第一篇：對(duì)稱(chēng)美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用（精選）

對(duì)稱(chēng)美在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用

摘要:數(shù)學(xué)形式和結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性,數(shù)學(xué)命題關(guān)系中的對(duì)偶性都是對(duì)稱(chēng)美的自然表現(xiàn).在數(shù)學(xué)解題方面,對(duì)稱(chēng)方法往往使問(wèn)題解決的過(guò)程簡(jiǎn)捷明快.因?qū)ΨQ(chēng)和諧,它喚起人們探索的興趣,人們長(zhǎng)去研究它,數(shù)學(xué)方法是一門(mén)科學(xué)又是一門(mén)藝術(shù),因此研究數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美與對(duì)稱(chēng)性原理解題是有價(jià)值的課題.關(guān)鍵詞: 對(duì)稱(chēng)性﹑數(shù)學(xué)美﹑對(duì)偶式﹑對(duì)稱(chēng)性原理

Ⅰ.對(duì)稱(chēng)美及對(duì)稱(chēng)性原理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的用途舉例

<1>.利用對(duì)稱(chēng)性,預(yù)測(cè)問(wèn)題結(jié)果

當(dāng)人們面臨一個(gè)課題或解一道數(shù)學(xué)難題時(shí),往往先對(duì)結(jié)果作一大致的估量或預(yù)測(cè)而不是先用于計(jì)算或論證,有些數(shù)學(xué)問(wèn)題可以根據(jù)其對(duì)稱(chēng)性,先預(yù)測(cè)結(jié)果,再進(jìn)行證明.例1.已知x,y,z∈R﹢,且x+y+z=1求函數(shù)f(x,y,z)=

4x?1+y?1?4z?1的最大值

分析直接求最大值,無(wú)從下手,觀(guān)察變量x,y,z可知:它們?cè)跅l件及函數(shù)f(x,y,z)中均具有對(duì)稱(chēng)性,可預(yù)測(cè)當(dāng)x=y=z=時(shí)函數(shù)取最大值.此時(shí),函數(shù)f(x,y,z)的值為4??1?4??1?4??1?21 從而4x?1+4y?1?4z?1?21

只需進(jìn)一步檢測(cè)預(yù)測(cè)結(jié)果的正確性,將求最值題轉(zhuǎn)化為證明題,降低了原題的難度.13131313

上不等式通過(guò)基本不等式<2>.運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性,誘發(fā)解題靈感

x2?y2?z2x?y?z

不難證得 ?

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題,用對(duì)稱(chēng)的眼光去觀(guān)察﹑審視,通過(guò)形﹑式的補(bǔ)美造成對(duì)稱(chēng)或采用對(duì)稱(chēng)變換調(diào)整元素之間的關(guān)系,往往能誘發(fā)解題靈感,簡(jiǎn)化解題過(guò)程.例2.若a,b,c表示三角形三邊之長(zhǎng),求證:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)?3abc

分析本題關(guān)于a,b,c是對(duì)稱(chēng)的,這就啟發(fā)我們將3abc移到左平分給三個(gè)加項(xiàng),即需證:

[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] ?0 由對(duì)稱(chēng)性,我們只需變換上式左邊中的某一項(xiàng),如 a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)

=a(a-b)(c-a)

于是, 左邊其余兩項(xiàng)顯然為:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)

又因?yàn)殛P(guān)于a,b,c對(duì)稱(chēng),故不妨假設(shè)a ?b ?c

此時(shí), c(c-a)(b-c)?0

而a(a-b)(c-a)+a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)] =(a-b)2[c-(a+b)] ?0

從而原不等式獲證

<3>.洞察對(duì)稱(chēng)性,巧妙轉(zhuǎn)化問(wèn)題

對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題,若能洞察到問(wèn)題所具有的對(duì)稱(chēng)性,往往可將 題巧妙轉(zhuǎn)化,使問(wèn)題解題思路簡(jiǎn)捷﹑化難為易﹑避繁就簡(jiǎn).例3.自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出光線(xiàn)h射到x到軸上,被x軸反射,其反射光

線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線(xiàn)h所在的直線(xiàn)方程

分析 :本題解法頗多,若能運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的思想,巧妙轉(zhuǎn)化問(wèn)題,不難發(fā)現(xiàn)原命題即為:”求過(guò)點(diǎn)A(-3,3)且與⊙c(x-2)2+(y-2)2=1對(duì)稱(chēng)的圓

⊙c1相切的直線(xiàn)方程”如圖,這樣的轉(zhuǎn)化不但明確了解題 思路,而且簡(jiǎn)化了解題計(jì)算量,設(shè)直線(xiàn)h的方程y-3=k(x+3)則根據(jù)⊙c1的圓心C’(2,-2)到直線(xiàn)h的方程的距離等于⊙c1的半徑1,可求出k=-,從而求出直線(xiàn)方程

'3

'

<4>.剖析對(duì)稱(chēng)性,合理準(zhǔn)確選擇

數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵階段------領(lǐng)悟階段,發(fā)現(xiàn)常常是作出選擇,就是要拋棄不合適的方案,保留合適的方案,而支配這種選擇的就是數(shù)學(xué)美感,而對(duì)稱(chēng)美感往往扮演著重要角色 例4.已知:△ABC的內(nèi)界圓與外切圓的半徑分比別為r和R,則r和R比值等于()

ABCABC

cosB.4sinsincos

222222

ABCABC

C.4sinsinsinD.4coscossin

222222

A.4sincos

分析三角形的邊a,b,c或角A,B,C對(duì)r和R的影響是相同的, r和R不可能對(duì)三角形的某一條邊或某個(gè)角有選擇或特別偏重,因此在比值

r的表達(dá)式中,必有邊a,b,c或角A,B,C的輪換對(duì)稱(chēng),因此C是正確的 R

怎樣預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)研究成果?如果我們對(duì)未來(lái)結(jié)果一無(wú)所知,那么只有憑感覺(jué)判制,數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美感,是我們必須信任的向?qū)?Ⅱ.對(duì)稱(chēng)與非對(duì)稱(chēng)的聯(lián)系

尋求對(duì)稱(chēng)不是解題的唯一途徑,具體問(wèn)題具體分析才是出路,下面對(duì)對(duì)稱(chēng)與非對(duì)稱(chēng)作一辨證分析 <1>.非對(duì)稱(chēng)向?qū)ΨQ(chēng)轉(zhuǎn)化

對(duì)稱(chēng)的形式容易被感知與理解,均衡協(xié)調(diào)的結(jié)構(gòu)往往能理順?biāo)悸?反之則會(huì)干擾思考,這就要求我們使凌亂的非對(duì)稱(chēng)的形式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)和諧的結(jié)構(gòu).(1)根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)及需要,對(duì)原式添加某些項(xiàng),使其形成對(duì)稱(chēng)局面,促使問(wèn)題求解.例1.設(shè)a

n(x,y,z,t)可以取多少不同的值?

