第一篇：人教B版選修2-1空間向量與立體幾何知識(shí)小結(jié)（模版）

選修2-1 第三章：空間向量與立體幾何

1、空間向量及其運(yùn)算： ??????（1）空間中的平行（共線）條件：a//bb?0??x?R,a?xb ??

????????（2）空間中的共面條件：a,b,c共面（b,c不共線）??x,y?R,a?xb?yc

????????????????推論：對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，OP?xOA?yOB?zOC

?x?y?z?1?，則四點(diǎn)O、A、B、C共面

???（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量

?????p?xa?yb?z c

（4）空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算

????若a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，則：a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?

??? zx?1y2y?1z?a???x1,?y1,?z1?a?b?1x

2注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；

注2：空間中的基底要求不共面。

2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：

????????（1）證明AB//CD，即證明AB//CD

????????（2）證明AB?CD，即證明AB?CD?0

????????（3）證明AB//?（平面）（或在面內(nèi)），即證明AB垂直于平面的法向量或證明AB與平面

內(nèi)的基底共面；

????????（4）證明AB??，即證明AB平行于平面的法向量或證明AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；

（5）證明兩平面?//?（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；

（6）證明兩平面???，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。

第二篇：新課標(biāo)選修2-1空間向量與立體幾何檢測(cè)題(

空間向量

第Ⅰ卷（選擇題，共50分）

一、選擇題：（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為p?xa?yb?zc．其中正確命題的個(gè)數(shù)為

A．0B．1C．2D．3（）

（）??????????2．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C1是

A．有相同起點(diǎn)的向量B．等長向量

C．共面向量D．不共面向量

3．若向量垂直向量和,向量????(?,??R且?、??0)則

A．//B．?D．以上三種情況都可能 C．不平行于,也不垂直于（）

4．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于（）

A．

????5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若?,?,CC1?，則A1B?

A．a(chǎn)+b－cB．a(chǎn)－b+cC．－a+b+c627B．637C．647D．657（）D．－a+b－c

6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，則向量與之間的夾角?,?為（）

A．30°B．45°C．60°D．以上都不對(duì) 7．若、均為非零向量，則??是與共線的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

8．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為（）

A．2B．3C．4D．5 9．已知?3?2?,???2,則5與

3A．－15 B．－5 C．－3 D．－1（）????????????????????10．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)QA?QB（）取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

***7A．(，)B．(，)C．(，)D．(，)243234333333

第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三點(diǎn)共線，則m+n= ． 12．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，????????????????

若BD＝xAB?yAC?zAS，則x＋y＋z＝． 13．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，????????????????

以｛AB，AC，AD｝為基底，則GE＝．

14．設(shè)|m|＝1，|n|＝2，2m＋n與m－3n垂直，a＝4m－n，＝7＋2，則<,>＝．

三、解答題（本大題滿分76分）

15．(12分)如圖，一空間四邊形ABCD的對(duì)邊

AB與CD，AD與BC都互相垂直，用向量證明：AC與BD也互相垂直．

16．（12分））如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)；

（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值．

17．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：EF⊥CD；

（3）若?PDA＝45?，求EF與平面ABCD所成的角的大小．

18．（12分）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，如圖Ｅ、Ｆ分別是BB1，ＣＤ的中點(diǎn)，（1）求證：D1F?平面ADE；

（2）

．

19．（14分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF?PB交PB于點(diǎn)F.（1）證明 PA∥平面EDB；（2）證明PB?平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大?。?/p>

20．（14分）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)

棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（1）求A1B與平面ABD所成角的大小

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）求點(diǎn)A1到平面AED的距離.-3-

參考答案

（六）二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11．

311

312． 013． ???14．0°2123

4三、解答題（本大題共6題，共76分）

15．(12分)證明：??CD???0.又???，?(CB?CA)?CD?0即???.……①??BC???0.又???，?(?)??0即???.……②

由①+②得：????0即??0.?AC?BD.16．(12分)解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

