第一篇：立體幾何第六講面面垂直練習(xí)題(含答案)

第六節(jié)面面關(guān)系

(一)平行

(二)垂直

11．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱

2AA1的中點(diǎn)

(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.C

A1 1D

2．【2012高考江西文19】（本小題滿分12分）

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，DE=4.現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合與點(diǎn)G，得到多面體CDEFG

.B

（1）求證：平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面體CDEFG的體積。

3.如圖，已知空間四邊形

是AB的中點(diǎn)。

求證：（1）AB?平面CDE;（2）平面CDE?平面ABC。

4.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn).（1）求證：AC1//平面BDE； 中，BC?AC,AD?BD，EB E C D

（2）求證：平面A1AC?平面BDE.5.已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD是菱形，?DAB?60?,PD?平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn).（1）證明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

第六節(jié)面面關(guān)系答案

（一）平行

（二）垂直

1.【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計(jì)

算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡(jiǎn)單題.CC1?AC?C,∴BC?面ACC1A1,又【解析】（Ⅰ）由題設(shè)知BC⊥CC1,BC⊥AC，∵DC1?面ACC1A1，∴DC1?BC,由題設(shè)知?A1DC1??ADC?45,∴?CDC1=90,即DC1?DC, 又∵DC?BC?C,∴DC1⊥面BDC,∵DC1?面BDC1，∴面BDC⊥面BDC1；

（Ⅱ）設(shè)棱錐B?DACC1的體積為V1，AC=1，由題意得，V1=?由三棱柱ABC?A1B1C1的體積V=1，∴(V?V1):V1=1:1，∴平面BDC1分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，則折疊完后EG=3，GF=4，又因?yàn)镋F=5，所以

可得EG?GF

又因?yàn)镃F?底面EGF,可得CF?EG，即EG?面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.過G作GO垂直于EF，GO 即為四棱錐G-EFCD的高，所以所求體積為（12）11

211?2

1?1?1=，232

S正方形DECF?GO??5?5??20

53.證明：（1）

BC?AC?

??CE?AB

AE?BE?

同理，AD?BD?

??DE?AB

AE?BE?

又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC 4.證明：（1）設(shè)AC?BD?O，∵E、O分別是AA1、AC的中點(diǎn)，?A1C∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?A1C∥平面BDE 又AC1

（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，平面A1AC

5.（1）證明：連接BD.AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?

?AB?AD,?DAB?60?,??ADB為等邊三角形.?E是AB中點(diǎn)，?AB?DE.?PD?面ABCD，AB?面ABCD，?AB?PD.?DE?面PED，PD?面PED，DE?PD?D,?AB?面PED.?AB?面PAB，?面PED?面PAB.（2）解：?AB?平面PED，PE?面PED，?AB?PE.連接EF，?EF?PED，?AB?EF.??PEF為二面角P—AB—F的平面角.設(shè)AD=2，那么PF=FD=1，DE=3.在?PEF中,PE?7,EF?2,PF?1,?cos?PEF?

(7)2?22?12?2?57, 14

.14

即二面角P—AB—F的平面角的余弦值為

第二篇：專題二：立體幾何---線面垂直、面面垂直匯總

專題二：立體幾何---線面垂直、面面垂直

一、知識(shí)點(diǎn)

（1）線面垂直性質(zhì)定理

（2）線面垂直判定定理

（3）面面垂直性質(zhì)定理

（2）面面垂直判定定理

線面垂直的證明中的找線技巧

通過計(jì)算，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直

M為CC1 的中點(diǎn)，1．如圖1，在正方體ABCD?AAC交BD于點(diǎn)O，求證：AO?1BC11D1中，1平面MBD．

證明：連結(jié)MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2?a2． 2492222AM?a．∵AO

在Rt△AC中，∴M?MO2?AM1111142設(shè)正方體棱長為a，則A1O?A1O?OM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

評(píng)注：在證明垂直關(guān)系時(shí)，有時(shí)可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計(jì)算來證明．

利用面面垂直尋求線面垂直

2．如圖2，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAC．

證明：在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于D．

因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性質(zhì)，得AD⊥平面PBC．

又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

評(píng)注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直?線面垂直?線線垂直．

一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關(guān)系為：線線垂直判定判定????線面垂直???????面面垂直．這三者之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面?????性質(zhì)性質(zhì)

推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理．同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明問題．下面舉例說明．

3．如圖１所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．求證：AE?SB，AG?SD．

證明：∵SA?平面ABCD，B?BC，C?AE．

∴SA?BC．∵A∴BC?平面SAB．又∵AE?平面SAB，∴B∵SC?平面AEFG，∴SC?AE．∴AE?平面SBC．∴AE?SB．同理可證AG?SD． 評(píng)注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化．

4．如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連結(jié)CF，DF．

∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．

∵CD?平面CDF，∴CD?AB．

又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．

評(píng)注：本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復(fù)，直到證得結(jié)論．

5．如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．

證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴AC?BC． ∵PA?平面ABC，BC?平面ABC，∴PA?BC．∴BC?平面APC． ∵BC?平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

評(píng)注：證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系．

10．如圖, 在空間四邊形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN?SB于N, AM?SC于M。求證: ①AN?BC;②SC?平面ANM 分析: ①要證AN?BC, 轉(zhuǎn)證, BC?平面SAB。

②要證SC?平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線, 即證SC?AM, SC?AN。要證SC?AN, 轉(zhuǎn)證AN?平面SBC, 就可以了。證明: ①∵SA?平面ABC

∴SA?BC

又∵BC?AB, 且AB?SA = A

∴BC?平面SAB ∵AN?平面SAB ∴AN?BC

②∵AN?BC, AN?SB, 且SB?BC = B ∴AN?平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN?SC

