第一篇：兩個平面垂直的判定方法

★兩個平面垂直的判定方法：

⒈定義（證明二面角為直二面角）

⒉判定定理：a??,a??????.※

⒊向量法：※ c??,a,b???

??0??⑴?????.（可??0?

a?b?A?? ⑵設(shè)n1,n2分別是平面?、?的一個法向量，則n1?n2?n1?n2?0????.（建系）

1、如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高．證明：平面PAC⊥平面PBD；

2.如圖所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn)，過A作AE⊥PC于點(diǎn)E，AF⊥PB于點(diǎn)F.求證：(1)AE⊥平面PBC；(2)面PAC⊥面PBC；(3)PB⊥EF.3.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)．

4.(文)如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

5.(理)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，若過AB1與BC1平行的平面交上底面A1B1C1的邊A1C1于點(diǎn)D.(1)確定D的位置，并證明你的結(jié)論；

(2)證明：平面AB1D⊥平面AA1D.6．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中點(diǎn)．

(1)求證：AF∥平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.7.(理)在三棱錐P－ABC中，△PAC和△PBC是邊長為2的等邊三角形，AB＝2，O是AB中點(diǎn)．

(1)在棱PA上求一點(diǎn)M，使得OM∥平面PBC；

(2)求證：平面PAB⊥平面ABC；

1．設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的()

A．充分不必要條件

C．充要條件B．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件

2.設(shè)m、n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，給定下列四個命題，其中為真命題的是()

m⊥n?a⊥α??????α⊥β ①?m⊥α②??n?α?a?β?

m⊥α????m∥n④③?n⊥α?

A．①和②

C．③和④m?α??n?β??m∥n α∥β??B．②和③ D．①和④

3.已知直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則()

A．l⊥αB．l∥αC．l?αD．不能確定

4.用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：

①若a∥b，b∥c，則a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；

③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()

4.(文)設(shè)α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是

A．若l⊥α，α⊥β，則l?β

B．若l∥α，α∥β，則l?β

C．若l⊥α，α∥β，則l⊥β

D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β

5．如圖所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ACB＝90°，連結(jié)PB、PC，則圖形中互相垂直的平面有（）()

A．一對B．兩對C．三對D．四對

6.(理)若平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()

A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直

B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直

C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直

D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直

7.(理)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，點(diǎn)E、F分別是棱PC、PD的中點(diǎn)，則

①棱AB與PD所在的直線垂直；

②平面PBC與平面ABCD垂直；

③△PCD的面積大于△PAB的面積；

④直線AE與直線BF是異面直線．

以上結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號)

第二篇：《兩個平面垂直的判定定理》

《兩個平面垂直的判定定理》教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析：

1.1 本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位；

兩平面垂直的判定定理出現(xiàn)在高中立幾第一章最后一節(jié)，這之前學(xué)生已學(xué)習(xí)了空間兩直線位置關(guān)系，空間直線和平面位置關(guān)系,特別是已學(xué)習(xí)了直線和平面垂直判定定理,二面角的平面角,這是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，而本節(jié)內(nèi)容是第二章多面體、旋轉(zhuǎn)體的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，因此，本節(jié)的學(xué)習(xí)有著極其重要的地位。

1.2 數(shù)學(xué)思想方法分析：

1.2.1 從定理的證明過程，面面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直，就可以看到數(shù)學(xué)的化歸，“降維”思想。

1.2.2 在教材所提供的材料中，從建構(gòu)手段角度分析，可以看到歸納思想，而這一思想中包含著重組的意識和能力。教學(xué)目標(biāo)：

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

2.1 基礎(chǔ)知識目標(biāo)：掌握平面與平面垂直的判定定理及其變

式，能利用它們解決相關(guān)的問題。

2.2 能力訓(xùn)練目標(biāo)：逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、綜合和類比能力，會準(zhǔn)確地闡述自己的思路和觀點(diǎn)，著重培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知和元認(rèn)知能力。

