第一篇：面面垂直的判定定理-最全面總結(jié)

面面垂直的判定及性質(zhì)定理

知識(shí)點(diǎn)1：二面角及其平面角

1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.2）二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個(gè)面分別為?、?的二面角記為 ?-l-? ．

3）二面角的平面角的定義

1定義：在二面角?-l-?的棱l上任取一點(diǎn)O，如圖，在半平面 ? 和 ?內(nèi)，從點(diǎn) O 分別作垂直于棱l的射線OA、OB，射線OA、OB組成∠AOB．則 ∠AOB 叫做二面角 ?-l-? 的平面角.2二面角的大小

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量．即二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度． ① 二面角的兩個(gè)面重合： 0°；

② 二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面：180°；

③平面角是直角的二面角叫直二面角．

二面角的范圍：[ 0°, 180°]．

知識(shí)點(diǎn)2：兩個(gè)平面垂直的判定定理

1）兩個(gè)平面垂直的定義：兩個(gè)平面互相垂直兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面?與?垂直，記作?⊥?.2）兩個(gè)平面垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.知識(shí)點(diǎn)3：二面角的平面角的做法

第1頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)4：面面垂直的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。（面面垂直，則線面垂直）考點(diǎn)1：面面垂直的判定定理的應(yīng)用

例1.如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A, B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面

PBC.考點(diǎn)2：求二面角的大小

例2.在正方體ABCD?A1BCD中，找出下列二面角的平面角： 11

1（1）二面角D1?AB?D和A1?AB?D；

（2）二面角C1?BD?C和C1?BD?A.考點(diǎn)3：線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化

例3.在正方體ABCD?A1BCD中，已知P,Q,R,S分別為棱AD,AB,AB,BB1的中點(diǎn)，求證平面PQS⊥平111111

1面B1RC

.3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，AF⊥PB 第2頁(yè)

于點(diǎn)F，求證：

（1）AE⊥平面PBC；（2）平面PAC⊥平面PBC；（3）PB⊥EF

B

C

同步練習(xí)：

1.如圖，ABCD為正方形，SA?平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

2.如圖所示，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PA?底面ABCD，AE?PD，EF//

CD，AM?EF． 求證：MF是異面直線AB與PC的公垂線．

3.如圖，直角△ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SA?SB?SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．

(1)求證：SD?平面ABC；

(2)若AB?BC，求證：BD?面SAC．

第3頁(yè)

A

4.如圖所示，平面??平面?，????l，在l上取線段AB?4，AC，BD分別在平面?和平面?內(nèi)，且AC?AB，DB?AB，AC?3，BD?12，求CD長(zhǎng)．

5.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面

EFD.16.（2012全國(guó)）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)

2（1）證明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比。

（3）求二面角A1?BD?C1的大小。

C1

A11

B

第4頁(yè) D

7.（2009全國(guó)）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1

（1）證明：AB=AC

（2）設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小

8.（2010全國(guó)）如圖,四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC?CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，DA E

BA1 C1 AB=BC=2，CD=SD=1

（1）證明：SD?平面SAB

（2）求AB與平面SBC所成角的大?。?/p>

第5頁(yè)

第二篇：面面垂直性質(zhì)定理

數(shù)學(xué)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理；平面與平面垂直的性質(zhì)編輯：

2.能運(yùn)用平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；

3.了解平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理并能運(yùn)用解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題

【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化的思想

【知識(shí)回顧】

1.兩個(gè)平面互相垂直的定義：

2.兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：符號(hào)表示：

【新知導(dǎo)航】

線面平行?面面平行線面垂直?面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直?線面垂直 ？

【探究1】黑板所在平面與地面垂直，你能否在黑板上畫(huà)幾條與地面垂直的直線？你為什么這么畫(huà)？你能歸納總結(jié)出這些直線有什么共同點(diǎn)嗎？

【探究2】下圖正方體中，平面ADD1A1與平面ABCD垂直，直線A1A垂直于其交線AD，平面ADD1A1內(nèi)的直線A1A與平面ABCD垂直嗎？

A1B

1探究結(jié)論：（）

【新知學(xué)習(xí)】?jī)蓚€(gè)平面互相垂直的性質(zhì)定理

定理的證明：（由文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言證明）已知： 求證： 證明：

【探究3】過(guò)平面外一點(diǎn)作已知平面的垂線，你能做出幾條來(lái)？

探究結(jié)論（）【嘗試練習(xí)1】如圖，已知平面?,?,???，直線a滿足a??,a??，試判斷直線a與平面?的位置關(guān)系.【嘗試練習(xí)2】如圖，已知平面??平面?，平面??平面?，????a，求證：

a??.【課堂小結(jié)】

1、請(qǐng)歸納一下本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么性質(zhì)定理，其內(nèi)容各是什么？

2、類比兩個(gè)性質(zhì)定理，你發(fā)現(xiàn)它們之間有何聯(lián)系？

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1、下列命題中，正確的是（）

A、過(guò)平面外一點(diǎn)，可作無(wú)數(shù)條直線和這個(gè)平面垂直 B、過(guò)一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面和一條定直線垂直 C、若a,b異面，過(guò)a一定可作一個(gè)平面與b垂直

