【中考數(shù)學(xué)】類似三角形：精選真題專項(xiàng)打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共65小題）

1．（2014?淄博）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD．連接MF，NF．

（1）判斷△BMN的外形，并證明你的結(jié)論；

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并闡明理由．

2．（2014?岳陽(yáng)）如圖，矩形ABCD為臺(tái)球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點(diǎn)地位，AE=60cm．如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過(guò)去，反彈后，球剛好彈到D點(diǎn)地位．

（1）求證：△BEF∽△CDF；

（2）求CF的長(zhǎng)．

3．（2014?永州）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長(zhǎng)．

4．（2014?營(yíng)口）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．

（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1，并直接寫(xiě)出C1點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）以原點(diǎn)O為位似，位似比為1：2，在y軸的左側(cè)，畫(huà)出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫(xiě)出C2點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)D（a，b）在線段AB上，請(qǐng)直接寫(xiě)出（2）的變化后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo)．

5．（2014?義烏市）等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．

（1）若AE=CF；

①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

②若AE=2，試求AP?AF的值；

（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)．

6．（2014?揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．

①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；

（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；

（3）如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延伸線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在挪動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度能否發(fā)生變化？若變化，闡明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

7．（2014?煙臺(tái)）如圖，AB是⊙O的直徑，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PC上．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．

求證：tanα?tan=．

8．（2014?湘西州）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△CAB和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，AC與網(wǎng)格上的直線相交于點(diǎn)M．

（1）填空：AC=，AB=　　　　　　．

（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；

（3）判斷△CAB和△DEF能否類似？并闡明理由．

9．（2014?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點(diǎn)，AB=13，AC=5．

（1）如圖（1），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)；

（2）如圖（2），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)．

10．（2014?銅仁地區(qū)）如圖所示，AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，求證：=．

11．（2014?泰安）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB=∠ACB．

（1）求證：=；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，求證：四邊形ABFD是菱形．

12．（2014?綏化）已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．

（1）畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是　　　　　?。?/p>

（2）以點(diǎn)B為位似，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點(diǎn)C2的坐標(biāo)是　　　　　?。?/p>

（3）△A2B2C2的面積是　　　　　　平方單位．

13．（2014?紹興）課本中有一道作業(yè)題：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm？

小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的成績(jī)．

（1）如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm？請(qǐng)你計(jì)算．

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有值，求達(dá)到這個(gè)值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)．

14．（2014?上海）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊BC延伸線上一點(diǎn)，且∠CDE=∠ABD．

（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；

（2）連接AE，交BD于點(diǎn)G，求證：=．

15．（2014?陜西）某，小明和小亮來(lái)到一河邊，想用遮陽(yáng)帽和皮尺測(cè)量這條河的大致寬度，兩人在確保無(wú)隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點(diǎn)B（點(diǎn)B與河對(duì)岸岸邊上的一棵樹(shù)的底部點(diǎn)D所確定的直線垂直于河岸）．

①小明在B點(diǎn)面向樹(shù)的方向站好，調(diào)整帽檐，使視野經(jīng)過(guò)帽檐正好落在樹(shù)的底部點(diǎn)D處，如圖所示，這時(shí)小亮測(cè)得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；

②小明站在原地轉(zhuǎn)動(dòng)180°后蹲下，并保持原來(lái)的觀察姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時(shí)視野經(jīng)過(guò)帽檐落在了DB延伸線上的點(diǎn)E處，此時(shí)小亮測(cè)得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．

根據(jù)以上測(cè)量過(guò)程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出河寬BD是多少米？

16．（2014?黔南州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足=，連接AF并延伸交⊙O于點(diǎn)E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求證：△ADF∽△AED；

（2）求FG的長(zhǎng)；

（3）求證：tan∠E=．

17．（2014?寧夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．

（1）試闡明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有△PBQ與△ABC類似；

（2）若AC=3，BC=4，當(dāng)BP為何值時(shí)，△AQP面積，并求出值；

（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關(guān)系式BC=λAC，能否存在一個(gè)λ的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

18．（2014?南通）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線CA的延伸線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個(gè)菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，連接EB，GD．

（1）求證：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的長(zhǎng)．

19．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DF⊥BC于F，過(guò)F作FE∥AC，交AB于E．設(shè)CD=x，DF=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，求x的值；