2.3 創(chuàng)新素質(zhì)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中發(fā)現(xiàn)判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識和能力；判定定理及變式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的重組意識和能力；判定定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用的意識和能力。

2.4 個性品質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)，獨(dú)立的意識，不斷超越自我的創(chuàng)新品質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵：

重點(diǎn)：判定定理的證明及變式探索

難點(diǎn)：判定定理的變式。

關(guān)鍵：本節(jié)課通過判定定理的證明及變式探索，著重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知和元認(rèn)知能力。教材處理

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，建構(gòu)即認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組建，其過程一般是先把知識點(diǎn)按照邏輯線索和內(nèi)在聯(lián)系，串成知識線，再由若干條知識線聯(lián)構(gòu)成知識面，最后由知識面按照其內(nèi)容、性質(zhì)、作用、因果等關(guān)系組成綜合的知識體。本課時為何提出變式呢，應(yīng)該說，這一處理方法正是基于此理論的體現(xiàn)。其次，本節(jié)課處理過程力求達(dá)到解決如下問題：知識是如何產(chǎn)生的？如何發(fā)展？又如何從實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并賦予抽象的數(shù)學(xué)符號和表達(dá)式，如何反映生活中客觀事物之間簡單的和諧關(guān)系。教學(xué)模式

遵循教學(xué)過程是教師活動和學(xué)生活動的十分復(fù)雜的動態(tài)性總體，是教師和每一個學(xué)生積極參與下進(jìn)行集體認(rèn)識的過程，教為主導(dǎo)，學(xué)為主體，又互為客體，啟動學(xué)生主動學(xué)習(xí)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐思維過程，自得知識，自覓規(guī)律，自悟原理，主動發(fā)展思維和能力。6 學(xué)法

