第一篇：2012-2013微積分(下)要點

2012-2013（2）《微積分（下）》重要知識點

第7章

向量的數(shù)量積、向量積；

平面方程，直線方程

第8章

多元復(fù)合函數(shù)偏導數(shù)（具體函數(shù)要求到二階、抽象函數(shù)要求到一階）； 全微分；

多元函數(shù)的極值與最值——拉格朗日乘數(shù)法

第9章

在直角坐標下計算二重積分；

在極坐標下計算二重積分

第10章

級數(shù)基本概念與性質(zhì)；

常數(shù)項級數(shù)：正項級數(shù)、交錯級數(shù)收斂性判別；

冪級數(shù)：收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域

第11章

一階微分方程：可分離變量微分方程、一階線性微分方程；

二階微分方程：線性微分方程解的結(jié)構(gòu)、二階常系數(shù)線性齊次微分方程、簡單的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

第12章

一階常系數(shù)線性齊次、非齊次(f(t)為多項式函數(shù))差分方程

Mathematics程序

第二篇：微積分考試要點

微積分(下)期末考試要點：

1，二元函數(shù)的定義域；

2，二元函數(shù)的極限；

3，二元函數(shù)的全微分；

4，交換二次積分的積分順序；（參考P231頁 例8）

5，冪級數(shù)的收斂區(qū)間；（參考P262頁 例1,2）

6，正項級數(shù)斂散性的判別；

7，微分方程的定義；

8，可分離變量的微分方程；（參考P281頁 例1,2）

9，二階常系數(shù)齊次線性方程的通解；（參考P294頁 例1，2，3）10，一階常系數(shù)線性差分方程的解法；（參考P308頁 例1）11，二元復(fù)合函數(shù)求偏導；（參考P208頁 例1,2）

12，二元隱函數(shù)求偏導數(shù)；（參考P211頁 例9）

13，二元函數(shù)的極值；（參考P216頁 例1）

14，在平面直角坐標系下二重積分的計算；（參考P229頁 例4,5,6）15，一階線性微分方程的解法；（參考P284頁 例4,5）

16，二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法。（參考P296頁 例4,5）

（注意：要點的最后六個是大題，就是11至16。）

第三篇：微積分下冊復(fù)習要點

微積分下冊復(fù)習要點

第七章 多元函數(shù)微分學

1．了解分段函數(shù)在分界點連續(xù)的判別；

2．掌握偏導數(shù)的計算（特別是抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)）必考 3．掌握隱函數(shù)求導（曲面的切平面和法線），及方程組求導（曲線的切線和法平面方程）必考。

4．方向?qū)?shù)的計算，特別是梯度，散度，旋度的計算公式；必考。

5．可微的定義，分段函數(shù)的連續(xù)性及可微性，偏導數(shù)及偏導數(shù)的連續(xù)性。6．多元函數(shù)的極值和最值：無條件極值和條件極值（拉格朗日乘數(shù)法），實際問題的最值。必考。

第八章 重積分

1．二重積分交換積分次序；必考。

2．利用合適的坐標系計算（特別是極坐標）3．三重積分中三種坐標系的合理使用（直角坐標系，柱坐標系，球坐標系）

在使用時特別注意“先二后一法”的運用。必考。

4．重積分的應(yīng)用中曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力的公式，曲面面積為重點。

第九章 曲線曲面積分

1．第一、二類曲線積分的計算公式（特別是參數(shù)方程）；

2．第一、二類曲面積分的計算公式（?？嫉谝活惽娣e分，第二類曲面積分一般用高斯公式）

3．三個公式的正確使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以參考期中考試卷中最后三個題。

4．格林公式中有“奇點”的使用條件及積分與路徑無關(guān)的條件（可能和全微分方程結(jié)合）必考。

第10章 級數(shù)

1．數(shù)項級數(shù)的斂散性的判別：定義，收斂的必要條件，比較判別法及極限形式，比值判別法，根值判別法，萊布尼茲判別法，條件收斂和絕對收斂的概念。

2．冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的計算。（利用逐項求導和逐項積分）必考。

3．將函數(shù)展成冪級數(shù)。（一般利用間接法）必考。

4．將函數(shù)展成傅里葉級數(shù)，系數(shù)的計算公式；狄利克雷收斂定理；幾個詞的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、變量替換）

