第一篇：組合數(shù)學---數(shù)學奧賽教練員培訓材料
（一）組合數(shù)學
1.幾個常用的排列公式
（1）線排列：從n個不同的元素中任取m(m?mn)個排成一列，其排列數(shù)為An.mAn.m（2）圓排列：從n個不同的元素中任取m(m?n)個排成一圈，其排列數(shù)為（3）項鏈排列：從n粒不同的珍珠中任取m(m?n)粒用線串成一根項鏈，得到的不同項鏈的條數(shù)Anm為.2m（4）可重復排列：從n個不同的元素中任取m(m?m（可重復?。┡懦梢涣?，其排列數(shù)為n.n)個元素（5）不全相異的元素的全排列：設n個元素可分為k組，每組分別有n1,n2,...,nk個元素，各組內(nèi)的元素完全相同，不同組的元素互不相同，則這n個元素的全排列數(shù)為
n!.n1!n2!...nk!2.幾個常用的組合公式
（1）單組組合：從n個不同的元素中任取m(m?mn)個并成一組，其組合數(shù)為Cn.（2）多組組合：將n個不同的元素分成k組，每組分別有n1,n2,...,nk個元素，則不同的分組方法數(shù)為n!.n1!n2!...nk!n?1（3）從n個不同元素中任意取m個元素（可重復?。┑慕M合數(shù)為Cn?m?1.3.組合恒等式
下面是大家熟知的組合恒等式
（1）
kkkk?1kn?kCn?Cn?1?Cn?1 , Cn?Cn.Cn?nk?1Cn?1（n?k?1)k（2）Cnnmkkm?k?Cm?Cn?Cn?k
(n?m?k).（3）?Ck?0nkn?2n
(n?k?1)
（4）?(?1)k?0nkkCn?0
(n?1)。
4．二項式定理： 設n是正整數(shù)，x,y是任意實數(shù)，則
kkn?k(x?y)??Cnxy.k?0n
特別有：設n是正整數(shù)，x為任意實數(shù)，則(1?合恒等式（3），（4））
kkx)??Cnx.（分別令x?1和x??1就可得證組nk?0n5.加法原理和乘法原理
加法原理：如果完成一件事情的方法可以分成有n個互不相交的類，且第i類中有mi種方法，則完成這件事情一共有m1?m2???mn種方法.乘法原理：如果完成一件事情需要分為n個步驟（每個步驟僅完成這件事情的一部分），且第i個步驟有mi種方法，則完成這件事情一共有m1m2???mn種方法.6． 兩個重要定理
S的子集，則 定理1（容斥原理）設A1,A2,?,Am是有限集合|A1?A2???Am|??|Ai|?i?1m1?i?j?m?|Ai?Aj|?1?i?j?k?m?|Ai?Aj?Ak|???(?1)m?1|A1?A2???Am|.定理2（配對原理）對于兩個不具有同類元素的有限集合 A與B，如果存在集合A到集合B上的雙射（即一一映射）f，則集合A與B的元素個數(shù)相等，即|A|?|B|.7.抽屜原則
把8件物品任意的放進7個抽屜種，不論怎么放置，則至少有一個抽屜中有兩件或兩件以上上述物品。這是日常生活中簡單而直觀的常識，這一常識反映了數(shù)學中十分深刻的分類原則。這就是抽屜原則。他是數(shù)學中的一個重要原則，把他推廣導一般情形就得到如下幾種表現(xiàn)形式：
1． 把n?1個元素分到n個集合中，那么必有（至少有）一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。
2． 把nm?1個元素分到n個集合中，那么必有（至少有）一個集合中含有m?1或m?1個以上元素。
3． 把n個元素元素分到k個集合中，那么必有（至少有）一個集合中含有元素的個數(shù)?[]，也必有（至少有）一個集合中含有元素的個數(shù)?[]。
4． 把q1?q2?......?qn?n?1個元素分到n個集合中，那么必有（至少有）一個nknki(1?i?n)，在第i個集合中元素的個數(shù)?qi。
5． 把無窮多個元素分為有限個集合，那么必有（至少有）一個集合中元素個數(shù)為無窮。
這幾種表現(xiàn)形式很容易用反證法證明。
一般地說，適合應用抽屜原則來解決的數(shù)學問題具有如下特征：所給的元素具有任意性。問題的結論是存在性命題。題中常含有“至少有”“必有”“一定有”“不少于”等詞語。其結論只是存在，不必確定。
應用抽屜原則解題的本質(zhì)是把所討論的問題利用抽屜原則將范圍縮小，使之能在一個特定的范圍內(nèi)考慮問題，使問題變得簡單而明確。應用抽屜原則解題得基本思想是根據(jù)問題的自身特征，洞察問題的本質(zhì)。先弄清楚對哪些元素進行分類，再找出分類的規(guī)律。下面通過具體的例題來介紹構造抽屜的方法。
例題 例1． 求證 1k1C?(2n?1?1).?nn?1k?0k?1n分析：這是一個組合代數(shù)式的求和問題，考慮到和的特征導出相應的轉(zhuǎn)化關系使問題得到解決。
證明：因為
1k1nn?1kCn?Cn??k?1n?1k?1k?0k?01nk?1??Cn?1n?1k?01n?1j ??Cn?1n?1j?11n?1j?(?Cn?1?1)n?1j?0?1(2n?1?1).n?1 n說明：這是一個組合恒等式的證明，應用組合數(shù)的基本性質(zhì)證明組合恒等式是常用的方法，其他還有數(shù)學歸納法、組合分析法、遞推法等。
例2． 求證：（1）?Ck?0rrknr?kr?Cm?Cn?m(n?m?r)；
（2）?(Ck?0knn)2?C2n（范德蒙恒等式）
分析：這是一個組合代數(shù)式與相應的組合數(shù)的關系，從而聯(lián)想到二項式展開式使問題得到解決。
證明：（1）因為(1?x)?(1?x)所以(nm?(1?x)n?m
n?mr?0?Ck?0rnknrrx)?(?Cx)??Cn?mx kjmjj?0m比較上式兩邊x的系數(shù)得
?Ck?0rknr?kr?Cm?Cn?m 結論成立。
（2）在上式中令 m?r?n 即可得證
?(Ck?0rknn)2?C2n。
說明：這是兩個有名的組合代數(shù)恒等式，該式的證明運用了二項式展開式以及代數(shù)運算巧妙的證出結論。事實上有時運用二項式定理及適當?shù)馁x值也是證明組合代數(shù)式的一種有效的方法。例3．（1996年全國聯(lián)賽試題）從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的六個面染色，每面恰染一種顏色，每兩個具有公共棱的面染成不同的顏色.則不同的染色方法共有_______種.(注：如果我們對兩個相同的正方體染色后，可以通過適當?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同，那么，我們就說這兩個正方體的染色方案相同.)分析 本題是幾何計數(shù)問題，可按照一定的標準分類來進行計數(shù)，關鍵是做到不重復、不遺漏.解 因為有公共頂點的三個面互不同色，故至少要用3種顏色，下面分四種情形來考慮.（1）6種顏色都用時，現(xiàn)將染某種固定顏色的面朝上，從剩下5種顏色中取一種顏色1染下底面有C5種方法，余下4種顏色染四個側面（應是4種顏色的圓排列）有3！種方法.1所以不同的染色方案有C5?3!?30種.5（2）只用5種顏色時，從6種顏色中取5種顏色有C6種方法，這時必有一組對面同色.1從5種顏色中取一種顏色染一組對面，并將它們朝上和朝下，有C5種方法，其余4種顏色染四個側面（應是4種不同顏色的鏈排列）有115?C5??3!?90種.C621?3！種方法.所以不同的染色方案有24（3）只用4種顏色時，從6種顏色中取4種顏色有C6種方法，這時必有兩組對面同色，另一組對面不同色，將不同色的一組對面朝上和朝下，并從4種顏色中取兩種顏色染上、下底面，有C4種方法，其余兩種顏色染四個側面且使兩組對面同色（應是兩種不同顏色的4鏈排列），只有1種方法.所以不同的染色方案有C6?C4?1?90種.3（4）只用3種顏色時，從6種顏色中取3種顏色有C6種方法，這時三組對面都同色，3?1?20種.用三種顏色去染它們只有1種方法.所以不同的染色方案有C622綜上可知，不同的染色方案共有30＋90＋90＋20＝230種.說明 該問題的處理方法就是要抓住圖形特征來進行分類考慮.例4．今有7種顏色的珍珠，共14顆，其中每種顏色的珍珠各2顆；今把這些珍珠分裝在7