6.1 讓學(xué)生在認(rèn)知過程中，著重掌握元認(rèn)知過程：

6.2 使學(xué)生把獨(dú)立思考與多向交流相結(jié)合。教學(xué)程序及設(shè)想

環(huán)節(jié)教學(xué)程序及設(shè)計設(shè)計意圖7.1 設(shè)置問題，創(chuàng)設(shè)情景1.提出問題：教室兩相鄰墻面與地面位置關(guān)系如何？在日常生活中，你是如何驗(yàn)證兩平面垂直的實(shí)際問題。2.（在學(xué)生討論基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)）建筑工人在砌墻過程中，為了驗(yàn)證墻面與地面是否垂直，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和水平面垂直1.把教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有潛在意義的問題，讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的問題意識，使學(xué)生的整個學(xué)習(xí)過程成為“猜想”，驚訝，困感，感到棘手；緊張地沉思，期待尋找理由和證明的過程。2.我們知道，學(xué)習(xí)總與一定知識背景即情景相聯(lián)系，在實(shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有知識與經(jīng)驗(yàn)同化和索引出當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。7.2 提供實(shí)際背景材料，形成假說1.在實(shí)際生活中，建筑工人用一端系有鉛錘的線來檢查墻面與地面是否垂直，即若緊貼墻面的鉛錘的線，如垂直地面，則確定墻面與地面垂直，否則不垂直。2.緊貼墻面的線？這句話的實(shí)質(zhì)意義是什么？（學(xué)生討論，期望回答：即此線在墻所在平面）3.由此實(shí)際問題如何抽象為數(shù)學(xué)問題呢？（學(xué)生交流討論，期望回答：若平面過另一平面的垂線，則平面垂直）1.教師站在稍稍超前于學(xué)生智力發(fā)展的邊界上(即思維的最鄰近發(fā)展)通過問題引領(lǐng)，來促成學(xué)生形成面面垂直的判定定理。2.通過學(xué)生交流討論，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并賦予抽象的數(shù)學(xué)符號和表達(dá)方式。7.3 引導(dǎo)探索，尋找解決方案1.如何證明上述假說呢？從已學(xué)過知識可知，只能從定義出發(fā)。2.定義的實(shí)質(zhì)是什么呢？即證明兩平面垂直的根據(jù)是什么？期望回答：即證二面角的平面是直角。3.二面角的平面角如何做出呢？在本假說中，如何做出二面角的平面角？關(guān)鍵在哪里？（學(xué)生交流）期望回答：假說中已知平面的垂線故此垂線必垂直于兩平面的交線，所以關(guān)鍵在于在已知平面做與公共棱垂直的直線。盡可能地揭示出認(rèn)知思想方法的全貌，使學(xué)生從整體上把握問題的解決方法。7.4 總結(jié)結(jié)論，強(qiáng)化認(rèn)識經(jīng)過引導(dǎo)，學(xué)生得出結(jié)論，教師強(qiáng)調(diào)此定理的含義促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成，引導(dǎo)學(xué)生確實(shí)掌握“降維”的思想方法7.5 變式延伸，進(jìn)行重構(gòu)1.教師引導(dǎo)：在此判定定理中已經(jīng)知道，欲證兩平面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直進(jìn)行解決。下面繼續(xù)研究，已知平面α.β，直線L考察面α，β的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生利用模型演示進(jìn)行觀察。命題1：如果一個平面平行另一個平面的垂線則這兩個平面垂直。事實(shí)上此命題實(shí)質(zhì)是判定定理中若平面不經(jīng)過已知平面垂線時，我們給予加上此平面與垂線平行這一條件。命題2：如果一個平面與另一個平面的平行線垂直，則這兩個平面垂直。3.教師引導(dǎo)：若問題中，只出現(xiàn)平面與平面位置關(guān)系時你是否能找出這樣一個命題證明兩平面垂直嗎？學(xué)生的演示模型命題3：如果一個平面垂直于兩個平行面中的一個平面則必垂直于另一個平面。1.學(xué)生在教師引導(dǎo)下，在積累了已有探索經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論交流，相互評價，共同完成了面面垂直判定定理變式定義上的建構(gòu)。2.這一問題設(shè)計試圖讓學(xué)生不唯書敢于和善于質(zhì)疑批判和超越書本和教師，這是創(chuàng)新素質(zhì)的突出表現(xiàn)，讓學(xué)生不滿足于現(xiàn)狀，執(zhí)著的追求。3.讓學(xué)生對教學(xué)思想方法，及其應(yīng)情境達(dá)到較為純熟的認(rèn)識，并將這種認(rèn)識思維地貯存在大腦中，隨時提取和應(yīng)用。7.6 總結(jié)回授調(diào)整1.知識性內(nèi)容：證明兩平面垂直的方法，常有判定定理，命題1，命題2，命題3。2.對運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法創(chuàng)新素質(zhì)培養(yǎng)的小結(jié)：a.要善于在實(shí)際生活中，發(fā)現(xiàn)問題，從而提練出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。發(fā)現(xiàn)作為一種意識，可以解釋為“探察問題的意識”；發(fā)現(xiàn)作為一種能力，可以解釋為“找到新東西”的能力，這是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基本途徑。b.問題的解決，采用了化歸降維等數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法是解決問題的根本途徑：c.問題的變式探究的過程，是一個創(chuàng)新思維活動過程中一種多維整合過程。重組知識的過程，是一種多維整合的過程，是一個高層次的知識綜合過程，是對教材知識在更高水平上的概括和總結(jié)，有利于形成一個自我再生力強(qiáng)的開放的動態(tài)的知識系統(tǒng)，從而使得思維具有整體的功能，創(chuàng)新的能力。

1、知識性內(nèi)容的總結(jié)，可以把課堂教學(xué)傳授的知識盡快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì)。

2、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，創(chuàng)新素質(zhì)的小結(jié)能讓學(xué)生更系統(tǒng)，更深刻地理解數(shù)學(xué)理想

方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好個性品質(zhì)。這是每堂課必不可少的一個重要環(huán)節(jié)。7.7布置作業(yè)反饋命師

