第一篇：分解因式法 教案2

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§2．4 分解因式法

課時安排 1課時 從容說課

分解因式法是解某些一元二次方程較為簡便且靈活的一種特殊方法．它是把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來解．體現(xiàn)了一種“降次”的思想，這種思想在以后處理高次方程時非常重要．

這部分內(nèi)容的基本要求是讓學(xué)生學(xué)會方法．本節(jié)的重、難點是利用分解因式法來解某些一元二次方程．

由于《標準》中降低了分解因式的要求，根據(jù)學(xué)生已有的分解因式知識，學(xué)生僅能解決22形如“x(x-a)＝0”“x-a＝0”的特殊一元二次方程．所以在教學(xué)中，可以先出示一個較為簡單的方程，讓學(xué)生先各自求解，然后進行比較與評析，發(fā)現(xiàn)因式分解是解某些一元二次方程較為簡便的方法，從而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一個一元二次方程一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，可以使每一個因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原一元二次方程的解．這種思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重點．

通過方法的比較，力求讓學(xué)生根據(jù)方程的具體特征，靈活選取適當?shù)慕夥?，從而讓學(xué)生體會解決問題的多樣性．

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解：這里a＝20，b＝23，c＝-7，b-4ac＝23-4×20×(-7)＝1089＞0，∴x＝?23?1089?23?33.?2?204017 x2=-.54 ∴x1= [師]很好，由此我們知道：在已經(jīng)學(xué)習的解一元二次方程的三種方法——直接開平方法、配方法、公式法中，直接開平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法簡便．因此，大家選用的方法主要是直接開平方法和公式法．

公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的適用性，即可以解任何一個一元二次方程．

用公式法解一元二次方程，首先要把方程化為一般形式，從而正確地確定a、b、c的值；2其次，通常應(yīng)先計算b-4ac的值，然后求解．

一元二次方程是不是只有這三種解法呢?有沒有其他的方法?今天我們就來進一步探討一元二次方程的解法．

Ⅱ．講授新課

[師]下面我們來看一個題．(出示投影片§2．4 B)一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎?如果相等，這個數(shù)是幾?你是怎樣求出來的? [師]大家先獨自求解，然后分組進行討論、交流．

[生甲]解這個題時，我先設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可得方程 x=3x．

然后我用公式法來求解的． 解：由方程x＝3x，得 x-3x=0．

這里a=1，b=-3，c＝0.22 b-4ac＝(-3)-4×1×0 ＝9>0．

所以x=3?9 2 即x1=3，x2＝0．

因此這個數(shù)是0或3． [生乙]我也設(shè)這個數(shù)為x，同樣列出方程x＝3x．

解：把方程兩邊同時約去x，得x＝3．

所以這個數(shù)應(yīng)該是3．

[生丙]乙同學(xué)做錯了，因為0的平方是0，0的3倍也是0．根據(jù)題意可知，這個數(shù)也可以是0． [師]對，這說明乙同學(xué)在進行同解變形時，進行的是非同解變形，因此丟掉了一個根．大家在解方程的時候，需要注意：利用同解原理變形方程時，在方程兩邊同時乘以或除以的數(shù)，必須保證它不等于0，否則，變形就會錯誤．

這個方程還有沒有其他的解法呢? [生丁]我把方程化為一般形式后，發(fā)現(xiàn)這個等式的左邊有公因式x，這時可把x提 出來，左邊即為兩項的乘積．前面我們知道：兩個因式的乘積等于0，則這兩個因式為零，北京今日學(xué)易科技有限公司

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這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時，方程即可解． 解：x-3x＝0，x(x-3)＝0，于是x＝0，x-3＝0．

∴x1=0，x2=3 因此這個數(shù)是0或3．

[師]噢，這樣也可以解一元二次方程，同學(xué)們想一想，行嗎? [生齊聲]行．

[師]丁同學(xué)應(yīng)用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，議一議．(出示投影片§2．4 C)a×b＝0時，a=0和b=0可同時成立，那么x(x-3)=0時，x＝0和x-3＝0也能同時成立嗎? [生齊聲]不行．

??

