第一篇：中考復(fù)習(xí)專題——如何證明圓的切線

如何證明圓的切線

證明直線是圓的切線，通常有的兩種方法：

一、要證明某直線是圓的切線，如果已知直線過圓上的某一個(gè)點(diǎn)，那么作出過這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑．

【例1】如圖1，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD＝OB，點(diǎn)C在圓上，∠CAB＝30o．求證：DC是⊙O的切線．

思路：要想證明DC是⊙O的切線，只要我們連接OC，證明∠OCD

＝90o即可．

證明：連接OC，BC．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90o． ∵∠CAB＝30o，∴BC＝∵BD＝OB，∴BC＝

圖

1AB＝OB．

2OD．∴∠OCD＝90o． 2

∴DC是⊙O的切線．

【評(píng)析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線．本題在證明∠OCD＝90o時(shí)，運(yùn)用了“在一個(gè)三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”，當(dāng)然也可以從角度計(jì)算的角度來求∠OCD＝90o．

二、如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑．

【例2】如圖2，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一點(diǎn)，⊙D與OA相切于點(diǎn)E．求證：OB與⊙D相切．

思路：連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥OB于點(diǎn)F，證明DE＝DF即可，這可由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等證得．

請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過程．

圖

2【評(píng)析】一定要防止出現(xiàn)錯(cuò)將圓上的一點(diǎn)當(dāng)作公共點(diǎn)而連接出半徑．同學(xué)們一定要認(rèn)真體會(huì)證明切線時(shí)常用的這兩種方法，作輔助線時(shí)一定要注意表述的正確性．

【例3】如圖3，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)

圖

3的切線互相垂直，垂足為D．求證：AC平分∠DAB．

思路：利用圓的切線的性質(zhì)——與圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

證明：連接OC．

∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．

∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．

∴AC平分∠DAB．

【評(píng)析】已知一條直線是某圓的切線時(shí)，切線的位置一般是確定的．在解決有關(guān)圓的切線問題時(shí)，輔助線常常是連接圓心與切點(diǎn)，得到半徑，那么半徑垂直切線．

【例4】如圖4，已知AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)B作⊙O的切線BC，連接

OC，弦AD∥OC．求證：CD是⊙O的切線．

思路：本題中既有圓的切線是已知條件，又證明另一條直線是圓的切線．也

就是既要注意運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)定理，又要運(yùn)用圓的切線的判定定理．欲證明

CD是⊙O的切線，只要證明∠ODC＝90o即可．

證明：連接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．

∴DC是⊙O的切線．

【評(píng)析】本題綜合運(yùn)用了圓的切線的性質(zhì)與判定定理．一定要注意區(qū)分這兩個(gè)定理的題設(shè)與結(jié)論，注意在什么情況下可以用切線的性質(zhì)定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學(xué)們通過本題對(duì)這兩個(gè)定理有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)．本題若作OD⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯(cuò)誤的．這樣做相當(dāng)于還未探究、判斷，就以經(jīng)得出了結(jié)論，顯然是錯(cuò)誤的．

圖42

第二篇：2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)圓切線證明方法

中考數(shù)學(xué)23題圓的切線證明及不規(guī)則陰影面積問題的解法探究

有關(guān)切線證明問題，通常給出直線與圓的交點(diǎn)時(shí)，要連半徑通過證明半徑與直線垂直，解決問題，證垂直的方法：（1）證明三角形全等，得出對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而證得垂直；（2）通過證平行得出角相等，推出90度角得垂直；（3）通過角之間的關(guān)系，推出兩角互余，證垂直。若直線與圓沒有交點(diǎn)，可過圓心作直線的垂線，證明垂線段長(zhǎng)等于半徑即可，這個(gè)類型的證明多用全等三角形來解決。

不規(guī)則圖形面積的求法，通常是轉(zhuǎn)化為三角形的面積與扇形面積和差來解決。在具體證明解題時(shí)，要根據(jù)題中的條件確定解題思路。在解題時(shí)注意三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用；圓與平行四邊形、菱形、正方形的綜合題要學(xué)會(huì)從整體上著眼，從局部入手，充分運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)解題。