1、命題

2、命題3的探究過程，并整理證明過程。

第三篇：兩個平面垂直的判定和性質(zhì)(一)

兩個平面垂直的判定和性質(zhì)(一)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、理解并掌握兩個平面垂直的定義．

2．掌握兩個平面垂直的判定定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理，增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問題的能力．

3．利用轉(zhuǎn)化的方法掌握和應(yīng)用兩個平面垂直的判定定理．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩個平面垂直的判定．

2．教學(xué)難點(diǎn)：掌握兩個平面垂直的判定及應(yīng)用．

三、課時安排

本課題安排2課時．本節(jié)課為第一課時：主要講解兩個平面垂直的判定．

四、教與學(xué)的過程設(shè)計

(一)復(fù)習(xí)近平面角的有關(guān)知識

1、是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

2、一般地，作二面角的平面角有哪幾種方法？

三種．一是利用定義；二是利用三垂線(逆)定理；三是利用棱的垂面．

3、練習(xí)(幻燈顯示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：CD與平面β所成的角．

證明：作CO⊥β交β于點(diǎn)O，連結(jié)DO，則∠CDO為DC與β所成的角．

過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連結(jié)CE，則CE⊥AB，∴∠CEO為二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．

即DC與β成30°角．

點(diǎn)評：本題涉及到直線與平面所成角的范圍[0°，90°]以及利用三垂線定理尋找二面角的平面角．事實(shí)上，利用三垂線定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一種方法．

(二)兩個平面垂直的定義、畫法

1、兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況，日常我們見到的墻面和地面、以及一個長方體中，相鄰的兩個面都是互相垂直的．那么，什么是兩個平面互相垂直呢？

兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．

2、知道了兩個平面互相垂直的概念．如何畫它們呢？

如圖1-128，把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直．記作α⊥β．

3、練習(xí)：(P.45中練習(xí)1)

畫互相垂直的兩個平面、兩兩垂直的三個平面．如圖1-129．

(三)兩個平面垂直的判定

兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直． 提示：要證明兩個平面互相垂直，只有根據(jù)兩個平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個平面角，并證明這個平面角是直角．如何作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BE⊥CD，使∠ABE為二面角α-CD-β的平面角．讓學(xué)生獨(dú)自寫出證明過程．

求證：α⊥β．

證明：設(shè)a∩β=CD，則B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

師：兩個平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù)．如：建筑工人在砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和水平面垂直(圖見課本P.43中圖1-49)，實(shí)際上，就是依據(jù)這個原理．

另外，這個定理說明要證明面面垂直，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明．下面我們來做一道練習(xí)． 練習(xí)：(P.45中練習(xí)2)

如圖1-131，檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動一下，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了．為什么？如果不轉(zhuǎn)動呢？

如果不轉(zhuǎn)動，只能確定兩條直線OA⊥OB，無法確定OA⊥β，從而無法確定α⊥β．

(四)練習(xí)

例：⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)． 求證：平面PAC⊥平面PBC．圖1-13

3證明：在θO內(nèi)．

∵AB為θO的直徑，∴BC⊥AC．

又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

(五)總結(jié)

本節(jié)課我們講解了兩個平面垂直的定義、畫法及判定方法．判定方法有兩種，一是利用定義，二是利用判定定理．如何應(yīng)用兩個平面垂直的判定定理，把面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題是本節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．

五、作業(yè)

P．46中習(xí)題六．6、7、8、10(1)，∴平面PAC⊥平面PBC．

第四篇：1.2.4兩個平面垂直的判定和性質(zhì)

江蘇省海頭高級中學(xué)高中數(shù)學(xué)必修2導(dǎo)學(xué)案立體幾何

1.2.2 兩個平面平面的位置關(guān)系第二課時（面面垂直）

編寫人：英繼祝審核人：王緒霞編號：1

2學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．理解二面角的有關(guān)概念，能畫出二面角；會求二面角的平面角．

