第一篇：一元二次方程的實踐與探索

一元二次方程的實踐與探索

本人在班上了一節(jié)一元二次方程的實踐與探索的探索課，其中產(chǎn)生了一些思考。

本節(jié)內(nèi)容的知識目標是探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，運用二元一次方程的知識進行描述和解決；能力目標是能選擇、處理數(shù)學(xué)信息，并做出合理的推斷或大膽的猜測；能結(jié)合具體情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題；嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，并能有效解決問題，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。情感目標是樂于接受生活中的數(shù)學(xué)信息，積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點，能從交流中獲益。本節(jié)的教學(xué)重點是通過創(chuàng)設(shè)探索情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。教學(xué)難點是數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，進而用數(shù)學(xué)知識來解決問題。

問題設(shè)置如下：某球迷協(xié)會組織36名球迷擬租乘汽車赴比賽場地，為首次打進世界杯決賽圈的國家足球隊加油助威。可租用的汽車有兩種：一種每輛可乘8人，另一種每輛可乘4人，要求租用的車子不留空位也不超載。

（1）請你探求所有的可行性方案。

（2）請?zhí)砑右粋€條件使之只有一種方案可行，并把它解答出來。

因本題需要學(xué)生自行建模，而大多學(xué)生只是枚舉第一問的答案。對于學(xué)生的解答，請同學(xué)們作評價。教師適時調(diào)控，如：“你有什么理由說明你的答案就是正確的呢？確定沒有遺漏？事實上，學(xué)生在教師質(zhì)疑下產(chǎn)生自我批判，啟發(fā)數(shù)學(xué)思考。學(xué)生開始主動尋求更為正確嚴謹?shù)姆绞竭M行求解。

生1：（1）設(shè)租用8人座車x輛，4人座車y輛，依題意得:

8x+4y=36

x,y是非負整數(shù)，??x?0?x?1?x?2?x?3?x?4，?，?，?，?，?y?9?y?7?y?5?y?3?y?1

答：只有五種方案。分別是租9輛4人座車，或者1輛8人座車7輛4人座車，或者2輛8人座車5輛4人座車，或者3輛8人座車3輛4人座車，或者4輛8人座車1輛4人座車。

生2：（2）條件添加來兩種車輛租用數(shù)量一樣

?8x?4y?36依題意得： ? x?y?

解之得： ??x?3 ?y?3

答：租用8人座車和4人座車各3輛。

生3：……

選用的問題是精心設(shè)計的學(xué)生較易接受的題目背景，這樣在教學(xué)中學(xué)生容易產(chǎn)生親切感，有利于教學(xué)活動的開展。但是對于比較難的題型或知識，應(yīng)該事先布置給學(xué)生作預(yù)習(xí)，這樣將有助于課堂教學(xué)和學(xué)生更深層次的理解。

第二篇：一元二次方程與證明題

一元二次方程與證明題

班級姓名

一．填空題

1.一元二次方程x=16的解是

2.若關(guān)于x的一元二次方程x2?(k?3)x?k?0的一個根是?2，則另一個根是______．

3．某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元．設(shè)平均每月降價的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是．

4.某果農(nóng)2006年的年收入為5萬元，由于黨的惠農(nóng)政策的落實，2008年年收入增加到7.2萬元，則平均每年的增長率是__________.5．一元二次方程x2?mx?3?0的一個根為?1，則另一個根為．

6、△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A＝＿＿＿＿。

7、如果等腰三角形的底角為15°，腰長為6cm，那么這個三角形的面積為＿＿＿＿＿＿。

8、矩形的兩邊長分別是 3cm 和 4cm，則對角線長＿＿＿＿cm。

９、等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為 15cm，19cm，則它的腰長為＿＿＿＿＿。

10、如果矩形一條較短的邊是 5，兩條對角線的夾角是 60°，則對角線長是＿＿＿＿。

二．選擇題

11.三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2?12x?35?0的根，則該三角形的周長為（）

A．14B．12C．12或14D．以上都不對

12．為了美化環(huán)境，某市加大對綠化的投資．2007年用于綠化投資20萬元，2009年用于綠化投資25萬元，求這兩年綠化投資的年平均增長率．設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長率為x，根據(jù)題意所列方程為（）