[師]那該如何表示呢? [師]好，這時我們可這樣表示：

如果a×b=0，那么a＝0或b＝0 這就是說：當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中間用的是“或”，而不用“且”．

所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0時，中間應(yīng)寫上“或”字.我們再來看丁同學(xué)解方程x＝3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然后利用a×b＝0，則a=0或b＝0，把一元二次方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瑥亩蟪龇匠痰慕猓覀儼堰@種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就采用分解因式法來解一元二次方程．

因式分解法的理論根據(jù)是：如果兩個因式的積等于零，那么這兩個因式至少有一個等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，則一定有(x+2)(x-3)＝0．這就是說，解方程(x+2)(x-3)=0就相當于解方程x+2＝0或x-3=0．

接下來我們看一例題．(出示投影片§2．4 D)[例題]解下列方程：

2(1)5x=4x；(2)x-2＝x(x-2)． [師]同學(xué)們能獨自做出來嗎? [生]能．

[師]好，開始．

[生甲]解方程(1)時，先把它化為一般形式，然后再分解因式求解．

解：原方程可變形為 5x-4x＝0，x(5x-4)=0，x＝0或5x-4＝0．

∴x1=0，x2=4． 5 [生乙]解方程(2)時，因為方程的左、右兩邊都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整體，然后移項，再分解因式求解．

解：原方程可變形為

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x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．

∴x1＝2，x2=1．

[生丙]老師，解方程(2)時，能否將原方程展開后，再求解呢? [師]能呀，只不過這樣的話會復(fù)雜一些，不如把(x-2)當作整體簡便．

下面同學(xué)們來想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E)

22你能用分解因式法解方程x-4＝0，(x+1)-25=0嗎? 222 [生丁]方程x-4=0的右邊是0，左邊x-4可分解因式，即x-4=(x-2)(x+2)．這樣，方2程x-4＝0就可以用分解因式法來解，即 解：x-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．

∴x1=-2，x2=2． [生戊]方程(x+1)-25＝0的右邊是0，左邊(x+1)-25，可以把(x+1)看作整體，這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可分解因式，從而求出方程的解，即 解：(x+1)-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．

∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．

∴x1=-6，x2=4．

[師]好，這兩個題實際上我們在剛上課時解過，當時我們用的是開平方法，現(xiàn)在用的是因式分解法．由此可知：一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主．

好，下面我們通過練習來鞏固一元二次方程的解法．

Ⅲ．課堂練習

(一)課本P61隨堂練習1、2 1．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．

解：(1)由(x+2)(x-4)=0得 x+2＝0或x-4＝0。

∴x1=-2，x2=4．(2)原方程可變形為 4x(2x+1)-3(2x+1)＝0，(2x+1)(4x-3)＝0，∴2x+1＝0或4x-3＝0．

∴x1=-13,x2=.24 2．一個數(shù)的平方的2倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)．

解：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，得 2x＝7x，2x-7x＝0，x(2x-7)=0．

∴x＝0或2x-7＝0．

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∴x1=0，x2＝7． 27． 2 因此這個數(shù)等于0或(二)閱讀課本P59～P61，然后小結(jié)．

Ⅳ．課時小結(jié)

我們這節(jié)課又學(xué)習了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中應(yīng)用較為廣泛的簡便方法．

Ⅴ．課后作業(yè)

(一)課本P61習題2．7 1(二)1.預(yù)習內(nèi)容：P62～P64 2．預(yù)習提綱

如何列方程解應(yīng)用題．

Ⅵ．活動與探究

1．用分解因式法解：(x-1)(x+3)＝12． [過程]通過學(xué)生對這個題的探討、研究來提高學(xué)生的解題能力，養(yǎng)成良好的思考問題的習慣． [結(jié)果] 1．解：(x-1)(x+3)=12． x+2x-3＝12，x+2x-15＝0，(x+5)(x-3)＝0．