→→→→→→

(2)∵ AB1 ＝(0,-2, 2)，ED1 ＝(0, 1, 2)∴ |AB1 |＝ 2，|ED1 | ＝5，AB1 · ED1 ＝ 0－2＋4＝2,→→

→→AB· ED 21010

∴ cos ?AB1，ED1 ?＝＝＝ ．∴ AB1與ED1所成的角的余弦值為 ．

1010→→2×

5|AB1 |· |ED1 |

17．(12分)證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，則：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)∵ E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)∴ E(a, 0, 0)，F(xiàn)(a, b, c)

→→→(1)∵EF ＝(0, b, c)，AP ＝(0, 0, 2c)，AD ＝(0, 2b, 0)→1→→→→→

∴EF ＝(AP ＋AD)∴EF 與AP、AD 共面

又∵ E ?平面PAD ∴ EF∥平面PAD．

→→→(2)∵ CD ＝(-2a, 0, 0)∴ CD ·EF ＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF．

→

(3)若?PDA＝45?，則有2b＝2c，即 b＝c，∴EF ＝(0, b, b)，→→→→→2b22 AP ＝(0, 0, 2b)∴ cos ? EF，AP ?＝＝∴ ? EF，AP ?＝45?

22b·2b→→→→

∵ AP ⊥平面 AC，∴ AP 是平面 AC的法向量 ∴ EF與平面AC所成的角為：90?－? EF，AP ?＝45?． 18．(12分)解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1

則D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，0），21

則D1F＝（0，－1），D＝（1，0，0），＝（0，1，12），則D1?＝0，D1F?AE＝0，?D1F?DA，D1F?AE.?D1F?平面ADE.12，－

（２）B1（1，1，1），C（0，1，0），故CB1＝（1，0，1），＝（－1，－），?EF?CB1＝－1＋0－

＝－

32，??1?1?

3?

2，則

??

?

3?22

??

.?150?.19．（14分）解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)DC(1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG.?a.P

aa

依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0，)

22F?G是此正方形的中心，?底面ABCD是正方形，aa????????

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，0)且PA?(a,0,?a),EG?(a,0,?a).2222?????????PA?2EG.這表明PA∥EG.而EG?平面EDB且PA?平面EDB，?PA∥平面EDB。

????????aaa2a2

(2)證明：依題意得B(a,a,0),PB?(a,a,?a)。又DE?(0，),故PB?DE?0???0

2222

?PB?DE, 由已知EF?PB，且EF?DE?E,所以PB?平面EFD.????????

(3)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),PF??PB,則(x0,y0,z0?a)??(a,a,?a)

從而x0

?aa11??a,y0??a,z0?(1??)a.所以???FE?(?x0,?y0,?z0)?(??a,(??)a,(??)a).由條件EF

?PB知，PE?PB?0即??a2?(1??)a2?(??1)a2?0,解得 ??

????

?點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a,a,2a), 且FE?(?a,a,?a),FD?(?a,?a,?2a).????

。3

366333333

a2a22a2

PB?FD?????0,即PB?FD，故?EFD是二面角C?PB?D的平面角.333

a2a2a2a2a24a2a2a2a2a2

∵?

?????a????a ???

***

????????

FE.FD ?cosEFD??|FE||FD|

a2??,所以，1.二面角C—PC—D的大小為?.??EFD?

332

20．(14分)解：（1）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角.如

圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)CA=2a，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1）A1（2a，0，2）

E（a，a，1）G（2a2a1，）.333

aa2

?GE?(，),BD?(0,?2a,1)，333

????a2??0，解得a=1.33

241

?BA1?(2,?2,2),BG?(,?,),333

?cos?A1BG?

BA1?BG

?

|BA1||BG|

14/37.?132?21

A1B與平面ABD所成角是arccos

.（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

??(?1,1,1)?(?1,?1，0）?0，AA,?1,0)?0 1??(0,0,2)?(?1?ED?平面AA1E，又ED?平面AED.∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED?面AA1E=AE，∴點(diǎn)A在平面AED的射影K在AE上.AK??，則A1?A1??(??,?,??2)

??????2?0??由A，即，解得.??01

設(shè)

44162224??? ?A1?(?，?),?

9993333

即點(diǎn)A1到平面AED的距離為.

