第一篇：公理系統(tǒng)
公理化方法
所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個演繹系統(tǒng)的方法。
1簡介
恩格斯曾說過：數(shù)學上的所謂公理，是數(shù)學需要用作自己出發(fā)點的少數(shù)思想上的規(guī)定。
公理化方法能系統(tǒng)的總結(jié)數(shù)學知識、清楚地揭示數(shù)學的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個數(shù)學分支的本質(zhì)異同，促進新數(shù)學理論的建立和發(fā)展?，F(xiàn)代科學發(fā)展的基本特點之一，就是科學理論的數(shù)學化，而公理化是科學理論成熟和數(shù)學化的一個主要特征。
公理化方法不僅在現(xiàn)代數(shù)學和數(shù)理邏輯中廣泛應(yīng)用，而且已經(jīng)遠遠超出數(shù)學的范圍，滲透到其它自然科學領(lǐng)域甚至某些社會科學部門，并在其中起著重要作用．
2歷史發(fā)展
產(chǎn)生
公理化方法發(fā)展的第一階段是由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里斯多德總結(jié)了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學及其它演繹的學科為例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其它所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統(tǒng)．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統(tǒng)． 亞里斯多德的思想方法深深地影響了當時的希臘數(shù)學家歐幾里得．歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學，從而完成了數(shù)學史上的重要著作《幾何原本》．他從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理．他總結(jié)概括出14個基本命題，其中有5個公設(shè)和9條公理，然后由此出發(fā)，運用演繹方法將當時所知的全部幾何學知識推演出來，整理成為演繹體系．《幾何原本》一書把亞里斯多德初步總結(jié)出來的公理化方法應(yīng)用于數(shù)學，整理、總結(jié)和發(fā)展了希臘古典時期的大量數(shù)學知識，在數(shù)學發(fā)展史上樹立了一座不朽的豐碑．
公理學研究的對象、性質(zhì)和關(guān)系稱為“論域”，這些對象、性質(zhì)和關(guān)系，由初始概念表示．例如歐氏《幾何原本》中只需取“點”、“直線”、“平面”；“在??之上”、“在??之間”、“疊合”作為初始概念．前三個概念所表示的三類對象和后三個概念所表示的三種關(guān)系就是這種幾何的論域．按照“一個公理系統(tǒng)只有一個論域”的觀點建立起來的公理學，稱為實質(zhì)公理學．這種公理學是對經(jīng)驗知識的系統(tǒng)整理，公理一般具有自明性．因此，歐氏《幾何原本》就是實質(zhì)公理學的典范． 發(fā)展
公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個階段：實質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構(gòu)起來的理論體系典范分別是《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)。《幾何原本》雖然開創(chuàng)了數(shù)學公理化方法的先河，然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方，其主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過程往往依賴于圖形的直觀；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來證明或代替．這些問題成為后來許多數(shù)學家研究的課題，并通過這些問題的研究，使公理化方法不斷完善，并促進了數(shù)學科學的發(fā)展．
第五公設(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜，陳述累贅，缺乏象其它公設(shè)和公理那樣的說服力，并不自明．因此，它能否正確地反映空間形式的性質(zhì)，引起了古代學者們的懷疑．從古希臘時代到公元18世紀，人們通過不同的途徑和方法對這一問題進行了大量的研究工作，其中薩克里(Saccheri，1667—1733)和蘭勃特(Lambert，1728-1777)等人考慮了兩個可能的與平行公設(shè)相反的假設(shè)，試圖證明出平行公設(shè)，但是他們的努力均歸于失?。欢谶@些失敗中卻引出了一串與第五公設(shè)相等價的新命題和定理，即非歐幾何的公理和定理，它預(yù)示了一種新的幾何體系可能產(chǎn)生．