評(píng)析:如將n(x,y,z,t)再添上兩項(xiàng)(x-z)2和(y-t)2則 n(x,y,z,t)+(x-z)2+(y-t)2就轉(zhuǎn)化為關(guān)于x,y,z,t的全對(duì)稱(chēng)式,故 n(x,y,z,t)的不同值僅依賴(lài)于(x-z)2+(y-t)2=(x2+y2+z2+t2)-2(xz+yt)的不同取值,而上式右端第一項(xiàng)(x2+y2+z2+t2)又是全對(duì)稱(chēng)的,因此,n取不同的值僅依賴(lài)于xz+yt,而它恰有三種不同的值 ab+cd,ac+bd ,ad+bc,事實(shí)上(ab+cd)–(ac+bd)=a(b-c)+d(c-b)=(b-c)(a-d)>0

∴ab+cd>ac+bd

同理ac+bd>ad+bc

即n(x,y,z,t)可取三種不同值

(2).根據(jù)式子外部特征及某些性質(zhì),引進(jìn)一個(gè)新的對(duì)稱(chēng)的式子,與原式

配合求解,所引進(jìn)的新的式子稱(chēng)為對(duì)偶式

例2.設(shè)a,b∈R+,且??1, 求證:對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n有(a+b)n-an-bn≧22n-22n-1

12n?1

證設(shè)d1=(a+b)n-an-bn =Cnan?1b?Cnan?2b2????????Cnabn?1

1n?2n?1

令d2= d1=Cnabn?1????????Cnan?2b2?Cnan?1b

1a1b

d1+ d2=2 d1=

n?1n?1n?2222n?1n?1

Cn(ab?ab)?Cn(ab?ab????????Cn(ab?ab)

12n?1

?2anbn(Cn?Cn????????Cn)由題設(shè)可知 ab ?4, 于是 2 d1?24n(2n?2)即d1?2n(2n?2)?22n?22n?1 <2>.對(duì)稱(chēng)-------非對(duì)稱(chēng)---------對(duì)稱(chēng)的辨證關(guān)系

方法上的對(duì)稱(chēng),形式上的對(duì)稱(chēng),確實(shí)能為我們獲取信息打開(kāi)通道,但是沒(méi)有一個(gè)極美的東西是在調(diào)和中有著某種”奇異”有的時(shí)候抓 住某種”奇異”更能簡(jiǎn)潔明快的求解.例3.在△ABC中求證sin?sinsin

A2

B2

C1? 28

12n?1

評(píng)析: 這里的約束條件A+B+C=∏,將C視為常量(＂奇異＂),此時(shí)

CA

為常量, sin為變量,它們地位不同,(打破和諧性),問(wèn)題轉(zhuǎn)化

ABsi?sin為求的最大值,因?yàn)?22A?BA?B1A?B1AB1

sin?sin=(cos?cos)?cos?sinC當(dāng)且僅22222222

sin

當(dāng)A=B時(shí)取最大值,同理固定B角,A=C時(shí)取最大值,固定A角, B=C時(shí)取最大值,呈現(xiàn)出和諧之感,因此只有當(dāng)A=B=C=

?

時(shí) 3

sin

ABC1

?sinsin=(最大)2228

例4.在△ABC中,求sin3A?sin3B?sin3C最大值

分析點(diǎn)評(píng):本例形式上與上例3極為相似,用同樣的方法展開(kāi)

sin3A?sin3B?sin3C?2sin

3(A?B)3(A?B)

?cos?sin3C 223(A?B)?2sin?sin3C(這里運(yùn)用放縮法,與上例解法

不對(duì)稱(chēng))

3(A?B)3(A?B)3(A?B)

?2sin?cos 2223(A?B)3(A?B)

?[1?cos] =2sin

=2sin

此時(shí)sin

3(A?B)

可正可負(fù)(又與上例解法不對(duì)稱(chēng)),不妨設(shè)A?B?C之2

后雖然破壞了A,B,C的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu).(他們有大小之別)但為我們解題開(kāi)拓了思路.∵A?B?C∴0?上式=

3(A?B)

?? 2

第二篇：原創(chuàng)：數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度有著驚人的差異，這很大程度上歸因于他們對(duì)數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟和鑒賞角度不同。數(shù)學(xué)其實(shí)是美的，數(shù)學(xué)美是一種極其嚴(yán)肅、雅致和含蓄的美，學(xué)生受到基礎(chǔ)知識(shí)和審美能力的限制，并不都具有理想的鑒賞能力。因此，喚醒他們對(duì)數(shù)學(xué)的美好情感，倡導(dǎo)對(duì)數(shù)學(xué)美的崇尚是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)之一。?

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一、數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)美與教學(xué)?

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)主要包括數(shù)學(xué)概念、命題、法則以及內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美和簡(jiǎn)練美是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)美的兩個(gè)主要方面。?

數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美是數(shù)學(xué)的普遍形式。教學(xué)時(shí)，教師不但要對(duì)這種美有較深刻的領(lǐng)悟，且要能藝術(shù)地表現(xiàn)出來(lái)。例如，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，教師在推導(dǎo)過(guò)程中的一邊示范，喚醒學(xué)生的審美意識(shí)，學(xué)生也進(jìn)入到美的境界，得到美的享受，一邊讓學(xué)生根據(jù)定義畫(huà)出橢圓，且要求他們用生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己的思維活動(dòng)。這樣，再讓學(xué)生感受和體驗(yàn)美的同時(shí)，激勵(lì)他們創(chuàng)造美，使數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用發(fā)揮得淋漓盡致。?

數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)練美是數(shù)學(xué)的主要藝術(shù)特色。對(duì)簡(jiǎn)練美的追求是數(shù)學(xué)研究的一部分，它促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也有益于知識(shí)的系統(tǒng)化。而數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，成為知識(shí)發(fā)展的主要特點(diǎn)：數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生和發(fā)展都是與它的知識(shí)點(diǎn)的形成分不開(kāi)的，若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，既具有縱向的順序性，又具有橫向的層次性。?

二、數(shù)學(xué)思維的協(xié)同美與教學(xué)?

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維的協(xié)同美大體上可從以下兩個(gè)方面表現(xiàn)出來(lái)。?