個珠盒中，使得每個珠盒中各有一個不同顏色的珍珠。證明：不論各盒的珍珠怎樣搭配，總可以將這7個珠盒分別放置在一個正7邊形的7個頂點上，使得7邊形的任意兩個相鄰頂點處放置的盒中四顆珍珠互不同色。分析：這是一個復雜的組合問題，首先是不管怎樣組合，都可找到符合題目要求的一種排列，所以解決問題的關鍵是對所有的組合情況進行分類考慮，得出相應的結論。
證明：（1）由題目條件，用點v1,v2,.....,v7分別表示這7種顏色，如果一個vi和vj色的珍珠放置在一個盒子中，則在vi和vj間連邊，這樣得到一個圖G。由于同一色的珍珠有兩顆，每一顆珍珠都與另一色的一個珍珠放置在同一個盒子中，則圖G中的每點恰好發(fā)出兩條邊。從G中的任意一點A出發(fā)，沿一條邊到B，再由B沿另一條邊到C，......依次下去，最后必回到出發(fā)點A，這樣在圖G中必有圈。去掉這個圈，若剩下還有點，依上方法知又將得到新的圈，若稱兩點圈為“兩邊形”，則圖G的結構只有如下四種情況：
10.一個7邊形；
20.一個5邊形，一個兩邊形；
30.一個4邊形，一個三角形； 40.一個三角形，兩個兩邊形。
對每種情況進行編號分析：
10.表明每盒珍珠的顏色搭配是：(v1,v7)，(v1,v2)，(v2,v3)，(v3,v4)，(v4,v5)，(v5,v6)，(v6,v7)則依次將(v1,v7)，(v3,v4)，(v5,v6)，(v1,v2)，(v6,v7)，(v4,v5)，(v2,v3)放置在正7邊形的7個頂點上是符合題目要求的放置；
20.表明每盒珍珠的顏色搭配是：(v1,v5)，(v1,v2)，(v2,v3)，(v3,v4)，(v4,v5)，(v6,v7)，(v7,v6)則依次將(v1,v5)，(v3,v4)，(v1,v2)，(v6,v7)，(v2,v3)，(v4,v5)，(v7,v6)放置在正7邊形的7個頂點上是符合題目要求的放置；
30.表明每盒珍珠的顏色搭配是：(v1,v4)，(v1,v2)，(v2,v3)，(v3,v4)，(v5,v6)，(v6,v7)，(v7,v5)則依次將(v1,v4)，(v2,v3)，(v5,v6)，(v1,v2)，(v6,v7)，(v3,v4)，(v7,v5)放置在正7邊形的7個頂點上是符合題目要求的放置；
40.表明每盒珍珠的顏色搭配是：(v1,v3)，(v1,v2)，(v2,v3)，(v4,v5)，(v5,v4)，(v6,v7)，(v7,v6)則依次將(v1,v3)，(v4,v5)，(v6,v7)，(v1,v2)，(v5,v4)，(v2,v3)，(v7,v6)放置在正7邊形的7個頂點上是符合題目要求的放置。綜上可得所證結論成立。
說明：本問題是將組合問題結合圖的思想將其進行合理的分類，從而得到相應的排列方法。
例5．將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有多少種．
分析：將24個志愿者分配給3個學?？捎?條棍子間的空隙代表3個學校，而用?表示名額．如
|????|???|??| 表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額。（這也就是通常稱的占位法）。也可以用不定方程求解。[解法一] 用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用?表示名額．如
|????|???|??|
表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額．
若把每個“?”與每個“|”都視為一個位置，由于左右兩端必須是“｜”，故“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“?”之間的23個空隙中選出2個空隙插入“｜”，故有C2種． 23?253又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．
綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222種．
說明：該問題給出了兩種解法都是運用了問題轉(zhuǎn)化的方法，把不容易處理的問題轉(zhuǎn)化成熟知的容易理解和處理的問題。這也是數(shù)學競賽中經(jīng)常使用的方法，要想熟悉運用這一思想方法必須多分析這樣的一些相關問題。
例6．方程2x1?x2?......?x10?3有多少個非負整數(shù)解（每個量都為非負整數(shù)）？ 分析：由題中條件知左邊變量中至多有3個為1，特別是由于x1的系數(shù)為2可知x1只能取0，1兩種情況，從而得到相應的解決方法。
解： 2x1?2x1?x2?......?x10?3 所以 x1?0,1下面分兩種情況考慮
（1）x1?0 則 x2?x3?......?x10?3 且 xi?0(i?2,3,...,10)
取 yi?xi?1，則原方程等價于 y2?y3?...?y10?12 且yi?1(i?2,3,...,10)則
8用隔板法知該方程的解的個數(shù)為C11?11?10?9?165.3?2?1
（2）x1?1，則x2?x3?......?x10?1 因此x2,x3,......,x10中必有一個為1，其他的是10，這樣的解有C9?9
于是原方程組的非負解的個數(shù)為165+9=174（個）。
例7．已知A與B是集合{1,2,3,......,滿足：A與B的元素個數(shù)相同，且A?B100}的兩個子集，為空集。若n?A時總有2n?2?B，則集合A?B的元素個數(shù)最多為多少？
分析：該問題是組合構造，由條件A與B的元素個數(shù)相同且若n?A時總有2n?2?B，知|A|?|B|，且2n?2?100,從而可知A中的元素不超過49，為此需要進行分類考慮。
解：首先證明|A?B|?66，只需要證明 |A|?33。由分析只需要證明若A是 {1,2,3,......,49}的任何一個34元子集，則必存在n?A，使得2n?2?A。證明如下：將{1,2,3,...,49}分成如下33個集合：
{1,4},{3,8},{5,12}......,{23,48}共12個；{2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共4個；{25},{27},{29},...,{49}共13個；{26},{34},{42},{46}共4個。則若A是{1,2,3,......,49}的任何一個34元的子集，從而由抽屜原理可知上述33個集合中至少有一個2元集合中的兩個數(shù)均屬于A，即存在n?A，2n?2?A。所以|A|?33。事實上，如取
