第一篇：第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直[大全]

第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直

一、空間向量及其數(shù)量積

1、在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用AB或a表示，其中向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度或

或a。正如平面向量可用坐標(biāo)(x,y.)表示，空間向量也可用坐標(biāo)(x,y,z)表示。若已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1，z1）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2，z2）則向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)。222在空間，知道向量=（x，y，z

x?y?z ?

2、空間向量數(shù)量積

① 已知兩個(gè)非零向量a、b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則角∠AOB叫向量a與b的夾角，記作＜a，b＞規(guī)定，若0≤＜a，b＞≤?，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空間兩個(gè)向量a、b

COS＜a，b＞叫向量a、b的數(shù)量積，記作a?b

COS＜，＞若⊥?a?＝０

③ 若已知空間向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）則a?b＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，?，稱a與b垂直，記作a2?

??x1x2?y1y2?z1z

2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

例１ 如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分別為A1B1、A1C1中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，求向BD1與AE1所成角的余弦值。

B

D1 1Ｃ

6練習(xí)：已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

F

C1B

1C

DB

二、利用向量證線線垂直與線面垂直

A1B

1，求向量BE1與DF1所成角的余弦值。

4例2 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證A1C⊥平面AB1D1

CC

練習(xí)：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P為DD1的中點(diǎn)，求證：B1O⊥平面PAC。

A

例3 如圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，M, N分別是AB ,PC中點(diǎn)（1）求證：MN⊥CD

（2）若∠PDA=45，求證：MN⊥平面PCD

6N M

B

C

練習(xí)：正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是棱D1D中點(diǎn)，N是AD中點(diǎn)，P為棱A1B1上任一點(diǎn)。求證：NP⊥AM

作業(yè)：

A1

C1

M C 1.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1中點(diǎn)，O是底面ABCD中心，求證：OE⊥平面D1AC.2.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，O ,M分別是BD1, AA1中點(diǎn)，求證：OM是異面直線AA1和BD1的公垂線.DA13、如圖，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩

條對(duì)角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M。求證：CD⊥平面BDM

6AB B1

4在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，M為棱B1B

上任一點(diǎn)，當(dāng)

B1M

值為多少時(shí)能使D1M⊥平面EFB1 MB

A

E5、如圖，?ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，求證：AF⊥BD

C

A6、如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求證：A1B⊥B1C

Ａ

Ａ111

第二篇：110909用向量的方法來(lái)證明線線垂直

廣州藝術(shù)學(xué)校美術(shù)繪畫專業(yè)3708855611-09-09

用向量的方法來(lái)處理線線垂直

異面的線線垂直通常都要化成線線垂直，但是很多學(xué)生不清楚應(yīng)該找哪一個(gè)線面垂直，用向量的方法就避免了找的過(guò)程。

1、在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC

???????????????證明：（1）建立向量：設(shè)AB?a，AC?b，AV?c

1VA=VC：（2）翻譯條件：○?????????????VC?VA?AC??c?b，得

???|c|?|?c?b|化簡(jiǎn)得：___________________________________

??????????????AB=BC：BC?BA?AC??b?a，得○

_____________，化簡(jiǎn)得_______________________________________

???????????????（3）翻譯結(jié)論：VB⊥AC：VB?VA?AB??c?a，要證明：(?c?a)?b?0

計(jì)算過(guò)程：

2、（同上題）在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC

???????????????證明：設(shè)BA?a，BC?b，BV?c3、在三棱錐A—BCD中，AB⊥平面BCD，DC=DB，E為BC中點(diǎn)，求證：AC⊥DE；

???????????????證明：（1）建立向量：設(shè)BD?a，BC?b，BA?cAB⊥平面翻譯條件：○????????BCD：c?a,c?b，得c?a?0,c?b?0DC=DB：○?????????????????DC?DB?BC??a?b，得：|?a?b|?|a|

化簡(jiǎn)得：_______________________________E○????????1????1?為BC中點(diǎn)：BE?EC?BC?b 2

2??????????????翻譯結(jié)論：AC⊥DE：AC?AB?BC??c?b

?????????????1?DE?DB?BE??a?b 2???1?要證明：(?c?b)?(?a?b)?0 2

計(jì)算過(guò)程：

4、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，?DAB?60?，AB?2AD，PD?底面ABCD．證明：PA?BD；

???????????????證明：設(shè)設(shè)DA?a，DC?b，DP?c

1底面翻譯條件：○?????????ABCD為平行四邊形：AB?DC?b

????????????????02?DAB?60?：AD?AB?|AD|?|AB|?cos60= ○

3○??AB?2AD：|b|?2|a|

4PD?底面ABCD：_________________________________________ ○

翻譯結(jié)論：

5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o

證明：AB⊥PC6、如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；

7、如圖5.在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且∠DAB=60?，PA?PD?E是BCC的中點(diǎn).證明：（1）AD⊥DE（2）AD⊥PB8、已知在三棱錐S--ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥SB

???????????????證明：（1）建立向量：設(shè)CA?a，CB?b，CS?cBC⊥平面SAC：_______________________________ 翻譯條件：○

??????????????