又∵AM?SC, 且AM?AN = A ∴SC?平面ANM ［例2］如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

圖9—40（1）求證：AB⊥BC；（1）【證明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影為SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．

求證：平面MND⊥平面PCD 【證明】取PD中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EA，則EN AM，∴四邊形ENMA是平行四邊形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，從而MN⊥平面PCD，∵M(jìn)N?平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證MN⊥平面PCD較困難，轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面PCD就較簡(jiǎn)單了．另外，在本題中，當(dāng)AB的長度變化時(shí)，可求異面直線PC與AD所成角的范圍．

12CD ［例4］如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點(diǎn)．

圖9—42 求證：平面MNF⊥平面ENF．

【證明】∵M(jìn)、N、E是中點(diǎn)，∴EB1?B1N?NC1?C1M∴?ENB1??MNC1?45? ∴?MNE?90?即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN?平面A1C1∴MN⊥NF，從而MN⊥平面ENF．∵M(jìn)N ?平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，且PA=AB．

圖9—45（1）求證：平面PCE⊥平面PCD；（2）求點(diǎn)A到平面PCE的距離．（1）【證明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA為二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜邊PD的中點(diǎn)F，則AF⊥PD，∵AF ?面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中點(diǎn)G，連GF、AG、EG，則GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四邊形AGEF為平行四邊形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG ?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC于H，則FH⊥平面PEC ∴FH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離．在△PFH與 △PCD中，∠P為公共角，F(xiàn)HPF?PC，設(shè)AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PD?CD?8?4?23，22266?2?3∴A到平面PEC的距離為3． ∴FH=23

【拓展練習(xí)】

一、備選題

1．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC．（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面．

（1）【證明】∵C是AB為直徑的圓O的圓周上一點(diǎn)，AB是圓O的直徑 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC． ∵BC ?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面邊長為a，D，E分別是BB′，CC′上的一點(diǎn)，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求證：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面積．

（1）【證明】分別取A′C′、AC的中點(diǎn)M、N，連結(jié)MN，則MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M(jìn)為A′C′中點(diǎn)，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′． 設(shè)MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622a?a?a224＝×．

二、練習(xí)題

第三篇：線面垂直與面面垂直垂直練習(xí)題

2012級(jí)綜合和高中練習(xí)題

2.3線面垂直和面面垂直

線面垂直專題練習(xí)

一、定理填空：

1.直線和平面垂直

如果一條直線和，就說這條直線和這個(gè)平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

線面垂直判定定理： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.判定定理1：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么判定定理2：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么.線面垂直性質(zhì)定理：

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行.性質(zhì)定理1：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行。

二、精選習(xí)題：

1.設(shè)M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)命題：

①a//b?a?M?a?M?a//M?②③b∥M④??b?M?a//b?????b⊥M.a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正確的命題是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()

第3題圖

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.設(shè)a、b是異面直線，下列命題正確的是()

A.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a、b都相交

B.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和a、b都垂直

C.過a一定可以作一個(gè)平面與b垂直

D.過a一定可以作一個(gè)平面與b平行

4.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三個(gè)命題：

①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；

②過平面α的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與α垂直；

③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個(gè)平面與b都不垂直

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3 6.設(shè)l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

① 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，其中真命題的序號(hào)是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側(cè)面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

8.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．

10.如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.11.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面.解：已知a∥b，a⊥α.求證：b⊥α.12.已知點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥BC，PC⊥AB，求證：PB⊥AC.13.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.14.如圖，四面體A—BCD的棱長都相等，Q是AD的中點(diǎn)，求CQ與平面DBC所成的角的正弦值.15.如圖11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求證：D1C⊥AC1；

（2）設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由.16.如圖12，在正方體ABCD—A1B1C1D1，G為CC1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心.求證：A1O⊥平面GBD.17.如圖，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，線段AB與兩異面直線a、b垂直且相交，線段AB的長為定值m，定長為n（n＞m）的線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)分別在a、b上移動(dòng)，M、N分別是AB、PQ的中點(diǎn).求證：（1）AB⊥MN；（2）MN的長是定值.18.如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).（1）求證：AC⊥BC1;

（2）求證：AC1∥平面CDB1.面面垂直專題練習(xí)

一、定理填空

面面垂直的判定定理：面面垂直的性質(zhì)定理：

二、精選習(xí)題

1、正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角后，AB與CD所成的角等于

2、三棱錐P?ABC的三條側(cè)棱相等，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一條直線與兩個(gè)平面所成角相等，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為______________

4、在正三棱錐中，相鄰兩面所成二面角的取值范圍為___________________

5、已知??l??是直二面角，A??,B??,A、B?l，設(shè)直線AB與?成30角，AB=2，B

?

到A在l上的射影N，則AB與?所成角為______________.6、在直二面角??AB??棱AB上取一點(diǎn)P，過P分別在?,?平面內(nèi)作與棱成 45°角的斜線PC、PD，則∠CPD的大小是_____________

7、正四面體中相鄰兩側(cè)面所成的二面角的余弦值為___________________.8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

C1

C

A

B10、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)舉出反例．

A

C

B

第四篇：面面垂直習(xí)題（模版）

例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過E

作EF⊥PA于F，連接BF

∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設(shè)PC=1,由E是AC的中點(diǎn)，?BE?

32,EF?

12sin45?0B

24?tg?BFE

?BE

EF?6

例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:

AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

?平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC

(1)求證：AB?BC ；

(2)若設(shè)二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小

S

E

a

A 2aC

已知線段AB的兩端點(diǎn)在直二面角??CD??的兩個(gè)面內(nèi),且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角

C

如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點(diǎn)，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD

G C

E B

第五篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，p到A,B,C三點(diǎn)的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因?yàn)閜到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因?yàn)榻荁AC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。