2020屆1月市一模數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】先解不等式得集合B，再根據(jù)交集定義求結(jié)果.【詳解】

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查一元二次不等式以及交集定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2．命題，則為（）

A．，B．，C．，D．，【答案】A

【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定直接判斷選擇.【詳解】，：，故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查全稱(chēng)命題的否定，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.3．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，且，則（）

A．2

B．2i

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念以及復(fù)數(shù)乘法列方程，解得結(jié)果.【詳解】

設(shè),則，且，且.故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查共軛復(fù)數(shù)概念以及復(fù)數(shù)乘法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4．已知均為單位向量，若夾角為，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】先求數(shù)量積，再求模的平方，最后得結(jié)果.【詳解】

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積以及向量的模，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式組，則的最大值為（）

A．4

B．

C．-6

D．6

【答案】A

【解析】先作可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示的直線(xiàn)，結(jié)合圖象確定最優(yōu)解，代入得結(jié)果.【詳解】

作可行域如圖，則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值4,故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查線(xiàn)性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6．已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷三個(gè)數(shù)大小.【詳解】

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查利用冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.7．垃圾分類(lèi)是一種新時(shí)尚，沈陽(yáng)市為推進(jìn)這項(xiàng)工作的實(shí)施，開(kāi)展了“垃圾分類(lèi)進(jìn)小區(qū)”的評(píng)比活動(dòng).現(xiàn)對(duì)沈陽(yáng)市甲、乙兩個(gè)小區(qū)進(jìn)行評(píng)比，從中各隨機(jī)選出20戶(hù)家庭進(jìn)行評(píng)比打分，每戶(hù)成績(jī)滿(mǎn)分為100分.評(píng)分后得到如下莖葉圖.通過(guò)莖葉圖比較甲、乙兩個(gè)小區(qū)得分的平均值及方差大?。ǎ?/p>

A．，B．，C．，D．，【答案】C

【解析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)分布，比較最小值與最大值以及中間數(shù)值可以確定平均值大小，根據(jù)數(shù)據(jù)分布集中情況確定方差大小，即可選擇.【詳解】

因?yàn)榧椎淖畲笾当纫倚?，甲的最小值比乙小，甲的中間數(shù)值沒(méi)乙的中間數(shù)值大，所以；

因?yàn)榧椎臄?shù)據(jù)沒(méi)有乙的數(shù)據(jù)集中，所以.故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)莖葉圖判斷平均值與方差大小，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.8．已知a，b為兩條不同的直線(xiàn)，，為三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的是（）

①若，則

②若，則

③若，則

④若，則

A．①③

B．②③

C．①②③

D．②③④

【答案】B

【解析】根據(jù)線(xiàn)面位置關(guān)系逐一判斷，即可選擇.【詳解】

若，a可以和兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)平行,這樣也能保證，；

若，則；

若，則；

若，則或；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查線(xiàn)面有關(guān)命題判斷，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.9．新高考的改革方案開(kāi)始實(shí)施后，某地學(xué)生需要從化學(xué)，生物，政治，地理四門(mén)學(xué)科中選課，每名同學(xué)都要選擇其中的兩門(mén)課程.已知甲同學(xué)選了化學(xué)，乙與甲沒(méi)有相同的課程，丙與甲恰有一門(mén)課相同，丁與丙也沒(méi)有相同課程.則以下說(shuō)法正確的是（）

A．丙沒(méi)有選化學(xué)

B．丁沒(méi)有選化學(xué)

C．乙丁可以?xún)砷T(mén)課都相同

D．這四個(gè)人里恰有2個(gè)人選化學(xué)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意合理推理，并作出合理的假設(shè)，最終得出正確結(jié)論．

【詳解】

根據(jù)題意可得，∵甲選擇了化學(xué)，乙與甲沒(méi)有相同課程，∴乙必定沒(méi)選化學(xué)；

又∵丙與甲有一門(mén)課相同，假設(shè)丙選擇了化學(xué)，而丁與丙無(wú)相同課程，則丁一定沒(méi)選化學(xué)；

若丙沒(méi)選化學(xué)，又∵丁與丙無(wú)相同課程，則丁必定選擇了化學(xué)．

綜上，必定有甲，丙或甲，丁這兩種情況下選擇化學(xué)，故可判斷A，B不正確，D正確。

假設(shè)乙丁可以?xún)砷T(mén)課都相同，由上面分析可知，乙丁都沒(méi)有選擇化學(xué)，只能從其它三科中選兩科。不妨假設(shè)選的是生物、政治，則甲選的是化學(xué)和地理，而丙和甲共同選擇了化學(xué)，另一門(mén)課丙只能從生物、政治中選一科，這樣與“丁與丙也沒(méi)有相同課程”矛盾，故假設(shè)不成立，因此C不正確。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力。