在解決這類問題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來建立方程，求相關(guān)的量，總而言之，這類題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要認(rèn)真分析，書寫要嚴(yán)謹(jǐn)。

典型題解析

1.(2019葫蘆島)如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AM為直徑的⊙O交矩形對(duì)角線AC于點(diǎn)F，在線段CD上取一點(diǎn)E，連接EF，使EC=EF.(1)

求證：EF是⊙O的切線；

(2)

若cos∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的長(zhǎng).解析

：（1）連接OF，∵四邊形ABCD是矩形可得∠CDA=900，∴∠DCA+∠DAC=900

∵EC=EF,OF=OA

∴∠EFC=∠DCA,∠OFA=∠DAC

∴∠EFC+∠OFA=900

∴∠EFO=1800-(∠EFC+∠OFA)=900

∴OF⊥EF

∴EF是⊙O的切線

(3)

過點(diǎn)O作OH⊥AF，垂足為H。

∵AF=6

∴AH=3

∵cos∠CAD=，cos∠CAD=

∴AO=5

∵AM=2AO=10,MD=2

∴AD=8

∵cos∠CAD=,cos∠CAD=

∴AC=

∴CF=AC-AF=-6=

2.（2019.鐵嶺）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，以點(diǎn)A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑的⊙A恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，連接DE,AE,BD,AE與BD交于點(diǎn)F.（1）

求證：DE與⊙A相切

（2）

若AB=6，求BF的長(zhǎng)。

解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BC=AD=2AB.∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴BE=AD

∵AE=AB

∴AE=AB=BE

∴∠CBA=∠AEB=600

∵DC∥AB

∴∠C+∠CBE=1800

∴∠C=1200

∵CD=AB,AB=BE=CE

∴CD=CE

∴∠CDE=∠CED=300

∴∠DEA=1800-(∠CED+∠AEB)=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

（3）

過點(diǎn)B作BH⊥AE，垂足為H.則AH=HE,∵AB=6，∴AD=2AB=12,BE=6,AH=EH=3

∴BH=

∵BE∥AD

∴△FBE∽△FDA

∴

∴EF=AE=2

∴FH=EH-EF=1

∴BF=

3.(2018.撫順)如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點(diǎn)H.（1）

判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

若HB=2，cos∠D=，請(qǐng)求出AC的長(zhǎng).解析：連接OC.∵OC=OA

∴∠OAC=∠OCA

∴∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC

∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COP

∵DE⊥OA

∴∠DEP=900

∴∠D+∠P=900

∴∠COP+∠P=900

∴OC⊥DC

∴DC與⊙O相切

（3）

∵cos∠D=，cos∠D=

又OB=OC,BH=2

∴

解得：OC=5

∴OH=3,OC=0A=5

∴CH=,AH=8

∴AC=

4.（2020.丹東）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，連接BD，∠CBD的平分線交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，且AF=AB.（1）

判斷BC所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

若tan∠FBC=，DF=2，求⊙O的半徑.解析：（1）∵AB為直徑

∴∠ADB=900

∴∠DFB+∠DBF=∠ADB=900

∵BF是∠CBD的平分線,AF=AB.∴∠DBF=∠CBF,∠ABF=∠AFB

∴∠CBF+∠ABF=900

∴BC⊥AB

∴BC所在直線與⊙O相切

(2)

∵tan∠FBC=，∠DBF=∠CBF,DF=2

∴tan∠DBF=,∴BD=5

∵AF=AB

∴AD=AF-BD=AB-2

∵BD2+AD2=AB2

∴25+(AB-2)2=AB2

解得

：AB=

5.（2017.鐵嶺）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，連接OC，BC，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CB為邊作∠BCF=∠BOC,延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D.(1)

求證：直線CF是半圓O的切線；

(2)