D、a,b異面，過(guò)不在a,b上的點(diǎn)M，一定可以作一個(gè)平面和a,b都垂直.2、已知直線l,m，平面?,?，且l??,m??，給出下列命題：（1）?//??l?m（2）l?m??//?（3）????l//m（4）l//m????其中正確的命題是

BC?AB

3、在三棱錐P—ABC中，平面PAB?平面PBC，求證：PA?面ABC，4、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上的一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN?面A1DC，求證：（1）MN//AD1

(2)M是AB的中點(diǎn)

第三篇：面面垂直性質(zhì)定理及習(xí)題

面面垂直性質(zhì)定理及習(xí)題《必修2》1.2.4一、學(xué)習(xí)目標(biāo)撰稿：第四組審稿：高二數(shù)學(xué)組時(shí)間：2009-9-8

1． 理解面面垂直的性質(zhì)定理

2． 會(huì)用性質(zhì)定理解決有關(guān)問(wèn)題

3． 線線、線面、面面之間的位置關(guān)系及相互轉(zhuǎn)化

4． 利用面面位置關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)

面面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用

學(xué)習(xí)難點(diǎn)

“線線、線面、面面”判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用

三、知識(shí)鏈接

1． 面面垂直的判定定理

2． 面面平行的判定與性質(zhì)定理

3． 直線與面平行、垂直的判定與性質(zhì)定理

四、學(xué)習(xí)過(guò)程

1． 回顧上節(jié)內(nèi)容，問(wèn)：如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)面內(nèi)的直線是否一定垂直于另一個(gè)平面？

通過(guò)以上討論，得平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）符號(hào)語(yǔ)言：

（2）圖形語(yǔ)言：

2． 如何對(duì)定理加以證明：

性質(zhì)定理體現(xiàn)了什么關(guān)系？

它反映了面面垂直與線面垂直之間的密切關(guān)系，兩者可以互相轉(zhuǎn)化。

3． 對(duì)性質(zhì)定理的應(yīng)用

例：P4

4練習(xí)4

拓展：P43 例

3五、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1、判斷下列命題是否正確，說(shuō)明理由：

（1）若α⊥β，α⊥γ，則α∥β

（2）若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ

（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，則α1⊥β1。

2、如圖α，β，γ，為平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出圖中哪個(gè)角是二面角

α-l-β的平面角，并說(shuō)明理由。

3、判斷下列說(shuō)法是否正確：

（1）若平面α內(nèi)的兩條相交直線分別平面β 內(nèi)的兩條相交直線，則平面α平行與平面β；

（2）若兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線，則這兩個(gè)平面互相平行；

4、已知平面α、β直線l,且α∥β，l??，且l∥α,求證：l∥β。

5、（1）已知平面外的一條直線上有兩點(diǎn)到這個(gè)平面距離相等，試判斷這條直線與該平面的位置關(guān)系；

（2）已知一個(gè)平面內(nèi)有三點(diǎn)到另一平面距離相等，試判斷這兩個(gè)平面的位置關(guān)系。

6、如圖，已知AB是平面α的垂線，AC是平面α的斜線，CD?α，CD⊥AC。

求證：平面PAC⊥平面PBD.7、在四棱錐P—ABCD若PA⊥平面A BCD，且四邊形ABCD是菱形。

求證：平面PAC⊥平面PBD.8、如圖，已知正方體ABCD—A1B2C3D

4,求證：平面B1AC⊥平面B1BDD1.9、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值。

10、已知平面α，β，γ，且α∥β，β∥γ，求證：α∥γ。

11、如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，點(diǎn)D，E分別是BC和 B'C'的中點(diǎn)。求證：平面A'EB

∥平面ADC'。

12、如圖，有一塊長(zhǎng)方體的木料，經(jīng)過(guò)木料表面A1B1C1D1內(nèi)的一點(diǎn)P，在這個(gè)面內(nèi)畫(huà)線段，使其與木料表面ABCD內(nèi)的線段EF平行，應(yīng)該怎樣畫(huà)線？

今天我的收獲

第四篇：面面垂直的性質(zhì)定理（范文模版）

線面、面面垂直的性質(zhì)定理

教學(xué)目標(biāo)：1.掌握垂直關(guān)系的性質(zhì)定理,并會(huì)應(yīng)用。

2.通過(guò)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形

語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力、幾何直觀能力。

3.通過(guò)典型例子的分析和自主探索活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論形成過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法.重 難 點(diǎn)： 垂直關(guān)系的性質(zhì)定理是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

課時(shí)安排：1課時(shí).教學(xué)手段：多媒體.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入

線線垂直線面垂直 面面垂直

二、性質(zhì)定理的引入

（一）問(wèn)題探究一

為了改善小區(qū)電力供應(yīng)，政府決定在大雄家外的馬路邊立兩根電線桿，如果你是工程師，你有辦法保證這兩根電線桿平行嗎？

答：令它們都垂直于地面！

【抽象概括】

定理6.3如果兩條直線同垂直與一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.（文字描述）

ab

a??,b???a//b（數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)生歸納）

※歸納線面垂直的性質(zhì)：

1、線線垂直

2、線線平行（圖形符號(hào)）

【練習(xí)】

?表示平面，則下列命題 若m、n表示直線，中，正確的命題序號(hào)有__________.(1)m??,n???m//

n

(2)m//n,m???n??