歸納和演繹的相互作用。數(shù)學(xué)中大量地需要?dú)w納，同時(shí)也需要演繹，在許多情況下兩者互為作用的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，總是既用歸納又用演繹。為了增強(qiáng)歸納推理的可靠性，不管是以一般原理作指導(dǎo)還是對(duì)歸納推理的前提進(jìn)行分析，都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運(yùn)行過(guò)程中這種辯證統(tǒng)一正體現(xiàn)了兩者之間是交互為用的。?

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，限于兒童的認(rèn)知水平，數(shù)學(xué)知識(shí)的出現(xiàn)，較多地依賴(lài)于直觀(guān)、實(shí)驗(yàn)和歸納，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行演繹，以不斷提高學(xué)生的邏輯推理能力。例如加法交換律，最早出現(xiàn)在一年級(jí)，顯然不可能進(jìn)行演繹論證，只能通過(guò)計(jì)算實(shí)踐，由8+5=13，5+8=13等歸納出加法交換律，但在對(duì)加法交換律的反復(fù)應(yīng)用中又讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)演繹思想，因此，在教學(xué)中要貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則。?

形式邏輯與辯證邏輯的并重和統(tǒng)一。一方面，數(shù)學(xué)中大量存在相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，我們能用形式邏輯思維的方法進(jìn)行分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象。另一方面，也存在顯著的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如有限與無(wú)限的相互轉(zhuǎn)化，代數(shù)、幾何、三角各學(xué)科之間的轉(zhuǎn)化以及數(shù)學(xué)各種相關(guān)運(yùn)算方法的發(fā)展與對(duì)立統(tǒng)一等，故能用辯證思維的方法認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念的形成和關(guān)系的不斷發(fā)展變化。因此，在教學(xué)時(shí)要貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統(tǒng)一的原則，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為例，按形式邏輯思維規(guī)律，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要前后一致，而且不容許存在不相容。如果存在著兩個(gè)互相排斥的認(rèn)識(shí)，那么其中必有一真一假，概念數(shù)學(xué)必須遵循上述邏輯規(guī)則進(jìn)行。但同時(shí)也應(yīng)指出，用運(yùn)動(dòng)和發(fā)展的觀(guān)點(diǎn)來(lái)思考，數(shù)學(xué)概念也是隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)的發(fā)展而發(fā)展的。許多對(duì)立的概念可以統(tǒng)一起來(lái)，如實(shí)數(shù)和虛數(shù)同處于復(fù)數(shù)中，一個(gè)概念在不同的場(chǎng)合或不同的條件下可能有不同的認(rèn)識(shí)，如三角函數(shù)的概念，最初學(xué)習(xí)的是銳角的正弦、余弦、正切和余切，被理解為直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對(duì)邊比鄰邊和鄰邊比對(duì)邊，以后發(fā)展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。我們知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展歸根到底是數(shù)學(xué)概念的不斷發(fā)展，這種發(fā)展又有自身的規(guī)律。人們常說(shuō)的概念是在發(fā)展中形成，而且又是在形成后不斷發(fā)展的，所以一個(gè)數(shù)學(xué)概念具有確定性和靈活性?xún)蓚€(gè)特點(diǎn)。就像“乘法”這個(gè)概念在整數(shù)和分?jǐn)?shù)中具有不同的數(shù)

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學(xué)含義一樣。?

三、數(shù)學(xué)方法的奇異美與教學(xué)?

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究思想事物的抽象的科學(xué)。確實(shí)，數(shù)學(xué)具有兩重屬性，這兩重性可簡(jiǎn)單地概括為：一是數(shù)學(xué)知識(shí)，二是數(shù)學(xué)思想方法。而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西，數(shù)學(xué)方法的奇異美常常成為產(chǎn)生新思想、新方法和新理論的起點(diǎn)，使規(guī)律化、程式化的世界出現(xiàn)意外的、帶有獨(dú)創(chuàng)性的成果，令人興奮和激動(dòng)。?

如：“凸?n(n?＞4)邊形的對(duì)角線(xiàn)最多有幾個(gè)交點(diǎn)？”這個(gè)問(wèn)題，按照習(xí)慣，也許會(huì)從四邊形開(kāi)始，逐步通過(guò)五邊形、六邊形等來(lái)構(gòu)造對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，從中歸納出一般規(guī)律。當(dāng)一次次構(gòu)造的嘗試都未獲得理想的結(jié)果時(shí)，我們要敢于放棄傳統(tǒng)方法，另辟蹊徑：一個(gè)交點(diǎn)是由兩條對(duì)角線(xiàn)相交而成，兩條對(duì)角線(xiàn)由四個(gè)頂點(diǎn)確定，而凸n邊形任意四個(gè)頂點(diǎn)都能且只能確定一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“在n個(gè)頂點(diǎn)中任意取四個(gè)，共有幾種取法？”新穎的方法帶來(lái)了意想不到的效果，這便是化歸法的奇異美所在。我們?cè)趥魇跀?shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)方法的滲透，要求學(xué)生掌握方法的同時(shí)，能構(gòu)造出解題模式，使數(shù)學(xué)美得到升華。?數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本的兩大概念，是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要側(cè)面，所以數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)研究的重要思想方法。教學(xué)時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來(lái)啟發(fā)學(xué)生的直覺(jué)思維。數(shù)形結(jié)合是直覺(jué)思維的橋梁，我們應(yīng)利用這一橋梁，使學(xué)生從美學(xué)角度審視或整理自己掌握的知識(shí)，這樣能使他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)更完整、更充實(shí)。同時(shí)，為了使學(xué)生畫(huà)圖準(zhǔn)確、迅速、美觀(guān)，教學(xué)時(shí)我們可以開(kāi)展構(gòu)圖比賽，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造美的能力。?

綜上所述，數(shù)學(xué)正如羅素所說(shuō)：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分挖掘數(shù)學(xué)美的因素，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)美的追求，使他們擺脫“苦學(xué)”的束縛，走入“樂(lè)學(xué)”的天地。?