∴x+5＝0或x-3=0．

∴x1=-5，x2=3． 板書設(shè)計 2．4 分解因式法

2一、解方程x＝3x．

2解：由方程x＝3x得 2x-3x=0，即x(x-3)＝0．

于是x＝0或x-3＝0． 因此，x1＝0，x2＝3． 所以這個數(shù)是0或3．

二、例題

例：解下列方程；

2(1)5x＝4x；

(2)x-2＝x(x-2)．

三、想一想

四、課堂練習

五、課時小結(jié)

六、課后作業(yè) 備課資料

參考例題

例1：用分解因式法解下列方程：

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(1)(2x-5)-2x+5=0；(2)4(2x-1)＝9(x+4)．

分析：方程(1)的左邊化為以(2x-5)為整體的形式，然后利用提取公因式來分解因式；方程(2)先移項，然后將(2x-1)和(x+4)看作整體，利用平方差公式分解因式． 解：(1)方程化為(2x-5)-(2x-5)＝0，(2x-5)[(2x-5)-1]＝0．

∴2x-5＝0或(2x-5)-1＝0．

∴x1＝25，x2＝3． 2(2)方程化為 4(2x-1)-9(x+4)＝0，[2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0．

∴2(2x-1)+3(x+4)＝0，2(2x-1)-3(x+4)＝0．

∴x1＝-10，x2=14． 7北京今日學(xué)易科技有限公司

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第二篇：分解因式-公式法教案

§15．5．2．1 公式法

（一）教學(xué)目標

（一）教學(xué)知識點

運用平方差公式分解因式．

（二）能力訓(xùn)練要求

1．能說出平方差公式的特點．

2．能較熟練地應(yīng)用平方差公式分解因式．

3．初步會用提公因式法與公式法分解因式．?并能說出提公因式在這類因式分解中的作用．

4．知道因式分解的要求：把多項式的每一個因式都分解到不能再分解．

（三）情感與價值觀要求

培養(yǎng)學(xué)生的觀察、聯(lián)想能力，進一步了解換元的思想方法．

教學(xué)重點

應(yīng)用平方差公式分解因式．

教學(xué)難點

靈活應(yīng)用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．

教學(xué)方法

自主探索法．

教具準備

投影片．

教學(xué)過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

出示投影片，讓學(xué)生思考下列問題．

問題1：你能敘述多項式因式分解的定義嗎？

問題2：運用提公因式法分解因式的步驟是什么？

問題3：你能將a2-b2分解因式嗎？你是如何思考的？

[生]1．多項式的因式分解其實是整式乘法的逆用，?也就是把一個多項式化成了幾個整式的積的形式．

2．提公因式法的第一步是觀察多項式各項是否有公因式，如果沒有公因式，?就不能使用提公因式法對該多項式進行因式分解．

3．對不能使用提公因式法分解因式的多項式，不能說不能進行因式分解．

[生]要將a2-b2進行因式分解，可以發(fā)現(xiàn)它沒有公因式，?不能用提公因式法分解因式，但我們還可以發(fā)現(xiàn)這個多項式是兩個數(shù)的平方差形式，所以用平方差公式可以寫成如下形式：

a2-b2=（a+b）（a-b）．

[師]多項式的乘法公式的逆向應(yīng)用，就是多項式的因式分解公式，如果被分解的多項式符合公式的條件，就可以直接寫出因式分解的結(jié)果，這種分解因式的方法稱為運用公式法．今天我們就來學(xué)習利用平方差公式分解因式．

Ⅱ．導(dǎo)入新課

[師]觀察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的項、指數(shù)、符號有什么特點？

（讓學(xué)生分析、討論、總結(jié)，最后得出下列結(jié)論）

（1）左邊是二項式，每項都是平方的形式，兩項的符號相反．

（2）右邊是兩個多項式的積，一個因式是兩數(shù)的和，另一個因式是這兩數(shù)的差．

（3）在乘法公式中，“平方差”是計算結(jié)果，而在分解因式，?“平方差”是得分解因

式的多項式．

由此可知如果多項式是兩數(shù)差的形式，并且這兩個數(shù)又都可以寫成平方的形式，那么這個多項式可以運用平方差公式分解因式．

出示投影片

[做下列填空題的作用在于訓(xùn)練學(xué)生迅速地把一個單項式寫成平方的形式．?也可以對積的乘方、冪的乘方運算法則給予一定時間的復(fù)習，避免出現(xiàn)4a2=（4a）2?這一類錯誤]

