第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題9--植樹(shù)問(wèn)題

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題9

植樹(shù)問(wèn)題

【含義】 按相等的距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

線形植樹(shù)

棵數(shù)＝距離÷棵距＋1

環(huán)形植樹(shù)

棵數(shù)＝距離÷棵距

方形植樹(shù)

棵數(shù)＝距離÷棵距－4

三角形植樹(shù)

棵數(shù)＝距離÷棵距－3

面積植樹(shù)

棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】

先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。

例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

例2

一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹(shù)，一共能栽多少棵白楊樹(shù)？

解 400÷4＝100（棵）

答：一共能栽100棵白楊樹(shù)。

例3

一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？

解 220×4÷8－4＝110－4＝106（個(gè)）

答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。

例4

給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米，問(wèn)至少需要多少塊地板磚？

解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）答：至少需要400塊地板磚。

例5

一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

解

（1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？ 500÷50＋1＝11（個(gè)）

（2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？ 11×2＝22（個(gè)）

（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

第二篇：小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

01歸一問(wèn)題

【含義】

在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量

另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

02解題思路和方法

先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1：3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計(jì)算5頭牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根據(jù)題意先算出1頭牛1天吃草料的質(zhì)量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5頭牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同學(xué)8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作的數(shù)量相同，并且又來(lái)了2位同學(xué)，那么再過(guò)15分鐘他們又能做

_____

張正方形紙片？

解：

1.可以先算出5名同學(xué)1分鐘能制作正方形紙片的數(shù)量，240÷8=30(張)。

2.再算出1名同學(xué)1分鐘制作的數(shù)量，30÷5=6(張)。

3.現(xiàn)在有5+2=7(名)同學(xué)，每人每分鐘做6張，要做15分鐘，那么他們能做7×6×15=630(張)正方形紙片。

例3：某車間用4臺(tái)車床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，照這樣計(jì)算，增加3臺(tái)同樣的車床后，如果要生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要

_____

小時(shí)完成？

解：

1.4臺(tái)車床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，則每臺(tái)車床每小時(shí)生產(chǎn)零件600÷4÷5=30（個(gè)）。

2.增加3臺(tái)同樣的車床，也就是4+3=7（臺(tái)）車床，7臺(tái)車床每小時(shí)生產(chǎn)零件7×30=210（個(gè)）。

3.如果生產(chǎn)6300個(gè)零件，需要6300÷210=30（小時(shí)）完成。

02歸總問(wèn)題

【含義】

解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。

所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià).幾小時(shí)（幾天）的總工作量.幾公畝地上的總產(chǎn)量.幾小時(shí)走的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量

總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

解題思路和方法

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1:王大伯家的干草夠8只牛吃一個(gè)星期的，照這樣計(jì)算，這些草夠4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有個(gè)書(shū)架共5層，每層放36本書(shū)?，F(xiàn)在要空出一層放碟片，把這層書(shū)平均放入其它4層中，每層比原來(lái)多放

（）本書(shū)。

解：

方法一：

1.根據(jù)題意可以算出書(shū)架上有5×36=180(本)書(shū)。

2.現(xiàn)在還剩下5-1=4(層)書(shū)架。

3.所以每層書(shū)架上有180÷4=45(本)書(shū)。比原來(lái)多45-36=9(本)書(shū)。

方法二：

也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書(shū)平均分到其他4層，所以每層比原來(lái)多放36÷4=9（本）書(shū)。

例3一個(gè)長(zhǎng)方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管。單開(kāi)進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開(kāi)排水管6小時(shí)可以把滿水池排空，兩管齊開(kāi)需要多少小時(shí)把滿池水排空？

解：

1.要求兩管齊開(kāi)需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度，進(jìn)水每小時(shí)480÷8=60（噸）；排水每小時(shí)480÷6=80（噸）。

2.當(dāng)兩管齊開(kāi)，排水速度大于進(jìn)水速度，即每小時(shí)排80-60=20（噸）。

3.再根據(jù)總水量就可以求出排空滿池水所需的時(shí)間。480÷20=24（小時(shí)）。

03和差問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)＝(和－差)÷2

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例1:兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因?yàn)榈谝豢鸨鹊诙鹬?/p>

1.根據(jù)大大數(shù)＝(和＋差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行動(dòng)地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120名，原來(lái)第一組人太多，所以從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第一組和第二組人數(shù)一樣多，那么原來(lái)第二組有（）名專家。

解：

1.原來(lái)從第一組調(diào)了20人到第二組，這時(shí)第一組和第二組人數(shù)一樣多，說(shuō)明原來(lái)第一組比第二組多20+20=40（人）

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關(guān)系，第二組人數(shù)應(yīng)該為(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工廠第一.二.三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人，三個(gè)車間各有多少人？

解：

1.第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人；

那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數(shù)是（280-25-15）÷3=80（人）。

據(jù)此可得出第一.二車間的人數(shù)。

04和倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

總和÷（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例１：甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧２６４噸，甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的１０倍。甲倉(cāng)庫(kù)存糧噸，乙倉(cāng)庫(kù)存糧＿＿＿＿＿噸。

解：

１.根據(jù)“甲倉(cāng)庫(kù)存糧是乙倉(cāng)庫(kù)存糧的１０倍”，把甲倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉(cāng)庫(kù)存糧數(shù)看成“小數(shù)”。

２.根據(jù)和倍公式總和－（幾倍＋１）＝較小的數(shù)，即可求乙倉(cāng)庫(kù)存糧２６４＝（１０＋１）＝２４（噸）。

３.根據(jù)和倍公式較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)，即可求甲倉(cāng)庫(kù)存糧２４×１０＝２４０（噸）。

例２：已知蘋(píng)果.梨.桃子的總質(zhì)量為４０千克，蘋(píng)果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍，求蘋(píng)果.梨.桃子的質(zhì)量。

解：

１.根據(jù)“蘋(píng)果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍數(shù)，則蘋(píng)果是４倍數(shù)，梨是３倍數(shù)。

２.根據(jù)“蘋(píng)果、梨、桃子的總質(zhì)量為４０千克”和和倍公式：

總和＝（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

可求出桃子的質(zhì)量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根據(jù)桃子質(zhì)量可以求出蘋(píng)果和梨的質(zhì)量。

例３：歡歡、樂(lè)樂(lè)和多多一共帶了1４８元去公園。

已知?dú)g歡帶的錢數(shù)比樂(lè)樂(lè)的２倍多１元，多多帶的錢數(shù)比歡歡多２倍，那么多多帶了（）元。

解：

１.在三個(gè)量的和倍問(wèn)題中，我們可以選擇其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，然后通過(guò)三個(gè)量之間的和倍關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由題可知，三人里樂(lè)樂(lè)的錢數(shù)最少。

我們可以把樂(lè)樂(lè)看成標(biāo)準(zhǔn)量，那么歡歡就是２份標(biāo)準(zhǔn)量再加１元。

３.多多比歡歡多兩倍，就是２×３＝６份標(biāo)準(zhǔn)量再加１×３＝３（元）。

４.那么他們?nèi)齻€(gè)合起來(lái)就是１＋２＋６＝９

份標(biāo)準(zhǔn)量再加１＋３＝４（元）。

５.所以標(biāo)準(zhǔn)量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即樂(lè)樂(lè)帶了１６元。

６.根據(jù)樂(lè)樂(lè)的錢數(shù)可以求出歡歡帶了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多帶了

３３×３＝９９（元）。

05差倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少；

這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1：莉莉的科技書(shū)比故事書(shū)多16本，科技書(shū)是故事書(shū)3倍，莉莉有科技書(shū)（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解決差倍問(wèn)題，可以畫(huà)線段圖解決，也可以直接套用公式解決。