（洪發(fā)蘭 安徽省淮北礦業(yè)集團(tuán)蘆嶺礦中學(xué) 234113）

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第三篇：淺談數(shù)學(xué)美及數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的應(yīng)用

淺談數(shù)學(xué)美及數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，它來(lái)源于生活又高于生活，最宗又服務(wù)于生活。它是美的象征，它具有簡(jiǎn)單美、和諧美、奇異美等特征。它沒(méi)有音樂(lè)中的抒情旋律、沒(méi)有美術(shù)中鮮艷的畫(huà)面、沒(méi)有文學(xué)中動(dòng)人的詩(shī)歌。因而許多人感到它枯燥單調(diào)，神秘莫測(cè)，難以喚起審美情趣。而我則認(rèn)為數(shù)學(xué)具有無(wú)限的數(shù)學(xué)美！本文試從數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用，實(shí)施美育的嘗試加以論述。

一、數(shù)學(xué)美在教學(xué)中的作用

(一)什么是數(shù)學(xué)美？數(shù)學(xué)美是如何來(lái)提高學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)主動(dòng)性的。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在創(chuàng)造性欲望的滿(mǎn)足上無(wú)法與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)相比，但同樣可以享受到“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的喜悅。透徹地理解一個(gè)概念，巧妙地證明一個(gè)定理，正確地使用一個(gè)公式，一個(gè)方法的恰到好處的運(yùn)用，特別是一道難題經(jīng)過(guò)反復(fù)琢磨，冥思苦想后的突然悟出，真有“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的欣喜感覺(jué)。

我在《圓的計(jì)算》的教學(xué)過(guò)程中，為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓面積推導(dǎo)過(guò)程的理解和應(yīng)用，首先我用了數(shù)學(xué)中的“簡(jiǎn)單美”的特征，發(fā)給學(xué)生一些相關(guān)材料，先由學(xué)生按照印好的線(xiàn)條剪拼，然后自己推導(dǎo)計(jì)算公式，最后小組討論能否拼成其他圖形。學(xué)生在討論中剪拼成了三角形、梯形，最宗在我的指導(dǎo)下推導(dǎo)出了圓的面積計(jì)算公式。在這過(guò)程中，他們興趣盎然，積極動(dòng)手。當(dāng)問(wèn)題得到解決后他們個(gè)個(gè)眼中閃耀著成功的喜悅。

(二)啟迪思維活動(dòng)

發(fā)展思維的宗旨是開(kāi)發(fā)智力，提高能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一道數(shù)學(xué)題的解法是否合理，不但要符合實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)和邏輯標(biāo)準(zhǔn)外，還要符合美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。

例如有些應(yīng)用題的解法常常有許多種，我們提倡解決問(wèn)題方法的多樣化，那么在這多種解法中如何判斷其優(yōu)劣呢?其最主要也是最基本的標(biāo)準(zhǔn)就是——是否簡(jiǎn)捷。如：“一條路長(zhǎng)1500米，某工程隊(duì)前2天修了全長(zhǎng)的1／5，照這樣計(jì)算，修完這條路還需幾天?”

解法一：(1500-1500x1／5)÷(1500x1／5+2)=8(天)解法二：1500+(1500x1／5+2)一2=8(天)

解法三：[(1-1／5)÷1／5]x2=8(天)

解法四：2÷1／5—2=8(天)

后兩種解法明顯運(yùn)算量小，道理十分清楚，特別是第四種解法．利用天數(shù)與與工作量的關(guān)系，一下子算出總天數(shù)，再減去已用的2天，馬上得到解，因而也是最清楚、最“美”的解法。

(三)深化理解知識(shí)

在復(fù)習(xí)《平面圖形的周長(zhǎng)和面積》這一課中，我首先讓學(xué)生回憶了所學(xué)過(guò)的平面圖形，然后組織小組討論.我們可以把這

樣的平面圖形怎樣進(jìn)行分類(lèi)?為什么?討論和分類(lèi)的過(guò)程，也是理解這些圖形內(nèi)在聯(lián)系的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)圖形的分類(lèi)及用字母表示數(shù)量，得到的各種計(jì)算方式的極為優(yōu)美的簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式，體會(huì)到了數(shù)學(xué)所特有的美。

(四)陶冶思想情操。

愛(ài)美之心人皆有之，在年少時(shí)尤為突出，我們要讓學(xué)生在美的享受中開(kāi)啟心靈，達(dá)到精神的升華。充分利用生動(dòng)的材料．以數(shù)學(xué)美的魅力撥動(dòng)學(xué)生的心弦，使他們?cè)谙硎軘?shù)學(xué)美的愉悅中增長(zhǎng)知識(shí)，并在情感上產(chǎn)生共鳴，才能收到陶冶情操的良好效果。

在教《圓的周長(zhǎng)》這一課時(shí)，我對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之稍做介紹，他把圓周率的值精確計(jì)算到了3．1415926-3．1415927之間，這在古代是多么的偉大啊，不言而喻，我國(guó)數(shù)學(xué)的輝煌成就中所體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)美，是給學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育的極好材料。又如，數(shù)學(xué)中的“曲線(xiàn)”不僅僅具有柔和而流暢的外形，而且還賦予豐富深刻的含義：圓，象征完美，象征團(tuán)圓，而曲線(xiàn)則暗示著人生的某種真諦。

二、實(shí)施美育的嘗試

(一)培養(yǎng)學(xué)生的審美意識(shí)

數(shù)學(xué)美雖是一種真實(shí)的美，但它是美的高級(jí)形式。因此，數(shù)學(xué)究竟美在何處？學(xué)生不可能輕易意識(shí)到。這就需要教師在教學(xué)中，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)美感直覺(jué)，引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)

美鑒賞美，從而提高審美能力。

例如：在 《組合圖形的面積計(jì)算》時(shí)，我先用多媒體放映生活紀(jì)實(shí)片，引領(lǐng)學(xué)生觀(guān)察生活，到生活中去尋找數(shù)學(xué)。通過(guò)觀(guān)察，學(xué)生捕捉到生活中的許許多多已學(xué)過(guò)的平面圖形，然后定格在數(shù)學(xué)圖形上，讓學(xué)生提出問(wèn)題，并思考如何解決，這樣變抽象的說(shuō)教為形象的演示。利用多媒體教學(xué)手段，打破時(shí)空局限，激活創(chuàng)造思維。

(二)創(chuàng)造優(yōu)美數(shù)學(xué)環(huán)境

數(shù)學(xué)是一門(mén)科學(xué)，也是一門(mén)藝術(shù)。數(shù)學(xué)教學(xué)必須根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)，遵循教學(xué)規(guī)律。運(yùn)用美育原則，通過(guò)教師的精心設(shè)計(jì)，把數(shù)學(xué)材料的靜態(tài)集合轉(zhuǎn)化成切合學(xué)生心理水平的教學(xué)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，造成一種知識(shí)與能力的結(jié)合，達(dá)到數(shù)學(xué)與藝術(shù)交融，教師與學(xué)生產(chǎn)生共鳴的優(yōu)美環(huán)境。

例如，為了推導(dǎo)圓錐體積公式，根據(jù)教材要求和學(xué)生實(shí)際情況，我設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過(guò)程：