2．理解兩個平面垂直的定義；掌握面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理．

3．能應(yīng)用面面垂直的判定與性質(zhì)解決簡單問題．

學(xué)習(xí)過程：

在日常生活中，公路上的坡面與水平面，打開的門與門框所在的平面等．它們中的兩個面成一定的角度．為了解決實(shí)際問題，人們需要研究兩個平面所成的角．

掌握課本上是怎么定義兩個平面所成的角？

1．二面角

（1）半平面：，其中的每一部分都叫做半平面．

（2）二面角：叫做二面角．叫做二面角的棱，叫做二面角的面．

（3）二面角的畫法：分直立式與平臥式兩種．圖1，記作二面角?-AB-?．

①直立式②平臥式

（4）二面角的表示方法：?-l-?

2．二面角的平面角

請閱讀課本page40-41，思考：①平面幾何中角理解為一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得，一個二面角也可以看作是一個半平面而成的，也是一個旋轉(zhuǎn)量．這說明二面角不僅有．而且其大小是．

②二面角的大小應(yīng)該怎么度量？

二面角的平面角的定義：以為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

如圖2，二面角?-l-?，O?l，AO??，BO??，AO?l，圖2

?二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個半平面重合時，平面角為0；當(dāng)兩個半平

?圖BO?l．?AOB是二面角?-l-?的平面角．面合成一個平面時，平面角為180．

求解二面角大小的關(guān)鍵是確定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三個要素：（1）確定二面角的棱上一點(diǎn)；（2）經(jīng)過這點(diǎn)分別在兩個面內(nèi)引射線；（3）所引的射線都垂直于棱．

平面角是直角的二面角叫做直二面角．

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例1 如圖正方體ABCD?A'B'C'D'中，求①二面角D'?AB?D的大?、诙娼茿'?AB?D的大小 思考：本題中構(gòu)成二面角D'?AB?D的兩個半平面分別是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

構(gòu)成二面角A'?AB?D的兩個半平面分別是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

通過本題你得到的收獲是什么？ C’

A

圖變式練習(xí)1.如圖3，平面角為銳角的二面角?-EF-?，A?EF，AG??，若AG?GAE?45?，與?所成角為30，求二面角?-EF-?的平面角．

通過例題及變式練習(xí)注意，求二面角的步驟是“作—證—算——答”四環(huán)節(jié) 請閱讀課本page42 思考：3.兩平面互相垂直的概念：

4.?

例2.正方體ABCD?ABCD中，求證：平面A'C'CA?BDDB。思考：本題中要證明面面垂直先證直線而這條直線垂直于平面又是如何證明的？

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變式練習(xí)2: ?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?a，P是?ABC所在平面外的一點(diǎn)，PA? PB?PC?2a，求證平面PAB?平面ABC。

鞏固練習(xí)：

1．課本P44練習(xí)1，2，3，4． 2．二面角指的是（）

A．兩個平面相交所成的角B．經(jīng)過同一條直線的兩個平面所組成的圖形 C．從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形D．兩個相交平面所夾的不大于90的角 3．已知二面角?-AB-?的平面角是銳角?，?內(nèi)一點(diǎn)C到?的距離為3，點(diǎn)C到棱AB的距離為4，那么tan?的值等于

?

4．已知二面角?-l-?的平面角為60，P??，若P到平面?的距離為，則P點(diǎn)在?

?

上的射影P1到平面?的距離為________________．

5．自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關(guān)系是

6．如圖5，?AOB?90，過點(diǎn)O引?AOB所在平面的斜線OC，OC與OA、OB分別成45、60角，求二面角A-OC-B的平面角的余弦值．

?

?

?

圖

5第3頁●共4頁

7．如圖6，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的平面角的正切值．

圖6

8．如圖7，在60?的二面角?-l-?內(nèi)有一點(diǎn)P，它到?、?面的距離分別為3和5，求P點(diǎn)到棱l的距離．

圖7

圖

19.如圖8，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動點(diǎn)，過動點(diǎn)C的直線VC垂直于⊙O所在平面，D、E分別是VA、VC的中點(diǎn)，直線DE與平面VBC有什么關(guān)系？試說明理由．

?