A．20x?2

5222B．20(1?x)?25 2C．20(1?x)?25D．20(1?x)?20(1?x)?25

213．已知x?2是一元二次方程x?mx?2?0的一個解，則m的值是（）

A．?3B．

32C．0D．0或3 14.若關(guān)于x的一元二次方程kx?2x?1?0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是

(A)k??1(B)k??1且k?0(c)k?1(D)k?1且k?0

15.（2009山西省太原市）用配方法解方程x?2x?5?0時，原方程應(yīng)變形為（）

A．?x?1??6

C．?x?2??9 222B．?x?1??6 D．?x?2??92216、如圖，□ABCD中，對角線AC、BD相交于O點，則圖中全等的三角形共有（）

A、1對B、2對C、3對D、4對

D C

17.已知一直角三角形的周長是 4＋2 2，則這個三角形的面積是()A、5B、3 C、2 D、118、符合下列條件的四邊形不一定是菱形的是（）A、四邊都相等

B、兩組鄰邊分別相等

D、兩條對角線分別平分一組對角

D B

C

E C D

C、對角線互相垂直平分

19、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BD⊥CD，則∠C＝（）

A、30°B、45°C、60°D、75° 20、如圖，延長正方形ABCD的一邊BC至E，使CE＝

AC，連結(jié)AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是（）A、112.5°B、120°C、122.5°D、135° 三．解下列方程

（1）x2?4x?2?0．（2）x2?2x?3?0

（3）5x2?2x?0（4）x?12x?35?0

四．解答題

1.已知：CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A＝70°∠ABC＝60°求∠BMC的度數(shù)。

2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，且AB＝CD，E是BC中點

求證：△ABE≌△DCE。

3.BE、CD是△ABC的高，F(xiàn)是BC邊的中點，求證：△DEF是等腰三角形。

D

E

C

4.菱形ABCD的對角線交于O點，DE∥AC，CE∥BD，求證：四邊形OCED是矩形。

D E

5.小鵬等同學(xué)在“福田花市”租了個攤位銷售年桔，平均每天可售出20盆，每盆盈利4

4元.除夕將至，他們決定適當降價促銷。觀察發(fā)現(xiàn)：如果每盆降價1元，則每天可多售出5盆年桔，但每天至多能銷售150盆.若每天要盈利1600元，每盆年桔應(yīng)降價多少元？

6.如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點，已知CE⊥BF，垂足為M，求證：（1）

∠EBM=∠ECB；（2）BE=AF.

第三篇：實際問題與一元二次方程

實際問題與一元二次方程

（一）-------傳播問題和比賽問題

列方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）__________（2）__________（3）__________（4）__________（5）__________（6）__________。

1、有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有

點121人患了流感，（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個

人？

（2）如果按照這樣的傳染速度，三輪傳

染后有多少人患流感?

2、有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有

100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是_________，如果不及時控制，第三輪將又有_________人被傳染？

3、某種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出相同數(shù)目的小分支，若小分支、枝干和主干的總數(shù)是73，則每個枝干長出_________個分支？

4、某生物實驗室需培養(yǎng)一群有益菌?，F(xiàn)有

60個活體樣本，經(jīng)過兩輪培植后，總和達到目24000個，其中每個有益菌每一次可分裂出若干個相同數(shù)目的有益菌。（1）每輪分裂中平均每個有益菌可分裂

出多少個有益菌？、（2）按照這樣的分裂速度，經(jīng)過三輪后

有多少個有益菌？

5、（1）參加一次足球比賽的每兩隊之間都

進行兩次比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？

（2）參加一次籃球比賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共要比賽15場，共有多少個隊參加比賽？

6、生物興趣小組的同學(xué)將自己制作的標本

向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，則該興趣小組共有多少名同學(xué)？

7、在某次聚會上，每兩個人都握了一次手，所有人共握手10次，則有多少個人參加這次聚會？

8、某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛

機場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，則這個航空公司共有飛機場多少個？

9、（1）兩個相鄰偶數(shù)的積是168，求這兩個偶數(shù)。（2）兩個連續(xù)偶數(shù)的和為6和8，則這兩個連續(xù)偶數(shù)是________。

