第一篇：小學數(shù)學中遇到的典型的應(yīng)用題

一些不等式應(yīng)用題

關(guān)于不等式應(yīng)用題的一些解法，往往這類題目會包含2個變量，但是2個變量之間有一定的聯(lián)系，我們可以根據(jù)自己目前學習的情況，列一元一次不等式或者二元一次不等式組，解出關(guān)于變量的范圍，然后根據(jù)隱含條件確定未知數(shù)的值。比如人、物不能為小數(shù)、分數(shù)，需要取正整數(shù)，這樣就求出未知數(shù)的值了。

在實際意義是一樣的，例如下題，可以設(shè)A型為a間，B型為80--a間，或者A型a間，B型b間，根據(jù)a+b=80把兩個變量聯(lián)系一起來，我個人認為要根據(jù)自己在實際學習中和個人的能力實際情況而有所區(qū)別。

一、某水產(chǎn)品市場管理部門規(guī)劃建造面積為2400平方米的大棚，大棚內(nèi)設(shè)A種類型和B種類型的店面共80間，每間A種類型的店面的平均面積為28平方米，月租費為400元，每間B種類型的店面的平均面積為20平方米，月租費為360元，全部店面的建造面積不低于大棚總面積的85%。

（1）試確定A種類型店面的數(shù)量？

（2）該大棚管理部門通過了解，A種類型店面的出租率為75%，B種類型店面的出租率為90%，為使店面的月租費最高，應(yīng)建造A種類型的店面多少間？ 解：設(shè)A種類型店面為a間，B種為80-a間 根據(jù)題意

28a+20（80-a）≥2400×85% 28a+1600-20a≥2040 8a≥440 a≥55

A型店面至少55間 設(shè)月租費為y元

y=75%a×400+90%（80-a）×360 =300a+25920-324a =25920-24a 很明顯，a≥55，所以當a=55時，可以獲得最大月租費為25920-24x55=24600元

二、水產(chǎn)養(yǎng)殖戶李大爺準備進行大閘蟹與河蝦的混合養(yǎng)殖，他了解到情況：

1、每畝地水面組建為500元。

2、每畝水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤蝦苗；

3、每公斤蟹苗的價格為75元，其飼養(yǎng)費用為525元，當年可或1400元收益；

4、每公斤蝦苗的價格為15元，其飼養(yǎng)費用為85元，當年可獲160元收益；

問題：

1、水產(chǎn)養(yǎng)殖的成本包括水面年租金，苗種費用和飼養(yǎng)費用，求每畝水面蝦蟹混合養(yǎng)殖的年利潤（利潤=收益—成本）；

2、李大爺現(xiàn)有資金25000元，他準備再向銀行貸款不超過25000元，用于蟹蝦混合養(yǎng)殖，已知銀行貸款的年利率為10％，試問李大爺應(yīng)租多少畝水面，并向銀行貸款多少元，可使年利潤達到36600元？ 解：

1、水面年租金=500元

苗種費用=75x4+15x20=300+300=600元 飼養(yǎng)費=525x4+85x20=2100+1700=3800元 成本=500+600+3800=4900元

收益1400x4+160x20=5600+3200=8800元 利潤（每畝的年利潤）=8800-4900=3900元

2、設(shè)租a畝水面，貸款為4900a-25000元 那么收益為8800a 成本=4900a≤25000+25000 4900a≤50000

a≤50000/4900≈10.20畝

利潤=3900a-（4900a-25000）×10% 3900a-（4900a-25000）×10%=36600 3900a-490a+2500=36600 3410a=34100 所以a=10畝

貸款（4900x10-25000）=49000-25000=24000元

三、某物流公司，要將300噸物資運往某地，現(xiàn)有A、B兩種型號的車可供調(diào)用，已知A型車每輛可裝20噸，B型車每輛可裝15噸，在每輛車不超載的條件下，把300噸物資裝運完，問：在已確定調(diào)用5輛A型車的前提下至少還需調(diào)用B型車多少輛?

解：設(shè)還需要B型車a輛，由題意得 20×5+15a≥300 15a≥200 a≥40/3 解得a≥13又1/3 ．

由于a是車的數(shù)量，應(yīng)為正整數(shù)，所以x的最小值為14． 答：至少需要14臺B型車．

四、某城市平均每天產(chǎn)生生活垃圾700噸，全部由甲，乙兩個垃圾廠處理，已知甲廠每小時處理垃圾55噸，需費用550元；乙廠每小時處理垃圾45噸，需費用495元。如果規(guī)定該城市處理垃圾的費用每天不超過7370元，甲廠每天至少需要處理垃圾多少小時?

解：設(shè)甲場應(yīng)至少處理垃圾a小時

550a+（700-55a）÷45×495≤7370 550a+（700-55a）×11≤7370 550a+7700-605a≤7370 330≤55a a≥6

甲場應(yīng)至少處理垃圾6小時

五、學校將若干間宿舍分配給七年級一班的女生住宿，已知該班女生少于35人，若每個房間住5人，則剩下5人沒處可??；若每個房間住8人，則空出一間房，并且還有一間房也不滿。有多少間宿舍，多少名女生？

解：設(shè)有宿舍a間，則女生人數(shù)為5a+5人 根據(jù)題意 a>0(1)0<5a+5<35（2）0<5a+5-[8（a-2）]<8(3)由（2）得-5<5a<30-1

0<5a+5-8a+16<8-21<-3a<-13 13/3

六、某手機生產(chǎn)廠家根據(jù)其產(chǎn)品在市場上的銷售情況，決定對原來以每部2000元出售的一款彩屏手機進行調(diào)價，并按新單價的八折優(yōu)惠出售，結(jié)果每部手機仍可獲得實際銷售價的20%的利潤（利潤=銷售價—成本價）.已知該款手機每部成本價是原銷售單價的60%。

（1）求調(diào)整后這款彩屏手機的新單價是每部多少元？讓利后的實際銷售價是每部多少元？

解：手機原來的售價=2000元/部

每部手機的成本=2000×60%=1200元 設(shè)每部手機的新單價為a元 a×80%-1200=a×80%×20% 0.8a-1200=0.16a 0.64a=1200 a=1875元

讓利后的實際銷售價是每部1875×80%=1500元

（2）為使今年按新單價讓利銷售的利潤不低于20萬元，今年至少應(yīng)銷售這款彩屏手機多少部？ 20萬元=200000元 設(shè)至少銷售b部

利潤=1500×20%=300元 根據(jù)題意

300b≥200000 b≥2000/3≈667部

至少生產(chǎn)這種手機667部。

七、我市某村計劃建造A,B兩種型號的沼氣池共20個，以解決該村所有農(nóng)戶的燃料問題.兩種型號的沼氣池的占地面積，使用農(nóng)戶數(shù)以及造價如下表： 型號

占地面積（平方米/個）

使用農(nóng)戶數(shù)（戶/個）

造價（萬元/個）A

B

已知可供建造的沼氣池占地面積不超過365平方米，該村共有492戶.（1）.滿足條件的方法有幾種？寫出解答過程.（2）.通過計算判斷哪種建造方案最省錢？ 解:(1)設(shè)建造A型沼氣池 x 個，則建造B 型沼氣池(20－x)個 18x+30(20-x)≥492 18x+600-30x≥492 12x≤108 x≤9

15x+20(20-x)≤365

15x+400-20x≤365 5x≥35 x≤7

解得：7≤ x ≤ 9

∵ x為整數(shù) ∴ x = 7，8，9，∴滿足條件的方案有三種．(2)設(shè)建造A型沼氣池 x 個時，總費用為y萬元，則： y = 2x + 3(20－x)= －x+ 60 ∵－1< 0，∴y 隨x 增大而減小，當x=9 時，y的值最小，此時y= 51(萬元)

∴此時方案為：建造A型沼氣池9個，建造B型沼氣池11個 解法②:由(1)知共有三種方案，其費用分別為：

方案一: 建造A型沼氣池7個，建造B型沼氣池13個，總費用為:7×2 + 13×3 = 53(萬元)

方案二: 建造A型沼氣池8個，建造B型沼氣池12個，總費用為:8×2 + 12×3 = 52(萬元)

方案三: 建造A型沼氣池9個，建造B型沼氣池11個，總費用為:9×2 + 11×3 = 51(萬元)∴方案三最省錢.八、把一些書分給幾個學生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每個學生分5本,那么最后一人就分不到3本.這些書有多少本?學生有多少個? 解：設(shè)學生有a人 根據(jù)題意

3a+8-5(a-1)<3(1)3a+8-5(a-1)>0(2)由（1）

3a+8-5a+5<3 2a>10 a>5 由（2）

3a+8-5a+5>0 2a<13 a<6.5 那么a的取值范圍為5

九、某水產(chǎn)品市場管理部門規(guī)劃建造面積為2400m2的集貿(mào)大棚。大棚內(nèi)設(shè)A種類型和B種類型的店面共80間。每間A種類型的店面的平均面積為28m2月租費為400元；每間B種類型的店面的平均面積為20m2月租費為360元。全部店面的建造面積不低于大棚總面積的80％，又不能超過大棚總面積的85％。試確定有幾種建造A,B兩種類型店面的方案。解：設(shè)A種類型店面為a間，B種為80-a間 根據(jù)題意

28a+20（80-a）≥2400×80%(1)28a+20（80-a）≤2400×85%(2)由（1）

28a+1600-20a≥1920 8a≥320 a≥40 由（2）

28a+1600-20a≤2040 8a≤440 a≤55 40≤a≤55

方案：

A

B

……

一共是55-40+1=16種方案

十、某家具店出售桌子和椅子，單價分別為300元一張和60元一把，該家具店制定了兩種優(yōu)惠方案：（1）買一張桌子贈送兩把椅子；（2）按總價的87.5%付款。某單位需購買5張桌子和若干把椅子（不少于10把）。如果已知要購買X把椅子，討論該單位購買同樣多的椅子時，選擇哪一種方案更省錢？ 設(shè)需要買x（x≥10）把椅子，需要花費的總前數(shù)為y 第一種方案：

y=300x5+60×（x-10）=1500+60x-600=900+60x 第二種方案：

y=（300x5+60x）×87.5%=1312.5+52.5x 若兩種方案花錢數(shù)相等時 900+60x=1312.5+52.5x 7.5x=412.5 x=55 當買55把椅子時，兩種方案花錢數(shù)相等 大于55把時，選擇第二種方案 小于55把時，選擇第一種方案

十一、某飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示．現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進行試生產(chǎn)，計劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶．設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶，解答下列問題：

甲

乙 A

20G 40G B

30G 20G（1）有幾種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過程；

（2）如果A種飲料每瓶的成本為2.60元，B種飲料每瓶的成本為2.80元，這兩種飲料成本總額為y元，請寫出y與x之間的關(guān)系式，并說明x取何值會使成本總額最低？

解：（1）設(shè)生產(chǎn)A型飲料需要x瓶，則B型飲料需要100-x瓶 根據(jù)題意

20x+30（100-x）≤2800（1）40x+20（100-x）≤2800（2）由（1）

20x+3000-30x≤2800 10x≥200 x≥20 由（2）

40x+2000-20x≤2800 20x≤800 x≤40

所以x的取值范圍為20≤x≤40 因此方案有

生產(chǎn)

A

B

……

一共是40-20+1=21種方案

（2）y=2.6x+2.8×（100-x）=2.6x+280-2.8x=280-0.2x 此時y為一次函數(shù)，因為20≤x≤40

那么當x=40時，成本最低，此時成本y=272元

小學中經(jīng)常遇到的行程問題

行程問題是小學數(shù)學中經(jīng)常遇到的，解決起來往往有些困難，因為還沒有學習方程，所以有些題目很不好理解，利用單位1解決問題，這里舉一些例子，由淺入深，結(jié)合方程的解法，同學們自己比較一下。我們先來了解一下，關(guān)于行程問題的公式：

行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、行程三者之間的關(guān)系。

基本公式：路程＝速度×時間；

路程÷時間＝速度；

路程÷速度＝時間

關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置

相遇問題：速度和×相遇時間＝相遇路程

相遇路程÷速度和=相遇時間

相遇路程÷相遇時間= 速度和

相遇問題：（直線）：甲的路程+乙的路程=總路程

相遇問題：（環(huán)形）：甲的路程 +乙的路程=環(huán)形周長

追及問題：追及時間＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及時間

追及時間×速度差＝路程差

追及問題：（直線）：距離差=追者路程-被追者路程=速度差X追擊時間

追及問題：（環(huán)形）：快的路程-慢的路程=曲線的周長

流水問題：順水行程＝（船速＋水速）×順水時間 逆水行程＝（船速－水速）×逆水時間

順水速度=船速＋水速 逆水速度＝船速－水速

靜水速度=（順水速度＋逆水速度）÷2 水速：（順水速度－逆水速度）÷2

流水速度＋流水速度÷2 水速：流水速度－流水速度÷2

關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

列車過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。我們由淺入深看一些題目：

一、相遇問題

1、一列客車從甲地開往乙地，同時一列貨車從甲地開往乙地，當貨車行了180千米時，客車行了全程的七分之四；當客車到達乙地時，貨車行了全程的八分之七。甲乙兩地相距多少千米？ 解：

把全部路程看作單位1 那么客車到達終點行了全程，也就是單位1 當客車到達乙地時，貨車行了全程的八分之七 相同的時間，路程比就是速度比

由此我們可以知道客車貨車的速度比=1：7/8=8：7 所以客車行的路程是貨車的8/7倍 所以當客車行了全程的4/7時

貨車行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2 那么甲乙兩地相距180/（1/2）=360千米

1/2就是180千米的對應(yīng)分率

分析：此題中運用了單位1，用到了比例問題，我們要熟練掌握比例，對于路程、速度和時間之間的關(guān)系，一定要清楚，在速度或時間一定時，路程都和另外一個量成正比例，當路程一定時，速度和時間成反比例，這個是基本常識。

