第一篇：《14.3.2 公式法》教案

《14.3.2 公式法》教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

用完全平方公式分解因式

二、教學(xué)重點(diǎn)：

用完全平方公式分解因式．

三、教學(xué)難點(diǎn)：

靈活應(yīng)用公式分解因式．

四、教學(xué)過程：

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

問題1：根據(jù)學(xué)習(xí)用平方差公式分解因式的經(jīng)驗(yàn)和方法，?分析和推測(cè)什么叫做運(yùn)用完全平方公式分解因式？能夠用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式具有什么特點(diǎn)？

問題2：把下列各式分解因式．

（1）a+2ab+b222（2）a－2ab+b2 [生]將整式乘法的平方差公式反過來寫即是分解因式的平方差公式．同樣道理，把整式乘法的完全平方公式反過來寫即分解因式的完全平方公式． [師]能不能用語言敘述呢？

[生]能．兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的積的2倍，?等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方．問題2其實(shí)就是完全平方公式的符號(hào)表示．即：a+2ab+b=（a+b），a－2ab+b（a－b）．

[師]今天我們就來研究用完全平方公式分解因式． Ⅱ．導(dǎo)入新課

下列各式是不是完全平方式？

（1）a－4a+4（2）x+4x+4y（3）4a+2ab+（5）x－6x－9（6）a+a+0.25 結(jié)果：

（1）a－4a+4=a－2×2·a+2=（a－2）（3）4a+2ab+222

222 2

1222

b（4）a－ab+b412111222 b=（2a）+2×2a·b+（b）=（2a+b）42222

2（6）a+a+0.25=a+2·a·0.5+0.5=（a+0.5）（2）、（4）、（5）都不是．

方法總結(jié)：分解因式的完全平方公式，左邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩個(gè)數(shù)的平方和還有這兩個(gè)數(shù)的積的2倍或這兩個(gè)數(shù)的積的2倍的相反數(shù)，符合這些特征，就可以化成右邊的兩數(shù)和（或差）的平方．從而達(dá)到因式分解的目的． 例題解析

[例1]分解因式：

（1）16x+24x+9（2）－x+4xy－4y [例2]分解因式：

（1）3ax+6axy+3ay（2）（a+b）－12（a+b）+36 [例1]（1）分析：在（1）中，16x=（4x），9=3，24x=2·4x·3，所以16x+14x+9是一個(gè)完全平方式，即

解：（1）16x+24x+9 =（4x）+2·4x·3+3 =（4x+3）．

（2）分析：在（2）中兩個(gè)平方項(xiàng)前有負(fù)號(hào)，所以應(yīng)考慮添括號(hào)法則將負(fù)號(hào)提出，然后再考慮完全平方公式，因?yàn)?y=（2y），4xy=2·x·2y．

所以：

2222

解：－x+4xy－4y=－（x－4xy+4y）=－[x－2·x·2y+（2y）] =－（x－2y）．

練一練：把下列多項(xiàng)式分解因式：（1）6a－a－9；（2）－8ab－16a－b；（3）2a－a－a；

（4）4x+20（x－x）+25（1－x）Ⅲ．課時(shí)小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生回顧本大節(jié)內(nèi)容，梳理知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)歸納能力，最后給出分解因式的知識(shí)框架圖，使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有一個(gè)清晰的了解.22

2232222222

第二篇：《3.2運(yùn)用公式法》教學(xué)設(shè)計(jì)

運(yùn)用公式法（1)教學(xué)設(shè)計(jì)

黃大恩

一、教材分析

（一）地位和作用

分解因式是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式運(yùn)算的基礎(chǔ)上提出來的，是整式乘法的逆向變形。是后面學(xué)習(xí)分式通分和約分，二次根式的計(jì)算與化簡(jiǎn)，以及解方程等知識(shí)的基礎(chǔ)。因此分解因式這一章在整個(gè)教材中起到了承上啟下的作用。而運(yùn)用平方差公式分解因式是分解因式的重要組成部分。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的平方差公式，在上一節(jié)課學(xué)習(xí)了提公因式法分解因式，初步體會(huì)了分解因式與整式乘法的互逆關(guān)系，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1、理解和掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)運(yùn)用平方差公式分解因式

2、①培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流的能力

②培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和創(chuàng)新能力，深化學(xué)生逆向思維 能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用 意識(shí)，滲透整體思想。