若BD=5，CD=,求弧BC的長(zhǎng).解析

：（1）∵OC=OB

∴∠OCB=∠OBC

∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=1800

∴∠OCB+∠BOC=900

∵∠BCF=∠BOC

∴∠OCB+∠BCF

=900

∴OC⊥CF

∴直線CF是半圓O的切線；

(2)設(shè)半徑為r

則有：r2+CD2=(r+BD)2

即

r2+75=(r+5)2

解得，r=5

∵OB=BD,∠OCD=900

∴BC=OB=OC=5

∴∠BOC=600

∴弧BC=

6.（2020.錦州）平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BG，交AC于點(diǎn)H，且∠DBG=∠BAD.（1）

求證：BG是⊙O的切線；

（2）

若CH=3,tan∠DBG=，求⊙O的直徑.解析:(1)∵AB是直徑

∴∠BEA=900

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴平行四邊形ABCD是菱形

∴AB=AD

∴∠BAE=∠BAD.∵∠DBG=∠BAD.∴∠DBG=∠BAE

∵∠BAE+∠ABE=900,∴∠DBG

+∠ABE=900,∴BG⊥AB

(2)設(shè)HE=x

∵tan∠DBG=

tan∠BAE=，∴BE=2HE=2x,AE=4x

∵CE=AE,CH=3

∴3+x=4x,解得：x=1，即

AE=4,BE=2

∴AB=

7.（2019.本溪）如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，⊙O是△DEF的外接圓，連接DP.（1）

求證：DP是⊙O的切線；

（2）

若tan∠PDC=，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求⊙O的半徑和線段OP的長(zhǎng).7.解析：（1）連接OD.∵四邊形ABCD是正方形

∴CD=CB,∠DCP=∠BCP=450

∵CP=CP

∴△DCP≌△BCP

∴∠CDP=∠CBP

∵∠DCB=900

∴∠CEB+∠CBE=900

∵OD=OE,∠OED=∠CEB

∴∠ODE=∠OED=CEB

∴∠ODE+∠CDP=900

∴OD⊥DP

∴DP是⊙O的切線

(2)∵tan∠PDC=tan∠CBE=,BC=4

∴DE=CE=2

∵BC∥AF

∴∠EFA=∠CBE

∴tan∠DFE=

∴DF=4

∴FE=

∴OD=

過點(diǎn)P作PH⊥DC垂足為H.∵tan∠PDC==

∴DH=2PH

∵∠PCH=∠CPH=4500

∴PH=CH

∵DH+CH=4

∴DH=,PH=CH=

∴DP=

∴OP=

8.（2018.撫順）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD=CB，連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由：

（2）若BE=4,DE=8,求AC的長(zhǎng).解析：理由如下：

連接OC.∵CB=CD,OB=OD,OC=OC

∴△OBC≌△ODC

∴∠ODB=∠OBC=900

∴OD⊥DC

∴直線CD與⊙O相切

（2）設(shè)半徑

為r，則OE=DE-OD=8-r,OB=r

∵OB2+BE2=OE2

∴r2+16=(8-r)2

解得：r=3

即OB=3,AB=6,OE=5

∵∠OEB=∠CED,∠EBO=∠EDC=900

∴△OEB∽△CED

∴

∴EC=

∴BC=CE-BE=10-4=6

∴AC=

9.(2020。遼陽)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，∠CAB=900,以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，交BC邊于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE.（1）求證：DE與⊙A相切；

（2）若∠ABC=600，AB=4，求陰影部分的面積.解析

：連接AE.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴BA=DC,∠B=∠ADC

∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,DC=AE

∵BC∥AD

∴∠EAD=∠AEB=∠CDA

∵DA=AD

∴△DAC≌△ADE

∴∠DEA=∠ACD

∵CD∥AB

∴∠DCA=∠BAC=900

∴∠DEA=∠ACD=900

∴AE⊥DE

∴DE與⊙A相切

(2)過點(diǎn)E作EH⊥AC垂足為H.∵∠ABC=600，AE=AB=4

∴∠EAB=600,AC=

∴∠CAE=300

∴FE=1

∴陰影部分的面積=S△AEC-S扇形FAE=

10.（2018.葫蘆島）如圖AB是⊙O的直徑弧AC=弧BC，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=CE,連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BE.(1)求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若OB=2，求BD的長(zhǎng)。

解析：（1）連接OC.∵B是⊙O的直徑弧AC=弧BC

∴∠COA=∠COB=900

∵E是OB的中點(diǎn)