圖4

10.如圖9，在空間邊形ABCD中，DA?平面ABC，?ABC?90，AE?CD，（1）EF?DC；（2）平面DBC?平面AEF．

AF?DB．求證：

圖5

第4頁●共4頁

第五篇：“平面與平面垂直的判定”的教學(xué)反思

梧州市蒼梧中學(xué) 李燕偉

【摘 要】通過比較詳細(xì)地講解“平面與平面垂直的判定”這一教學(xué)內(nèi)容，對新課標(biāo)背景下開展的教學(xué)活動進(jìn)行探討和反思，得出可靠的經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】平面與平面垂直的判定 創(chuàng)設(shè)情景 引導(dǎo)探究 自我嘗試 運(yùn)用反饋 教學(xué)反思 【中圖分類號】 G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】0450-9889（2015）01B-0087-03

一、教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自數(shù)學(xué)必修2（人教A版）第二章中“平面與平面垂直的判定”。立體幾何是以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標(biāo)。教材根據(jù)“認(rèn)識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、空間想象能力與一定的推理論證能力”的新要求。本節(jié)在內(nèi)容的安排和處理方式上，加強(qiáng)了引導(dǎo)學(xué)生通過自己的觀察、操作等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。在平面與平面垂直的判定定理得出的過程中，注重對典型實(shí)例的觀察、分析，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納、概括。本節(jié)課的設(shè)計按照新課標(biāo)的要求，遵循“直觀感知——動手操作——?dú)w納確認(rèn)”的認(rèn)識過程，引導(dǎo)學(xué)生歸納二面角的定義，探索二面角的度量，發(fā)現(xiàn)平面與平面垂直的判定定理。

二、教學(xué)過程實(shí)錄

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

問題1：平面幾何中“角”是怎樣定義的？ 問題2：在立體幾何中，“異面直線所成的角”“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？

以上問題讓學(xué)生自由發(fā)言，教師小結(jié)，并拋出問題：在日常生活中，有許多問題涉及兩個平面相交所成的角的情形，你能舉出一些例子嗎？

學(xué)生1：我們進(jìn)出教室把門打開時，門面與門框面所成的角。學(xué)生2：我們翻開課本時相應(yīng)的兩頁面所成的角。

教師：如修水壩、發(fā)射人造衛(wèi)星等，而這樣的角有何特點(diǎn)，該如何表示呢？（幾何畫板展示上述圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀擦、研探）

（二）引導(dǎo)探究，建構(gòu)概念 1．二面角的有關(guān)概念

活動1：師生分別展示一張長方形卡紙，對折后展平。問題：折痕把平面分為幾部分？我們把它們叫做什么？

活動2：師生分別沿著折痕把其中一個半平面折起使兩個半平面成一個角度。

問題：從平面一點(diǎn)引的兩條射線組成的圖形是角，那么這個圖形又是什么呢？課件展示。（學(xué)生閱讀課本并填角與二面角對比框圖：包括圖形、定義、構(gòu)成、表示）個別提問學(xué)生，2．二面角的度量 教師：（1）門面與門框面所成的二面角；（2）兩頁面所成的二面角；（3）兩個半平面成的二面角。以上三個二面角中，當(dāng)其中一個面繞著棱轉(zhuǎn)動時，所得二面角與原來相比有什么變化？（分三個組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作：開門、翻書、折紙）

