第一篇：高一數(shù)學(xué)線面垂直強化訓(xùn)練題目

1、線面垂直的定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直。其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面交點叫做垂足。

2、線面垂直的判定定理（注意：兩條、相交）條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交

直線都垂直，則該直線與平面垂直。

符號語言：b??,c??,b?c?P???l?? l?b,l?c?

3、線面垂直的方法：要證線面垂直，只需證線線垂直。

4、證明線線垂直的常見方法：

A、有題目條件給出線線垂直

B、由勾股定理計算得到垂直

C、由已知的線面垂直得到線線垂直

D、從已知條件中挖掘出垂直（例如，等腰三角線的中線垂直底邊；長方體中的棱和底面垂直；菱形的對角線垂直；底邊為直徑，頂點在圓周的三角形的兩邊垂直------

5、證明線面垂直時候要注意的問題：

A、該做輔助線的要做出準確的輔助線

B、找準“兩條相交直線”

C、題目沒有給圖的要根據(jù)題意畫出標準的圖形

一、選擇題

1.給出下述命題，其中正確命題的個數(shù)為()

(1)和同一個平面平行的兩直線互相平行；

(2)和同一個平面垂直的兩直線互相平行；

(3)和同一個平面所成角相等的兩直線互相平行；

(4)一條在平面內(nèi)，另一條和這個平面平行，則這兩條直線互相平行.A.0個B.1個C.2個D.3個

2.a與面α所成角為60°，b?α，則a、b所成角的范圍是()A.［0°，90°］B.［30°，90°］C.［60°，90°］D.［60°，120° ］

3.已知∠ABC=90°，BC∥平面α,AB與平面α斜交，那么∠ABC在平面α內(nèi)的射影是

()

A.銳角B.直角C.銳角或直角D.銳角或直角或鈍角

4.正六邊形ABCDEF的邊長是a，PA垂直于正六邊形ABCDEF所在平面，且PA=a，則PE與AB所成 的角為()

A.45°B.60°C.90°D.以上都不對

5.已知Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi)，而直角邊AB、AC分別與α成30°、45°角，則斜邊上的高AD與平α所成的角為()

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.若平面α外的兩條直線在α內(nèi)的射影是同一條直線，則這條直線的位置關(guān)系是

()

A.異面B.平行C.相交D.相交或平行

7.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，則P到BC的距離是()A.B.2C.3D.48.已知△ABC所在的平面α外一點P到△ABC各邊的距離相等，O是P在△ABC內(nèi)的射影，則O是△ABC的()

A.外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

9.P

所在平面外一點，若P到四邊的距離都相等，則ABCD是()

A.正方形B.長方形C.有一個內(nèi)切圓D.有一個外切圓

10.如果∠ABC=∠BPC=∠CPA=60°，則PA與面PBC所成角的余弦值為()

A.1263B.C.D.2263

3二、填空題

11.線段AB的兩端點到平面α的距離分別是5cm和9cm，則線段的中點到α的距離是.12.∠BAC=90°且在平面α內(nèi)，P在α外，PA=23，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，PE=PF=17，則P到平面α的距離為.13.AB∥平面α，AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，點C、D在平面α內(nèi)，A1D=6，B1 C=4，AD+BC=22，則AB到平面α的距離是.14.AC與BD是空間四邊形ABCD的兩條對角線，若AB=AD，CB=CD，則AC與BD所成角的大小是.15.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB邊上的一個動 點，則PM的最小值為.16.正三角形ABC邊長為a，AD⊥BC于D，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=90°，這時B到AC的距離 為.三、證明與計算

17.已知P是△ABC所在平面外一點，PA⊥BC,PB⊥AC,求證：PC⊥AB.18.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，期棱長為a.(1)求證BD⊥截面AB1C；

(2)求點B到截面AB1C的距離；

(3)求BB1與截面AB1C所成的角的余弦值。

19.在平面α內(nèi)有△ABC，在平面α外有點S，斜線SA⊥AC，SB⊥BC,且斜線SA、SB與平面α所成角相等。

(1)求證：AC=BC

(2)又設(shè)點S到α的距離為4cm,AC⊥BC且AB=6cm,求S與AB的距離。

20.已知：S為△ABC平面處一點，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC(如下左圖)。

求證：AB⊥BC。

21.在棱錐V-ABC中，VA⊥VC，VB⊥VC(如上右圖)。

(1)求證：VC⊥AB；

(2)若CD是底面△CAB邊AB上的高，求證：VD⊥AB。

第二篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點,求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質(zhì)來證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質(zhì)上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關(guān)系中正確的序號

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第三篇：2012高一數(shù)學(xué)必修二立體幾何的線面垂直

2012必修二立體幾何的線面垂直

1．如圖，四面體ABCD中，AD?平面BCD，E、F分別為AD、AC的中點，BC?CD． 求證：（1）EF//平面BCD（2）BC?平面ACD．

2.如圖，P為?ABC所在平面外一點，PA?平面ABC，?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F PF求證：（1）BC?平面PAB；

（2）AE?平面PBC；

（3）PC?平面AEF．

BAEC3、如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求證：AC⊥平面B1D1DB;（2）求證：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱錐B-ACB1體積．

D

1A

D

C

B

C1

A1

B14、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.求證：（１）C1O∥面AB1D

1DABBC1

?面AB1D1．（2）AC1

C

?

