第一篇：高中數(shù)學(xué)教師資格面試《圓的一般方程》教案

2015山西教師招聘考試

高中數(shù)學(xué)教師資格面試《圓的一般方程》教案

一、教學(xué)目標(biāo) 【知識(shí)與技能】

在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件。

【過程與方法】

通過對(duì)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力得到提高。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。

二、教學(xué)重難點(diǎn) 【重點(diǎn)】

掌握?qǐng)A的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程?！倦y點(diǎn)】

二元二次方程與圓的一般方程及標(biāo)準(zhǔn)圓方程的關(guān)系。

三、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)舊知，引出課題

1.復(fù)習(xí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心、半徑。

2.提問1：已知圓心為(1,-2)、半徑為2的圓的方程是什么?(二)交流討論，探究新知

1.提問2：方程x2 +y2-2x+4y+1=0是什么圖形?方程x2 +y2-2x-4y+6=0表示什么圖形?任何圓的方程都是這樣的二元二次方程嗎?(通過此例分析引導(dǎo)學(xué)生使用配方法)2.方程x2 +y2 +Dx+Ey+F=0什么條件下表示圓?(配方和展開由學(xué)生相互討論交流完成,教師最后展示結(jié)果)將x2 +y2 +Dx+Ey+F=0配方得：

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3.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)方程分類討論，最后師生共同總結(jié)出3種情況，即圓的一般方程表示圓的條件。從而得出圓的一般方程是：x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)4.由學(xué)生歸納圓的一般方程的特點(diǎn)，師生共同總結(jié)。(三)例題講解，深化新知

例1.判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑。

例2.求過三點(diǎn)A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。

(四)小結(jié)作業(yè)

師生共同總結(jié)今天這節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn) 作業(yè)：分必做題和選做題。

四、板書設(shè)計(jì)

五、教學(xué)反思

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第二篇：人教版圓的一般方程教案

圓的一般方程

一、教學(xué)目標(biāo)

1．討論并掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)，并能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑．

2．能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程解題，解題過程中能分析和運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)．

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

圓的一般方程的探求過程及其特點(diǎn)是教學(xué)重點(diǎn)；根據(jù)具體條件選用圓的方程為教學(xué)難點(diǎn)．

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)并引入新課

師：請(qǐng)大家說出圓心在點(diǎn)(a，b)，且半徑是r的圓的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

師：以前學(xué)習(xí)過直線，直線方程有哪幾種？

生：直線方程有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式． 師：直線方程的一般式是Ax+By+C=0嗎？ 生A：是的．

生B：缺少條件A2+B2≠0．

師：好！那么圓的方程有沒有類似“直線方程的一般式”那樣的“一般方程”呢？

(書寫課題：“圓的一般方程”的探求)1

（二）探索新知

師：圓是否有一般方程？這是個(gè)未解決的問題，我們來(lái)探求一下．大家知道，我們認(rèn)識(shí)一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式……)展開整理而得到的．想求圓的一般方程，怎么辦？ 生：可仿照直線方程試一試！把標(biāo)準(zhǔn)形式展開，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F(xiàn)=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)師：從(*)式的得來(lái)過程可知，只要是圓的方程就可以寫成(*)的形式．那么能否下結(jié)論：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圓的方程？ 生A：不一定．還得考慮：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否寫成標(biāo)準(zhǔn)形式．

生B：也可以像直線方程一樣，要有一定條件． 師：那么考慮考慮怎樣去尋找條件？ 生：配方．

師；請(qǐng)大家動(dòng)手做，看看能否配成標(biāo)準(zhǔn)形式？

(放手讓同學(xué)討論，教師適當(dāng)指導(dǎo)，然后由同學(xué)說，教師板書．)

22將（*）式配方得:??D??E?D2?E2?4F?x?2?????y?2???4.???