2.把故事書(shū)的本數(shù)看作1倍數(shù)，科技書(shū)的本數(shù)就是3倍數(shù)，科技書(shū)比故事書(shū)多16本，所以根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出故事書(shū)有16÷2=8本。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出科技書(shū)有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，則原來(lái)甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根據(jù)題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，說(shuō)明原來(lái)甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根據(jù)差倍公式兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件。

開(kāi)始時(shí)，甲零件的數(shù)量是乙零件數(shù)量的2倍，加工了30個(gè)成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多，那么還可以加工

_____

個(gè)成品。

解：

1.加工一個(gè)成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個(gè)），加工30個(gè)成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（個(gè)）。

根據(jù)“加工了30個(gè)成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多”說(shuō)明原來(lái)甲零件比乙零件多90個(gè)。

2.把乙原來(lái)的零件數(shù)看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多1倍，對(duì)應(yīng)90個(gè)，求出乙原來(lái)有90÷（2-1）=90（個(gè)）

3.那么甲原來(lái)有90×2=180（個(gè)）零件。

4.每件成品需要5個(gè)甲零件，2個(gè)乙零件，那么加工30個(gè)成品，甲零件用了5×30=150（個(gè)），乙零件用了2×30=60（個(gè)），所以甲零件還剩180-150=30（個(gè)），乙零件還剩90-60=30（個(gè)）。

剩下的甲零件還能做30÷5=6（個(gè)）成品，剩下的乙零件還能做30÷2=15（個(gè)）成品。

因?yàn)槊考善沸枰?乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件數(shù)還可以加工6個(gè)成品。

06和倍問(wèn)題

【含義】

已知兩個(gè)或多個(gè)人年齡關(guān)系，求各自年齡或年齡關(guān)系，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)

＝(和－差)÷2總和÷(幾倍+1)

＝較小的數(shù)

總和-較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

＝較大的數(shù)兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

年齡問(wèn)題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。

年齡問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為和差.和倍.差倍問(wèn)題。

簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1：爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽

_____

歲。

解：

1.本題考查的年齡差不變（簡(jiǎn)單），不管過(guò)了多少年年齡差是不變的。

2.爸爸比媽媽大2歲，根據(jù)不管過(guò)了多少年年齡差是不變的，當(dāng)爸爸42歲時(shí)，媽媽是40歲。

例2：姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當(dāng)她們的年齡和是39歲時(shí)，那時(shí)妹妹

_____

歲。

解：

方法一：

1.利用年齡同增同減的思路。

2.姐妹倆今年的年齡之和是：

15+12=27（歲），年齡之和到達(dá)39歲時(shí)需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。

方法二：

1.利用年齡差不變的思路。

2.兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）÷2=18（歲）。

例3：爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，_____

年前，爸爸的年齡是哥哥的5倍。

解：

1.不管過(guò)了多少年，年齡差是不變的，當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的5倍時(shí)，年齡差仍是50-14=36（歲）。

2.問(wèn)什么時(shí)候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實(shí)際上年齡差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根據(jù)兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出哥哥當(dāng)時(shí)的年齡是（50-14）÷4=9（歲）。

4.再根據(jù)題意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹兩人的年齡和是50歲，曾經(jīng)有一年，姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，且那時(shí)姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍。

那么姐姐今年

_____

歲。

解：

1.當(dāng)姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)妹妹的年齡是1份，那么姐姐的年齡就是2份，那么姐姐與妹妹的年齡差就是1份。

2.因?yàn)槟菚r(shí)姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，所有妹妹今年的年齡也是2份。

因?yàn)槟挲g差不變，所以今年姐姐的年齡應(yīng)該是2+1=3份。

3.今年姐妹兩人的年齡和是50歲，對(duì)應(yīng)2+3=5份，求出1份是50÷5=10（歲），那么姐姐今年是10×3=30（歲）。

07相遇問(wèn)題

【含義】

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。

這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程

＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間

解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：歡歡和樂(lè)樂(lè)在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，樂(lè)樂(lè)每分鐘行80米，他們同時(shí)出發(fā)5分鐘后相遇。這條馬路長(zhǎng)（）。

解：

根據(jù)公式總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間，可以求出這條馬路長(zhǎng)（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。到達(dá)目的地后立即返回。

已知第一次相遇地點(diǎn)距離A地50千米，第二次相遇地點(diǎn)距離B地60千米，AB兩地相距

_____

千米。

解：

1.本題考查的是二次相遇問(wèn)題，靈活的運(yùn)用畫(huà)線段圖的方法來(lái)分析是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。

2.畫(huà)線段圖

3.從圖中可以看出，第一次相遇時(shí)甲行了50千米。甲乙合行了一個(gè)全程的路程。

從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個(gè)全程的路程。

由于甲乙速度不變，合行兩個(gè)全程時(shí)，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，從圖中看甲所行路程剛好比AB兩地相距路程還多出60千米。

所以AB兩地相距150-60=90(千米)。

例3：歡歡和樂(lè)樂(lè)在相距80米的直跑道上來(lái)回跑步，樂(lè)樂(lè)的速度是每秒3米，歡歡的速度是每秒2米。

如果他們同時(shí)分別從跑道兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘時(shí)，在這段時(shí)間里共相遇過(guò)

_____

次。

解：

1.根據(jù)題意，第一次相遇時(shí)，兩人共走了一個(gè)全程，但是從第二次開(kāi)始每相遇一次需要的時(shí)間都是第一次相遇時(shí)間的兩倍。（線段圖參考例2。）

2.根據(jù)“相遇時(shí)間=總路程÷速度和”得到，歡歡和樂(lè)樂(lè)首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因?yàn)閺牡谝淮蜗嘤鼋Y(jié)束到第二次相遇，歡歡和樂(lè)樂(lè)要走兩個(gè)全程，所以從第二次開(kāi)始每相遇一次需要的時(shí)間是16秒的2倍，也就是32秒，則經(jīng)過(guò)第一次相遇后，剩下的時(shí)間是600-16=584（秒），還要相遇584÷32=18.25（次），所以在這段時(shí)間里共相遇過(guò)18+1=19（次）。

追及問(wèn)題（含解析）

01追及問(wèn)題

【含義】

兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）

作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。

這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

★

追及時(shí)間＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖

分析可以讓解題事半功倍。

例1：某警官發(fā)現(xiàn)前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個(gè)匪徒。

解：

1.從警官追開(kāi)始到追上匪徒，這就是一個(gè)追及過(guò)程。

根據(jù)公式：路程差÷速度差=追及時(shí)間。

2.路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差為1米/秒。

所以追及的時(shí)間為100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同時(shí)從400米的環(huán)形跑道的起跑線出發(fā)，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出發(fā)。

那么甲乙二人出發(fā)后（）秒第一次相遇？

解：

1.由題可知，甲乙同時(shí)出發(fā)后，乙領(lǐng)先，甲落后，那么兩人第一次相遇時(shí)，乙從后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長(zhǎng)度，即追及路程為400米。

2.由追及時(shí)間=總路程÷速度差可得：經(jīng)過(guò)400÷（8-6）=200（秒）

兩人第一次相遇。

例3：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時(shí).48千米/時(shí)和42千米/時(shí)，小轎車和大客車從甲地.面包車從乙地同時(shí)相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。

那么甲.乙兩地相距多遠(yuǎn)？

解：

1.根據(jù)題意，將較復(fù)雜的綜合問(wèn)題分解為若干個(gè)單一問(wèn)題。

首先是小轎車和面包車的相遇問(wèn)題；

其次是面包車和大客車的相遇問(wèn)題；

然后是小轎車與大客車的追及問(wèn)題。

最后通過(guò)大客車與面包車共行甲.乙兩地的一個(gè)單程，由相遇問(wèn)題可求出甲.乙兩地距離。

2.畫(huà)線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時(shí)三車所走的路程。

圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。

3.由圖可知，當(dāng)面包車與大客車相遇時(shí)，大客車與小轎車的路程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。

