第一篇：【高考精品復(fù)習(xí)】選修4-1 幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線

第【高考會這樣考】 2講 圓周角定理與圓的切線

考查圓的切線定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

本講復(fù)習(xí)時，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切角等有關(guān)知識，重點掌握解決問題的基本方法

.基礎(chǔ)梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關(guān)系

(2)①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D

是優(yōu)弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大

小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與

圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝3，則圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圓

O的直徑為4.tan ∠AOP答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系．

【訓(xùn)練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應(yīng)用

【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉(zhuǎn)化為線 段之間的比例關(guān)系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓(xùn)練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第二篇：選修4-1 幾何證明選講第2講 圓周角定理與圓的切線

第【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 2講 圓周角定理與圓的切線

本講復(fù)習(xí)時，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切角等有關(guān)知識，重點掌握解決問題的基本方法.基礎(chǔ)梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關(guān)系

(2)①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝2BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點

A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓

O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝23，則

圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以O(shè)P⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若ABAP3tan 60°＝2，故圓O的直徑為4.tan ∠AOP＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDAD＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2以cos∠DAP＝32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝32.2答案

32解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系．

【訓(xùn)練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應(yīng)用

【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉(zhuǎn)化為線 段之間的比例關(guān)系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.BEAB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AF＝AC，∴BC＝AF.，又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF3015∴AB＝CD，∴BCAF86EF＝8415答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從

而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?/p>

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓(xùn)練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.BCCD(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BEBC

即BC2＝BE×CD.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第三篇：【創(chuàng)新方案】2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線教案 理 新人教版選修4-1

第2講 圓周角定理與圓的切線

【2013年高考會這樣考】

考查圓的切線定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．

【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

本講復(fù)習(xí)時，牢牢抓住圓的切線定理和性質(zhì)定理，以及圓周角定理和弦切

角等有關(guān)知識，重點掌握解決問題的基本方法

.基礎(chǔ)梳理

1．圓周角定理

(1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角．

(2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧度數(shù)的一半．

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關(guān)系

(2)①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角．

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，1則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC＝

2AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC

上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝∠BOC＝50°.2答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×1＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調(diào)研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠

2A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調(diào)研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝23，則圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以O(shè)P⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

APtan ∠AOP2

2，故圓O的直徑為4.tan 60°

考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結(jié)AD，BC，結(jié)合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝sin∠DACsin∠ACDsin∠ABDCDADADABsin∠ABD12＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAPcos∠DAP＝sin∠ABD3

3又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝

答案

2解決本題的關(guān)鍵是尋找∠APB與∠DAP的關(guān)系以及AD與AB的關(guān)系．

【訓(xùn)練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于22.3________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應(yīng)用

【例2】?如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉(zhuǎn)化為線

段之間的比例關(guān)系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴

又AE∥BC，∴BEAB.ACBCEFBEABEF＝.AFACBCAF

又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴

∴EF＝

答案 CDEF5EF，∴，BCAF863015＝8415 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明

三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?/p>

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓(xùn)練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故即BC2＝BE×CD

.BCCD，BEBC

高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關(guān)知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現(xiàn)．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第四篇：幾何證明選講第二講：圓周角與弦切角

幾何證明選講

第二講 圓周角與弦切角

一．考綱要求

掌握圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理；理解圓周角定理及其推論；理解弦切角定理及其推論；

二．知識梳理

1.圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

2.圓的切線的性質(zhì)及判定定理

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。

推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.弦切角的性質(zhì)

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

4.垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

5.三角形的五心

(1)內(nèi)心：三條角平分線的交點，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。性質(zhì)：到三邊距離相等。

(2)外心：三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。性質(zhì)：到三個頂點距離相等。

(3)重心：三條中線的交點。性質(zhì)：三條中線三等分點，到頂點距離為到對邊中點距離2倍

(4)垂心：三條高所在直線的交點。

(5)旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點。性質(zhì)：到三邊的距離相等。

三．診斷練習(xí)

1、下列命題中錯誤的是()

（A）過一個圓的直徑兩端點的兩條切線互相平行

（B）直線AB與⊙O相切于點A，過O作AB的垂線，垂足必是A

（C）若同一個圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)切點所得的線段是該圓的直徑

（D）圓的切線垂直于半徑

2、圖1中圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為．

3、如圖2，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，PC=3，PB=1，則⊙O的半徑為．

4、如圖3，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于點A，∠BAC=60°，則∠ADB的度數(shù)為

O · B A P O

圖3 C 圖

2-1-

四．范例導(dǎo)析

例1 AE是半圓的一條弦，C是弧AE的中點，弦AE交PC、CB于D、F。

A

CP?AB于P求證：AD

例

2AP2?CDAB是⊙O的直徑，MN 切⊙O的直徑與P，AD?MN于D,求證：?AD?AB

N

例3如圖所示，AB是圓O的直徑，AC是弦，?BAC的平分線AD交圓O于點D，DE?AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．

