第一篇：構(gòu)造法在結(jié)構(gòu)教學(xué)中的應(yīng)用辯個人自述

個人自述

各位老師，下午好！

我是09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)師范二班的某某，我的論文題目是《構(gòu)造法在初等代數(shù)中的運(yùn)用》，本論文是在某某老師的悉心指導(dǎo)下完成的。下面請允許我將論文的研究目的及結(jié)構(gòu)向老師做以簡要說明，懇請各位老師批評指導(dǎo)。

構(gòu)造思想方法是一種重要的思想方法，構(gòu)造法在初等數(shù)學(xué)中具有廣泛的運(yùn)用。在我的論文中，我主要研究了構(gòu)造法在初等代數(shù)中的運(yùn)用方法。在初等代數(shù)構(gòu)造法的運(yùn)用中常通過構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造幾何圖形等方法，在解決方程問題、函數(shù)問題、不等式證明問題及求最值等具體問題中得到了廣泛的運(yùn)用。熟練掌握構(gòu)造法有利于學(xué)生熟悉所學(xué)過的各知識間的內(nèi)在聯(lián)系，并運(yùn)用到解決問題的過程中，對于培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力、創(chuàng)新能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于發(fā)現(xiàn)的習(xí)慣具有重要作用。

本篇論文分為三部分。第一部分，我首先寫出了研究構(gòu)造法的目的和意義，闡述了構(gòu)造法的發(fā)展階段及解題原則。第二部分，對方程、函數(shù)及幾何圖形中具體的構(gòu)造方法進(jìn)行了說明，而且給出例題加以分析和理解。第三部分，論述了構(gòu)造法在初等代數(shù)中可以培養(yǎng)學(xué)生的能力，并通過所舉例題進(jìn)行進(jìn)一步理解構(gòu)造法是如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的。

本文是在查閱了大量的相關(guān)資料并選取了很多相關(guān)例題從而研究形成的。由于我的能力有限，論文還有很多不足之處，論文中對于每種具體的構(gòu)造方法的內(nèi)涵發(fā)掘還不夠深入，對于構(gòu)造法在初等代數(shù)中的運(yùn)用還不夠全面，缺乏一定的創(chuàng)造性。

經(jīng)過本次論文的寫作，我學(xué)習(xí)到了很多知識，并積累了不少經(jīng)驗。在此我特別感謝劉紅玉老師對我悉心的指導(dǎo)和幫助，并向今天參加我論文答辯的老師表示由衷的感謝。通過此次的答辯，希望各位老師指出我的錯誤和不足之處，我將會虛心接受，從而進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)和研究，使論文得到提高和完善。

以上是我對自己論文的簡單介紹，謝謝！

第二篇：構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（小編推薦）

構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

“作差法”構(gòu)造

證明不等式或解決不等式恒成立問題都可以利用作差法將不等式右邊轉(zhuǎn)化為0，然后構(gòu)造新函數(shù)[F（x）]，最后根據(jù)新函數(shù)[F（x）]的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0來解決.]

例1 設(shè)函數(shù)[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求證：當(dāng)[0

∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.]

∴[F（x）]在（0，1]上單調(diào)遞減.∵[F（1）=12-0-12=0，]

∴[F（x）]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時，等號成立.∴當(dāng)[0

恒成立問題中，求參數(shù)范圍的問題，常常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]為構(gòu)造的新函數(shù).例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，則實數(shù)[a]的取值范圍是（）

A.（-∞，0）B.（-∞，4]

C.（0，+∞）D.[4，+∞）

解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.設(shè)[h（x）=2lnx+x+3x]，則[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].當(dāng)[x∈（0，1）]時，[h′（x）<0]，函數(shù)[h（x）]單調(diào)遞減；

當(dāng)[x∈（1，+∞）]時，[h′（x）>0]，函數(shù)[h（x）]單調(diào)遞增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B