第三篇：2015年高考空間向量和立體幾何空間幾何體知識(shí)匯總

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

2.空間向量的運(yùn)算：OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

??????????運(yùn)算律：⑴加法交換律：a?b?b?a⑵加法結(jié)合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶數(shù)乘分配律：?(a?b)??a??b

3.共線向量

（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量

????或平行向量，a平行于b，記作a//b。

????????（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b≠0），a//b存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb。

4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

（2）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量,不共線，則向量與向量,共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.P?xa?yb

②空間任一點(diǎn)、B、C，則OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是．．．O．和不共線三點(diǎn)．．．．．．A．．．．．

PABC四點(diǎn)共面的充要條件.注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.5.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使p?xa?yb?zc。

若三向量a,b,c不共面，我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。

推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC。

6.空間向量的直角坐標(biāo)系：

（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使???，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)。

（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為1，這個(gè)基底叫單位正交基底，用{,i,jk}表示。

（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：

①若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，則a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3，a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0。

a1a2a

3??，b1b2b3

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)。③定比分點(diǎn)公式：若

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，AP??PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為

（x1??x2y1??y2z1??z

2，)1??1??1??。

推導(dǎo)：設(shè)P（x,y,z）則

(x?x1,y?y1,z?z1)??(x2?x,y2?y,z2?z),顯然，當(dāng)P為AB

P（中點(diǎn)時(shí)，④

x1?x2y1?y2z1?z2，)222。

?ABC中，A（x,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，三角形重心P坐標(biāo)為

P（x1?x2?x3y1?y2?y3z1?z2?z3，）

333

⑤ΔABC的五心：

??內(nèi)心P

：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。外心P

（單位向量）

??垂心P：高的交點(diǎn)：?????（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）

1AP?(?)

3重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）

中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長公式：若a?

(a1,a2,a3)，則|a|?（5）夾角公式：cosa?b?

?，a?b

?

|a|?|b|（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則|AB|?或dA,B?

?，(7)法向量：若向量a所在直線垂直于平面?，則稱這個(gè)向量垂直于平面?，記作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.(8)向量的常用方法：

①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面?的法向量，AB是平面?的一

條射線，其中A??，則點(diǎn)B到平面?②.異面直線間的距離 d?

(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分

別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為l1,l2間的距離).③.直線AB與平面所成角??arcsin

AB?m

(m為平面?的法向量).|AB||m|

④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)1,n2分別是二面角??l??中平面?,?的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小（n1,n2方向相同，則為補(bǔ)角，n1,n2反方，則為其夾角）.二面角??l??的平面角??arccos

m?n

或

|m||n|

??arccos

m?n

（m，n為平面?，?的法向量）.|m||n|

⑤.證直線和平面平行定理：已知直線a?平面?，A,B?a,C,D??，且C、D、E三點(diǎn)不共線，則a∥?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)?,?使AB?

?CD??CE..7.空間向量的數(shù)量積:若OA?a,OB?b，則?AOB叫做向量a與b的夾角，記作

?a,b?；且規(guī)定0??a,b???，|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的數(shù)量積，記作a?b.1．平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．(2)公理

2(3)公理3：如果兩個(gè)平面(不重合的兩個(gè)平面)所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．

三個(gè)作用：(1)公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．

(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線．

?平行

?共面直線??

?相交2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類 ??

?異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

(2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)．

??π??[0?,180?])0，.（直線與直線所成角??[0,90]）②范圍：?（向量與向量所成角?23.a,b是夾在兩平行平面間的線段，若a?b，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.4．直線與平面的位置關(guān)系 5．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． 6．平行公理：

7．等角定理：

8、異面直線的判定方法：

(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 9.兩異面直線的距離：公垂線段的長度.10.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]：l1,l2是異面直線，則過l1,l2外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與l1,l2都平行平面有一個(gè)或沒有，但與l1,l2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（L1或L2在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫L1與L2平行的平面）11.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這

條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行?線面平行”）

（2）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行?線線平行”）

（3）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)

P

平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理）? 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直?線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.12.平面平行與平面垂直.（1）平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行?面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行?線線平行”）

（3）兩個(gè)平面垂直判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直判定二：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直?面面垂直”）

（4）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.（5）兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：l?

?

?