1．當(dāng)D2+E2－4F＞0時(shí)，比較(△)式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知：(*)式表示以

??DE1??2,??2??為圓心，2D2?E2?4F為半徑的圓；

2.當(dāng)D2?E2?4F?0時(shí)，???式只有實(shí)數(shù)解x??D2,y??E2，即???式表示一個(gè)點(diǎn)??D??2，?E?2???有時(shí)也叫點(diǎn)圓?3.當(dāng)D2+E2－4F＜0時(shí)，(*)式?jīng)]有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．

教師總結(jié)：當(dāng)D2+E2－4F＞0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圓的一般方程．

師：圓的一般方程有什么特點(diǎn)？ 生A：是關(guān)于x、y的二元二次方程． 師：剛才生A的說法對(duì)嗎？

生B：不全對(duì)．它是關(guān)于x、y的特殊的二元二次方程． 師：特殊在什么地方？

(通過爭(zhēng)論與舉反例后，由教師總結(jié))師：1．x2，y2系數(shù)相同，且不等于零． 2．沒有xy這樣的二次項(xiàng)．

(追問)：這兩個(gè)條件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圓”的什么條件？ 生：必要條件． 師：還缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0．

練習(xí)：判斷以下方程是否是圓的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 3

②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0

三、應(yīng)用舉例

師：先請(qǐng)大家比較一下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2+(y－b)2=r2與一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在應(yīng)用上各有什么優(yōu)點(diǎn)？

生：標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征明顯——能看出圓心、半徑；一般方程的優(yōu)點(diǎn)是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程． 師：怎樣判斷用“一般方程”表示的圓的圓心、半徑．

DE?1生：圓心???，r?D2?E2?4F.??，?22?2生B：不用死記，配方即可．

師：兩種形式的方程各有特點(diǎn)，我們應(yīng)對(duì)具體情況作具體分析、選擇． 四．例題講解

例1．求過三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程；

分析：由于O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一條直線上，因此經(jīng)過O,M1,M2三點(diǎn)有唯一的圓．

解：法一：設(shè)圓的方程為x2?y2?Dx?Ey?F?0，∵O,M1,M2三點(diǎn)都在圓上，∴O,M1,M2三點(diǎn)坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所設(shè)方程，4

?F?0?得：?D?E?F?2?0

?4D?2E?F?20?0??D??8?解之得：?E?6

?F?0?所以，所求圓的方程為x2?y2?8x?6y?0．

法二：也可以求OM1和OM2中垂線的交點(diǎn)即為圓心，圓心到O的距離就是半徑也可以求的圓的方程：x2?y2?8x?6y?0．

法三：也可以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x?a)2?(y?b)2?r2將點(diǎn)的坐標(biāo)代入后解方程組也可以解得(x?4)2?(y?3)2?25

五、小結(jié)

注意一般式的特點(diǎn)：1°x2，y2系數(shù)相等且不為零；2°沒有xy這樣的項(xiàng)；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考慮：D2+E2－4F有點(diǎn)像什么？像判別式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圓的方程的判別式．如D、E確定了，則與F的變化有關(guān)．

六、作業(yè)：

1.求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0

七、教學(xué)反思

這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課，而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過程．因此，在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，力求“過程、結(jié)論并重；知識(shí)、能力、思想方法并重”.6

第三篇：數(shù)學(xué)教案(圓的一般方程)

教學(xué)簡(jiǎn)案

【課

題】圓的一般方程 【教學(xué)目標(biāo)】

1、知識(shí)目標(biāo)：（1）在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心和半徑，掌握方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件；

（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程。

（3）利用圓的方程解決與圓有關(guān)的實(shí)際問題。

2、能力目標(biāo)：通過對(duì)方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件的探索，培養(yǎng)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力。

3、情感目標(biāo)：滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。

【教學(xué)重點(diǎn)】圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F。

【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和應(yīng)用。【教學(xué)方法】講授法，分析法?！窘虒W(xué)用具】多媒體輔助教學(xué) 【教學(xué)流程】

一、情景創(chuàng)設(shè) 問題1：

在平面直角坐標(biāo)系中，以C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的方程是什么？

問題2：

將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理后，能發(fā)現(xiàn)哪些特征？（尋找新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)）

結(jié)論：（多媒體顯示）

將(x?a)2?(y?b)2?r2 展開得x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0，我們發(fā)現(xiàn)任何圓都能表示為一個(gè)具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2項(xiàng)的系數(shù)同為1；

（2）不出現(xiàn)交叉乘積的二次項(xiàng)xy。

問題3：

x2?y2?2x?4y?6?0是圓的方程？若是，寫出圓心坐標(biāo)和半徑；若不是，則說明理由

二、探索研究

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件是什么？

（創(chuàng)設(shè)一種鼓勵(lì)的寬松的氛圍，讓學(xué)生充分發(fā)表自已的觀點(diǎn)，教師適當(dāng)引導(dǎo)。）

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，通過配方后可以化為

D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)?