根據(jù)題干的“結(jié)構(gòu)特征”猜想構(gòu)造

1.根據(jù)運(yùn)算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2來構(gòu)造]

例3 已知函數(shù)[f（x）]的定義域是[R]，[f（0）=2]，對任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，則不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集為（）

A.（0，+∞）B.（-∞，0）

C.（-1，+∞）D.（2，+∞）

解析構(gòu)造函數(shù)[g（x）=ex?f（x）-ex]，因為[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex]

[>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]為[R]上的增函數(shù).又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式轉(zhuǎn)化為[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A

例4 設(shè)函數(shù)[f（x）]滿足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]則當(dāng)[x>0]時，[f（x）]（）

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值又無極小值

解析構(gòu)造函數(shù)[F（x）=x2?f（x）]

則[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，]

[令h（x）=ex-2F（x），則h（x）=ex（x-2）x.]

[∴h（x）]在（0，2）上單調(diào)遞減；在[（2，+∞）]上單調(diào)遞增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.]

答案 D

2.根據(jù)已知條件等價轉(zhuǎn)化后再以“形式”來構(gòu)造

運(yùn)用下列形式的等價變形構(gòu)造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 絕對值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指對數(shù)形式[1×2×3×4×?×n≥en-sn.]

例5 設(shè)函數(shù)[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）當(dāng)[m=e]（[e]為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求[f（x）]的極小值；

（2）討論函數(shù)[g（x）=f（x）-3x]零點(diǎn)的個數(shù)；

（3）若對任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范圍.解析（1）當(dāng)[m=e]時，[f（x）=lnx+ex]，則[f（x）=x-ex2].∴當(dāng)[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上單調(diào)遞減；

當(dāng)[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上單調(diào)遞增.∴[x=e]時，[f（x）]取得極小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的極小值為2.（2）由題設(shè)知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].設(shè)[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，則[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，當(dāng)[x∈（0，1]）時，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)[x∈（1，+∞）]時，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞減.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn).因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值點(diǎn).∴[φ（x）]的最大值為[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，結(jié)合[y=φ（x）]的圖象（如圖）可知，①當(dāng)[m>23]時，函數(shù)[g（x）]無零點(diǎn)；

②當(dāng)[m=23]時，函數(shù)[g（x）]有且只有一個零點(diǎn)；

③當(dāng)[0

④當(dāng)[m≤0]時，函數(shù)[g（x）]有且只有一個零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)[m>23]時，函數(shù)[g（x）]無零點(diǎn)；

當(dāng)[m=23]或[m≤0]時，函數(shù)[g（x）]有且只有一個零點(diǎn)；

當(dāng)[0a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立[?f（b）-b0）]，∴[h（x）]在（0，+∞）上單調(diào)遞減.由[h′（x）=1x-mx2-1≤0]在（0，+∞）上恒成立得，[m≥-x2+x=-（x-12）2+14（x>0）]恒成立.∴[m≥14（對m=14，h（x）=0僅在x=12時成立）.]

∴[m]的取值范圍是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性；

（2）[設(shè)a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范圍.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.]

[①當(dāng)a≥0時，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.②當(dāng)-10時，f（x）在（0，-a+12a）上單調(diào)遞增；當(dāng)f（x）<0時，f（x）在（-a+12a，+∞）上單調(diào)遞減.③當(dāng)a≤-1時，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.]

（2）不妨設(shè)[x1≤x2，]由（1）可知，當(dāng)[a<-1]時，[f（x）]在[（0，+∞）上單調(diào)遞減.]

[則有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2]

[?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）]

[?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.]

[構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+4x，則g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.]

[設(shè)φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），]

[則φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.]

[故φ（x）在（0，12）上單調(diào)遞減；][在（12，+∞）上單調(diào)遞增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.]

[∴a≤-2.]