2、甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，2小時相遇。相遇后兩車繼續(xù)前行，當甲車到達B地時，乙車離A地還有60千米，一直兩車速度比是3:2。求甲乙兩車的速度。

解：將全部路程看作單位1 速度比=路程比=3：2，也就是說乙行的路程是甲的2/3 那么甲到達B地時，行了全部路程，乙行了1×2/3=2/3 此時距離終點A還有1-2/3=1/3 那么全程=60/（1/3）=180千米 速度和=180/2=90千米/小時

甲的速度=90×3/（3+2）=54千米/小時 乙的速度=90-54=36千米/小時

3、甲、乙兩車分別同時從A、B兩成相對開出,甲車從A城開往B城,每小時行全程的10%,乙車從B城開往A城，每小時行8千米，當甲車距A城260千米時，乙車距B地320千米。A、B兩成之間的路程有多少千米？ 解：這個問題可以看作相遇問題，因為是相向而行 乙車還要行駛320/8=4小時

4個小時甲車行駛?cè)痰?0%×4=40%=2/5 那么甲車還要行駛?cè)痰?/5，也就是剩下的260千米 AB距離=260/（2/5）=650千米

4、一客車和一貨車同時從甲乙兩地相對開出,經(jīng)過3小時相遇,相遇后仍以原速繼續(xù)行駛，客車行駛2小時到達乙地，此時貨車距離甲地150千米，求甲乙兩地距離？

解：解此題的關(guān)鍵是把甲乙看成一個整體，問題就迎刃而解了。甲乙每小時行駛?cè)痰?/3 那么2小時行駛2x1/3=2/3 甲乙相距=150/（1-2/3）=450千米

5、甲乙兩車同時分別從兩地相對開出，5小時正好行了全程的2/3，甲乙兩車的速度比是5：3。余下的路程由乙車單獨走完，還要多少小時？ 解：將全部路程看作單位1 那么每小時甲乙行駛?cè)痰模?/3）/5=2/15 乙車的速度=（2/15）×（3/8）=1/20 乙5小時行駛1/20×5=1/4 還剩下1-1/4=3/4沒有行駛

那么乙還要（3/4）/（1/20）=15個小時到達終點

分析：此題和上一例題有異曲同工之處，都是把甲乙每小時行的路程看作一個整體，然后根據(jù)比例分別求出甲乙的速度（用份數(shù)表示），從而解決問題，關(guān)鍵之處就是把甲乙看作一個整體，這和工作問題，甲乙的工作效率和是一個道理。

6、甲，乙兩輛汽車同時從東站開往西站，甲車每小時比乙車多行12千米。甲車行駛4.5小時到達西站后沒有停留，立即從原路返回，在距西站31.5千米和乙車相遇。甲車每小時行多少千米？

解：設(shè)甲車速度為a小時/千米。則乙的速度為a-12千米/小時 甲車比乙車多行31.5x2=63千米 用的時間=63/12=5.25小時 所以

（a-12）×5.25+31.5=4.5a 0.75a=31.5 a=42千米/小時 或者

a（5.25-4.5）=31.5 a=42千米/小時

算術(shù)法：

相遇時甲比乙多行了31.5×2=63（千米）相遇時走了 63/12=5.25小時

走31.5千米的路程用了 5.25-4.5=0.75小時 甲每小時行31.5/0.75=42千米

7、從甲地去乙地，如車速比原來提高1/9，就可比預(yù)定的時間提前20分鐘趕到，如先按原速行駛72千米，再將車速比原來提高1/3，就比預(yù)定時間提前30分鐘趕到。甲，乙兩地相距多少千米？ 解：20分鐘=1/3小時。30分鐘=1/2小時 因為路程一定，時間和速度成反比

那么原來的車速和提高1/9后的車速之比為1：（1+1/9）=9：10 那么時間比為10：9 將原來的時間看作單位1，那么提速1/9后的時間為1x9/10=9/10 所以原來需要的時間為（1/3）/（1-9/10）=10/3小時

第二次行駛完72千米后，原來的速度和提高后的速度比為1：（1+1/3）=3：4 那么時間比為4：3 將行駛完72千米后的時間看作單位1，那么這一段用的時間為（1/2）/（1-3/4）=2小時

那么原來行駛72千米用的時間=10/3-2=4/3小時 原來的速度=72/（4/3）=54千米/小時 甲乙兩地相距=54×10/3=180千米

8、清晨4時，甲車從A地，乙車從B地同時相對開出，原計劃在上午10時相遇，但在6時30分，乙車因故停在中途C地，甲車繼續(xù)前行350千米在C地與乙車相遇，相遇后，乙車立即以原來每小時60千米的速度向A地開去。問：乙車幾點才能到達A地？

解：原來的相遇時間=10-4=6小時 乙的速度=60千米/小時

BC距離=60×2.5=150千米（從凌晨4時到6時30分是2.5小時）原來相遇時乙應(yīng)該走的距離=60×6=360千米 甲比原來奪走360-150-210千米

那么甲行駛6-2.5=3.5小時應(yīng)該行駛的距離=350-210=140千米 所以甲的速度=140/3.5=40千米/小時 那么AB距離=（40+60）×6=600千米 AC距離=600-150=450千米 實際相遇的時間=450/40=11.25小時=11小時15分鐘 那么相遇時的時間是15小時15分

乙到達A地需要的時間=450/60=7.5小時=7小時30分

所以乙到達A地時間為15小時15分+7小時30分=22時45分

9、AB兩地相距60千米，甲車比乙車先行1小時從A地出發(fā)開往B地，結(jié)果乙車還比甲車早30分到達B地，甲乙兩車的速度比是2:5，求乙車的速度。

如果甲不比乙車先行1小時，那么乙車要比甲車早1+30/60=1.5小時到達B地 甲乙的速度比=2：5 那么他們用的時間比為5：2 將甲用的時間看作單位1 那么乙用的時間是甲的2/5 甲比乙多用1-2/5=3/5 所以甲行完全程用的時間為1.5/（3/5）=2.5小時 乙行完全程用的時間=2.5-1.5=1小時 那么乙車的速度=60/1=60千米/小時

10、小剛很小明同時從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走52米，小明每分鐘走70米，兩人在途中A處相遇。若小剛提前4分鐘出發(fā)，且速度不變，小明每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？

解：

兩次相遇小明走的路程一樣，那么兩次相遇小明的速度比=70：90=7：9 時間比就是速度比的反比，所以兩次相遇的時間比為9：7 將第一次相遇的時間看做單位1 那么第二次相遇小明用的時間為7/9 第一次比第二次多用的時間為1-7/9=2/9 那么第一次用的時間為4/（2/9）=18分鐘

所以小剛和小明的家相距（52+70）×18=2196米

方程：設(shè)第一次相遇時間為t分 90×[（52t-52x4）/52]=70a t=18分鐘（過程從略）

所以小剛和小明的家相距（52+70）×18=2196米

11、客貨兩車分別從甲乙兩地同時相對開出，5小時后相遇，相遇后兩車仍按原速度前進，當他們相距196千米時客車行了全程的三分之二，貨車行了全程的80%，問貨車行完全程用多少小時 ？ 解：將全部路程看作單位1 那么相距196千米時，客車行駛了全程的1×2/3=2/3，距離目的地還有1-2/3=1/3 貨車行駛了全程的1×80%=4/5 那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米 客車和貨車的速度比=2/3：4/5=5：6 客車和貨車的速度和=420/5=84千米/小時 貨車的速度=84×6/11=504/11千米/小時

那么貨車行完全程需要420/（504/11）=55/6小時=9小時10分鐘 客貨兩車分別從甲乙兩地相對開出，相遇后兩車繼續(xù)到達對方終點后，兩車立即返回，又在途中相遇，兩次相遇的地點相距3000米。已知貨車的速度是客車速度三分之二，求甲乙兩地距離是多少米？（要算式和解題過程）

解：將全部的路程看作單位1 貨車和客車的速度比=2：3 第一次相遇貨車行了全程的2/5，客車行了全程的3/5 因為是2次相遇，所以兩車走的路程一共是3倍甲乙兩地距離，也就是1x3=3 貨車行了整個過程的3x2/5=6/5 因此第二次相遇是在距離甲地6/5-1=1/5處 第一次相遇是在距離甲地3/5處 那么兩處相距3/5-1/5=2/5 甲乙兩地距離3000/（2/5）=7500米

12、甲、乙兩輛車同時分別從兩個城市相對開出，經(jīng)過3小時，兩車距離中點18千米處相遇，這時甲車與乙車所行的路程之比是2：3.求甲乙兩車的速度各是多少？

設(shè)甲的速度為2a千米/小時，乙的速度為3a千米/小時 總路程=（2a+3a）×3=15a千米 甲行的路程=15a×2/5=6a 15a/2-6a=18 15a-12a=36 3a=36 a=12 甲的速度=12x2=24千米/小時 乙的速度=12x3=36千米/小時 或者

將全部路程看作單位1 那么相遇時甲行了2/5 乙行了1-2/5=3/5 全程=（1/2-2/5）=1/10 全程=18/（1/10）=180千米

甲乙的速度和=180/3=60千米/小時 甲的速度=60x2/5=24千米/小時

乙的速度=60-24=36千米/小時

13、甲乙兩車同時從AB兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙的速度比是4：5。兩車第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，兩車分別到達BA兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點距第一次相遇點48KM，AB兩地相距多少千米？ 解： 將全部的路程看作單位1 因為時間一樣，路程比就是速度比

所以相遇時，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9 乙行了1-4/9=5/9 此時甲乙提速，速度比由4：5變?yōu)?（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4 甲乙再次相遇路程和是兩倍的AB距離，也就是2 此時第二次相遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7 第二次相遇點的距離占全部路程的8/7-4/9=44/63 距離第一次相遇點44/63-4/9=16/63

AB距離=48/（16/63）=189千米

14、甲從A地往B地，乙丙從B地行往A地，三人同時出發(fā)。甲首先遇乙，15分鐘后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。問AB兩地距離、解：乙丙的速度差=60-50=10米/分

那么甲乙相遇時，距離丙的距離=（70+50）×15=1800米 那么甲乙相遇時用的時間=1800/10=180分鐘 那么AB距離=（70+60）×180=23400米

15、甲乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山頂時乙距離山頂還有500米，甲回到山腳時，乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦?。解：下山速度是上山?倍，那就假設(shè)一下，把下山路也看做上山路，長度為上山路的1/2 速度都是上山的速度。

那么，原來上山的路程，占總路程的2/3，下山路程占總路程的1/3

甲返回山腳，乙一共行了全程的： 2/3+1/3×1/2=5/6 乙的速度是甲的5/6

甲到達山頂，即行了全程的2/3，乙應(yīng)該行了全程的：2/3×5/6=5/9 實際上乙行了全程的2/3減去500米 所以全程為：500÷（2/3-5/9）=4500米 從山腳到山頂?shù)木嚯x為：4500×2/3=3000米

16、汽車從A地到B地，如果速度比預(yù)定的每小時慢5千米，到達時間將比預(yù)定的多1/8，如果速度比預(yù)定的增加1/3，到達時間將比預(yù)定的早1小時。求A,B兩地間的路程？

解：將原來的時間看到單位1 那么每小時慢5千米，用的時間是1×（1+1/8）=9/8 那么實際用的時間和原來的時間之比為9/8：1=9：8 那么原來速度和實際速度之比為8：9 那么實際速度是原來速度的8/9 那么原來的速度=5/（1-8/9）=45千米/小時 第二次速度增加1/3，實際速度與原來的速度之比為為（1+1/3）：1=4：3 實際用的時間和原來的時間之比為3：4 那么實際用的時間是原來的3/4 原來所用的時間為1/（1-3/4）=4小時 AB距離=45×4=180千米

簡析：此題反復利用路程一定，時間和速度成反比，這一點在學習中要注意。

17、兩輛汽車同時從東、西兩站相對開出，第一次在離東站45千米的地方相遇，之后兩車繼續(xù)以原來的速度前進，各自到站后都立即返回，又在距離中點東側(cè)9千米處相遇，兩站相距多少千米？ 解：我們拿從東站出來的車考慮

在整個相遇過程中，兩車一共走了3個全程 第一次相遇時，從東站出來的車走了45千米 那么整個過程走了45×3=135千米

此時這輛車走了1.5倍的全程還多9千米 所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84千米

將全部路程看作單位1，第二次相遇時這輛車走了1又1/2還多9千米

18、一只小船順流航行56千米，逆流航行20千米用12小時；第二次順流航行40千米，逆流航行28千米也用時12小時，求水流速度？ 解：

順水速度=船速+水流速度 逆水速度=船速-水流速度

水流速度=（順水速度-逆水速度）/2 船速=（順水速度+逆水速度）/2

設(shè)順流速度為a千米/小時，逆水速度=b千米/小時 56/a+20/b=40/a+28/b 16/a=8/b a：b=2：1 a=2b 那么

根據(jù)題意

56/2b+20/b=12 56+40=24b 24b=96 b=4千米/小時

a=4×2=8千米/小時

水流速度=（8-4）/2=2千米/小時

算術(shù)法： 根據(jù)題意

第一次：順流行駛56千米，逆水20千米 第二次：順流行駛40千米，逆水28千米

那么順流行駛16千米和逆水8千米用的時間一樣，及順水速度和逆水速度之比為16：8=2：1 第一次逆水20千米用的時間相當于順水行駛20×2=40千米的時間 那么順水速度=（56+40）/12=8千米/小時 逆水速度=8/2=4千米/小時

