2020屆江西師大附中高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．已知全集，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】求出中方程的解，確定集合，根據(jù)全集求出的補(bǔ)集，找出與補(bǔ)集的交集即可．

【詳解】

解：由中的方程變形得：，解得：或，即，全集，則，故選：．

【點(diǎn)睛】

此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

2．已知復(fù)數(shù)，則“”是“為純虛數(shù)”的（）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則且，解得，所以“”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件．

故選．

3．已知向量，則向量在上的投影為（）

A．

B．

C．

D．3

【答案】A

【解析】設(shè)向量與的夾角為，求得的值，只根據(jù)向量在上的投影為，計(jì)算求得結(jié)果．

【詳解】

解：由題意可得，，設(shè)向量與的夾角為，則，向量在上的投影為，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，求向量的模的方法，一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的定義，屬于基礎(chǔ)題．

4．某防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，欲采用分層抽樣的辦法抽取樣本，某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個(gè)容量為200的樣本，已知樣本中男生比女生少6人，則該校共有男生（）

A．1030人

B．1050人

C．950人

D．970人

【答案】D

【解析】根據(jù)樣本容量和男生比女生少6人，可得樣本中男生數(shù)，再根據(jù)抽取的比例可得總體中的男生人數(shù)．

【詳解】

解：樣本容量為200，男生比女生少6人，樣本中男生數(shù)為97人，又分層抽樣的抽取比例為，總體中男生數(shù)為人．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的定義，熟練掌握分層抽樣的特征是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

5．在雙曲線中，已知c，a，b成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，可得，由，的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

【詳解】

解：因?yàn)?，成等差?shù)列，可得，即，即為，即，．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查雙曲線的基本量的關(guān)系，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

6．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）

A．8

B．12

C．16

D．20

【答案】D

【解析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，求出底面面積，代入錐體體積公式，可得答案

【詳解】

解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積，高，故體積；

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀，屬于基礎(chǔ)題．

7．將函數(shù)的圖像向右平移（）個(gè)單位長度，再將圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)三角函數(shù)的平移和伸縮變換，求得變換后的解析式；根據(jù)對(duì)稱軸代入即可求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的最小值．

【詳解】

將函數(shù)的圖像向右平移（）個(gè)單位長度，再將圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍后解析式變?yōu)?/p>

因?yàn)閳D像關(guān)于直線對(duì)稱

所以

代入化簡得，k∈Z

所以當(dāng)k=0時(shí)，取得最小值為

所以選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換，三角函數(shù)對(duì)稱軸的應(yīng)用，屬于中檔題．

8．已知圖是下列四個(gè)函數(shù)之一的圖象，這個(gè)函數(shù)是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】令與驗(yàn)證，排除，而中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值恒小于，不符合；選．

【詳解】

解：令與驗(yàn)證，中，，不符合；

中，，不符合；

中，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)值恒小于，不符合；

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的圖象與函數(shù)解析式之間的關(guān)系，從特殊值入手，用排除法解選擇題是有效的方法．

9．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，垂足為A，若直線AF的斜率為，則等于（）

A．8

B．

C．4

D．

【答案】C

【解析】求出直線的方程，求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，利用拋物線的定義即可求的值．

【詳解】

解：拋物線方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，直線的斜率為，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，為垂足，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得點(diǎn)坐標(biāo)為，．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，定義的應(yīng)用，以及曲線交點(diǎn)的求法，利用拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

10．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】通過與作差可得，進(jìn)而可知，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即得結(jié)論．

【詳解】

解：，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，又，數(shù)列為等比數(shù)列，即，，所求值為，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

11．某醫(yī)務(wù)人員說：“包括我在內(nèi)，我們社區(qū)診所醫(yī)生和護(hù)士共有16名.無論是否把我算在內(nèi)，下面說法都是對(duì)的.在這些醫(yī)務(wù)人員中：護(hù)士多于醫(yī)生；女醫(yī)生多于女護(hù)士；女護(hù)士多于男護(hù)士；至少有一名男醫(yī)生.”請(qǐng)你推斷說話的人的性別與職業(yè)是（）

A．男醫(yī)生

B．女醫(yī)生

C．男護(hù)士

D．女護(hù)士

【答案】A

【解析】設(shè)女護(hù)士人數(shù)為，男護(hù)士人數(shù)為，女醫(yī)生人數(shù)為，男醫(yī)生人數(shù)為，根據(jù)已知構(gòu)造不等式組，推理可得結(jié)論．