第三篇：微積分學(xué)中的函數(shù)構(gòu)造法在求解不等式問題的應(yīng)用

函數(shù)構(gòu)造法在證明不等式方面的應(yīng)用

楊利輝

(成都紡織高等?？茖W(xué)校人文社科與基礎(chǔ)部，成都 611731)

作者：楊利輝（1970-），女，助教，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及研究。

摘要：關(guān)于不等式的證明方法有很多種，而運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法證明不等式使得問題簡單化，本文闡述了數(shù)學(xué)中構(gòu)造法的含義及其應(yīng)用所產(chǎn)生的影響，用實例介紹了函數(shù)構(gòu)造方法的幾種應(yīng)用情形。關(guān)鍵詞：函數(shù)構(gòu)造法；不等式；證明

Abstract： There are various methods can be applied to prove the inequalities.Especially, the method of construction can make the problems of inequalitybe simplified.We first state the meaning of the method of construction which applies effectively to resolve the problems of inequality in advanced mathematics.Then, construction of function, graphic solution, inequality equation and so on will be introduced.And a soundly explanation of various method of construction will be given by illustration.Keywords：The method of structure；Inequality；Constructing function;continuous1、構(gòu)造法及其意義

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在于善于尋求解題方法，發(fā)現(xiàn)一條擺脫疑難、繞過障礙的途徑，實現(xiàn)從已知到未知的轉(zhuǎn)化，在解題過程中，由于某種需要，要把題設(shè)條件中的關(guān)系構(gòu)造出來，將關(guān)系設(shè)想在某個模型之上得以實現(xiàn)，將已知條件經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪壿嫿M合而創(chuàng)造出一種新的形式，從而使問題得到解決.構(gòu)造法是根據(jù)問題的有關(guān)信息確定特定的映射關(guān)系構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)學(xué)模型的數(shù)理機(jī)制的研究，從而達(dá)到解題的一種化歸方法?；瘹w是一種間接解決問題的方法，它在解決數(shù)學(xué)問題中的作用在于轉(zhuǎn)化，就是把待解決或未解決的問題進(jìn)行變形，分割，映射，或者簡單化，或熟悉化，或具體化，直到歸納到一類已經(jīng)能夠解決或者比較容易解決的問題中去.運(yùn)用構(gòu)造法解題的巧妙之處在于不是直接去解問題A，而是構(gòu)造一個與問題A有關(guān) 的輔助問題B，通過解答問題B 而達(dá)到解決問題A的目的.構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中最具有挑戰(zhàn) 性的解題思路，它的合理使用使復(fù)雜問題簡單化.特別是對于解決不等式問題，因為不 第1頁

等式是兩個數(shù)值或兩個代數(shù)式或兩個函數(shù)大小的比較，不等式的證明方法有很多種，而采取構(gòu)造法證明不等式不僅可以提高解題速度，同時也拓寬了解題思維.構(gòu)造法作為一種創(chuàng)造性的思維活動，對思維能力的培養(yǎng)和提高也有很大的益處，它作為一種重要的數(shù)學(xué)思想和常用數(shù)學(xué)方法，具有廣泛的應(yīng)用，在證明過程中，既能逢難化易，又能活躍思維，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一個極好的切入點(diǎn).本文通過幾個實例，闡述如何運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法來證明不等式的問題.2、幾種常見的函數(shù)構(gòu)造方法

在證明不等式時，先認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，或者作適當(dāng)?shù)淖冃魏笤儆^察，然后構(gòu)造出一個與該不等式有關(guān)的輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去證明不等式，這種證明不等式的方法就叫做函數(shù)構(gòu)造法。

2.1 利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造輔助函數(shù)：

若f?x?在[a,b]上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，且對于任何x∈(a,b)有f??x??0 則f?x? 在[a,b]上單調(diào)增加；若f??x??0，則f?x?在[a,b]上單調(diào)減小.例1已知m、n、都為正整數(shù),且1?m?n，證明：(1?m)n?(1?n)m.分析利用不等式左右兩端形成一致構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合單調(diào)性來解決問題.證設(shè)f?x??ln?1?x?(x?2)，x

