第一篇：2012高數(shù)競(jìng)賽24111報(bào)名表

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）2012高數(shù)競(jìng)賽報(bào)名表

所在學(xué)院:資源學(xué)院學(xué)院負(fù)責(zé)人:

總計(jì)人數(shù):

10負(fù)責(zé)人聯(lián)系電話(huà)：***

第二篇：高數(shù)競(jìng)賽（本站推薦）

高數(shù)

說(shuō)明：請(qǐng)用A4紙大小的本來(lái)做下面的題目（陰影部分要學(xué)完積分之后才能做）

第一章 函數(shù)與極限

一、本章主要知識(shí)點(diǎn)概述

1、本章重點(diǎn)是函數(shù)、極限和連續(xù)性概念；函數(shù)是高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，而極限是高等數(shù)學(xué)研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的主要工具和方法。高等數(shù)學(xué)中的一些的重要概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等，不外乎是不同形式的極限，作為一種思想方法，極限方法貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終。

然而，極限又是一個(gè)難學(xué)、難懂、難用的概念，究其原因在于，極限集現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大矛盾于一身。（1）、動(dòng)與靜的矛盾：極限描述的是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，而人的認(rèn)識(shí)能力本質(zhì)上具有靜態(tài)的特征。（2）無(wú)窮與有窮的矛盾：極限是一個(gè)無(wú)窮運(yùn)算，而人的運(yùn)算能力本質(zhì)上具有有窮的特征。極限就是在這兩大矛盾的運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生，這也是極限難學(xué)、難懂、難用之所在。

連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)研究對(duì)象的一個(gè)基本性質(zhì)，又往往作為討論函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)先決條件，且與函數(shù)的可導(dǎo)性、可積性存在著不可分割的邏輯關(guān)系。

2、從2001年第一屆天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽至今共八屆競(jìng)賽試題分析，函數(shù)極限及其連續(xù)性在有的年份占了比較大的比重，連續(xù)性、極限與導(dǎo)數(shù)、積分等綜合的題目也要引起足夠的重視；從最近幾年的考題也可以看出，有個(gè)別題目是研究生入學(xué)考試題目的原題，如2004年競(jìng)賽試題二為1997年研究生入學(xué)考試題目；2006年競(jìng)賽試題一為2002年研究生入學(xué)考試試題；2005年競(jìng)賽試題一為1997年研究生入學(xué)考試試題等，這也從側(cè)面反映了部分試題難度系數(shù)。

二、證明極限存在及求極限的常用方法

1、用定義證明極限；

2、利用極限的四則運(yùn)算法則；

3、利用數(shù)學(xué)公式及其變形求極限；（如分子或分母有理化等）

4、利用極限的夾逼準(zhǔn)則求極限；

5、利用等價(jià)無(wú)窮小的代換求極限；

6、利用變量代換與兩個(gè)重要極限求極限（也常結(jié)合冪指函數(shù)極限運(yùn)算公式求極限）；（2）利用洛必達(dá)法則求極限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求極限；

8、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

9、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限；

10、利用定積分的定義求某些和式的極限；11先證明數(shù)列極限的存在（常用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則，再利用遞歸關(guān)系求極限）

12、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限等。當(dāng)然，這些方法之間也不是孤立的，如在利用洛必達(dá)法則時(shí)經(jīng)常用到變量代換與等價(jià)無(wú)窮小的代換，這大大簡(jiǎn)化計(jì)算。

對(duì)于定積分的定義，要熟悉其定義形式，如

（二）高數(shù)

極限的運(yùn)算

要靈活運(yùn)用極限的運(yùn)算方法，如初等變形，不僅是求極限的基本方法之一，也是微分、積分運(yùn)算中經(jīng)常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角變換、求和等。

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

（四）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及有關(guān)的證明、極限與導(dǎo)數(shù)、積分等結(jié)合的綜合性題目。

16、（2006年數(shù)學(xué)一）

（五）無(wú)窮小的比較與無(wú)窮小的階的確定常用工具——洛必達(dá)法則與泰勒公式。

高數(shù)

（六）由極限值確定函數(shù)式中的參數(shù)

求極限式中的常數(shù)，主要根據(jù)極限存在這一前提條件，利用初等數(shù)學(xué)變形、等價(jià)無(wú)窮小、必

達(dá)法則、泰勒公式等來(lái)求解。

高數(shù)

四、練習(xí)題

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

高數(shù)

五、歷屆競(jìng)賽試題

2001年天津市理工類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2002年天津市理工類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2003年天津市理工類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

高數(shù)

高數(shù)

2004年天津市理工類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

2005年天津市理工類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

高數(shù)

2007年天津市理工類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

高數(shù)

2010年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽一元函數(shù)微分學(xué)部分試題

一、填空

注：本題為第十屆（1998年）北京市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

二、選擇

三、計(jì)算

四、證明

高數(shù)