1、提出問(wèn)題，引起猜想。

問(wèn)：我們是怎么推導(dǎo)圓柱體積公式的?現(xiàn)在要推導(dǎo)圓錐的體積公式，該怎么辦?為什么這樣?繼而通過(guò)討論，引起猜想。

2、實(shí)際演示、證實(shí)猜想。

拿出事先準(zhǔn)備好的等底等高的圓柱、圓錐。把它們的容積近似地看成它們的體積，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論：等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

3、留疑

討論：如果不是等底等高，結(jié)論能成立嗎? 如果不能又將怎樣？

數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維過(guò)程的教學(xué)，教師須對(duì)課堂教學(xué)的全過(guò)程從宏觀(guān)結(jié)構(gòu)到微觀(guān)環(huán)節(jié)都作精心布局，使教學(xué)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和諧可控，使教學(xué)過(guò)程層次分明，起伏跌宕。環(huán)環(huán)緊扣，師生情感得到充分交流，讓學(xué)生在優(yōu)美的教學(xué)環(huán)境中得到啟發(fā)受到教育。作為當(dāng)今時(shí)代的一名數(shù)學(xué)教師更應(yīng)該清楚并運(yùn)用數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美，把它滲透在日常的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生置身于數(shù)學(xué)教學(xué)情境中，發(fā)散思維，提高能力。

第四篇：高中數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題小結(jié)

對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

一、要點(diǎn)梳理

1.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的核心是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)，要充分利用轉(zhuǎn)化的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩類(lèi)對(duì)稱(chēng)中的一種加以處理.2.解決最值問(wèn)題最常用的方法是目標(biāo)函數(shù)法和幾何法。3.求對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的常用思想方法：代入轉(zhuǎn)移法

4.許多問(wèn)題中都隱含著對(duì)稱(chēng)性，要注意挖掘、充分利用對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，如角平分線(xiàn)、線(xiàn)段中垂線(xiàn)、光線(xiàn)反射等

二、基礎(chǔ)練習(xí)

1、已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線(xiàn)y＝－x對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為

（）A.(x＋1)2＋y2＝

1B.x2＋y2＝1

C.x2＋(y＋1)2＝1

D.x2＋(y－1)2＝1

2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲線(xiàn)曲線(xiàn)

（）A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)但不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

D.以上都不對(duì)

3、函數(shù)y＝－ex的圖象

（）A.與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.與y＝ex的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.與y?e的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

D.與y?e的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

4、曲線(xiàn)x2＋4y2＝4關(guān)于點(diǎn)M（3，5）對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程為_(kāi)__________.5、光線(xiàn)從點(diǎn)A（-3，4）發(fā)出，經(jīng)過(guò)x軸反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，6），求射入y軸后的反射線(xiàn)的方程。

變式：已知直線(xiàn)l1: x+my+5=0和直線(xiàn)l2:x+ny+P=0，則l1、l2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是（）A、?x?x5p?

mnB、p=-5

C、m=-n且p=-5

D、11??且p=-5 mn6.直線(xiàn)2x?3y?6?0交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，試在直線(xiàn)y??x上求一點(diǎn)P，使P1A?P1B最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_______ 思考、已知函數(shù)f(x)?13x?x2?x的圖象C上存在一定點(diǎn)P滿(mǎn)足：若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同于P的3兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，且恒有y1?y2為定值y0，則y0的值為（）A.?12

4B.?

C.?

D.?2 3337、已知點(diǎn)M（3，5），在直線(xiàn)：x?2y?2?0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使?MPQ的周長(zhǎng)最小。

x2y2??1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓。問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)，8、在直線(xiàn)l:x?y?9?0上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且以橢圓

123所作橢圓的長(zhǎng)軸最短？并求具有最短長(zhǎng)軸的橢圓的方程。

9、已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1

10、已知拋物線(xiàn)y=ax2－1上存在關(guān)于直線(xiàn)x+y=0成軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x2y2變式：已知橢圓方程為試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y?4x?m??1，43對(duì)稱(chēng)。

11、已知函數(shù)f(x)?lnx(0?x?1)1?x（1）在函數(shù)y?f(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)（m,n），使得y?f(x)的圖象關(guān)于（m,n）對(duì)稱(chēng)？（2）令g(x)?f(1?x11)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)b，使得任意的a∈[,]時(shí)，對(duì)任意的x∈(0,??)，不等式2?x43g(x)?x?ax2?b恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.12、已知拋物線(xiàn)C:y2?4x，過(guò)M(m,0)的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）若m=3，l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（Ⅱ）若m?0，且存在直線(xiàn)l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，求m的取值范圍.（Ⅲ）若m?0，記A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A1，求證：直線(xiàn)A1B過(guò)定點(diǎn).13、設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y?2x上，l是AB的垂直平分線(xiàn)．（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2取何值時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍．

214、已知函數(shù)f（x）=(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設(shè)g（x）=f(x)+13x?x2?ax?b的圖像在點(diǎn)P（0,f(0)）處的切線(xiàn)方程為y=3x-2.3m是[2,??]上的增函數(shù)。x?

1（i）求實(shí)數(shù)m的最大值；

(ii)當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)若能與曲線(xiàn)y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

參考解答：

1、C；

2、C；

3、D；

4、（x－6）2+4（y－10）2=4；

5、解：?A（-3，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1（-3，-4）在經(jīng)x軸反射的光線(xiàn)上；A1（-3，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A2（3，-4）在經(jīng)過(guò)射入y軸的反射的光線(xiàn)上，∴kA2B=

6?4??2

?2?3∴所求直線(xiàn)方程為 y?6??2(x?2)，即2x?y?2?0 變式、C；

6、(0,0)； 思考、B；解析： ?f(x)?13111x?x2?x?(x3?3x2?3x?1?1)?(x?1)3? 3333111?f(x)??(x?1)3從而f(x)的圖像關(guān)于定點(diǎn)(?1,?)對(duì)稱(chēng)，333112所以點(diǎn)P為(?1,?)，y1?y2?y0?2(?)??