1x?ln(1?x)

則f??x??，因為x?2，2x

x?1,ln(1?x)?lne?1，所以1?x

所以f??x??0，故f(x)在(2,+∞)時是減函數(shù), 即ln(1?m)ln(1?n)?，mn

所以ln(1?m)n?ln(1?n)m,故原不等式成立.例2設(shè)實數(shù)a,b,c，滿足|a|?1,|b|?1,|c|?1，求證：abc?2?a?b?c.證構(gòu)造函數(shù)f?a???abc?2???a?b?c???bc?1?a??c?b?2?，因為|b|?1,|c|?1,所以bc?1?0，故f(a)為關(guān)于變數(shù)a的一次函數(shù)，且f(a)在（-1，1）上為單調(diào)函數(shù)，而f?1???bc?1???c?b?2???b?1??c?1?，由|b|?1,|c|?1知f(1)?0故f(a)為減函數(shù)，當(dāng)?1?a?1時，有f(a)?f(1)?0.從而題設(shè)條件下有abc?2?a?b?c.2.2利用函數(shù)的局部保號性

例3已知|a|?1,|b|?1,|c|?1,求證：ab?bc?ac??1.證原不等式形為?b?c?a?bc?1?0，構(gòu)造函數(shù)f(a)??b?c?a?bc?1，若b?c?0，不等式成立，若b?c?0，則f?a?是a的一次函數(shù),又－1＜a＜1，而f??1???b?c?bc?1??1?b??1?c??0，f?1??b?c?bc?1??1?b??1?c??0,由單調(diào)函數(shù)的局部保號性有 f?a??0，從而得到ab?bc?ac??1.2.3利用整函數(shù)多項式的性質(zhì)

20062006

例

4是整數(shù).分析:分子中兩個冪底數(shù)的第二項與分母都相同，聯(lián)想到函數(shù)值的求法。

證明：構(gòu)造函數(shù) f?x???1?x?

因f??x???f?x?，故f(x)是一個只含有 x 奇次項且不含常數(shù)項的整系數(shù)多項式函數(shù)，因此f(x)是一個只含有偶次項的整系數(shù)多項式函數(shù)，x2006??1?x?2006，又因為x

故原式是整數(shù).2.4利用函數(shù)的凹凸性

設(shè)函數(shù)y?f?x?在[a，b]上連續(xù)，若對[a，b]中任意兩個值x1和x2（x1?x2），恒有f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，則稱y?f(x)在[a，b]上是上凸的；若恒有2

2x?xf(x1)?f(x2)f(12)?則稱y?f(x)在[a，b]上是上凹的.22

b]上是上凸的，若y?f(x)在[a，則對該區(qū)間內(nèi)任意n個自變量的值x1,x2,x3,?,xn

有不等式

f(x1?x2?????xnf(x1)?f(x2)?????f(xn))?成立 nn

而且僅當(dāng)x1?x2?x3?????xn 時等號成立.例

5、在?ABC中，求證：sinA?sinB?sinC?

證明：設(shè)x1?x2且x1、x2?(0,?)，令f(x)?sinx，因為f(x1)?f(x2)sinx1?sinx2x?xx?xx?xx?x??sin12cos12?sin12?f(12)，22222233.2所以y?sinx在[0，?]上是上凸的，因為A，B，C?(0,?)根據(jù)定理有

故sinA?sinB?sinC?