(3)m??,n//??m?n(4)m//?,m?n?n??

（二）問(wèn)題探究二

在探究一中，如果大雄家有一面在馬路邊而且垂直于地面的圍墻，那么你怎么保證電線

桿都垂直于地面呢？

答：令每一條電線桿緊貼墻面且都垂直于墻面與地面的交線！

【抽象概括】

定理6.4 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直與它們交線的直線垂直于另

一個(gè)平面.(文字描述)m ????,????l ??m??m??(數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)生歸納)???m?l ?

（圖形符號(hào)）※歸納面面垂直性質(zhì)：線面垂直線面垂直面面垂直

【練習(xí)】

設(shè)兩個(gè)平面互相垂直，則（）

A.一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直與另一個(gè)平面

B.過(guò)交線上一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面的直線必在另一個(gè)平面上

C.過(guò)交線上一點(diǎn)垂直于交線的直線，必垂直于另一個(gè)平面

D.分別在兩個(gè)平面上的兩條直線互相垂直 C1 例1在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，MN在BA1 N平面B1BCCMN?BC于M1內(nèi)，且 DC（1）判斷MN與AB的關(guān)系，說(shuō)明理由（MN垂直的所有平面與直.線A 2）找出與

P

例2如圖，在四面體PABC中，PA?面ABC，面PAB?面PBC，求證：BC?AB.C分析：利用逆向思考的方法尋找證明思路.B

四、小結(jié)：面面平行

1、線線垂直線面垂直 面面垂直

2、幾何證明中常常使用逆向思考的方法.五、作業(yè)：P49B3、P70C2

P68A5－A8 在書(shū)上

第五篇：面面平行判定定理教案

2．2．2面面平行的判定

教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版必修二

教學(xué)目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.理解面面平行判定定理并初步應(yīng)用；

2.化歸與轉(zhuǎn)化思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

二、過(guò)程與方法

1.體會(huì)“類比”的數(shù)學(xué)思想;

2.經(jīng)歷面面平行定理的證明過(guò)程,體驗(yàn)反證法的過(guò)程.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

引導(dǎo)學(xué)生反思新舊知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成善于聯(lián)系的思考問(wèn)題，從實(shí)

際生活中獲知數(shù)學(xué)知識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)

面面平行的判定定理及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)

面面平行判定定理的由來(lái)及其證明

教輔手段

黑板，PPT

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題導(dǎo)入：

復(fù)習(xí)線面平行的判定方法，引入本節(jié)課的課題

二、新知探究

1、兩平面的位置關(guān)系（借助PPT），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩平面的位置關(guān)系——即平行和相交；

2、教師提問(wèn)：如何能判別兩平面平行呢？顯然當(dāng)一個(gè)平面內(nèi)的所以直線都和另

一個(gè)平面不相交時(shí)，兩平面平行。

教師總結(jié)：這個(gè)問(wèn)題告訴我們，判定兩平面平行問(wèn)題，可以證明一個(gè)平面內(nèi)的所有直線與另一個(gè)平面平行，即面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，但要證明所有直線

和另一個(gè)平面平行是很困難的。

教師提問(wèn)：同學(xué)們思考一下，能否將“所有直線：化為有代表性的”一條“或”

幾條直線“呢？

3、學(xué)生探究(以長(zhǎng)方體模型為例）:

（1）平面?內(nèi)有一條直線與平面?平行，?,?平行嗎？

（2）平面?內(nèi)有兩條直線與平面?平行，?,?平行嗎？

4、經(jīng)過(guò)觀察討論解決問(wèn)題

（PPT）定理：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平

面平行．

5、教師分析并書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程。

三、理解應(yīng)用：

例1：如圖，已知正方體ABCD-EFGH，求證：平面AEG平行于平面BDF

證明：?ABCD?EFGH為正方體

?GF//HE,GF?HE.又AB//HE,AB?HE,?GF//AB,GF?AB,?ABFG是平行四邊形.?AG//BF.又AG?平面BDF,BF?平面BDF

由直線與平面平行的判定定理得

AG//平面BDF,同理GE//平面BDF，又AG?EG?G，?平面AEG//平面BDF.四、課堂練習(xí):

必做題：課本58頁(yè)1、3選做題：課本58頁(yè)

2五、歸納提升:

1、兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行

2、判定兩個(gè)平面平行的方法：

1）使用“兩個(gè)平面互相平行”的定義

2）兩平面平行的判定定理

3、數(shù)學(xué)思想方法：

轉(zhuǎn)化的思想

六、課后延續(xù)

1.回顧本課的學(xué)習(xí)過(guò)程，整理學(xué)習(xí)筆記，正確運(yùn)用面面平行判定定理；

2.完成書(shū)面作業(yè)：必做教材61頁(yè)3；5。

選做教材61頁(yè)8

七.板書(shū)設(shè)計(jì)