水流速度=（8-4）/2=2千米/小時

二、追及問題

1、已知甲乙兩船的船速分別是24千米/時和20千米/時,兩船先后從漢口港開出,乙比甲早出1小時，兩船同時到達目的地A，問兩地距離？ 解：距離差=20×1=20千米 速度差24-20=4千米/小時 甲追上乙需要20÷4=5小時 兩地距離=24×5=120千米

2、某校組織學生排隊去春游，步行速度為每秒1米，隊尾的王老師以每秒2.5米的速度趕到排頭,然后立即返回隊尾,共用10秒,求隊伍的長度是多少米?、解：速度差=2.5-1=1.5米/秒 速度和=1+2.5=3.5米/秒 設(shè)隊伍長度為a米 a/1.5+a/3.5=10 5a=3.5x1.5x10 a=10.5米

或者這樣做

第一次追及問題，第二次相遇問題 速度比=1.5：3.5=3：7 我們知道，路程一樣，速度比=時間的反比 因此整個過程，追及用的時間=10x7/10=7秒

那么隊伍長度=1.5x7=10.5米

3、在一個圓形跑道上,甲從A點,乙從B點同時出發(fā)反向而行,6分鐘后兩人相遇,再過4分鐘甲到B點,又過8分鐘兩人再次相遇,甲、乙環(huán)形一周各需多少分鐘？ 解：解：

將全部路程看作單位1 第一次相遇后，再一次相遇，行駛的路程是1 那么相遇時間=4+8=12分鐘 甲乙的速度和=1/12 也就是每分鐘甲乙行駛?cè)痰?/12 6分鐘行駛?cè)痰?/12×6=1/2 也就是說AB的距離是1/2 那么6+4=10分鐘甲到達B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20 甲環(huán)形一周需要1/（1/20）=20分鐘 乙的速度=1/12-1/20=1/30 乙行駛?cè)绦枰?/（1/30）=30分鐘

4、甲乙兩人環(huán)湖同向競走,環(huán)湖一周是400米,乙每分鐘走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，問甲什么時候追上乙？ 解：設(shè)甲用a分鐘追上乙（80×5/4-80）×a=400（100-80）×a=400 a=400/20 a=20分 算術(shù)法

速度差=80×（5/4-1）=20米/分 追及時間=400/20=20分 甲用20分鐘追上乙

5、獵犬發(fā)現(xiàn)距它8米遠的地方有只奔跑的野兔，立刻追。獵犬跑6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的時間獵犬只能奔跑3步。獵犬至少要跑多少米才能追上野兔？

解：將獵犬跑一步的距離看作單位1（或者設(shè)一步的距離為a米）那么野兔跑一步的距離為6/11 根據(jù)題意

兔子跑4步的距離=4×6/11=24/11 獵犬跑3步的距離=1×3=3 那么獵犬和野兔的速度比=3：24/11=33：24=11：8 兔子在相同時間內(nèi)跑的距離是獵犬的8/11 所以獵犬追上野兔要多跑的距離=8/（1-8/11）=88/3米

6、一只野兔跑出85步獵犬才開始追它，兔子跑8步的路程獵犬只需跑3步，獵犬跑4步的時間野兔能跑9步。問獵犬至少要跑多少步才能追上兔子？ 解：將獵犬一步的距離看作單位1（或者設(shè)獵犬一步距離為a）那么兔子一步的距離=3/8（3/8a）

二者的速度速度比=1×4：3/8×9=4：27/8=32：27 兔子在相同時間內(nèi)跑的距離是獵犬的27/32 那么獵犬需要跑(85×3/8)/（1-27/32）= 204步

7、AC兩站相距10千米,AB兩站相距2千米,甲車從A站,乙車從B站同時向C站開去,當甲車到達C站時，乙車距C站還有0.5千米，甲車是在離C站多遠的地方追上乙的？

解：將全部路程看作單位1 那么甲到達C站時，行駛10千米 乙行駛10-2-0.5=7.5千米

那么甲乙兩車的速度比=10：7.5=4：3 在相同時間內(nèi)，乙行駛的距離是甲的3/4 那么甲車行駛2/（1-3/4）=2/（1/4)=8千米

那么甲是在離C站10-8=2千米的地方追上乙的。

三、特殊的追及問題

我們在日常做題的過程中，經(jīng)常會遇到求幾點幾分時針和分針所稱的角度，還有時針和分針所成多少度角時，是幾點幾分。解此類題，似乎與追及問題格格不入，但是我們恰恰可以看作是追及問題的一個變形。首先我們對鐘面熟悉以后，知道鐘面被分作60個小格，每個小格所對的圓心角的度數(shù)=360/60=6度，分針每分鐘走1格，時針每分鐘走5/60=1/12格，由此我們在解題之前就知道了這些隱含條件，就可以把鐘面看作是環(huán)形跑道，時針速度慢，分針速度快，在解題之前，大致畫一個圖形，就知道大概角度，然后判斷路程差為多少，因為速度差我們已經(jīng)知道了，是1-1/12=11/12格，將來我們學會了相對運動，就可以把時針看作參照物，分針的速度變?yōu)?1/12格/分，問題變得更加簡單。看下面的例題： 1、7點與8點之間,時針與分針成30度角的時刻? 鐘面一共60格，一定要對鐘面熟悉 每一格對應(yīng)的度數(shù)360/60=5度

分針每分鐘走1格，時針每分鐘走5/60=1/12格 此時我們就把分針和時針的運動看作追及問題

分針的速度快，是1格/分，時針的速度慢是1/12格/分 速度差=1-1/12=11/12格/分

此時如果看作相對運動，時針靜止，那么分針的速度就是11/12格/分

此題中，7點時，分針和時針相差35格，題目要求成30度角及相差30/6=5格時鐘表的時間，那就是分針以11/12格/分的速度追趕時針，相差5格，也就是路程上追上了30格，求的就是分針以11/12格/分走30格的時間，第二次成30度就是分針超過時針5格即分針以11/12格/分的速度走的35+5=40格的時間 算術(shù)式如下：

第一次成30度時，時針和分針的路程差=60×30/360=5格 7點時時針和分針的距離是35格

第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11分≈32分44秒 第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11分≈43分38秒

方程：舉一例

設(shè)a分鐘分針和時針第一次成30度 分針a分走a格，時針a分走a/12格 開始時的路程差=35格 那么

a/12+35=a+5 a=360/11分≈32分44秒 第二次成30度的時候 分針走a格

時針走a/12格，加上開始的路程差=35格 那么此時時針的位置是a/12+35格 分針此時超過時針5格 那么

a-5=a/12+35 a=480/11分≈43分38秒

也就是在7點32分44秒和7點43分38秒的時候分針和時針成30度

2、張華出去辦事兩個多小時，出門時他看了看鐘，到家時又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時針和分針互相換了位置，他離家多長時間？

此問題關(guān)鍵在于求具體多少分鐘，因為肯定是超過2個小時

我們把表盤看作一個環(huán)形路，那么每一格就是距離單位，一圈是60格 分針每分鐘走1格，時針每分鐘走5/60=1/12格 鐘表按照順時針轉(zhuǎn)動，此題出門時時針在分針之后 時針和分針的路程差不變 整個過程分針走的路程是2x60+60-路程差，時針走的路程是路程差 所以時針和分針走過的路程和=3x60=180格 二者的速度和=1+1/12=13/12格/分

那么經(jīng)過的時間=180/（13/12）=2160/13分=36/13小時≈2小時46分 離家時間為2小時46分

或者列方程

我們設(shè)時針和分針之間距離為a格（120+60-a）/1=a/（1/12）13a=180 a=180/13格

那么離家時間=（180/13）/（1/12）=2160/13分=36/13小時≈2小時46分

小學比較典型的工程問題

工程問題是我們在小學學習過程中必不可少的，這里通過實踐總結(jié)出了一些工程實際問題和變形的工程問題，解此類問題的關(guān)鍵在于設(shè)好單位1，其次要把握住最基本的運算公式工程總量=工作效率×工作時間，萬變不離其宗。

1、王師傅加工一批零件，計劃在六月份每天都能超額完成當天任務(wù)的15%，后來因機器維修，最后的5天每天只完成當天任務(wù)的八成，就這樣，六月份共超額加工660個零件，王師傅原來的任務(wù)是每天加工多少個零件？ 解：首先我們知道6月有30天 將額定每天完成的任務(wù)看作單位1 每天超額15%，一共工作30-5=25（天）

每天超額完成15%，25天共超額 25×15%＝375% 每天完成八成，5天少完成 5×(1-80%)=100% 這個月共超額完成 375%-100%=275% 660÷275%=240(個）

2、一堆飼料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃幾天

解：將這堆飼料的總量看作單位1 那么

3牛和5羊可以吃15天，吃的是單位1的量，相當于每天吃1/15 5牛和6羊可以吃10天，吃的是單位1的量，相當于每天吃1/10 我們此時把3牛5羊看作一個整體，5牛6羊看作1個整體，每天吃飼料的 1/15+1/10=1/6 那么這堆飼料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天

分析：此題看作是和工程問題無關(guān)，可是當我們把3牛和5羊看作1個整體，5牛和6羊看作1個整體以后，就相當于把題目變?yōu)榧滓彝瓿?項工程，甲單獨做需要15天，乙單獨做需要10天，甲乙合作需要多少天？是不是這個意思。如果我們把此題認為8牛和11羊吃25天吃的是2倍的飼料，然后除以2，得出12.5天，就不對了，這一點要在學習中注意。

3、甲、乙合作完成一項工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨做時提高了十分之一，乙的工作效率比獨做時提高了五分之一，甲、乙兩人合作4小時，完成全部工作的五分之二。第二天乙又獨做了4小時，還剩下這件工作的三十分之十三沒完成。這項工作甲獨做需要幾個小時才能完成？

解：乙獨做4小時完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6 乙的工作效率=（1/6）/4==1/24 乙獨做需要1/（1/24）=24小時

乙工作效率提高1/5后為（1/24）x（1+1/5）=1/20 甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10 那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20 甲原來的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22 甲單獨做需要1/（1/22）=22小時

4、一項工程A、B兩人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接著做7天，可以完成，B單獨完成這項工程需要多少天？ AB合作，每天可以完成1/6 A先做3天，B再做7天，可以看做AB合作3天，B再單獨做7-3=4天 AB合作3天，可以完成：1/6×3=1/2 B單獨做4天，完成了1-1/2=1/2 B單獨做，每天完成：1/2÷4=1/8 B單獨完成，需要：1÷1/8=8天

5、某工程，由甲乙兩隊承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙兩隊承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙兩隊承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個隊單獨承包費用最少？

甲乙工效和：1/(2又5分之2)=5/12 乙丙工效和：1/(3又4分之3）=4/15 甲丙工效和：1/(2又7分之6）=7/20 甲乙丙工效和：(5/12+4/15+7/20)/2=31/60 甲工效：31/60-4/15=1/4 乙工效：31/60-7/20=1/6 丙工效：31/60-5/12=1/10 能在一星期內(nèi)完成的為甲和乙

甲乙每天工程款：1800/（2又5分之2）=750元 乙丙每天工程款：1500/（3又4分之3）=400元 甲丙每天工程款：1600/（2又7分之6）=560元 甲乙丙每天工程款：（750+400+560）/2=855元 甲每天工程款：855-400=455元 乙每天工程款：855-560=295元 甲總費用：455×4=1820元 乙總費用：295×6=1770元 所以應(yīng)將工程承包給乙。

6、甲、乙二人同時開始加工一批零件，加單獨做要20小時，乙單獨做30小時?，F(xiàn)在兩人合作，工作了15小時后完成任務(wù)。已知甲休息了4小時，則乙休息了幾小時？

總的工作量為單位1 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=1/30 甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12 甲休息4小時，那么甲工作15-4=11小時，甲完成1/20×11=11/20 乙完成1-11/20=9/20 完成這些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小時

那么乙休息15-27/2=3/2小時=1.5小時

7、一間教室如果讓甲打掃需要10分鐘，乙打掃需要12分鐘。丙打掃需要15分鐘。有同樣的兩間教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同時開始打掃，丙先幫助甲打掃，中途又去幫助乙打掃教室，最后兩個教室同時打掃完，丙幫助甲打掃了多長時間？（中途丙去乙教室的時間不計）將工作量看作單位1 甲的工作效率=1/10 乙的工作效率=1/12 丙的工作效率=1/15 甲乙丙合干完成1間教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分鐘 設(shè)丙幫甲a分鐘

a分鐘甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6 那么剩下的1-a/6需要甲獨自完成 乙a分鐘完成a/12 那么剩下的1-a/12需要乙丙完成

需要的時間=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20）根據(jù)題意

（a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20）10a/6=20/3-5/9a 30a=120-10a 40a=120 a=3分鐘

丙幫乙3分鐘

算術(shù)法解

兩間教室都是一樣的工作量，那么實際就是甲乙丙三人共同完成，上面已經(jīng)解出完成1間需要4分鐘，那么完成2間需要4×2=8分鐘，甲8分鐘完成1/10×8=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5 所以丙幫甲（1/5）/（1/15）=3分鐘 那么丙幫乙8-3=5分鐘

8、裝配自行車3個工人2小時裝配車架10個，4個工人3小時裝配車輪21個?，F(xiàn)有工人244人，為使車架和車輪裝配成整車出廠怎安排244名工人最合適？ 解：

裝配車架的工作效率=10/（3×2）=5/3個/人×小時 裝配車輪的工作效率=21/（4×3）=7/4個/人×小時 設(shè)a個工人裝配車架，則有244-a人裝配車輪 a×5/3：（244-a）×7/4=1：2 427-7/4a=10a/3 40a/12+21/12a=427 61a/12=427 a=84人