（3）當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，求x的值．

20．（2014?眉山）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于點(diǎn)O，E為AC上一點(diǎn)，且AE=OC．

（1）求證：AP=AO；

（2）求證：PE⊥AO；

（3）當(dāng)AE=AC，AB=10時(shí)，求線段BO的長(zhǎng)度．

21．（2014?瀘州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E，且DC2=CE?CA．

（1）求證：BC=CD；

（2）分別延伸AB，DC交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延伸線于點(diǎn)F，若PB=OB，CD=，求DF的長(zhǎng)．

22．（2014?柳州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PD，線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，連接DF，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB的延伸線于點(diǎn)Q．

（1）求線段PQ的長(zhǎng)；

（2）問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)，△PFD∽△BFP，并闡明理由．

23．（2014?柳州）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于E，交△ABC的外接圓⊙O于D．

（1）求證：△ABE∽△ADC；

（2）請(qǐng)連接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F恰好是OD的中點(diǎn)．求證：四邊形OBDC是菱形．

24．（2014?樂(lè)山）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．M為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON=1．

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積．

25．（2014?福州）如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)工夫?yàn)閠秒．

（1）當(dāng)t=秒時(shí)，則OP=，S△ABP=　　　　　　；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ?BP=3．

26．（2014?防城港）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM，連接NP，BP．

（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）線段MN與CD交于點(diǎn)Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)闡明理由．

27．（2014?東營(yíng)）【探求發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；

【數(shù)學(xué)考慮】某數(shù)學(xué)興味小組在探求AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從到普通”的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B，C除外）任意一點(diǎn)時(shí)（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立．

假如你是該興味小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線段BC延伸線上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線段BC反向延伸線上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫(huà)出圖形，并證明AE=EF．

【拓展運(yùn)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延伸線上時(shí)，若CE=BC，在備用圖2中畫(huà)出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出S△ABC：S△AEF的值．

28．（2014?大慶）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點(diǎn)D在邊AC上且BD平分∠ABC，設(shè)CD=x．

（1）求證：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°﹣cos72°的值．

29．（2014?郴州）在13×13的網(wǎng)格圖中，已知△ABC和點(diǎn)M（1，2）．

（1）以點(diǎn)M為位似，位似比為2，畫(huà)出△ABC的位似圖形△A′B′C′；

（2）寫(xiě)出△A′B′C′的各頂點(diǎn)坐標(biāo)．

30．（2014?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．

（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1．

（2）將△A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以﹣2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2，B2，C2，請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2．

（3）求△A1B1C1與△A2B2C2的面積比，即：=（不寫(xiě)解答過(guò)程，直接寫(xiě)出結(jié)果）．

31．（2013?益陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．

32．（2013?銅仁市）為了測(cè)量旗桿AB的高度．甲同窗畫(huà)出了表示圖1，并把測(cè)量結(jié)果記錄如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同窗畫(huà)出了表示圖2，并把測(cè)量結(jié)果記錄如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．

（1）請(qǐng)你協(xié)助甲同窗計(jì)算旗桿AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；

（2）請(qǐng)你協(xié)助乙同窗計(jì)算旗桿AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．

33．（2013?汕頭）如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF，使得另一邊EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C．

（1）設(shè)Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1　　　　　　S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；

（2）寫(xiě)出如圖中的三對(duì)類似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明．

34．（2013?莆田）定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．

如圖2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．

（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；

（2）求出線段AD的長(zhǎng)．

35．（2013?寧夏）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）

（1）畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1

（2）以原點(diǎn)O為位似，畫(huà)出將△A1B1C1三條邊放大為原來(lái)的2倍后的△A2B2C2．

36．（2013?佛山）網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點(diǎn)，試闡明△ABC∽△DEF．

37．（2013?德宏州）如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的表示圖．

（1）如果像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？

（2）如果要?dú)埲钡呐臄z高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m，像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

38．（2013?濱州）某高中學(xué)校為高一重生設(shè)計(jì)的先生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm．為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長(zhǎng)？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）．

39．（2012?武漢）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6

（1）如圖1，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N，使△AMN與△ABC類似，求線段MN的長(zhǎng)；

（2）如圖2，是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10×10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形．

①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△A1B1C1與△ABC全等（畫(huà)出一個(gè)即可，不需證明）

②試直接寫(xiě)出所給的網(wǎng)格中與△ABC類似且面積的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫(huà)出其中一個(gè)（不需證明）．