5．如圖，在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90，AP?BP?AB，PC?AC．求證：PC?AB；

P

A B

C

6.如圖，在三棱錐S-ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?，證明SC⊥BC

7.如圖9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點． 求證：MN⊥AB．

8.如圖：在斜邊為AB的Rt△ABC中，過點A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，（１）求證：BC⊥平面PAC；（２）求證：PB⊥平面AEF.PE

F

A

B

C2

9.如圖：PA⊥平面PBC，AB＝AC，M是BC的中點，求證：BC⊥PM.P

A

B

第四篇：線面垂直高考題

高考真題演練：

(2012天津文數(shù)).（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理數(shù)）（本小題滿分13分）P如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面

直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.C

D

（2010年安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，?BFC?90?,BF=FC，H為BC的中點.（I）求證：FH//平面EDB；

（II）求證：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理數(shù))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大?。?/p>

(III)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由

（2012遼寧）如圖，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，[來源:學(xué)科網(wǎng)]

///?

AB?AC??AA/,點M，N分別為A/B和B/C/的中點。

(Ⅰ)證明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角A?MN?C為直二面角，求?的值。

（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1E分別是棱BC，11，D，上的點（點D 不同于點C），且AD?DE，F(xiàn)為B1C1的中點． A1求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點。（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），（1）當(dāng)BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時，設(shè)點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小

（2012廣東），在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點。（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長；若不存在，說明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長。

（2012大綱全國卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面圖形ABB1AC11C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?

4，AB?AC?，A1B1?A1C1?BC和B1C1折疊，使?ABC

與?A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接AA1,BA1,CA1,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。

（Ⅰ）證明：AA1?BC；（Ⅱ）求AA1的長；（Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。

第五篇：線面垂直教案

2012第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案

線面垂直、面面垂直

教學(xué)目標：掌握線面垂直、面面垂直的證明方法，并能熟練解決相應(yīng)問題.（一）主要知識及主要方法：

【思考與分析】要證明線面垂直，我們可以把它轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，這道題可以通過證明A1C與平面C1BD內(nèi)兩條相交直線BD，BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直，可利用三垂線定理的三步曲證明．基礎(chǔ)平面分別取下底面及右側(cè)面．

1.線面垂直的證明：?1?判定定理；?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于

這個平面；?3?一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面；?4?兩個平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.?5?如果兩個相交平面都與第三個平面垂直,那么它們的交線與第三個平面垂直.P A?6?向量法：

???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0

PQ??????? ???????????????

???PQ?AC?PQ?AC?0

CQ

2.面面垂直的證明：?2?如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,?1?計算二面角的平面角為90? ；

那么這兩個平面垂直;

題型講解證明線線垂直

三垂線定理與平面的位置無關(guān)，即對水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過實例來體驗“三步曲”的具體應(yīng)用過程．

例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心．

【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我們想到應(yīng)用三垂線定理.分三步進行：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．

證明：因為P在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結(jié)CO并延長交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O(shè)是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時，首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理，然后運用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識.(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對角線A1C⊥平面C1BD．

證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個步驟，而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點D1，連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點評：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點評：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

練習(xí)：

1.以AB為直徑的圓在平面?內(nèi)PA⊥?于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

PA???

BC????

?PAAB為直徑?AC?BC

??

????AF?面PAC

??

??AF?PC

??

?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?

?AE?PB???PB?AEF

cos?BAC?

AB2?AC2?BC

22?AB?AC ?

a2?b2?a2?c2?b2?c2

2?AB?AC

?

a

a2?b2?a2?c2

?0

?BAC為銳角，同理?ABC為銳角?。

P在底面射影為?ABC垂心。

BC?面ABC??

PA?BC?

? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?

??Q為?ABC垂心

同理?AC?BQ?

?

?CQ?AB?

??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC

同理A、B5.如圖，?B?AAA?//BB?確定平面?

????A?B??

??AB?????AB//AB??

?

??AB//?????AB?AA??

?

??AB?面AA?CAA??A?B?

??

??

AB?AC

??

?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角

證明面面垂直

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

5?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一

點，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC． 點評：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結(jié):

1垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為0

2面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時侯將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問題，也許會給你帶來意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 AB

CD 答案：B①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析：①錯誤與平面相交如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CG∥AB交平面β于G，連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點，則EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③錯誤直線n可能在平面α內(nèi)④正確AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3三點重合，重合后的點記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點，則下列關(guān)系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選答案：C 5ABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們在α的同側(cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連結(jié)CG交

AB于中點E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時，有A1C⊥B1D1認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則（1）A點到CD1的距離為________；（2）A點到BD1的距離為________；

（3）A點到面BDD1B1的距離為_____________；（4）A點到面A1BD的距離為_____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為__________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案：（1）

解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD證明：連結(jié)MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：當(dāng)a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當(dāng)a=2時，BD⊥平面PAC（2）證明：當(dāng)a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結(jié)AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4點評：本題的解決中充分運用了平面幾何的相關(guān)知識因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識的運用事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點，求PM的最小值解：∵P是定點，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2?CM2=?

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結(jié)為a為何值時，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形-4-