10．已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別為直線(xiàn)與，若點(diǎn)A，B為直線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)M為直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）

A．1

B．

C．2

D．

【答案】C

【解析】先求漸近線(xiàn)方程，再設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式化簡(jiǎn)條件，即得離心率.【詳解】

漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)

則可設(shè)

因此

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)以及離心率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.11．如果將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則的值為（）

A．2

B．

C．

D．3

【答案】A

【解析】先根據(jù)左右平移不改變最值求得，再根據(jù)平移規(guī)律列等量關(guān)系，最后根據(jù)兩角差正切公式解得結(jié)果.【詳解】

因?yàn)樽笥移揭撇桓淖冏钪?，所?/p>

因?yàn)?，向右平移個(gè)單位得到，而，所以，即

從而

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖象變換以及兩角差正切公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A．20

B．18

C．16

D．14

【答案】C

【解析】先解，再作圖，結(jié)合圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】

或

根據(jù)函數(shù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)作圖象，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為,故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)零點(diǎn)以及函數(shù)綜合性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想方法以及綜合分析求解能力，屬中檔題.二、填空題

13．已知橢圓方程為，則其焦距為_(kāi)_______.【答案】6

【解析】根據(jù)橢圓方程求,即得焦距.【詳解】

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)橢圓方程求焦距，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.數(shù)列中，.則________.【答案】

【解析】先根據(jù)條件解得等差數(shù)列公差與首項(xiàng)，即得；再根據(jù)解得通項(xiàng)公式，即得，最后求積得結(jié)果.【詳解】

設(shè)等差數(shù)列公差為，則由，得，因?yàn)椋?/p>

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)的平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門(mén)app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專(zhuān)項(xiàng)答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.【答案】

【解析】先分間隔一個(gè)與不間隔分類(lèi)計(jì)數(shù)，再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【詳解】

若“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰，則學(xué)習(xí)方法有種;

若“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種;

因此共有種.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合實(shí)際問(wèn)題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16．在四面體ABCD中，若，則當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為_(kāi)_______.【答案】

【解析】先根據(jù)底面ACD面積為定值，確定四面體ABCD的體積最大時(shí)，平面,再確定外接球球心位置，解得球半徑，代入球的表面積公式得結(jié)果.【詳解】

因?yàn)?，所以底面ACD面積為定值，因此當(dāng)平面時(shí)，四面體ABCD的體積最大.設(shè)外接圓圓心為,則四面體ABCD的外接球的球心滿(mǎn)足,且，因此外接球的半徑滿(mǎn)足

從而外接球的表面積為

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查四面體外接球的表面積，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題

17．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）求A及a；

（2）若，求BC邊上的高.【答案】（1）,（2）

【解析】（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得a；根據(jù)二倍角正弦公式化簡(jiǎn)可得A；

（2）先根據(jù)余弦定理求得，再根據(jù)三角形面積公式求BC邊上的高.【詳解】

（1）；

（2）由余弦定理得,設(shè)BC邊上的高為..即BC邊上的高為

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18．如圖，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，.平面平面ABD，點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè)，且，.點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，連接EF.（1）求證：平面ABC；

（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】（1）取AB中點(diǎn)M，根據(jù)平幾知識(shí)得四邊形為平行四邊形,再根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理得結(jié)果；

（2）先根據(jù)面面垂直得線(xiàn)面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求各面法向量，根據(jù)向量夾角公式得兩法向量夾角余弦值，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】

（1）取AB中點(diǎn)M，連FM,CM.因?yàn)辄c(diǎn)F為AD中點(diǎn)，所以

因?yàn)椋?所以

因此四邊形為平行四邊形,所以

因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以平面ABC；

（2）因?yàn)?，平面平面ABD，平面平面ABD，平面，所以平面因此以AC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,BO,平行于BD的直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)邊長(zhǎng)為2，則