40．（2012?上海）己知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點(diǎn)G．

（1）求證：BE=DF；

（2）當(dāng)=時(shí)，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．

41．（2012?陜西）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3+．

（1）如圖①，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積（不要求寫(xiě)作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)；

（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的值和最小值，并闡明理由．

42．（2012?南京）下框中是小明對(duì)一道標(biāo)題的解答以及老師的批改．

標(biāo)題：某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2：1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？

解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，根據(jù)題意，得x?2x=288．

解這個(gè)方程，得x1=﹣12（不合題意，舍去），x2=12

所以溫室的長(zhǎng)為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）

答：當(dāng)溫室的長(zhǎng)為28m，寬為14m時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2．

我的結(jié)果也正確！

小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中畫(huà)了一條橫線，并打了一個(gè)？．

結(jié)果為何正確呢？

（1）請(qǐng)指出小明解答中存在的成績(jī)，并補(bǔ)充缺少的過(guò)程：

變化一下會(huì)怎樣…

（2）如圖，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的內(nèi)部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，設(shè)AB與A′B′、BC與B′C′、CD與C′D′、DA與D′A′之間的距離分別為a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)闡明理由．

43．（2012?連云港）如圖，甲、乙兩人分別從A（1，）、B（6，0）兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn)．

（1）請(qǐng)闡明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△OMN∽△OBA；

（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長(zhǎng)，設(shè)s=MN2，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

44．（2012?錦州）如圖所示，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．

（1）畫(huà)出位似點(diǎn)O；

（2）直接寫(xiě)出△ABC與△A′B′C′的位似比；

（3）以位似O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的△A″B″C″，并直接寫(xiě)出△A″B″C″各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

45．（2012?衡陽(yáng)）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)工夫?yàn)閠（0＜t＜）秒．解答如下成績(jī)：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？

（2）設(shè)△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的值；

②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2﹣x1，y2﹣y1）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．

46．（2012?菏澤）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：

（1）試證明三角形△ABC為直角三角形；

（2）判斷△ABC和△DEF能否類似，并闡明理由；

（3）畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為P1，P2，P3，P4，P5中的3個(gè)格點(diǎn)并且與△ABC類似（要求：不寫(xiě)作法與證明）．

47．（2012?河北）如圖，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以BC為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同側(cè)．

（1）AE和ED的數(shù)量關(guān)系為　　　　　?。籄E和ED的地位關(guān)系為　　　　　??；

（2）在圖1中，以點(diǎn)E為位似，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD．分別得到圖2和圖3．

①在圖2中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的類似比1：2，H是EC的中點(diǎn)．求證：GH=HD，GH⊥HD．

②在圖3中，點(diǎn)F在的BE延伸線上，△EGF與△EAB的類似比是k：1，若BC=2，請(qǐng)直接寫(xiě)CH的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代數(shù)式表示）．

48．（2012?桂林）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．

（1）作出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo)；

（2）以原點(diǎn)O為位似，在原點(diǎn)的另一側(cè)畫(huà)出△A2B2C2，使=．

49．（2012?恩施州）如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后經(jīng)過(guò)折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新地位B′，因此EB′=EB．類似地，在AB上折出點(diǎn)B″使AB″=AB′．這時(shí)B″就是AB的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．

50．（2012?丹東）已知：△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度）

（1）畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1，并直接寫(xiě)出C1點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）以點(diǎn)B為位似，在網(wǎng)格中畫(huà)出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比為2：1，并直接寫(xiě)出C2點(diǎn)的坐標(biāo)及△A2BC2的面積．

51．（2012?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC和△DEF的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．

按下列要求畫(huà)圖：以O(shè)為位似，將△ABC向y軸左側(cè)按比例尺2：1放大得△ABC的位似圖形△A1B1C1，并處理下列成績(jī)：

（1）頂點(diǎn)A1的坐標(biāo)為，B1的坐標(biāo)為，C1的坐標(biāo)為　　　　　??；

（2）請(qǐng)你利用旋轉(zhuǎn)、平移兩種變換，使△A1B1C1經(jīng)過(guò)變換后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰與△DEF拼接成一個(gè)平行四邊形（非正方形），寫(xiě)出符合要求的變換過(guò)程．