A?{1,3,5,...,23,2,10,14,18,25,27,29,...,49,26,34,42,46}，B?{2n?2|n?A}，則A,B滿足題中要求，且|A?B|?66.所以集合A?B的元素個數(shù)最多為66。
說明 這個問題與例1不一樣，該問題是自己由題中條件和結論要構造出符合要求的集合，分類的方法完全不同，這說明研究解決這類問題的技巧很重要.本題根據(jù)題中集合A,B所滿足的條件，將1，2，....,49進行分類使問題得到解決。.例8.設 x1,x2,......xn為實數(shù)，滿足 x12?x22?......?xn2?1。求證：對每一個整數(shù) k?2，存在不全為零的整數(shù) a1,a2,......an 使得 |ai|?k?1.(i?1,2,......n)且
|a1x1?a2x2?......?anxn|?證明：由柯西不等式
(k?1)n nk?1222(|x1|?|x2|?......?|xn|)2?(12?12?......?12)(x1?x2?......?xn)
即 |x1|?|x2|?......?|xn|?所以 當 0?ai?k?1 時有
n
a1|x1|?a2|x2|?......?an|xn|?(k?1)(|x1|?|x2|?......?|xn|?(k?1)n把區(qū)間 [0,(k?1)n] 等分為 kn?1 個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為
(k?1)n。由于每個 ai 能取 k 個數(shù)，因此 nk?1a1|x1|?a2|x2|?......?an|xn| 共有 kn 個數(shù)。
由抽屜原則知，必有兩個不同的數(shù)會落在同一個小區(qū)間內(nèi)。設它們分別為
?ai?1n1i|xi| 與 ?ai|xi|
2i?1n因此有 |?(ai?ai)|xi||?12i?1n(k?1)n nk?1很顯然，|ai?ai|?k?1,(i?1,2,......n)
12a?ai現(xiàn)在取 ai?{i21ai?ai于是可得 |n12xi?0xi?0
?aixi|?i?1(k?1)n 且 ai 適合 |ai|?k?1,(i?1,2,......n)。結nk?1論成立。
例12． 例9.一個國際社團的成員來自六個國家共1978人，用1，2，`````` 1977，1978來編號，試證明：該社團至少有一個成員的編號或與他的兩個同胞的編號之和相等或者是其中一個同胞編號的兩倍。
證明：可用反證法來證明與本題完全相當?shù)南铝袉栴}：把數(shù)列1，2，``````，1977，1978 按任意一方式分成六組，則至少有一組具有這樣的性質(zhì)，其中必有一個數(shù)或等于同組的其他兩個數(shù)的和或者等于其中某一個數(shù)的兩倍。
假設這六組數(shù)中的每一組數(shù)都不具備上述性質(zhì)，也就是說每一組數(shù)都具備下列性質(zhì)（記作性質(zhì)P）：同組中任意兩個數(shù)的差必不在該組中。因為如果 a,b 連同
a?b 都在一組，那么 a?b?(a?b)與假設矛盾。
因 1978?6?329 所以由抽屜原則可以肯定有一組其中至少有330 個數(shù)（不妨記為A）現(xiàn)在在A 中任取330個數(shù)來，記其中最大的為a1 把a1分別減去其余的329個數(shù)得到329個數(shù)，它們互不相等且大于0而小于1978。由性質(zhì)（P）知這329個數(shù)不能在A中，即應該屬于另外五組中，又329?5?65 所以其余5組中必有一組至少含有上述329個數(shù)中的66個數(shù)（不妨記為B），從B中取出上述329個數(shù)中的
任66個，其中最大的一個記為b1 再把b1減去其余的65個數(shù)得出65個數(shù)任然大于0而小于1978 顯然 這65個數(shù)不屬于 B，當然也不屬于A
假如其中的某個數(shù)屬于 A 即 b1?b?A，由于 b1,b 分別可寫為
b1?a1?a'，b?a1?a 其中 a',a都屬于A 于是
b1?b?(a1?a')?(a1?a)?a?a'。這同A 具備性質(zhì)（P）矛盾。
這就說明上述65個數(shù)必屬于另外 四個數(shù)組中。
由于 65?4?16 所以至少有一組其中含上述65個數(shù)中17個數(shù)（記為C）類似上述過程，最后可得一數(shù)組F，其中至少有兩個數(shù)，大數(shù)與小數(shù)的差是大于0而小于1978的整數(shù)，可是它不在A,B,C,D,E,F的任一組中，這顯然是一個矛盾的結果。從而說明假設不對，也就是這六組數(shù)至少有一組具備性質(zhì)（P）。即題目結論正確。
例10.設S為凸15邊形的所有對角線（就是互不相鄰的點的連線）組成的集合，假若將S分成k個互不相交的非空子集合S1,S2,....,Sk適合對任意不同的i,j（1?i,j?k）至少存兩對角線d?Si，d'?Sj在該凸15邊形內(nèi)部相交，則k的最大值為 解：45 首先15邊形的對角線數(shù)為
15?14?15?90，若k?45，則至少有一個集合中只有一條對2角線，不妨設S1?1，則其他頂點在S1的兩側，如果一邊有v個頂點，另一邊就有13?v個頂點，從而能與S1這一對角線相交的對角線為v(13?v)?6?7?42，則顯然不可能分成題目要求的k個互不相交的非空子集合S1,S2,....,Sk適合對任意不同的i,j（1?i,j?k）至少存在兩相交的對角線d?Si，d'?Sj，所以k?45.現(xiàn)在構造每個集合兩條對角線且滿足條件，構造如下：
{AiAi?2,Ai?1Ai?8} {AiAi?3,Ai?2Ai?8} {AiAi?4,Ai?3Ai?8}
15，如集合中頂點A的下標大于15就取15的剩余得到相應的頂上述三類集合中i?1,2,...,點，顯然共有45個子集，且滿足要求，所以結論得證。
事實上n?2，設S為4n?1（或4n?3可得相應的結果）個頂點的凸多邊形所有對角線的
集合，假設可將S分成S1,S2,...Sk互不相交的非空子集的并，且對任意不同的i,j（1?i,j?k）存在對角線d?Si，和d'?Sj，d,d'有公共的內(nèi)交點，則k可取的最大值為什么？（這個問題就是上述問題的一般化）解：最大值是k?(n?1)(4n?1)
事實上|S|?2(n?1)(4n?1)，如果k?(n?1)(4n?1)，則一定存在某個集合Si只有一條對角線設為d（也就是只有一個元素的集合），則不妨設v個頂點在d的一邊，另外4n?3?v個頂點在另一邊。，這時與d相交的對角線為v(4n?3?v)?(2n?2)(2n?1)
