2018-2019學(xué)年師大附中高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．已知集合,則為（）.A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)條件解出集合，再根據(jù)交集的概念即可求出.【詳解】

解：集合，又集合所以.故選：C.【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次方程的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】

解：

A.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但是在定義域內(nèi)不是減函數(shù).B.在定義域內(nèi)為減函數(shù)，但不是奇函數(shù).C.是偶函數(shù)，也不單調(diào)遞減.D.是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，復(fù)合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．函數(shù)與的圖象只可能是下圖中的（）.A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】觀察選項(xiàng)AC，均單調(diào)遞增，則，則直線所過定點(diǎn)在1的上方，選項(xiàng)BD，單調(diào)遞減，則，則直線所過的定點(diǎn)在1的下方且在y軸正半軸上，由此可以判斷選項(xiàng).【詳解】

解：選項(xiàng)AC中，單調(diào)遞增，則，過定點(diǎn)在（0,1）點(diǎn)上方，所以A、C不正確.選項(xiàng)BD中，單調(diào)遞減，則，過定點(diǎn)在（0,1）點(diǎn)下方，所以B正確，D不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖像，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)椋瑒t稱區(qū)間為的“倍增區(qū)間”，下列函數(shù)存在“倍增區(qū)間”的是（）.A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)存在“倍增區(qū)間”，若函數(shù)單調(diào)遞增，則，若函數(shù)單調(diào)遞減，則，根據(jù)條件逐個(gè)分析選項(xiàng)，求解即可.【詳解】

解：對(duì)于A.：在上單調(diào)遞增，則根據(jù)題意有有兩個(gè)不同的解，不成立，所以A不正確.對(duì)于B：在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意有在上有兩個(gè)不同的解，解得：，符合題意，所以B正確.對(duì)于C：，若，函數(shù)在單增，則有有兩個(gè)解，即在上有兩個(gè)解，不符合，若，仍然無解，所以C不正確.對(duì)于D：在上單調(diào)遞增，則有兩個(gè)解，不成立，所以D不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)新定義題型，考查函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)求解問題，屬于中檔題.二、填空題

5．若冪函數(shù)為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)，則的值為_____.【答案】

【解析】根據(jù)函數(shù)所過定點(diǎn)，可以求出函數(shù)的解析式，只需代入即可求得的值.【詳解】

解：因?yàn)閮绾瘮?shù)為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)，所以，解得：，所以，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)圖像所過點(diǎn)求冪函數(shù)的解析式問題，考查具體函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)，,則按從小到大排列的順序是_______.【答案】

【解析】因?yàn)椋?，所以根?jù)函數(shù)值的范圍即可比較出大小順序.【詳解】

解：，，所以按從小到大排列的順序是.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查指對(duì)冪大小的比較，中間值法是常用的方法，屬于基礎(chǔ)圖.7．已知集合若則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】

【解析】由得，則可根據(jù)子集的定義列出不等式求解即可.【詳解】

解：則，所以，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查子集的定義和運(yùn)算，考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.8．函數(shù)的定義域是__________．

【答案】

【解析】由，得，所以，所以原函數(shù)定義域?yàn)?，故答案?9．已知函數(shù)，則的值是______.【答案】1

【解析】根據(jù)條件，先代入，求得的值，再根據(jù)函數(shù)值代入相應(yīng)的解析式計(jì)算，則可求出結(jié)果.【詳解】

解：函數(shù)，所以，則

.故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)求值，比較范圍，逐步代入解析式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．若，則______

【答案】1

【解析】由求得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡即可.【詳解】

因?yàn)?，所以，則，故答案為1.【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．函數(shù)的最小值是______.【答案】2

【解析】令，對(duì)函數(shù)進(jìn)行換元，則原式等價(jià)于求的最小值.對(duì)二次函數(shù)配方即可求函數(shù)的最小值.【詳解】

解：令，則原式等價(jià)于求的最小值.，函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，y有最小值為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】

本題考查求復(fù)合型二次函數(shù)的最小值，解題的關(guān)鍵是換元后注意范圍的變化，屬于基礎(chǔ)題.12．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，若，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】

【解析】函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，可以得出在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，又，所以，結(jié)合單調(diào)性即可求出的解，將整體代入，即可求出x的范圍.【詳解】

解：函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，所以在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，又，所以.的解為：，則的解為：，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查整體代換和轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是時(shí)刻注意函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.13．若函數(shù)在區(qū)間上有，則的單調(diào)減區(qū)間是_______.【答案】

【解析】由題意當(dāng)時(shí)，又，得.則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】

解：因?yàn)?，所以，又，所?根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則：的單調(diào)減區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間，又，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的取值范圍，考查求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是注意函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.14．設(shè)函數(shù)，則使得成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】或.【解析】觀察函數(shù)，可知函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，若成立，則，求解即可得出的取值范圍.【詳解】

解：函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以若成立，則，變形為：解得：或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題

15．計(jì)算

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可.（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求出答案.【詳解】