52．（2011?徐州）如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B﹣A﹣C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)中止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x

s時(shí)，△PBC的面積為y

cm2．已知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列成績(jī)：

（1）試判斷△DOE的外形，并闡明理由；

（2）當(dāng)a為何值時(shí)，△DOE與△ABC類似？

53．（2011?泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC．

（1）點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；

（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

54．（2011?南平）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A

（1，2），B

（3，1），C

（2，3），以原點(diǎn)O為位似，將△ABC放大為原來(lái)的2倍得△A′B′C′．

（1）在圖中象限內(nèi)畫(huà)出符合要求的△A′B′C′；（不要求寫(xiě)畫(huà)法）

（2）△A′B′C′的面積是：　　　　　?。?/p>

55．（2011?南寧）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　　　　?。?/p>

（2）將△ABC向左平移7個(gè)單位，請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A1B1C1．若M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（a，b），則平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為　　　　　?。?/p>

（3）以原點(diǎn)O為位似，將△ABC減少，使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1：2．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo)：　　　　　?。?/p>

56．（2011?聊城）如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蚺矂?dòng)．點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之中止挪動(dòng)．設(shè)挪動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm2）

（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？

（2）寫(xiě)出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；

（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上挪動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形類似？請(qǐng)闡明理由．

57．（2011?來(lái)賓）如圖，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分線分別與AC、AB交于點(diǎn)D、E．

（1）用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連接BD；

（2）證明：△ABC∽△BDC．

58．（2011?河北）如圖，在6×8網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)0和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)．

（1）以O(shè)為位似，在圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為

1：2；

（2）連接（1）中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

59．（2011?常德）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形．

（1）求證：△MEF∽△MBA；

（2）若AF、BE分別是∠DAB，∠CBA的平分線，求證：DF=EC．

60．（2011?安徽）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫(huà)出△A1B1C1和△A2B2C2；

（1）把△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1；

（2）以圖中的O為位似，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來(lái)的兩倍，得到△A2B2C2．

中考數(shù)學(xué)提分沖刺真題精析：類似三角形

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共65小題）

1．（2014?淄博）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD．連接MF，NF．

（1）判斷△BMN的外形，并證明你的結(jié)論；

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并闡明理由．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AM是高線、頂角的角平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠EAB+∠EBA=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案；

（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得MF與AC的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得MF與BD的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形，可得BM與NM的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得NM與BC的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得∠CBD與∠NMF的關(guān)系，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形類似，可得答案．

解答：

（1）答：△BMN是等腰直角三角形．

證明：∵AB=AC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．

∵BN平分∠ABE，∠EBN=∠ABN．

∵AC⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠M=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．

∴△BMN是等腰直角三角形；

（2）答：△MFN∽△BDC．

證明：∵點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FM∥AC，F(xiàn)M=AC．

∵AC=BD，∴FM=BD，即．

∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM=BM=BC，即，∴．

∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°．

∵FM∥AC，∴∠ACB=∠FMB．

∵∠CEB=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°．

∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD．

∴△MFN∽△BDC．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，利用了銳角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形類似．

2．（2014?岳陽(yáng)）如圖，矩形ABCD為臺(tái)球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點(diǎn)地位，AE=60cm．如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過(guò)去，反彈后，球剛好彈到D點(diǎn)地位．

（1）求證：△BEF∽△CDF；

（2）求CF的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

類似三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）利用“兩角法”證得這兩個(gè)三角形類似；

（2）由（1）中類似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求線段CF的長(zhǎng)度．

解答：

（1）證明：如圖，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；

（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．

∴=，即=，解得：CF=169．

即：CF的長(zhǎng)度是169cm．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的運(yùn)用．此題利用了“類似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”推知所求線段CF與已知線段間的數(shù)量關(guān)系的．

3．（2014?永州）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題．

分析：

由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD與三角形ACB類似，由類似得比例，將AB與AD長(zhǎng)代入即可求出CD的長(zhǎng)．

解答：

解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵AB=6，AD=4，∴AC===9，則CD=AC﹣AD=9﹣4=5．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，純熟掌握類似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

4．（2014?營(yíng)口）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．

（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1，并直接寫(xiě)出C1點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）以原點(diǎn)O為位似，位似比為1：2，在y軸的左側(cè)，畫(huà)出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫(xiě)出C2點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)D（a，b）在線段AB上，請(qǐng)直接寫(xiě)出（2）的變化后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo)．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-軸對(duì)稱變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位，進(jìn)而得出答案；