填空：

（1）4a2=（）2；

（2）42b=（）2； 9

（3）0.16a4=（）2；

（4）1.21a2b2=（）2；

14x=（）2； 4

4（6）5x4y2=（）2．

9（5）

2例題解析：

出示投影片：

[例1]分解因式

（1）4x2-9

（2）（x+p）2-（x+q）

[例2]分解因式

（1）x4-y4

（2）a3b-ab

可放手讓學(xué)生獨立思考求解，然后師生共同討論，糾正學(xué)生解題中可能發(fā)生的錯誤，并對各種錯誤進行評析．

[師生共析]

[例1]（1）

（教師可以通過多媒體課件演示（1）中的2x，（2）中的x+p?相當于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相當于平方差中的b，進而說明公式中的a與b?可以表示一個數(shù)，也可以表示一個單項式，甚至是多項式，滲透換元的思想方法）

[例2]（1）x4-y4可以寫成（x2）2-（y2）2的形式，這樣就可以利用平方差公式進行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分學(xué)生會不繼續(xù)分解因式，針對這種情況，可以回顧因式分解定義后，?讓學(xué)生理解因式分解的要求是必須進行到多項式的每一個因式都不能再分解為止．

（2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通過觀察可以發(fā)現(xiàn)a3b-ab?有公因式ab，應(yīng)先提出公因式，再進一步分解．

解：（1）x4-y4

=（x2+y2）（x2-y2）

=（x2+y2）（x+y）（x-y）．

（2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．

學(xué)生解題中可能發(fā)生如下錯誤：

（1）系數(shù)變形時計算錯誤；

（2）結(jié)果不化簡；

（3）化簡時去括號發(fā)生符號錯誤．

最后教師提出：

（1）多項式分解因式的結(jié)果要化簡：

（2）在化簡過程中要正確應(yīng)用去括號法則，并注意合并同類項．

練一練：

（出示投影片）

把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2-49（x-y）2

（2）（x-1）+b2（1-x）

（3）（x2+x+1）2-1(x?y)2(x?y)2（4）-．

Ⅲ．隨堂練習

1．課本P196練習1、2．

Ⅳ．課時小結(jié)

1．如果多項式各項含有公因式，則第一步是提出這個公因式．

2．如果多項式各項沒有公因式，則第一步考慮用公式分解因式．

3．第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續(xù)分解，?則需要進一步分解因式．直到每個多項式因式都不能分解為止．

§15．5．3．2 公式法

（二）教學(xué)目標

（一）教學(xué)知識點

用完全平方公式分解因式

（二）能力訓(xùn)練要求

1．理解完全平方公式的特點．

2．能較熟悉地運用完全平方公式分解因式．

3．會用提公因式、完全平方公式分解因式，?并能說出提公因式在這類因式分解中的作用．

4．能靈活應(yīng)用提公因式法、公式法分解因式．

（三）情感與價值觀要求

通過綜合運用提公因式法，完全平方公式分解因式，進一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察和聯(lián)想能力．通過知識結(jié)構(gòu)圖培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力．

教學(xué)重點

用完全平方公式分解因式．

教學(xué)難點

靈活應(yīng)用公式分解因式．

教學(xué)方法

探究與講練相結(jié)合的方法．

教具準備

投影片．

教學(xué)過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

問題1：根據(jù)學(xué)習用平方差公式分解因式的經(jīng)驗和方法，?分析和推測什么叫做運用完全平方公式分解因式？能夠用完全平方公式分解因式的多項式具有什么特點？