3、讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)的過程中體驗(yàn)成功的喜悅，從而增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。

（四）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn) ：會(huì)運(yùn)用平方差公式分解因式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力。難點(diǎn) ：準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，并善于運(yùn)用平方差公式分解因式。

二、學(xué)法與教法分析

1、教法分析：

根據(jù)《課標(biāo)》的要求，結(jié)合本班學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，本堂課采用觀察、討論、小組合作、分析的方法，引導(dǎo)學(xué)生把握因式分解的基本思路，靈活地運(yùn)用“整體（換元）”和“化歸”思想把問題中的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)墓叫问健?/p>

2、學(xué)法分析：

為達(dá)到提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,在學(xué)習(xí)中，我讓學(xué)生通過探究學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、研究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等方式，改變了學(xué)生原來的那種“學(xué)而無思，思而無疑，有疑不問”的舊學(xué)習(xí)方式。

三、教學(xué)流程設(shè)計(jì)：

（一）情景引入，發(fā)現(xiàn)新知；

（二）合作交流，探索新知；

（三）例題探究，體驗(yàn)新知；

（四）隨堂練習(xí)，鞏固新知；

（五）課堂小結(jié)，布置作業(yè)

四、教學(xué)過程分析

（一）情景引入，發(fā)現(xiàn)新知

在美術(shù)課上，老師給每一個(gè)同學(xué)發(fā)下一張如左圖形狀的紙張（課件展示），要求同學(xué)們?cè)谇『貌焕速M(fèi)紙張的前提下剪拼成右圖形狀的長(zhǎng)方形，作為一幅精美剪紙的襯底，請(qǐng)問你能解決這個(gè)問題嗎？能給出數(shù)學(xué)解釋嗎？（小組討論,學(xué)生代表發(fā)言）

（二）合作交流，探索新知

a2?b2 =(a+b)(a-b)（1）用語言怎樣敘述公式？（2）公式有什么結(jié)構(gòu)特征？

（3）公式中的字母a、b可以表示什么？（小組討論，學(xué)生代表發(fā)言）讓學(xué)生觀察平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生在互動(dòng)交流中，既形成了對(duì)知識(shí)的全面認(rèn)識(shí)，又培養(yǎng)了觀察、分析能力以及合作交流的能力。

判斷： 下列多項(xiàng)式式分解因式是否正確？（同桌討論后回答）

(1)x2?4?(x?2)(x?2)2(2)3x?1?(3x?1)(3x?1)

(3)?9x2?y2?(y?3x)(y?3x)22(4)(x?1)?y?(x?1?y)(x?1?y)

通過這一組判斷，使學(xué)生加深理解和掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，既突出了重點(diǎn)，也培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

（三）例題探究，體驗(yàn)新知（教師指導(dǎo)學(xué)生完成）例3.分解因式

(1)4x2-9(2)(x?p)2?(x?q)2

用（1）引導(dǎo)學(xué)生得出分解因式的一般步驟，向?qū)W生滲透“化歸”思想。要讓學(xué)生明確：（1）要先確定公式中的a和b；（2）學(xué)習(xí)規(guī)范的步驟書寫。用（2）加深對(duì)平方差公式的理解，同時(shí)感知“整體”思想在分解因式中的應(yīng)用。例4.分解因式

（1）x4?y4（2）a3b?ab

通過例題4的學(xué)習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步熟練應(yīng)用平方差公式分解因式例4（1）在學(xué)生預(yù)習(xí)的前提下，由學(xué)生分析每一步的理由，明確：結(jié)果要化簡(jiǎn)；分解要徹底。例4（2）由學(xué)生分析方法，明確：有公因式要先提公因式，再運(yùn)用公式分解因式，體會(huì)綜合應(yīng)用的思想。

（四）隨堂練習(xí)，鞏固新知

練習(xí)1：把下列各式分解因式（學(xué)生板演，同學(xué)批閱，教師適時(shí)給予指導(dǎo)）（1）a2b2?m2（2）-x2?y2（3）49-25x2（4）4a2?b2

（學(xué)生在解決問題的過程中培養(yǎng)了應(yīng)用意識(shí)，加強(qiáng)了知識(shí)落實(shí)，突出了重點(diǎn)。）練習(xí)2分解因式:（m?a)2?(m?b)2(2)49（a?b)2?16(a?b)2(1)（練習(xí)2先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后通過小組交流，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)解決。讓學(xué)生在交流與實(shí)踐中突破了難點(diǎn)。）