（2）利用位似變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位，進(jìn)而得出答案；

（3）利用位似圖形的性質(zhì)得出D點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律即可．

解答：

解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求，C1點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2）；

（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求，C2點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣6，4）；

（3）如果點(diǎn)D（a，b）在線段AB上，（2）的變化后D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo)為：（2a，2b）．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了軸對(duì)稱變換以及位似變換以及位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．

5．（2014?義烏市）等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．

（1）若AE=CF；

①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

②若AE=2，試求AP?AF的值；

（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．

分析：

（1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形類似定理求得的比值，即可以得到答案．

（2）當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)分點(diǎn)P的路徑是一段弧，由標(biāo)題不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)分，點(diǎn)P弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)B向AC做的垂線段的長(zhǎng)度；

解答：

（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP?AF=12

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況．

①當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由標(biāo)題不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)分，點(diǎn)P弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，點(diǎn)P的路徑是．

②當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)C向AB作的垂線段的長(zhǎng)度；由于等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，所以點(diǎn)P的路徑為：．

所以，點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為或3．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及類似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是留意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．

6．（2014?揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．

①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；

（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；

（3）如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延伸線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在挪動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度能否發(fā)生變化？若變化，闡明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

考點(diǎn)：

類似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；角的三角函數(shù)值．版權(quán)一切

專題：

綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；探求型．

分析：

（1）只需證明兩對(duì)對(duì)應(yīng)角分別相等即可證到兩個(gè)三角形類似，然后根據(jù)類似三角形的性質(zhì)求出PC長(zhǎng)以及AP與OP的關(guān)系，然后在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP長(zhǎng)，從而求出AB長(zhǎng)．

（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函數(shù)即可求出∠DAP的度數(shù)，進(jìn)而求出∠OAB的度數(shù)．

（3）由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的地位很不協(xié)調(diào)，可經(jīng)過(guò)作平行線構(gòu)造全等，然后運(yùn)用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長(zhǎng)就可以求出EF長(zhǎng)．

解答：

解：（1）如圖1，①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．

∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，∴====．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴邊AB的長(zhǎng)為10．

（2）如圖1，∵P是CD邊的中點(diǎn)，∴DP=DC．

∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．

∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．

∴∠DAP=30°．

∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．

∴∠OAB的度數(shù)為30°．

（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．

∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．

∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，．

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（1）中的結(jié)論可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB==4．

∴EF=PB=2．

∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在挪動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2．

點(diǎn)評(píng)：

本題是一道運(yùn)動(dòng)變化類的標(biāo)題，考查了類似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、角的三角函數(shù)值等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，而添加適當(dāng)?shù)妮o助線是處理一個(gè)成績(jī)的關(guān)鍵．

7．（2014?煙臺(tái)）如圖，AB是⊙O的直徑，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PC上．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．

求證：tanα?tan=．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

連接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，得到tanα?tan=．

解答：

證明：連接AC，則∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠PBD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana?tan=?==．

點(diǎn)評(píng)：

本題次要考查了類似三角形的判定與性質(zhì)及圓周角的知識(shí)，本題解題的關(guān)鍵是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα?tan=．

8．（2014?湘西州）如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△CAB和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，AC與網(wǎng)格上的直線相交于點(diǎn)M．

（1）填空：AC=　2，AB=　2?。?/p>

（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；

（3）判斷△CAB和△DEF能否類似？并闡明理由．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績(jī)．

分析：

（1）根據(jù)勾股定理來(lái)求AC、AB的長(zhǎng)度；

（2）利用勾股定理的逆定理和銳角三角函數(shù)的定義來(lái)解題；

（3）由“三邊法”法來(lái)證它們類似．

解答：

解：（1）如圖，由勾股定理，得

AC==2．

AB==2

故答案是：2，2；

（2）如圖所示，BC==2．

又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．

tan∠1==．

綜上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；

（3）△CAB和△DEF類似．理由如下：

如圖，DE=DF==，EF==．

則===2，所以△CAB∽△DEF．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)的定義．辨認(rèn)兩三角形類似，除了要掌握定義外，還要留意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長(zhǎng)度用同一線段來(lái)表示是求線段能否成比例時(shí)常用的方法．