問題2：把下列各式分解因式．

（1）a2+2ab+b2

（2）a2-2ab+b2

[生]將整式乘法的平方差公式反過來寫即是分解因式的平方差公式．同樣道理，把整式乘法的完全平方公式反過來寫即分解因式的完全平方公式．

[師]能不能用語言敘述呢？

[生]能．兩個數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的積的2倍，?等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方．

問題2其實就是完全平方公式的符號表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．

[師]今天我們就來研究用完全平方公式分解因式．

Ⅱ．導(dǎo)入新課

出示投影片

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2-4a+4

（2）x2+4x+4y2

（3）4a2+2ab+12 b

4（4）a2-ab+b2

（5）x2-6x-9

（6）a2+a+0.25

（放手讓學(xué)生討論，達到熟悉公式結(jié)構(gòu)特征的目的）．

2222

結(jié)果：（1）a-4a+4=a-2×2·a+2=（a-2）

（3）4a2+2ab+12111b=（2a）2+2×2a·b+（b）2=（2a+b）2 422

2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2

（2）、（4）、（5）都不是．

方法總結(jié)：分解因式的完全平方公式，左邊是一個二次三項式，其中有兩個數(shù)的平方和還有這兩個數(shù)的積的2倍或這兩個數(shù)的積的2倍的相反數(shù)，符合這些特征，就可以化成右邊 的兩數(shù)和（或差）的平方．從而達到因式分解的目的．

例題解析

出示投影片

[例1]分解因式：

（1）16x2+24x+9

（2）-x2+4xy-4y2

[例2]分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay（2）（a+b）2-12（a+b）+36

學(xué)生有前一節(jié)學(xué)習公式法的經(jīng)驗，可以讓學(xué)生嘗試獨立完成，然后與同伴交流、總結(jié)解題經(jīng)驗．

[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一個完全平方式，即

解：（1）16x2+24x+9

=（4x）2+2·4x·3+32

=（4x+3）2．

（2）分析：在（2）中兩個平方項前有負號，所以應(yīng)考慮添括號法則將負號提出，然后再考慮完全平方公式，因為4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．

所以：

解：-x+4xy-4y=-（x-4xy+4y）

=-[x2-2·x·2y+（2y）]2

=-（x-2y）2．

練一練：

出示投影片

把下列多項式分解因式：

（1）6a-a2-9；

（2）-8ab-16a2-b2；

（3）2a2-a3-a；

（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2

Ⅲ．隨堂練習

課本P198練習1、2．

Ⅳ．課時小結(jié)

學(xué)習因式分解內(nèi)容后，你有什么收獲，能將前后知識聯(lián)系，做個總結(jié)嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生回顧本大節(jié)內(nèi)容，梳理知識，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)歸納能力，最后出示投影片，給出分解因式的知識框架圖，使學(xué)生對這部分知識有一個清晰的了解）2

222

Ⅴ．課后作業(yè)

課本P198練習15．5─3、5、8、9、10題． 《三級訓(xùn)練》

板書設(shè)計

15.5.2 公式法

知識要點

1．把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法．常用公式有：

①兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積．即a2-b2=（a+b）（a-?b）．

②兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方．即a2±2ab+b2=（a±b）2．

2．分解因式時首先觀察有無公因式可提，再考慮能否運用公式法．

典型例題

例．一個正方形的面積是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道這個正方形的邊長是多少嗎？（x>0）

分析：本題的實質(zhì)是把多項式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1化成完全平方式的形式，可以運用分解因式的方法．

解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1 =（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1 =（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1 =（x2+5x+5）2 ∴這個正方形的邊形是x2+5x+5．

練習題

第一課時

一、選擇題：

1．下列代數(shù)式中能用平方差公式分解因式的是（）

A．a(chǎn)2+b2 B．-a2-b2 C．a(chǎn)2-c2-2ac D．-4a2+b22．-4+0.09x2分解因式的結(jié)果是（）

A．（0.3x+2）（0.3x-2）B．（2+0.3x）（2-0.3x）C．（0.03x+2）（0.03x-2）D．（2+0.03x）（2-0.03x）3．已知多項式x+81b4可以分解為（4a2+9b2）（2a+3b）（3b-2a），則x的值是（）