有小轎車與大客車的速度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時(shí)間。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小時(shí)）。

4.由于大客車與面包車相遇，共行一個(gè)行程，所以AB兩地路程為

（42+48）×3=270（千米）。

01

植樹(shù)問(wèn)題

【含義】

按相等的距離植樹(shù)，在距離.棵距.棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

線形植樹(shù)：

一端植樹(shù)：棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

兩端植樹(shù)：

棵數(shù)＝間隔數(shù)+1=距離÷棵距＋1

兩端都不植樹(shù)：

棵數(shù)＝間隔數(shù)-1=距離÷棵距-1

環(huán)形植樹(shù)：

棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

正多邊形植樹(shù)：

一周總棵數(shù)=每邊棵數(shù)×邊數(shù)-邊數(shù)

每邊棵樹(shù)=一周總棵數(shù)÷邊數(shù)+1

面積植樹(shù)：

棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

02解題思路和方法

先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。

例1：植樹(shù)節(jié)到了，少先隊(duì)員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊樹(shù)。

如果兩頭都不栽，平均每?jī)煽脴?shù)之間的距離應(yīng)是多少米？

解：

1.本題考察的是植樹(shù)問(wèn)題中的兩端都不栽的情況，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要理解棵數(shù)比間隔數(shù)少1。

2.因?yàn)榭脭?shù)比間隔數(shù)少1，所以共有8+1=9個(gè)間隔，每個(gè)間隔距離是72÷9=8米。

3.所以每?jī)煽脴?shù)之間的距離是8米。

例2：佳一小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，在操場(chǎng)周圍插上彩旗。

已知操場(chǎng)的周長(zhǎng)是500米，每隔5米插一根紅旗，每?jī)擅婕t旗之間插一面黃旗，那么一共插紅旗多少面，一共插黃旗多少面。

解：

1.本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中封閉圖形間隔問(wèn)題。

本題中只要抓住棵數(shù)＝間隔數(shù)，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。

2.棵數(shù)＝間隔數(shù)，一共插紅旗500÷5＝100（面），這一百面紅旗中一共有100個(gè)間隔，所以一共插黃旗100面。

例3：多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計(jì)算，從三樓爬到十樓需要多少分鐘？

解：

1.本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中鋸木頭.爬樓梯問(wèn)題的情況。

需要理解爬的樓層.鋸的次數(shù)與層數(shù).段數(shù)之間的關(guān)系。

所在樓層=爬的層數(shù)+1；

木頭段數(shù)=鋸的次數(shù)+1。

2.從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層需要6÷2=3（分鐘）。

因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）×3=21（鐘）。

例4：時(shí)鐘敲3下要2秒鐘，敲6下要多少秒？

解：

1.本題考查的是植樹(shù)問(wèn)題中敲鐘聲問(wèn)題，與鋸木頭爬樓問(wèn)題類似。

本題中只要抓住敲的次數(shù)＝間隔數(shù)+1。

2.時(shí)鐘敲3下，中間有2個(gè)間隔，2個(gè)間隔需要2秒鐘，那么1個(gè)間隔需要1秒鐘。

時(shí)鐘敲6下，中間有5個(gè)間隔，需要5秒。

01行船問(wèn)題

【含義】

行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。

解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在靜水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；

船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】

（順?biāo)俣龋嫠俣龋?

＝船速（順?biāo)俣龋嫠俣龋?

＝水速順?biāo)伲酱佟?－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－順?biāo)?/p>

＝順?biāo)伲佟?

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：某船在同一條河中順?biāo)偈敲啃r(shí)20千米，逆水船速是每小時(shí)10千米，這條河的水流速度是每小時(shí)

_____

千米？

解：

順?biāo)?船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，順?biāo)俦饶嫠俣?個(gè)水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/時(shí))。

例2：某條大河水流速度是每小時(shí)5千米，一艘靜水船速是每小時(shí)20千米的貨輪逆水航行5小時(shí)能到達(dá)目的地，這艘貨輪原路返回到出發(fā)地需要多少小時(shí)？

解：

1.逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-5=15(千米/時(shí))，行駛5小時(shí)共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回時(shí)是順?biāo)叫?，順?biāo)俣仁庆o水船速+水速，即20+5=25(千米/時(shí))，所以返回用時(shí)75÷25=3(小時(shí))。

例3：小船在兩個(gè)碼頭間航行，順?biāo)?小時(shí)，逆水需5小時(shí)，若一只木筏順?biāo)^(guò)這段距離需

_____

小時(shí)？

解：

1.我們可以假設(shè)一個(gè)路程。

假設(shè)兩個(gè)碼頭之間的距離是200千米，順?biāo)?小時(shí)，則順?biāo)乃俣仁敲啃r(shí)200÷4=50（千米），逆水需5小時(shí)，則逆水的速度是每小時(shí)200÷5=40（千米）。

2.根據(jù)“水速=（順?biāo)旭偹俣?逆水行駛速度）÷2”得到，水流速度是每小時(shí)（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏順?biāo)^(guò)的速度就是水流速度，所以木筏順?biāo)^(guò)這段距離需要200÷5=40（小時(shí)）。

01列車問(wèn)題

【含義】

與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。

【數(shù)量關(guān)系】

★

火車過(guò)橋：

過(guò)橋時(shí)間＝（車長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)）÷車速

★

火車追及：

追及時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速－乙車速）

★

火車相遇：

相遇時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）÷（甲車速＋乙車速）

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：一列火車全長(zhǎng)126米，全車通過(guò)611米的隧道需要67秒，火車的速度是多少米/秒？

解：

1.本題考查的是火車過(guò)橋的問(wèn)題。

解決本題的關(guān)鍵是知道火車完全經(jīng)過(guò)隧道所走的路程是一個(gè)車身長(zhǎng)＋隧道長(zhǎng)，進(jìn)而求出車速。

2.因此火車的速度為：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在兩行軌道上有兩列火車相對(duì)開(kāi)來(lái)，一列火車長(zhǎng)208米，每秒行18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯(cuò)開(kāi)用了12秒鐘，那么另一列火車長(zhǎng)多少

米？

解：

兩列火車從相遇到完全錯(cuò)開(kāi)，所行路程之和剛好是它們的車身長(zhǎng)度之和。

根據(jù)“路程和=速度和×?xí)r間”

可得，另一列火車長(zhǎng)=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火車通過(guò)一座長(zhǎng)90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用了18秒。

原來(lái)火車每秒行多少米？

解：

1.根據(jù)“火車的速度加快1倍，它通過(guò)長(zhǎng)為222米的隧道只用了18秒”可知，如果火車用原來(lái)的速度通過(guò)222米的隧道，則要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大橋長(zhǎng)222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）行駛這一段路程，根據(jù)速度=路程÷時(shí)間，可以求出原來(lái)火車每秒行132÷12=11（米）。

01時(shí)鐘問(wèn)題

【含義】

就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合.兩針垂直.兩針成一線.兩針夾角為60度等，這類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。

通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。

02解題思路和方法

將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。

例1：鐘面上從時(shí)針指向8開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘，時(shí)針正好與分針第一次重合?（精確到1分）

解：

1.此類題型可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道。

那么本題就相當(dāng)于行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題，即分針與時(shí)針之間的路程差是240°。

2.分針每分鐘比時(shí)針多轉(zhuǎn)6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分鐘）。

也就是從8時(shí)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)44分鐘，時(shí)針正好與分針第一次重合。

例2：從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，鐘面上時(shí)針和分針一共重合了多少次？

解：

我們可以把鐘面看成一個(gè)環(huán)形跑道，這樣分針和時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以轉(zhuǎn)化成追及問(wèn)題。