O

A

m2?n2?d2?2mncos?（?為銳角取減，????為鈍角取加，綜上，都取減則必有???0,?）

13.棱柱.棱錐.球

（1）棱柱：有兩個(gè)面相互平行，其余各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形

①{四棱柱}?{平行六面體}?{直平行六面體}?{長方體}?{正四棱柱}?{正方體}.{直四棱柱}?{平行六面體}={直平行六面體}.②.棱柱具有的性質(zhì)：棱柱所有的側(cè)棱都相等為平行四邊形；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形．．．．．．．．（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.．．．．．③.平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.．．．．．．．．．．．．．定理二：長方體的一條對(duì)角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為?,?,?，則co2s??co2s??co2s??1.推論二：長方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為?,?,?，則

co2s??co2s??co2s??2.（2）棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.②正棱錐的側(cè)面積：S?

1Ch'（底面周長為C，斜高為h'）體積：V?2

3S底?h

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S側(cè)?

S底cos?

（側(cè)面與底面成的二面角為?）

b.棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.（3）球：a.①球的表面積公式：S?4?R.②球的體積公式：V?

?R.3

b.①圓柱體積：V??rh②圓錐體積：V??r2h（r為半徑，h為高）

③錐體體積：V?

Sh（S為底面積，h為高）3

2326

a，a，S側(cè)?a，S底?

443

c.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長為a，h?

得

26321322426

a?a?a?R??a?R?R?a/3?a?3?a.434344344

R

O

第四篇：2018屆二輪數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何 專題 專題卷(全國通用)

空間向量與立體幾何

一、選擇題

1.已知A∈α，P?α，＝，平面α的一個(gè)法向量n＝，則直線PA與平面α所成的角為()A.30°

B.45°

C.60°

D.150° 【答案】C 【解析】設(shè)PA與平面α所成的角為θ，則sinθ＝

∵θ∈0°，90°，∴θ＝60°，故選C.2.(2017·瀘州二模)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(m,0,0)到點(diǎn)P1(4,1,2)的距離為則m的值為()A.－9或1 B.9或－1 C.5或－5 D.2或3 【答案】B 【解析】由題意|PP1|＝1.故選B.點(diǎn)睛：空間向量數(shù)量積的三個(gè)應(yīng)用(1)求夾角，設(shè)向量,所成的角為，則cos＝

2，即，∴(m－4)＝25，解得m＝9或m＝－

2，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角．(2)求長度(距離)，運(yùn)用公式||＝·，可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題．(3)解決垂直問題，利用⊥?·＝0(≠，≠)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題．

3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝則直線DE與平面BB1C1C所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A，D，E分別是AC1和BB1的中點(diǎn)，【解析】

由已知AB＋BC＝AC，則AB⊥BC.分別以BC，BA，BB1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AA1＝2a，則A(0,1,0)，C(平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n＝(0,1,0)，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，222cos〈，n〉＝，〈，n〉＝60°，所以直線DE與平面BB1C1C所成的角為30°.故選A.點(diǎn)睛：(1)求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角后(求出是鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角即為直線與平面所成的角．(2)若求線面角的余弦值，要注意利用平方關(guān)系sinθ＋cosθ＝1求出其值．不要誤認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量所成夾角的余弦值即為所求．

4.如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()2

A.AP⊥PB，AP⊥PC B.AP⊥PB，BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 【答案】B 【解析】A中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；

C中，BC⊥PC，AP?平面APC，因?yàn)槠矫鍮CP⊥平面PAC，所以BC⊥平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；

D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B.點(diǎn)睛: 垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.5.(2017·東北三校聯(lián)考(一))在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】試題分析：延長CA到D，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，而三角形A1DB為等邊三角形，可求得此角． 解：延長CA到D，使得AD=AC，則ADA1C1為平行四邊形，∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，則三角形A1DB為等邊三角形，∴∠DA1B=60°故選C．

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．

6.(2017·麗水一模)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，當(dāng)二面角P－EC－D為 時(shí)，AE＝()

A.1B.C.2－

D.2－

【答案】D

DA,DC,DP分別為【解析】試題分析：以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，0，0）,E（1,a,0）,C（0,2,0）,P（0,0,1），,設(shè)平面

D軸，（0，平面的法向量為，即,那么，解得:,平面的法向量為,那么，解得，所以考點(diǎn)：空間向量 ,故選D.7.(2017·黃岡質(zhì)檢)如圖，在棱長均為2的正四棱錐P－ABCD中，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()