由條件知 k?(2n?2)(2n?1)?1?(n?1)(4n?1)?(n?2)?(n?1)(4n?1).矛盾！現(xiàn)在構造滿足k?(n?1)(4n?1)的一種分劃。把所有頂點標號A1,A2,A3,....,A4n?1，令Ai?(4n?1)?Ai 考慮t?2,3,...,n，i?1,2,3,...,4n?1 St,i?{AiAi?t,Ai?t?1Ai?2n}，顯然其是S的滿足k?(n?1)(4n?1)的一種分劃，現(xiàn)在我們要證明滿足題中條件，也就是任意兩個不同的子集中有兩個元素相交。考慮兩子集Si,t,Si',t'，由于園的對稱性，假設i?0，對角線d與St,0中對角線沒有內(nèi)交點，則d的兩個頂點只能分別同時在如下的3個集合中
{A0,A1,...,At?1}，{At,At?1,...,A2n}，{A2n,A2n?1,...,A4n?1}（A0?A4n?1）
現(xiàn)在要證，對任意集 St',i'中兩條對角線至少有一條其兩個頂點不同屬于上述3個集合中某一個中。事實上，上述三個集合中最多含有2n個連續(xù)的頂點，而任意集 St',i'中兩條對角線分別為Ai'At'?i',Ai'?t'?1Ai'?2n 在確定t'，在i'變化時至少有一條對角線上兩個端點不在同一集合中。結論得證。
例11.有12k人參加會議，每人都卡好與3k?6人握過手，并且對其中任意兩人與這兩人都握過手的人數(shù)皆相同，問有多少人參加會議？
解：設對任意兩人與他們握過手的有n人，考慮某個人a，與a握過手的人的全體記為A，與a沒握過手的人的全體記為B，由題意|A|?3k?6，|B|?9k?7.再考慮b?A，則與a,b均握過手的n人都在A中，因此有與b握過手的n人在A中，與b握過手有3k?5?n人在B中。再考慮c?B，則與a,c都握過手的n個人在A中，于是A與B之間的握手數(shù)為
(9k?7)n?(3k?6)(3k?5?n)，則 n?(3k?6)(3k?5)從而
12k?1
16n?(12k?1?25)(12k?1?21)
12k?1由于(3,12k?1)?1，所以
12k?1|25?7
2則 12k?1?7, 12k?1?5?7，12k?1?5?7
經(jīng)檢驗，只有 12k?1?5?7 產(chǎn)生整數(shù)解
k?3,n?6.下面構造一個36點組成的圖，圖中每點引出15條邊，且每一對點與他們相連的均為6個點 則可用 6個完全圖K6，再從一個K6圖中的每點向另外5個K6圖中分別取一組相鄰點連邊即得。
第二篇：數(shù)學聯(lián)賽(奧賽)經(jīng)驗指導
一道平面幾何題（必考）40分
一道不等式題（必考）50分
剩下的兩道題在數(shù)論、數(shù)列、函數(shù)、平面解析幾何、組合與排列、圖論中出 一般大家比較喜歡做不等式的題，因為不等式屬于高中內(nèi)容
圖論的題只有競賽中涉及，所以大多數(shù)同學都感到應付圖論題目比較棘手
平面幾何要掌握的是幾個重要定理
塞瓦定理及其第一角元和第二角元形式
梅涅勞斯及其第一角元和第二角元形式
托勒密定理
西姆松定理
不等式也要掌握幾個重要不等式
均值不等式：
調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術平均數(shù)≤平方平均數(shù)（必掌握）
柯西不等式及其變形（必掌握）
權方和不等式（了解）
冪平均值不等式（了解）
holder不等式（了解）
切比雪夫不等式（了解）
還要掌握證明不等式的重要方法：配湊法
數(shù)論最重要的是同余算法以及對各種情況的討論
之于其他類型的題就是可能出也可能不出，所以如果說側重的話，應該是側重在不等式、平面幾何
好好訓練一下，平面幾何，初等數(shù)論，還有就是組合數(shù)學，這是二試中的重點！我想說一下你們高中生拿到平面幾何題的通病，很多同學喜歡用解析幾何來做，有時候算了半天，也沒有結果.這主要是因為對初中所學知識有所遺忘，其二就是學了解析幾何，以為方法多么高檔，看到是幾何就想用！其實一眼看穿才是最好的方法！我想這個很多時候解析幾何是辦不到的！一個幾何命題，如果能用簡單的幾何方法證明，比用代數(shù)方法要更讓人舒服.因為如果你用這種方法，你可以不用動筆，一直對到圖形看，多看看就出來了，而你如果交給代數(shù)的話，我想光看，是看不出來的了吧，高手做幾何，就是看！而不是算，即使一開始你看不出來要算，但是算完之后，你還是要想想能不能看！能夠直接看出來才算對問題最完美的認識！才能進一步去引申.希望能夠?qū)δ阌兴鶐椭?/p>
第三篇：小學二年級數(shù)學奧賽題
演講稿 工作總結 調(diào)研報告 講話稿 事跡材料 心得體會 策劃方案
小學二年級數(shù)學奧賽題
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二年級奧數(shù) 基礎班第一講 速算與巧算習題
1.計算:18+28+72 2.計算:100-68= 3,計算:67+98 4.計算:72-39+28
28+44+62+56 100-87= 261-197 382-60+59 * 9+99+999 1000-369= 500-47=
5.計算:99+98+97+96+95
6.計算:436-(36+57)579-83-17 7.計算:1+2+3+4+3+2+1= 8.計算:5+6+7+8+9 1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+6= 1+4+7+10+13+16
提高班第一講 速算與巧算習題
1.計算:18+28+72 2.計算:100-68= 3,計算:67+98 4.計算:72-39+28
28+44+62+56-20 1000-587= 261-197 382-60+59 9+99+999 1000-69= 500-47=
5.計算:99+98+97+96+95
6.計算:436-(136+157)579-83-17 7.計算:1+2+3+4+3+2+1= 8.計算:5+6+7+8+9 1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+6= 1+4+7+10+13+16
基礎班第二講
1.數(shù)一數(shù),圖4-1中共有多少條線段?
圖形計數(shù)
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習題
2.數(shù)一數(shù),圖中有多少個三角形?
3.圖中有多少個正方形?
4.數(shù)一數(shù),圖形中有幾個長方形?
5.數(shù)一數(shù),下圖中有多少個三角形?多少個正方形?
*6.數(shù)一數(shù),下圖中共有多少條線段?有多少個三角形?
*7.數(shù)一數(shù),下圖中共有多少個小于 180°角?
*8.數(shù)一數(shù),下圖中共有多少個三角形?
習題 答 案
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 條線段 5個 5個 7個 6個 17 個(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(個)7 個正方形 10 個三角形 6個 5個 12 個 個三角形 30 條線段 個小于 180°角 10+3+6=19(個)
提高班第二講
1.數(shù)一數(shù),圖4-1中共有多少條線段?
圖形計數(shù)
習題
*2.數(shù)一數(shù),圖4—2中共有多少條線段?
3.數(shù)一數(shù),圖中有多少個三角形?