3.2sinA?sinB?sinCA?B?C??sin?sin，3333、小結(jié)

本文介紹了運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法證明不等式的一些方法。利用函數(shù)構(gòu)造法證明不等式需要認(rèn)真分析要證明的不等式所具有的特點(diǎn)，引用不同的構(gòu)造法，然后運(yùn)用其特性對不等式加以證明。

構(gòu)造法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常的廣泛，運(yùn)用構(gòu)造法解決不等式問題培養(yǎng)了學(xué)生具有創(chuàng)

造性的數(shù)學(xué)能力和解決實際問題的能力，而創(chuàng)造性的能力的體現(xiàn)是創(chuàng)造性思維。

對于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)也有一定的加強(qiáng)作用，有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性，把學(xué)生和教師從題海中解放出來，從而減輕教與學(xué)的過重負(fù)擔(dān)。

參考文獻(xiàn)

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第四篇：構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

【摘要】 構(gòu)造思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，具有較強(qiáng)的靈活性與創(chuàng)造性.通過構(gòu)造數(shù)列對數(shù)學(xué)分析中的二個重要定理進(jìn)行了證明，不僅加深了知識點(diǎn)的理解，而且對提高學(xué)生解決問題的能力有重要意義.【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想方法；構(gòu)造數(shù)列；輔助元素

【課題名稱】 獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方法探究與改革 【課題編號】 JG2014014

一、引 言

數(shù)學(xué)分析蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如類比、變換、化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、遞推歸納、數(shù)形結(jié)合等，構(gòu)造思想是層次較高的一種，靈活運(yùn)用可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高解決問題的能力.二、構(gòu)造思想的涵義

在解決問題時，根據(jù)問題的條件和結(jié)論或問題的性質(zhì)和特點(diǎn)，構(gòu)造出一個與研究對象緊密相關(guān)的輔助元素，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使原問題得以解決；或者構(gòu)造出一個符合條件但是不滿足結(jié)論的反例來否定結(jié)論.三、構(gòu)造思想的應(yīng)用

該思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用廣泛，如通過構(gòu)造函數(shù)證明微分中值定理、通過構(gòu)造圖像證明不等式、通過構(gòu)造不等式證明重要極限、通過構(gòu)造反例證明發(fā)散等，在此主要介紹構(gòu)造數(shù)列的應(yīng)用.1.在數(shù)列與其子列的關(guān)系中的應(yīng)用

數(shù)列及其數(shù)列的子列有以下的性質(zhì)定理：

數(shù)列{an}收斂當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列{an}的任何子列都收斂，且極限值相等.即

lim n→∞ an=a任意子列{ank}，有l(wèi)im k→∞ ank=a

該定理在分析數(shù)列收斂性，特別是證明數(shù)列發(fā)散中有非常重要的作用，只要找到一個發(fā)散的子列或者是找到兩個收斂的子列極限值不同即可說明，如數(shù)列-1 n，其偶數(shù)項組成的子列收斂于1，奇數(shù)項組成的子列收斂于-1，從而-1 n 發(fā)散.該定理的應(yīng)用較多，但其充分性的證明在教材中大都沒有給出具體證明，下面通過構(gòu)造的思想對其充分性進(jìn)行詳細(xì)的證明，方便學(xué)生加深理解.例1 對于數(shù)列{an}，若{an}的任意子列{ank}都有l(wèi)im k→∞ ank=a，則lim n←∞ an=a

分析 題目的條件情況太多我們不好入手，且已知若{an}收斂，則{an}的任何子列都收斂，且極限值相等，故選擇反證法，假設(shè){an}不收斂于a，只要可以構(gòu)造出一個子列不收斂于a即可.2.在海涅定理中的應(yīng)用

海涅定理是連接函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁，有24種形式，但教材中一般只給x→x0這一種證明，其他的只給出結(jié)論或留給讀者.下面通過構(gòu)造的思想對x→∞的情況的充分性進(jìn)行證明.四、小 結(jié)

通過以上的結(jié)果，可知構(gòu)造思想比較靈活，但在解題過程中，只要弄清楚條件與結(jié)論的本質(zhì)特點(diǎn)，找出其中的聯(lián)系便可構(gòu)造出實現(xiàn)目的的輔助元素.其次海涅定理的其余幾種形式的證明可參考上述證明過程.【參考文獻(xiàn)】