∴CE=FE

∵EF=CE,∠CEO=∠FEB

∴△CEO≌△FEB

∴∠FBA=∠COB=900

∴AB⊥BF

∴直線BF是⊙O的切線

(2)∵△CEO≌△FEB

∴BF=OC=OB=2

又∵AB=2OB=4

∴AF=

由AB?BF=AF?DB得

DB=

11.（2020.葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.（1）

求證：DF是⊙O的切線；

（2）

若CF=1,DF=,求圖中陰影部分的面積。

解析：（1）證明

：連接OD，AD.∵AB是⊙O直徑

∴∠ADB=900

∵AB=AC，OD=OA

∴∠BAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠AFG=∠ODG

∵DF⊥AC

∴∠ODG=∠AFG=900

∴OD⊥FD

∴DF是⊙O的切線

（2）∵CF=1,DF=，∠DFC=900

∴∠C=600，CD=2

∵AB=AC，∠ADB=900

∴∠OBD=∠C=600,DB=DC=2

∵OD=OB

∴△ODB是等邊三角形

∴∠BOD=600,OD=2

∴∠OCG=300

∴DG=

∴圖中陰影部分的面積=S△ODC-S扇形DOB=

12.（2017.本溪）如圖，△PAB內(nèi)接于⊙O，平行四邊形ABCD的邊AD是⊙O的直徑，且∠C=∠APB，連接BD.(1)

求證：BC是⊙O的切線。

(2)

若BC=2，∠PBD=600，求AP與弦AP圍成的陰影部分的面積。

解析

：（1）連接OB.∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴∠C=∠DAB

∵∠C=∠APB

∴∠DAB=∠APB

∴弧BD=弧AB

∵AB是直徑

∴∠AOB=∠BOD=900

∵AD∥BC

∴∠OBC=∠AOB==900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切線。

（2）連接OP.∵∠PBD=600

∴∠PAD=∠PBD=600

∵OP=OA

∴△OAP是等邊三角形

∴∠AOP=600,OH=

∵AD=BC=2

∴OA=1

∴AP與弦AP圍成的陰影部分的面積=S扇形OAP-S△OAP=

13.（2017.鐵嶺）如圖，四邊形ABCD中，連接AC，AC=AD，以AC為直徑的⊙O過點(diǎn)B，交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F.（1）

求證：EF是⊙O的切線；

（2）

若∠BAC=∠DAC=300,BC=2,求弧BCE的長(zhǎng)。（結(jié)果保留）

解析：（1）證明：連接OE,AE.∵AC為直徑

∴∠AEC=∠AED=900

∵AC=AD

∴CE=DE

∵OA=OC

∴OE∥AD

∴∠OEF=∠EFD

∵EF⊥AD

∴∠OEF=∠EFD=900

∴OE⊥EF

∴EF是⊙O的切線；

（2）連接OB.∵∠BAC=∠DAC=300,∠CAE=∠CAD

∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=450

∴∠BOE=2∠BAE=900

∵AC是直徑

∴∠ABC=900

∴AC=2BC=4

∴弧BCE的長(zhǎng)=

14.（2017.撫順）如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=CB，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，⊙O經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，以GD，GC為鄰邊作GDEC.（1）

判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

（2）

若點(diǎn)B是弧DBC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，求弧BC的長(zhǎng)。

解析：（1）DE與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OD.∵∠ACB=900，AC=CB

∴∠B=∠A=450

∴∠DOC=2∠B=900

∵四邊形DECB是平行四邊形

∴ED∥CG

∴∠EDO+∠DOC=1800

∴∠EDO=900

∴OD⊥DE

∴DE與⊙O的位置相切

（2）∵點(diǎn)B是弧DBC的中點(diǎn)

∴弧CB=弧DB

∴∠DOB=∠COB

∵∠DOB+∠COB+∠DOC=3600，∠DOC=900

∴∠COB=1350

∵⊙O的半徑為2

∴弧CB=

15.（2017.營(yíng)口）如圖，△ABC中，∠ACB=900,BO為△ABC的角平分線，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點(diǎn)D.（1）