第11章 常微分方程

1．各種一階微分方程的計算：可分離變量、齊次方程、可化為齊次方程的方程、一階線性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降階的微分方程三種形式，特別注意不顯含x 這種情形。

3．二階非齊次線性微分方程的階的結(jié)構(gòu)：齊次通解+非齊次的一個特解。

4．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的計算：特征方程+待定系數(shù)法（特解的形式）必考。

5．常微分方程的實際應(yīng)用。必考。

第四篇：微積分(下)自我檢查試題集

微積分自我檢查試題集

第二部分微積分下冊

自我檢查試題一

一、填空（每小題3分，滿分15分）

1． 設(shè)f(x?y,x?y)?2x(x2?y2)，則f(x,y)?________________。

2． 曲面ez?z?xy?3?0在點（2，1，0）處的切平面方程為______________________。

3． 微分方程y??ex?y滿足y(0)?1的特解為_________________。

4． 設(shè)f(x)是以2?為周期的函數(shù)，且f(x)???x?1,???x?0，則它的傅立葉級數(shù)在點?1?2x,0?x??

x??處收斂于________________。

5． 函數(shù)f(x)?lnx在x?1處的泰勒級數(shù)為___________________________________。

二、單項選擇（每小題3分，滿分15分）

?x2y22,x?y?0?41．設(shè)函數(shù)f(x,y)??x?y2，在點（0，0）處為（）。

22?0,x?y?0?

（A）f(x,y)連續(xù)，但偏導數(shù)不存在（B）f(x,y)的偏導數(shù)存在但不連續(xù)

（C）f(x,y)連續(xù)且偏導數(shù)存在（D）f(x,y)不連續(xù)且偏導數(shù)不存在2．設(shè)u?2xy?z，則u在點(2,?1,1)處的方向?qū)?shù)的最大值為（）。

（A）26（B）4（C）{?2,4,?2}（D）{2，4，2}

3．曲線積分2L(x3?xy2)dx?(y3?x2y?x)dy，其中L是從O（0，0）經(jīng)A（1，1），B（2，0）到O（0，0）的閉折線，則其值是（）。

（A）2（B）?1（C）0（D）1

4．設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則I?

（A）

（C）?e1dx?lnx0f(x,y)dy 交換積分次序后為（）。e1e0?dy?1elnx0ef(x,y)dx（B）?ydy?f(x,y)dx 1e

0e?lnx0dy?f(x,y)dx（D）?dy?yf(x,y)dx 1

5．設(shè)?是平面x?y?z?4被圓柱面x2?y2?1截出的有限部分，則曲面積分（）。

（A）0（B）

??ydS的值是

?

（C）4（D）?

3三、計算題（每小題7分，滿分42分）

y?2z

1． 設(shè)z?sin(x?)，求。

2?x?y

2． 計算

?

dy?e?xdx。

y

23． 設(shè)D:x?y?x,y?0，求

?

??y

D

x2?y2dxdy。

(?1)n?1

4． 求冪級數(shù)?(x?1)n?1的收斂區(qū)間及和函數(shù)。

n?1n?1

5． 設(shè)?是x2?y2?1,z?0,z?3所圍立體的表面，取外側(cè)，求曲面積分

x(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy。

?

6． 求微分方程y???y?y滿足初始條件y

x?0

?0,y?

x?0

?2的特解。

ex

四、（9分）設(shè)?(1)?e，且曲線積分?[??(x)]ydx?x?(x)dy 在右半平面x?0內(nèi)與積分

xL

路徑L無關(guān)。

（1）求未知函數(shù)?(x)；

（2）計算從點（1，0）到（2，1）的曲線積分的值。

五、（11分）在曲面?:之積為最大。

六、（8分）判別級數(shù)

x?y?z?1 上，求該曲面的切平面，使其在三坐標軸上的截距

?

n?2

?