從早晨6點(diǎn)到傍晚6點(diǎn)，一共經(jīng)過(guò)了12小時(shí)，12個(gè)小時(shí)分針要跑12圈，時(shí)針只能跑1圈，分針比時(shí)針多跑12-1=11（圈），而分針每比時(shí)針多跑1圈，就會(huì)追上時(shí)針一次，也就是和時(shí)針重合1次，所以12小時(shí)內(nèi)兩針一共重合了11次。

例3：一部記錄中國(guó)軍隊(duì)時(shí)代變遷的紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)有兩個(gè)多小時(shí)。

小明發(fā)現(xiàn)，紀(jì)錄片播放結(jié)束時(shí)，手表上時(shí)針.分針的位置正好與開(kāi)始時(shí)時(shí)針.分針的位置交換了一下。

這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)多少分鐘？（精確到1分）

解：

1.解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到時(shí)針與分針合走的路程是1080°，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成相遇問(wèn)題來(lái)解決。

2.兩個(gè)多小時(shí)，分針與時(shí)針位置正好交換。

所以分針與時(shí)針?biāo)叩穆烦毯驼檬侨?，也就是分針和時(shí)針合走360°×3=1080°，而分針和時(shí)針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀(jì)錄片時(shí)長(zhǎng)166分鐘。

01

工程問(wèn)題

【含義】

工程問(wèn)題主要研究工作量.工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。

這類問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”.“一塊土地”.“一條水渠”.“一件工作”等。

在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】

工作量＝工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間

＝工作量÷工作效率工作時(shí)間

＝工作總量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解題思路和方法

解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作單位“1”。

這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾）。

進(jìn)而就可以根據(jù)工作量.工作效率.工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。

例1：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做要12天完成，乙隊(duì)獨(dú)做要15天完成，兩隊(duì)合做4天可以完成這項(xiàng)工程的（）。

解：

1.本題考察的是兩個(gè)人的工程問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是求出甲.乙兩隊(duì)的工作效率之和。

進(jìn)而用工作效率×工作時(shí)間=工作量。

2.甲隊(duì)的工作效率為:1÷12=，乙隊(duì)的工作效率為:1÷15=，兩隊(duì)合做4天，可以完成這項(xiàng)工程的（+）×4=。

例2：一項(xiàng)工程，甲.乙兩隊(duì)合作30天完成。

如果甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)合做12天后，甲隊(duì)因事離去，由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成。

這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要多少天完成？

解：

1.我們可以將“甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)再加入合做，兩隊(duì)合做12天后，甲隊(duì)因事離去。

由乙隊(duì)繼續(xù)做了15天才完成”轉(zhuǎn)化為“甲.乙兩隊(duì)合做27天，甲再單獨(dú)做9天”，由此可以求出甲9天的工作量為：，甲每天的工作效率為：，這項(xiàng)工程如果由甲隊(duì)單獨(dú)做，需要。

例3：有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要6小時(shí)，乙單獨(dú)做需要8小時(shí)，丙單獨(dú)做需要10小時(shí)，上午8時(shí)三人同時(shí)開(kāi)始，中間甲有事離開(kāi)，如果到中午12點(diǎn)工程才完工，則甲上午離開(kāi)的時(shí)間是幾時(shí)幾分？

解：

1.根據(jù)題意，知道了甲乙丙的工作時(shí)間可求出相應(yīng)的工作效率。

甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時(shí)間也可以求出來(lái)，即甲上午離開(kāi)的時(shí)間也可以求出來(lái)。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率為：1÷6=

所以甲的工作時(shí)間為：÷=（小時(shí)）

所以甲離開(kāi)的時(shí)間是8時(shí)36分。

01盈虧問(wèn)題

【含義】

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總量＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總量＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總量＝（大虧－小虧）÷分配差

02解題思路和方法

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例1：小明從家到學(xué)校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；

如果每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學(xué)校的路程是多少米？

解：

1.分析題意，類比“盈虧問(wèn)題”，我們可以把“遲到3分鐘”，轉(zhuǎn)化為比計(jì)劃路程少行50×3=150（米），把“提前5分鐘”轉(zhuǎn)化為比計(jì)劃路程多行70×5=350（米）

這時(shí)題目被轉(zhuǎn)化成了“一盈一虧”問(wèn)題。

2.根據(jù)公式，求出原計(jì)劃到校的時(shí)間：（350+150）÷（70-50）=25（分鐘）。

3.所以小明家到學(xué)校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；

若每人擦6塊，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少塊？

解：

1.由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問(wèn)題，需要將題目條件轉(zhuǎn)化成一般盈虧問(wèn)題。

“其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊”可以轉(zhuǎn)化為“每人擦5塊，則余10塊”。

2.這樣就轉(zhuǎn)化為了雙盈問(wèn)題，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60塊。

例3：動(dòng)物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個(gè)桃子，則有兩只猴子沒(méi)有分到；

如果有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析題意，題中有兩種分配方式。

聯(lián)系“盈虧問(wèn)題”，我們可以把“兩只猴子沒(méi)有分到”理解為桃子的數(shù)量少

2×10=20（個(gè)），再把“有兩只猴子分8個(gè)桃子，其余猴子分9個(gè)，則還差3個(gè)桃子”理解為每只猴子分9個(gè)，則還少（9-8）×2+3=5（個(gè)）。

2.這時(shí)把題目看成“雙虧問(wèn)題”，求出猴子的數(shù)量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分?jǐn)?shù)問(wèn)題

【含義】

百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)常常可以通分.約分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；

分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只顯“率”；

分?jǐn)?shù)的分子.分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；

百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門(mén)的記號(hào)“%”。

在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。

【數(shù)量關(guān)系】

掌握“百分?jǐn)?shù)”.“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：

百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)

02解題思路和方法

一般有三種基本類型：

（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；

（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。

例1：在植樹(shù)節(jié)里，某校六年級(jí)學(xué)生在校園內(nèi)種樹(shù)8棵，占全校植樹(shù)數(shù)的20%，則該校在植樹(shù)節(jié)里共植樹(shù)多少棵？

解：

已知六年級(jí)學(xué)生的種樹(shù)棵數(shù)以及所種棵數(shù)占全校植樹(shù)數(shù)的比值，直接用除法運(yùn)算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數(shù)的25%，第二天賣出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進(jìn)了多少件連衣裙？

解：

1.把這批連衣裙的總數(shù)看作單位“1”，已知第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45×+20）對(duì)應(yīng)的分率。

2.根據(jù)已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數(shù)的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數(shù)的75%，則原來(lái)這堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本題考察的是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)一種棋子變化時(shí)，抓住另一種棋子的數(shù)量不變，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題。

2.由條件可知，當(dāng)拿走49枚黑子時(shí)，此時(shí)白子的數(shù)量沒(méi)有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數(shù)量比為（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數(shù)量比為（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當(dāng)于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數(shù)量沒(méi)有變化，所以原來(lái)黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來(lái)這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知識(shí)補(bǔ)充

百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的百分率有：

★?增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)÷原來(lái)基數(shù)×100%

★?合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

★?出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%

★?出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%

★?缺席率＝缺席人數(shù)÷實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%

★?發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗(yàn)種子總數(shù)×100%

★?成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

★?出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

★?出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★?廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

★?命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

★?烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方陣問(wèn)題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣）。

根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：

四周人數(shù)?＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)?＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝外每邊的人數(shù)平方－內(nèi)每邊的人

數(shù)平方內(nèi)每邊人數(shù)＝外每邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

解題思路和方法

方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。

實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。

例1：佳一學(xué)校參加運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少23人。

那么參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員一共有

多少人？

解：

1.要知道參加表演的運(yùn)動(dòng)員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。

2.一個(gè)正方形隊(duì)列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數(shù)，其中頂點(diǎn)上的人數(shù)計(jì)算了兩次，所以減少的人數(shù)=每邊的人數(shù)×2-1。