[1]明清河.數(shù)學(xué)分析的思想與方法[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2004，7.[2]劉江蓉.用構(gòu)造思想鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性思維[J].高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，6.[3]王兵.概率統(tǒng)計的思想方法[M].濟(jì)南：山東教育出版社，2007，8.[4]劉玉璉，傅沛仁等.數(shù)學(xué)分析講義（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.5.[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

第五篇：構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用

1220510062呂彬

摘 要：構(gòu)造是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)里是最重要的思想方法之一，它能夠簡化其運(yùn)算量，探求最優(yōu)解法，充分發(fā)揮創(chuàng)造性，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識間的聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的學(xué)習(xí)能力。本文主要探討構(gòu)造法在解決數(shù)學(xué)問題中的基本思想和策略,并且以具體實例探討構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，目的是為解決數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)和研究提供相應(yīng)參考。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;模型;數(shù)學(xué)問題；

構(gòu)造思想，簡而言之就是指在對問題進(jìn)行仔細(xì)的分析、對其實質(zhì)進(jìn)行了解深刻的基礎(chǔ)之上，借助邏輯思維推理或長期經(jīng)驗的積累，充分發(fā)揮較強(qiáng)的想象力和創(chuàng)造性，把原有問題從原來的模式中轉(zhuǎn)化為更具反映其本質(zhì)特征的新模式的思想方法。

構(gòu)造法就是構(gòu)造出運(yùn)用定理或公式的條件，或者對于所解決的題目賦予幾何上的意義，構(gòu)造是數(shù)學(xué)運(yùn)用的基本思想方法。通過認(rèn)真仔細(xì)的觀察，將進(jìn)一步深入的思考，構(gòu)造解題的模型，因而使問題得到了相應(yīng)解決。構(gòu)造的內(nèi)涵非常豐富，沒有完完全全的固定模式套用。它是以現(xiàn)實問題的特殊性和廣泛抽象的普遍性為基礎(chǔ)。針對具體的數(shù)學(xué)問題特點(diǎn)進(jìn)而采取相應(yīng)的解決方法。在做題時，要擅于將形與數(shù)相結(jié)合，將式子與函數(shù)、圖形、方程等建立相關(guān)聯(lián)系，構(gòu)造出一個新問題形式，架起一個連接結(jié)論和條件的橋梁，如函數(shù)、圖形、模型、方程等，在幾種形式之中找出對應(yīng)關(guān)系。進(jìn)而能把問題給以解決。利用構(gòu)造法解題，可以使三角、幾何、代數(shù)等各種知識相互滲透，有利于提高學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的靈活運(yùn)用，加強(qiáng)學(xué)生解決問題與分析問題的能力，大大培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力、思維能力。很多數(shù)學(xué)問題用構(gòu)造法來解決，可以獲出簡捷、新穎、獨(dú)特的方法。

構(gòu)造法有許多種，其中重要的有構(gòu)造圖形法、構(gòu)造數(shù)列法、構(gòu)造方程法、構(gòu)造方程法、構(gòu)造反例法等，本文主要通過舉例來說明構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

1、在不等式證明中的應(yīng)用

在初等數(shù)學(xué)中不等式的證明是一個重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)，證明不等式有很多方法, 比如大家都知曉的分析法、綜合法、反證法、比較法、參量法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、微分法等，在解決不等式證明中, 圖解法和換元法是常用的方法之一，通過換元，可以將復(fù)雜不等式轉(zhuǎn)化成簡單不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的條件化歸為形象、直觀的關(guān)系。在這，我來談?wù)勗诓坏仁阶C明中構(gòu)造法的應(yīng)用。構(gòu)造法是根據(jù)不等式的條件，構(gòu)造滿足題目條件的函數(shù)、圖像、方程等，以這些方程、函數(shù)為橋梁，從而達(dá)到證明的目的。

下面我們來看看具體實例的問題：

例

1、已知：0?d

?c，n?0，求證： 11nn ??(1?c)?(1?d)nncd

1，對于任意??x?x?0，因為 21xn證明：令f(x)?(1?x)n?