*4.*** 5.圖中有多少個正方形?
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6.數(shù)一數(shù),圖形中有幾個長方形?
7.數(shù)一數(shù),圖中共有幾個三角形?幾個正方形?
8.數(shù)一數(shù),下圖中共有多少條線段?**有多少個三角形?
9.數(shù)一數(shù),下圖各圖中各有多少個三角形?
*10.數(shù)一數(shù),下圖中有多少個小于 180°角?
習題答案
1.10 條線段 2.14 條線段 3.5 個 4.12 個 5.5 個 6.7 個 6個 12 個 17 個(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(個)6個 5個
7.8.9.10.個三角形 30 條線段 19 個三角形
個正方形 10 個三角形
個小于 180°角
2005 秋季班第三講基礎班
1.把一根粗細均勻的木頭鋸成 6 段,每鋸一次需要 3 分鐘,一共需要多少分鐘?
2.把一根粗細均勻的木頭鋸成 5 段需要 20 分鐘,每鋸一次要用多少分鐘?
3.一根木料長 10 米,要把它鋸成一些 2 米長的小段,每鋸一次要用 4 分鐘,共要用多少 分鐘?
4.公園的一條林蔭大道長 300 米,在它的一側每隔 30 米放一個垃圾桶,需多少個垃圾桶?
5.學校有一條長 60 米的走道,計劃在道路兩旁栽樹.每隔 3 米
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栽一棵,(兩端都栽),那 么共需多少棵樹苗?
6.測量人員測量一條路的長度.先立了一個標桿,然后每隔 5 米立一根標桿.當立桿第 10 根時,第 1 根與第 10 根相距多少米?
7.一個圓形池塘,它的周長是 27 米,每隔 3 米栽種一棵樹.問:共需樹苗多少株?
8.有一正方形操場,每邊都栽種 5 棵樹,四個角各種 1 棵,共種樹多少棵?
◎開動腦筋:小叮當家有個老式的鐘,每敲響一下延時 3 秒,間隔 1 秒后再敲第二下.他每 天就聽著這個鐘起床,假如從第一下鐘聲響起,小叮當就醒了,那么到小叮當確切判斷出已 是清晨 6 點,前后共經(jīng)過了幾秒鐘?
答案 1.15 分鐘
2.5 分鐘
3.16 分鐘
4.11 個
5.42 棵
6.45 米
7.9 株
8.16 棵 ◎小叮要確切判斷是否清晨 6 點, 他一定要等到“間隔 1 秒”結束后而沒敲響第 7 下, 才能判 斷出是清晨 6 點.(3+1)×6=24 秒
提高班家庭作業(yè)答案:植樹問題 家庭作業(yè)答案:
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1.把一根粗細均勻的木頭鋸成 6 段,每鋸一次需要 3 分鐘,一共需要多少分鐘?
2.把一根粗細均勻的木頭鋸成 5 段需要 20 分鐘,每鋸一次要用多少分鐘?
3.一根木料長 10 米,要把它鋸成一些 2 米長的小段,每鋸一次要用 4 分鐘,共要用多少 分鐘?
4.公園的一條林蔭大道長 300 米,在它的一側每隔 30 米放一個垃圾桶,需多少個垃圾桶?
5.學校有一條長 60 米的走道,計劃在道路兩旁栽樹.每隔 3 米栽一棵,(兩端都栽),那 么共需多少棵樹苗?
6.測量人員測量一條路的長度.先立了一個標桿,然后每隔 5 米立一根標桿.當立桿第 10 根時,第 1 根與第 10 根相距多少米?
7.一個圓形池塘,它的周長是 27 米,每隔 3 米栽種一棵樹.問:共需樹苗多少株?
8.有一正方形操場,每邊都栽種 5 棵樹,四個角各種 1 棵,共種樹多少棵?
*9.有 9 棵樹,要求栽成 8 行,每行 3 棵,應該怎樣栽?
◎開動腦筋:小叮當家有個老式的鐘,每敲響一下延時 3 秒,間隔 1 秒后再敲第二下.他每 天就聽著這個鐘起床,假如從第一下鐘聲響起,小叮當就醒了,那么到小叮當確切判斷出已 是清晨 6 點,前后共經(jīng)過了幾秒鐘?
答案 1.15 分鐘
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2.5 分鐘
3.16 分鐘
4.11 個
5.42 棵
6.45 米
7.9 株
8.16 棵
9.只有 9 棵樹,要求栽的行數(shù)多,使我們自然想到正方形有 4 條邊,兩條對角線,就有了 6 行,再把對邊的中點連起來,又是 2 行,一共有 8 行了.這樣就有 9 個交點,每邊 3 個交 點,在交點處栽樹,正好 9 棵樹栽成了 8 行,每行 3 棵.栽法如圖 20-4 所示.◎ 小叮要確切判斷是否清晨 6 點,他一定要等到“間隔 1 秒”結束后而沒敲響第 7 下,才 能判斷出是清晨 6 點.(3+1)×6=24 秒
秋季班第四講家庭作業(yè)答案: 2005 秋季班第四講家庭作業(yè)答案:趣味數(shù)學
基礎班
1.妹妹今年 6 歲,哥哥今年 11 歲,當哥哥 16 歲時,妹妹幾歲?
2.小明從學校步行到少年宮要 25 分鐘,如果每人的步行速度相同,那么小明,小麗,小 剛,小紅 4 個人一起從學校步行到少年宮,需要多少分鐘?
3.一張長方形彩紙有四個角,沿直線剪去一個角后,還剩幾個角?(畫圖表示)
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4.晚上停電,小文在家點了 8 支蠟燭,先被風吹滅了 1 支蠟燭,后來又被風吹滅了 2 支.最后還剩多少支蠟燭?
5.有 16 個小朋友在操場上玩捉迷藏游戲,已經(jīng)捉住了 9 人,藏著的還有幾人?
6.19 名戰(zhàn)士要過一條河,只有一條小船,船上每次只能坐 4 名戰(zhàn)士,至少要渡幾次,才能 使全體戰(zhàn)士過河?
7.布袋里有兩只紅襪子和兩只黑襪子, 至少拿出幾只, 才能保證配成一雙同樣顏色的襪子?
8.布袋里有形狀大小完全一樣的籃球和黃球各 4 個, 要保證一次拿出兩種顏色不相同的球, 至少必須摸出幾個球?
9.蹺蹺板的兩邊各有四個鐵球,這時蹺蹺板保持平衡.如果拿掉一個鐵球,蹺蹺板上還有 幾個鐵球?
10.一根電線,對折再對折,最后從中間剪開,剪開的電線一共有幾段?