第四篇：實際問題與一元二次方程教案

教學(xué)過程

〖活動1〗 問題 通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家學(xué)到了哪些知識和方法？ 教師提出問題，學(xué)生回憶，選一位同學(xué)作答，其他同學(xué)補充.在本次活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注：（1）學(xué)生對列方程解應(yīng)用問題的步驟 是否清楚；（2）學(xué)生能否說出每一步驟的關(guān)鍵和應(yīng)注意問題.（活動1為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個回憶、思考的情景，又是本課一種很自然的引入，為本課的探究活動做好鋪墊）.〖活動2〗 問題 要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm ,寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）.（1）本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？

（2）正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)？（4）列方程并得出結(jié)論.（5）反思解決問題的關(guān)鍵是什么？

教師展示課件，教師提出問題（1）學(xué)生分析，請一位同學(xué)回答，教師在題目中指出數(shù)量關(guān)系.教師提出問題（2）學(xué)生思考，請一位同學(xué)回答，可舉簡單例子說明，最后引導(dǎo)學(xué)生得出正中央矩形的長寬比是9︰7.問題（1）（2）都是幫助學(xué)生更好的理解題意，為后面的解題做以鋪墊.教師提出問題（3）學(xué)生分組討論，選代表上臺演示、回答，每位同學(xué)要著重分析對題目中的數(shù)量關(guān)系的處理方法.問題（3）是活動2的中心環(huán)節(jié)，在本次活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注：（1）學(xué)生對幾何圖形的分析能力；（2）學(xué)生在未知數(shù)的選擇上，能否根據(jù)情況，靈活處理；（3）在討論中能否互相合作；（4）學(xué)生回答問題時的語言表達是否準確.學(xué)生充分的討論，得出多種不同的方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生體會解決問題的方法多樣性.為活動3埋下一個伏筆.教師提出問題（4）學(xué)生分組，分別按問題三中所列的方程來解答，選代表展示解答過程.教師提出問題（5）學(xué)生充分的討論，豐富解題經(jīng)驗.〖活動3〗某校為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑若干條寬度相同的道路,余下部分作草坪,并請全校同學(xué)參與設(shè)計,現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計了一種方案(如圖),根據(jù)兩種設(shè)計方案各列出方程,求圖中道路的寬分別是多少?使圖(1),(2)的草坪面積為540米2.教師展示課件，請一位同學(xué)朗讀題目.教師提出問題，學(xué)生回答方案1，學(xué)生通過探究與討論，活躍了解題思路.教師提出方案（2）學(xué)生思考.因為有活動2的基礎(chǔ)，選一位同學(xué)回答這一組問題即可，如有不完全的地方，教師適當補充.教師做屏幕演示，特別提醒學(xué)生：剩余草坪的面積，是否就是原草坪的面積減去2條路的面積？以引導(dǎo)學(xué)生注意道路重疊部分的處理.活動2是針對活動2的鞏固性練習(xí).《思考》：能不能把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些？ 學(xué)生分組討論，教師指導(dǎo).引領(lǐng)學(xué)生 討論后請一位同學(xué)回答.教師引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個圖形都存重疊部分，但除此之外的剩余部分，第一個圖是一個完整的矩形，易于表示；而第二個圖中分為4塊，所以不容易表示.《思考》是活動3的中心環(huán)節(jié)，以圖形對比的問題為 引導(dǎo)，通過對比兩個圖形的聯(lián)系與區(qū)別，啟發(fā)學(xué)生方案1為模型，構(gòu)建草坪問題的解題思路.學(xué)生分組討論，畫圖，上臺演示.教師與學(xué)生一起評價，總結(jié)圖形變換的基本原則.在本次活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注：（1）學(xué)生的學(xué)習(xí)效果；（2）使學(xué)生充分體會圖形變換的靈活性；（3）學(xué)生對圖形的觀察、聯(lián)想能力；（4）教師要強調(diào)圖形變換中圖形改變、位置改變、關(guān)鍵量不變的原則.在學(xué)生充分的思維活動之后，學(xué)生會自然產(chǎn)生動手實踐的欲望，教師可以給學(xué)生一定的空間去發(fā)揮想象，同時也要注意對圖形變換的指導(dǎo)，可以對部分不太合適的答案也進行一下點評.〖活動4〗 問題 通過本課的學(xué)習(xí)，大家有什么新的收獲和體會？