9．（2014?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點(diǎn)，AB=13，AC=5．

（1）如圖（1），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)；

（2）如圖（2），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據(jù)圓周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中點(diǎn)，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．

（2）根據(jù)垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求得ON、AN的長(zhǎng)，利用勾股定理求得NP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得PA．

解答：

解：（1）如圖（1）所示，連接PB，∵AB是⊙O的直徑且P是的中點(diǎn)，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，∴PA===．

（2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點(diǎn)，作PN⊥AB于點(diǎn)N，∵P點(diǎn)為弧BC的中點(diǎn)，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又由于AB為直徑

∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又由于∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP

∴=，又∵AB=13

AC=5

OP=，代入得

ON=，∴AN=OA+ON=9

∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36

在Rt△ANP中

有PA===3

∴PA=3．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，類似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．

10．（2014?銅仁地區(qū)）如圖所示，AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，求證：=．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

由AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，可得∠D=∠E=90°，又由∠ACD=∠BCE，即可證得△ACD∽△BCE，然后由類似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．

解答：

證明：∵AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．

11．（2014?泰安）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB=∠ACB．

（1）求證：=；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，求證：四邊形ABFD是菱形．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

（1）利用類似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，進(jìn)而求出答案；

（2）首先證明AD=BF，進(jìn)而得出AD∥BF，即可得出四邊形ABFD是平行四邊形，再利用AD=AB，得出四邊形ABFD是菱形．

解答：

證明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；

（2）設(shè)AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AE?AC，即AB2=x?3x

∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中點(diǎn)，∴BF=x，∴BF=AB=AD，又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，∴AD∥BF，∴四邊形ABFD是平行四邊形，又∵AD=AB，∴四邊形ABFD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了類似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)，得出△ABE∽△ACB是解題關(guān)鍵．

12．（2014?綏化）已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．

（1）畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是（2，﹣2）；

（2）以點(diǎn)B為位似，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點(diǎn)C2的坐標(biāo)是（1，0）；

（3）△A2B2C2的面積是　10　平方單位．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-平移變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）利用平移的性質(zhì)得出平移后圖象進(jìn)而得出答案；

（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位即可；

（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△A2B2C2的面積．

解答：

解：（1）如圖所示：C1（2，﹣2）；

故答案為：（2，﹣2）；

（2）如圖所示：C2（1，0）；

故答案為：（1，0）；

（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面積是：×20=10平方單位．

故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了位似圖形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)和三角形面積求法等知識(shí)，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．

13．（2014?紹興）課本中有一道作業(yè)題：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm？

小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的成績(jī)．

（1）如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm？請(qǐng)你計(jì)算．

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有值，求達(dá)到這個(gè)值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

類似三角形的運(yùn)用；二次函數(shù)的最值．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）設(shè)PN=2y（mm），則PQ=y（mm），然后根據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于類似比列出比例式求出即可；

（2）設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于類似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值成績(jī)解答．

解答：

解：（1）設(shè)矩形的邊長(zhǎng)PN=2y（mm），則PQ=y（mm），由條件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得y=，∴PN=×2=（mm），答：這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為mm，mm；

（2）設(shè)PN=x（mm），矩形PQMN的面積為S（mm2），由條件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得PQ=80﹣x．

∴S=PN?PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，∴S的值為2400mm2，此時(shí)PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的運(yùn)用，二次函數(shù)的最值成績(jī)，根據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長(zhǎng)與三角形的邊與這邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此題規(guī)律性較強(qiáng)，是道好題．

14．（2014?上海）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊BC延伸線上一點(diǎn)，且∠CDE=∠ABD．

（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；

（2）連接AE，交BD于點(diǎn)G，求證：=．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）證△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；

（2）根據(jù)平行得出比例式，再根據(jù)比例式的性質(zhì)進(jìn)行變形，即可得出答案．

解答：

證明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，在△BAD和△CDA中

∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠CDE=∠ABD，∴∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；

（2）∵AD∥BC，∴=，=，∴=，∵平行四邊形ACED，AD=CE，∴=，∴=，∴=，∴=．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了比例的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的判定的運(yùn)用，次要考查先生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，標(biāo)題比較好，難度適中．

15．（2014?陜西）某，小明和小亮來(lái)到一河邊，想用遮陽(yáng)帽和皮尺測(cè)量這條河的大致寬度，兩人在確保無(wú)隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點(diǎn)B（點(diǎn)B與河對(duì)岸岸邊上的一棵樹(shù)的底部點(diǎn)D所確定的直線垂直于河岸）．