（五）課堂小結(jié)，布置作業(yè) 1.課堂小結(jié)

先通過小組討論本節(jié)課的知識(shí)及注意問題，然后學(xué)生自由發(fā)言、互相補(bǔ)充，我進(jìn)行修正、精煉闡述。這樣，小結(jié)既梳理了知識(shí)，又點(diǎn)明了本節(jié)課的學(xué)習(xí)要點(diǎn)，同時(shí)使學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)體系也有了一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。2.布置作業(yè)

課本117頁練習(xí)

（采用分層布置作業(yè)，滿足不同層次的同學(xué)的需要。）

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

本節(jié)課通過問題情景引發(fā)學(xué)生思考，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生自主的對(duì)知識(shí)進(jìn)行探究，通過合作交流的方式，加深對(duì)平方差公式結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)，有助于讓學(xué)生在應(yīng)用平方差公式行分解因式時(shí)注意到它的前提條件；通過例題練習(xí)的鞏固，讓學(xué)生把握教材，吃透教材，讓學(xué)生更加熟練、準(zhǔn)確，起到強(qiáng)化、鞏固的作用，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)整體（換元）的思想，達(dá)到初步發(fā)展學(xué)生綜合應(yīng)用的能力。

第三篇：14.3.2 公式法 教案

14.3.2公式法（2）蘆集二中 吳冬梅

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解完全平方公式的特點(diǎn)．

2.能較熟悉地運(yùn)用完全平方公式分解因式． 3.能靈活應(yīng)用提公因式法、公式法分解因式．

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

會(huì)用完全平方公式分解因式．

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

靈活應(yīng)用公式分解因式

教學(xué)活動(dòng)：

問題你還能說出完全平方公式嗎？

你能把多項(xiàng)式a2?2ab?b2和a2?2ab?b2分解因式嗎？這兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？

學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

觀察上述多項(xiàng)式，與乘法公式中的完全平方公式作比較，容易得到

a2?2ab?b2?(a?b)2．

教師活動(dòng)設(shè)計(jì)

學(xué)生得到結(jié)果后，讓學(xué)生歸納a?2ab?b?(a?b)，即

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方．

2222同時(shí)歸納完全平方式的定義：把形如a?2ab?b和a?2ab?b的式子叫作完全

222平方式．

例5 分解因式

222（1）16x?24x?9；（2）?x?4xy?y．

學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論，在（1）中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2×4x×3，所以

16x2?24x?9是一個(gè)完全平方式，16x2?24x?9＝(4x＋3)2．

在（2）中，形式上不滿足完全平方式的特點(diǎn)，但是?x2?4xy?y2＝?(x2?4xy?y2)，變形后括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式是完全平方式，可以分解因式．

教師活動(dòng)設(shè)計(jì)

在本問題的解決過程中，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)完全平方式的特點(diǎn)，能夠靈活地用完全平方式分解因式．

例6 分解因式

（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2－12(a+b)+36．

分析：在（1）中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解． 解：（1）3ax2+6axy+3ay2= 3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；

（2）(a+b)2－12(a+b)+36=(a+b)2－2·(a+b)·6+62=(a+b－6)2． 練習(xí)：1．下列多項(xiàng)式是不是完全平方式？為什么？（1）a2－4a+4；（2）1+4a2；（3）4b2+4b－1 ；（4）a2+ab+b2． 2．分解因式

（1）x2+12x+36；（2）－2xy－x2－y2；（3）a2+2a+1；（4）4x2－4x+1；（5）ax2+2a2x+a3；（6）－3x2+6xy－3y2．

問題把下列多項(xiàng)式分解因式，從中你能發(fā)現(xiàn)因式分解的一般步驟嗎？

3344（1）x?y；（2）ab?ab；

（3）3ax?6axy?3ay；（4）(x?p)?(x?q)；（5）(a?b)?12(a?b)?36． 學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)：

觀察上述多項(xiàng)式的形式，發(fā)現(xiàn)：

（1）可以把x4.y4看作(x2)2.(y2)2，可以利用平方差公式，得到x?y＝(x?y)(x?y)而x?y還可以利用平方差公式進(jìn)行分解得到x?y＝(x?y)(x?y)＝(x－y)(x＋y)(x?y)；（2）（3）中不能用公式，但是各項(xiàng)存在公因式，于是可以先提公因式，然后進(jìn)行分解，得到