（1）求證：DE是圓O的切線；

（2）若

ACAB?25，求AFDF的值．

五.鞏固練習(xí)

1.(2011年高考廣東卷理科15)（幾何證明選講選做題）如圖，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A,B。且PB

得BC?5?7，C是圓上一點使?，?BAC??APB，則AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如圖，A,E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC=4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則的AF長為.3.如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上的兩點．如果?E?460，?DCF?320，則?A的大小為_________．

4.（2009·遼寧卷）已知?ABC中，AB?ACAC上的，D是?ABC外接圓劣弧?點（不與點A，C重合），延長BD至E（如圖所示）．

（1）求證：AD的延長線平分?CDE；

（2）若?BAC?30?，?ABC中BC邊上的高為2?3，求?ABC外接圓的面積

第五篇：選修4-1幾何證明選講總復(fù)習(xí)

相似三角形的判定及其有關(guān)性質(zhì)復(fù)習(xí)

一．知識梳理

1．平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段

推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于，并且等于2．平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段．

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段結(jié)論1：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊

結(jié)論2：三角形的一個內(nèi)角平分線分對邊所成的兩條線斷于這個角的兩邊．

結(jié)論3：若一條直線截三角形的兩邊（或其延長線）所得對應(yīng)線段成比例，則此直線與三角形的第三邊3． 相似三角形的判定定理：

（1）（SAS）（2）(SSS)（3）(AA)

相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形的對應(yīng)線段的比等于，面積比等于．

4． 直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上攝影的，兩條直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的． 二．模擬練習(xí)

1．如圖1，l1//l2//l3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，則，．

2．如圖2，AB是斜靠在墻壁上的長梯，梯腳B距墻80cm，梯上點D距墻70cm，BD長55cm，則梯子的長為cm．l1C

K l2F

l

3圖1 圖

2B

3．如圖3，ΔABC中，∠1=∠B，則Δ∽Δ．此時若AD=3，BD=2，則AC=．

4．如圖4，CD是RtΔABC的斜邊上的高．

（1）若AD=9，CD=6，則BD=；

（2）若AB=25，BC=15，則BD=．D

B

圖3 C

圖4 5．如圖5，ΔABC中，點D為BC中點，點E在CA上，且CE=

12EA，AD，BE交于點F，則

AF:FD=．

6．一個等腰梯形的周長是80cm，如果它的中位線長與腰長相等，它的高是12cm，則這個梯形的面 積為cm2．

7．兩個三角形相似，它們的周長分別是12和18，周長較小的三角形的最短邊長為3，則另一個三角形的最短邊長為．

8．如圖6，已知∠1=∠2，請補充條件：（寫一個即可），使得ΔABC∽ΔADE．

E

D

B

圖5 D C A 圖6

B 9．若一個梯形的中位線長為15，一條對角線把中位線分成兩條線段．這兩條線段的比是3:2，則梯形的上、下底長分別是__________．

10．如圖7，BD、CE

是VABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則PQ:BC11、如圖，等邊△DEF內(nèi)接于△ABC，且DE//BC，已知AH?BC于點H，BC＝4，AH＝3，求△DEF的邊長．

F H12、如圖8，在ΔABC中，作直線DN平行于中線AM，設(shè)這條直線交邊AB與點D，交邊CA的延長

14、（2009年海南、寧夏高考）如圖，已知?ABC的兩條角平分線AD

線于點E，交邊BC于點N． 求證：AD∶AB=AE∶AC． 和CE相交于H，?B?600，F(xiàn)在AC上，且AE?AF．

（I）

證明：B,D,H,E四點共圓：（II）

證明：CE平分?DEF。

．

B

N M C圖813、如圖9，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且EBAF AB

?

AD

?

3．求證：∠AEF=∠FBD．

D

M

B

C

圖9

直線與圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)

一．知識梳理

1．圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于

推論1；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是90?的圓周角所對的弦是弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的2． 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對角；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點

如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點3．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的4．相交弦定理：圓內(nèi)兩條相交弦，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是的比例中項．切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長；圓心和這點的連線平分的夾角． 二．模擬練習(xí)

1、如圖1，點P是⊙O的直徑BA延長線上一點，PC與⊙O相切于點C，CD⊥AB，垂足為D，連結(jié)AC、BC、OC，那么下列結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)有個

①PC

2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2

=OD·OP；④OA（CP－CD）=AP·CD．

2、AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P，若AP∶PB＝1∶4，CD＝8，則直徑AB的長是O DP

圖

13、如圖2，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，PC=3，PB=1，則⊙O的半徑為．

4、如圖3，圓O上的一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為．

A

O

P

B

圖

25、下列命題中錯誤的是

（1）過一個圓的直徑兩端點的兩條切線互相平行

（2）直線AB

與⊙O相切于點A，過O作

AB的垂線，垂足必是A

（3）若同一個圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)切點所得的線段是該圓的直徑（4）圓的切線垂直于半徑