【詳解】

解：設(shè)女護(hù)士人數(shù)為，男護(hù)士人數(shù)為，女醫(yī)生人數(shù)為，男醫(yī)生人數(shù)為，則有：

①；②；③；④；⑤；

得出：

假設(shè)：

僅有：，，時(shí)符合條件，又因?yàn)槭怪腥我庖粋€(gè)數(shù)減，依然符合條件，只有符合，即為男護(hù)士，假設(shè)：

則沒有能滿足條件的情況

綜上，這位說話的人是男護(hù)士，故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查邏輯推理，考查簡單的合情推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、分析判斷能力，屬于中檔題.12．函數(shù)上任意一點(diǎn)處的切線，在其圖像上總存在異與點(diǎn)A的點(diǎn)，使得在B點(diǎn)處的切線滿足，則稱函數(shù)具有“自平行性”.下列有關(guān)函數(shù)的命題：

①函數(shù)具有“自平行性”；②函數(shù)具有“自平行性”；

③函數(shù)具有“自平行性”的充要條件為實(shí)數(shù)；

④奇函數(shù)不一定具有“自平行性”；⑤偶函數(shù)具有“自平行性”.其中所有敘述正確的命題的序號(hào)是（）

A．①③④

B．①④⑤

C．②③④

D．①②⑤

【答案】A

【解析】根據(jù)已知中函數(shù)具有“自平行性”的定義，逐一分析5個(gè)函數(shù)是否具有“自平行性”，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

【詳解】

解：函數(shù)具有“自平行性”，即對(duì)定義域內(nèi)的任意自變量，總存在，使得．

對(duì)于①，具有周期性，必滿足條件，故①正確；

對(duì)于②，對(duì)任意，不存在，使得成立，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，而時(shí)，解得（舍去）或，則，故③正確；

對(duì)于④，不符合定義，故④正確；

對(duì)于⑤，同④，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，故⑤不正確．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)具有“自平行性”的定義，正確理解函數(shù)具有“自平行性”的定義，是解答的關(guān)鍵．

二、填空題

13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值是.【答案】23

【解析】試題分析：執(zhí)行程序框圖，依次得到，符合條件，輸出，其值為23.【考點(diǎn)】程序框圖.14．在等差數(shù)列中，對(duì)任意正整數(shù)n，都有﹐則________.【答案】2015.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，得到，兩式相減得到，再令，求出，問題得以解決．

【詳解】

解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：2015．

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

15．已知x，y滿足，且的最小值為8，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.【答案】.【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)的最小值為8，確定直線滿足的條件即可得到結(jié)論．

【詳解】

解：設(shè)，則的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，圓心到直線的距離，此時(shí)，滿足的最小值為8，即切點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，即在的上方，的斜率為，的斜率，即的直線方程為，由，解得，即，則滿足，解得，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件確定直線滿足的條件，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于中檔題

16．已知棱長等于的正方體，它的外接球的球心為O﹐點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則過點(diǎn)E的平面截球O的截面面積的最小值為________.【答案】.【解析】當(dāng)過球內(nèi)一點(diǎn)的截面與垂直時(shí)，截面面積最小可求截面半徑，即可求出過點(diǎn)的平面截球的截面面積的最小值．

【詳解】

解：棱長等于的正方體，它的外接球的半徑為3，當(dāng)過點(diǎn)的平面與垂直時(shí)，截面面積最小，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查過點(diǎn)的平面截球的截面面積的最小值及接體問題，找準(zhǔn)量化關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．

三、解答題

17．在中，角，的對(duì)邊分別為，，且滿足.（1）求角的大??；

（2）若，求面積的最大值．

【答案】（1）;（2）

【解析】試題分析：（1）由平面向量的數(shù)量積定義與正弦定理進(jìn)行化簡的值，進(jìn)而求教B;（2）利用余弦定理與基本不等式進(jìn)行求解．

試題解析：（1）由題意得（a－c）cosB＝bcosC．

根據(jù)正弦定理有（sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，所以sinAcosB＝sin（C＋B），即sinAcosB＝sinA．

因?yàn)閟inA>0，所以cosB＝，又B∈（0，π），所以B＝．

（2）因?yàn)閨|＝，所以

即b＝

根據(jù)余弦定理及基本不等式得

6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝（2－）ac（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)），即ac≤3（2＋）．

故△ABC的面積S＝acsinB≤．

【考點(diǎn)】1．正弦定理；2．余弦定理；3．基本不等式．

18．汽車是碳排放量比較大的行業(yè)之一，歐盟規(guī)定，從2015年開始，將對(duì)排放量超過130g/km的型新車進(jìn)行懲罰（視為排放量超標(biāo)），某檢測(cè)單位對(duì)甲、乙兩類型品牌抽取5輛進(jìn)行排放量檢測(cè)，記錄如下（單位：g/km）：

甲

120

140

150

乙

120

x

y

160

經(jīng)測(cè)算發(fā)現(xiàn)，乙品牌車排放量的平均值為.（Ⅰ）從被檢測(cè)的5輛甲類品牌中任取2輛，則至少有一輛排放量超標(biāo)的概率是多少?