***422222

（2）a3b?ab3?ab(a2?b2)?ab(a?b)(a?b)；

（3）3ax2?6axy?3ay2?3a(x2?2xy?y2)?3a(x?y)2；（4）中若把(x＋p)和(x＋q)看作一個(gè)整體，可以利用平方差公式分解．（5）把(a＋b)看作一個(gè)整體，恰好是完全平方式． 教師活動(dòng)設(shè)計(jì)

讓學(xué)生討論如何進(jìn)行分解因式，體會(huì)分解因式的一般步驟，歸納：

（1）先提公因式（有的話）；（2）利用公式（可以的話）；

（3）分解因式時(shí)要分解到不能分解為止． 問題證明：連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的平方差可以被8整除． 學(xué)生分析：

設(shè)連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)是x、x＋2，則有

x2－(x+2)2=(x－x－2)(x+x+2)=－2(2x+2)=－4(x+1)，因?yàn)閤是奇數(shù)，所以x＋1是偶數(shù)，所以－4(x+1)能被8整除． 歸納小結(jié)、布置作業(yè)

第四篇：因式分解——公式法教案

14.3.2因式分解——公式法（1）

一．教學(xué)內(nèi)容

人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)十四章因式分解——公式法第一課時(shí) 二．教材分析

分解因式與數(shù)系中分解質(zhì)因數(shù)類似，是代數(shù)中一種重要的恒等變形，它是 在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式運(yùn)算的基礎(chǔ)上提出來的，是整式乘法的逆向變形。在后面 的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用廣泛，如：將分式通分和約分，二次根式的計(jì)算與化簡(jiǎn)，以及解方程都將以它為基礎(chǔ)。因此分解因式這一章在整個(gè)教材中起到了承上 啟下的作用。同時(shí)，在因式分解中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的眾多思想，如：“化歸”思想、“類比”思想、“整體”思想等。因此，因式分解的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)的重要內(nèi) 容。根據(jù)《課標(biāo)》的要求，本章介紹了最基本的兩種分解因式的方法：提公 因式法和運(yùn)用公式法（平方差、完全平方公式）。因此公式法是分解因式的重 要方法之一，是現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。三．教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能 ：理解和掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)運(yùn)用平方差公 式分解因式

過程與方法：1.培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流的能力

2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和創(chuàng)新能力，深化學(xué)生逆向思維能力 和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，滲透整體思想

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)的過程中體驗(yàn)成功的喜悅，從而 增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心

四．教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用平方差公式分解因式

難點(diǎn)：準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，并善于運(yùn)用平方差公式分解因式

易錯(cuò)點(diǎn)：分解因式不徹底 五．教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）溫故知新

1.什么是因式分解？下列變形過程中，哪個(gè)是因式分解？為什么？

2（1）（2x-1）=4x2-4x+1;(2)3x2+9xy-3x=3x(x+3y+1);(3)x2-4+2x=(x+2)(x-2)+2x.2.我們已經(jīng)學(xué)過的因式分解的方法是什么？將下列多項(xiàng)式分解因式。

（1）a3b3-2a2b-ab;(2)-9xy+3xy-6xy.22

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)因式分解的定義和方法，為繼續(xù)學(xué)習(xí)公式法作好鋪墊。3.根據(jù)乘法公式進(jìn)行計(jì)算：

（1）（x+1）(x-1)；（2）（x+2y）(x-2y).4.根據(jù)上題結(jié)果分解因式：

（1）x2-1；（2）x2-4y2.由以上3、4兩題，你發(fā)現(xiàn)了什么？

【設(shè)計(jì)意圖】通過整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解從而引出課題。

（二）教學(xué)新知

1.探究平方差公式分解因式

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察多項(xiàng)式a2-b2，它有什么特點(diǎn)？你能將它分解因式

嗎？

[學(xué)生討論、交流得出因式分解平方差公式] 師板書公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

師：你能用語言文字來描述這個(gè)公式嗎？

語言表述：兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。2.理解平方差公式

（1）平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？

（2）兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)有什么特點(diǎn)？

師生共同討論，得出

平方差公式的特點(diǎn)：

?左邊是二項(xiàng)式，每一項(xiàng)都是平方項(xiàng)，并且兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)相反； ?右邊是兩個(gè)平方項(xiàng)的底數(shù)的和與差的積。