19世紀年輕的俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)產(chǎn)生了與前人完全不同的信念：首先，他認為第五公設(shè)不能以其余的公理作為定理來證明；其次，除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何之外，還可能有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在．于是，他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下，引進與第五公設(shè)相反的公理，從而構(gòu)造了一個全新的幾何系統(tǒng)，它與歐氏幾何系統(tǒng)相并列．后來人們又證明了這兩個部分地相矛盾的幾何系統(tǒng)竟是相對相容的，即假定其中之一無矛盾，則另一個必定無矛盾，這樣以來，只要這兩個系統(tǒng)是無矛盾的，第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理就必定獨立無關(guān)．現(xiàn)在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學，并把一切不同于歐氏幾何公理系統(tǒng)的幾何系統(tǒng)統(tǒng)稱為非歐幾何．
非歐幾何的建立在數(shù)學史上具有劃時代的意義，標志著人們對空間形式的認識發(fā)生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間．在建立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了進一步的發(fā)展和完善．
形式化
德國數(shù)學家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通過對射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學的思想．他認為，幾何學如果要成為一門真正的演繹科學，最根本的是推導(dǎo)的進行必須完全獨立于幾何概念的涵義，同樣地也必須不以圖形為依據(jù)，而所考慮的只能是被命題或定義所確定的幾何概念之間的關(guān)系．就是說，一個公理系統(tǒng)必然要有本系統(tǒng)里不定義的概念，通過這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特征必須由公理表達出來．公理可以說是不定義概念的隱定義．有些公理雖然是由經(jīng)驗提出來的，但當選出一組公理之后，必須不再涉及經(jīng)驗及物理意義．公理決不是自明的真理，而是用以產(chǎn)生任一特殊幾何的假定．帕斯的這些思想已經(jīng)表達了形式公理系統(tǒng)的特征．
隨著數(shù)學的深入研究和射影幾何公理系統(tǒng)的建立，形式公理學的概念已經(jīng)成熟．1899年希爾伯特《幾何學基礎(chǔ)》一書的發(fā)表，不僅給出了歐氏幾何的一個形式公理系統(tǒng)，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問題．這本著作成為形式公理學的奠基著作．
希爾伯特幾何公理系統(tǒng)，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術(shù)模型)，所以它是一個形式公理系統(tǒng)，可以把其初始概念和公理看成是沒有數(shù)學內(nèi)容的，數(shù)學內(nèi)容是通過解釋賦予它們的，初始概念和公理完全可以用形式語言來陳述．因此，自從《幾何學基礎(chǔ)》問世以后，不僅公理化方法進入了數(shù)學的其它各個分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的階段．
3作用意義
分析、總結(jié)數(shù)學知識
當一門科學積累了相當豐富的經(jīng)驗知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認識的時候，公理化方法便是一種有效的手段．如近代數(shù)學中的群論，便經(jīng)歷了一個公理化的過程．當人們分別研究了許多具體的群結(jié)構(gòu)以后，發(fā)現(xiàn)了它們具有基本的共同屬性，就用一個滿足一定條件的公理集合來定義群，形成一個群的公理系統(tǒng)，并在這個系統(tǒng)上展開群的理論，推導(dǎo)出一系列定理．
數(shù)學研究的基本方法
不但對建立科學理論體系，訓練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授科學知識，以及推廣科學理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用，而且對于進一步發(fā)展科學理論也有獨特的作用．例如在代數(shù)方面，由于公理化方法的應(yīng)用，在群論、域論、理想論等理論部門形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯(lián)系并導(dǎo)致了一系列深遠的結(jié)果；在幾何方面，由于對平行公設(shè)的研究導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立．因此，公理化方法也是在理論上探索事物發(fā)展規(guī)律，作出新的發(fā)現(xiàn)和預(yù)見的一種重要方法．
科學研究的對象
