第一篇：第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)

第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)

1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．

2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一些有關(guān)空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1個(gè)重要關(guān)系

垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

2種必會(huì)方法

1.證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α＝b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．

2.判定面面垂直的方法有：①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)． 3點(diǎn)必須注意

1.解題時(shí)一定要嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書(shū)寫(xiě)過(guò)程，如用判定定理證明線面垂直時(shí)，一定要體現(xiàn)出“平面中的兩條相交直線”這一條件．

2.兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，應(yīng)用時(shí)常添加的輔助線是在一平面內(nèi)作兩平面交線的垂線．

3.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.課前自主導(dǎo)學(xué)

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

直線l與平面α內(nèi)的________直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．

(1)命題：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直是真命題嗎？其逆命題呢？

(2)如果兩條平行線中有一條垂直于平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面嗎？ 2．平面與平面垂直

嗎？

(2)如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都和另一個(gè)平面垂直嗎？(3)如果兩個(gè)平面都和第三個(gè)平面垂直，那么這兩個(gè)平面平行嗎？

考點(diǎn)一：有關(guān)垂直關(guān)系的判斷

例1 若有平面α與β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P?l，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào))

①過(guò)點(diǎn)P且垂直于α的直線平行于β； ②過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的直線平行于β； ③過(guò)點(diǎn)P且垂直于β的直線在α內(nèi)； ④過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的直線在α內(nèi)．

點(diǎn)撥：本題利用了幾何圖形來(lái)判斷真假．解決本類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)作圖要熟練，借助幾何圖形來(lái)說(shuō)明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)、甚至無(wú)需作圖在頭腦中形成印象來(lái)判斷．

(2)善于尋找反例，只要存在反例，那么結(jié)論就被駁倒了．

(3)要思考完整，反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況，必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明．

[變式探究] [2012·浙江高考]設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()

A.若l∥α，l∥β，則α∥βB.若l∥α，l⊥β，則α⊥β C.若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD.若α⊥β，l∥α，則l⊥β 考點(diǎn)二：直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例2 [2012·福建高考]如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M為棱DD1上的一點(diǎn)．

(1)求三棱錐A－MCC1的體積；

(2)當(dāng)A1M＋MC取得最小值時(shí)，求證：B1M⊥平面MAC.奇思妙想：在棱A1B1上是否存在一點(diǎn)N，使D1N∥平面A1BM？證明你的結(jié)論？

點(diǎn)撥：垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái)． [變式探究] [2012·北京高考]如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE；

(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說(shuō)明理由．

考點(diǎn)三：平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 例3 [2012·江蘇高考]如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.點(diǎn)撥：證明面面垂直的方法：證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線與添加輔助線解決．

[變式探究] [2012·江西高考]如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，得到多面體CDEFG.(1)求證：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面體CDEFG的體積．

考點(diǎn)四：線面角、二面角的求法 例4 [2012·浙江高考]如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn)．

(1)證明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值．

點(diǎn)撥：1．求角的大致步驟：一找角，二證明，三求解．

2．線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足．

3．二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來(lái)度量．平面角的作法常見(jiàn)的有：①定義法；②垂面法．

[變式探究] 如圖所示，三棱錐P－ABC中，D是AC的中點(diǎn)，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝6.(1)求證：PD⊥平面ABC；

(2)求二面角P－AB－C的正切值大?。?/p>

經(jīng)典演練提能1.[2012·安徽高考]設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 2．[2012·宿遷模擬]已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下面四個(gè)命題： ①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n； ③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確命題的序號(hào)是()A．①③B．②④C．①④D．②③

3．如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的有________．(填序號(hào))①平面ABC⊥平面ABD ②平面ABD⊥平面BCD ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

4．[2012·遼寧高考]已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為23的正方形．若PA＝26，則△OAB的面積為_(kāi)_______．

第二篇：直線與平面垂直的判定和性質(zhì)練習(xí)題

直線與平面垂直的判定和性質(zhì)、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)（6.8）出題人：婁媛審題人：劉福義

一、選擇題

1．兩異面直線在平面α內(nèi)的射影（）A．相交直線B．平行直線

C．一條直線—個(gè)點(diǎn)D．以上三種情況均有可能 2．若兩直線a與b異面，則過(guò)a且與b垂直的平面（）A．有且只有—個(gè)B．可能存在也可能不存在 C．有無(wú)數(shù)多個(gè)D．—定不存在3．若平面α的斜線l在α上的射影為l′，直線b∥α，且b⊥l′，則b與l（）

A．必相交B．必為異面直線C．垂直D無(wú)法確定 4．如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（）．

A.互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 5．已知平面???，直線l??，直線m??，l?m，則l與?的位置關(guān)系是（）． A．l?? B．l//? C．l??