及時(shí)演練：下列多項(xiàng)式能否用平方差公式來分解因式，為什么？

（1）x2+y2;(2)x2-y2；（3）-x2+y2；（4）-x2-y2.（三）應(yīng)用新知

例1.將下列各式分解因式：

2（1）4x2-9；（2）（x+p）-(x+q)2.[師生共同分析：4x2=(2x)2,9=32,4x2-9=（2x）-32，故可用平方差

公式分解因式；在（2）中，把x+p和x+q各看成一個(gè)整體，設(shè) x+p=m,x+q=n,則原式化為m2-n2，故可用平方差公式分解因式。]（1）4x-9=(2x)-3=(2x+3)(2x-3)； 解：

222（2）原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)（-x+q）]=(2x+p+q)(p-q).【設(shè)計(jì)意圖】通過例題，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到平方差公式的結(jié)構(gòu)特征中，a,b既可

以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，同時(shí)初步了解平方差公式分解因式的步驟。及時(shí)演練1.將下列多項(xiàng)式分解因式：

12（1）a-b（;2）9a2-4b2;2522（3）-1+36b2;（4）（2x+y）-(x+2y)2.[學(xué)生獨(dú)立完成，并指定學(xué)生黑板演示] 例2.分解因式：

（1）x4-y4（;2）a3b-ab.解：

2（1）x4-y4=(x2)2（-y2）=(x2+y2)(x2-y2)=（x2+y2）（x+y）(x-y);（2）a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).【設(shè)計(jì)意圖】通過上面因式分解的過程，得出分解因式的注意事項(xiàng)：?有公因

式要先提取公因式，再應(yīng)用公式分解；?每個(gè)因式要化簡(jiǎn)，并且分解徹底。

及時(shí)演練2.分解因式：

（1）x2y-4y（;2）-a4+16.（四）課堂小結(jié)

1.具備什么形式的多項(xiàng)式可以用平方差公式來因式分解？ 2.分解因式的一般步驟：一提二套 3.分解因式時(shí)要注意什么？

（五）作業(yè)

書本119頁復(fù)習(xí)鞏固第2題 六．教學(xué)反思

探索分解因式的方法實(shí)際上是對(duì)整式乘法的再認(rèn)識(shí)，而本節(jié)正是對(duì)平

方差公式的再認(rèn)識(shí)。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)借助于學(xué)生已有的整式乘法運(yùn)算的 基礎(chǔ)，給學(xué)生留有充分探索與交流的時(shí)間和空間，讓他們經(jīng)歷從整式乘法到 分解因式的轉(zhuǎn)換過程并能用符號(hào)合理的表示出分解因式的關(guān)系式，同時(shí)感受 到這種互逆變形的過程和數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。通過例題的講解、練習(xí)的鞏固、錯(cuò)題的糾正，讓學(xué)生逐步掌握運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解。

第五篇：分解因式-公式法教案

§15．5．2．1 公式法

（一）教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

運(yùn)用平方差公式分解因式．

（二）能力訓(xùn)練要求

1．能說出平方差公式的特點(diǎn)．

2．能較熟練地應(yīng)用平方差公式分解因式．

3．初步會(huì)用提公因式法與公式法分解因式．?并能說出提公因式在這類因式分解中的作用．

4．知道因式分解的要求：把多項(xiàng)式的每一個(gè)因式都分解到不能再分解．

（三）情感與價(jià)值觀要求

培養(yǎng)學(xué)生的觀察、聯(lián)想能力，進(jìn)一步了解換元的思想方法．

教學(xué)重點(diǎn)

應(yīng)用平方差公式分解因式．

教學(xué)難點(diǎn)

靈活應(yīng)用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

教學(xué)方法

自主探索法．

教具準(zhǔn)備

投影片．

教學(xué)過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

出示投影片，讓學(xué)生思考下列問題．

問題1：你能敘述多項(xiàng)式因式分解的定義嗎？

問題2：運(yùn)用提公因式法分解因式的步驟是什么？

問題3：你能將a2-b2分解因式嗎？你是如何思考的？

[生]1．多項(xiàng)式的因式分解其實(shí)是整式乘法的逆用，?也就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式．

2．提公因式法的第一步是觀察多項(xiàng)式各項(xiàng)是否有公因式，如果沒有公因式，?就不能使用提公因式法對(duì)該多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