介乎于邏輯學和數(shù)學之間的邊緣學科—— 數(shù)理邏輯，用數(shù)學方法研究思維過程中的邏輯規(guī)律，也系統(tǒng)地研究數(shù)學中的邏輯方法．因此，數(shù)學中的公理方法是數(shù)理邏輯所研究的一個重要內(nèi)容．由于數(shù)理邏輯是用數(shù)學方法研究推理過程的，它對公理化方法進行研究，一方面使公理化方法向著更加形式化和精確化的方向發(fā)展，一方面把人的某些思維形式，特別是邏輯推理形式加以公理化，符號化．這種研究使數(shù)學工作者增進了使用邏輯方法的自覺性． 示范作用
任何一門科學都不僅僅是搜集資料，也決不是一大堆事實及材料的簡單積累，而都是有其自身的出發(fā)點和符合一定規(guī)則的邏輯體系．公理化方法對現(xiàn)代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用．例如牛頓在他的《自然哲學的數(shù)學原理》巨著中，系統(tǒng)地運用公理化方法表述了經(jīng)典力學理論體系；本世紀40年代波蘭的巴拿赫完成了理論力學的公理化；愛因斯坦運用公理化方法創(chuàng)立了相對論理論體系．狹義相對論的出發(fā)點是兩個基本假設(shè)：相對性原理和光速不變原理．愛因斯坦以此為前提，邏輯地演繹出四個推論：“尺縮效應(yīng)”、“鐘慢效應(yīng)”、“質(zhì)量增大效應(yīng)”和“關(guān)系式”．這些就是愛因斯坦運用公理化方法，創(chuàng)立的狹義相對論完整理論體系的精髓．
4基本要求
公理是對諸基本概念相互關(guān)系的規(guī)定，這些規(guī)定必須是必要的而且是合理的．因此，一個嚴格完善的公理系統(tǒng)，對于公理的選取和設(shè)置，必須具備如下三個基本要求： 相容性
這一要求是指在一個公理系統(tǒng)中，不允許同時能證明某一定理及其否定理．反之，如果能從該公理系統(tǒng)中導(dǎo)出命題A和否命題非A(記作-A)，從A與-A并存就說明出現(xiàn)了矛盾，而矛盾的出現(xiàn)歸根到底是由于公理系統(tǒng)本身存在著矛盾的認識，這是思維規(guī)律所不容許的．因此，公理系統(tǒng)的無矛盾性要求是一個基本要求，任何學科，理論體系都必須滿足這個要求． 獨立性
這一要求是指在一個公理系統(tǒng)中的每一條公理都獨立存在，不允許有一條公理能用其它公理把它推導(dǎo)出來，同時使公理的數(shù)目減少到最低限度． 完備性
這就是要求確保從公理系統(tǒng)中能推出所研究的數(shù)學分支的全部命題，也就是說，必要的公理不能減少，否則這個數(shù)學分支的許多真實命題將得不到理論的證明或者造成一些命題的證明沒有充足的理由．
從理論上講，一個公理系統(tǒng)的上述三條要求是必要的，同時也是合理的．至于某個所討論的公理系統(tǒng)是否滿足或能否滿足上述要求，甚至能否在理論上證明滿足上述要求的公理系統(tǒng)確實存在等，則是另外一回事了．應(yīng)該指出的是，對于一個較復(fù)雜的公理體系來說，要逐一驗證這三條要求相當困難，甚至至今不能徹底實現(xiàn)．
5方法運用
1．要積累大量的經(jīng)驗、數(shù)據(jù)和資料，對這些經(jīng)驗資料進行分析歸納，使之系統(tǒng)化，最后上升為理論．因為公理系統(tǒng)的建立是以大量的事實為基礎(chǔ)，以豐富的經(jīng)驗和已有的科學知識為前提的，設(shè)此無彼． 2．數(shù)學公理化的目的是要把一門數(shù)學整理成為一個演繹系統(tǒng)，而這一系統(tǒng)的出發(fā)點就是一組基本概念和公理．因此，要建立一門數(shù)學的演繹系統(tǒng)，就要在第一步的基礎(chǔ)上，從原有的資料、數(shù)據(jù)和經(jīng)驗中選擇一些基本概念和確定一組公理，然后由此來定義其它有關(guān)概念并證明有關(guān)命題．選取的基本概念是不定義概念，必須是無法用更原始、更簡單的概念去確定其涵義的，也就是說，它是高度純化的抽象，是最原始最簡單的思想規(guī)定．
3．在確定了基本概念和公理之后，就要由此出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，將一門數(shù)學展開成一個嚴格的理論系統(tǒng)．也就是說，對系統(tǒng)中的每一概念予以定義，而每一個定義中引用的概念必須是基本概念或已定義過的概念；對其它每一命題都給予證明，而在證明中作為論據(jù)的命題必須是公理或者已經(jīng)證明為真實的定理．因此，一門數(shù)學的演繹系統(tǒng)就是這門數(shù)學的基本概念、公理和定理所構(gòu)成的邏輯的鏈條．
在上述過程中，從認識論的角度來看，任何公理系統(tǒng)的原始概念和公理的選取必須反映現(xiàn)實對象的本質(zhì)和關(guān)系．就是說，應(yīng)該有它真實的直觀背景而不是憑空臆造．其次，從邏輯的角度看，則不能認為一些概念和公理的任意羅列就能構(gòu)成一個合理的公理系統(tǒng)，而一個有意義的公理系統(tǒng)必須是一個邏輯相容的體系．
6公理證明編輯
公理系統(tǒng)一個公理系統(tǒng)的相容性是至關(guān)重要的，因為一個理論體系不能矛盾百出．而獨立性和完備性的要求則是次要的．因為在一個理論體系中，如果有多余的公理，對于理論的展開沒什么妨礙；如果獨立的公理不夠用，數(shù)學史上常常補充一些公理，逐步使之完備．下面僅就公理系統(tǒng)的相容性證明作一介紹．
產(chǎn)生背景