答案 1.16-11+6=11(歲),4 個人一起到從學校步行到少年宮所用的時間等于小明 1 個人從學校步行到少年宮所
用的時間,需要 25 分鐘.3.根據(jù)不同的剪法,可以剩下 5 個角,4 個角或 3 個角
4.1+2=3(支)
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5.16-9-1=6(人)
6.19-4=15(名)4-1=3(名)15÷3=5(次)5+1=6(次)
7.如果一次摸出 2 只恰好是不同顏色,再摸 1 只一定和其中 1 只顏色相同.所以一次至 少要摸出 3 只才能保證配成一雙顏色相同的襪子.8.如果一次摸出的 4 個是同一種顏色的球,再摸一個一定是另一種顏色的球,所以一次 至少摸出 5 個球才能保證得到兩種顏色不同的球.9.如果拿掉一個鐵球,翹翹板上一個鐵球也沒有了.10.對折后再對折,從中間剪開,有三頭是連著的,所以一共有 8-3=5(段)
提高班
1.妹妹今年 6 歲,哥哥今年 11 歲,當哥哥 16 歲時,妹妹幾歲?
2.小明從學校步行到少年宮要 25 分鐘,如果每人的步行速度相同,那么小明,小麗,小 剛,小紅 4 個人一起從學校步行到少年宮,需要多少分鐘?
3.一張長方形彩紙有四個角,沿直線剪去一個角后,還剩幾個角?(畫圖表示)
4.有 16 個小朋友在操場上玩捉迷藏游戲,已經(jīng)捉住了 9 人,藏著的還有幾人?
5.教室里有 8 盞燈,全部亮著,現(xiàn)在關掉了 4 盞,教室里還剩幾盞
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燈?
6.19 名戰(zhàn)士要過一條河,只有一條小船,船上每次只能坐 4 名戰(zhàn)士,至少要渡幾次,才能 使全體戰(zhàn)士過河?
7.布袋里有兩只紅襪子和兩只黑襪子, 至少拿出幾只, 才能保證配成一雙同樣顏色的襪子?
8.布袋里有形狀大小完全一樣的籃球和黃球各 4 個, 要保證一次拿出兩種顏色不相同的球, 至少必須摸出幾個球?
9.蹺蹺板的兩邊各有四個鐵球,這時蹺蹺板保持平衡.如果拿掉一個鐵球,蹺蹺板上還有 幾個鐵球?
10.一根電線,對折再對折,最后從中間剪開,剪開的電線一共有幾段?
11.一位廚師用西紅柿,青椒,土豆,云豆,茄子中的任意兩種蔬菜炒一盤菜,而且搭配不 同,算一算他做多能炒幾盤菜?
12.六名選手參加乒乓球比賽,每兩人都要賽一場,他們一共要賽幾場?
答案 1.16-11+6=11(歲)
2.個人一起到從學校步行到少年宮所用的時間等于小明 1 個人從學校步行到少年宮所
用的時間,需要 25 分鐘.3.根據(jù)不同的剪法,可以剩下 5 個角,4 個角或 3 個角
4.16-9-1=6(人)
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5.只是關掉了 4 盞燈,并沒有移走,所以教室里還是有 8 盞燈.6.19-4=15(名)4-1=3(名)15÷3=5(次)5+1=6(次)
7.如果一次摸出 2 只恰好是不同顏色,再摸 1 只一定和其中 1 只顏色相同.所以一次至 少要摸出 3 只才能保證配成一雙顏色相同的襪子.8.如果一次摸出的 4 個是同一種顏色的球,再摸一個一定是另一種顏色的球,所以一次 至少摸出 5 個球才能保證得到兩種顏色不同的球.9.如果拿掉一個鐵球,翹翹板上一個鐵球也沒有了.10.對折后再對折,從中間剪開,有三頭是連著的,所以一共有 8-3=5(段)
11.西紅柿與青椒,土豆,云豆,茄子分別搭配能炒 4 盤菜;青椒與土豆,云豆,茄子分別 搭配能炒 3 盤菜;土豆與云豆,茄子分別搭配能炒 2 盤菜.一共能炒 4+3+2+1=10(盤)菜
12.5+4+3+2+1=15
基礎班
1.每題移動一根火柴棒,使等式成立.第五講
擺火柴棒
習題
2.如圖:拿掉 3 根火柴,使它變成 3 個正方形,怎樣拿?
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3.用 12 根火柴棒,擺成 6 個大小一樣的三角形,請你拿走 3 根,還剩下 3 個大小一樣的三 角形.4.如下圖,由火柴棒擺了兩只倒扣著的杯子,請移動 4 根火柴,把杯口正過來.5.由火柴擺成的定風旗如圖所示,移動四根火柴,使它成為一座房子.6.用 10 根火柴擺成兩只高腳杯(如圖),移動六根火柴,使它變成一座房子.7.用 12 根火柴,擺成四個大小一樣的正方形,怎么擺? 8.先用 14 根火柴擺成下圖的房子,再移動其中的 2 根火柴,把這座房子改成面向左邊的
9.這個圖形是用 5 根火柴擺成的,請你移動 3 根火柴的位置,把它倒過來.10.用火柴棒擺成頭朝上的龍蝦,移動三根火柴,使它頭朝下.11.用 9 根火柴擺成的路燈,移動四根,把它變成四個完全相等的三角形.12.用 12 根火柴擺成的燈,移動三根火柴,變?yōu)槲鍌€完全相等的三角形.13.用 10 根火柴擺成一個三角陣,請你移動 3 根火柴,使這個三角陣的尖端向下,把圖形倒 過來.14.用火柴擺成四個正方形,如移動其中 2 根,使圖形中減少一個正方形,應怎樣移動?
習題答案
提高班 第五講
1.每題移動一根火柴棒,使等式成立.擺火柴棒
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習題
2.如圖:拿掉 3 根火柴,使它變成 3 個正方形,怎樣拿?
3.用 12 根火柴棒,擺成 6 個大小一樣的三角形,請你拿走 3 根,還剩下 3 個大小一樣的三 角形.4.如下圖,由火柴棒擺了兩只倒扣著的杯子,請移動 4 根火柴,把杯口正過來.5.由火柴擺成的定風旗如圖所示,移動四根火柴,使它成為一座房子.6.用 10 根火柴擺成兩只高腳杯(如圖),移動六根火柴,使它變成一座房子.7.用 12 根火柴,擺成四個大小一樣的正方形,怎么擺? 8.先用 14 根火柴擺成下圖的房子,再移動其中的 2 根火柴,把這座房子改成面向左邊的
9.這個圖形是用 5 根火柴擺成的,請你移動 3 根火柴的位置,把它倒過來.10.用火柴棒擺成頭朝上的龍蝦,移動三根火柴,使它頭朝下.11.用 9 根火柴擺成的路燈,移動四根,把它變成四個完全相等的三角形.12.用 12 根火柴擺成的燈,移動三根火柴,變?yōu)槲鍌€完全相等的三角形.13.用 10 根火柴擺成一個三角陣,請你移動 3 根火柴,使這個三角陣的尖端向下,把圖形倒 過來.14.用火柴擺成四個正方形,如移動其中 2 根,使圖形中減少一個正方形,應怎樣移動?
習題答案
二年級 秋 季班 第六講 找規(guī)律填圖習題 基礎班
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1.請你接著畫.2.根據(jù)前面幾幅圖的規(guī)律,接下去該怎樣畫?
3.根據(jù)前面幾幅圖的規(guī)律,接著畫.4.在方框里畫○,應該怎樣畫?