首屆中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽區(qū)賽（初賽）試題2009年

一、填空

二、計(jì)算

第三篇：高數(shù)競(jìng)賽策劃書(shū)

河南科技大學(xué)

2011級(jí)“高等數(shù)學(xué)”競(jìng)賽策劃書(shū)

大學(xué)的榮譽(yù)，不在于它的校舍和人數(shù)，而在于它一代又

一代人的質(zhì)量。我想這句話(huà)真正的注解了一個(gè)學(xué)校的內(nèi)涵，今天我們是一個(gè)學(xué)院人，以我們學(xué)院的榮譽(yù)為驕傲。而明天，我們應(yīng)該讓學(xué)院因曾經(jīng)有過(guò)我們而感到欣慰。我院決定面向2011級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行開(kāi)展“高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽”活動(dòng)。具體策劃方案如下：

一、主題

“高等數(shù)學(xué)”競(jìng)賽

二、主辦單位

材料學(xué)院

三、目的和意義

1.通過(guò)競(jìng)賽可以激發(fā)廣大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

2.我院多數(shù)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)課程中涉及較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生

更好的學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)知識(shí)有很大的幫助。

3.通過(guò)競(jìng)賽，使學(xué)生加深學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，有利于

學(xué)生提高邏輯思維能力，提升解決實(shí)際問(wèn)題的素質(zhì)。

4.通過(guò)學(xué)院競(jìng)賽，可以宣傳與擴(kuò)大我院在學(xué)校中的知名度。

四、競(jìng)賽方式與創(chuàng)新點(diǎn)

1.競(jìng)賽以考試的形式進(jìn)行。

2.本次競(jìng)賽將增加學(xué)生以專(zhuān)業(yè)為背景，為以后設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模

并解決問(wèn)題題奠定基礎(chǔ)。

五、競(jìng)賽工作安排

1.張貼宣傳海報(bào)

張貼時(shí)間:4月15日

2.場(chǎng)地申請(qǐng)

3.邀請(qǐng)老師配合出題

4.試卷批改

學(xué)習(xí)委員監(jiān)考并批閱

批閱時(shí)間4月26日（周四）下午5:40

5.賽后衛(wèi)生打掃

六、競(jìng)賽辦法

1.競(jìng)賽對(duì)象

材料學(xué)院2011級(jí)學(xué)生，每班5—10名

2.競(jìng)賽報(bào)名

各班學(xué)生報(bào)名到班級(jí)學(xué)習(xí)委員，然后上報(bào)年級(jí)學(xué)習(xí)委員

3.競(jìng)賽內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)第六版上冊(cè)1/3，下冊(cè)2/3。（難易適中）

4.競(jìng)賽時(shí)間

2012年4月26日（周四）下午3：00---5:00

5.競(jìng)賽地點(diǎn)

開(kāi)元校區(qū)教學(xué)樓五區(qū)416

6.競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)

一等獎(jiǎng)1名：德育分30分+50元獎(jiǎng)品+獎(jiǎng)狀

二等獎(jiǎng)3名：德育分20分+30元獎(jiǎng)品+獎(jiǎng)狀

三等獎(jiǎng)6名：德育分10分+20元獎(jiǎng)品+獎(jiǎng)狀 賽后公示

以板報(bào)或院報(bào)的形式公布

七、競(jìng)賽要求

遵守考試秩序，誠(chéng)信答卷，杜絕作弊。

材料學(xué)院

2012年4月10日

第四篇：極限連續(xù)-高數(shù)競(jìng)賽超好

高數(shù)競(jìng)賽例題

第一講 函數(shù)、極限、連續(xù)

例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.lim1nn??(1?n2???nn).lim1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)n??

limx?0x?3????5?x?，其中[?]為取整函數(shù)

lim1?cosxx2x?0

lim(cosn???n)n2

lim(x??x?ax?a)2x?1e，求常數(shù)a.lim(sinx??2x?cos1x)x

lim[(n?n?n??32n21)en?1?n]

6limln(1?3x)(e2x3x?0?1)sinx2 例10.例11.例12.lim1?tanx?1?sinx2x?0xln(1?x)?x

limln(1?2)ln(1?x??x3x)

limsinx?xcosxsinx3x?0

例13.已知f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim(sin2x?x?0f(x)xx)?2，求 f(0),f?(0).例14.例15.例16.lim(n??nn?12?nn?222???nn?n22)

?2?n??sinsinsin?n?n???nlim?n??11?n?1n?n?2n??????

x???lim[x?x?1?(ax?b)]?0，求常數(shù)a,b.2例17.設(shè)f(x)?nlim???