D．以上都有可能

6．過(guò)平面外一點(diǎn)P：①存在無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面?平行；②存在無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面?垂直；③存在無(wú)數(shù)條直線與平面?垂直；④只存在一條直線與平面?平行．其中正確的是（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè) 7．在二面角?-l-?的一個(gè)面?內(nèi)有一條直線AB，若

AB與棱l的夾角為45?，AB與平面?所成的角為30?，則此二面角的大小是（）．

A．30?

B．30?

或150?C．45?D．45?或135?

8下列命題

①平面的每條斜線都垂直于這個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；②若一條直線垂直于平面的斜線，則此直線必垂直于斜線在此平面內(nèi)的射影；

③若平面的兩條斜線段相等，則它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)的射影也相等；

④若一條線段在平面外并且不垂直于這個(gè)平面，則它的射影長(zhǎng)一定小于線段的長(zhǎng)．

其中，正確的命題有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

9．正方體ABCD?A1B1C1D1中，二面角D?A1C1?B的大小是________．

10．在空間四面體的四個(gè)面中，為直角三角形的最多有____________個(gè)．

11.已知二面角A?BC?D、A?CD?B、A?BD?C都相等，則A點(diǎn)在平面BCD上的射影是?BCD的___心． 12．?、?、?是相交于點(diǎn)O，且兩兩垂直的三個(gè)平面，點(diǎn)P到?、?、?的距離分別為4cm，6cm，12cm，則PO=________．

三、解答題

13．在四面體SABC中，?ASC?90?，?ASB??BSC?60?，SA?SB?SC，求證：平面ASC?平面ABC

14如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），連結(jié)BC1，過(guò)Bl作B1E⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求證：AC1⊥平面EBlD1

15已知???，???，????a，????b，a//b，求證：?//?．

第三篇：2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能

（1）使學(xué)生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“兩個(gè)平面互相垂直”的概念；

（2）使學(xué)生掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；（3）使學(xué)生理會(huì)“類(lèi)比歸納”思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決上的作用。

2、過(guò)程與方法

（1）通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生直觀感知“二面角”概念的形成過(guò)程；

（2）類(lèi)比已學(xué)知識(shí)，歸納“二面角”的度量方法及兩個(gè)平面垂直的判定定理。

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

通過(guò)揭示概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，使學(xué)生理會(huì)教學(xué)存在于觀實(shí)生活周?chē)?，從中激發(fā)學(xué)生積極思維，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、解決問(wèn)題能力。

3.教學(xué)用具

投影儀等.4.標(biāo)簽

數(shù)學(xué)，立體幾何

教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

問(wèn)題1：平面幾何中“角”是怎樣定義的？

問(wèn)題2：在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？

以上問(wèn)題讓學(xué)生自由發(fā)言，教師再作小結(jié)，并順勢(shì)拋出問(wèn)題：在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問(wèn)題要涉及到兩個(gè)平面相交所成的角的情形，你能舉出這個(gè)問(wèn)題的一些例子嗎？如修水壩、發(fā)射人造衛(wèi)星等，而這樣的角有何特點(diǎn)，該如何表示呢？下面我們共同來(lái)觀察,研探。

（二）研探新知

1、二面角的有關(guān)概念

老師展示一張紙面，并對(duì)折讓學(xué)生觀察其狀，然后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考，并對(duì)以上問(wèn)題類(lèi)比，歸納出二面角的概念及記法表示（如下表所示）

2、二面角的度量

二面角定理地反映了兩個(gè)平面相交的位置關(guān)系，如我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大一些”，是指二面角大一些，那我們應(yīng)如何度量二兩角的大小呢？師生活動(dòng)：師生共同做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)（預(yù)先準(zhǔn)備好的二面角的模型）在其棱上位取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)各作一射線（如圖2.3-3），通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。教師特別指出：

（1）在表示二面角的平面角時(shí)，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小與點(diǎn)O在L上位置無(wú)關(guān)；（3）當(dāng)二面角的平面角是直角時(shí)，這兩個(gè)平做法：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，先讓學(xué)生自己動(dòng)手推理證明，然后抽檢學(xué)生掌握情況，教師最后講評(píng)并板書(shū)證明過(guò)程。

（四）運(yùn)用反饋，深化鞏固 問(wèn)題：課本P.73的探究問(wèn)題

做法：學(xué)生思考（或分組討論），老師與學(xué)生對(duì)話完成。

（五）小結(jié)歸納，整體認(rèn)識(shí)

（1）二面角以及平面角的有關(guān)概念；

（2）兩個(gè)平面垂直的判定定理的內(nèi)容，它與直線與平面垂直的判定定理有何關(guān)系？

（六）課后鞏固，拓展思維

1、課后作業(yè)：自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，求證：它們所成的角與二兩角的平面角互補(bǔ)。

