,利于選拔,各種層次的考生可以充分展現(xiàn)自己的真實(shí)能力。
卷Ⅰ的填空題著重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,對(duì)數(shù)學(xué)能力考查體現(xiàn)不同的要求,較去年穩(wěn)中有降。1~9題是體現(xiàn)最低要求的容易題,只需稍作運(yùn)算即可順利完成;10~14題復(fù)雜程度、能力要求和解題難度有所提升,對(duì)把握概念本質(zhì)屬性和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法提出較高要求,對(duì)考生的想像力、抽象度、靈活性、深刻性等思維品質(zhì)提出更大的挑戰(zhàn)。
解答題著重考查綜合運(yùn)用知識(shí)、分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。第16題、第15與17題、第19題、第18與20題分別形成四個(gè)不同的水平層次。第一層次是基礎(chǔ)知識(shí)和推理論證的最低要求;第二層次重在對(duì)知識(shí)和方法的綜合運(yùn)用,重在基本運(yùn)算能力的要求;第三層次突出對(duì)知識(shí)和方法的靈活運(yùn)用,加大了分析和解決問題的思考力度;第四層次重點(diǎn)考查解決新問題的能力,體現(xiàn)了對(duì)考生的高層次數(shù)學(xué)思維能力的要求和高水平數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。但是每道題設(shè)置由易到難2-3小問,對(duì)考生提供了啟發(fā)性幫助。
總之今年的高考數(shù)學(xué)試題重點(diǎn)突出,層次分明,逐步深入,使學(xué)生解題入手容易,心理狀態(tài)平和,正常發(fā)揮能力,自我滿意程度提高。試題能力要求提高,層次區(qū)分明顯,獲得高分并非易事,但有利于不同層次的高校選拔各自滿意的人才。因而今年高考數(shù)學(xué)試卷在學(xué)生、家長(zhǎng)和教師中,在學(xué)校、民間和社會(huì)上獲得普遍良好的評(píng)價(jià)。