2)?[f(x11nn]?[f(x)?]?(1?x)?(1?x)?0，121nnx2x

1nnx?x11所以f(x)?f(x)??n?2nn1?0 21nx1x2x1x

2所以f(x)在[0,??]上單調(diào)增加，由0?d?c 知f(c)?f(d)，即11nn，證畢。??(1?c)?(1?d)nncd

從此題可充分看出構(gòu)造法的巧妙運(yùn)用，大大幫助我們解題的效率，使題目變得簡潔明了，下面我們再來看一個不等式的解法。

2、在數(shù)列問題中的應(yīng)用

在解決一些自然數(shù)N或與不等式有關(guān)的題目時，根據(jù)問題所出的結(jié)論及條件的結(jié)構(gòu)，一般情況可通過設(shè)想、轉(zhuǎn)換等手段構(gòu)造出一個與問題有關(guān)的數(shù)列，然而對解題有很大的幫助。構(gòu)造法在數(shù)列中一般有三種：

1、由已知條件直接構(gòu)造一個或者幾個式子，再根據(jù)這些式子的相互結(jié)合、變化來解決問題；

2、把題目中給出式子變形，構(gòu)造出新的式子來解題。

3、由問題的已知式子，重新構(gòu)造出另一個式子，把兩個式子建立關(guān)系相加、減、乘、除或者其他結(jié)合方式來解答問題；

例

2、在數(shù)列{bn}中，b1?8，b2?2且滿足bn?2?4bn?1?3bn?0，求數(shù)列{bn}的通項公式。

分析：放眼看本題無從下手，但是要是有心人仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)題目中給出的條件經(jīng)過變形構(gòu)造出另外一個式子后，本題就會迎刃而解。

解：由bn?

2bn?2?4bn?1?3bn?0經(jīng)過變形后構(gòu)造出： ?bn?1?3(bn?1?bn)，又b2?b1??6

所以數(shù)列{bn?1?bn}是以?6為首項，3為公比的等比數(shù)列

則bn?1?bn??6?3n?1，即bn?bn?1??6?3n?2(n?2)

再利用構(gòu)造法會得出：

bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?...?(b2?b1)?b1(?6)(3n?1?1)??8?11?3n 3?

1本題是類型二的典型題目，通過給出條件進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換構(gòu)造出另一個式子，進(jìn)而解題由復(fù)雜變簡單。構(gòu)造法在高等數(shù)學(xué)里是重點(diǎn)、難點(diǎn)，在數(shù)列里更是難點(diǎn)、重點(diǎn)，因此掌握好構(gòu)造法對于解決數(shù)列的問題有很大幫助。

3、構(gòu)造反例的應(yīng)用

為了否定一個命題, 構(gòu)造反例是經(jīng)常用的方法。反例是指用來說明某個命題不成立的例子，它與論證是相反相成的兩種邏輯方法，論證是用已知為真的判斷確定另一個判斷的真實性，反例是用已知為真的事實去揭露另一個判斷的虛假性。

下面我們通過幾個例子來具體談?wù)剺?gòu)造反例的應(yīng)用：

例

1、命題“若x,y為無理數(shù)，則x也為無理數(shù)”是否成立？

思考分析：此題假如從正面來回答是有很大的難度的，因此我們要利用構(gòu)造反例法，構(gòu)造出一個反例來進(jìn)行證明。如下：

（1（2y

x?y? 為無理數(shù)，則取x?y?

x?yy??2仍為反例。同學(xué)們往往認(rèn)為x,y是無理數(shù)，然而x一定是無理數(shù)，然而這個觀念是錯誤的，從上

面可以看出x

y是無論它是無理數(shù)還是有理數(shù)，都對這個命題提供了一個反例，避免了從正面來證明此命題。

4、構(gòu)造法在方程問題上的應(yīng)用

日常生活中，我們在做數(shù)學(xué)題中會遇到許多方程問題，還有許多問題可以轉(zhuǎn)化成方程問題進(jìn)行解答，這個時候就需要我們構(gòu)造出一些方程去解題。遇到需要構(gòu)造方程的題目時，首先要把面對的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠虇栴}去對待，構(gòu)造出方程后要討論其性質(zhì)特點(diǎn)，推出相關(guān)結(jié)論，最后將推出的方程或方程組結(jié)論帶回原題中。