A.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距離為B.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距離為

C.BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角大于30° D.BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角小于30° 【答案】D 【解析】

連接AC，BD，交點(diǎn)為O，連接OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由正四棱錐P－ABCD的棱長均為2，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，知A(－則 ＝，0,0)，B(0，－，＝(－，0)，C(，0，－，即，0,0)，D(0，)，＝(0，0)，P(0,0，－)，E，)，設(shè)m＝(x，y，z)是平面PAD的法向量，則m⊥，且m⊥，令x＝1，則z＝－1，y＝－1，m，＝(1，－1，－1)是平面PAD的一個(gè)法向量，設(shè)BE與平面PAD所成的角為θ，則sinθ＝故BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角小于30°，故選D.點(diǎn)睛：(1)求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角后(求出是鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角即為直線與平面所成的角．(2)若求線面角的余弦值，要注意利用平方關(guān)系sin2＋cos2＝1求出其值．不要誤認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量所成夾角的余弦值即為所求．

8.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，則點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離是()A.1 B.C.D.2 【答案】B 【解析】設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為h，因?yàn)閂A1－AB1D1＝VA－A1B1D1，所以S△AB1D1h＝S△A1B1D1×AA1，所以h＝故選B.點(diǎn)睛：點(diǎn)面距離往往轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)棱錐的高，通過等體積法求高得點(diǎn)面距離

二、填空題

9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝則直線DE與平面BB1C1C所成角的正弦值為．

【答案】，D，E分別是AC1，BB1的中點(diǎn)，【解析】

如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接DF，BF，則DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF與平面BB1C1C所成角的正弦值為所求．∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C.作GF∥AB交BC于點(diǎn)G，則GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG為直線BF與平面BB1C1C所成的角．由條件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，∴tan∠FBG＝

＝，∴∠FBG＝，∴sin∠FBG＝sin＝，即直線DE與平面BB1C1C所成角的正弦值為.10.正方體ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1與面B1BD1所夾角的大小為．

【答案】60°【解析】建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖．

設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)． ∴ ＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(1,1,0)．

設(shè)平面ABD1的法向量為m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD1的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則由m·＝0，m·＝0，可得m＝(1,0,1)，由n·＝0，n·＝0，得n＝(1，－1，0), ∴cos〈m，n〉＝＝.∴所求二平面的大小為60°.學(xué)

...學(xué)

...學(xué)

...學(xué)

...11.(2017·山西晉中五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分別為線段BC、SB上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，滿足＝λ，則當(dāng)實(shí)數(shù)λ的值為時(shí)，∠AFE為直角．

【答案】

【解析】∵SA⊥面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3)． 設(shè)BC＝m，則C(m,4,0)，∵∴∴F∴要使∠AFE＝90°，則又∴∴16λ＝9，∴λ＝.點(diǎn)睛：空間向量數(shù)量積的三個(gè)應(yīng)用(1)求夾角，設(shè)向量,所成的角為，則cos＝，進(jìn)而，＝λ，∴

＝λ

.同理，E，，可求兩異面直線所成的角．(2)求長度(距離)，運(yùn)用公式||2＝·，可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題．(3)解決垂直問題，利用⊥?·＝0(≠，≠)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題．

三、解答題

12.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1，CD＝.(1)求證：平面PQB⊥平面PAD；

(2)若二面角M－BQ－C為30°，設(shè)PM＝t·MC，試確定 t 的值．

【答案】(1)見解析(2)3

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系． 則平面BQC的法向量為，設(shè)∵，則，．，；，∴，∴

在平面MBQ中，∴平面MBQ法向量為∵二面角M-BQ-C為30，∴．，．，考點(diǎn)：本題考查了空間中的線面關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：高考中常考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明以及幾何體體積的計(jì)算，這是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.證明的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理.