〖活動5〗當堂測試

布置作業(yè)： 教科書53頁，習(xí)題21.3第5、8題;教科書58頁，復(fù)習(xí)題21第7、10題，教師應(yīng)重點關(guān)注：

第五篇：21.3.1 實際問題與一元二次方程

21.3.1 實際問題與一元二次方程（1）

學(xué)習(xí)目標：

1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型．并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理．

2.經(jīng)歷將實際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系，并能運用一元二次方程對之進行描述。

3.通過解決傳播問題，學(xué)會將實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應(yīng)用意識．

4.通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價值，了解數(shù)學(xué)對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用． 重點、難點

重點：列一元二次方程解有關(guān)傳播問題、平均變化率問題的應(yīng)用題 難點：發(fā)現(xiàn)傳播問題、平均變化率問題中的等量關(guān)系

【課前預(yù)習(xí)】（閱讀教材P45 — 46 , 完成課前預(yù)習(xí)）探 究：

問題1：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

分析：

1、設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染了_______人，第一輪后共有______人患了流感；

2、第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了_______人，第二輪后共有_______人患了流感。則：列方程

，解得

即平均一個人傳染了 個人。

再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？

問題2：兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？（精確到0.001）

絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，?乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，?乙種藥品成本的年平均下降額較大．

相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計算來說明這個問題．

分析：①設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為 元，兩年后甲種藥品成本為 元． 依題意，得

解得：x1≈，x2≈。

根據(jù)實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為。

②設(shè)乙種藥品成本的平均下降率為y．則，列方程：

解得： 答：兩種藥品成本的年平均下降率 ．

思考：經(jīng)過計算，你能得出什么結(jié)論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應(yīng)怎樣全面地比較幾個對象的變化狀態(tài)？

【課堂活動】

活動1：預(yù)習(xí)反饋，分析問題

活動2：典型例題，初步應(yīng)用 例1：某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個支干長出多少小分支？

例2：青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2003年平均每公頃產(chǎn)8460kg，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率.活動3：歸納小結(jié)

1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟:(1)“設(shè)”，即設(shè)_____________，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；(2)“列”，即根據(jù)題中________ 關(guān)系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_________；(4)“檢驗”，即驗證是否符合題意；(5)“答”，即回答題目中要解決的問題。2.增長率=（實際數(shù)-基數(shù)）/基數(shù)。平均增長率公式：Q?a(1?x)其中a是增長（或降低）的基礎(chǔ)量，x是平均增長（或降低）率，2是增長（或降低）的次數(shù)。

【課后鞏固】

1．某次會議中，參加的人員每兩人握一次手，共握手190次，求參加會議共有多少人？

2．生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學(xué)，那么根據(jù)題意列出的方程是（）

A．x（x+1）=182

B．x（x-1）=182

C．2x（x+1）=182

D．x（1-x）=182×2 3．一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（）．

A．12人

B．18人

C．9人

D．10人

4.學(xué)校組織了一次籃球單循環(huán)比賽（每兩隊之間都進行了一次比賽），共進行了15場比賽，那么有幾個球隊參加了這次比賽？

5.參加一次足球聯(lián)賽的每兩個隊之間都進行兩次比賽（雙循環(huán)比賽），共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？

6．兩個連續(xù)偶數(shù)的積為168，求這兩個偶數(shù).7.某商品原來單價96元，廠家對該商品進行了兩次降價，每次降低的百分數(shù)相同，現(xiàn)單價為54元，求平均每次降價的百分數(shù)？

8.某銀行經(jīng)過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（結(jié)果精確到0.01﹪）

9.一個直角三角形的兩條直角邊的和是14 cm，面積是24 cm2，求兩條直角邊的長。

10.一個菱形兩條對角線長的和是10cm，面積是12 cm2，求菱形的周長。