在運(yùn)用方程的觀點(diǎn)來解決數(shù)學(xué)問題時應(yīng)該注意到：

（1）有時公式可以當(dāng)做為等量關(guān)系或者方程。于是，求值問題可以看作是解方程，恒等式證明可以看作方程變形；

（2）函數(shù)有很多性質(zhì)都能歸結(jié)成為方程問題的研究；

（3）不等式的求解和證明和方程有關(guān)。

例

2、已知實數(shù)x,y,z滿足x?y?z?5,xy?xz?yz?3，求z的最大值。

思考分析：對于題目中有兩數(shù)積以及兩數(shù)和的問題，我們可以考慮構(gòu)造一個一元二次方程出來，然后借助判別式“??0”來求最值。

解：因為x?y?5?z,xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z2?5z?3，是關(guān)于t的一元二次方程t2?構(gòu)造出x,y

實根，?(5?z)t?z2?5z?3?0的兩個

由“??(5?z)

從而解得?1?2?4(z2?5z?3)?0”可知(3z?13)(z?1)?0，13131，當(dāng)x?y?時，z?適合題意，333z?13?z的最大值是

3用方程解決數(shù)學(xué)題是很簡便的一種方法, 對于較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題則要求根據(jù)題目需要去設(shè)計方程。方程與函數(shù)等許多知識有著密切的聯(lián)系，可根據(jù)問題中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和數(shù)量關(guān)系, 構(gòu)造出新的方程，從而使復(fù)雜的問題得到解決。構(gòu)造方程法應(yīng)用較廣, 如求值、證明計算等問題都可以運(yùn)用方程來解決，掌握這部分知識很重要。

5、構(gòu)造法在幾何圖形中的應(yīng)用

在幾何問題中, 我們往往會遇到求夾角的最小(大)值和求線段的最短(長)距離等問題, 如果僅僅從幾何方面去思考, 往往使問題難以解決, 倘若能夠靈活地運(yùn)用構(gòu)造法, 問 題則會趨于簡單。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究中兩個不同的側(cè)面，但是這兩個側(cè)面并不是孤立的，而是相輔相成的。有一些數(shù)學(xué)問題，如果給問題中的代數(shù)關(guān)系賦予幾何意義，那么往往就能借助直觀形象對問題作出透徹的分析，從而探討出解決問題的途徑。

如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實現(xiàn)，然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論． 構(gòu)造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質(zhì)的圖形． 這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形．

華羅庚曾說過“數(shù)離開形少直觀,形離開數(shù)難入微”,利用數(shù)形結(jié)合的思想,可溝通代數(shù)與幾何的關(guān)系,使得難題巧解。所謂構(gòu)造圖形指的是如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立聯(lián)系，則可通過幾何作圖構(gòu)造圖形，將題設(shè)條件及其數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得到實現(xiàn)，然后在構(gòu)造的圖形中尋求原問題的結(jié)論。

例1 對于正數(shù)y,z,x,證明

?

思考分析：三個正數(shù)y,z,x

解：構(gòu)造的三角形圖如右圖1,AC2?z2?y2?2zycos1200?y2?z2?AB2?z2?x2?2zxcos1200?x2?z2?xzBC?y?x?2yxcos120?x?y

根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得：AB

222022??AC ?得證

本例構(gòu)造的圖形直觀的反映圖形的性質(zhì)，從而使問題得解

結(jié)束語

通過以上幾個例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造法在解題過程中有著意想不到的功效，問題很快便可解決。構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”。構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中有很多的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)思想方法中很重要的一種。

參考文獻(xiàn)

略