第五篇：人教A版高中數(shù)學(xué)必修2空間立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納

第一章空間幾何體知識(shí)點(diǎn)歸納

圍成的多面體叫做棱柱。

1：中心投影平行投影

（1）定義：幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。（2）三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點(diǎn)：“長對(duì)正”，“高平齊”，“寬相等”

2、空間幾何體的直觀圖（表示空間圖形的平面圖）.觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體，畫出的圖形.3、斜二測(cè)畫法的基本步驟：

①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy（盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）

②建立斜坐標(biāo)系?xOy，使?xOy=450（或1350），注意它們確定的平面表示水平平面；

③畫對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

‘

''''''

S側(cè)面???r?l ⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面?2??r?l⑵圓錐側(cè)面積：

⑶圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面??(r?R)l ⑷體積公式：

V柱體?S?h；V錐體?

⑸球的表面積和體積：

3V臺(tái)體?S?h；

hS上?

?

S下

?

S球?4?R，V球?

243

?R.一般地，面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。

3第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其論證

?A?l,B?

l

?l?? ?

?A??,B??

公理1的作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

若A，B，C不共線，則A，B，C確定平面?

若A?l，則點(diǎn)A和l確定平面?

推論2：過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面

若m?n?A，則m,n確定平面?

推論3：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面

若m?n，則m,n確定平面?

n

公理2及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據(jù)。

P??,P???????l且P?l

公理3作用：（2）證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等。

4.a?b,c?b?a?c 5

a?a?,b?b?且?1與?2方向相同??1＝?2 b

a'

22b'

'

a?a?,b?b?且?1與?2方向相反??1??2＝180?

方向相同則

∠1＝∠2

a?b?A,a,b異面

方向相反則

∠1+∠2＝180°

6a?b,（1）沒有任何公共點(diǎn)的兩條直線平行（2）有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線相交

（3）不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線

a

(2)

(1)

a??a??

a

???A

9（即直線與平面無任何公共點(diǎn)）

⑴判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（只需在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行就可以）

a???

?

b????a//?

a//b??

證明兩直線平行的主要方法是：

①三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半；②平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；

③線面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線

和它們的交線平行；

?

?

a????a?b

?????b?

④平行線的傳遞性：a?b,c?b?a?c

⑤面面平行的性質(zhì)：如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，那么它們的交線平行；

a??

??

????a??a?b

?????b?

???

線和它們的交線平行；（上面的③）

⑥垂直于同一平面的兩直線平行；

a???

??a?b

b???

⑵直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直

10（即兩平面無任何公共點(diǎn)）

（1）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。a??,b???

?

a?b?A?????

a??,b????

（2）兩平面平行的性質(zhì)：

性質(zhì)Ⅰ：如果一個(gè)平面與兩平行平面都相交，那么它們的交線平行；

??

????a??a?b

????b??

性質(zhì)Ⅱ：平行于同一平面的兩平面平行；

???

????

?????????

性質(zhì)Ⅲ：夾在兩平行平面間的平行線段相等；

??A,C???

??AC?BD

B,D???AB?CD? ?

性質(zhì)Ⅳ：兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行；

???

????????

??a??或??a??

a???a???

⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

?

?

l?n?

??l??

m?n?A?m,n??? ?

⑶性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

l?m

a???

??a?b

b???

性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行12

??l?

????? ??l?

⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。

l???

⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

????? l???

（只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線就可證明面面垂直）

⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

證明兩直線垂直和主要方法：

①利用勾股定理證明兩相交直線垂直；

②利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直； ③利用線面垂直的定義證明（特別是證明異面直線垂直）；

④利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，“線斜垂”）

如圖：PO???OA是PA在平面?上的射影?又直線a??,且a?OA即：線影垂直?線斜垂直，反之也成立。

??

?a?PA

???

空間角及空間距離的計(jì)算

1.異面直線所成角：使異面直線平移

線中的一條上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作另一條直線線，圖：直線a與b異面，b//b?，直線a與直線b?的夾角為兩異 如

?

?????m?

??l??

l???

?l?m?

后相交形成的夾角，通常在兩異面直

平

行

直線 面a與b所成的角，異 面直線所成角取值范圍是（0?，90?]

2.斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：

PA是平面?的一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面?上射影，?PAO為線面角。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形，如圖為二面角

??l??，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。

二面角的平面角分

如圖：在二面角?-l-?中，O棱上一點(diǎn)，OA??，OB??，且OA?l,OB?l,則?AOB為二面角

?-l-?的平面角。

別在兩個(gè)半平面內(nèi)且角的兩邊與二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關(guān)鍵點(diǎn)是：

①