裝配車架84人

裝配車輪244-84=160人

簡析：我們要知道在實際生活中，一輛自行車需要一個車架和二個車輪，那么車架和車輪比為1：2，可以稱為隱含條件，大家要注意。

9、光明村計劃修一條公路，有甲、乙兩個工程隊共同承包，甲工程隊先修完公路的1/2后，乙工程隊再接著修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程隊每天比甲工程隊多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程隊共修路多少天？

解：因為乙的工作效率高于甲，所以前20天里乙沒有修 實際乙工作了120/8=15天

此題問題不難，但是關(guān)鍵在于處理前20天內(nèi)是否有乙工作，如果乙在前20天工作，那么工期肯定少于40天，所以借助畫圖會更好的理解。

10、張師傅計劃加工一批零件，如果每小時比計劃少加工2個，那么所用的時間是原來的3分之4；如果每小時比計劃多加工10個，那么所用的時間比原來少1小時，這批零件共有多少個？

解：張師傅比計劃少加工2個，那么所用的時間是原來的3分之4，也就是原計劃用的時間和實際用的時間之比為1：4/3=3：4 那么原來的工作效率和實際的工作效率之比為4：3 實際工作效率是原來的3/4 那么原計劃每小時加工2/（1-3/4）=8個

如果每小時多加工10個，那么實際每小時加工8+10=18個 原計劃的工作效率和實際工作效率之比=8：18=4：9 那么原計劃與實際所用時間之比為9：4 實際用的時間是原來的4/9 那么原計劃用的時間=1/（1-4/9）=9/5=1.8小時 那么這批零件有8×1.8=14.4個

11、一項工程，乙先獨做4天，繼而甲、丙合作6天，剩下工程甲又獨做9天才全部完成。已知乙完成的是甲的三分之一，丙完成的是乙的2倍。如果甲乙丙單獨做，各需多少天？

甲工作了6+9=15天，乙工作了4天。丙工作了6天

乙完成的是甲的1/3，也就是相當于甲工作了15×1/3=5天 丙完成的是乙的2倍，相當于甲工作了5×2=10天 所以甲完成全部工作需要15+5+10=30天 甲15天完成全部的1/30×15=1/2 那么乙4天完成全部的1/2×1/3=1/6 乙完成全部需要4/（1/6）=24天 丙6天完成全部的1/6×2=1/3 丙完成全部需要6/（1/3）=18天

12、甲、乙兩人每小時打印文件的頁數(shù)比是3:4，兩人同時和打一份文件，和打一段時間后，乙因故停打，余下的文件甲單獨打完。這時甲、乙各自打印的文件頁數(shù)之比是11:10。甲單獨打印的頁數(shù)和兩人合作時共打印的頁數(shù)比是多少？ 解：將全部文件的頁數(shù)看作單位1 那么結(jié)束后，甲乙打印的頁數(shù)分別為 甲打印了1×11/（11+10）=11/21 乙打印了1-11/21=10/21 因為甲乙每小時打印的頁數(shù)比為3：4 也就是說每小時甲打印的頁數(shù)是乙打印的3/4 那么乙打印了10/21這段時間內(nèi)，甲打印了10/21×3/4=5/14 甲單獨打印的頁數(shù)=11/21-5/14=22/42-15/42=1/6 甲乙合作打印的頁數(shù)=1-1/6=5/6 那么甲單獨打印的頁數(shù)和甲乙合作共打印的頁數(shù)之比為1/6：5/6=1：5

13、一項工程,甲、乙兩隊合作,需12天完成;乙、丙兩隊合作,需15天合作.現(xiàn)在甲、乙、丙合作4天后,余下的工程再由乙獨做16天完成.問乙單獨完成這項工程需要多少天? 解：將全部工程看作單位1 根據(jù)題意

整個工程甲乙合作4天，乙丙合作4天，乙獨做16-4=12天 要把整個過程拆開

所以乙獨做的部分是1-1/12×4-1/15×4=1-1/3-4/15=2/3-4/15=6/15=2/5 乙單獨完成需要12/（2/5）=30天

14、例如：一項工程，乙隊先獨做6天，然后甲、丙兩隊合作8天，剩下的工程由甲隊又單獨做了12天才完成。已知乙隊完成的是甲隊的1/3，丙隊完成的是乙隊完成的2倍，如果甲、乙、丙三隊獨做，各需要多少天完成？ 解：此處我們把甲完成的工程量看作單位1 那么乙完成1×1/3=1/3 丙完成1/3×2=2/3 全部工程的數(shù)量為1+1/3+2/3=2 甲一共做了8+12=20天 乙一共做了6天 丙一共做了8天 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=（1/3）/6=1/18 丙的工作效率=（2/3）/8=1/12 甲單獨做需要2/（1/20）=40天 乙單獨做需要2/（1/18）=36天 丙單獨做需要2/（1/12）=24天 附：解答應(yīng)用題的一點心得：

1、讀懂題意，把不相關(guān)的語言精簡掉，現(xiàn)在應(yīng)用題考得不是數(shù)學，而是語文的閱讀能力，還要有轉(zhuǎn)化問題的能力。

2、巧設(shè)未知數(shù)。一道應(yīng)用題中可以把幾個量都設(shè)為未知數(shù)，但是哪一個更為簡便，要仔細斟酌。例如：甲乙二人速度之比為3：2，在求甲乙的速度時，我們可以設(shè)甲的速度為a千米/小時，乙為b千米/小時，這就是二元一次方程組；或者設(shè)甲的速度為a千米/小時，則乙為2/3a千米/小時，這樣雖然是一元一次方程，但是有分數(shù)；或者設(shè)甲的速度為3a千米/小時，乙的速度為2a千米/小時 可見最后的設(shè)法最好。根據(jù)不同的題目設(shè)出未知數(shù)。

3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程

4、解方程。此時我們可能會遇到二個未知數(shù)，而只能列出一個方程，我們就要看看是不是還有隱含條件，比如人數(shù)、物體的個數(shù)，都要是正整數(shù)，這就是隱含條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗根

5、寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實這一步恰恰反映出你是否讀懂了題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要站分數(shù)的。

6、勤加練習，熟能生巧。觸類旁通，舉一反三。

這是我個人對接應(yīng)用題的一點心得，希望對你有所幫助。一點心得

此問題多見于平日練習之中，比較有代表性，總結(jié)給大家，希望有所幫助，時間緊迫，難免有紕漏之處，還望批評指正。

第二篇：小學數(shù)學中遇到的典型的工程和行程應(yīng)用題1

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小學經(jīng)常遇到的行程問題

一、相遇問題

1、一列客車從甲地開往乙地，同時一列貨車從甲地開往乙地，當貨車行了180千米時，客車行了全程的七分

5、甲乙兩車同時分別從兩地相對開出，5小時正好行了全程的2/3，甲乙兩車的速度比是5：3。余下的路程由乙車單獨走完，還要多少小時？ 之四；當客車到達乙地時，貨車行了全程的八分之七。

甲乙兩地相距多少千米？

2、甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，2小時相遇。相遇后兩車繼續(xù)前行，當甲車到達B地時，乙車離A地還有60千米，一直兩車速度比是3:2。求甲乙兩車的速度。

3、甲、乙兩車分別同時從A、B兩成相對開出,甲車從A城開往B城,每小時行全程的10%,乙車從B城開往A城，每小時行8千米，當甲車距A城260千米時，乙車距B地320千米。A、B兩成之間的路程有多少千米？

4、一客車和一貨車同時從甲乙兩地相對開出,經(jīng)過3小時相遇,相遇后仍以原速繼續(xù)行駛，客車行駛2小時到達乙地，此時貨車距離甲地150千米，求甲乙兩地距離？

6、甲，乙兩輛汽車同時從東站開往西站，甲車每小時比乙車多行12千米。甲車行駛4.5小時到達西站后沒有停留，立即從原路返回，在距西站31.5千米和乙車相遇。

甲車每小時行多少千米？

7、從甲地去乙地，如車速比原來提高1/9，就可比預(yù)定的時間提前20分鐘趕到，如先按原速行駛72千米，再將車速比原來提高1/3，就比預(yù)定時間提前30分鐘趕到。甲，乙兩地相距多少千米？

8、清晨4時，甲車從A地，乙車從B地同時相對開出，原計劃在上午10時相遇，但在6時30分，乙車因故停

在中途C地，甲車繼續(xù)前行350千米在C地與乙車相遇，相遇后，乙車立即以原來每小時60千米的速度向A地開去。問：乙車幾點才能到達A地？ 廣平育英培訓中心 常老師數(shù)學課堂

9、AB兩地相距60千米，甲車比乙車先行1小時從A13、甲乙兩車同時從AB兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙地出發(fā)開往B地，結(jié)果乙車還比甲車早30分到達B地，甲乙兩車的速度比是2:5，求乙車的速度。

10、小剛很小明同時從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走52米，小明每分鐘走70米，兩人在途中A處相遇。若小剛提前4分鐘出發(fā)，且速度不變，小明每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？

解：

11、客貨兩車分別從甲乙兩地同時相對開出，5小時后相遇，相遇后兩車仍按原速度前進，當他們相距196千米時客車行了全程的三分之二，貨車行了全程的80%，問貨車行完全程用多少小時 ？

12、甲、乙兩輛車同時分別從兩個城市相對開出，經(jīng)過3小時，兩車距離中點18千米處相遇，這時甲車與乙車所行的路程之比是2：3.求甲乙兩車的速度各是多少？ 的速度比是4：5。兩車第一次相遇后，甲的速度提高了

4分之一，乙的速度提高了3分之一，兩車分別到達BA

兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點距第一次相遇點48KM，AB兩地相距多少千米？

14、甲從A地往B地，乙丙從B地行往A地，三人同

時出發(fā)。甲首先遇乙，15分鐘后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。問AB兩地距離、15、甲乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山頂時乙距離山頂還有500米，甲回到山腳時，乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦獭?/p>

16、汽車從A地到B地，如果速度比預(yù)定的每小時慢5千米，到達時間將比預(yù)定的多1/8，如果速度比預(yù)定的增加1/3，到達時間將比預(yù)定的早1小時。求A,B兩地間的路程？

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17、兩輛汽車同時從東、西兩站相對開出，第一次在離東站45千米的地方相遇，之后兩車繼續(xù)以原來的速度前進，各自到站后都立即返回，又在距離中點東側(cè)9千米處相遇，兩站相距多少千米？

二、追及問題

1、已知甲乙兩船的船速分別是24千米/時和20千米/時,兩船先后從漢口港開出,乙比甲早出1小時，兩船同時到達目的地A，問兩地距離？

2、某校組織學生排隊去春游，步行速度為每秒1米，隊尾的王老師以每秒2.5米的速度趕到排頭,然后立即返回隊尾,共用10秒,求隊伍的長度是多少米?、3、在一個圓形跑道上,甲從A點,乙從B點同時出發(fā)反向而行,6分鐘后兩人相遇,再過4分鐘甲到B點,又過8分鐘兩人再次相遇,甲、乙環(huán)形一周各需多少分鐘？

4、甲乙兩人環(huán)湖同向競走,環(huán)湖一周是400米,乙每分鐘走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，問甲什么時候追上乙？

5、獵犬發(fā)現(xiàn)距它8米遠的地方優(yōu)質(zhì)本報的野兔子，立刻追。獵犬包6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的時間獵犬只能奔跑3步。獵犬至少要跑多少米才能追上野兔？

6、一只野兔跑出85步獵犬才開始追它，兔子跑8步的路程獵犬只需跑3步，獵犬跑4步的時間野兔能跑9步。問獵犬至少要跑多少步才能追上兔子？

三、特殊的追及問題

我們在日常做題的過程中，經(jīng)常會遇到求幾點幾分時針和分針所稱的角度，還有時針和分針所成多少度角時，是幾點幾分。解此類題，似乎與追及問題格格不入，但是我們恰恰可以看作是追及問題的一個變形。首先我們對鐘面熟悉以后，知道鐘面被分作60個小格，每個小格所對的圓心角的度數(shù)=360/60=6度，分針每分鐘走廣平育英培訓中心 常老師數(shù)學課堂

格，時針每分鐘走5/60=1/12格，由此我們在解題之前就知道了這些隱含條件，就可以把鐘面看作是環(huán)形跑道，時針速度慢，分針速度快，在解題之前，大致畫一個圖形，就知道大概角度，然后判斷路程差為多少，因為速度差我們已經(jīng)知道了，是1-1/12=11/12格，將來我們學會了相對運動，就可以把時針看作參照物，分針的速度變?yōu)?1/12格/分，問題變得更加簡單。看下面的例題： 1、7點與8點之間,時針與分針成30度角的時刻?