224（1）當(dāng)D2?E2?4F?0時(shí)，方程表示以(?為半徑的圓；

DE1,?)為圓心，D2?E2?4F222（2）當(dāng)D2?E2?4F?0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(?DE,?)； 22（3）當(dāng)D2?E2?4F?0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而方程不表示任何圖形。板書：圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F?0）

指出：（1）圓心(?DE1,?)，半徑D2?E2?4F； 222（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于它明確指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn)；

（3）給出圓的一般方程，會(huì)寫出它的圓心和半徑；若給出相關(guān)條件，則能求出圓的方程。

三、應(yīng)用舉例

例

1、判斷下列方程是否表示圓，如果是，并求出各圓的半徑和圓心坐標(biāo)：

（1）x2?y2?6x?0；

（2）2x2?2y2?4x?8y?12?0；

（3）2x2?2y2?4x?8y?10?0；（4）x2?y2?6x?10?0；

（5）x2?2y2?4x?8y?10。

（解略）

例

2、求以O(shè)(0,0),A(1,1),B(4,2)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓方程，并求出它的圓心和半徑。

（分析：應(yīng)用圓的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，將已知三點(diǎn)的坐標(biāo)代

入這個(gè)方程，得到一個(gè)三元一次方程組，解這個(gè)三元一次方程組，即可求得

圓的一般方程，對(duì)圓的一般方程配方即可求半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。同時(shí)，將這

種求圓的一般方程的方法稱為“待定系數(shù)法”。）

四、課內(nèi)練習(xí)

1、判定下列方程中，哪些是圓的方程？如果是，求出它們的圓心和半徑：

（1）2x2?2y2?4x?5?0；

（2）x2?y2?3x?4y?12?0；

3（3）x2?2y2?4x?2y?5?0；

（4）?x2?2y2?4x?2y?1；

（5）3x2?4xy?(x?2y)2?4

2、求過三點(diǎn)A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圓的方程。

五、課內(nèi)拓展

若圓x2?y2?Dx?Ey?F?0與y軸相切于原點(diǎn)，則D，E，F(xiàn)應(yīng)滿足什么條件？若圓與y軸相切呢？

學(xué)生討論，各抒已見，相互補(bǔ)充，完善結(jié)論。

我們還可以繼續(xù)探究：如當(dāng)圓與x軸相切；過原點(diǎn)；原點(diǎn)在圓內(nèi)；等等情況時(shí)，系數(shù)D、E、F應(yīng)滿足的條件。

八、歸納小結(jié)

（教師引導(dǎo)，由學(xué)生總結(jié)一節(jié)課的收獲，然后顯示幻燈片同時(shí)教師總結(jié)。）

五、布置作業(yè)

（1）課堂作業(yè)：《數(shù)學(xué)指導(dǎo)用書》第25頁(yè)課外習(xí)題1（1）（2）（3）（4）、2、4。（2）課外作業(yè)：《數(shù)學(xué)指導(dǎo)用書》第26頁(yè)課外習(xí)題5、6、7。

第四篇：高二數(shù)學(xué)圓的一般方程教案 人教版

高二數(shù)學(xué)圓的一般方程教案 人教版

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

使學(xué)生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程，培養(yǎng)學(xué)生用配方法和待定系數(shù)法解決實(shí)際問題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對(duì)待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學(xué)生不要死記配方結(jié)果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強(qiáng)這方面題型訓(xùn)練．)

2．難點(diǎn)：圓的一般方程的特點(diǎn)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓的一般方程的特點(diǎn)，并加以記憶．)

3．疑點(diǎn)：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．

(解決辦法：通過對(duì)方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 講授、提問、歸納、演板、小結(jié)、再講授、再演板．

四、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)引入新課

前面，我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個(gè)圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請(qǐng)大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來(lái)深入研究這一方面的問題．復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：(1)