3337、解：可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M1（5，1），點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M2（-3，5），則

?MPQ的周長(zhǎng)就是M2Q?QP?PM1，連M2M1，則直線(xiàn)M2M1與y軸及直線(xiàn)x?2y?2?0的交點(diǎn)P、Q即為所求。

直線(xiàn)M1M2的方程為x?2y?7?0，直線(xiàn)M1M2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,)，由方程組?72?x?2y?2?059597 得交點(diǎn)P(,)，∴點(diǎn)P(,)、Q(0,)即為所求。

24242?x?2y?7?08、略

9、解：設(shè)P1B=x，∠P1P0B=θ，則CP1=1－x，P3PB∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均為θ，∴tanθ=1=x.P0BCP1?x1?x1又tanθ=1==x，∴CP2==－1.CPCP2xx2而tanθ=

D(0,1)P2C(2,1)P1B(2,0)A P0P4P3D=P2DDP3DP31==x，∴DP3=x（3－）=3x－1.11x2?(?1)3?xx又tanθ=AP31?(3x?1)2?3x2?3x2===x，∴AP4==－3.AP4AP4AP4xx依題設(shè)1> xx42512>tanθ>.2510、解法一：設(shè)拋物線(xiàn)上關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的兩相異點(diǎn)為P（x1，y1）、Q（x2，y2），線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M（x0，y0），?y?x?b，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點(diǎn)存在，所以方程組?有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即得方程 2?y?ax?1ax2－x－（1+b）=0.① 判別式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

x1?x211=，y0=x0+b=+b.2a2a21113∵M(jìn)∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.a42a2a解法二：設(shè)同解法一，由題意得 由①得x0=?y1?ax12?1，?y?ax2?1，2?2?y1?y2?1，?x?x?12?y1?y2x1?x2??0.??22①②③ ④將①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得

1?x?x??12a，由二元均值不等式易得2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.?12?x12?x22??2?.aa?將⑤⑥代入上式得2（－1a2解法三：同解法二，由①－②，得y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.y?y2∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=1=1.x1?x2x1?x21=.∵M(jìn)（x0，y0）∈l，2a2111∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，從而PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，－）.2a2a2a∴x0=∵M(jìn)在拋物線(xiàn)內(nèi)部，∴a（+

213）＞（）2，解得a＞.aa41132）－（－）－1＜0.解得a＞.（舍去a＜0，為什么?）

42a2a變式：解法一：該問(wèn)題等價(jià)于存在直線(xiàn)y??中點(diǎn)落在直線(xiàn)y?4x?m上。

1x?n，使得這直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P、Q，線(xiàn)段PQ的4?x2y2??4?3?122由?消去y得13x?8nx?16n?48?0 ?y??1x?n?4?∵直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)。

∴??64n2?4?13(16n2?48)?0??由韋達(dá)定理得：x1?x2?1313 ① ?n?228n124n，y1?y2??(x1?x2)?2n?。13413 4n12n,)又M在直線(xiàn)y?4x?m上 1313124n4n?4??m，∴m??n ② ∴131313故PQ中點(diǎn)為M(由①②知?213213 ?m?1313解法二：設(shè)A(x1,y2)、B(x2,y2)是橢圓上關(guān)于直線(xiàn)y?4x?m對(duì)稱(chēng)的相異的兩點(diǎn)，x12y12x22y22AB中點(diǎn)為M(x0,y0)。則??1,??1，4343由點(diǎn)差法得y0?3x0，代入y0?4x0?m解得，M點(diǎn)坐標(biāo)為(?m,?3m)。而M是AB中點(diǎn)，∴M點(diǎn)在橢圓內(nèi)部。

m29m2213213∴。??1。解得??m?43131311、【解析】（1）若存在一點(diǎn)（m，n），使得y =f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱(chēng)，則f(x+m)+f(m－x)=2n

x?mm?xm2?x2即ln ?ln?ln1?x?m1?m?x(1?m)2?x2當(dāng)m?11?在y=f(x)的圖像上，,n?0時(shí)f(x+m)+f(m－x)=2n 且?,0??2?2?1?，使得y=f(x)的圖像關(guān)于?1?對(duì)稱(chēng)。所以在y=f(x)的圖像上存在一點(diǎn)??,0??,0??2??2?1?x（2）g?x?=ln2?x?ln?x?1?(x＞－1), 構(gòu)造函數(shù)F?x?=ln?1?x??x?ax，1?x1?2?x1??2ax?x?1??1?2ax?2ax?x?112a??則F??x???2ax?1??，x?1x?1x?12

因?yàn)閤?0,a∈[,]所以x?1?0,2ax?0, 1143 11?1),?F(x)在(0,?1)上是減函數(shù)； 2a2a11?1,??),?F(x)在(?1,??)上是增函數(shù)； 若F?(x)?0，則x∈(2a2a11111?1時(shí),F(x)取最小值，即F(x)min?F(?1)=ln??1?a(?1)2 所以當(dāng)x?2a2a2a2a2a11111??1??a?1=ln??a

=ln2a2a4a2a4a若F?(x)?0，則x∈(0,記h(a)?ln11111111??a,又h?(a)?2a?(?2)?2?1?2??1?(?2)2, 2a4aa4a2a4a4a

11113∈[3，4]所以h?(a)?0,即h(a)在[,]上為增函數(shù)，所以h(a)min?h()?ln2?

44a433所以若使F(x)?b恒成立，只需b?ln2?.4311所以存在這樣的實(shí)數(shù)b?ln2?,使得對(duì)a∈[,]，對(duì)任意的x∈(0,??)時(shí)，443因?yàn)椴坏仁絣n（1+x）＞x-ax2+b恒成立.12、（Ⅰ）解：由題意，直線(xiàn)l的方程為y?x?3，由??y?x?3?y?4x

2得

y2?4y?12?0?y1??2,y2?6，故A?1,?2?,B?9,6?

以AB為直徑的圓的圓心為AB中點(diǎn)?5,2?，半徑為

AB?42 2?圓的方程為:?x?5???y?2??32.?????????（Ⅱ）解：設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2), MB??AM(??0).22?????????則AM?(m?x1,?y1),MB?(x2?m,y2)，所以 ??x2?m??(m?x1)

○

1y???y?21

因?yàn)辄c(diǎn)A, B在拋物線(xiàn)C上, 2

所以y12=4x1,y22

=4x2，○

由○1○2，消去x2,y1,y2得?x1?m.若此直線(xiàn)l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，則|OM|2?|MB|?|AM|，2即|OM|2??|AM|?|AM|，所以m2??[(x1?m)2?y1]，因?yàn)閥12=4x1，?x1?m，所以m2?m[(x1?m)2?4x1]，x12整理得x1?(3m?4)x1?m2?0，○

因?yàn)榇嬖谥本€(xiàn)l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列，所以關(guān)于x1的方程○3有正根，因?yàn)榉匠獭?的兩根之積為m2>0, 所以只可能有兩個(gè)正根，?3m?4?0?