x2n?1?ax?bxx2n2?1為連續(xù)函數(shù)，求a,b.例18.設(shè)f(x)在(??,??)上連續(xù)，且f(f(x))?x，證明至少??，使得f(?)??.....................................................................................................................極 限

例1.例2.nlim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)

limn???k?1kn?k?122

先兩邊夾，再用定積分定義 例3.例4.例5.設(shè)limx?0 例6.例7.?1x2lim(n?1)nnn?1n??sin1n

lime?e2xsinx2x?0x[ln(1?x?x)?ln(1?x?x)]

ln(1?)f(x)tanx?5，求limx2x?02?1xf(x).12(3sint?tcos)dt?0tlimxx?0(1?cosx)?ln(1?t)dtx0

x???limln(2e2?x?x?1)x?xsinx?1

例8.例9.limexx?0100

x???lim(x?x?x?x)

1例10.xxxlim??a1?a2???an?x?，其中，ax?0?.?n??1,a2?,an均為正數(shù)

例11.已知2nf(x)?limxe(1?x)n?xen??e(1?x)n?x2n?1，求?0f(x)dx.例12.設(shè)10?a?b，求lim?a?n?b?n?nn??

例13.設(shè)f(x)在(??,??)內(nèi)可導(dǎo)，且limf?(x)?ex??，xlim?的值.??x?c???lim[f(x)?f(x?1)]，求cx??x?c?x??

例14.設(shè)f(x)在x?0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且f??(0)?0，x又已知)dtlim?0f(tx?0?x??sinx???0,求?,?.例15.當(dāng)x?1時(shí)，lim(1?x)(1?x2)(1?x4)n?(1?x2)n??

例16.當(dāng)x?0時(shí)，求limxn??cosx2cosx4?cos2n

例17.lim(1?1(1?1n??22)(1?132)?n2)

例18.lim1nn??nn(n?1)?(2n?1)

limf(x)x?0x?0，連 續(xù)

例1.求f(x)?lim

例2.設(shè)g(x)在x?0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim?1g(x2t)dt?1??02?x??1f(x)???2?a?bcosx2?x??x?0x?0x?01?x1?x2n的間斷點(diǎn)，并判斷其類(lèi)型

n??g(x)?1xn?0?a，已知

在x?0處連續(xù)，求a,b的值.例3.證方程ln實(shí)根.例4.f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a?c?d?b，證：在(a,b)內(nèi)至少存在?x?xe???01?cos2xdx在區(qū)間(0,??)內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同，使得pf(c)?qf(d)?(p?q)f(?)，其中p,q為任意正常數(shù).例5.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且x1,x2,?,xn?(a,b)，試證：???(a,b)，使

例6.試證方程x?asin且它不超過(guò)b?a.例7.設(shè)f(x),g(x)在(??,??)上連續(xù)，且g(x)?0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點(diǎn)??[a,b]，使?abf(?)?1n[f(x1)?f(x2)???f(xn)].x?b，其中a?0,b?0，至少存在一個(gè)正根，并

f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab

第五篇：高數(shù)論文

高數(shù)求極限方法小結(jié)

高等數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門(mén)學(xué)科。在從初等數(shù)學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到高等數(shù)學(xué)這種對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過(guò)程中,研究對(duì)象發(fā)生了很大的變化。也正是在這一背景下,極限作為一種研究事物動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法應(yīng)運(yùn)而生。極限，在學(xué)習(xí)高數(shù)中具有至關(guān)重要的作用。眾所周知,高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是微積分,而極限又是微積分的基礎(chǔ),我們不難從此看出極限與高等數(shù)學(xué)之間的相關(guān)性。同時(shí)根限又將高等數(shù)學(xué)各重要內(nèi)容進(jìn)行了統(tǒng)一,在高等數(shù)學(xué)中起到了十分重要的作用。極限的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要也是最基本的概念之一。作為研究分析方法的重要理論基礎(chǔ),它是研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和定積分的工具,極限的思想和方法也是微積分中的關(guān)鍵內(nèi)容。在理解的基礎(chǔ)上,熟練掌握求極限的方法,能夠提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力。下面，我總結(jié)了一些求極限的方法：

一、幾種常見(jiàn)的求極限方法

1、帶根式的分式或簡(jiǎn)單根式加減法求極限：

1）根式相加減或只有分子帶根式：用平方差公式，湊平方（有分式又同時(shí)出現(xiàn)未知數(shù)的不同次冪：將未知數(shù)全部化到分子或分母的位置。）