①小明在B點(diǎn)面向樹(shù)的方向站好，調(diào)整帽檐，使視野經(jīng)過(guò)帽檐正好落在樹(shù)的底部點(diǎn)D處，如圖所示，這時(shí)小亮測(cè)得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；

②小明站在原地轉(zhuǎn)動(dòng)180°后蹲下，并保持原來(lái)的觀察姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時(shí)視野經(jīng)過(guò)帽檐落在了DB延伸線上的點(diǎn)E處，此時(shí)小亮測(cè)得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．

根據(jù)以上測(cè)量過(guò)程及測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出河寬BD是多少米？

考點(diǎn)：

類似三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績(jī)．

分析：

根據(jù)題意求出∠BAD=∠BCE，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形類似求出△BAD和△BCE類似，再根據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：

解：由題意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．

答：河寬BD是13.6米．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的運(yùn)用，讀懂標(biāo)題信息得到兩三角形相等的角并確定出類似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．

16．（2014?黔南州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足=，連接AF并延伸交⊙O于點(diǎn)E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求證：△ADF∽△AED；

（2）求FG的長(zhǎng)；

（3）求證：tan∠E=．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；

②由=，CF=2，可求得DF的長(zhǎng)，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；

③由勾股定理可求得AG的長(zhǎng)，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=．

解答：

解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴DG=CG，∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；

②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；

③∵AF=3，F(xiàn)G=2，∴AG=，tan∠E=．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．

17．（2014?寧夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．

（1）試闡明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有△PBQ與△ABC類似；

（2）若AC=3，BC=4，當(dāng)BP為何值時(shí)，△AQP面積，并求出值；

（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿足關(guān)系式BC=λAC，能否存在一個(gè)λ的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

考點(diǎn)：

類似形綜合題；二次函數(shù)的最值；三角形的面積；全等三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）利用“兩角法”可以證得△PBQ與△ABC類似；

（2）設(shè)BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中類似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及三角形的面積公式列出S與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求得二次函數(shù)的最值；

（3）利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得

BC2=AB2﹣AC2，易求得：BC=AC，則λ=．

解答：

解：（1）不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有

∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B

∴△PBQ∽△ABC；

（2）設(shè)BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得

AB=5

∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，∴，即

∴，S△APQ=

=

=

∴當(dāng)x=時(shí)，△APQ的面積，值是；

（3）存在．

∵Rt△AQP≌Rt△ACP

∴AQ=AC

又∵Rt△AQP≌Rt△BQP

∴AQ=QB

∴AQ=QB=AC

在Rt△ABC中，由勾股定理得

BC2=AB2﹣AC2

∴BC=AC

∴λ=時(shí)，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．

點(diǎn)評(píng)：

本題綜合考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式以及二次函數(shù)的最值的求法等知識(shí)點(diǎn)．難度較大．留意，在證明三角形類似時(shí)，充分利用公共角，在利用全等三角形的性質(zhì)時(shí)，要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊．

18．（2014?南通）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線CA的延伸線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個(gè)菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，連接EB，GD．

（1）求證：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

類似多邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）利用類似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等和菱形的四邊相等證得三角形全等后即可證得兩條線段相等；

（2）連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，根據(jù)∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，利用勾股定理求得EB的長(zhǎng)即可求得線段GD的長(zhǎng)即可．

解答：

（1）證明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；

（2）解：連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解類似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等．

19．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DF⊥BC于F，過(guò)F作FE∥AC，交AB于E．設(shè)CD=x，DF=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)四邊形AEFD為菱形時(shí)，求x的值；

（3）當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，求x的值．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何動(dòng)點(diǎn)成績(jī)；壓軸題；數(shù)形．

分析：

（1）由已知求出∠C=30°，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）由四邊形AEFD為菱形，列出方程y=60﹣x與y=x組成方程組求x的值，（3）當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，由△DEF是直角三角形，列出方程60﹣x=2y，與y=x組成方程組求x的值；當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，根據(jù)EF∥AC可知∠EDA=∠DEF=90°，所以當(dāng)△ADE∽△ABC，再由類似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出關(guān)于x的方程，再把y=x代入即可得出x的值．