2AD⊥SC：AD?AC?CD??a?kc（不知道D點(diǎn)位于SC什么位置）○

得：___________________________________

?????????????翻譯結(jié)論：AD⊥SB：SB?SC?CB??c?b

要證明： ______________________________________

第三篇：證明空間線面平行與垂直

證明空間平行與垂直

? 知識(shí)梳理

一、直線與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。

(2）判定定理： a??

b??a//ba//?

?//?

（3）其他方法：a//?a??

a//?

2.性質(zhì)定理：a

?? a//b

????b

二、平面與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：兩平面無(wú)公共點(diǎn)。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??a//? ?//?;?//? a???//?

?//?

2.性質(zhì)定理：????a a//b

????b

三、直線與平面垂直

（1）定義：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。

（2）判定方法

① 用定義.a?ba?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

a??

③ 推論: b??

a//b

（3）性質(zhì) ①

a??a??

a?b②a//bb??b??

四、平面與平面垂直

（1）定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。

a??

（2）判定定理 ???

a??

（3）性質(zhì)

???????l

①性質(zhì)定理???

a??

a?l

???????l②A?l

P??

PA??垂足為A???????④PA??

P??PA??

? “轉(zhuǎn)化思想”

面面平行線面平行 線線平行 面面垂直線面垂直 線線垂直

例題1.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；例

題2.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體

ABCD?A1B1C1D1中,O為BD1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),N為AB的中點(diǎn)，P為BB1的中點(diǎn).（I）求證：BD1?B1C；（II）求證BD1?平面MNP；

例題3.如圖，在三棱錐V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC?BC?a，∠VDC???0???（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；

??

π??． 2?

π

（II）試確定角?的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Ｄ

例題4.（福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，AE交A1D于點(diǎn)H.BB

（1）求證：AE?平面A1BD；

（2）求二面角D?BA1?A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；

A1

CHA

C

第四篇：線線、線面平行垂直的證明

空間線面、面面平行垂直的證明

12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如圖，在正方形ABCD?A'B'C'D'，A'（1）求證：A'B//平面ACD'；

（2）求證：平面ACD'?平面DD'B。

A

4.如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點(diǎn)，求證：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC和BD的交點(diǎn).求證：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1?平面AB1D1．

DA

C1

C

(5題圖)

6.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，點(diǎn)P為

DD1的中點(diǎn)。

（1）求三棱錐D?PAC的體積；（2）求證：直線BD1∥平面PAC；（3）求證：直線PB1?平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如圖，在四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，側(cè)棱

PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF?PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：DE?BC

（3）證明：PB?平面EFD。

8.ABCD?A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱

A

AA1?2，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：AE?平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱錐A?C1D1E的體積.

第五篇：線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)

清新縣濱江中學(xué)2012屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料2011-12-

31空間中的垂直關(guān)系

1．判斷線線垂直的方法：所成的角是，兩直線垂直；

垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直

PO??,O????推理模式： PA???A??a?AO。

a??,a?AP??

2．線面垂直

定義：如果一條直線l和一個(gè)平面α相交，并且和平面α內(nèi)的任意一條直線都，我們就說(shuō)直線l和平面αl叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線l與平面α垂直記作：。

直線與平面垂直的判定定理：如果，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

推理模式：

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線。

3．面面垂直

兩個(gè)平面垂直的定義：相交成的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直?面面垂直）

如果，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

推理模式：

兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直?線面垂直）

若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的的直線垂直于另一個(gè)平面。

課后練習(xí)

1、（2008上海，13）給定空間中的直線l及平面?，條件“直線l與平面?內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面?垂直”的（）條件

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l是異面直線AB1 和A1D的公垂線，則直線l與直線BD1的關(guān)系為（）

A．l⊥BD1B．l∥BD1C．l與BD1 相交D．不確定

1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)

(1)求證：CD⊥AE；

(2)求證：PD⊥面ABE.2、如圖，棱柱ABC?A1B1C1BCC1B1的側(cè)面是菱形，B1C?A1B

證明：平面AB1C?平面A1BC13、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形。?DAB?60,AB?2AD,PD?? 底面ABCD，證

明：PA?BD4、如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)

（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M

面面垂直的性質(zhì)

1、S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC.S

A C2、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 證明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如圖，平行四邊形ABCD中，?DAB?60?，AB?2,AD?4將

沿BD折起到?EBD的位置，使平面EDB?平面ABD 求證：AB?DE4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn) 求證：（1）直線EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第4題

圖)

?CBD

5．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點(diǎn)．（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論