所以開(kāi)始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。

例2：歡歡用圍棋子圍成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個(gè)方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1：

1.本題考查的空心方陣，根據(jù)四周的枚數(shù)和每邊上的枚數(shù)之間的關(guān)系，算出每一層的棋子數(shù)。

2.方陣每向里一層，每邊的枚數(shù)就減少2枚。

知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數(shù)，知道各層每邊的枚數(shù)，就可以求出各層的總數(shù)。

最外一層的棋子的枚數(shù)：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數(shù)：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數(shù)：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），擺這個(gè)方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4。則：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一個(gè)實(shí)心方陣由81人組成，這個(gè)方陣的最外層有

多少人？

解：

方陣的行數(shù)和列數(shù)相同，9×9=81，所以這是一個(gè)9行9列的方陣。

最外層人數(shù)與一邊人數(shù)的關(guān)系：一邊人數(shù)×4-4=一層人數(shù)。

所以最外層的人數(shù)是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一個(gè)用棋子排成的實(shí)心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個(gè)棋子，這樣排成了一個(gè)新方陣，他又把這個(gè)新方陣改排成一個(gè)4層的空心陣，這個(gè)方陣最外層每邊有

多少個(gè)棋子？

解：

1.根據(jù)題意，排成的這個(gè)新方陣的每邊棋子數(shù)是（23+1）÷2=12（個(gè)）,那么這個(gè)實(shí)心方陣的棋子總數(shù)是12×12=144（個(gè)）。

2.根據(jù)空心方陣中，每相鄰的兩層的棋子數(shù)相差8的關(guān)系，我們可以找出等量關(guān)系，列方程解決。

設(shè)最外層有x個(gè)棋子，則從外到內(nèi)每層的棋子數(shù)分別是（x-8）個(gè).（x-16）個(gè).（x-24）個(gè)。

則：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以這個(gè)方陣最外層每邊有48÷4+1=13（個(gè)）棋子。

01牛吃草問(wèn)題

【含義】

“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。

這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

【數(shù)量關(guān)系】

草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)

02解題思路和方法

解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。

例1：這是一片新鮮的牧場(chǎng)，現(xiàn)有400份草，每天都均勻地生長(zhǎng)6份草。

若一開(kāi)始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。

這片牧場(chǎng)的草夠奶牛吃多少天？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問(wèn)題。

解決本題的關(guān)鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由題目可知：原有的草量+新長(zhǎng)的草量=總的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長(zhǎng)的草。

原有的草量是不變的，每天新長(zhǎng)的草量是勻速的，每天都長(zhǎng)6份，每頭奶牛每天吃1份，新長(zhǎng)的草剛好夠6頭奶牛吃的量。

那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。

例2：一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù)。

5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？

解：

設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每天可抽1份水。

5臺(tái)抽水機(jī)20天抽水：5×20=100（份）

6臺(tái)抽水機(jī)15天抽水：6×15=90（份）

每天入庫(kù)的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水機(jī)臺(tái)數(shù)：60÷6+2=12（臺(tái)）

答：要求6天抽干，需要12臺(tái)同樣的抽水機(jī)。

例3：某車站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。

從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘。

如果同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需

多少分鐘？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問(wèn)題，“旅客”相當(dāng)于“草”，檢票口相當(dāng)于“?！?。

2.由題目可知，旅客總數(shù)由兩部分組成：

一部分是開(kāi)始檢票前已經(jīng)排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開(kāi)始檢票后新來(lái)的旅客。

設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。

那么4個(gè)檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個(gè)檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份）

那么每分鐘新增顧客數(shù)量為：20÷10=2（份）。

那么原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。

同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，我們可以讓2個(gè)檢票口專門(mén)通過(guò)新來(lái)的顧客，其余的5個(gè)檢票口通過(guò)原來(lái)的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。

01雞兔同籠問(wèn)題

【含義】

這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞.兔共有多少只頭和多少只腳，求雞.兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。

已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞.兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

第一雞兔同籠問(wèn)題：

??假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

??假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問(wèn)題：

??假設(shè)全是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

??假設(shè)全是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

02解題思路和方法

解此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。

如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；

如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。

這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。

通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。

例1：雞和兔在一個(gè)籠子里，共有35個(gè)頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？

假設(shè)籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應(yīng)該有35×2=70（只）腳，而實(shí)際有94只腳，這多出來(lái)的腳就是把兔子當(dāng)作雞多出來(lái)的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），則兔子有24÷2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。

例2：動(dòng)物園里有鴕鳥(niǎo)和長(zhǎng)頸鹿共70只，其中鴕鳥(niǎo)的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只，那么鴕鳥(niǎo)有多少只，長(zhǎng)頸鹿有多少只？

解：

假設(shè)全部都是鴕鳥(niǎo)，則一共有70×2=140（只）腳，此時(shí)長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)是0，鴕鳥(niǎo)腳比長(zhǎng)頸鹿腳多140只，而實(shí)際上鴕鳥(niǎo)的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只。

因此鴕鳥(niǎo)腳與長(zhǎng)頸鹿腳的差數(shù)多了140-80=60（只），這是因?yàn)榘哑渲械拈L(zhǎng)頸鹿換成了鴕鳥(niǎo)。

把每一只長(zhǎng)頸鹿換成鴕鳥(niǎo)，鴕鳥(niǎo)的腳數(shù)將增加2只，長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)減少4只，那么鴕鳥(niǎo)腳數(shù)與長(zhǎng)頸鹿腳數(shù)的差就增加了6只，所以換成鴕鳥(niǎo)的長(zhǎng)頸鹿有60÷6=10（只），鴕鳥(niǎo)有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的農(nóng)場(chǎng)里養(yǎng)了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數(shù)和兔數(shù)互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據(jù)題意可得：前后雞的總只數(shù)=前后兔的總只數(shù)。

把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。

前后雞和兔的總腿數(shù)有144+156=300（條）

所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數(shù)有50只。

例4：一次數(shù)學(xué)考試，只有20道題。做對(duì)一題加5分，做錯(cuò)一題倒扣3分（不做算錯(cuò)）。

樂(lè)樂(lè)這次考試得了84分，那么樂(lè)樂(lè)做對(duì)了多少道題？

解：

如果20題全部做對(duì)，應(yīng)該得20×5=100（分），而實(shí)際得了84分，少了100-84=16（分）。

做錯(cuò)一題和做對(duì)一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯(cuò)了16÷8=2（題）。

一共20題，所以樂(lè)樂(lè)做對(duì)了20-2=18（題）。

01抽屜問(wèn)題

【含義】

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如367個(gè)人中至少有兩個(gè)人是同一天過(guò)生日，這類問(wèn)題在生活中非常常見(jiàn)。

它所依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。

抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對(duì)象存在性問(wèn)題有力工具。

【數(shù)量關(guān)系】

基本的抽屜原則是：

如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：

如果有m個(gè)抽屜，元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。

02

解題思路和方法

目前,處理抽屜原理問(wèn)題最基本和常用的方法是運(yùn)用“最不利原則”,構(gòu)造“最不利”“點(diǎn)最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有紅.黃.藍(lán).綠四種顏色的球各20個(gè)，一次至少摸出多少個(gè)球才能保證摸出兩個(gè)相同顏色的球？

解：

解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利的情況，因?yàn)橛?種顏色，想要摸出兩個(gè)相同顏色的球。

那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個(gè)，這時(shí)再摸一個(gè)球，一定與前幾個(gè)球有顏色相同的。

因此至少要摸4+1=5(個(gè))球。

例2：袋子中有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球，5個(gè)綠球，一次至少摸出多少個(gè)球就能保證摸到兩種顏色的球？

解：

解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。

最不利的情況應(yīng)該是將一種顏色的球都拿出來(lái)時(shí)，不論接下來(lái)摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。