A．16a4 B．-16a4 C．4a2 D．-4a24．分解因式2x2-32的結(jié)果是（）A．2（x2-16）B．2（x+8）（x-8）C．2（x+4）（x-4）D．（2x+8（x-8）

二、填空題：

5．已知一個長方形的面積是a2-b2（a>b），其中長邊為a+b，則短邊長是_______． 6．代數(shù)式-9m2+4n2分解因式的結(jié)果是_________． 7．25a2-__________=（-5a+3b）（-5a-3b）．

228．已知a+b=8，且a-b=48，則式子a-3b的值是__________．

三、解答題

9．把下列各式分解因式：

①a2-144b2 ②?R2-?r2 ③-x4+x2y2

10．把下列各式分解因式：

①3（a+b）2-27c2 ②16（x+y）2-25（x-y）2

③a2（a-b）+b2（b-a）④（5m2+3n2）2-（3m2+5n2）

2四、探究題

11．你能想辦法把下列式子分解因式嗎？

①3a2-

12b ②（a2-b2）+（3a-3b）3

答案: 1．D 2．A 3．B 4．C 5．a(chǎn)-b 6．（2n+3m）（2n-3m）7．9b2 8．4 9．①（a+12b）（a-12b）；②?（R+r）（R-r）；③-x2（x+y）（x-y）10．①3（a+b+3c）（a+b-3c）；②（9x-y）（9y-x）；

③（a+b）（a-b）2；④16（m2+n2）（m+n）（m+n）11．① 1（3a+b）·（3a-b）；②（a-b）（a+b+3）3第二課時

一、選擇題

1．已知y2+my+16是完全平方式，則m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多項式能用完全平方公式分解因式的是（）

A．x2-6x-9 B．a(chǎn)2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+1 3．下列各式屬于正確分解因式的是（）

A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）24．把x4-2x2y2+y4分解因式，結(jié)果是（）

A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D．（x+y）2（x-y）2

二、填空題

5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，則k的值是________．

6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．

8．已知a2+14a+49=25，則a的值是_________．

三、解答題

9．把下列各式分解因式：

①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2

③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2

10．已知x=-19，y=12，求代數(shù)式4x2+12xy+9y2的值．

11．已知│x-y+1│與x2+8x+16互為相反數(shù)，求x2+2xy+y2的值．

四、探究題

12．你知道數(shù)學(xué)中的整體思想嗎？解題中，?若把注意力和著眼點放在問題的整體上，多方位思考、聯(lián)想、探究，進行整體思考、整體變形，?從不同的方面確定解題策略，能使問題迅速獲解．

你能用整體的思想方法把下列式子分解因式嗎？

①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）

答案: 1．C 2．D 3．B 4．D 5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12 9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2

10．4 11．49 12．①（x+2y-1）2；②（a+b-2）2

第三篇：運用公式法分解因式教案

8.4.2

因式分解

2)36a281= m2-92 =(m + 9)(m25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b)2．填空：

（1）4a2=（）2（2）b2=（）2（3）0.16a4=（）2（4）1.21a2b2=（）2（5）2x4=（）2（6）5x4y2=（）2

3、下列多項式能轉(zhuǎn)化成（）２－（）２的形式嗎？如果能，請將其轉(zhuǎn)化成（）２－（）２的形式。(1)m2 －1 =(2)4m2 －9=(3)4m2+9 =(4)x2 －25y 2(5)－x2 －25y2(6)－x2+25y2

例1.把下列各式分解因式

（1）16a2-1 =(2)4x2-m2n2= 2(3)–9x2 + m 考考你

144949a ? b ?(a ? b)a ? b)

(x+z)225(a4a 4)(x + y + z)2b2 =(a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式，要注意“整體”“換元”思想的運用。