2、課后思考問(wèn)題：在表示二面角的平面角時(shí)，為何要求“OA⊥L、OB⊥L”？為什么∠AOB 的大小與點(diǎn)O在L上的位置無(wú)關(guān)？

課堂小結(jié)

（1）二面角以及平面角的有關(guān)概念；（2）兩個(gè)平面垂直的判定定理的內(nèi)容，它與直線與平面垂直的判定定理有何關(guān)系？

課后習(xí)題

1、課后作業(yè)：自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線，求證：它們所成的角與二兩角的平面角互補(bǔ)。

2、課后思考問(wèn)題：在表示二面角的平面角時(shí)，為何要求“OA⊥L、OB⊥L”？為什么∠AOB 的大小與點(diǎn)O在L上的位置無(wú)關(guān)？

板書(shū) 略

第四篇：直線與平面垂直的判定教案

《直線與平面垂直的判定》

選自人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修2第二章第三節(jié)

一、教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能目標(biāo)

(1).掌握直線與平面垂直的定義

(2).理解并掌握直線與平面垂直的判定定理(3).會(huì)判斷一條直線與一個(gè)平面是否垂直

(4).培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和對(duì)新知識(shí)的探索能力

2.過(guò)程與方法目標(biāo)

(1).加強(qiáng)學(xué)生空間與平面之間的轉(zhuǎn)化意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生的思維靈活性

(2).要善于應(yīng)用平移手法將分散的條件集中到某一個(gè)圖形中進(jìn)行研究，特別是輔助線的添加

3.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)

(1).培養(yǎng)學(xué)生的探索精神(2).加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣

二、重點(diǎn)難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義及其判定定理 2.教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直判定定理的理解

三、課時(shí)安排

本課共安排一課時(shí)

四、教學(xué)用具

多媒體、三角形紙片、三角板或直尺

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1.創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題1：空間一條直線和一個(gè)平面有哪幾種位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：此問(wèn)基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，通過(guò)對(duì)已學(xué)相關(guān)知識(shí)的追憶，尋找新知識(shí)學(xué)習(xí)的“固著點(diǎn)”。

問(wèn)題2：列舉在日常生活中你見(jiàn)到的可以抽象成直線與平面相交的事例？ 尋找特殊的事例并引入課題。設(shè)計(jì)意圖：此問(wèn)基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，通過(guò)對(duì)生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進(jìn)一步探究直線與平面垂直的意義。

2.提煉定義

問(wèn)題3：結(jié)合對(duì)下列問(wèn)題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．(1)陽(yáng)光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽(yáng)的移動(dòng),影子BC的位置也會(huì)移動(dòng),而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會(huì)發(fā)生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過(guò)點(diǎn)B的直線B1C1的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么？ 設(shè)計(jì)意圖：第（1）與（2）兩問(wèn)旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過(guò)點(diǎn)B的直線垂直，第（3）問(wèn)進(jìn)一步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過(guò)點(diǎn)B的直線也垂直，在這里，主要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來(lái)分析、歸納直線與平面垂直這一概念。

（學(xué)生敘寫(xiě)定義，并建立文字、圖形、符號(hào)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化）

思考：（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？

（2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線是否垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線？（對(duì)問(wèn)（1），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示；對(duì)問(wèn)（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號(hào)語(yǔ)言表述：若，則)

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)問(wèn)題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過(guò)對(duì)問(wèn)題（2）的辨析討論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法。

通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來(lái)困難，因?yàn)槲覀儫o(wú)法去一一檢驗(yàn)。這就有必要去尋找比定義法更簡(jiǎn)捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。

3.探究新知

創(chuàng)設(shè)情境

猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點(diǎn)掛兩條長(zhǎng)10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，猜想判定定理。師生活動(dòng)：（折紙?jiān)囼?yàn)）請(qǐng)同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個(gè)試驗(yàn)：過(guò)三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問(wèn)題4：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（組織學(xué)生動(dòng)手操作、探究、確認(rèn)）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。

問(wèn)題5：在你翻折紙片的過(guò)程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線 m，n，把桌面抽象為平面件是什么？

(如圖3)，那么你認(rèn)為保證直線與平面

垂直的條

對(duì)于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動(dòng)，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)。問(wèn)：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)操作讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線。

問(wèn)題6：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證

嗎？，（如圖4）你認(rèn)為直線還垂直于平面設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無(wú)關(guān)緊要的。

根據(jù)試驗(yàn)，請(qǐng)你給出直線與平面垂直的判定方法。

（學(xué)生敘寫(xiě)判定定理，給出文字、圖形、符號(hào)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化）