因?yàn)?種球的個(gè)數(shù)各不相同。

所以最不利的情況應(yīng)該是先將個(gè)數(shù)最多的球都拿出來(lái)，接下來(lái)摸的球都一定與之前顏色不同。

因此至少摸出5+1=6(個(gè))球

例3：一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共5道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分5分，答對(duì)一題得3分，答錯(cuò)扣1分，不答不得分。

要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競(jìng)賽？

解：

1.本題考察的是抽屜原理的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。

進(jìn)而從最壞的情況開(kāi)始考慮解決問(wèn)題。

2.一共有5題，且有5分的基礎(chǔ)分，那么每道題就有1分的基礎(chǔ)分。

也就相當(dāng)于答對(duì)一題得4分，答錯(cuò)不得分，不答得1分。

這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的得分情況有以下幾種：

5題全對(duì)的只有1種情況：得20分；

對(duì)4題的有2種情況：1題答錯(cuò)得16分，1題沒(méi)答得17分；

對(duì)3題的有3種情況：2題全錯(cuò)得12分，只錯(cuò)1題得13分，2題不做得14分；

對(duì)2題的有4種情況：3題全錯(cuò)得8分，只錯(cuò)2題得9分，只錯(cuò)1題得10分；3題全不答得11分；

對(duì)1題的有5種情況：4題全錯(cuò)得4分，只錯(cuò)3題得5分，只錯(cuò)2題得6分，只錯(cuò)1題得7分，4題全不答得8分；

答對(duì)0題有6

種情況：5題全錯(cuò)得0分；錯(cuò)4題得1分，錯(cuò)3題得2分，錯(cuò)2題得3分，錯(cuò)1題得4分，5題全不答得5分。

我們發(fā)現(xiàn)從0分到20分，只有19分.18分.15分這三個(gè)分?jǐn)?shù)沒(méi)有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（種）不同的得分，要保證有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）參加競(jìng)賽。

01濃度問(wèn)題【含義】

在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。

這類問(wèn)題研究的主要是溶劑（水或其它液體）.溶質(zhì).溶液.濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。

例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。

溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關(guān)系】

溶液＝溶劑＋溶質(zhì)濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

02解題思路和方法

找出不變量，簡(jiǎn)單題目直接利用公式，復(fù)雜題目變通后再利用公式。

例1：要將濃度為25％的酒精溶液1020克，配制成濃度為17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根據(jù)題意可知，配制前后酒精溶液的質(zhì)量和濃度發(fā)生了改變，但純酒精的質(zhì)量并沒(méi)有發(fā)生改變。

2.純酒精的質(zhì)量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液質(zhì)量的17%。

所以配制后酒精溶液的質(zhì)量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的質(zhì)量：1500-1020=480（克）。

例2：有濃度為30%的鹽水溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24%的鹽水溶液。

如果再加入同樣多的水，那么鹽水溶液的濃度變?yōu)槎嗌伲?/p>

解：

1.分析題意，假設(shè)濃度為30%的鹽水溶液有100克，則100克溶液中有100×30%=30（克）的鹽，加入水后，鹽占鹽水的24%。

此時(shí)鹽水的質(zhì)量為：30÷24%=125（克），加入的水的質(zhì)量為：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，鹽水溶液的濃度為：30÷（125+25）=20%。

例3：兩個(gè)杯中分別裝有濃度為45%與15%的鹽水，倒在一起后混合鹽水的濃度為35%。

若再加入300克濃度為20%的鹽水，則變成濃度為30%的鹽水，則原來(lái)濃度為45%的鹽水有多少克？

解：

1.本題考察的是濃度和配比問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)。

解決本題的關(guān)鍵是先求出原溶液與混合后的溶液濃度差的比。

從而求出所需溶液質(zhì)量的比，并解決問(wèn)題。

2.根據(jù)題意可知，濃度為35%的鹽水和濃度為20%的鹽水混合成濃度為30%的鹽水，因?yàn)闈舛葹?5%的鹽水比混合后的濃度多35%-30%=5%，濃度為20%的鹽水比混合后的濃度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合時(shí)，2份濃度為35%的鹽水才能補(bǔ)1份濃度為20%的鹽水。

故濃度為35%的鹽水與濃度為20%的鹽水所需質(zhì)量比為2:1

所以濃度為35%的鹽水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，濃度為45%和15%的鹽水溶液與混合后濃度為35%的鹽水溶液差的比為（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么濃度為45%和15%的鹽水溶液所需要的質(zhì)量比為2:1，即2份濃度為45%的鹽水才能補(bǔ)上1份濃度為15%的鹽水。

故原來(lái)濃度為45%的鹽水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利潤(rùn)問(wèn)題【含義】

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，包括成本.利潤(rùn).利潤(rùn)率和虧損.虧損率等方面的問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】

利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)利潤(rùn)率

＝（售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%售價(jià)

＝進(jìn)貨價(jià)×（1＋利潤(rùn)率）虧損

＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)虧損率

＝（進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%

02解題思路和方法

簡(jiǎn)單題目直接利用公式，復(fù)雜題目變通后再利用公式。

例1：某服裝店從韓國(guó)代購(gòu)100件羽絨服，每件進(jìn)價(jià)300元，另外還需要付10元/件的代購(gòu)費(fèi)和200元的國(guó)際快遞費(fèi)。

該服裝店要想每件羽絨服獲得75%的利潤(rùn)率，則每件定價(jià)為多少元？

解：

由題意可知，每件羽絨服實(shí)際總成本包括每件羽絨服的進(jìn)價(jià).代購(gòu)費(fèi)和運(yùn)費(fèi)，總成本為300+10+200÷100=312（元），要想每件獲得75%的利潤(rùn)，那么每件定價(jià)應(yīng)該是成本的1+75%=175%，故每件定價(jià)為312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售價(jià)是140元，老板說(shuō)：“如果這件上衣打?qū)φ劬筒毁嵰膊惶潯薄?/p>

這件上衣成本是多少元？

解：

1.本題關(guān)鍵是理解打折的含義，打幾折后現(xiàn)價(jià)就是原價(jià)的百分之幾十，打?qū)φ劬褪侵脯F(xiàn)價(jià)是原價(jià)的50%。

2.打七折是指現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的70%，若把原價(jià)看成單位“1”，它的70%對(duì)應(yīng)的數(shù)量是140元，所以原價(jià)是140÷70%=200（元）。

打?qū)φ凼侵复蛘酆蟮膬r(jià)格是原價(jià)的50%，再用原價(jià)乘50%就是這件上衣的成本價(jià)。

所以這件上衣成本價(jià)：200×50%=100（元）。

第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)應(yīng)用題9

小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)應(yīng)用題980、甲乙兩車AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，7小時(shí)相遇，甲車每小時(shí)比乙車慢20千米，兩車的速度比是7：9，求AB兩地相距多少千米？

81、一本書(shū)，看了幾天后還剩160頁(yè)沒(méi)看，剩下的頁(yè)數(shù)比這本書(shū)的82、甲倉(cāng)庫(kù)存糧食100噸，乙倉(cāng)庫(kù)存糧食80噸，甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)了一批糧食到乙倉(cāng)庫(kù)，這時(shí)乙倉(cāng)庫(kù)的糧食正好是甲

4倉(cāng)庫(kù)的。甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)了多少噸糧食到乙倉(cāng)庫(kù)？

583、一輛大巴從廣州開(kāi)往韶關(guān)，行了一段路程后，離韶關(guān)還有210千米，接著以行了全程的20%，這時(shí)已行路程與未行路程的比是3∶2。廣州、韶關(guān)兩地相距多少千米？

84、在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中共有20道題，每做對(duì)一題得5分，做錯(cuò)或不做扣1分，小華得了70分，他共做對(duì)了幾道題？

85、飼養(yǎng)廠雞的只數(shù)比鴨的只數(shù)多25%，那么，鴨的只數(shù)比雞的只數(shù)少百分之幾？

86、先看清題目要求，再回答。

有一天，老師帶了5000元錢到商店買電器，看見(jiàn)一款家電組合，TCL彩電2000元，DVD機(jī)的價(jià)錢是彩電的80%，音箱價(jià)錢比彩電貴20%。請(qǐng)你幫老師預(yù)算一下：買這三種家電，老師帶的錢夠嗎

2少20頁(yè)，這本書(shū)多少頁(yè)？ 3

第四篇：典型應(yīng)用題.還原問(wèn)題

典型應(yīng)用題—還原問(wèn)題

11例題:一根繩子，第一次剪去又2分米，第二次剪去余下的 又2分米，最后剩下6分米。這根繩子3

3原來(lái)有多長(zhǎng)?