因此平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面一個(gè)法向量為，由得，令

所以

因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為

【點(diǎn)睛】

本題考查線(xiàn)面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理以及利用空間向量求二面角，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.19．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線(xiàn)C上，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）過(guò)焦點(diǎn)F任作兩條相互垂直的直線(xiàn)l與，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，的面積記為，的面積記為，求證：為定值.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】（1）先根據(jù)條件解得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程解得，即得結(jié)果；

（2）先設(shè)直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求得與，最后代入化簡(jiǎn)得結(jié)果.【詳解】

（1）設(shè)

因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線(xiàn)C上，（2）由題意得直線(xiàn)l的斜率存在且不為零，設(shè)，代入得，所以

因此，同理可得

因此

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線(xiàn)方程以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20．在2019年女排世界杯中，中國(guó)女子排球隊(duì)以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績(jī)成功奪冠，為祖**親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個(gè)隊(duì)只有贏(yíng)得至少25分，并同時(shí)超過(guò)對(duì)方2分時(shí)，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個(gè)隊(duì)只有贏(yíng)得至少15分，并領(lǐng)先對(duì)方2分為勝.在每局比賽中，發(fā)球方贏(yíng)得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對(duì)方得1分.現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽：

（1）若前三局比賽中甲已經(jīng)贏(yíng)兩局，乙贏(yíng)一局.接下來(lái)兩隊(duì)贏(yíng)得每局比賽的概率均為，求甲隊(duì)最后贏(yíng)得整場(chǎng)比賽的概率；

（2）若前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏(yíng)兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時(shí)甲贏(yíng)1分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲贏(yíng)1分的概率為，得分者獲得下一個(gè)球的發(fā)球權(quán).設(shè)兩隊(duì)打了個(gè)球后甲贏(yíng)得整場(chǎng)比賽，求x的取值及相應(yīng)的概率p（x）.【答案】（1）（2）x的取值為2或4,.【解析】（1）先確定甲隊(duì)最后贏(yíng)得整場(chǎng)比賽的情況，再分別根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求解，最后根據(jù)互斥事件概率加法公式得結(jié)果；

（2）先根據(jù)比賽規(guī)則確定x的取值，再確定甲贏(yíng)得整場(chǎng)比賽的情況，最后根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得結(jié)果.【詳解】

（1）甲隊(duì)最后贏(yíng)得整場(chǎng)比賽的情況為第四局贏(yíng)或第四局輸?shù)谖寰众A(yíng)，所以甲隊(duì)最后贏(yíng)得整場(chǎng)比賽的概率為，（2）根據(jù)比賽規(guī)則，x的取值只能為2或4,對(duì)應(yīng)比分為

兩隊(duì)打了2個(gè)球后甲贏(yíng)得整場(chǎng)比賽，即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分，打第二個(gè)球甲發(fā)球甲得分，此時(shí)概率為；

兩隊(duì)打了4個(gè)球后甲贏(yíng)得整場(chǎng)比賽，即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分，打第二個(gè)球甲發(fā)球甲失分，打第三個(gè)球乙發(fā)球甲得分，打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分，或打第一個(gè)球甲發(fā)球甲失分，打第二個(gè)球乙發(fā)球甲得分，打第三個(gè)球甲發(fā)球甲得分，打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分，此時(shí)概率為.【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)性；

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并用零點(diǎn)存在定理加以論證.【詳解】

（1）

當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，即在和上單調(diào)遞增；時(shí)，即在上單調(diào)遞減；

綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

（2）因?yàn)閱握{(diào)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，所以，因?yàn)?/p>

所以

因?yàn)?/p>

而在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（即1），在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)，考查綜合分析求解能力，屬較難題.22．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C分別交于M，N兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的普通方程；

（2）若點(diǎn)，求的值.【答案】（1），（2）

【解析】（1）根據(jù)將曲線(xiàn)C極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用消元法化直線(xiàn)l的參數(shù)方程為普通方程

（2）先化直線(xiàn)l的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)式，再代入曲線(xiàn)C方程，最后根據(jù)參數(shù)幾何意義求解

【詳解】

（1）

（2）

代入得

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化普通方程以及直線(xiàn)參數(shù)方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.23．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集得結(jié)果；

（2）先化簡(jiǎn)不等式，再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)求最值，即得結(jié)果.【詳解】

（1）

或或

或或

即不等式的解集為.（2）

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值定義以及絕對(duì)值三角不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.