問(wèn)題7：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺(jué)得這個(gè)判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?（2）你覺(jué)得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會(huì)“無(wú)限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)尋找定義與判定定理的共同點(diǎn)，感悟和體會(huì)“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學(xué)思想.思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請(qǐng)你去檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設(shè)計(jì)意圖：用學(xué)到手的知識(shí)解釋實(shí)際生活中的問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，同時(shí)通過(guò)提出 “為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？”（對(duì)該問(wèn)題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來(lái)驗(yàn)證），從而來(lái)深化對(duì)直線與平面垂直判定定理的理解。

4.練習(xí)提高

如圖5，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，請(qǐng)列舉與平面ABCD垂直的直線。并說(shuō)明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？

思考：如圖6，已知，則嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學(xué)生用語(yǔ)言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面）

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)例題給出了判斷直線和平面垂直的一個(gè)常用的命題，這個(gè)命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系。

5.小結(jié)回授

（1）本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語(yǔ)言敘述。（2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用自己理解的語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行質(zhì)疑和概括。

第五篇：兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)(一)

兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)(一)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、理解并掌握兩個(gè)平面垂直的定義．

2．掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理的證明過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理，增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力．

3．利用轉(zhuǎn)化的方法掌握和應(yīng)用兩個(gè)平面垂直的判定定理．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面垂直的判定．

2．教學(xué)難點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面垂直的判定及應(yīng)用．

三、課時(shí)安排

本課題安排2課時(shí)．本節(jié)課為第一課時(shí)：主要講解兩個(gè)平面垂直的判定．

四、教與學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)復(fù)習(xí)近平面角的有關(guān)知識(shí)

1、是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

2、一般地，作二面角的平面角有哪幾種方法？

三種．一是利用定義；二是利用三垂線(逆)定理；三是利用棱的垂面．

3、練習(xí)(幻燈顯示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：CD與平面β所成的角．

證明：作CO⊥β交β于點(diǎn)O，連結(jié)DO，則∠CDO為DC與β所成的角．

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連結(jié)CE，則CE⊥AB，∴∠CEO為二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．

即DC與β成30°角．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到直線與平面所成角的范圍[0°，90°]以及利用三垂線定理尋找二面角的平面角．事實(shí)上，利用三垂線定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一種方法．

(二)兩個(gè)平面垂直的定義、畫(huà)法

1、兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況，日常我們見(jiàn)到的墻面和地面、以及一個(gè)長(zhǎng)方體中，相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的．那么，什么是兩個(gè)平面互相垂直呢？

兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．

2、知道了兩個(gè)平面互相垂直的概念．如何畫(huà)它們呢？

如圖1-128，把直立平面的豎邊畫(huà)成和水平平面的橫邊垂直．記作α⊥β．

3、練習(xí)：(P.45中練習(xí)1)

畫(huà)互相垂直的兩個(gè)平面、兩兩垂直的三個(gè)平面．如圖1-129．

(三)兩個(gè)平面垂直的判定

兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直． 提示：要證明兩個(gè)平面互相垂直，只有根據(jù)兩個(gè)平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個(gè)平面角，并證明這個(gè)平面角是直角．如何作平面角呢？根據(jù)平面角的定義，可以作BE⊥CD，使∠ABE為二面角α-CD-β的平面角．讓學(xué)生獨(dú)自寫(xiě)出證明過(guò)程．

求證：α⊥β．

證明：設(shè)a∩β=CD，則B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

師：兩個(gè)平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)．如：建筑工人在砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線來(lái)檢查所砌的墻面是否和水平面垂直(圖見(jiàn)課本P.43中圖1-49)，實(shí)際上，就是依據(jù)這個(gè)原理．

另外，這個(gè)定理說(shuō)明要證明面面垂直，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)證明．下面我們來(lái)做一道練習(xí)． 練習(xí)：(P.45中練習(xí)2)

如圖1-131，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)一下，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了．為什么？如果不轉(zhuǎn)動(dòng)呢？

如果不轉(zhuǎn)動(dòng)，只能確定兩條直線OA⊥OB，無(wú)法確定OA⊥β，從而無(wú)法確定α⊥β．

(四)練習(xí)

例：⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)． 求證：平面PAC⊥平面PBC．圖1-13

3證明：在θO內(nèi)．

∵AB為θO的直徑，∴BC⊥AC．

又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

(五)總結(jié)

本節(jié)課我們講解了兩個(gè)平面垂直的定義、畫(huà)法及判定方法．判定方法有兩種，一是利用定義，二是利用判定定理．如何應(yīng)用兩個(gè)平面垂直的判定定理，把面面垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問(wèn)題是本節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．

五、作業(yè)

P．46中習(xí)題六．6、7、8、10(1)，∴平面PAC⊥平面PBC．