所以?m2?0，解得m?4.???(3m?4)2?4m2?0? 故當(dāng)m?4時(shí)，存在直線(xiàn)l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比數(shù)列.（Ⅲ）定點(diǎn)位N(-m,0)。

13、解：（Ⅰ）F?l?|FA|?|FB|?A,B兩點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等．

∵拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是x軸的平行線(xiàn)，y1?0,y2?0,依題意y1,y2不同時(shí)為0，2∴上述條件等價(jià)于y1?y2?x12?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0;

∵x1?x2，∴上述條件等價(jià)于

x1?x2?0.即當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2?0時(shí)，l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F． 另解：（Ⅰ）∵拋物線(xiàn)y?2x2，即x?2y11,?p?，∴焦點(diǎn)為F(0,)

248（1）直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，顯然有x1?x2?0

（2）直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，截距為b

即直線(xiàn)l：y=kx+b

由已知得：

?y?y?222??1?k?x1x2?b?2x2?2x1?k?x1x2?b

?2?222????22?y1y2??1??2x1?2x2??1??kx1?x2x1?x2k??

?22x1?x2?b??k???x1x2 ?x2?x2??1?b?0?b?1 2??12441?x1?x2??2k??即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F(0,)

所以當(dāng)且僅當(dāng)

18x?x12=0時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F

（II）設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y?2x?b； 過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)方程可寫(xiě)為y??所以x1,x2滿(mǎn)足方程2x?21x?m，211x?m?0,得x1?x2??； 2411.A，B為拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式???8m?0, 即m??432設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0)，則x0?1111(x1?x2??,y0??x0?m??m.28216由N?l,得115519?m???b,于是b??m???.1641616323232即得l在y軸上截距的取值范圍為（9,??）．

法二:y1=2x1, y2=2x2, 相減得2

2y1?y21?2(x1?x2)?4x0,即??4x0, x1?x221192x0??,y0???b, 中點(diǎn)在拋物線(xiàn)內(nèi)必y0?2x0 得b?843214、解：（Ⅰ）由f'(x)?x2?2x?a及題設(shè)得??f'(0)?3?a?3即?。

b??2?f(0)??2?（Ⅱ）（?。┯蒰(x)?13mm2x?x2?3x?2?

得g'(x)?x?2x?3?。23x?1(x?1)?g(x)是[2,??)上的增函數(shù)，?g'(x)?0在[2,??)上恒成立，即x?2x?3?2m?0在[2,??)上恒成立。

(x?1)2m?0在[1,??)上恒成立 t設(shè)(x?1)2?t。?x?[2,??),?t?[1,??)，即不等式t?2?當(dāng)m?0時(shí)，不等式t?2?m?0在[1,??)上恒成立。tm當(dāng)m?0時(shí)，設(shè)y?t?2?，t?[1,??)

tmm因?yàn)閥'?1?2?0，所以函數(shù)y?t?2?在[1,??)上單調(diào)遞增，因此ymin?3?m。

tt?ymin?0,?3?m?0，即m?3。又m?0，故0?m?3。

綜上，m的最大值為3。

1331x?x2?3x?2?，其圖像關(guān)于點(diǎn)Q(1,)成中心對(duì)稱(chēng)。3x?131332證明如下：?g(x)?x?x?3x?2?

3x?113183?g(2?x)?(2?x)3?(2?x)2?3(2?x)?2???x3?x2?3x??

32?x?1331?x2因此，g(x)?g(2?x)?。

32上式表明，若點(diǎn)A(x,y)為函數(shù)g(x)在圖像上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)B(2?x,?y)也一定在函數(shù)g(x)的圖像上。

31而線(xiàn)段AB中點(diǎn)恒為點(diǎn)Q(1,)，由此即知函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱(chēng)。

3（ⅱ）由（?。┑胓(x)?

第五篇：信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

東港市第一中學(xué)

王文峰 ***

信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是探究數(shù)量關(guān)系和空間模式的科學(xué)?，F(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響。數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的相互促進(jìn)與緊密結(jié)合，不僅形成了作為高新技術(shù)的核心成分和工具庫(kù)的數(shù)學(xué)技術(shù)，也深刻地改變了數(shù)學(xué)的教和學(xué)的方式.，隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)的使用更加的普遍，也逐漸融合到我們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面。數(shù)學(xué)是對(duì)客觀(guān)現(xiàn)象進(jìn)行抽象性整理，并且逐漸發(fā)展成為一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，不但是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基本內(nèi)容，還是人文科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

新課程中的高中數(shù)學(xué)老師運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)的高中數(shù)學(xué)能更好地?cái)U(kuò)充信息通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)開(kāi)展高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)的能力，為學(xué)生構(gòu)建一種開(kāi)放的學(xué)習(xí)環(huán)境，提供一個(gè)多渠道獲取知識(shí)、并將學(xué)到的知識(shí)加以綜合和應(yīng)用于實(shí)踐的機(jī)會(huì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；提高學(xué)生自主探究的能力；培養(yǎng)學(xué)生再創(chuàng)造的能力，從而有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效益，提高教學(xué)質(zhì)量。

在新課程教學(xué)中，把信息技術(shù)應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中來(lái)已經(jīng)是必然趨勢(shì)，信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了重要的作用，它有利于提高教學(xué)質(zhì)量，有利于學(xué)生掌握知識(shí)。我覺(jué)得應(yīng)該從以下幾點(diǎn)開(kāi)始轉(zhuǎn)變。

一、有利于轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生從“聽(tīng)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”。

利用信息技術(shù)輔助教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情趣。興趣是最好的老師，是學(xué)生積極探索某種事物的認(rèn)識(shí)傾向，是學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力源，是智能和心理發(fā)展的催化劑。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用多媒體手段，能創(chuàng)設(shè)出一個(gè)圖文并茂、有聲有色、生動(dòng)逼真的教學(xué)環(huán)境，為數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)一片生機(jī)，從而獲得良好的教學(xué)效果。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅有數(shù)、式的變換，更有一些“形”的變換，多媒體技術(shù)，展示幾何模型，進(jìn)行圖像的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，同時(shí)把數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美、和諧美和曲線(xiàn)美展示給學(xué)生，讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的無(wú)限風(fēng)光，激發(fā)他們探究學(xué)習(xí)的情趣。在這個(gè)過(guò)程中，如果能給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種積極的探索問(wèn)題的情境，給學(xué)生的比較和抽象創(chuàng)造一種活動(dòng)的空間和條件，他們就能在問(wèn)題解決過(guò)程中理解和掌握抽象的概念。