求證：AB為⊙O的切線；

（2）

若tan∠A=，AD=2,求BO的長(zhǎng).解析：（1）證明：過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H.則∠OHB=900

∵BO為△ABC的角平分線，∴∠HBO=∠CBO

∵∠ACB=900,∴∠OHB=∠ACB，又BO=BO

∴△BOH≌△BOC

∴OH=OC=R

∴AB為⊙O的切線

（2）設(shè)OH=3k，由tan∠A=得，AH=4K,根據(jù)勾股定理

得，AO=5k。

∵AD=2，AO=AD+OD,OD=OH=3k.∴5k=2+3k，解得：k=1

∴OC=3，AC=8

在Rt△ACB中

tan∠A=

∴BC=6

∴OB=

16.（2018.本溪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，點(diǎn)O，D分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接OD，作⊙O與AC相切于點(diǎn)E，在AC邊上取一點(diǎn)F，使DF=DO，連接DF.（1）

判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）

當(dāng)∠A=300，CF=時(shí)，求⊙O的半徑。

解析：（1）直線DF與⊙O的位置相切，理由如下：

連接OE,過點(diǎn)O作OH⊥DF，垂足為H.∵⊙O與AC相切于點(diǎn)E,∴OE⊥AB

∵點(diǎn)O，D分別為AB，BC的中點(diǎn)

∴OD∥AC

∴∠ODC+∠C=1800,又∠C=900，∴∠ODC=∠OEC=∠C=900

∴四邊形DCEO是矩形

∴DC=OE=R

∵∠ODH=∠CFD,DF=DO,∠OHD=∠DCF=900

∴△OHD≌△DCF

∴OH=DC=OE=R

∴直線DF與⊙O的位置相切

（2）∵OD是△ABC的中位線

∴OD=AC,∵四邊形DCEO是矩形

∴OD=CE

∴OD=AE

在Rt△OEA中，∠A=300，∠OEA=900

∴OD=AE=OE=R

∵△OHD≌△DCF

∴DH=CF=

在Rt△OHD中，OH2+DH2=OD2

∴R2+2=3R2,解得：R=1

第三篇：圓的切線方程公式證明

已知:圓的方程為:(xb)2 = r2, 圓上一點(diǎn)P(x0, y0)解:圓心C(a, b)

直線CP的斜率:k1 =(y0a)

因?yàn)橹本€CP與切線垂直, 所以切線的斜率:k2 =-1/k1 =a)/(y0y0 = k2(xy0 = [-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx02a)2 +(y02ax0 + a2 + y12x022by0 + a2 + b2ax + ax0 + y0y2by0 + a2 + b2axyba)(xb)(y(x0 + D/2)/(y0 + E/2)

根據(jù)點(diǎn)斜式, 求得切線方程：

yx0)

yx0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2-x02x02Dx0/2a)2 +(yMC2)

(根據(jù)勾股定理)

= √ [(x0b)2MC2)

(根據(jù)勾股定理)

= √ [(x0 + D/2)2 +(y0 + E/2)2-((√(D2+E2-4F))/2)2 ]

(半徑:r=(√(D2+E2-4F))/ 2)

= √(x02 + y02 + Dx0 + Ey0 + F)

第四篇：圓的切線判定 教案

2.5.2圓的切線的判定

執(zhí)教者：湖南省雙峰縣永豐中學(xué)

謝靖敏

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握?qǐng)A的切線的判定定理，能初步運(yùn)用它解決有關(guān)問題。

2、通過圓的切線的判定定理和判定方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問題的能力。

3、通過學(xué)生自己實(shí)踐發(fā)現(xiàn)定理，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1、切線的判定定理。

2、切線判定方法的運(yùn)用。教學(xué)用具：三角板，圓規(guī)、課件

教學(xué)過程：

一、引入

直線和圓的位置關(guān)系有哪幾種?