3．對(duì)不能使用提公因式法分解因式的多項(xiàng)式，不能說不能進(jìn)行因式分解．

[生]要將a2-b2進(jìn)行因式分解，可以發(fā)現(xiàn)它沒有公因式，?不能用提公因式法分解因式，但我們還可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)多項(xiàng)式是兩個(gè)數(shù)的平方差形式，所以用平方差公式可以寫成如下形式：

a2-b2=（a+b）（a-b）．

[師]多項(xiàng)式的乘法公式的逆向應(yīng)用，就是多項(xiàng)式的因式分解公式，如果被分解的多項(xiàng)式符合公式的條件，就可以直接寫出因式分解的結(jié)果，這種分解因式的方法稱為運(yùn)用公式法．今天我們就來學(xué)習(xí)利用平方差公式分解因式．

Ⅱ．導(dǎo)入新課

[師]觀察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的項(xiàng)、指數(shù)、符號(hào)有什么特點(diǎn)？

（讓學(xué)生分析、討論、總結(jié)，最后得出下列結(jié)論）

（1）左邊是二項(xiàng)式，每項(xiàng)都是平方的形式，兩項(xiàng)的符號(hào)相反．

（2）右邊是兩個(gè)多項(xiàng)式的積，一個(gè)因式是兩數(shù)的和，另一個(gè)因式是這兩數(shù)的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是計(jì)算結(jié)果，而在分解因式，?“平方差”是得分解因

式的多項(xiàng)式．

由此可知如果多項(xiàng)式是兩數(shù)差的形式，并且這兩個(gè)數(shù)又都可以寫成平方的形式，那么這個(gè)多項(xiàng)式可以運(yùn)用平方差公式分解因式．

出示投影片

[做下列填空題的作用在于訓(xùn)練學(xué)生迅速地把一個(gè)單項(xiàng)式寫成平方的形式．?也可以對(duì)積的乘方、冪的乘方運(yùn)算法則給予一定時(shí)間的復(fù)習(xí)，避免出現(xiàn)4a2=（4a）2?這一類錯(cuò)誤]

填空：

（1）4a2=（）2；

（2）42b=（）2； 9

（3）0.16a4=（）2；

（4）1.21a2b2=（）2；

14x=（）2； 4

4（6）5x4y2=（）2．

9（5）

2例題解析：

出示投影片：

[例1]分解因式

（1）4x2-9

（2）（x+p）2-（x+q）

[例2]分解因式

（1）x4-y4

（2）a3b-ab

可放手讓學(xué)生獨(dú)立思考求解，然后師生共同討論，糾正學(xué)生解題中可能發(fā)生的錯(cuò)誤，并對(duì)各種錯(cuò)誤進(jìn)行評(píng)析．

[師生共析]

[例1]（1）

（教師可以通過多媒體課件演示（1）中的2x，（2）中的x+p?相當(dāng)于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相當(dāng)于平方差中的b，進(jìn)而說明公式中的a與b?可以表示一個(gè)數(shù)，也可以表示一個(gè)單項(xiàng)式，甚至是多項(xiàng)式，滲透換元的思想方法）

[例2]（1）x4-y4可以寫成（x2）2-（y2）2的形式，這樣就可以利用平方差公式進(jìn)行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分學(xué)生會(huì)不繼續(xù)分解因式，針對(duì)這種情況，可以回顧因式分解定義后，?讓學(xué)生理解因式分解的要求是必須進(jìn)行到多項(xiàng)式的每一個(gè)因式都不能再分解為止．

（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通過觀察可以發(fā)現(xiàn)a3b-ab?有公因式ab，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解．

解：（1）x4-y4

=（x2+y2）（x2-y2）

=（x2+y2）（x+y）（x-y）．

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．

學(xué)生解題中可能發(fā)生如下錯(cuò)誤：

（1）系數(shù)變形時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤；

（2）結(jié)果不化簡(jiǎn)；

（3）化簡(jiǎn)時(shí)去括號(hào)發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤．

最后教師提出：

（1）多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果要化簡(jiǎn)：

（2）在化簡(jiǎn)過程中要正確應(yīng)用去括號(hào)法則，并注意合并同類項(xiàng)．

練一練：

（出示投影片）

把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2-49（x-y）2

（2）（x-1）+b2（1-x）

（3）（x2+x+1）2-1(x?y)2(x?y)2（4）-．

Ⅲ．隨堂練習(xí)

1．課本P196練習(xí)1、2．

Ⅳ．課時(shí)小結(jié)