6、如圖4，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于點A，∠BAC=60°，則∠ADB的度數(shù)為

7、如圖5，PA與圓切于點A，割線PBC交圓于點B、C，若PA=6，?PCA=，?PAB=．

·O

D

B P

圖4 C 圖5

8、如圖7，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交O于點D，若PE＝PA，?ABC?60?，PD＝1，BD＝8，則線段BC=．

9．半徑為5的⊙O內(nèi)有一點A，OA=2，過點A的弦CD被A分成兩部分，則AC·

10．如圖8，已知⊙O的半徑OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中點，則弦BD的長度是

O

P圖7

11．(2009年廣東高考)如上圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB?4，?ACB?30o，則圓O的面積等于__________________．

12、如圖9，AB是⊙O的直徑，C是⊙O外一點，且AC＝AB，BC交⊙O于點D．已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于點E，求四邊形ABDE的周長．

13、如圖10，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，F(xiàn)C．（1）求證：FB＝FC；

（2）若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的長．

14、如圖11，⊙1和⊙O2都經(jīng)過A、B兩點，經(jīng)過點A的直線CD與⊙O1交于點C，與⊙O2交于點D?經(jīng)過點B的直線EF與⊙O1交于點E，與⊙O2交于點F． 求證：CE∥DF．

O··O

F

圖

1115、（2009年遼寧高考）已知 ?ABC中，AB=AC,D是 ?ABC外接圓劣弧A?

C上的點（不與點A,C重合），延長BD至E．

（1）求證：AD的延長線平分?CDE；

（2）若?BAC=30，?ABC中BC邊上的高為，求?ABC外接圓的面積．

幾何證明選講復(fù)習(xí)題

（1）ΔABF∽ΔAEF（2）ΔABF∽ΔCEF（3）ΔCEF∽ΔDAE（4）ΔADE∽ΔAEF

8．如圖8，在RtΔABC中，∠C=90°，D是BC中點，DE⊥AB，垂足為E，∠B=30，AE=7．則1． 如圖1，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，則CO=cm，DO=DE的長為．cm．

9．如圖9，AB=BC=CD，∠E=40°，則∠

2．已知，如圖2，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，10．如圖10，已知⊙O的切線PC與直徑BA的延長線相交于點P，C是切點，過A的切線交PC

EE′=36mm，則BB′=，CC′=，DD′=．

于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半徑OC=．

3．如圖3，EF∥BC，F(xiàn)D∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．則BD=．

11．如圖11，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AD切⊙O于A，∠BAD=60°，則∠．A

4．已知，如圖4，在平行四邊形ABCD

中，DB是對角線，E是AB 上一點，連結(jié)CE且延長和DA的延長線交于F，則圖中相似三角形 的對數(shù)是．

BC5．如圖5，在?A

F

圖

1圖

2A′′C′′E′

B

圖9

E 圖

4B

中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,則BD?cm．

C

圖1

3F

C

圖10

B 圖11

D └B D

圖3

D C

12．如圖12，已知AD=AB，∠ADB=350，則∠BOC等于

圖6

6．如圖6，ED∥FG∥BC，且DE，F(xiàn)G把ΔABC的面積分為相等的三部分，若BC=15，則FG的長為．

7．如圖7，已知矩形ABCD中，∠AEF=90°，則下列結(jié)論一定正確的是

13．如圖13，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC平分∠BAD并與BD交于E點，CF切⊙O于C交AD延長線于F，圖中四個三角形：①ΔACF；②ΔABC；③ΔABD；④ΔBEC，其中與ΔCDF一定相似的是．

14．⊙O中，弦AB平分弦CD于點E，若CD=16，AE∶BE=3∶1，則

15．AB是⊙O的直徑，OA=2.5，C是圓上一點，CD⊥AB，垂足為D，且CD=2，則AC=．

16．如圖14，PAB是⊙O的割線，AB=4，AP=5，⊙O的半徑為6，則

BC中，17．如圖15，在?AAD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求證：AE?AB?AF?AC．

O

P

F B

圖7

C

D 圖8

B

圖14

A

18．如圖16，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點． 求證：GH=12

（BC－AD）．

F

圖16

C

19．已知：如圖17，?ABC中，AB?AC，?BAC?90?，D、E、F分別在AB、AC、BC上，AE?

AC，BD?

AB，且CF?

BC．求證：（1）EF?BC；（2）?ADE??EBC．

20．設(shè)圓O1與圓O2的半徑分別為3和2，O1O2?4，A,B為兩圓的交點，試求兩圓的公共弦AB的長度．

21．如圖18，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是 ⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點，圓心O在?PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點．（1）證明A，P，O，M四點共圓；（2）求?OAM??APM的大?。?/p>

22．如圖19，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點 D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直 線CF交直線AB于點G，（1）求證：點F是BD中點；（2）求證：CG是⊙O的切線；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．