5.想一想,第三幅圖應該怎樣畫?
6.先找一找方框里八個圖形每行排列的規(guī)律,再從右面挑選一個合適的圖形,把這個 圖形的號碼填人空格內(nèi).7.在下面空白的方格里,填上幾號圖形才適當?
習題答案
二年級 秋季班
第六講 提高班
找規(guī)律填圖
習題
1.請你接著畫.2.根據(jù)前面幾幅圖的規(guī)律,接下去該怎樣畫?
3.根據(jù)前面幾幅圖的規(guī)律,接著畫.4.在方框里畫○,應該怎樣畫?
5.想一想,第三幅圖應該怎樣畫?
6.先找一找方框里八個圖形每行排列的規(guī)律,再從右面挑選一個合適的圖 形,把這個圖形的號碼填人空格內(nèi).7.在下面空白的方格里,填上幾號圖形才適當?
8.想想每組圖形中的排列規(guī)律,從右面這些圖中選擇一個合適的精心收集
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圖,并把這個 圖的號碼填在這一組的空白圖里.習題答案
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第四篇：組合數(shù)學學年論文
什么是組合數(shù)學
姓名：郭晨霞 學號：20105034021 院系：數(shù)學與信息科學學院 專業(yè)：信息與計算科學 1 組合數(shù)學的簡介
現(xiàn)代數(shù)學可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)對象的，如分析、方程等，另一類就是研究離散對象的組合數(shù)學。組合數(shù)學不僅在基礎數(shù)學研究中具有極其重要的地位，在其它的學科中也有重要的應用，如計算機科學、編碼和密碼學、物理、化學、生物等學科中均有重要應用。微積分和近代數(shù)學的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎。而組合數(shù)學的發(fā)展則是奠定了本世紀的計算機革命的基礎。計算機之所以可以被稱為電腦，就是因為計算機被人編寫了程序，而程序就是算法，在絕大多數(shù)情況下，計算機的算法是針對離散的對象，而不是在作數(shù)值計算。正是因為有了組合算法才使人感到，計算機好像是有思維的。
組合數(shù)學不僅在軟件技術中有重要的應用價值，在企業(yè)管理，交通規(guī)劃，戰(zhàn)爭指揮，金融分析等領域都有重要的應用。在美國有一家用組合數(shù)學命名的公司，他們用組合數(shù)學的方法來提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗設計也是具有很大應用價值的學科，它的數(shù)學原理就是組合設計。用組合設計的方法解決工業(yè)界中的試驗設計問題，在美國已有專門的公司開發(fā)這方面的軟件。
組合數(shù)學是近年來隨著計算機科學的發(fā)展而新興起來的一門綜合性、邊緣性學科。組合數(shù)學是什么, 有很多不同的看法。Richard A.Brua Di 所著5Introductory Comb in atorics6 中認為組合數(shù)學研究的是事物按照某種規(guī)則的安排, 主要有: 存在性問題, 計數(shù)性問題和對已知安排的研究。Danie I.A.Coh en 所著5Basic Techniques of Combinatoria T heory6 中這樣描述: 組合數(shù)學就是對給定描述的事物有多少種或者某種事物發(fā)生的途徑有多少種的研究。綜合以上觀點, 組合數(shù)學就是主要研究/ 事物的安排0 中涉及的數(shù)學問題。組合數(shù)學研究的主要內(nèi)容
在日常生活中我們常常遇到組合數(shù)學的問題。如果你仔細留心一張世界地圖，你會發(fā)現(xiàn)用一種顏色對一個國家著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每
兩個相鄰的國家的顏色不同。這樣的著色效果能使每一個國家都能清楚地顯示出來。但要證明這個結論確是一個著名的世界難題，最終借助計算機才得以解決，最近人們才發(fā)現(xiàn)了一個更簡單的證明。
當你裝一個箱子時，你會發(fā)現(xiàn)要使箱子盡可能裝滿不是一件很容易的事，你往往需要做些調(diào)整。從理論上講，裝箱問題是一個很難的組合數(shù)學問題，即使用計算機也是不容易解決的。航空調(diào)度和航班的設定也是組合數(shù)學的問題。怎樣確定各個航班以滿足 不同旅客轉(zhuǎn)機的需要，同時也使得每個機場的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延誤等特殊情況下，怎樣作最合理的調(diào)整，這些都是 組合數(shù)學的問題。
組合數(shù)學在企業(yè)管理，交通規(guī)劃，戰(zhàn)爭指揮，金融分析等領域都有重要的應用。在美國有一家用組合數(shù)學命名的公司，他們用組合數(shù)學的方法來提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗設計也是具有很大應用價值的學科，它的數(shù)學原理就是組合設計。用組合設計的方法解決工業(yè)界中的試驗設計問題，在美國已有專門的公司開發(fā)這方面的軟件。最近，德國一位著名組合數(shù)學家利用組合數(shù)學方法研究藥物結構，為制藥公司節(jié)省了大量的費用，引起了制藥業(yè)的關注。組合數(shù)學的應用范例
幻方是組合數(shù)學的重要組成部分，下面將著重論述幻方的相關知識。幻方的定義及分類：幻方的定義：在一個由若干個排列整齊的數(shù)組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱行及對角線的幾個數(shù)之和都相等，具有這種性質(zhì)的圖表，稱為“幻方”。我國古代稱為“河圖”、“洛書”，又叫“縱橫圖”。
幻方的分類：對平面幻方的構造，分為三種情況：N為奇數(shù)、N為4的倍數(shù)、N為其它偶數(shù)(4n+2的形式)（這里主要研究平面幻方，對于立體幻方、高次幻方我們不做涉及）。
一、奇階幻方：N為奇數(shù)的N乘N階的幻方，其構造方法如下：(1)將1放在第一行中間一列；
(2)從2開始直到n×n止各數(shù)依次按下列規(guī)則存放：按 45°方向行走，如向右上。
每一個數(shù)存放的行比前一個數(shù)的行數(shù)減1，列數(shù)加1。
(3)如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。
例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數(shù)同樣加1;(4)如果按上面規(guī)則確定的位置上已有數(shù)，或上一個數(shù)是第1行第n列時，則把下一個數(shù)放在上一個數(shù)的下面。
二、偶階幻方。偶階幻方又可分為兩種：
1、N=4n；
2、N=4n+2.其中n為正整數(shù)。
（一）：N=4n時其構造方法如下： 采用對稱元素交換法。
首先把數(shù)1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣
然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上位置的數(shù)關于方陣中心作對 稱交換，即a(i,j)與a(n-1-i,n-1-j)交換，所有其它位置上的數(shù)不變。
(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)
（二）：N=4n+2時其構造方法如下：
當n為非4倍數(shù)的偶數(shù)(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(shù)(2m+1階)子方陣。