1．如果多項(xiàng)式各項(xiàng)含有公因式，則第一步是提出這個(gè)公因式．

2．如果多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式，則第一步考慮用公式分解因式．

3．第一步分解因式以后，所含的多項(xiàng)式還可以繼續(xù)分解，?則需要進(jìn)一步分解因式．直到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能分解為止．

§15．5．3．2 公式法

（二）教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

用完全平方公式分解因式

（二）能力訓(xùn)練要求

1．理解完全平方公式的特點(diǎn)．

2．能較熟悉地運(yùn)用完全平方公式分解因式．

3．會(huì)用提公因式、完全平方公式分解因式，?并能說出提公因式在這類因式分解中的作用．

4．能靈活應(yīng)用提公因式法、公式法分解因式．

（三）情感與價(jià)值觀要求

通過綜合運(yùn)用提公因式法，完全平方公式分解因式，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察和聯(lián)想能力．通過知識(shí)結(jié)構(gòu)圖培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力．

教學(xué)重點(diǎn)

用完全平方公式分解因式．

教學(xué)難點(diǎn)

靈活應(yīng)用公式分解因式．

教學(xué)方法

探究與講練相結(jié)合的方法．

教具準(zhǔn)備

投影片．

教學(xué)過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

問題1：根據(jù)學(xué)習(xí)用平方差公式分解因式的經(jīng)驗(yàn)和方法，?分析和推測(cè)什么叫做運(yùn)用完全平方公式分解因式？能夠用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式具有什么特點(diǎn)？

問題2：把下列各式分解因式．

（1）a2+2ab+b2

（2）a2-2ab+b2

[生]將整式乘法的平方差公式反過來寫即是分解因式的平方差公式．同樣道理，把整式乘法的完全平方公式反過來寫即分解因式的完全平方公式．

[師]能不能用語言敘述呢？

[生]能．兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的積的2倍，?等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方．

問題2其實(shí)就是完全平方公式的符號(hào)表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．

[師]今天我們就來研究用完全平方公式分解因式．

Ⅱ．導(dǎo)入新課

出示投影片

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4

（2）x2+4x+4y2

（3）4a2+2ab+12 b

4（4）a2-ab+b2

（5）x2-6x-9

（6）a2+a+0.25

（放手讓學(xué)生討論，達(dá)到熟悉公式結(jié)構(gòu)特征的目的）．

2222

結(jié)果：（1）a-4a+4=a-2×2·a+2=（a-2）

（3）4a2+2ab+12111b=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2 422

2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2

（2）、（4）、（5）都不是．

方法總結(jié)：分解因式的完全平方公式，左邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩個(gè)數(shù)的平方和還有這兩個(gè)數(shù)的積的2倍或這兩個(gè)數(shù)的積的2倍的相反數(shù)，符合這些特征，就可以化成右邊 的兩數(shù)和（或差）的平方．從而達(dá)到因式分解的目的．

例題解析

出示投影片

[例1]分解因式：

（1）16x2+24x+9

（2）-x2+4xy-4y2

[例2]分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay（2）（a+b）2-12（a+b）+36

學(xué)生有前一節(jié)學(xué)習(xí)公式法的經(jīng)驗(yàn)，可以讓學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，然后與同伴交流、總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)．

[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一個(gè)完全平方式，即

解：（1）16x2+24x+9

=（4x）2+2·4x·3+32

=（4x+3）2．

（2）分析：在（2）中兩個(gè)平方項(xiàng)前有負(fù)號(hào)，所以應(yīng)考慮添括號(hào)法則將負(fù)號(hào)提出，然后再考慮完全平方公式，因?yàn)?y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．

所以：

解：-x+4xy-4y=-（x-4xy+4y）

=-[x2-2·x·2y+（2y）]2

=-（x-2y）2．

練一練：

出示投影片

把下列多項(xiàng)式分解因式：

（1）6a-a2-9；

（2）-8ab-16a2-b2；

（3）2a2-a3-a；

（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

Ⅲ．隨堂練習(xí)

課本P198練習(xí)1、2．

Ⅳ．課時(shí)小結(jié)

學(xué)習(xí)因式分解內(nèi)容后，你有什么收獲，能將前后知識(shí)聯(lián)系，做個(gè)總結(jié)嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生回顧本大節(jié)內(nèi)容，梳理知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)歸納能力，最后出示投影片，給出分解因式的知識(shí)框架圖，使學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)有一個(gè)清晰的了解）2

