（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.（3）掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.一、直線的傾斜角與斜率

1．直線的傾斜角

（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為．

（2）范圍：直線l傾斜角的范圍是．

2．斜率公式

（1）若直線l的傾斜角90°，則斜率．

（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則直線l的斜率k＝．

二、直線的方程

1．直線方程的五種形式

方程

適用范圍

①點(diǎn)斜式：

不包含直線

②斜截式：

不包含垂直于x軸的直線

③兩點(diǎn)式：

不包含直線和直線

④截距式：

不包含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

⑤一般式：不全為

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

2．必記結(jié)論

常見的直線系方程

（1）過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)還可以表示為y－y0＝k(x－x0)，斜率不存在時(shí)可設(shè)為x＝x0.（2）平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．

（3）垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋C1＝0.（4）過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)．

考向一

直線的傾斜角與斜率

1.由斜率取值范圍確定直線傾斜角的范圍要利用正切函數(shù)y＝tan

x的圖象，特別要注意傾斜角取值范圍的限制.2.求解直線的傾斜角與斜率問題要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)，需依據(jù)正切函數(shù)y＝tan

x的單調(diào)性求k的范圍．

典例1

若兩直線的傾斜角和斜率分別為和，則下列四個(gè)命題中正確的是

A．若，則兩直線的斜率：

B．若，則兩直線的斜率：

C．若兩直線的斜率：，則

D．若兩直線的斜率：，則

【答案】D

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系，正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.典例2

直線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)（），那么l的傾斜角的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由直線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，則可利用斜率公式得.來源:Zxxk.Com]

由，則傾斜角取值范圍是.故選B.1．已知，直線過點(diǎn)且與線段相交，那么直線的斜率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

考向二

直線的方程

求直線方程的常用方法有

1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．

3.直線在x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0，而不是距離．

學(xué)#

4.求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+C=0，且A≥0.典例3

已知，則過點(diǎn)和線段的中點(diǎn)的直線方程為

A．

B．

C．

D．

【答案】B

典例4

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

（1）BC邊所在直線的方程；

（2）BC邊上中線AD所在直線的方程；

（3）BC邊的垂直平分線DE的方程．

【思路分析】

2．已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，則直線的方程為________________．

考向三

共線問題

已知三點(diǎn)若直線的斜率相同，則三點(diǎn)共線.因此三點(diǎn)共線問題可以轉(zhuǎn)化為斜率相等問題，用于求證三點(diǎn)共線或由三點(diǎn)共線求參數(shù).學(xué)#

典例4

若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m=_____________.【思路分析】由三點(diǎn)共線構(gòu)造兩條直線的斜率相等，問題便轉(zhuǎn)化為解方程.【解析】由題意得.∵三點(diǎn)共線，∴，∴，解得．

3．若三點(diǎn)共線，則

.1．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，則直線MN的傾斜角是

A．不存在B．45°

C．135°

D．90°

2．如果直線l過點(diǎn)(1，2)，且不通過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是

A．[0,1]

B．[0,2]

C．

D．(0,3]

3．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為，則直線的方程為

A．

B．

C．

D．

4．若過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A．(－2,1)

B．(－1,2)

C．(－∞，0)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

5．若直線l1:y=k(x?4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱,則直線l2過定點(diǎn)

A．(0,4)

B．(0,2)

C．(?2,4)

D．(4,?2)

6．若過不重合的兩點(diǎn)的直線傾斜角為45°，則的取值為

A．

B．

C．

D．

7．如圖，已知直線l1：y=－2x+4與直線l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于點(diǎn)M．若直線l2與x軸的交點(diǎn)為A（－2，0），則k的取值范圍是

A．－2＜k＜2

B．－2＜k＜0

C．0＜k＜4

D．0＜k＜2

8．直線過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

9．設(shè)直線的傾斜角為，且，則直線的斜率的取值范圍是__________．

10．已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y軸上的截距是直線2x－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為__________．