學(xué)生集體：二面角的大小變化了，兩個平面相交的位置發(fā)生了變化。

教師：二面角的大小定量地反映了兩個平面相交的位置關(guān)系，那我們應(yīng)如何度量二面角的大小呢？（引導(dǎo)學(xué)生類比異面直線，線面所成角的平面化過程）思考：（1）角的頂點(diǎn)取在哪里？（2）角的兩邊如何作出？（3）所作出的角大小唯一嗎？ 活動3：帶著思考，每四個學(xué)生共同做一個小實(shí)驗(yàn)（用活動2中做的二面角的模型）試著在二面角中畫出一個角來反映它的大小。（學(xué)生畫圖，交流，辨析，歸納做法）學(xué)生3：在棱上取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)各作一射線。其他學(xué)生補(bǔ)充：射線要垂直于棱畫出的角才唯一。教師：（1）頂點(diǎn)可以在棱上任意取嗎？頂點(diǎn)取不同位置大小有變化嗎？（幾何畫板演示）通過實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生研探出二面角大小的度量方法——二面角的平面角。學(xué)生提煉二面角的平面角（如圖1所示）。

（1）在表示二面角的平面角時，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小與點(diǎn)O在L上位置無關(guān)；（3）平面角是直角的二面角叫直二面角。

練習(xí)：教室相鄰兩個墻面與地面構(gòu)成幾個二面角？ 指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)。（課件展示圖2）

個別提問學(xué)生，通過學(xué)生的回答進(jìn)一步強(qiáng)化二面角的平面角的尋找。并讓學(xué)生通過直觀感知給平面與平面的垂直下定義。3．平面與平面垂直的定義

引導(dǎo)學(xué)生把文字語言轉(zhuǎn)化為圖示語言和符號語言，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美。教師對學(xué)生做法進(jìn)行點(diǎn)評和完善。

教師：你們能說一說身邊出現(xiàn)的平面與平面垂直的例子嗎？ 學(xué)生：把書直立在桌面上，書的封面與桌面垂直。學(xué)生：把門打開時，門面始終與地面垂直。學(xué)生：教室的墻面肯定與地面垂直。（組織學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作）

教師：數(shù)學(xué)與生活是息息相關(guān)的，我們平時要善于用數(shù)學(xué)的眼光看待周圍的事物。

教師：我們再來想一想：建筑工人在安裝門、在切墻時是通過怎樣方法來保證與地面的垂直的？

學(xué)生：安裝門時通過門軸與地面垂直。

學(xué)生：我看到砌墻工人砌墻時在墻邊吊了一根鉛垂線。

教師：生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們這些方法能保證相應(yīng)的兩個平面垂直，你們能從這些方法中找到判斷平面垂直的依據(jù)嗎？（展示圖3和圖4）

學(xué)生：門軸，鉛垂線可以抽象為線，由此我們能得出只要平面內(nèi)有直線與面垂直，那兩個平面就是垂直的。（通過學(xué)生的結(jié)論教師課件展示）4．平面與平面垂直的判定定理

引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為用圖象、符號來表示，認(rèn)識到線面垂直與面面垂直的論證關(guān)系。同時讓學(xué)生思考、交流：

（1）若證面面垂直，線在哪里找，要滿足什么關(guān)系？（2）有了線與面垂直，你能找到與這個面垂直的平面嗎？（3）現(xiàn)在我們有多少種方法可以證明平面與平面垂直？

教師通過面向全體學(xué)生，檢查學(xué)生的理解程度，對學(xué)生做得不到位的地方及時點(diǎn)撥。

（三）自我嘗試，初步應(yīng)用

例．如圖示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上不同于A和B的任意一點(diǎn)。求證：平面PAC⊥平面PBC。教師生一起閱讀題目，在圖像上找出題目中的線、面。學(xué)生試著把證明的過程寫在草稿紙上。教師巡堂，從學(xué)生中收集不同的解法，用實(shí)物投影出來，師生一起點(diǎn)評，歸納出：（1）面面垂直可用定義和判定定理去證明，要結(jié)合條件選擇較優(yōu)的解法。（2）用判定定理時，要注意分析垂線在哪個面內(nèi)找容易論證。

（四）運(yùn)用反饋，深化鞏固

深化鞏固：課本P73的探究問題，練習(xí)1。

做法：學(xué)生思考，折紙實(shí)驗(yàn)，小組討論，老師與學(xué)生對話完成。

（五）小結(jié)歸納，回顧反思 筆者設(shè)計了三個問題：

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？（2）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你最大的體驗(yàn)是什么？（3）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些技能？