解：（1）=.（2）=.【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記公式并且靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.16．已知全集，集合（1）求；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)，集合,若求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）求出集合B，根據(jù)并集的定義和運(yùn)算求出即可.（2），又，所以，則根據(jù)交接為空集列出不等關(guān)系求解即可.【詳解】

解：（1）=，又集合，所以.（2）集合，又，所以.，則或，解得：或.【點(diǎn)睛】

本題考查并集的概念和運(yùn)算，考查根據(jù)交集為空求解，涉及到指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.17．已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的定義域

（2）求不等式成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)

函數(shù)的定義域?yàn)楹?/p>

定義域的交集，求出函數(shù)和的定義域，再求交集即可求出結(jié)果.(2)

等價(jià)于，解不等式，再結(jié)合定義域即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】

解：（1）的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）不等式，等價(jià)于，即：，解得：.又定義域?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】

本題考查求函數(shù)定義域的方法，考查求解對(duì)數(shù)不等式，屬于基礎(chǔ)題.18．已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

（1）求實(shí)數(shù)的值;

（2）求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，代入即可求出m的值.（2）由（1）可求，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求值域.【詳解】

解：（1）定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，則有，所以.證明，當(dāng)時(shí)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以成立.（2），由于，所以，所以.所以的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，同時(shí)考查了指數(shù)函數(shù)值域的求解，屬于中檔題.19．某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)兩點(diǎn)和，用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：.如圖，學(xué)校在點(diǎn)處，商店在點(diǎn),小明家在點(diǎn)處，某日放學(xué)后，小明沿道路從學(xué)校勻速步行到商店，已知小明的速度是每分鐘1個(gè)單位長度，設(shè)步行分鐘時(shí)，小明與家的距離為個(gè)單位長度.（1）求關(guān)于的解析式;

（2）做出中函數(shù)的圖象，并求小明離家的距離不大于7個(gè)單位長度的總時(shí)長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，從A到B直線行走，起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以步行分鐘后，橫坐標(biāo)為，不變，則根據(jù)距離的新定義可求出關(guān)于的解析式.（2）根據(jù)解析式做出圖像，由圖像解方程即可求出結(jié)果.【詳解】

解：（1）步行分鐘時(shí)，小明仍在AB之間，所以小明的坐標(biāo)為，則小明與家的距離為.所以關(guān)于的解析式為：

.（2）圖像如圖：.當(dāng)

故當(dāng)小明離家的距離不大于7個(gè)單位長度時(shí)，.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與解析式新定義題型，考查根據(jù)解析式做出函數(shù)圖像，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義一定要理解深刻，屬于中檔題.20．設(shè)M為滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合，存在實(shí)數(shù)，使得.（1）判斷是否為M中的元素，并說明理由；

（2）設(shè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）已知的圖象與的圖象交于點(diǎn)，,證明：是中的元素，并求出此時(shí)的值（用表示）.【答案】（1）是；（2）[3﹣，3+]；（3）x0＝，證明見解析

【解析】根據(jù)集合M的定義，可根據(jù)函數(shù)的解析式f（x0+1）＝f（x0）+f（1）構(gòu)造方程，若方程有根，說明函數(shù)符合集合M的定義，若方程無根，說明函數(shù)不符合集合M的定義；

（2）設(shè)h（x）＝∈M，則存在實(shí)數(shù)x，使h（x+1）＝h（x）+h（1）成立，解出a的取值范圍即可；

（3）利用f（x0+1）＝f（x0）+f（1）和y＝2ex（x＞）的圖象與y＝為圖象有交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)方程有根，與求出的值進(jìn)行比較即可解出x0．

【詳解】

解：（1）設(shè)g（x）為M中的元素，則存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）；

即（x+1）2＝x2+1，∴x＝0，故g（x）＝x2是M中的元素．

（2）設(shè)h（x）＝∈M，則存在實(shí)數(shù)x，使h（x+1）＝h（x）+h（1）成立；

即lg＝lg+lg；

∴＝；∴（a﹣2）x2+2ax+2a﹣2＝0，當(dāng)a＝2時(shí)，x＝﹣；

當(dāng)a≠2時(shí)，則△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0；

解得a2﹣6a+4≤0，∴3﹣≤a≤3+且a≠2；

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[3﹣，3+]．

（3）設(shè)m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2∈M，則m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；

∴l(xiāng)n[3（x0+1）﹣1]﹣（x0+1）2＝ln（3x0﹣1）﹣x02+ln2﹣1；

∴l(xiāng)n＝2x0；

∴＝；∴＝2；

由于y＝2ex（x＞）的圖象與y＝為圖象交于點(diǎn)（t，2et），所以2et＝；

令t＝2x0，則2＝＝；

即存在x0＝，使得則m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；

故m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2是M中的元素，此時(shí)x0＝．

【點(diǎn)睛】

本題主要利用元素滿足恒等式進(jìn)行求解，根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡，考查了邏輯思維能力和分析解決問題的能力，屬于中檔題．