二、探究活動(dòng)

用幾何畫板得出判定定理。

三、得出結(jié)論

1、切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2、判斷正誤，錯(cuò)誤的請(qǐng)舉反例。

（1）.經(jīng)過半徑的外端的直線是圓的切線（）（2）.與半徑垂直的的直線是圓的切線（）

（3）.過半徑的端點(diǎn)并且與這條半徑垂直的直線是圓的切線（）

四、新知應(yīng)用

1、學(xué)了切線的判定定理后，小華說，利用判定定理,他可以過圓上一點(diǎn)作圓的切線.想一想你會(huì)作嗎?怎樣作?

2、例1 已知：如圖，AD是圓O的直徑，直線BC經(jīng)過點(diǎn)D，并且AB=AC，∠1=∠2.求證：直線BC是圓O的切線.3、變式練習(xí)已知：如圖，直線AB經(jīng)過圓O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，AC=BC.求證：直線AB是圓O的切線.4、拓展提升

已知：O為∠BAC平分線上一點(diǎn)，OD⊥AB于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O。

求證：AC與⊙O相切。

五、學(xué)習(xí)小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)到了什么？

六、課后作業(yè)

1、思考

切線有怎樣的性質(zhì)呢？

2、作業(yè)

教材P75第2題

選做：P76第9題

第五篇：圓的切線教學(xué)反思

圓的切線教學(xué)反思

我在教《九年級(jí)數(shù)學(xué)》下冊(cè)“圓的切線”復(fù)習(xí)課時(shí)，是這樣設(shè)計(jì)的：首先在黑板上畫一個(gè)圓，要求學(xué)生：“在現(xiàn)有的圖形中從添加一條切線、兩條切線、三條切線??，畫出圖形并說出相關(guān)的結(jié)論思考”；在獨(dú)立完成的基礎(chǔ)上小組內(nèi)討論匯總，不同組之間相互交流；然后有某組同學(xué)代表本組講解本組的收獲，其他小組補(bǔ)充；這樣經(jīng)過全體學(xué)生的共同努力，與切線有關(guān)的所有知識(shí)點(diǎn)都囊獲其中。接著我讓學(xué)生展開想象的翅膀，“用你的智慧和以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自己設(shè)計(jì)與切線有關(guān)的題目（可以是課本中或你做過的題目的變式）”；仍然讓學(xué)生小組合作交流，然后板演講解。結(jié)果讓我大吃一驚，學(xué)生的設(shè)計(jì)有易有難，有選擇、填空，還有解答探索。整堂課課堂氣氛異常活躍，學(xué)生踴躍發(fā)言，積極參與，爭(zhēng)先恐后，高潮迭起。并且我把課堂全部還給了學(xué)生，給了他們充分的展示自己的時(shí)間和空間，體現(xiàn)了“一切為了每一位學(xué)生的發(fā)展”新課程理念。真正是“給學(xué)生一次機(jī)會(huì)，學(xué)生一定會(huì)還你一個(gè)驚喜”。在教學(xué)中還存在以下的遺憾與不足：時(shí)間安排不合理，前面基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)的時(shí)間過長(zhǎng)，有點(diǎn)“前松后緊”；忽略了學(xué)習(xí)困難生的學(xué)習(xí)參與，沒有有意“關(guān)愛、照顧”；教師的“導(dǎo)學(xué)”與“補(bǔ)漏”還做的不足；課堂小結(jié)處理匆忙，沒有達(dá)到回扣目標(biāo)，“畫龍點(diǎn)睛”的作用。再教學(xué)本節(jié)課時(shí)，充分發(fā)揮課前準(zhǔn)備的時(shí)間，縮短基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)的時(shí)間，為后面的學(xué)生自主探究提供更多的時(shí)間保障；要面向全體，關(guān)愛學(xué)習(xí)困難生，給他們一定的時(shí)間，使他們享受到學(xué)習(xí)的快樂；做好課堂總結(jié)，起到其概括回扣作用。相信用我的愛心，用我的智慧，用我的探索，用我的耕耘，給學(xué)生更多的探索學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，一定能優(yōu)化我們的課堂，讓課堂煥發(fā)活力，讓學(xué)生找到自信，使學(xué)生愿學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，收獲豐碩的數(shù)學(xué)成果。

數(shù)學(xué)教研組：陳登群

二0一三年三月十日