按上述奇數(shù)階幻方給分解的4個子方陣對應賦值上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)即4個子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4 四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③ ④ ②。
然后作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(j
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。
總之，組合數(shù)學無處不在，它的主要應用就是在各種復雜關系中找出最優(yōu)的方案。所以組合數(shù)學完全可以看成是一門量化的關系學，一門量化了的運籌學，一門量化了的管理學。
第五篇：學習組合數(shù)學心得體會
組合數(shù)學學習心得體會
學習數(shù)學我感覺是一件很有味道的事情，令人思維變得敏捷活躍。學習組合數(shù)學更是令人思維更嚴謹更具邏輯性。組合數(shù)學不僅在基礎數(shù)學研究中具有極其重要的地位，在其他的學科中也有重要的應用，如在計算機科學、編碼和密碼學、物理、化學、生物等學科中均有重要應用。如果說微積分和近代數(shù)學的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎，那么組合數(shù)學的發(fā)展則是奠定了21世紀計算機革命的基礎。經(jīng)過課堂學習和課外閱讀我了解到組合數(shù)學的一些應用實例： 我們組合數(shù)學這一門課程在吳克儉老師的指導下，經(jīng)過半學期的學習，我們主要學習了包括排列和組合，二項式系數(shù)，調(diào)和數(shù)、Fibonacci數(shù)與Catalan數(shù)，第二類Stirling數(shù)和Bell數(shù)，第一類Stirling數(shù)，正整數(shù)的分拆，Bernoulli數(shù)與Euler數(shù)，遞歸數(shù)列，形式冪級數(shù)等知識內(nèi)容。老師教會了我數(shù)學思維和方法非常重要，而且組合數(shù)學學習的思維方法是解決有關的其他數(shù)學問題的一個很好的借鑒。
著名的組合數(shù)學家 Thomas Tutte 在組合數(shù)學界是泰斗級的大師。Tutte 從德軍的兩條情報密碼出發(fā)，用組合數(shù)學的方法，重建了敵人的密碼機，確定了德軍密碼的內(nèi)部結構，從而獲得了極為重要的情報；在美國有一家公司用組合數(shù)學的方法來提高企業(yè)管理的效益，這家公司辦得非常成功；在美國已有專門的公司用組合設計的方法開發(fā)軟件，來解決工業(yè)界中的試驗設計問題；德國一位著名組合數(shù)學家利用組合數(shù)學方法研究藥物結構，為制藥公司節(jié)省了大量的費用，引起了制藥業(yè)的關注；1962年中國組合數(shù)學家管梅谷教授提出了著名的“中國郵遞員問題”。等等
我國著名數(shù)學家吳文俊院士指出，每個時代都有它特殊的要求，使得數(shù)學出現(xiàn)一個新的面貌，產(chǎn)生一些新的數(shù)學分支，組合數(shù)學這個新的分支也是在時代的要求下產(chǎn)生的。組合數(shù)學的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面。現(xiàn)代數(shù)學可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)對象的，如分析、方程等，另一類就是研究離散對象的組合數(shù)學。計算機程序是計算機的大腦思維，而程序的本質(zhì)就是算法，在絕大多數(shù)情況下，計算機的算法是針對離散的對象，而不是在作數(shù)值計算。組合數(shù)學的產(chǎn)生恰好滿足了編寫計算機程序的需求。
組合數(shù)學可以一般描述為：組合數(shù)學是研究離散結構的存在，計數(shù)，分析，和優(yōu)化等問題的一門學科。經(jīng)驗證發(fā)現(xiàn)的組合數(shù)學最有力的工具之一為數(shù)學歸納法。歸納是一個強有力的過程，在組合數(shù)學中尤其是如此。用數(shù)學歸納法證明一個結果常常比證明一個弱結果更容易。許多組合問題的解決常常需要某些特別的例證，而且有時需要結合使用一般的理論。我們必須學會建立數(shù)學模型，研究模型，抓住問題的要害，靈活的應用智慧來解決問題。
組合數(shù)學涉及將一個集合的物體排列成滿足一些指定規(guī)則的格式。以下兩種問題反復出現(xiàn)：排列的存在性，排列的計數(shù)和分類。雖然對任何組合數(shù)學問題都可以考慮其存在性和計數(shù)問題，但在實際問題中如果存在性問題需要廣泛的研究那么計數(shù)問題則是非常困難的?！芭帕泻徒M合”是組合數(shù)學所研究的最簡單、最基本的課題，學好“排列和組合”也是學好組合數(shù)學的開始，下面我舉例說明：
排列主要分為四種：可重復排列、不可重復排列、限定型排列和圓排列。
限定型排列的定義為：設n元集
S??a1,a2,...,an?，如果在S上取若干元素的排列中允許a1出現(xiàn)m1次，a2出現(xiàn)m2次，,an出現(xiàn)m2次，稱這種排列為a1m1，m2a2，mnan型的。（其中mi?N,i?1,2，n）
圓排列的定義為：集合S上的一個k元圓排列是指將S的k個元素x,x,x12k按順時針或逆時針方向排成圓周狀，記為
x1,x2，xk，則x2,x3,xk,x1，x,x,x,x,x34k12，xk?1,xk，xk?2。
例如、求多重集
M??5a,3b?的6-排列的個數(shù)。
1??5a,1b?A 解：設所求為N.因為M的6-子集有如下3個：，6!?6A2??4a,2b?，A3??3a,3b?，而A的全排列數(shù)為5!1!，A2的16!6!?15?20全排列數(shù)為4!2!，A3的全排列數(shù)為3!3!，所以由加法原則，得N=6+15+20=41.在吳老師有條理的引導下我對以上兩種類型的排列能清楚的掌握。明白如何應用它。
組合主要分為兩種：可重復組合和不可重復組合。下面我通過2個定理來掌握它們的定義。
定理1：n元集S上取k元的不重復組合（或k元子集）的個數(shù)為
n!k!?n?k?!，?n???Ckk記為??或n（其中n為上指標，k為下指標）
?n?k?1???k?，定理2：n元集S上取k元的重復組合（或k元重集）的個數(shù)為???n??????k????記為，也稱為重復組合數(shù)。
例子、求把r件相同的物件分給n件的不同方法數(shù)。
解：設所求為N.又設第i
?n?r?個人，使得每人至少分得一件物
?1?i?n?個人分得xi件物件，則xi?1且x?x12??xn?r，所以N等于不定方程x1?x2??xn?r的正整數(shù)解的?r?1???r?n?。個數(shù)，為? 所以說，在學習組合數(shù)學過程中我們掌握好方法很重要，要想完滿地解決一個有關排列和組合的問題，往往需要較強的“組合思維”、巧妙的“組合方法”和熟練的“組合技巧”。以上只是淺談了一下有關“排列和組合”的解決方法，組合數(shù)學中還有很多知識的奧妙有待我們探討，挖掘其中的趣味。做為一位即將踏入教師講臺的我，我們必須把組合數(shù)學的學習放在一個重要的位置上來，掌握基本的組合數(shù)學原理，培養(yǎng)專業(yè)的數(shù)學思維。因為它非常有利于提高我們的邏輯思維能力，讓我們提高分析問題和解決問題的能力。而且學好這門課程也是提高我知識面的有效途徑，我堅信，只要經(jīng)過努力，刻苦鉆研，我可以更加深層的掌握組合數(shù)學的有關知識，更好地領會并應用組合數(shù)學的思想、理論和方法。
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