2、張華出去辦事兩個多小時，出門時他看了看鐘，到家時又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時針和分針互相換了位置，他離家多長時間？

小學比較典型的工程問題

工程問題是我們在小學學習過程中必不可少的，這里通過實踐總結(jié)出了一些工程實際問題和變形的工程問題，解此類問題的關(guān)鍵在于設(shè)好單位1，其次要把握住最基本的運算公式工程總量=工作效率×工作時間，萬變不離其宗。

1、王師傅加工一批零件，計劃在六月份每天都能超額完成當天任務(wù)的15%，后來因機器維修，最后的5天每天只完成當天任務(wù)的八成，就這樣，六月份共超額加工660個零件，王師傅原來的任務(wù)是每天加工多少個零件？

2、一堆飼料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃幾天

3、甲、乙合作完成一項工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨做時提高了十分之一，乙的工作效率比獨做時提高了五分之一，甲、乙兩人合作4小時，完成全部工作的五分之二。第二天乙又獨做了4小時，還剩下這件工作的三十分之十三沒完成。這項工作甲獨做需要幾個小時才能完成？

4、一項工程A、B兩人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接著做7天，可以完成，B單獨完成這項

工程需要多少天？

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5、某工程，由甲乙兩隊承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙兩隊承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙兩隊承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個隊單獨承包費用最少？

6、甲、乙二人同時開始加工一批零件，加單獨做要20小時，乙單獨做30小時?，F(xiàn)在兩人合作，工作了15小時后完成任務(wù)。已知甲休息了4小時，則乙休息了幾小時？

7、一間教室如果讓甲打掃需要10分鐘，乙打掃需要12分鐘。丙打掃需要15分鐘。有同樣的兩間教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同時開始打掃，丙先幫助甲打掃，中途又去幫助乙打掃教室，最后兩個教室同時打掃完，丙幫助甲打掃了多長時間？（中途丙去乙教室的時間不計）

8、裝配自行車3個工人2小時裝配車架10個，4個工人3小時裝配車輪21個。現(xiàn)有工人244人，為使車架和車輪裝配成整車出廠怎安排244名工人最合適？

9、光明村計劃修一條公路，有甲、乙兩個工程隊共同承包，甲工程隊先修完公路的1/2后，乙工程隊再接著修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程隊每天比甲工程隊多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程隊共修路多少天？

10、張師傅計劃加工一批零件，如果每小時比計劃少加工2個，那么所用的時間是原來的3分之4；如果每小時比計劃多加工10個，那么所用的時間比原來少1小時，這批零件共有多少個？

附：解答應(yīng)用題的一點心得：

1、讀懂題意，把不相關(guān)的語言精簡掉，現(xiàn)在應(yīng)用題考得不是數(shù)學，而是語文的閱讀能力，還要有轉(zhuǎn)化問題的能力。

2、巧設(shè)未知數(shù)。一道應(yīng)用題中可以把幾個量都設(shè)為未知數(shù)，但是哪一個更為簡便，要仔細斟酌。例如：甲乙二人速度之比為3：2，在求甲乙的速度時，我們可以設(shè)甲的速度為a千米/小時，乙為b千米/小時，這就是二元一次方程組；或者設(shè)甲的速度為a千米/小時，則乙為2/3a千米/小時，這樣雖然是一元一次方程，但是有分數(shù)；或者設(shè)甲的速度為3a千米/小時，乙的速度為2a千米/小時

可見最后的設(shè)法最好。根據(jù)不同的題目設(shè)出未知數(shù)。

3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程

4、解方程。此時我們可能會遇到二個未知數(shù)，而只能列出一個方程，我們就要看看是不是還有隱含條件，比如人數(shù)、物體的個數(shù)，都要是正整數(shù)，這就是隱含條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗根

5、寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實這一步恰恰反映出你是否讀懂了題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要站分數(shù)的。

6、勤加練習，熟能生巧。觸類旁通，舉一反三。

第三篇：小學數(shù)學典型應(yīng)用題

小學數(shù)學典型應(yīng)用題

01歸一問題

【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量

另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

02解題思路和方法

先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。

例1：3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計算5頭牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根據(jù)題意先算出1頭牛1天吃草料的質(zhì)量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5頭牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同學8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作的數(shù)量相同，并且又來了2位同學，那么再過15分鐘他們又能做

_____

張正方形紙片？

解：

1.可以先算出5名同學1分鐘能制作正方形紙片的數(shù)量，240÷8=30(張)。

2.再算出1名同學1分鐘制作的數(shù)量，30÷5=6(張)。

3.現(xiàn)在有5+2=7(名)同學，每人每分鐘做6張，要做15分鐘，那么他們能做7×6×15=630(張)正方形紙片。

例3：某車間用4臺車床5小時生產(chǎn)零件600個，照這樣計算，增加3臺同樣的車床后，如果要生產(chǎn)6300個零件，需要

_____

小時完成？

解：

1.4臺車床5小時生產(chǎn)零件600個，則每臺車床每小時生產(chǎn)零件600÷4÷5=30（個）。

2.增加3臺同樣的車床，也就是4+3=7（臺）車床，7臺車床每小時生產(chǎn)零件7×30=210（個）。

3.如果生產(chǎn)6300個零件，需要6300÷210=30（小時）完成。

02歸總問題

【含義】

解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。

所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價.幾小時（幾天）的總工作量.幾公畝地上的總產(chǎn)量.幾小時走的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量

總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

解題思路和方法

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1:王大伯家的干草夠8只牛吃一個星期的，照這樣計算，這些草夠4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有個書架共5層，每層放36本書?，F(xiàn)在要空出一層放碟片，把這層書平均放入其它4層中，每層比原來多放

（）本書。

解：

方法一：

1.根據(jù)題意可以算出書架上有5×36=180(本)書。

2.現(xiàn)在還剩下5-1=4(層)書架。

3.所以每層書架上有180÷4=45(本)書。比原來多45-36=9(本)書。

方法二：

也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書平均分到其他4層，所以每層比原來多放36÷4=9（本）書。

例3一個長方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個進水管和一個排水管。單開進水管8小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可以把滿水池排空，兩管齊開需要多少小時把滿池水排空？

解：

1.要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進水速度和排水速度，進水每小時480÷8=60（噸）；排水每小時480÷6=80（噸）。

2.當兩管齊開，排水速度大于進水速度，即每小時排80-60=20（噸）。

3.再根據(jù)總水量就可以求出排空滿池水所需的時間。480÷20=24（小時）。

03和差問題

【含義】

已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)＝(和－差)÷2

解題思路和方法

簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。

例1:兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因為第一筐比第二筐重

1.根據(jù)大大數(shù)＝(和＋差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行動地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120名，原來第一組人太多，所以從第一組調(diào)了20人到第二組，這時第一組和第二組人數(shù)一樣多，那么原來第二組有（）名專家。

解：

1.原來從第一組調(diào)了20人到第二組，這時第一組和第二組人數(shù)一樣多，說明原來第一組比第二組多20+20=40（人）

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，第二組人數(shù)應(yīng)該為(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工廠第一.二.三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人，三個車間各有多少人？

解：

1.第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人；

那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數(shù)是（280-25-15）÷3=80（人）。

據(jù)此可得出第一.二車間的人數(shù)。

04和倍問題

【含義】

已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】

總和÷（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

解題思路和方法

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例１：甲、乙兩倉庫共存糧２６４噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍。甲倉庫存糧噸，乙倉庫存糧＿＿＿＿＿噸。

解：

１.根據(jù)“甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍”，把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”。

２.根據(jù)和倍公式總和－（幾倍＋１）＝較小的數(shù)，即可求乙倉庫存糧２６４＝（１０＋１）＝２４（噸）。

３.根據(jù)和倍公式較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)，即可求甲倉庫存糧２４×１０＝２４０（噸）。

例２：已知蘋果.梨.桃子的總質(zhì)量為４０千克，蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍，求蘋果.梨.桃子的質(zhì)量。

解：

１.根據(jù)“蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍數(shù)，則蘋果是４倍數(shù)，梨是３倍數(shù)。

２.根據(jù)“蘋果、梨、桃子的總質(zhì)量為４０千克”和和倍公式：

總和＝（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

可求出桃子的質(zhì)量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根據(jù)桃子質(zhì)量可以求出蘋果和梨的質(zhì)量。

例３：歡歡、樂樂和多多一共帶了1４８元去公園。

已知歡歡帶的錢數(shù)比樂樂的２倍多１元，多多帶的錢數(shù)比歡歡多２倍，那么多多帶了（）元。

解：

１.在三個量的和倍問題中，我們可以選擇其中一個標準量，然后通過三個量之間的和倍關(guān)系進行計算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由題可知，三人里樂樂的錢數(shù)最少。

我們可以把樂樂看成標準量，那么歡歡就是２份標準量再加１元。

３.多多比歡歡多兩倍，就是２×３＝６份標準量再加１×３＝３（元）。

４.那么他們?nèi)齻€合起來就是１＋２＋６＝９

份標準量再加１＋３＝４（元）。

５.所以標準量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即樂樂帶了１６元。

６.根據(jù)樂樂的錢數(shù)可以求出歡歡帶了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多帶了

３３×３＝９９（元）。

05差倍問題

【含義】

已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少；

這類應(yīng)用題叫做差倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】

兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1：莉莉的科技書比故事書多16本，科技書是故事書3倍，莉莉有科技書（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解決差倍問題，可以畫線段圖解決，也可以直接套用公式解決。

2.把故事書的本數(shù)看作1倍數(shù)，科技書的本數(shù)就是3倍數(shù)，科技書比故事書多16本，所以根據(jù)差倍公式兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出故事書有16÷2=8本。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出科技書有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，則原來甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根據(jù)題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，說明原來甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根據(jù)差倍公式兩個數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5個甲零件，2個乙零件。

開始時，甲零件的數(shù)量是乙零件數(shù)量的2倍，加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多，那么還可以加工

_____

個成品。

解：

1.加工一個成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個），加工30個成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（個）。

根據(jù)“加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多”說明原來甲零件比乙零件多90個。

2.把乙原來的零件數(shù)看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多1倍，對應(yīng)90個，求出乙原來有90÷（2-1）=90（個）

3.那么甲原來有90×2=180（個）零件。

4.每件成品需要5個甲零件，2個乙零件，那么加工30個成品，甲零件用了5×30=150（個），乙零件用了2×30=60（個），所以甲零件還剩180-150=30（個），乙零件還剩90-60=30（個）。

剩下的甲零件還能做30÷5=6（個）成品，剩下的乙零件還能做30÷2=15（個）成品。

因為每件成品需要甲.乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件數(shù)還可以加工6個成品。

06和倍問題

【含義】

已知兩個或多個人年齡關(guān)系，求各自年齡或年齡關(guān)系，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)

＝(和－差)÷2總和÷(幾倍+1)

＝較小的數(shù)

總和-較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

＝較大的數(shù)兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

年齡問題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。

年齡問題都可以轉(zhuǎn)化為和差.和倍.差倍問題。

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1：爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當爸爸42歲時，媽媽

_____

歲。

解：

1.本題考查的年齡差不變（簡單），不管過了多少年年齡差是不變的。

2.爸爸比媽媽大2歲，根據(jù)不管過了多少年年齡差是不變的，當爸爸42歲時，媽媽是40歲。

例2：姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當她們的年齡和是39歲時，那時妹妹

_____

歲。

解：

方法一：

1.利用年齡同增同減的思路。

2.姐妹倆今年的年齡之和是：

15+12=27（歲），年齡之和到達39歲時需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。

方法二：

1.利用年齡差不變的思路。

2.兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）÷2=18（歲）。

例3：爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，_____

年前，爸爸的年齡是哥哥的5倍。

解：

1.不管過了多少年，年齡差是不變的，當爸爸的年齡是哥哥的5倍時，年齡差仍是50-14=36（歲）。

2.問什么時候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實際上年齡差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根據(jù)兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出哥哥當時的年齡是（50-14）÷4=9（歲）。

4.再根據(jù)題意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹兩人的年齡和是50歲，曾經(jīng)有一年，姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，且那時姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍。

那么姐姐今年

_____

歲。

解：

1.當姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍時，我們設(shè)那時妹妹的年齡是1份，那么姐姐的年齡就是2份，那么姐姐與妹妹的年齡差就是1份。

2.因為那時姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，所有妹妹今年的年齡也是2份。

因為年齡差不變，所以今年姐姐的年齡應(yīng)該是2+1=3份。

3.今年姐妹兩人的年齡和是50歲，對應(yīng)2+3=5份，求出1份是50÷5=10（歲），那么姐姐今年是10×3=30（歲）。

07相遇問題

【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。

這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關(guān)系】

相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程

＝（甲速＋乙速）×相遇時間

解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：歡歡和樂樂在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，樂樂每分鐘行80米，他們同時出發(fā)5分鐘后相遇。這條馬路長（）。

解：

根據(jù)公式總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間，可以求出這條馬路長（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時出發(fā)，相向而行。到達目的地后立即返回。

已知第一次相遇地點距離A地50千米，第二次相遇地點距離B地60千米，AB兩地相距

_____

千米。

解：

1.本題考查的是二次相遇問題，靈活的運用畫線段圖的方法來分析是解決這類問題的關(guān)鍵。

2.畫線段圖

3.從圖中可以看出，第一次相遇時甲行了50千米。甲乙合行了一個全程的路程。

從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個全程的路程。

由于甲乙速度不變，合行兩個全程時，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，從圖中看甲所行路程剛好比AB兩地相距路程還多出60千米。

所以AB兩地相距150-60=90(千米)。

例3：歡歡和樂樂在相距80米的直跑道上來回跑步，樂樂的速度是每秒3米，歡歡的速度是每秒2米。

如果他們同時分別從跑道兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘時，在這段時間里共相遇過

_____

次。

解：

1.根據(jù)題意，第一次相遇時，兩人共走了一個全程，但是從第二次開始每相遇一次需要的時間都是第一次相遇時間的兩倍。（線段圖參考例2。）

2.根據(jù)“相遇時間=總路程÷速度和”得到，歡歡和樂樂首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因為從第一次相遇結(jié)束到第二次相遇，歡歡和樂樂要走兩個全程，所以從第二次開始每相遇一次需要的時間是16秒的2倍，也就是32秒，則經(jīng)過第一次相遇后，剩下的時間是600-16=584（秒），還要相遇584÷32=18.25（次），所以在這段時間里共相遇過18+1=19（次）。

追及問題（含解析）

01追及問題

【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）

作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。

這類應(yīng)用題就叫做追及問題。

【數(shù)量關(guān)系】

★

追及時間＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖

分析可以讓解題事半功倍。

例1：某警官發(fā)現(xiàn)前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個匪徒。

解：

1.從警官追開始到追上匪徒，這就是一個追及過程。

根據(jù)公式：路程差÷速度差=追及時間。

2.路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差為1米/秒。

所以追及的時間為100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同時從400米的環(huán)形跑道的起跑線出發(fā)，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出發(fā)。