關(guān)于相容性征明這一概念的產(chǎn)生和歷史發(fā)展的背景是這樣的：自從羅巴切夫斯基幾何誕生后，由于羅氏平行公理(過平面上一已知直線外的一點至少可以引兩條直線與該已知直線平行)如此地為常識所不容，這才真正激起了人們對于數(shù)學系統(tǒng)的無矛盾性證明的興趣和重視．后來，龐卡萊(Poincare`，1854-1912)在歐氏半平面上構(gòu)造了羅氏幾何的模型，把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過一個模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明，但卻由此導(dǎo)致了人們對歐氏系統(tǒng)相容性的重重疑慮．幸虧那時已經(jīng)有了解析幾何，這就等于在實數(shù)系統(tǒng)中構(gòu)造了一個歐氏幾何的模型．這就把歐氏幾何的無矛盾性歸結(jié)到了實數(shù)論的相容性．那么實數(shù)論的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把實數(shù)定義為有理數(shù)的分劃，也即有理數(shù)的無窮集合，因而把這個無矛盾性歸結(jié)到了自然數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性．又由于弗雷格(Frege，1848-1925)的自然數(shù)的概念是借助集合的概念加以定義的，因此，歸來歸去還是把矛盾集中到集合論那里去了．那么集合論的相容性如何？事實上，集合論的相容性正處于嚴重的“危機”之中，以致這種相容性的證明至今還未解決． 龐卡萊模型
龐卡萊為證明羅氏幾何的相容性，在歐氏系統(tǒng)中構(gòu)造了一個羅氏幾何的模型．即在歐氏平面上劃一條直線a將其分成上、下兩個半平面，把不包括這條直線在內(nèi)的上半平面作為羅氏平面，其上的歐氏點當作羅氏幾何的點，把以該直線上任一點為中心，任一長為半徑的半圓周作為羅氏幾何的直線，然后對如此規(guī)定的羅氏幾何元素一一驗證羅氏平行公理是成立的．
如圖4—3所示，過羅氏平面上任一羅氏直線l外的一點P，確實可以作出兩條羅氏直線與l平行．因為歐氏直線a上的點不是羅氏幾何系統(tǒng)的元素，所以兩個半圓相交于直線a上某一點則應(yīng)看作相交于無窮遠點，從而在有窮范圍內(nèi)永不相交．
這樣以來，如果羅氏系統(tǒng)在今后的展開中出現(xiàn)了正、反兩個互相矛盾的命題的話，則只要按上述規(guī)定之幾何元素間的對應(yīng)關(guān)系進行翻譯，立即成為互相矛盾的兩個歐氏幾何定理．從而歐氏系統(tǒng)就矛盾了．因此，只要承認歐氏系統(tǒng)是無矛盾的，那么羅氏系統(tǒng)一定也是相容的．這就把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過上述龐卡萊模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明．這種把一個公理系統(tǒng)的相容性證明化歸為另一個看上去比較可靠的公理系統(tǒng)的相容性證明，或者說依靠一個數(shù)學系統(tǒng)的無矛盾性來保證另一個數(shù)學系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性叫做數(shù)學系統(tǒng)的相對相容性證明．
對數(shù)學發(fā)展的影響
由于相對相容性的出現(xiàn)，使人們對歐氏系統(tǒng)的相容性也憂心重重．而更糟的是，在羅氏系統(tǒng)的展開中人們又發(fā)現(xiàn)，羅氏幾何空間的極限球面上也可構(gòu)造歐氏模型，即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實現(xiàn)，于是歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來保證！這說明歐氏與羅氏的公理系統(tǒng)雖然不同，但卻是互為相容的．人們當然不滿足于兩者互相之間的相對相容性證明，因為看上去較為合理的歐氏系統(tǒng)的無矛盾性竟要由看上去很不合理的羅氏系統(tǒng)來保證，這是難以令人滿意的．于是人們開始尋求直接的相容性證明，本世紀初數(shù)學基礎(chǔ)論就誕生了．由于在這一工作中所持的基本觀點不同，在數(shù)學基礎(chǔ)論的研究中形成了諸如邏輯主義派、直覺主義派和形式公理學派三大流派．這些流派雖然并未最后解決相容性證明問題，但在方法論上卻各有貢獻，他們的方法論、思想方法對于數(shù)學的研究與發(fā)展都具有重要的意義，有些還值得進一步分析、探討、繼承和發(fā)展．
第二篇：armstrong公理系統(tǒng)證明
? Armstrong公理系統(tǒng)的證明
① A1自反律：若Y X U，則X→Y為F所蘊含
證明1
設(shè)Y X U。
對R
若t[X]=s[X]，由于Y X，則有t[Y]=s[Y]，所以X→Y成立，自反律得證。
② A2增廣律：若X→Y為F所蘊含，且Z U，則XZ→YZ為F所蘊含
證明2
設(shè)X→Y為F所蘊含，且Z U。
對R
若t[XZ]=s[XZ]，由于X XZ，Z XZ，根據(jù)自反律，則有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；
由于X→Y，于是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]；所以XZ→YZ成立，增廣律得證。