(?1)nn?(?1)

n的斂散性。

自我檢查試題二

一、填空（每小題3分，滿分15分）

1． 函數(shù)u?(z?2y)x 在點M0(1,0,e)處的梯度為____________________。2． 已知方程x2?y2?z2?2ez確定z?f(x,y)，則dz?________________。

3． 一曲線構(gòu)件L：x2?y2?1上任一點M(x,y)處的線密度?(x,y)?3，則L的質(zhì)量為

________________。

(?3)n?12n4． 冪級數(shù)?x的收斂半徑為________________。

nn?1

?

5． 方程y??y?1的通解為___________________。

二、單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．lim

x?1y?1

sin(x?y)x?y

?().(A)0(B)1(C)2(D)? 2．

。??f(x,y)d?=（）

?x

2x2?y2?1

（A）4dx

0??

dy?

0?x2

f(x,y)dy（B）?dx?f(x,y)dy

?1

?1

（C）

?

?1

?1?x2

f(x,y)dx（D）?dy?

?

1?y2

?1?y2

f(x,y)dx

3．設(shè)f(x)??

?x?1,?2?x?0，且以4為周期，則f(x)的傅立葉級數(shù)在x?5處（）。

?x?1,0?x?2

（A）收斂于3（B）收斂于2（C）收斂于1（D）收斂于0

4．若y1(x),y2(x),y3(x)是二階非齊次線性方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三個線性無關(guān)的特解，C1,C2為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）。

（A）C1y1?C2y2?y3（B）C1(y1?y2)?C2(y1?y3)（B）C1(y1?y2)?C2(y1?y3)?y3（D）C1(y1?y2)?C2(y1?y3)?y3 5．設(shè)k為正常數(shù)，則級數(shù)

?

(?1)nk?nn

n

是（）。

（A）發(fā)散（B）絕對收斂（C）條件收斂（D）斂散性與k有關(guān)

三、計算題（每小題7分，滿分49分）

yx?2z

1． 已知z?xf()?y?()，其中f,?有二階連續(xù)導數(shù)，求。

xy?x?y

2． 設(shè)f((x,y,z)?x2yz3，其中z是由ez?xyz?e?1所確定的x，y的函數(shù)，求fx?(1,1,1)。3． 設(shè)D：xy?1,y?x,x?2所圍，求

x2

()dxdy。??yD

4． 設(shè)?：x2?y2?1,0?z?1位于第一卦限的部分，求

???xydv。

?

5． 計算曲線積分

?

xy?x

L

ds，其中L為y?lnx上點（1，0）和（e，1）間的弧段。

6． 已知 4x3ydx?xf(x)dy 在右半平面內(nèi)是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中f(x)可

導，且f(1)?2，求f(x)及u(x,y)。7． 求微分方程y??ycosx?e?sinx的通解。

四、（8分）求級數(shù)

x4n?1的和函數(shù)，并求其收斂區(qū)間。?n?14n?1

?

???xy

五、（9分）設(shè)F?2xi?2yj，試問將質(zhì)點M從原點沿直線移到直線??1上哪一點時，ab

作功最??？并求最小的功。

六、（4分）若級數(shù)

?a

n?1

?

2n

和

?b

n?1

?

2n

都收斂，求證：

?(a

n?1

?

n

?bn)2收斂。

自我檢查試題三

一、填空（每小題3分，滿分15分）

1． 周期為2的函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)表達式為f(x)?x,?1?x?1，則它的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)在x?

處的值是________________。

2x

2． 設(shè)f(x,y,z)?()z，則df(1,1,1)?__________。_______

y

3． 若二重積分

___。??3d?的積分域D的面積為A，則3A???(3?A)d??__________

D

D

4． 設(shè)L為(x?x0)2?(y?y0)2?R2，則1?ds?_____________。

?

L

5． 微分方程

dyxy

?的通解為______________________。2dx1?x

二、單項選擇（每小題3分，滿分15分）

1．微分方程y???5y??6y?xe2x的特解形式是（）。

（A）ae2x?(bx?c)（B）(ax?b)e2x（C）x(ax?b)e（D）x(ax?b)e 2．設(shè)f(x,y)?(x?y)

xy?