那么甲乙二人出發(fā)后（）秒第一次相遇？

解：

1.由題可知，甲乙同時出發(fā)后，乙領(lǐng)先，甲落后，那么兩人第一次相遇時，乙從后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長度，即追及路程為400米。

2.由追及時間=總路程÷速度差可得：經(jīng)過400÷（8-6）=200（秒）

兩人第一次相遇。

例3：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時.48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地.面包車從乙地同時相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。

那么甲.乙兩地相距多遠？

解：

1.根據(jù)題意，將較復雜的綜合問題分解為若干個單一問題。

首先是小轎車和面包車的相遇問題；

其次是面包車和大客車的相遇問題；

然后是小轎車與大客車的追及問題。

最后通過大客車與面包車共行甲.乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲.乙兩地距離。

2.畫線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時三車所走的路程。

圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。

3.由圖可知，當面包車與大客車相遇時，大客車與小轎車的路程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。

有小轎車與大客車的速度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時間。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小時）。

4.由于大客車與面包車相遇，共行一個行程，所以AB兩地路程為

（42+48）×3=270（千米）。

01

植樹問題

【含義】

按相等的距離植樹，在距離.棵距.棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。

【數(shù)量關(guān)系】

線形植樹：

一端植樹：棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

兩端植樹：

棵數(shù)＝間隔數(shù)+1=距離÷棵距＋1

兩端都不植樹：

棵數(shù)＝間隔數(shù)-1=距離÷棵距-1

環(huán)形植樹：

棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

正多邊形植樹：

一周總棵數(shù)=每邊棵數(shù)×邊數(shù)-邊數(shù)

每邊棵樹=一周總棵數(shù)÷邊數(shù)+1

面積植樹：

棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

02解題思路和方法

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1：植樹節(jié)到了，少先隊員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊樹。

如果兩頭都不栽，平均每兩棵樹之間的距離應(yīng)是多少米？

解：

1.本題考察的是植樹問題中的兩端都不栽的情況，解決此類問題的關(guān)鍵是要理解棵數(shù)比間隔數(shù)少1。

2.因為棵數(shù)比間隔數(shù)少1，所以共有8+1=9個間隔，每個間隔距離是72÷9=8米。

3.所以每兩棵樹之間的距離是8米。

例2：佳一小學舉行運動會，在操場周圍插上彩旗。

已知操場的周長是500米，每隔5米插一根紅旗，每兩面紅旗之間插一面黃旗，那么一共插紅旗多少面，一共插黃旗多少面。

解：

1.本題考查的是植樹問題中封閉圖形間隔問題。

本題中只要抓住棵數(shù)＝間隔數(shù)，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。

2.棵數(shù)＝間隔數(shù)，一共插紅旗500÷5＝100（面），這一百面紅旗中一共有100個間隔，所以一共插黃旗100面。

例3：多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計算，從三樓爬到十樓需要多少分鐘？

解：

1.本題考查的是植樹問題中鋸木頭.爬樓梯問題的情況。

需要理解爬的樓層.鋸的次數(shù)與層數(shù).段數(shù)之間的關(guān)系。

所在樓層=爬的層數(shù)+1；

木頭段數(shù)=鋸的次數(shù)+1。

2.從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層需要6÷2=3（分鐘）。

因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）×3=21（鐘）。

例4：時鐘敲3下要2秒鐘，敲6下要多少秒？

解：

1.本題考查的是植樹問題中敲鐘聲問題，與鋸木頭爬樓問題類似。

本題中只要抓住敲的次數(shù)＝間隔數(shù)+1。

2.時鐘敲3下，中間有2個間隔，2個間隔需要2秒鐘，那么1個間隔需要1秒鐘。

時鐘敲6下，中間有5個間隔，需要5秒。

01行船問題

【含義】

行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。

解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在靜水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；

船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】

（順水速度＋逆水速度）÷2

＝船速（順水速度－逆水速度）÷2

＝水速順水速＝船速×2－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－順水速

＝順水速－水速×2

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：某船在同一條河中順水船速是每小時20千米，逆水船速是每小時10千米，這條河的水流速度是每小時

_____

千米？

解：

順水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，順水船速比逆水船速多2個水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/時)。

例2：某條大河水流速度是每小時5千米，一艘靜水船速是每小時20千米的貨輪逆水航行5小時能到達目的地，這艘貨輪原路返回到出發(fā)地需要多少小時？

解：

1.逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-5=15(千米/時)，行駛5小時共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回時是順水航行，順水速度是靜水船速+水速，即20+5=25(千米/時)，所以返回用時75÷25=3(小時)。

例3：小船在兩個碼頭間航行，順水需4小時，逆水需5小時，若一只木筏順水漂過這段距離需

_____

小時？

解：

1.我們可以假設(shè)一個路程。

假設(shè)兩個碼頭之間的距離是200千米，順水需4小時，則順水的速度是每小時200÷4=50（千米），逆水需5小時，則逆水的速度是每小時200÷5=40（千米）。

2.根據(jù)“水速=（順水行駛速度-逆水行駛速度）÷2”得到，水流速度是每小時（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏順水漂過的速度就是水流速度，所以木筏順水漂過這段距離需要200÷5=40（小時）。

01列車問題

【含義】

與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數(shù)量關(guān)系】

★

火車過橋：

過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速

★

火車追及：

追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

★

火車相遇：

相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：一列火車全長126米，全車通過611米的隧道需要67秒，火車的速度是多少米/秒？

解：

1.本題考查的是火車過橋的問題。

解決本題的關(guān)鍵是知道火車完全經(jīng)過隧道所走的路程是一個車身長＋隧道長，進而求出車速。

2.因此火車的速度為：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在兩行軌道上有兩列火車相對開來，一列火車長208米，每秒行18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯開用了12秒鐘，那么另一列火車長多少

米？

解：

兩列火車從相遇到完全錯開，所行路程之和剛好是它們的車身長度之和。

根據(jù)“路程和=速度和×時間”

可得，另一列火車長=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火車通過一座長90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒。

原來火車每秒行多少米？

解：

1.根據(jù)“火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒”可知，如果火車用原來的速度通過222米的隧道，則要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大橋長222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）行駛這一段路程，根據(jù)速度=路程÷時間，可以求出原來火車每秒行132÷12=11（米）。

01時鐘問題

【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合.兩針垂直.兩針成一線.兩針夾角為60度等，這類問題可轉(zhuǎn)化為行程問題中的追及問題。

【數(shù)量關(guān)系】

分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

02解題思路和方法

將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1：鐘面上從時針指向8開始，再經(jīng)過多少分鐘，時針正好與分針第一次重合?（精確到1分）

解：

1.此類題型可以把鐘面看成一個環(huán)形跑道。

那么本題就相當于行程問題中的追及問題，即分針與時針之間的路程差是240°。

2.分針每分鐘比時針多轉(zhuǎn)6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分鐘）。

也就是從8時開始，再經(jīng)過44分鐘，時針正好與分針第一次重合。

例2：從早晨6點到傍晚6點，鐘面上時針和分針一共重合了多少次？

解：

我們可以把鐘面看成一個環(huán)形跑道，這樣分針和時針的轉(zhuǎn)動就可以轉(zhuǎn)化成追及問題。

從早晨6點到傍晚6點，一共經(jīng)過了12小時，12個小時分針要跑12圈，時針只能跑1圈，分針比時針多跑12-1=11（圈），而分針每比時針多跑1圈，就會追上時針一次，也就是和時針重合1次，所以12小時內(nèi)兩針一共重合了11次。

例3：一部記錄中國軍隊時代變遷的紀錄片時長有兩個多小時。

小明發(fā)現(xiàn)，紀錄片播放結(jié)束時，手表上時針.分針的位置正好與開始時時針.分針的位置交換了一下。

這部紀錄片時長多少分鐘？（精確到1分）

解：

1.解決本題的關(guān)鍵是認識到時針與分針合走的路程是1080°，進而轉(zhuǎn)化成相遇問題來解決。

2.兩個多小時，分針與時針位置正好交換。

所以分針與時針所走的路程和正好是三圈，也就是分針和時針合走360°×3=1080°，而分針和時針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀錄片時長166分鐘。

01

工程問題

【含義】

工程問題主要研究工作量.工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。

這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”.“一塊土地”.“一條水渠”.“一件工作”等。

在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】

工作量＝工作效率×工作時間工作時間

＝工作量÷工作效率工作時間

＝工作總量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解題思路和方法

解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作單位“1”。

這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾）。

進而就可以根據(jù)工作量.工作效率.工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。

例1：一項工程，甲隊獨做要12天完成，乙隊獨做要15天完成，兩隊合做4天可以完成這項工程的（）。

解：

1.本題考察的是兩個人的工程問題，解決本題的關(guān)鍵是求出甲.乙兩隊的工作效率之和。

進而用工作效率×工作時間=工作量。

2.甲隊的工作效率為:1÷12=，乙隊的工作效率為:1÷15=，兩隊合做4天，可以完成這項工程的（+）×4=。

例2：一項工程，甲.乙兩隊合作30天完成。

如果甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去，由乙隊繼續(xù)做了15天才完成。

這項工程如果由甲隊單獨做，需要多少天完成？

解：

1.我們可以將“甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去。

由乙隊繼續(xù)做了15天才完成”轉(zhuǎn)化為“甲.乙兩隊合做27天，甲再單獨做9天”，由此可以求出甲9天的工作量為：，甲每天的工作效率為：，這項工程如果由甲隊單獨做，需要。

例3：有一項工程，甲單獨做需要6小時，乙單獨做需要8小時，丙單獨做需要10小時，上午8時三人同時開始，中間甲有事離開，如果到中午12點工程才完工，則甲上午離開的時間是幾時幾分？

解：

1.根據(jù)題意，知道了甲乙丙的工作時間可求出相應(yīng)的工作效率。

甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時間也可以求出來，即甲上午離開的時間也可以求出來。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率為：1÷6=

所以甲的工作時間為：÷=（小時）

所以甲離開的時間是8時36分。

01盈虧問題

【含義】

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總量＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總量＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總量＝（大虧－小虧）÷分配差

02解題思路和方法

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1：小明從家到學校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；

如果每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學校的路程是多少米？

解：

1.分析題意，類比“盈虧問題”，我們可以把“遲到3分鐘”，轉(zhuǎn)化為比計劃路程少行50×3=150（米），把“提前5分鐘”轉(zhuǎn)化為比計劃路程多行70×5=350（米）

這時題目被轉(zhuǎn)化成了“一盈一虧”問題。

2.根據(jù)公式，求出原計劃到校的時間：（350+150）÷（70-50）=25（分鐘）。

3.所以小明家到學校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；

若每人擦6塊，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少塊？

解：

1.由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問題，需要將題目條件轉(zhuǎn)化成一般盈虧問題。

“其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊”可以轉(zhuǎn)化為“每人擦5塊，則余10塊”。

2.這樣就轉(zhuǎn)化為了雙盈問題，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60塊。

例3：動物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個桃子，則有兩只猴子沒有分到；

如果有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析題意，題中有兩種分配方式。

聯(lián)系“盈虧問題”，我們可以把“兩只猴子沒有分到”理解為桃子的數(shù)量少

2×10=20（個），再把“有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子”理解為每只猴子分9個，則還少（9-8）×2+3=5（個）。

2.這時把題目看成“雙虧問題”，求出猴子的數(shù)量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分數(shù)問題

【含義】

百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。

分數(shù)常?？梢酝ǚ?約分，而百分數(shù)則無需；

分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只顯“率”；

分數(shù)的分子.分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；

百分數(shù)有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】

掌握“百分數(shù)”.“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分數(shù)＝比較量÷標準量標準量＝比較量÷百分數(shù)

02解題思路和方法

一般有三種基本類型：

（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；

（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

例1：在植樹節(jié)里，某校六年級學生在校園內(nèi)種樹8棵，占全校植樹數(shù)的20%，則該校在植樹節(jié)里共植樹多少棵？

解：

已知六年級學生的種樹棵數(shù)以及所種棵數(shù)占全校植樹數(shù)的比值，直接用除法運算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數(shù)的25%，第二天賣出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進了多少件連衣裙？

解：

1.把這批連衣裙的總數(shù)看作單位“1”，已知第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45×+20）對應(yīng)的分率。

2.根據(jù)已知一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數(shù)的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數(shù)的75%，則原來這堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本題考察的是百分數(shù)應(yīng)用題的相關(guān)知識，解決本題的關(guān)鍵是當一種棋子變化時，抓住另一種棋子的數(shù)量不變，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，進而解決問題。

2.由條件可知，當拿走49枚黑子時，此時白子的數(shù)量沒有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數(shù)量比為（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數(shù)量比為（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數(shù)量沒有變化，所以原來黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知識補充

百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有：

★?增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%

★?合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

★?出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%

★?出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%

★?缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%

★?發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%

★?成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

★?出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

★?出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★?廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

★?命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

★?烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣）。

根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關(guān)系】

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)?＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)?＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝外每邊的人數(shù)平方－內(nèi)每邊的人

數(shù)平方內(nèi)每邊人數(shù)＝外每邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

解題思路和方法

方陣問題有實心與空心兩種。

實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1：佳一學校參加運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少23人。

那么參加團體操表演的運動員一共有

多少人？

解：

1.要知道參加表演的運動員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。

2.一個正方形隊列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數(shù)，其中頂點上的人數(shù)計算了兩次，所以減少的人數(shù)=每邊的人數(shù)×2-1。

所以開始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。

例2：歡歡用圍棋子圍成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1：

1.本題考查的空心方陣，根據(jù)四周的枚數(shù)和每邊上的枚數(shù)之間的關(guān)系，算出每一層的棋子數(shù)。

2.方陣每向里一層，每邊的枚數(shù)就減少2枚。

知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數(shù)，知道各層每邊的枚數(shù)，就可以求出各層的總數(shù)。