③ A3傳遞律：若X→Y，Y→Z為F所蘊含，則X→Z為F所蘊含
證明3
設(shè)X→Y及Y→Z為F所蘊含。
對R
若t[X]=s[X]，由于X→Y，有t[Y]=s[Y]；
再由于Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z為F所蘊含，傳遞律得證。
④ 合并規(guī)則：若X→Y，X→Z，則X→YZ為F所蘊含
證明4
因X→Y（已知）
故X→XY（增廣律），XX→XY即X→XY
因X→Z（已知）
故XY→YZ（增廣律）
因X→XY，XY→YZ（從上面得知）
故X→YZ（傳遞律）
⑤ 偽傳遞規(guī)則：若X→Y，WY→Z，則XW→Z為F所蘊含
證明5
因X→Y（已知）
故WX→WY（增廣律）
因WY→Z（已知）
故XW→Z（傳遞律）
⑥ 分解規(guī)則：若X→Y，Z Y，則X→Z為F所蘊含
證明6
因Z Y（已知）
故Y→Z（自反律）
因X→Y（已知）
故X→Z（傳遞律）
第三篇：數(shù)學公理
過兩點有且只有一條直線兩點之間線段最短同角或等角的補角相等同角或等角的余角相等過一點有且只有一條直線和已知直線垂直直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短平行公理 經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
12兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補定理 三角形兩邊的和大于第三邊推論 三角形兩邊的差小于第三邊三角形內(nèi)角和定理 三角形三個內(nèi)角的和等于180°推論1 直角三角形的兩個銳角互余推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等
22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊邊邊公理(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）
推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°
等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
第四篇：經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計
Http://logic.zsu.edu.cn/journal.htm 邏輯與認知 Vol.2, No.4, 200
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收稿日期：2004-11-25；
作者簡介：杜國平，1965 年生，男，漢族，江蘇盱眙人，南京大學副教授。
基金項目：國家社科基金項目（02CZX008）；南京大學引進人才基金項目；南京大學笹川青年教育基金項 目。
聯(lián)系方式：210093 南京大學哲學系 Email: dgpnju@126.com 電話：025-8359716
1經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計
杜國平1，2（1.南京大學哲學系 210093；2.南京航空航天大學計算機系 210016）
內(nèi)容提要：本文利用演繹定理的證明思路給出了一個由演繹證明構(gòu)造公理證明的一般程序，并增加了一條 簡化命令，使該程序既嚴格又具有實際可操作性。
關(guān)鍵詞： 演繹證明 公理證明 程序
中圖分類號：B81 文獻標識碼：A
在經(jīng)典命題邏輯常見的公理系統(tǒng)中，僅僅從公理和推理規(guī)則出發(fā)進行定理的形式證明一 般沒有能行的程序，對于初學者而言是比較困難的。但是，在經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)中，演 繹定理成立，而使用演繹定理來構(gòu)造定理的形式證明是比較簡單的。實際上，演繹定理的證 明過程已經(jīng)表明：有了一個使用演繹定理的形式證明（簡稱為演繹證明），就可以構(gòu)造出僅 僅從公理和推理規(guī)則出發(fā)的形式證明（簡稱為公理證明）。本文擬對由演繹證明構(gòu)造公理證 明的具體算法和技巧進行一些探討。
為了說明的方便，我們?nèi)∪缦碌拿}邏輯公理系統(tǒng)PC 來進行討論。
系統(tǒng) PC 由如下三條公理模式和一條推理規(guī)則構(gòu)成：
公理模式為：
(Ax1)A??(B ??A)
(Ax2)(A ?(B ?C))?((A??B)?(B ?C))
(Ax3)(?A??B)?((?A??B)??A)
推理規(guī)則即分離規(guī)則（Modus ponens）：由A和A?B可以推出B。簡記為MP。
在系統(tǒng) PC 中顯然可以證明：
演繹定理(DT)：如果??，A + B，那么??+ A?B。
因為任一證明序列都是有限長的，因此，演繹證明中需要引入的假設(shè)也是有限的。所以 我們只考慮假設(shè)集??為有限集的情況，令????1 2 1 , , , , m m A A A A ??????L。
假設(shè)有一個 ????0 ?U A + B的演繹證明，該證明的公式序列為： 1 2 , , , n C C L C ??B。那么我們可按照下述程序構(gòu)造出一個??+ 0A ??B的演繹證明。