3.當要分解的多項式是兩個多項式的平方時，分解成的兩個因式要進行去括號化簡，若有同類項，要進行合并，直至分解到不能再分解為止。

（五）小結(jié)與評價

你的收獲是什么？

你還有什么疑惑？

六、作業(yè)布置

練習P76 1、2習題8.4

第2題（3）題，第4題（2）（4）題

第5題（1）（2）題

七、板書設(shè)計：

運用公式法

——平方差公式分解因式 a2-b2＝(a＋b)(a-b)例1 練習1 練習3

例2 練習2 練習4

八、教學(xué)反思 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計借助于學(xué)生已有的整式乘法運算的基礎(chǔ)，給學(xué)生留有充分探索與交流的時間和空間，讓他們經(jīng)歷從整式乘法到分解因式的轉(zhuǎn)換過程并能用符號合理的表示出分解因式的關(guān)系式，同時感受到這種互逆變形的過程和數(shù)學(xué)知識的整體性。有意識的培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問題的習慣，并且保證基本的運算技能的訓(xùn)練，避免復(fù)雜的題型訓(xùn)練。不足之處在于沒有把握好學(xué)生自主探究與講解的時間安排，導(dǎo)致學(xué)生訓(xùn)練的時間有所減少。

第四篇：分解因式法教學(xué)設(shè)計

第二章

一元二次方程

４．分解因式法

一、教學(xué)目標

知識技能、會用分解因式法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

數(shù)學(xué)思考、通過小組合作交流，體會轉(zhuǎn)化的思想，嘗試在解方程過程中，多角度地思考問題，尋求從不同角度解決問題的方法，并初步學(xué)會不同方法之間的差異，學(xué)會在與他人的交流中獲益。

問題解決、通過分解因式法的學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力 情感態(tài)度、進一步豐富數(shù)學(xué)學(xué)習的成功體驗，使學(xué)生在學(xué)習中培養(yǎng)良好的情感、態(tài)

度和主動參與、合作交流的意識，進一步提高觀察、分析、概括等能力。

二、教學(xué)重難點

重點：掌握分解因式法解一元二次方程；

難點：靈活運用分解因式法解一元二次方程；

三、教學(xué)方法

探索引導(dǎo)法

四、教具準備

五、教學(xué)過程

1、情境創(chuàng)設(shè)

1、用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程應(yīng)先將方程化為一般形式。

3、選擇合適的方法解下列方程： ①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0 以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶兩種解一元二次方程的方法，有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò)，為學(xué)生后面的學(xué)習作好鋪墊。

2、探究新知

（1)

1、一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數(shù)是幾？你是怎樣 求出來的？

說明：學(xué)生獨自完成，教師巡視指導(dǎo)，選擇不同答案準備展示。思路一：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程

x2=3x ∴x2-3x=0 ∵a=1,b=-3,c=0 ∴ b2-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 這個數(shù)是0或3。

思路二：:設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2)2(x-3/2)2=9/4 ∴ x-3/2=3/2或x-3/2=-3/2 ∴ x1=3, x2=0 ∴這個數(shù)是0或3。

思路三：:設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即x(x-3)=0 ∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 這個數(shù)是0或3。

思路四：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程 x2=3x 兩邊同時約去x,得

∴ x=3 ∴ 這個數(shù)是3。

2、同學(xué)們在下面用了多種方法解決此問題，觀察以上四種做法是否存在問題?你認為那種方法更合適?為什么? 說明：小組內(nèi)交流,中心發(fā)言人回答,及時讓學(xué)生補充不同的思路，關(guān)注每一個學(xué)生的參與情況?？赡艹霈F(xiàn)下面幾種情況，教師需注意引導(dǎo)：

?：認為思路四的做法不正確,因為要兩邊同時約去X,必須確保X不等于0,但題目中沒有說明。雖然我們組沒有人用思路三的做法,但我們一致認為思路三的做法最好,這樣做簡單又準確.?：補充一點，剛才講X須確保不等于0，而此題恰好X=0,所以不能約去，否則丟根.3、我們可這樣表示：

如果a×b=0,那么a=0或b=0 這就是說：當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0時，中間應(yīng)寫上“或”字。