（Ⅱ）若乙類品牌的車比甲類品牌的的排放量的穩(wěn)定性要好，求x的范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意逐個(gè)列出從被檢測(cè)的5輛甲類品牌中任取2輛，共有10種不同的排放量結(jié)果及事件包含的結(jié)果，利用古典概型事件的概率公式即可求得；

（Ⅱ）由題意算出甲乙的平均值，并算出方差，利用乙類品牌的車的排放量穩(wěn)定性比甲類品牌的車的排放量的穩(wěn)定性好，建立方程求解．

【詳解】

解：（Ⅰ）從被檢測(cè)的5輛甲類品牌中任取2輛，共有10種不同的排放量結(jié)果：，，，，，設(shè)“至少一輛不符合排放量”為事件，則包含以下種結(jié)果：，，，所以.（Ⅱ）因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所?/p>

由乙類品牌的車的排放量穩(wěn)定性比甲類品牌的車穩(wěn)定性要好，得

即，所以，解得

所以的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的事件的概率，還考查了方差的意義及利用方差意義建立方程，還考查了一元二次方程的求解，屬于中檔題．

19．已知四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的菱形，.（Ⅰ）求證：平面平面PAC；

（Ⅱ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，M為OC的中點(diǎn)，若點(diǎn)M到平面POD的距離為，求的值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）結(jié)合，由面面垂直的判定定理易證；

（Ⅱ）利用等體積法，結(jié)合題目所給條件即可得出所求的值．

【詳解】

（Ⅰ）證明：平面，平面，在菱形中，有，平面，平面，平面，又平面，平面平面

（Ⅱ）解：，在中，有．

在中，，，．的值為．

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，考查等體積法的運(yùn)用，屬于中檔題．

20．如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，.（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)是以原點(diǎn)為圓心，短軸長為半徑的圓，過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，試計(jì)算的值是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，證明見解析.【解析】（Ⅰ）由已知得，數(shù)形結(jié)合求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得，則橢圓方程可求；

（Ⅱ）設(shè)，由，是切點(diǎn)，可知、、、四點(diǎn)共圓．分別寫出以為直徑的圓的方程與圓的方程，聯(lián)立可得所在直線方程求出直線在，軸上的截距，結(jié)合在橢圓上可得的值是定值．

【詳解】

解：（Ⅰ）依題意知：橢圓的長半軸長，則，設(shè)橢圓的方程為

由橢圓的對(duì)稱性知，又，為等腰直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將C的坐標(biāo)代入橢圓方程得

所求的橢圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，由，是的切點(diǎn)知，，、、、四點(diǎn)在同一圓上，且圓的直徑為OP則圓心為，其方程為，即

①

即點(diǎn)，滿足方程①，又點(diǎn)，都在上，坐標(biāo)也滿足方程

②

②①得直線的方程為，令，得，令得，，又點(diǎn)Р在橢圓E上，即為定值.【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．

21．已知為常數(shù)，函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求證：；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．

【答案】(1)

;(2)

.【解析】試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得切線的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函數(shù)，可證；（2）由，先研究函數(shù)，則，由在上是減函數(shù)，可得，通過研究的正負(fù)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性，可求出參數(shù)范圍.試題解析：（1）（），所以切線的斜率，整理得，顯然，是這個(gè)方程的解，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以方程有唯一實(shí)數(shù)解，故．

（2），設(shè)，則，易知在上是減函數(shù)，從而．

①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．

∴在區(qū)間上是減函數(shù)，所以滿足題意．

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)函數(shù)的唯一零點(diǎn)為，則在上遞增，在上遞減，又∵，∴，又∵，∴在內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.從而在遞減，在遞增，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾.∴不合題意．綜上①②得，．

22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t是參數(shù)，），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線和相交于M、N兩點(diǎn)，求以線段MN為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用，，進(jìn)行代換即得曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）聯(lián)立，的方程消去得，求出，圓心，即可得到以線段為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程．

【詳解】

解：（Ⅰ）對(duì)于曲線消去參數(shù)得；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.對(duì)于曲線，則

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，聯(lián)立，的方程消去得，即，圓心為，即，從而所求圓方程為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓和直線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線與圓的位置關(guān)系等基本方法，屬于基礎(chǔ)題．

23．已知函數(shù)定義域?yàn)镽.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

（Ⅱ）若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a，b滿足時(shí)，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由函數(shù)定義域?yàn)?，可得恒成立，利用絕對(duì)值幾何意義求出其最小值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，變形，利用基本不等式的性質(zhì)即可得．

【詳解】

（Ⅰ）定義域?yàn)椋?，根?jù)絕對(duì)值的幾何意義，可得：，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的定義域、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、“乘1法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題