11．在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若,則直線的方程是_________.12．一張坐標(biāo)紙對折一次后，點(diǎn)與點(diǎn)重疊，若點(diǎn)與點(diǎn)重疊，則__________．

13．已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.（1）求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；

（2）為使直線l經(jīng)過第一、三、四象限，求a的取值范圍．

14．求滿足下列條件的直線的方程：

（1）直線經(jīng)過點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線的傾斜角的2倍，求直線的方程；

（2）直線過點(diǎn)，并且在軸上的截距是軸上截距的，求直線的方程.15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為是，.（1）求邊上的高所在的直線方程；

（2）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.16．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，2）且分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；

（2）求的最小值及此時(shí)直線l的方程.變式拓展

1．【答案】A

【解析】如圖所示：

∴直線的方程為或，即或．

3．【答案】

【解析】易知直線BC的方程為，由點(diǎn)A在直線BC上，得，故.考點(diǎn)沖關(guān)

故選A.學(xué)#

5．【答案】B

【解析】因?yàn)橹本€l1:y=k(x?4)過定點(diǎn)(4,0),所以原問題轉(zhuǎn)化為求(4,0)關(guān)于(2,1)的對稱點(diǎn).設(shè)直線l2過定點(diǎn)(x,y),則,解得x=0,y=2.故直線l2過定點(diǎn)(0,2).6．【答案】B

【解析】過

兩點(diǎn)的直線的斜率，∵直線的傾斜角為，解得或，當(dāng)時(shí)，重合，舍去，∴．故選B．

7．【答案】D

【解析】因?yàn)橹本€l2與x軸的交點(diǎn)為A（－2，0），所以，即，將其與聯(lián)立可得，由題設(shè)，解得，故選D.【名師點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中提供的圖象及函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)的位置建立不等式組，通過解不等式組使得問題獲解.8．【答案】B

【名師點(diǎn)睛】本題考查了求直線的斜率問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于簡單題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.結(jié)合函數(shù)的圖象，求出線段端點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，從而求出斜率的范圍即可.9．【答案】

【解析】∵直線的傾斜角為，且，∴直線的斜率的取值范圍是或，∴或，∴直線的斜率的取值范圍是．

10．【答案】

【名師點(diǎn)睛】本題考查直線的各種方程間的互化以及直線中的系數(shù)求法，求斜率就要化簡為斜截式，求截距就令或，要熟練掌握直線方程的不同形式所對應(yīng)的不同已知條件，注意各種形式下的限制條件.11．【答案】

學(xué)@

【解析】設(shè)，由，可得，則，由截距式可得直線方程為，即，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量相等的性質(zhì)以及直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜率是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.12．【答案】

【解析】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)，則對折后,對折直線l的方程為;設(shè)直線的方程為，∵點(diǎn)在直線上，∴，則直線的方程為;設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為則解方程組得.即，則，∴.13．【答案】（1）見解析；（2）a>3.【名師點(diǎn)睛】有關(guān)直線過定點(diǎn)的求法：當(dāng)直線方程含有參數(shù)時(shí)，把含參數(shù)的項(xiàng)放在一起，不含參數(shù)的項(xiàng)放在一起，分別令其為零，可求出直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)；直線l經(jīng)過第一、三、四象限，只需斜率為正，截距為負(fù)，列出不等式組解出a的范圍.14．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）設(shè)直線的傾斜角為，則，∴，∴直線的斜率為，又∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴直線的方程為：，即.（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0，設(shè)直線在軸上的截距為（），則直線在軸上的截距為，可設(shè)：（），將點(diǎn)代入，得，∴直線：，即，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0，由直線過點(diǎn)，可得直線方程為.∴直線的方程是:或.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.&網(wǎng)

15．【答案】（1）直線的方程為；（2）或.16．【答案】（1）8，；（2）8；.