經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計
2[1] 如果A0 ?Cn是公理或者0 n A ?C ??，則執(zhí)行如下子程序[1']，即直接寫入：
0 n A ?C
[2] 如果n C 是公理，則執(zhí)行如下子程序[2'] ：
C
0()n n C ??A ?C n
0 n A ?C
[3] 如果n C 是0 A，則執(zhí)行如下子程序[3'] ：
A ?((B ??A)??A)
0 0 0 0 0 0 0(A ?((B??A)??A))?((A ?(B ??A))?(A ??A))
0 0 0 0(A ?(B??A))??(A ??A)
0 0 A ?(B??A)
0 0 A ??A 0 0 0
[4] 如果n k C ??A ??，k ??1, 2, L , m?，則執(zhí)行如下子程序[4'] ：
A
0()k k A ??A ??A
0 k A ??A k
[5] 如果n C 是由i C，()(, ?1, 2, , 1?)j i n C ??C ?C i j??L n ??經(jīng)使用分離規(guī)則而得 到，則對j C 執(zhí)行如下子程序[5'] ：
(())(()())i n i n A ??C ?C ??A ?C ??A ?C
0 0()()i n A ?C ??A ?C
0 n A ?C
[6] 對[4]中出現(xiàn)的i C，j C 重復(fù)執(zhí)行程序[1]～[6]。
[7] 若程序全部進入[1]～[4]，則執(zhí)行完[1'] ～[4']，程序終止。
對 ??+ 0A ??B 反復(fù)使用上述程序m 次之后，就可以得到一個
+ 1 1 0((()))m m A A A A B ????L ??????L 的公理證明。
例 1 在系統(tǒng)PC中構(gòu)造定理+((A??B)?C)?(B?C)的公理證明。
首先，我們構(gòu)造一個((A??B)?C), B + C的演繹證明。
證明1' ：(A??B)??C 假設(shè)B 假設(shè)B?(A??B)(Ax1)A?B 2、3 MPC 1、4 MP
其次，由(A??B)??C，B + C的演繹證明構(gòu)造(A??B)??C+ B?C的演繹證明。
1、這可以通過回溯檢查逐步完成。證明1'的第5 行為C，進入程序[1]檢查B?C，0 0 0
發(fā)現(xiàn)它既不是公理也不屬于假設(shè)集?((A??B)?C)?；進入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)C由第1、4 行(A??B)??C和A?B分離而得。因此，執(zhí)行子程序[5']：
邏輯與認知 Vol.2, No.4, 200
4(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))
(B ?(A?B))?(B?C)
B?C2、進入程序[6]，對(A??B)??C和A?B執(zhí)行程序[1]～[6]。
3、進入程序[1]，檢查B?((A??B)?C)，發(fā)現(xiàn)它既不是公理也不屬于假設(shè)集
?((A??B)?C)?；進入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)(A??B)??C屬于假設(shè)集?((A??B)?C)?。
因此，執(zhí)行子程序[4'] ：
(A??B)??C
((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))
B?((A??B)?C)
4、進入程序[1]，檢查B?(A??B)，發(fā)現(xiàn)它是公理。因此，執(zhí)行子程序[1']：
B?(A??B)
5、程序已經(jīng)全部進入[1]～[4]，并且已經(jīng)執(zhí)行完子程序[1'] ～[4']，因此程序終止。所以我們得到一個(A??B)??C+ B?C的演繹證明。
證明1'' ：(A??B)??C 假設(shè)((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))(Ax1)B?((A??B)?C)1、2 MPB?(A??B)(Ax1)(B ?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B ?C))(Ax2)(B ?(A?B))?(B?C)3、5 MPB?C 4、6 MP
再次，由(A??B)??C+ B?C的演繹證明構(gòu)造+((A??B)?C)?(B?C)的公
理證明。
1、進入程序[1] 檢查((A??B)?C)?(B?C)，發(fā)現(xiàn)它不是公理（此時，因為假
設(shè)集是空集，所以它也當然不屬于假設(shè)集）；進入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)B?C由第4、6 行 B?(A??B)和(B ?(A?B))?(B?C)分離而得。因此，執(zhí)行子程序[5']：
(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))
?((((A?B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B ?C)))
(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B?C))