(1)當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程

第五篇：高中數(shù)學(xué) (4.1.2 圓的一般方程)示范教案 新人教A版必修2

4.1.2 圓的一般方程

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教材通過將二元二次方程

x+y+Dx+Ey+F=0

2配方后化為D2F2D2?E2?4F222222(x+)+(y+)=后只需討論D+E-4F＞0、D+E-4F=0、D+E-4F＜0.與圓的224DE122標(biāo)準(zhǔn)方程比較可知D+E-4F＞0時(shí),表示以(-,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的222DDEE22圓；當(dāng)D+E-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)

2222D+E-4F＜0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.22 從而得出圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)x和y的系數(shù)相同,不等于0；(2)沒有x·y這樣的2222二次項(xiàng)；(3)D+E-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時(shí)滿足才是充要條件.222 同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)＋(y－b)=r含有三個(gè)待定系數(shù)a、b、r一樣,圓的一般方程22x+y+Dx+Ey+F=0中也含有三個(gè)待定系數(shù)D、E、F,因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓.同樣可以用待定系數(shù)法求得圓的一般方程.在實(shí)際問題中,究竟使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是使用圓的一般方程更好呢？應(yīng)根據(jù)具體問題確定.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是明確指出了圓心的坐標(biāo)和圓的半徑,因此,對(duì)于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果已知條件和圓心坐標(biāo)、圓的半徑都無(wú)直接關(guān)系,通常采用圓的一般方程；有時(shí)兩種方程形式都可用時(shí)也常采用圓的一般方程的形式,這是因?yàn)樗杀苊饨馊畏匠探M.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確直觀地指出圓心坐標(biāo)和半徑的長(zhǎng).我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關(guān)性質(zhì)和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優(yōu)點(diǎn),在教學(xué)過程中,應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟練地掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而求出圓心坐標(biāo)和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學(xué)生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.三維目標(biāo)

1.在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定

2222圓的圓心、半徑.掌握方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件,通過對(duì)方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析、解決問題的能力.2.能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能用待定系數(shù)法和軌跡法求圓的方程,同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的整體素質(zhì),激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新,勇于探索,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力.重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過程 22導(dǎo)入新課

思路1.①說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.②學(xué)生練習(xí):將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理得22222x+y-2ax-2by+a+b-r=0.22222③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a+b-r,得到方程x+y+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式.22④能不能說方程x+y+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內(nèi)容,教師板書課題:圓的一般方程.思路2.問題：求過三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性,那么這個(gè)問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個(gè)問題我們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法? ②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢? 22③給出式子x+y+Dx+Ey+F=0,請(qǐng)你利用配方法化成不含x和y的一次項(xiàng)的式子.2222222④把式子(x－a)＋(y－b)=r與x+y+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.⑤對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點(diǎn)? 討論結(jié)果：①以前學(xué)習(xí)過直線,我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式,最后學(xué)習(xí)一般式.大家知道,我們認(rèn)識(shí)一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、…)展開整理而得到的.②我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把標(biāo)準(zhǔn)形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.D2E2D2?E2?4F③把式子x+y+Dx+Ey+F=0配方得(x+)+(y+)=.22422④(x－a)＋(y－b)=r中,r＞0時(shí)表示圓,r=0時(shí)表示點(diǎn)(a,b),r＜0時(shí)不表示任何圖形.222D2E2D2?E2?4F因此式子(x+)+(y+)=.224DE1,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的圓； 222DDEE22(ⅱ)當(dāng)D+E-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);

2222(ⅰ)當(dāng)D+E-4F＞0時(shí),表示以(-22(ⅲ)當(dāng)D+E-4F＜0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.22 綜上所述,方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成222222x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當(dāng)D+E-4F＞

22220時(shí),它表示的曲線才是圓.因此x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D+E-4F＞0.22 我們把形如x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.⑤圓的一般方程形式上的特點(diǎn): 22 x和y的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項(xiàng).圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定22了.與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.應(yīng)用示例

思路1

例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.22(1)4x+4y-4x+12y+9=0;22(2)4x+4y-4x+12y+11=0.解:(1)由4x+4y-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=而D+E-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x+4y-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標(biāo)為((2)由4x+4y-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=22222222

29, 4131,-),半徑為； 2221122,D+E-4F=1+9-11=-1＜0, 42所以方程4x+4y-4x+12y+11=0不表示圓的方程.2222點(diǎn)評(píng):對(duì)于形如Ax+By+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x+y+Dx+Ey+F=022的形式,再利用條件D+E-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓(xùn)練