分析：這類問(wèn)題可以從“最后余下多少”這個(gè)問(wèn)題出發(fā)，到回頭來(lái)想想，如果上一次沒(méi)有剪去這時(shí)應(yīng)該余下多少，再想想如果上上一次沒(méi)有剪去，余下的應(yīng)該又是多少、、、、、、。這樣一直想下去直到還原這根

1繩子沒(méi)有剪。例如這道題，我們就可以從“第二次剪去余下的又2分米，最后剩下6分米?！背霭l(fā)去

31想，先求出如果這次沒(méi)有剪，該余下多少？可以這樣想，假設(shè)2分米沒(méi)有剪，那么第二次剪去余下的 3

11后，剩下(2+6)分米,正好就是余下的),.這樣用(2+6)÷(1-)=12(米),就求出了如果這次沒(méi)有剪，該余33

11下12米。這樣就還原到“一根繩子，第一次剪去 又2分米后余下12米?！蓖瑯佑茫?2+2）÷（1-）33

=21（米），就求得這根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度。

練習(xí)：

1、一筐蘋(píng)果，第一次吃去一半零3個(gè)，第二次吃去余下的一半零2個(gè)，第三次吃去余下的一半零4個(gè)，最后還有12個(gè)蘋(píng)果，求原來(lái)共有多少個(gè)蘋(píng)果？

2、籃子中有一些桔子，如果將其中的一半又一個(gè)給第一個(gè)人，將余下的一半給又2個(gè)給第二個(gè)人，然后將剩下的一半又3個(gè)給第三個(gè)人，藍(lán)中剛好一個(gè)也不剩。藍(lán)中原有多少個(gè)桔子？

3、大娘院子里有群雞，雞的只數(shù)加上七，乘以七，減去七，除以七，再減去七，其結(jié)果等于七，大娘院子里有多少只雞？

4、姐姐買了一些桃子，第一天吃了這些桃子的一半多1個(gè)，第二天吃了剩下的一半多1個(gè)，第三天又吃掉了剩下的一半多1個(gè)，還剩下1個(gè)。那么姐姐買了多少個(gè)桃子？

5、王老師拿著一批書(shū)送給30位學(xué)生，每到一位學(xué)生家里，王老師就將所有書(shū)的一半給他，每位學(xué)生也都還他一本，最后王老師還剩2本書(shū)。那么王老師原來(lái)拿了幾本書(shū)？

6、一堆煤，先運(yùn)走12又1噸，再運(yùn)走余下的又1噸，這時(shí)還剩下2噸。原來(lái)這堆煤有多少噸？ 357、一根繩子第一次剪去全長(zhǎng)的一半差1米，第二次剪去余下的一半差1米，第三次又剪去剩下的一半差1米，最后還剩下3米。這根繩子原來(lái)有多少米？

8、一根繩子第一次剪去全長(zhǎng)的一半多1米，第二次剪去余下的米，最后還剩下2米。這根繩子原來(lái)有多少米？

9、一根繩子剪去全長(zhǎng)的11多2米，第三次又剪去剩下的多134111，再剪去余下的，又剪去余下的，還剩下4米。這根繩子原來(lái)有多少米？ 33310、某新華書(shū)店運(yùn)進(jìn)一批故事書(shū)，第一周售出總數(shù)的一半還多40本，第二周售出剩下的一半少5本，還剩下35本，新華書(shū)店運(yùn)進(jìn)故事書(shū)多少本？

11、一堆煤，先運(yùn)走12又2噸，再運(yùn)走的是余下的少2噸，還剩下8噸。原來(lái)這堆煤有多少噸？ 35

第五篇：老教師推薦小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

1、歸一問(wèn)題

【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量 另一總量÷（總量÷份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5=0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？ 0.12×16=1.92（元）列成綜合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）答：需要1.92元。

例2 3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖 拉機(jī)6天耕地多少公頃？

解（1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？ 90÷3÷3=10（公頃）（2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？ 10×5×6=300（公頃）列成綜合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300（公頃）答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。例3 5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？

解（1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 100÷5÷4=5（噸）（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？ 5×7=35（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105÷35=3（次）列成綜合算式105÷（100÷ 5÷4×7）=3（次）答：需要運(yùn)3次。

2、歸總問(wèn)題

【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量×份數(shù)=總量

總量÷1份數(shù)量=份數(shù)

總量÷另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意所求的數(shù)量。例1 服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解（1）這批布總共有多少米？ 3.2×791=2531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2÷2.8=904（套）列成綜合算式 3.2×791 ÷2.8=904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2 小華每天讀24頁(yè)書(shū)，12天讀完了《紅巖》一書(shū)。小明每天讀36頁(yè)書(shū)，幾天可以讀完《紅巖》？

解（1）《紅巖》這本書(shū)總共多少頁(yè)？ 24×12=288（頁(yè)）（3）小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36=8（天）列成綜合算式 24×12÷36=8（天）答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3 食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來(lái)根據(jù)大家的意見(jiàn)，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

解（1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×30=1500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50+10）=25（天）列成綜合算式 50×30÷（50+10）=1500÷60=25（天）答：這批蔬菜可以吃25天。

3、和差問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差,求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用趣叫和差問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù) =（和 + 差）÷ 2 小數(shù) =（和較小的數(shù) = 較大的數(shù)

較小的數(shù) × 幾倍 = 較大的數(shù)

【解題思路和方法】筒單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共248棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？ 248÷（3＋1）= 62（棵）（2）桃樹(shù)有多少棵？ 62 × 3 = 186（棵）答：杏樹(shù)有62棵，桃樹(shù)有186棵。

例2 東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸？ 解（1）西庫(kù)存糧數(shù)= 480 ÷（1.4 + 1）= 200（噸）（2）東庫(kù)存糧數(shù)= 480-200 = 280（噸）答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。

例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙站開(kāi)往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？ 解 每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙站開(kāi)往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開(kāi)往乙站（28-24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52+32）就相當(dāng)于（2+1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52+32）÷（2+1）= 28（輛）所求天數(shù)為（52-28）÷（28-24）= 6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4 甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)各是多少？

解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1 倍量。

因?yàn)橐冶燃椎?倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍； 又因?yàn)楸燃椎?倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時(shí)（170+4-6）就相當(dāng)于（1+2+3）倍。那么，甲數(shù)=（170+4-6）÷（1+2+3）=28 乙數(shù)=28×2-4=52 丙數(shù)=28×3+6=90 答：甲數(shù)是28,乙數(shù)是52,丙數(shù)是90。

5、差倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多124棵6求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？ 124÷（3-1）=62（棵）

（2）桃樹(shù)有多少棵？ 62×3 = 186（棵）答：果園里杏樹(shù)是62棵，桃樹(shù)是186棵。

例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

解（1）兒子年齡=27÷（4-1）=9（歲）

（2）爸爸年齡=9×4=36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3 商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬(wàn)元，又知本月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？