最外一層的棋子的枚數(shù)：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數(shù)：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數(shù)：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），擺這個方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4。則：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一個實心方陣由81人組成，這個方陣的最外層有

多少人？

解：

方陣的行數(shù)和列數(shù)相同，9×9=81，所以這是一個9行9列的方陣。

最外層人數(shù)與一邊人數(shù)的關(guān)系：一邊人數(shù)×4-4=一層人數(shù)。

所以最外層的人數(shù)是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一個用棋子排成的實心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個棋子，這樣排成了一個新方陣，他又把這個新方陣改排成一個4層的空心陣，這個方陣最外層每邊有

多少個棋子？

解：

1.根據(jù)題意，排成的這個新方陣的每邊棋子數(shù)是（23+1）÷2=12（個）,那么這個實心方陣的棋子總數(shù)是12×12=144（個）。

2.根據(jù)空心方陣中，每相鄰的兩層的棋子數(shù)相差8的關(guān)系，我們可以找出等量關(guān)系，列方程解決。

設(shè)最外層有x個棋子，則從外到內(nèi)每層的棋子數(shù)分別是（x-8）個.（x-16）個.（x-24）個。

則：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以這個方陣最外層每邊有48÷4+1=13（個）棋子。

01牛吃草問題

【含義】

“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。

這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數(shù)量關(guān)系】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)

02解題思路和方法

解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。

例1：這是一片新鮮的牧場，現(xiàn)有400份草，每天都均勻地生長6份草。

若一開始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。

這片牧場的草夠奶牛吃多少天？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問題。

解決本題的關(guān)鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由題目可知：原有的草量+新長的草量=總的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長的草。

原有的草量是不變的，每天新長的草量是勻速的，每天都長6份，每頭奶牛每天吃1份，新長的草剛好夠6頭奶牛吃的量。

那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。

例2：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。

5臺抽水機連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少臺同樣的抽水機？

解：

設(shè)每臺抽水機每天可抽1份水。

5臺抽水機20天抽水：5×20=100（份）

6臺抽水機15天抽水：6×15=90（份）

每天入庫的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水機臺數(shù)：60÷6+2=12（臺）

答：要求6天抽干，需要12臺同樣的抽水機。

例3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。

從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。

如果同時打開7個檢票口，那么需

多少分鐘？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問題，“旅客”相當于“草”，檢票口相當于“?！薄?/p>

2.由題目可知，旅客總數(shù)由兩部分組成：

一部分是開始檢票前已經(jīng)排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。

設(shè)1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。

那么4個檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份）

那么每分鐘新增顧客數(shù)量為：20÷10=2（份）。

那么原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。

同時打開7個檢票口，我們可以讓2個檢票口專門通過新來的顧客，其余的5個檢票口通過原來的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。

01雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞.兔共有多少只頭和多少只腳，求雞.兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。

已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞.兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數(shù)量關(guān)系】

第一雞兔同籠問題：

??假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

??假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

??假設(shè)全是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

??假設(shè)全是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

02解題思路和方法

解此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。

如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；

如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。

這類問題也叫置換問題。

通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。

例1：雞和兔在一個籠子里，共有35個頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？

假設(shè)籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應(yīng)該有35×2=70（只）腳，而實際有94只腳，這多出來的腳就是把兔子當作雞多出來的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），則兔子有24÷2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。

例2：動物園里有鴕鳥和長頸鹿共70只，其中鴕鳥的腳比長頸鹿多80只，那么鴕鳥有多少只，長頸鹿有多少只？

解：

假設(shè)全部都是鴕鳥，則一共有70×2=140（只）腳，此時長頸鹿的腳數(shù)是0，鴕鳥腳比長頸鹿腳多140只，而實際上鴕鳥的腳比長頸鹿多80只。

因此鴕鳥腳與長頸鹿腳的差數(shù)多了140-80=60（只），這是因為把其中的長頸鹿換成了鴕鳥。

把每一只長頸鹿換成鴕鳥，鴕鳥的腳數(shù)將增加2只，長頸鹿的腳數(shù)減少4只，那么鴕鳥腳數(shù)與長頸鹿腳數(shù)的差就增加了6只，所以換成鴕鳥的長頸鹿有60÷6=10（只），鴕鳥有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的農(nóng)場里養(yǎng)了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數(shù)和兔數(shù)互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據(jù)題意可得：前后雞的總只數(shù)=前后兔的總只數(shù)。

把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。

前后雞和兔的總腿數(shù)有144+156=300（條）

所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數(shù)有50只。

例4：一次數(shù)學考試，只有20道題。做對一題加5分，做錯一題倒扣3分（不做算錯）。

樂樂這次考試得了84分，那么樂樂做對了多少道題？

解：

如果20題全部做對，應(yīng)該得20×5=100（分），而實際得了84分，少了100-84=16（分）。

做錯一題和做對一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯了16÷8=2（題）。

一共20題，所以樂樂做對了20-2=18（題）。

01抽屜問題

【含義】

在數(shù)學問題中有一類與“存在性”有關(guān)的問題，如367個人中至少有兩個人是同一天過生日，這類問題在生活中非常常見。

它所依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。

抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對象存在性問題有力工具。

【數(shù)量關(guān)系】

基本的抽屜原則是：

如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：

如果有m個抽屜，元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。

02

解題思路和方法

目前,處理抽屜原理問題最基本和常用的方法是運用“最不利原則”,構(gòu)造“最不利”“點最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有紅.黃.藍.綠四種顏色的球各20個，一次至少摸出多少個球才能保證摸出兩個相同顏色的球？

解：

解決這個問題要考慮最不利的情況，因為有4種顏色，想要摸出兩個相同顏色的球。

那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個，這時再摸一個球，一定與前幾個球有顏色相同的。

因此至少要摸4+1=5(個)球。

例2：袋子中有2個紅球，3個黃球，4個藍球，5個綠球，一次至少摸出多少個球就能保證摸到兩種顏色的球？

解：

解決這個問題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。

最不利的情況應(yīng)該是將一種顏色的球都拿出來時，不論接下來摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。

因為4種球的個數(shù)各不相同。

所以最不利的情況應(yīng)該是先將個數(shù)最多的球都拿出來，接下來摸的球都一定與之前顏色不同。

因此至少摸出5+1=6(個)球

例3：一次數(shù)學競賽共5道選擇題，評分標準為：基礎(chǔ)分5分，答對一題得3分，答錯扣1分，不答不得分。

要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競賽？

解：

1.本題考察的是抽屜原理的相關(guān)知識，解決本題的關(guān)鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。

進而從最壞的情況開始考慮解決問題。

2.一共有5題，且有5分的基礎(chǔ)分，那么每道題就有1分的基礎(chǔ)分。

也就相當于答對一題得4分，答錯不得分，不答得1分。

這次數(shù)學競賽的得分情況有以下幾種：

5題全對的只有1種情況：得20分；

對4題的有2種情況：1題答錯得16分，1題沒答得17分；

對3題的有3種情況：2題全錯得12分，只錯1題得13分，2題不做得14分；

對2題的有4種情況：3題全錯得8分，只錯2題得9分，只錯1題得10分；3題全不答得11分；

對1題的有5種情況：4題全錯得4分，只錯3題得5分，只錯2題得6分，只錯1題得7分，4題全不答得8分；

答對0題有6

種情況：5題全錯得0分；錯4題得1分，錯3題得2分，錯2題得3分，錯1題得4分，5題全不答得5分。

我們發(fā)現(xiàn)從0分到20分，只有19分.18分.15分這三個分數(shù)沒有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（種）不同的得分，要保證有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）參加競賽。

01濃度問題【含義】

在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。

這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）.溶質(zhì).溶液.濃度這幾個量的關(guān)系。

例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。

溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】

溶液＝溶劑＋溶質(zhì)濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

02解題思路和方法

找出不變量，簡單題目直接利用公式，復雜題目變通后再利用公式。

例1：要將濃度為25％的酒精溶液1020克，配制成濃度為17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根據(jù)題意可知，配制前后酒精溶液的質(zhì)量和濃度發(fā)生了改變，但純酒精的質(zhì)量并沒有發(fā)生改變。

2.純酒精的質(zhì)量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液質(zhì)量的17%。

所以配制后酒精溶液的質(zhì)量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的質(zhì)量：1500-1020=480（克）。

例2：有濃度為30%的鹽水溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24%的鹽水溶液。

如果再加入同樣多的水，那么鹽水溶液的濃度變?yōu)槎嗌伲?/p>

解：

1.分析題意，假設(shè)濃度為30%的鹽水溶液有100克，則100克溶液中有100×30%=30（克）的鹽，加入水后，鹽占鹽水的24%。

此時鹽水的質(zhì)量為：30÷24%=125（克），加入的水的質(zhì)量為：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，鹽水溶液的濃度為：30÷（125+25）=20%。

例3：兩個杯中分別裝有濃度為45%與15%的鹽水，倒在一起后混合鹽水的濃度為35%。

若再加入300克濃度為20%的鹽水，則變成濃度為30%的鹽水，則原來濃度為45%的鹽水有多少克？

解：

1.本題考察的是濃度和配比問題的相關(guān)知識。

解決本題的關(guān)鍵是先求出原溶液與混合后的溶液濃度差的比。

從而求出所需溶液質(zhì)量的比，并解決問題。

2.根據(jù)題意可知，濃度為35%的鹽水和濃度為20%的鹽水混合成濃度為30%的鹽水，因為濃度為35%的鹽水比混合后的濃度多35%-30%=5%，濃度為20%的鹽水比混合后的濃度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合時，2份濃度為35%的鹽水才能補1份濃度為20%的鹽水。

故濃度為35%的鹽水與濃度為20%的鹽水所需質(zhì)量比為2:1

所以濃度為35%的鹽水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，濃度為45%和15%的鹽水溶液與混合后濃度為35%的鹽水溶液差的比為（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么濃度為45%和15%的鹽水溶液所需要的質(zhì)量比為2:1，即2份濃度為45%的鹽水才能補上1份濃度為15%的鹽水。

故原來濃度為45%的鹽水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利潤問題【含義】

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本.利潤.利潤率和虧損.虧損率等方面的問題。

【數(shù)量關(guān)系】

利潤＝售價－進貨價利潤率

＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%售價

＝進貨價×（1＋利潤率）虧損

＝進貨價－售價虧損率

＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

02解題思路和方法

簡單題目直接利用公式，復雜題目變通后再利用公式。

例1：某服裝店從韓國代購100件羽絨服，每件進價300元，另外還需要付10元/件的代購費和200元的國際快遞費。

該服裝店要想每件羽絨服獲得75%的利潤率，則每件定價為多少元？

解：

由題意可知，每件羽絨服實際總成本包括每件羽絨服的進價.代購費和運費，總成本為300+10+200÷100=312（元），要想每件獲得75%的利潤，那么每件定價應(yīng)該是成本的1+75%=175%，故每件定價為312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售價是140元，老板說：“如果這件上衣打?qū)φ劬筒毁嵰膊惶潯薄?/p>

這件上衣成本是多少元？

解：

1.本題關(guān)鍵是理解打折的含義，打幾折后現(xiàn)價就是原價的百分之幾十，打?qū)φ劬褪侵脯F(xiàn)價是原價的50%。

2.打七折是指現(xiàn)價是原價的70%，若把原價看成單位“1”，它的70%對應(yīng)的數(shù)量是140元，所以原價是140÷70%=200（元）。

打?qū)φ凼侵复蛘酆蟮膬r格是原價的50%，再用原價乘50%就是這件上衣的成本價。

所以這件上衣成本價：200×50%=100（元）。

第四篇：老教師推薦小學數(shù)學典型應(yīng)用題

小學數(shù)學典型應(yīng)用題

1、歸一問題

【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。

例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5=0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？ 0.12×16=1.92（元）列成綜合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）答：需要1.92元。

例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖 拉機6天耕地多少公頃？

解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？ 90÷3÷3=10（公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 10×5×6=300（公頃）列成綜合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300（公頃）答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？

解（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 100÷5÷4=5（噸）（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 5×7=35（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105÷35=3（次）列成綜合算式105÷（100÷ 5÷4×7）=3（次）答：需要運3次。

2、歸總問題

【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量×份數(shù)=總量

總量÷1份數(shù)量=份數(shù)

總量÷另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意所求的數(shù)量。例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解（1）這批布總共有多少米？ 3.2×791=2531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2÷2.8=904（套）列成綜合算式 3.2×791 ÷2.8=904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？

解（1）《紅巖》這本書總共多少頁？ 24×12=288（頁）（3）小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36=8（天）列成綜合算式 24×12÷36=8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

解（1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×30=1500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50+10）=25（天）列成綜合算式 50×30÷（50+10）=1500÷60=25（天）答：這批蔬菜可以吃25天。

3、和差問題

【含義】已知兩個數(shù)量的和與差,求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用趣叫和差問題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù) =（和 + 差）÷ 2 小數(shù) =（和較小的數(shù) = 較大的數(shù)

較小的數(shù) × 幾倍 = 較大的數(shù)

【解題思路和方法】筒單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？ 248÷（3＋1）= 62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 62 × 3 = 186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ 解（1）西庫存糧數(shù)= 480 ÷（1.4 + 1）= 200（噸）（2）東庫存糧數(shù)= 480-200 = 280（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。

例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？ 解 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28-24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52+32）就相當于（2+1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52+32）÷（2+1）= 28（輛）所求天數(shù)為（52-28）÷（28-24）= 6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4 甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)各是多少？