222

Ⅴ．課后作業(yè)

課本P198練習(xí)15．5─3、5、8、9、10題． 《三級(jí)訓(xùn)練》

板書設(shè)計(jì)

15.5.2 公式法

知識(shí)要點(diǎn)

1．把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法．常用公式有：

①兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積．即a2-b2=（a+b）（a-?b）．

②兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方．即a2±2ab+b2=（a±b）2．

2．分解因式時(shí)首先觀察有無公因式可提，再考慮能否運(yùn)用公式法．

典型例題

例．一個(gè)正方形的面積是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？（x>0）

分析：本題的實(shí)質(zhì)是把多項(xiàng)式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1化成完全平方式的形式，可以運(yùn)用分解因式的方法．

解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1 =（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1 =（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1 =（x2+5x+5）2 ∴這個(gè)正方形的邊形是x2+5x+5．

練習(xí)題

第一課時(shí)

一、選擇題：

1．下列代數(shù)式中能用平方差公式分解因式的是（）

A．a(chǎn)2+b2 B．-a2-b2 C．a(chǎn)2-c2-2ac D．-4a2+b22．-4+0.09x2分解因式的結(jié)果是（）

A．（0.3x+2）（0.3x-2）B．（2+0.3x）（2-0.3x）C．（0.03x+2）（0.03x-2）D．（2+0.03x）（2-0.03x）3．已知多項(xiàng)式x+81b4可以分解為（4a2+9b2）（2a+3b）（3b-2a），則x的值是（）

A．16a4 B．-16a4 C．4a2 D．-4a24．分解因式2x2-32的結(jié)果是（）A．2（x2-16）B．2（x+8）（x-8）C．2（x+4）（x-4）D．（2x+8（x-8）

二、填空題：

5．已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是a2-b2（a>b），其中長(zhǎng)邊為a+b，則短邊長(zhǎng)是_______． 6．代數(shù)式-9m2+4n2分解因式的結(jié)果是_________． 7．25a2-__________=（-5a+3b）（-5a-3b）．

228．已知a+b=8，且a-b=48，則式子a-3b的值是__________．

三、解答題

9．把下列各式分解因式：

①a2-144b2 ②?R2-?r2 ③-x4+x2y2

10．把下列各式分解因式：

①3（a+b）2-27c2 ②16（x+y）2-25（x-y）2

③a2（a-b）+b2（b-a）④（5m2+3n2）2-（3m2+5n2）

2四、探究題

11．你能想辦法把下列式子分解因式嗎？

①3a2-

12b ②（a2-b2）+（3a-3b）3

答案: 1．D 2．A 3．B 4．C 5．a(chǎn)-b 6．（2n+3m）（2n-3m）7．9b2 8．4 9．①（a+12b）（a-12b）；②?（R+r）（R-r）；③-x2（x+y）（x-y）10．①3（a+b+3c）（a+b-3c）；②（9x-y）（9y-x）；

③（a+b）（a-b）2；④16（m2+n2）（m+n）（m+n）11．① 1（3a+b）·（3a-b）；②（a-b）（a+b+3）3第二課時(shí)

一、選擇題

1．已知y2+my+16是完全平方式，則m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多項(xiàng)式能用完全平方公式分解因式的是（）

A．x2-6x-9 B．a(chǎn)2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．下列各式屬于正確分解因式的是（）

A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）24．把x4-2x2y2+y4分解因式，結(jié)果是（）

A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D．（x+y）2（x-y）2

二、填空題

5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，則k的值是________．

6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．

8．已知a2+14a+49=25，則a的值是_________．

三、解答題

9．把下列各式分解因式：

①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2

③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2

10．已知x=-19，y=12，求代數(shù)式4x2+12xy+9y2的值．

11．已知│x-y+1│與x2+8x+16互為相反數(shù)，求x2+2xy+y2的值．

四、探究題

12．你知道數(shù)學(xué)中的整體思想嗎？解題中，?若把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體上，多方位思考、聯(lián)想、探究，進(jìn)行整體思考、整體變形，?從不同的方面確定解題策略，能使問題迅速獲解．

你能用整體的思想方法把下列式子分解因式嗎？

①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）

答案: 1．C 2．D 3．B 4．D 5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12 9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2

10．4 11．49 12．①（x+2y-1）2；②（a+b-2）2