（六）課后鞏固，拓展思維

課本73頁習(xí)題第4題，74頁B組的第1題。

三、教學(xué)反思

通過本節(jié)課的教學(xué)，筆者對新課標(biāo)下的課堂有了如下的認(rèn)識：

（一）注重知識的形成過程教學(xué) 新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“直觀感知”，在教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的事物、現(xiàn)象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看待周圍的事物。組織學(xué)生盡可能地進(jìn)行討論、研究。通過操作、實(shí)踐活動等讓學(xué)生去經(jīng)歷、感受、體會，在獲得大量的直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)知識，總結(jié)方法，提升能力。本課通過引導(dǎo)學(xué)生例舉開門、翻書動作形成平面所成角的基礎(chǔ)上，再由折紙活動讓學(xué)生感知二面角的概念。使抽象知識直觀化，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。

（二）注重溫故而知新

在學(xué)習(xí)新知識時，要重視聯(lián)想、類比有關(guān)的舊知識，辯清它們的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)而達(dá)到知識或方法的同化。本課類比1：“異面直線所成的角”“直線和平面所成的角”的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)可以用平面角刻畫二面角的大小。類比2：由角的結(jié)構(gòu)引出二面角的平面角頂點(diǎn)在哪里，兩條射線怎么出現(xiàn)？通過這兩個類比，學(xué)生很順利地探究出：（1）二面角大小的度量方法——二面角的平面角；（2）二面角的平面角的作法。從而達(dá)到高效地突破教學(xué)難點(diǎn)。

（三）注重課堂活動的多樣性

新的教學(xué)理念希望給學(xué)生營造一個民主、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、參與合作的學(xué)習(xí)方式，全面發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐與創(chuàng)新能力。活動有學(xué)生的折紙、擺書、自己動手畫圖；提問方式有個體、小組、群體提問；合作方式有同桌交流，四人小組實(shí)驗(yàn)；教具有多媒體、幾何畫板、教室的門、學(xué)生的書、硬紙板。本課在課堂教學(xué)中保證學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間，抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、求知欲、成就感等積極因素，積極培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、操作、畫圖、表達(dá)等多方面的能力。

（四）注重數(shù)學(xué)思維的教學(xué)

新課標(biāo)提出高中數(shù)學(xué)應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本課在概念的構(gòu)建過程中，通過觀察與實(shí)驗(yàn)，比較與歸納培養(yǎng)學(xué)生由抽象到具體，一般到特殊的轉(zhuǎn)化能力。在例題的教學(xué)中通過教師收集解法，師生評價，學(xué)生總結(jié)來達(dá)到培養(yǎng)思維的廣闊性與深刻性的。錯解的出現(xiàn)提高了學(xué)生思維的批判性與獨(dú)創(chuàng)性。

（五）注重對教材的開發(fā)使用

新教材在問題設(shè)置、習(xí)題設(shè)置、數(shù)學(xué)知識的形成過程、數(shù)學(xué)的應(yīng)用等方面變化較大，因此教師在平時備課中不但要吃透教材，而且要盡量地搜集與教材有關(guān)的知識，制作與教材有關(guān)的教具?；诙娼堑某橄笮?，本課設(shè)置了三個活動（即一個活動鏈折紙）去弱化它的抽象性，強(qiáng)化它的直觀與可操作性。在平面與平面垂直的判定定理的導(dǎo)出中，通過設(shè)置問題串，調(diào)動學(xué)生的積極思維，最終讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)判定定理。在小結(jié)歸納中設(shè)置：你學(xué)到了哪些知識？你最大的體驗(yàn)是什么？你掌握了哪些技能？這樣不僅讓學(xué)生重現(xiàn)知識，而且讓學(xué)生重組過程提升方法，從而再次凸現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。