解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1 倍量。

因為乙比甲的2倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； 又因為丙比甲的3倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時（170+4-6）就相當于（1+2+3）倍。那么，甲數(shù)=（170+4-6）÷（1+2+3）=28 乙數(shù)=28×2-4=52 丙數(shù)=28×3+6=90 答：甲數(shù)是28,乙數(shù)是52,丙數(shù)是90。

5、差倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵6求杏樹、桃樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？ 124÷（3-1）=62（棵）

（2）桃樹有多少棵？ 62×3 = 186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

解（1）兒子年齡=27÷（4-1）=9（歲）

（2）爸爸年齡=9×4=36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

解 如果把上月盈利作為1倍量，則（30-12）萬元就相當于上月盈利的（2-1）倍,因此 上月盈利=（30-12）÷（2-1）=18（萬元）本月盈利= 18+30=48（萬元）

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉來各9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（138-94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么,(138-94)就相當于（3-1）倍，因此

剰下的小麥數(shù)量=（138-94）÷（3-1）=22（噸）運出的小麥數(shù)量= 94-22=72（噸）運糧的天數(shù)= 72÷9=8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6、倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷一個數(shù)量=倍數(shù)

另一個數(shù)量×倍數(shù)=另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100=37（倍）

（2）可以榨油多少千克？ 40×37=1480（千克）列成綜合算式40×（3700÷ 100）=1480（千克）答：可以榨油1480千克。

例2 今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？

解（1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300=160（倍）

（2）共植樹多少棵？ 400×160=64000（棵）列成綜合算式 400×（48000 ÷ 300）=64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解（1）800畝是4畝的幾倍？ 800÷4=200（倍）

（2）800畝收入多少元？ 11111 ×200=2222200（元）（3）16000 畝是 800 畝的幾倍？ 16000÷800=20（倍）（4）16000 畝收入多少元？ 2222200×20 = 44444000（元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。

7、相遇問題

【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時間=總路程÷（甲速+乙速）

總路程=（甲速+乙速）×相遇時間

【解題思路和方法】筒單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ 解 392÷（28+21）=8（小時）答：經(jīng)過8小時兩船相遇。

例2 小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時 間？ 解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2 相遇時間=（400×2）÷（5 + 3）=100（秒）答:二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。

例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相 遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3 千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米,因此，相遇時間=（3×2）÷（15-13）=3（小時）兩地距離=（15+ 13）×3=84（千米）答：兩地距離是84千米。

8、追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】 追及時間=追及路程÷（快速-慢速）

追及路程=（快速-慢速）×追及時間

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通用公式。

例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

解（1）劣馬先走12天能走多少千米？ 75×12=900（千米）

（2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（120-75）=20（天）列成綜合算式 75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米, 此時小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×（500 ÷200）]秒,所以小亮的速度是

（500-200）÷[40×（500÷200）]=300÷100=3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵 人？

解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22-16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是[10×（22-16）]千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時間=[10×（22-16）+60]÷（30-10）=120÷ 20=6（小時）答：解放軍在6小時后可以追上敵人。

例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間。

這個時間為16×2÷（48-40）=4（小時）

所以兩站間的距離為（48+40）×4 = 352（千米）

列成綜合算式（48+40）× [16×2÷（48-40）]= 88×4=352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5 兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？

解 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90-60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為

180×2÷（90-60）=12（分鐘）家離學校的距離為90×12-180=900（米）答：家離學校有900米遠。

例6 孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了 10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10-5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（10-5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1 千米，跑步比不行少用[9-（10-5）]分鐘。所以，步行1千米所用時間為

1÷[9-（10-5）]= 0.25（小時）=15（分鐘）跑步1千米所用時間為15-[9-（10-5）] =11（分鐘）跑步速度為每小時1÷11/60=5.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。

9、植樹問題

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用 題叫做植樹問題。【數(shù)量關(guān)系】線形植樹 棵數(shù)=距鹿÷棵距+1 環(huán)形植樹 棵數(shù)=距離÷棵距 方形植樹 棵數(shù)=距離÷棵距-4 三角形植樹 棵數(shù)=距離÷棵距-3 面積植樹 棵數(shù)=面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2+1=68+1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。

例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一 棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？ 解 400÷4=100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。

例3 —個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？ 解 220×4÷8-4=110-4=106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。

例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？ 解 96÷（0.6×0.4）=96÷0.24=400（塊）答：至少需要400塊地板磚。

例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解（1）橋的一邊有多少個電桿？ 500÷ 50+1 =11（個）

（2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11×2=22（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22×2=44（盞）答：橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10、年齡問題

【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān) 系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。兩個數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)

例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷5=7（倍）

（35+1）÷（5+1）=6（倍）

答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37-7=30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30÷（4-1）-7=3（年）列成綜合算式（37-7）÷（4-1）-7 = 3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為49 + 3×2=55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（4+1）倍，因此，今年兒子年齡為55÷（4+1）=11（歲）

今年父親年齡為11×4=44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。

11、行船問題

【含義】行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。【數(shù)量關(guān)系】（順水速度+逆水速度）÷2 =船速

（順水速度-逆水速度）÷2 =水速 順水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速×2-順水速=順水速-水速×2 【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？

解 由條件知，順水速=船速+水速= 320÷8,而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8-15=25（千米）

船的逆水速為25-15=10（千米）船逆水行這段路程的時間為320÷10 = 32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。

例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少 時間？ 解 由題意得 甲船速+水速=360÷10=36 甲船速-水速=360÷18=20 可見，（360-20）相當于水速的2倍，所以，水速為每小時（36-20）÷2=8（千米）又因為，乙船速-水速= 360÷15, 所以，乙船速為360÷15+8 = 32（千米）

乙船順水速為32+8=40（千米）

所以，乙船順水航行360千米需要360÷40=9（小時）答：乙船返回原地需要9小時。

例3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？

解 這道題可以按照流水問題來解答。

（1）兩城相距多少千米？（576-24）×3 = 1656（千米）（2）順風飛回需要多少小時？1656÷（576+24）=2.76（小時）列成綜合算式[（576-24）×3]÷（576+24）=2.76（小時）答：飛機順風飛回需要2.76小時。

12、列車問題

【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數(shù)量關(guān)系】

火車過橋：過橋時間=（車長+橋長）÷車速

火車追及：追及時間=（甲車長+乙車長+距離）÷（甲車速-乙車速）火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）÷（甲車速+乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。

（1）火車3分鐘行多少米？ 900×3=2700（米）（2）這列火車長多少米？ 2700-2400=300（米）列成綜合算式900×3-2400 = 300（米）答：這列火車長300米。

例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大撟，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？

解 火車過橋所用的時間是2分5秒= 125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米+橋長），所以，橋長為

8×125-200=800（米）

答：大橋的長度是800米。例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？

解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225+140）米，而快車比慢車每秒多行（22-17）米，因此，所求的時間為

（225+140）÷（22-17）=73（秒）

答：需要73秒。

第五篇：小學數(shù)學典型應(yīng)用題歸納匯總30種題型

小學數(shù)學典型應(yīng)用題歸納匯總30種題型 歸一問題

【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。

例1

買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？

0.6÷5＝0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）列成綜合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。歸總問題

【含義】解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量 總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)

總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1

服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

解（1）這批布總共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。和差問題

【含義】已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)＝（和＋差）÷ 2

小數(shù)＝（和－差）÷ 2

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1

甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。4 和倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù) 總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？

62×3＝186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。5 差倍問題

【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。

【數(shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù) 較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？

62×3＝186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。6 倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷一個數(shù)量＝倍數(shù) 另一個數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）列成綜合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。7 相遇問題 【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ 解

392÷（28＋21）＝8（小時）答：經(jīng)過8小時兩船相遇。8 追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。

【數(shù)量關(guān)系】追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解（1）劣馬先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？

900÷（120－75）＝20（天）列成綜合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20天能追上劣馬。植樹問題

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。

【數(shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1 環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距 方形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－4 三角形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－3 面積植樹棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。10 年齡問題

【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

例1

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解

35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。11 行船問題

【含義】行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速（順水速度－逆水速度）÷2＝水速

順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？

解由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時

320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速為

25－15＝10（千米）

船逆水行這段路程的時間為

320÷10＝32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。列車問題

【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數(shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速 火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？

900×3＝2700（米）（2）這列火車長多少米？

2700－2400＝300（米）列成綜合算式

900×3－2400＝300（米）答：這列火車長300米。時鐘問題

【含義】就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。

【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1

從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？

解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

分針追上時針的時間為

20÷（1－1/12）≈ 22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。14 盈虧問題 【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。

【數(shù)量關(guān)系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？

解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？

3×12＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。工程問題

【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間 工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。

例1

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？

解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。正反比例問題

【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數(shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為

300÷（4－3）×12＝3600（米）答：這條公路總長3600米。17 按比例分配問題

【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)＝比的前后項之和

【解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1

學校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 解總份數(shù)為

47＋48＋45＝140 一班植樹

560×47/140＝188（棵）二班植樹

560×48/140＝192（棵）三班植樹

560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。18 百分數(shù)問題

【含義】百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常常可以通分、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只能表示“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分數(shù)”、“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分數(shù)＝比較量÷標準量 標準量＝比較量÷百分數(shù)

【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

例1

倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解（1）用去的占

720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占

6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。19 “牛吃草”問題 【含義】“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數(shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)

【解題思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。

例1

一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長量 同理

1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量 由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長量為

50÷（20－10）＝5 20 雞兔同籠問題

【含義】這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問題： 假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。

例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？ 解假設(shè)35只全為兔，則

雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數(shù)＝35－23＝12（只）

也可以先假設(shè)35只全為雞，則 兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。21 方陣問題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）? 內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1

在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

解

22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。商品利潤問題

【含義】這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。

【數(shù)量關(guān)系】利潤＝售價－進貨價

利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100% 售價＝進貨價×（1＋利潤率）虧損＝進貨價－售價

虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

某商品的平均價格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

解設(shè)這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原價下降了1%。23 存款利率問題 【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數(shù)×100% 利息＝本金×存款年（月）數(shù)×年（月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數(shù)］

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。

解因為存款期內(nèi)的總利息是（1488－1200）元，所以總利率為（1488－1200）÷1200

又因為已知月利率，所以存款月數(shù)為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大強的存款期是30月即兩年半。24 溶液濃度問題

【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】溶液＝溶劑＋溶質(zhì) 濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？

50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？

50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。25 構(gòu)圖布數(shù)問題

【含義】這是一種數(shù)學游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中?！皹?gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。

【數(shù)量關(guān)系】根據(jù)不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1

十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。解符合題目要求的圖形應(yīng)是一個五角星。

4×5÷2＝10 因為五角星的5條邊交叉重復，應(yīng)減去一半?；梅絾栴}

【含義】把n×n個自然數(shù)排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數(shù)之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。

【數(shù)量關(guān)系】每行、每列、每條對角線上各數(shù)的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。三級幻方的幻和＝45÷3＝15

五級幻方的幻和＝325÷5＝65

【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數(shù)的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數(shù)，然后再確定其它方格中的數(shù)。

例1

把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和相等。

解幻和的3倍正好等于這九個數(shù)的和，所以幻和為（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九個數(shù)在這八條線上反復出現(xiàn)構(gòu)成幻和時，每個數(shù)用到的次數(shù)不全相同，最中心的那個數(shù)要用到四次（即出現(xiàn)在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數(shù)各用到三次，其余的四個數(shù)各用到兩次?？磥恚玫剿拇蔚摹爸行臄?shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。

設(shè)“中心數(shù)”為Χ，因為Χ出現(xiàn)在四條線上，而每條線上三個數(shù)之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4 2 7 6 9 5 1 4 3 8 即

45＋3Χ＝60

所以Χ＝5 接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置，它們 分別在四個角，再確定其余四個奇數(shù)的位置，它們分別 在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。27 抽屜原則問題

【含義】把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數(shù)學中的抽屜原則問題。

【數(shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素?！窘忸}思路和方法】（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說明理由，得出結(jié)論。

例1 育才小學有367個1999年出生的學生，那么其中至少有幾個學生的生日是同 一天的？

解由于1999年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個1999年出生的學生看作367個“元素”。367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。

這說明至少有2個學生的生日是同一天的。28 公約公倍問題

【含義】需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。

【數(shù)量關(guān)系】絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答。

【解題思路和方法】先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。

例1

一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？ 解硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。

60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長是4厘米。29 最值問題

【含義】科學的發(fā)展觀認為，國民經(jīng)濟的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應(yīng)用題叫做最值問題。

【數(shù)量關(guān)系】一般是求最大值或最小值。

【解題思路和方法】按照題目的要求，求出最大值或最小值。

例1

在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？

解先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。答：最少需要9分鐘。30 列方程問題 【含義】把應(yīng)用題中的未知數(shù)用字母Χ代替，根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式——方程，通過解這個方程而得到應(yīng)用題的答案，這個過程，就叫做列方程解應(yīng)用題。

【數(shù)量關(guān)系】方程的等號兩邊數(shù)量相等。

【解題思路和方法】可以概括為“審、設(shè)、列、解、驗、答”六字法。（1）審：認真審題，弄清應(yīng)用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關(guān)系是什么。（2）設(shè)：把應(yīng)用題中的未知數(shù)設(shè)為Χ。

（3）列；根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，按照等量關(guān)系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。

（5）驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。（6）答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。

同學們在列方程解應(yīng)用題時，一般只寫出四項內(nèi)容，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、答語。設(shè)未知數(shù)時要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數(shù)和未知數(shù)都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗的過程不必寫出，但必須檢驗。

例1

甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人？ 解第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。找等量關(guān)系：甲班人數(shù)＝乙班人數(shù)×2－30人。列方程：

90－Χ＝2Χ－30 解方程得Χ＝40

從而知

90－Χ＝50 第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得Χ＝40

從而得知

2Χ－30＝50 答：甲班有50