二、有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。

高中階段的學(xué)生普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容抽象，概念嚴(yán)謹(jǐn)又枯燥。在概念教學(xué)中，以相關(guān)知識(shí)為載體，運(yùn)用電教媒體揭示概念本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抽象、概括的學(xué)習(xí)方法，便于深刻理解概念。信息技術(shù)運(yùn)用在教學(xué)中，能夠創(chuàng)設(shè)出直觀(guān)、生動(dòng)、形象的感知情境，從而達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣的效果，有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)欲望，由此形成學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)?，F(xiàn)在是知識(shí)爆炸的時(shí)代，在當(dāng)今這個(gè)信息化的時(shí)代，教師要有新的思想、新的觀(guān)念、新的知識(shí)和新的能力，光靠粉筆和黑板是絕對(duì)不行的。而中學(xué)數(shù)學(xué)，由于學(xué)科自身的特點(diǎn)，的確沒(méi)有某些學(xué)科形象、生動(dòng)、具體，學(xué)生學(xué)起來(lái)容易感到枯燥無(wú)味，從而影響學(xué)習(xí)的積極性。所以，必須學(xué)會(huì)多媒體教學(xué)設(shè)計(jì)，并能在教學(xué)中熟練使用多媒體課件，不僅是在公開(kāi)課、研究課中使用多媒體，更要在家常課中普遍使用，發(fā)揮信息技術(shù)的作用，提高課堂教學(xué)的效率。為此，教師就自加壓力，努力學(xué)習(xí)新的教育思想，學(xué)習(xí)課件制作技術(shù)，提高自己處理信息的能力。

三、有處于開(kāi)展人機(jī)交互學(xué)習(xí)，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。

尤其是多媒體技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)在于如何充分發(fā)揮其輔助教學(xué)的作用。近年來(lái)，廣大高中數(shù)學(xué)教師更加關(guān)注計(jì)算機(jī)認(rèn)知工具的作用，尤其是校園網(wǎng)、因特網(wǎng)的廣泛普及以及幾何畫(huà)板、Excel、Flash等軟件的引入和使用，許多數(shù)學(xué)教師對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合進(jìn)行了有益的探究，并取得了一定的效果，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在思考中善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。比如，在立體幾何教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的空間概念較弱，但圖形比較復(fù)雜時(shí)，教師可以利用多媒體激發(fā)學(xué)生的積極性。如證明直線(xiàn)與平面的判定定理時(shí)，由于圖形比較復(fù)雜，學(xué)生空間想象力較差，借助模型既可以提高學(xué)生的興趣，又可以幫助學(xué)生理解定理的證明。同時(shí)，利用多媒體技術(shù)中圖形的移動(dòng)、定格、閃爍、同步解說(shuō)、色彩變化等手段表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，還能充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀(guān)能動(dòng)性，化被動(dòng)為主動(dòng)，培養(yǎng)其思維能力。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，信息技術(shù)融合到課堂生活中，已經(jīng)成為必然的趨勢(shì)，尤其是在數(shù)學(xué)方面。從科學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，信息技術(shù)和數(shù)學(xué)知識(shí)的融合是現(xiàn)在學(xué)科教學(xué)的一大創(chuàng)新。這個(gè)創(chuàng)新是在現(xiàn)代教育理論的引導(dǎo)下，在學(xué)科課程教育教學(xué)設(shè)計(jì)和工作的過(guò)程中，使用現(xiàn)代的信息技術(shù)，使用先進(jìn)的教學(xué)觀(guān)念、方法和模式，突破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，有可能提出一些無(wú)法解決或是不能提出的問(wèn)題，從而有效的提升課堂

效率，完成教訓(xùn)目標(biāo)，推進(jìn)教育教學(xué)的全方位改革。

但是在平時(shí)的教學(xué)備課過(guò)程中，有一些弊端，教師在備課的過(guò)程中，需要查閱大量的相關(guān)資料，而龐大的書(shū)庫(kù)也只有有限的資源，況且教師還要一本一本地找，一頁(yè)一頁(yè)地翻，這個(gè)過(guò)程耗費(fèi)了教師大量的時(shí)間。網(wǎng)絡(luò)信息為教師提供了無(wú)窮無(wú)盡的教學(xué)資源，為廣大教師開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)開(kāi)辟了一條捷徑。每個(gè)教師只要在地址欄中輸入網(wǎng)址,就可以在很短的時(shí)間內(nèi)通過(guò)下載,獲取自己所需要的資料, 大大節(jié)省了教師備課的時(shí)間.隨著計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的飛速發(fā)展，遠(yuǎn)程教育網(wǎng)絡(luò)的建立,給教育工作者創(chuàng)建了一個(gè)龐大的交流空間, 大量的練習(xí)型軟件和計(jì)算機(jī)輔助測(cè)驗(yàn)軟件的出現(xiàn)，讓學(xué)生在練習(xí)和測(cè)驗(yàn)中鞏固所學(xué)的知識(shí)，決定下一步學(xué)習(xí)的方向，實(shí)現(xiàn)了個(gè)別輔導(dǎo)式的教學(xué)。在此過(guò)程中，計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)了教師職能的部分代替，時(shí)代的發(fā)展，要求競(jìng)爭(zhēng)者提高自身素質(zhì)，也要求學(xué)校教育走在發(fā)展的最前端，學(xué)校教育的發(fā)展方向又要求教師更新教學(xué)手段，而教學(xué)手段的更新主要受教育觀(guān)念的支配，所以我們首先要轉(zhuǎn)變教育觀(guān)念，真正把信息技術(shù)運(yùn)用到教學(xué)中來(lái)。把信息技術(shù)作為輔助教學(xué)的工具，充分發(fā)揮信息技術(shù)在學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探索、合作交流等的優(yōu)勢(shì)，良好的實(shí)現(xiàn)教師角色的轉(zhuǎn)變。減輕了教師的負(fù)擔(dān).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要越來(lái)越多地體現(xiàn)出教學(xué)過(guò)程的信息化，原本作為教學(xué)輔助工具的多媒體信息技術(shù)逐步顯現(xiàn)出了它在數(shù)學(xué)教學(xué)中不可替代的作用，備好課，準(zhǔn)備好課件，能起到事半功倍的效果。

現(xiàn)代信息技術(shù)能夠變革課堂教學(xué)的傳遞結(jié)構(gòu)，擴(kuò)展信息功能，增加個(gè)別化教學(xué)的能力，優(yōu)化教學(xué)；但也要注意，現(xiàn)代信息技術(shù)也不可能解決教學(xué)中的所有問(wèn)題，因此夸大其作用，試圖以此盲目代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)的做法是不現(xiàn)實(shí)的，在未來(lái)的教學(xué)當(dāng)中，現(xiàn)代教育技術(shù)必將得到進(jìn)一步的應(yīng)用；但現(xiàn)代教育技術(shù)的運(yùn)用不能無(wú)節(jié)制，要與常規(guī)教學(xué)相結(jié)合，要以促進(jìn)教學(xué)過(guò)程的優(yōu)化為重點(diǎn)，設(shè)計(jì)好媒體使用的強(qiáng)度和時(shí)機(jī)。當(dāng)然，這還需要我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)實(shí)踐中，繼續(xù)去探索和完善。