求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：

2222(1)x+y-8x+6y=0;(2)x+y+2by=0.22222解:(1)把x+y-8x+6y=0配方,得(x－4)＋(y+3)=5,所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5；

22222(2)x+y+2by=0配方,得x＋(y+b)=b,所以圓心坐標(biāo)為(0,-b),半徑為|b|.例2 求過三點(diǎn)O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).22解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有

?F?0.? ?D?E?F?2?0,?4D?2E?F?20?0.?解得D=-8,E=6,F=0, 22222故所求圓的方程為x+y-8x+6y=0,即(x－4)＋(y+3)=5.所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.方法二：先求出OM1的中點(diǎn)E（1153,),M1M2的中點(diǎn)F(,), 222211再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-), ①

2235AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-)，22②

?x?y?1,?x?4,聯(lián)立①②得?得?則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.3x?y?9,y??3.??方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|, 222222即x+y=(x-1)+(y-1)=(x-4)+(y-2),解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設(shè)所求圓的方程為(x－a)＋(y－b)=r,因?yàn)镺(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b、r的方程組,即

222?(1?a)2?(1?b)2?r2,?222 ?a?b?r,?(4?a)2?(2?b)2?r2.??a?4,?222解此方程組得?b??3,所以所求圓的方程為(x－4)＋(y+3)=5,圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為?r?5.?5.點(diǎn)評(píng)：請(qǐng)同學(xué)們比較,關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時(shí)設(shè)圓的一般方程.一般說來(lái),如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無(wú)直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程.22例3 已知點(diǎn)P(10,0),Q為圓x+y=16上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.活動(dòng):學(xué)生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時(shí)點(diǎn)撥提示,本題可利用平面幾何的知識(shí),見中點(diǎn)作中線,利用中線定長(zhǎng)可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來(lái)求.圖1 解法一:如圖1,作MN∥OQ交x軸于N, 則N為OP的中點(diǎn),即N(5,0).因?yàn)閨MN|=1|OQ|=2(定長(zhǎng)).2

22所以所求點(diǎn)M的軌跡方程為(x-5)+y=4.點(diǎn)評(píng):用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件較為隱蔽復(fù)雜,將它翻譯成代數(shù)語(yǔ)言時(shí)也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時(shí),首先分析軌跡上的動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)情況,探求它是由什么樣的點(diǎn)控制的.解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)Q(x0,y0).?10?x0x?,????x0?2x?10.2因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn),所以?(*)即??y?0?y0,??y0?2y.?2?又因?yàn)镼(x0,y0)在圓x+y=16上,所以x0+y0=16.將(*)代入得

22(2x-10)+(2y)=16.22故所求的軌跡方程為(x-5)+y=4.點(diǎn)評(píng):相關(guān)點(diǎn)法步驟:①設(shè)被動(dòng)點(diǎn)M(x,y),主動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0).2

2②求出點(diǎn)M與點(diǎn)Q坐標(biāo)間的關(guān)系???x?f1(x0,y0),(Ⅰ)

??y?f2(x0,y0).)

中

解

出③從(Ⅰ

??x0?g1(x,y), ???y0?g2(x,y).(Ⅱ)④將(Ⅱ)代入主動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡(jiǎn)得被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點(diǎn)法,以后要注意運(yùn)用.變式訓(xùn)練 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)+y=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y), 點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0).由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點(diǎn),所以x=

x0?4y?3,y=0.于是有22x0=2x-4,y0=2y-3.①

222222因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)+y=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)+y=4,即(x0+1)+y0=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理,得(x-所以點(diǎn)M的軌跡是以（2

3232)+(y-)=1.2233,)為圓心,半徑長(zhǎng)為1的圓.22思路2

2222例1 求圓心在直線l：x+y=0上,且過兩圓C1:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程.活動(dòng):學(xué)生審題,教師引導(dǎo),強(qiáng)調(diào)應(yīng)注意的問題,根據(jù)題目特點(diǎn)分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點(diǎn)可求,圓心在一直線上,所以應(yīng)先求交點(diǎn)再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.22??x?y?2x?10y?24?0,解:解兩圓方程組成的方程組?2得兩圓交點(diǎn)為(0,2),(-4,0).2??x?y?2x?2y?8?0.設(shè)所求圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組