2）分子分母都帶根式：將分母分子同時(shí)乘以不同的對(duì)應(yīng)分式湊成完全平方式。

2、分子分母都是有界變量與無(wú)窮大量加和求極限：

分子分母同時(shí)除以該無(wú)窮大量以湊出無(wú)窮小量與有界變量的乘積結(jié)果還是無(wú)窮小量。

3、等差數(shù)列與等比數(shù)列求極限：用求和公式。

4、分母是乘積分子是相同常數(shù)的n項(xiàng)的和求極限：列項(xiàng)求和。

5、分子分母都是未知數(shù)的不同次冪求極限:看未知數(shù)的次冪，分子大為無(wú)窮大，分子小為無(wú)窮小或須先通分。

6、利用等價(jià)無(wú)窮小代換： 這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：（1）有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積仍是無(wú)窮小。

（有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。（3）非零無(wú)窮小與無(wú)窮大互為倒數(shù)。（等價(jià)無(wú)窮小代換（當(dāng)求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無(wú)窮代替。）（5）只能在乘除時(shí)使用，但并不是在加減時(shí)一定不能用，但是前提必須證明拆開(kāi)時(shí)極限依然存在。）還有就是，一些常用的等價(jià)無(wú)窮小換

7、洛必達(dá)法則：（大題目有時(shí)會(huì)有提示要你使用這個(gè)法則）

首先它的使用有嚴(yán)格的前提?。。?！

1、必須是X趨近而不是N趨近?。。。ㄋ援?dāng)求數(shù)列極限時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的極限，當(dāng)然，n趨近是x趨近的一種情況而已。還有一點(diǎn)，數(shù)列的n趨近只可能是趨近于正無(wú)窮，不可能是負(fù)無(wú)窮）

2、必須是函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在?。。。偃绺嬖V你g（x），但沒(méi)告訴你其導(dǎo)數(shù)存在，直接用勢(shì)必會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。）

3、必須是0/0型或無(wú)窮比無(wú)窮型?。?！當(dāng)然，還要注意分母不能為零。洛必達(dá)法則分為三種情況： 1、0/0型或無(wú)窮比無(wú)窮時(shí)候直接用 2、0乘以無(wú)窮

無(wú)窮減無(wú)窮（應(yīng)為無(wú)窮大與無(wú)窮小成倒數(shù)關(guān)系）所以，無(wú)窮大都寫(xiě)成無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后就能變成1中的形式了。3、0的0次方

1的無(wú)窮次方

對(duì)于（指數(shù)冪數(shù)）方程，方法主要是取指數(shù)還是對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)，就是寫(xiě)成0與無(wú)窮的形式了。

（這就是為什么只有三種形式的原因）

8.泰勒公式

（含有e的x次方的時(shí)候，尤其是含有正余弦的加減的時(shí)候，特別要注意！?。。?/p>

E的x展開(kāi) sina展開(kāi) cosa展開(kāi) ln（1+x）展開(kāi) 對(duì)題目簡(jiǎn)化有很大幫助

泰勒中值定理：如果函數(shù)f（x）在含有n的某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意x屬于（a，b），有：

F（x）=f（x0）+

+

+

…………

+

+Rn(X)

其中Rn(X)=。。。。。這里的 ke see 是介于x與x0之間的某個(gè)值。

9、夾逼定理

這個(gè)主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，主要看見(jiàn)極限中的通項(xiàng)是方式和的形式，對(duì)之縮小或擴(kuò)大。

10、無(wú)窮小與有界函數(shù)的處理方法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)的時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定注意用這個(gè)方法。

面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù) 可能只需要知道他的范圍結(jié)果就出來(lái)了?。?！

11、等比等差數(shù)列公式的應(yīng)用（主要對(duì)付數(shù)列極限）

（q絕對(duì)值要小于1）

12、根號(hào)套根號(hào)型：約分，注意??！別約錯(cuò)了

13、各項(xiàng)拆分相加：（來(lái)消掉中間的大多數(shù)）（對(duì)付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)。

14、利用兩個(gè)重要極限

這兩個(gè)極限很重要。。對(duì)第一個(gè)而言是當(dāng)X趨近于0的時(shí)候sinx比上x(chóng)的值，第二個(gè)x趨近于無(wú)窮大或無(wú)窮小都有對(duì)應(yīng)的形式

15、利用極限的四則運(yùn)算法則來(lái)求極限

16、求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)求。

17、利用函數(shù)有界原理證明極限的存在性，利用數(shù)列的逆推求極限

（1）、單調(diào)有界數(shù)列必有極限

（2）、單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。

18、直接使用1求導(dǎo)的定義求極限

當(dāng)題目中告訴你F（0）=0，且F（x）的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，就暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)的定義：、（1）、設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在x在x0處取得增量的他x 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量 的他y=f（的他x+x0）-f（x0）。如果 的他y與 的他x之比的極限存在，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）在x0處可導(dǎo)并稱(chēng)這個(gè)極限為這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（2）、在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。

19、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求解

數(shù)列極限中是n趨近，面對(duì)數(shù)列極限時(shí)，先要轉(zhuǎn)化為x趨近的情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種形式而已，是必要條件。（還有數(shù)列的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的）