((A??B)?C)?(B?C)
2、進入程序[6]，對B?(A??B)和(B ?(A?B))?(B?C)執(zhí)行程序[1]～[6]。
3、進入程序[1]，檢查((A??B)?C)??(B??(A??B))，發(fā)現(xiàn)它不是公理；進入程 序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)B?(A??B)是公理。因此，執(zhí)行子程序[2'] ：
B?(A??B)
經(jīng)典命題邏輯公理系統(tǒng)定理證明算法設(shè)計
(B ?(A?B))?(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
((A??B)?C)??(B??(A??B))
4、進入程序[1] 檢查((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))，發(fā)現(xiàn)它不是 公理；進入程序[2]～[5]發(fā)現(xiàn)(B ?(A?B))?(B?C)由第3、5行B?((A??B)?C)和(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))分離而得。因此，執(zhí)行子程序
[5'] ：
(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))??((B?(A??B))?(B ?C))))
?((((A??B)?C))?(B ?((A??B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))
(((A??B)?C))?(B ?((A?B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))
((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))、進入程序[6]，對B?((A??B)?C)和(B ?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B ?C))執(zhí)行程序[1]～[6]。
6、進入程序[1]，檢查((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))，發(fā)現(xiàn)它是公理。因 此，執(zhí)行子程序[1'] ：
((A??B)?C)?(B ?((A??B)?C))、進入程序[1]，檢 查((A??B)?C)??((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))，發(fā)現(xiàn)它不是公理； 進入程序[2] ～ [5] 發(fā)現(xiàn)
(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))是公理。因此，執(zhí)行子程序[2'] ：
(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))
((B?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C)))
?(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C))))
((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))
8、程序已經(jīng)全部進入[1]～[4]，并且已經(jīng)執(zhí)行完子程序[1'] ～[4']，因此程序終止。這樣我們就得到一個+((A??B)?C)?(B?C)的公理證明。
證明1''' ：((A??B)?C))?(B?((A??B)?C))(Ax1)(B ?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C))(Ax2)((B?((A??B)?C))?((B?(A??B))?(B ?C)))
?(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C))))(Ax1)((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))
?((B?(A??B))?(B?C)))2、3 MP(((A??B)?C)?((B?((A??B)?C))??((B?(A??B))?(B ?C))))
?((((A??B)?C))?(B ?((A??B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))(Ax2)
邏輯與認知 Vol.2, No.4, 200
46(((A??B)?C))?(B ?((A?B)?C)))
?(((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C))))4、5 MP((A??B)?C)?((B?(A??B))?(B ?C)))1、6 MP(((A??B)?C)?((B ?(A??B))?(B?C))))
?((((A?B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B ?C)))(Ax2)(((A??B)?C)?(B?(A??B)))
?(((A??B)?C)?(B?C))7、8 MPB ?(A??B))(Ax1)(B ?(A?B)))