222?(?4?a)2?b2?r2,?222?a?(2?b)?r, ?a?b?0.?解得a=-3,b=3,r=10.故所求圓的方程為(x+3)+(y-3)=10.2

2點(diǎn)評(píng)：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2 已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.22設(shè)所求的圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(3,0)和(0,-1),則有?1?D?F?0,?222?3?3D?F?0，解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x+y-4x+4y+3=0.?(?1)2?E?F?0.?解法二:利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.由題意該圓經(jīng)過P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 222設(shè)圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.22因?yàn)閨PC|=|RC|,所以(a?1)?b?a2?(b?1)2.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).22而r=|PC|=5,故所求圓的方程為(x-2)+(y+2)=5.例3 試求圓C:x+y-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱的曲線C′的方程.活動(dòng)：學(xué)生先思考,然后解答,教師引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)的東西,即圓的圓心坐標(biāo)變化、半徑不變,另外可利用相關(guān)點(diǎn)法來(lái)求.解法一:設(shè)P′(x,y)為所求曲線C′上任意一點(diǎn),P′關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.22由題意可得

?x?x0y?y0??1?0,?2?2??y?y0?1??1,??x?x0解得

??x0?y?1, ???y0?x?1.(*)

22因?yàn)镻(x0,y0)在圓C上,所以x0+y0-x0+2y0=0.將(*)代入

22得(y-1)+(x+1)-(y-1)+2(x+1)=0, 22化簡(jiǎn)得x+y+4x-3y+5=0,即為C′的方程.解法二:(特殊對(duì)稱)圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C′,即13,-1)關(guān)于直線l:x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)C′(-2,),因此所求圓C′的方程為223252(x+2)+(y-)=.24求(點(diǎn)評(píng)：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質(zhì)解題往往較簡(jiǎn)單.知能訓(xùn)練

課本練習(xí)1、2、3.拓展提升

22問題：已知圓x+y-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點(diǎn),定點(diǎn)R(1,1),若PR⊥QR,求實(shí)數(shù)m的值.解:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2), 22??x?y?x?8y?m?0,2由?消去y得5x+4m-60=0.① ??x?2y?6?0.由題意,方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,所以60-4m＞0,m＜15.?x1?x2?0,?由韋達(dá)定理? 4?x1x2?m?12.5?因?yàn)镻R⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以即② 因?yàn)閥1=3-

y1?1y2?1=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, ?x1?1x2?1x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.x1xxxxxxx3,y2=3?2,所以y1y2=(3-1)(3?2)=9-(x1+x2)+12=9+12，2224422554x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.445y1+y2=6,代入②得所以m=10,適合m＜15.所以實(shí)數(shù)m的值為10.課堂小結(jié)

22221.任何一個(gè)圓的方程都可以寫成x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D+E-4F＞0時(shí),方程表示圓心為(-r=

2DE,-),半徑為

2212D2?E2?4F的圓.2.求圓的方程,應(yīng)根據(jù)條件特點(diǎn)選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關(guān),則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件主要是圓所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo),則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標(biāo)和半徑,因此應(yīng)掌握利用配方法將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.作業(yè)

習(xí)題4.1 A組1、6,B組1、2、3.設(shè)計(jì)感想

這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課,而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過程.因此,在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí),力求“過程、結(jié)論并重；知識(shí)、能力、思想方法并重”.在展現(xiàn)知識(shí)的形成過程中,盡量避免學(xué)生被動(dòng)接受,引導(dǎo)學(xué)生探索,重視探索過程.一方面,把直線一般方程探求過程進(jìn)行回顧、類比,學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)探求方法；另一方面,“把標(biāo)準(zhǔn)方程展開→認(rèn)識(shí)一般方程”這一過程充分運(yùn)用了“通過特殊認(rèn)識(shí)一般”的科學(xué)思想方法.同時(shí),通過

22類比進(jìn)行條件的探求——“D+E－4F”與“Δ”(判別式)類比.在整個(gè)探求過程中充分利用了“舊知識(shí)”及“舊知識(shí)的形成過程”,并用它探求新知識(shí).這樣的過程,既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過程,更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過程.