微專題12　直線與圓

命

題

者

說

考

題

統(tǒng)

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅲ·T6·直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用

2018·北京高考·T7·點到直線距離的最值

2017·全國卷Ⅲ·T10·直線與圓的位置關(guān)系

2016·全國卷Ⅱ·T4·圓的方程、點到直線的距離

1.圓的方程近兩年為高考全國課標(biāo)卷命題的熱點，需重點關(guān)注。此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式呈現(xiàn)。

2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上。

考向一

直線的方程

【例1】(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是()

A．1或3

B．1或5

C．3或5

D．1或2

(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1

A．

B．

C．

D．

解析(1)當(dāng)k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當(dāng)k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必須滿足≠(截距不等)才是充要條件，經(jīng)檢驗知滿足這個條件。故選C。

(2)由兩點間距離公式可得|AC|＝，直線AC的方程為x－3y＋2＝0，所以點B到直線AC的距離d＝，從而△ABC的面積S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝，又1

答案(1)C(2)B

直線方程應(yīng)用的兩個關(guān)注點

(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況。

(2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。

變|式|訓(xùn)|練

1．(2018·江門模擬)已知三條直線l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1關(guān)于l2對稱的直線與l3垂直，則實數(shù)m的值是()

A．－8

B．－

C．8

D．

解析　易知直線l1：4x＋y＝1關(guān)于直線l2：x－y＝0對稱的直線方程為x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由題意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故選D。

答案　D

2．(2018·河南名校聯(lián)考)已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，則的最小值為()

A．

B．

C．1

D．

解析　此題可理解為點A(m，n)和點B(a，b)分別在直線l1：3x＋4y＝6與l2：3x＋4y＝1上，求A、B兩點距離的最小值，|AB|＝，因為l1∥l2，所以|AB|min＝＝1。故選C。

答案　C

考向二

圓的方程

【例2】(1)(2018·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

(2)(2018·貴陽摸底)過點M(2,2)的直線l與坐標(biāo)軸的正方向分別相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________。

解析(1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，則有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故選B。

(2)解法一：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨設(shè)A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則將O，A，B的坐標(biāo)分別代入得解得所以△OAB外接圓的方程為x2＋y2－4x－4y＝0，標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8。

解法二：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點，則△OAB外接圓的圓心是點M(2,2)，半徑|OM|＝2，所以△OAB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。

答案(1)B(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8

求圓的方程的兩種方法

(1)幾何法：通過已知條件，利用相應(yīng)的幾何知識求圓的圓心，半徑。

(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)。

變|式|訓(xùn)|練

1．拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準(zhǔn)線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。

解析　由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4。

答案(x－1)2＋y2＝4

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。

解析　解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤

≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時取等號，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2。

解法二：直線mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒過點M(2，－1)，如圖，設(shè)C(1,0)，則M為切點時半徑最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2。

答案(x－1)2＋y2＝2

考向三

直線與圓的位置關(guān)系

微考向1：直線與圓的相交弦

【例3】(1)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點，若|MN|＝，則直線l的方程為________。

(2)設(shè)直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△AOB為等邊三角形，則實數(shù)a的值為()

A．±

B．±

C．±3

D．±9

解析(1)直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2,3)到直線l的距離d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直線l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1。

(2)由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±。故選B。

答案(1)y＝2x＋1或y＝x＋1(2)B

(1)直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路

研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。

(2)弦長的求解方法

①根據(jù)半徑，弦心距，半弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長l＝2。

②根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)，或根據(jù)l＝|y1－y2|求解。

③求出交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求解。

變|式|訓(xùn)|練

(2018·合肥一模)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為()

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

解析　當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，圓心到直線l的距離為d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合題意。當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，因為圓x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，易知圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，因為d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0。故選B。

答案　B

微考向2：直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用

【例4】(1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()

A．[2,6]

B．[4,8]

C．[，3]

D．[2，3]

(2)(2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離。當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為()

A．1

B．2

C．3

D．4

解析(1)因為直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。因為點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d1＝＝2。故點P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的取值范圍為[，3]。則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故選A。

(2)解法一：因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值。故選C。

解法二：由題意可得

d＝＝

＝

＝，因為－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以當(dāng)m＝0時，d取最大值3。故選C。

答案(1)A(2)C

利用圓的圖形特征求解有關(guān)距離的最值問題往往比一些常規(guī)的方法簡單、便捷。

變|式|訓(xùn)|練

1．(2018·太原五中模擬)已知k∈R，點P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公共點，則ab的最大值為()

A．15

B．9

C．1

D．－

解析　由題意得，圓心到直線x＋y＝2k的距離d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因為2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以當(dāng)k＝－3時，ab取得最大值9。故選B。

答案　B

2．(2018·山西晉中二模)由直線y＝x＋1上的一點P向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為______。

解析　設(shè)圓心M到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長l＝≥＝。則切線長的最小值為。

答案

1．(考向一)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

解析　直線l1⊥l2的充要條件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故選A。

答案　A

2．(考向二)(2018·安徽“江南十校”聯(lián)考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________。

解析　因為所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)。又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝＝|a|。又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2

3．(考向三)(2018·鄭州外國語中學(xué)調(diào)研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為()

A．2

B．4

C．8

D．9

解析　由題意可知，圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時等號成立，所以＋的最小值為9。故選D。

答案　D

4．(考向三)(2018·南寧、柳州聯(lián)考)過點(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于______。

解析

令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當(dāng)∠AOB＝90°時，△AOB的面積取得最大值，此時過點O作OH⊥AB于點H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°＝－。

答案?。?/p>

5．(考向三)某學(xué)校有2

500名學(xué)生，其中高一1

000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，則圓C的方程為________。

解析　由題意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝，因為直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝。

答案(x－1)2＋(y＋1)2＝