?(((A??B)?C)?(B?(A??B)))(Ax1)((A??B)?C)??(B??(A??B))10、11 MP((A??B)?C)?(B?C)9、12 MP
構(gòu)造程序的[2]~[7]也可以構(gòu)成一個獨立的公理證明構(gòu)造程序，這是演繹定理的證明中顯 示出來的，但該程序很繁瑣。程序[1]是一個簡化程序，它的加入，可以使構(gòu)造程序大為簡 化，盡管它多了一條程序命令。但是這樣就增加了該程序的實際可操作性。
參考文獻：
[1] 宋文堅.邏輯學[M].人民出版社,1998.P86-92.[2] 陸鐘萬.面向計算機科學的數(shù)理邏輯[M].科學出版社,2002.P86-92.[3] 周禮全.邏輯百科辭典[M].四川教育出版社,1994.P685.[4] A.G.Hamilton.Logic for Mathematicians[M].清華大學出版社,2003.P32-34.[5] 張清宇 郭世銘 李小五.哲學邏輯研究[M].社會科學文獻出版社,1997.The Arithmetic Design for Theorem Proving
in the Axiom System of Classical Propositional Logic
Du Guo-ping1,2
(1.Nanjing University.Nanjing 210093,China;2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China)
Abstract: The article uses the proving of deduction theorem to give general program of construction theorem proving, and adding a piece of simplification command.The program is gotten strict and exercisable.Key words: deduction prove;axiom prove;program
第五篇：平行公理
1．平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩條直線平行。
簡單說成：同位角相等，兩直線平行。
2．平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩條直線平行。
簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。
3．平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。
4．在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。
平行線的性質(zhì)
重點：平行線的三個性質(zhì)定理。難點：性質(zhì)定理的應(yīng)用。
熱點：應(yīng)用平行線性質(zhì)定理進行角度大小的換算。
1．平行線的性質(zhì)
（1）公理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等?？梢院喪鰹椋簝芍本€平行，同位角相等。
（2）定理：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等?？梢院喪鰹椋簝芍本€平行，內(nèi)錯角相等。
（3）定理：兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補?？梢院喪鰹椋簝芍本€平行，同旁內(nèi)角互補。
2．平行線的性質(zhì)小結(jié)：
（1）兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補。
（2）垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一條直線。
（2）對頂角和鄰補角的概念
1,對頂角的概念① 兩條直線相交成四個角，其中有公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角；② 一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.實際上，兩條直線相交，其中不相鄰的兩個角就是對頂角，相鄰的角就是鄰補角.○2 對頂角的性質(zhì)；對頂角相等.○3 互為鄰補角的兩個角一定互補，但兩個角互補不一定是互為鄰補角；
○4 對頂角有一個公共頂點，沒有公共邊；鄰補角有一個公共頂點，有一個公共邊.垂線的性質(zhì)：
○1過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
○2直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短.點到直線的距離定義：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.相交線是同一平面內(nèi)兩條直線的一種位置關(guān)系;
平行線的判定.同位角相等
內(nèi)錯角相等
同旁內(nèi)角互補
在同一平面內(nèi)兩條直線只有兩種位置關(guān)系[1]相交[2]平行
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