32x

2x，則下列結(jié)果中錯誤的是（）。

（A）fx?(0,1)?3（B）fy?(1,0)?3

（C）f?(1,1)?32（D）fy?(1,1)?16(2?ln2)3．設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則（A）（C）

?

a

。dx?f(x,y)dy?（）

x

?dy?

ay

f(x,y)dx（B）?dy?f(x,y)dx

y

aa

?dy?

ay

a

f(x,ydx（D）?dy?f(x,y)dx

aa

4．設(shè)簡單閉曲線L所圍區(qū)域的面積為S，則S =（）。

xdx?ydyydy?xdx（B）2L2L11

（C）ydx?xdy（D）xdy?ydx

2L2L

（A）

5．設(shè)常數(shù)k?0，則級數(shù)

?(?1)n

n?1

?

k?n

（）。2

n

（A）發(fā)散（B）絕對收斂（C）條件收斂（D）收斂或發(fā)散與k的取值有關(guān)

三、計算題（每小題8分，滿分48分）1． 設(shè)

?z?zxz

?ln，求和。

?x?yzy

2． 求函數(shù)U?x2?y2?z2在曲線x?t,y?t2,z?t3上點（1，1，1）處，沿曲線在該點處的切線正方向（對應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。3． 計算二重積分4． 計算

?y22xedxdy，其中D是曲線和在第一象限所圍區(qū)域。y?4xy?9x??D

xdydz?ydzdx?zdxdy,?

?

?為球面x2?y2?z2?a2的外側(cè)。

x2n

5． 求冪級數(shù)?的和函數(shù)(???x???)。

(2n)!n?0

6． 求微分方程y???2y??e2x?0滿足條件y(0)?1,y?(0)?1的解。

四、應(yīng)用題（每小題9分，滿分18分）

1． 某演出團欲印刷節(jié)目海報5000份，印刷版面大小是96(cm)2，上下各留1cm的空白，左

右各留1.5cm的空白，試問印刷版面長寬各多大，才能耗費最少量的紙張？

2． 一桶內(nèi)有100m的水，現(xiàn)以濃度為2kg/m的鹽溶液用3m/min的速率注入桶內(nèi)，同時，被攪拌均勻的混合溶液以同樣的速率流出。（1）求任一時刻t桶內(nèi)鹽的含量Q；（2）何時桶內(nèi)存鹽100kg？

五、證明題（4分）xdx?ydy

在整個xOy平面除去y的負半軸及原點的開區(qū)域G內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微22

x?y

分，并求出一個這樣的二元函數(shù)。

第五篇：微積分教案

§1.6 微積分基本定理的應(yīng)用

課型：新授課

一．教學目標

1．.會利用微積分基本定理求函數(shù)的積分.2．通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。

二．溫故知新：

1.微積分基本定理 2.定積分的簡單性質(zhì)

3.導數(shù)公式

三．探究導航

探究1 例1．計算下列定積分：（1）?2021311dx；

（2）?(2x?2)dx。

1xx例2．求下列定積分：

?（1）?(3x?4x)dx

（2）?2sin202xdx 2分析：利用定積分的性質(zhì)及微積分基本定理求定積分時，有時需先化簡，再積分！

探究二：??0sinxdx,?sinxdx,?sinxdx。

?02?2?由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 ? 計算定積分的一般步驟：

?(1)把被積函數(shù)能化簡的先化簡，不能化簡的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；

?(2)利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個定積分的和與差； ?(3)分別利用求導公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； ?(4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值； ?(5)計算所求定積分的值．

四．課堂達標練習

A

組

1．?(ex?e?x)dx=（）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．?(3x2?k)dx=10，則k=____________ 023．計算定積分：（1）?(4?2x)(4?x)dx

（2）?02221x2?2x?3dx

x3（3）?

41x(1?x)dx

（4）?(x?21x)2dx

B組

1．計算定積分：

（1）?edx

（2）??4cos2xdx

01?2x6

2．設(shè)m是正整數(shù)，試證下列等式：（1）??sinmxdx?0??

（2）

3．已知f（x）是一次函數(shù)，其圖象過點（3，4）且????cos2mxdx??

?10f(x)dx?1求f（x）的解析式

五．課后作業(yè)

已知f（x）=ax?bx?c且f（1）=2，f?(0)?0，?f(x)dx??4

?121求a，b，c的值