解 如果把上月盈利作為1倍量，則（30-12）萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的（2-1）倍,因此 上月盈利=（30-12）÷（2-1）=18（萬(wàn)元）本月盈利= 18+30=48（萬(wàn)元）

答：上月盈利是18萬(wàn)元，本月盈利是48萬(wàn)元。

例4 糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉來(lái)各9噸，問(wèn)幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量差（138-94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么,(138-94)就相當(dāng)于（3-1）倍，因此

剰下的小麥數(shù)量=（138-94）÷（3-1）=22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量= 94-22=72（噸）運(yùn)糧的天數(shù)= 72÷9=8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6、倍比問(wèn)題

【含義】有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量÷一個(gè)數(shù)量=倍數(shù)

另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)=另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100=37（倍）

（2）可以榨油多少千克？ 40×37=1480（千克）列成綜合算式40×（3700÷ 100）=1480（千克）答：可以榨油1480千克。

例2 今年植樹(shù)節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹(shù)400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹(shù)多少棵？

解（1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300=160（倍）

（2）共植樹(shù)多少棵？ 400×160=64000（棵）列成綜合算式 400×（48000 ÷ 300）=64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹(shù)64000棵。

例3 鳳翔縣今年蘋(píng)果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解（1）800畝是4畝的幾倍？ 800÷4=200（倍）

（2）800畝收入多少元？ 11111 ×200=2222200（元）（3）16000 畝是 800 畝的幾倍？ 16000÷800=20（倍）（4）16000 畝收入多少元？ 2222200×20 = 44444000（元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。

7、相遇問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間=總路程÷（甲速+乙速）

總路程=（甲速+乙速）×相遇時(shí)間

【解題思路和方法】筒單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1 南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開(kāi)出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開(kāi)出的船每小時(shí)行28千米，從上海開(kāi)出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩船相遇？ 解 392÷（28+21）=8（小時(shí)）答：經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。

例2 小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí) 間？ 解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2 相遇時(shí)間=（400×2）÷（5 + 3）=100（秒）答:二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。

例3 甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相 遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3 千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走的路程是（3×2）千米,因此，相遇時(shí)間=（3×2）÷（15-13）=3（小時(shí)）兩地距離=（15+ 13）×3=84（千米）答：兩地距離是84千米。

8、追及問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 追及時(shí)間=追及路程÷（快速-慢速）

追及路程=（快速-慢速）×追及時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通用公式。

例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

解（1）劣馬先走12天能走多少千米？ 75×12=900（千米）

（2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（120-75）=20（天）列成綜合算式 75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米, 此時(shí)小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×（500 ÷200）]秒,所以小亮的速度是

（500-200）÷[40×（500÷200）]=300÷100=3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開(kāi)始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開(kāi)始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵 人？

解 敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（22-16）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是[10×（22-16）]千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時(shí)間=[10×（22-16）+60]÷（30-10）=120÷ 20=6（小時(shí)）答：解放軍在6小時(shí)后可以追上敵人。

例4 一輛客車從甲站開(kāi)往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開(kāi)往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間。

這個(gè)時(shí)間為16×2÷（48-40）=4（小時(shí)）

所以兩站間的距離為（48+40）×4 = 352（千米）

列成綜合算式（48+40）× [16×2÷（48-40）]= 88×4=352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5 兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門(mén)口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問(wèn)他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

解 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?0-60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為

180×2÷（90-60）=12（分鐘）家離學(xué)校的距離為90×12-180=900（米）答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。

例6 孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了 10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來(lái)算了一下，如果孫亮從家一開(kāi)始就跑步，可比原來(lái)步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10-5）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說(shuō)明后段路程跑比走少用了（10-5）分鐘。如果從家一開(kāi)始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1 千米，跑步比不行少用[9-（10-5）]分鐘。所以，步行1千米所用時(shí)間為

1÷[9-（10-5）]= 0.25（小時(shí)）=15（分鐘）跑步1千米所用時(shí)間為15-[9-（10-5）] =11（分鐘）跑步速度為每小時(shí)1÷11/60=5.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時(shí)5.5千米。

9、植樹(shù)問(wèn)題

【含義】按相等的距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用 題叫做植樹(shù)問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】線形植樹(shù) 棵數(shù)=距鹿÷棵距+1 環(huán)形植樹(shù) 棵數(shù)=距離÷棵距 方形植樹(shù) 棵數(shù)=距離÷棵距-4 三角形植樹(shù) 棵數(shù)=距離÷棵距-3 面積植樹(shù) 棵數(shù)=面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。

例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2+1=68+1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。

例2 一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一 棵白楊樹(shù)，一共能栽多少棵白楊樹(shù)？ 解 400÷4=100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹(shù)。

例3 —個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？ 解 220×4÷8-4=110-4=106（個(gè)）答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。

例4 給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米，問(wèn)至少需要多少塊地板磚？ 解 96÷（0.6×0.4）=96÷0.24=400（塊）答：至少需要400塊地板磚。

例5 一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解（1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？ 500÷ 50+1 =11（個(gè)）

（2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？ 11×2=22（個(gè)）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22×2=44（盞）答：橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10、年齡問(wèn)題

【含義】這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān) 系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法。兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)

例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷5=7（倍）

（35+1）÷（5+1）=6（倍）

答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37-7=30（歲）

（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30÷（4-1）-7=3（年）列成綜合算式（37-7）÷（4-1）-7 = 3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？ 解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為49 + 3×2=55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（4+1）倍，因此，今年兒子年齡為55÷（4+1）=11（歲）

今年父親年齡為11×4=44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。

11、行船問(wèn)題

【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 =船速

（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 =水速 順?biāo)?船速×2-逆水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速×2-順?biāo)?順?biāo)?水速×2 【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？

解 由條件知，順?biāo)?船速+水速= 320÷8,而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)320÷8-15=25（千米）

船的逆水速為25-15=10（千米）船逆水行這段路程的時(shí)間為320÷10 = 32（小時(shí)）答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。

例2 甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少 時(shí)間？ 解 由題意得 甲船速+水速=360÷10=36 甲船速-水速=360÷18=20 可見(jiàn)，（360-20）相當(dāng)于水速的2倍，所以，水速為每小時(shí)（36-20）÷2=8（千米）又因?yàn)?，乙船?水速= 360÷15, 所以，乙船速為360÷15+8 = 32（千米）

乙船順?biāo)贋?2+8=40（千米）

所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷40=9（小時(shí)）答：乙船返回原地需要9小時(shí)。

例3 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？

解 這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。

（1）兩城相距多少千米？（576-24）×3 = 1656（千米）（2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？1656÷（576+24）=2.76（小時(shí)）列成綜合算式[（576-24）×3]÷（576+24）=2.76（小時(shí)）答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。

12、列車問(wèn)題

【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度?！緮?shù)量關(guān)系】

火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間=（車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）÷車速

火車追及：追及時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）÷（甲車速-乙車速）火車相遇：相遇時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）÷（甲車速+乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1 一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車頭開(kāi)上橋到車尾離開(kāi)橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？ 解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。

（1）火車3分鐘行多少米？ 900×3=2700（米）（2）這列火車長(zhǎng)多少米？ 2700-2400=300（米）列成綜合算式900×3-2400 = 300（米）答：這列火車長(zhǎng)300米。

例2 一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度通過(guò)一座大撟，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？

解 火車過(guò)橋所用的時(shí)間是2分5秒= 125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米+橋長(zhǎng)），所以，橋長(zhǎng)為

8×125-200=800（米）

答：大橋的長(zhǎng)度是800米。例3 一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過(guò)慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？

解 從追上到追過(guò)，快車比慢車要多行（225+140）米，而快車比慢車每秒多行（22-17）米，因此，所求的時(shí)間為

（225+140）÷（22-17）=73（秒）

答：需要73秒。