我們再來看c同學(xué)解方程x2=3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然后利用a×b=0,則a=0或b=0,把一元二次方程變成一元一次方程，從而求出方程的解。我們把這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即

當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我門就采用分解因式法來解一元二次方程。

說明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一個成立”的意思，包括兩種情況，二者同時成立；二者有一個成立。“且”是“二者同時成立”的意思。(2)例題解析

解下列方程(1)、5X2=4X(仿照引例學(xué)生自行解決)(2)、X-2=X(X-2)(師生共同解決)(3)、(X+1)2-25=0(師生共同解決)解：（1）原方程可變形為

5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0 ∴ X=0或5X-4=0 ∴ X1=0, X2=4/5 解：(2)原方程可變形為

（X-2）-X(X-2)=0 ∴(X-2)(1-X)=0 ∴ X-2=0或1-X=0 ∴ X1=2，X2=1 方程(x+1)2-25=0的右邊是0，左邊(x+1)2-25可以把(x+1)看做整體，這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可分解因式。

解：(3)原方程可變形為

[(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ∴(X+6)(X-4)=0 ∴ X+6=0或X-4=0 ∴ X1=-6，X2=4 這個題實際上我們在前幾節(jié)課時解過，當時我們用的是開平方法，現(xiàn)在用的是因式分解法。由此可知：一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主。

問題：

1、用這種方法解一元二次方程的思路是什么?步驟是什么?(小組合作交流)

2、對于以上三道題你是否還有其他方法來解?(課下交流完成)

3、你能用分解因式法解方程x2?4?0嗎？

在課本的基礎(chǔ)上例題又補充了一題,目的是練習使用公式法分解因式。

3、隨堂練習

1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0(2)4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一個數(shù)平方的兩倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)？

4、課堂小結(jié)

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和關(guān)鍵。

2、在應(yīng)用分解因式法時應(yīng)注意的問題。

3、分解因式法體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想?

5、布置作業(yè)

1、課本69頁習題2.7 第 1、2、3題

第五篇：分解因式法教學(xué)設(shè)計

第二章

一元二次方程

４．分解因式法

一、教學(xué)任務(wù)分析

知識與技能目標

1、能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性；

2、會用分解因式法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

二、教學(xué)過程分析

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習回顧

1、用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程應(yīng)先將方程化為一般形式。

3、選擇合適的方法解下列方程： ①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0 第二環(huán)節(jié)：情景引入、探究新知

一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？

第三環(huán)節(jié) 例題解析

解下列方程(1)、5X2=4X(仿照引例學(xué)生自行解決)(2)、X-2=X(X-2)(師生共同解決)(3)、(X+1)2-25=0(師生共同解決)學(xué)生G：解方程（1）時，先把它化為一般形式，然后再分解因式求解。

問題：

1、用這種方法解一元二次方程的思路是什么?步驟是什么?(小組合作交流)

2、對于以上三道題你是否還有其他方法來解?(課下交流完成)第四環(huán)節(jié)：鞏固練習

內(nèi)容：

1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0

(2)X2-4=0

(3)4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一個數(shù)平方的兩倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)？

第五環(huán)節(jié) 拓展與延伸

師：想不想挑戰(zhàn)自我？ 學(xué)生：想

內(nèi)容：

1、一個小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的速度h(m)，與時間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-5t2 小球何時能落回地面？

2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一個根為0，求m 的值

說明：a學(xué)生交流合作后教師適當引導(dǎo)提出兩個問提，1、第一題中小球落回地面是什么意思？

2、第二題中一個根為0有什么用？

b這組補充題目稍有難度,為了激發(fā)優(yōu)秀生的學(xué)習熱情。

第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲

內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和關(guān)鍵。

2、在應(yīng)用分解因式法時應(yīng)注意的問題。

3、分解因式法體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想? 第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè)

1、課本62頁習題2.7 1、2(2)(3)

2、預(yù)習內(nèi)容：P62—P64

3、預(yù)習提綱：如何列方程解應(yīng)用題

三、教學(xué)反思