解答：

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，∴∠C=30°，∵CD=x，DF=y．

∴y=x；

（2）∵四邊形AEFD為菱形，∴AD=DF，∴y=60﹣x

∴方程組，解得x=40，∴當(dāng)x=40時(shí)，四邊形AEFD為菱形；

（3）當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，∵△DEF是直角三角形，∴∠FDE=90°，∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，∴∠DEF=∠EFB=30°，∴EF=2DF，∴60﹣x=2y，與y=x，組成方程組，得

解得x=30；

當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，∵EF∥AC，∴∠EDA=∠DEF=90°，∴當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，△DEF是直角三角形，∴=，即=，把y=x代入得，x=48，∴當(dāng)△DEF是直角三角形時(shí)，x=48或30．

點(diǎn)評(píng)：

本題次要考查了含30°角的直角三角形與菱形的知識(shí)，解本題的關(guān)鍵是找出x與y的關(guān)系列方程組．

20．（2014?眉山）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于點(diǎn)O，E為AC上一點(diǎn)，且AE=OC．

（1）求證：AP=AO；

（2）求證：PE⊥AO；

（3）當(dāng)AE=AC，AB=10時(shí)，求線段BO的長(zhǎng)度．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CO=DO，利用“SAS”證明△APE和△OAD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，從而得證；

（3）設(shè)C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．

解答：

（1）證明：∵∠C=90°，∠BAP=90°

∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠APB，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠APB，∴AP=AO；

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°

∴PE⊥AO；

（3）解：設(shè)AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．

由（1）可知，AP=AO=5k．

如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．

在Rt△AOD中，AD===4k．

∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．

∵OD∥AP，∴，即

解得k=1，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3

在Rt△BDO中，由勾股定理得：

BO===3．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，類似三角形的判定與性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出過(guò)渡線段DO并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）利用類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出k=1是解題的關(guān)鍵．

21．（2014?瀘州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點(diǎn)E，且DC2=CE?CA．

（1）求證：BC=CD；

（2）分別延伸AB，DC交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延伸線于點(diǎn)F，若PB=OB，CD=，求DF的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出結(jié)論．

（2）連接OC，先證AD∥OC，由平行線分線段成比例性質(zhì)定理求得PC=，再由割線定理PC?PD=PB?PA求得半徑為4，根據(jù)勾股定理求得AC=，再證明△AFD∽△ACB，得，則可設(shè)FD=x，AF=，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求解得DF．

解答：

（1）證明：∵DC2=CE?CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DAC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴BC=CD；

（2）解：方法一：如圖，連接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=

∴PC=4

又∵PC?PD=PB?PA

∴4?（4+2）=OB?3OB

∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，在Rt△ACB中，AC===2，∵AB是直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°

∴∠FDA+∠BDC=90°

∠CBA+∠CAB=90°

∵∠BDC=∠CAB，∴∠FDA=∠CBA，又∵∠AFD=∠ACB=90°，∴△AFD∽△ACB

∴

在Rt△AFP中，設(shè)FD=x，則AF=，∴在Rt△APF中有，求得DF=．

方法二；連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OG垂直于CD，易證△PCO∽△PDA，可得=，△PGO∽△PFA，可得=，可得，=，由方法一中PC=4代入，即可得出DF=．

點(diǎn)評(píng)：

本題次要考查類似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理及圓周角的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角和邊求解．

22．（2014?柳州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PD，線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，連接DF，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AB的延伸線于點(diǎn)Q．

（1）求線段PQ的長(zhǎng)；

（2）問(wèn)：點(diǎn)P在何處時(shí)，△PFD∽△BFP，并闡明理由．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．版權(quán)一切

分析：

（1）由題意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，易證得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性質(zhì)，求得線段PQ的長(zhǎng)；

（2）易證得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根據(jù)類似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得證得PA=PB，則可求得答案．

解答：

解：（1）根據(jù)題意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1；

（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴=，∴PA=PB，∴PA=AB=

∴當(dāng)PA=時(shí)，△PFD∽△BFP．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．

23．（2014?柳州）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于E，交△ABC的外接圓⊙O于D．

（1）求證：△ABE∽△ADC；

（2）請(qǐng)連接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F恰好是OD的中點(diǎn)．求證：四邊形OBDC是菱形．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據(jù)圓周角定理求出∠B=∠D，根據(jù)類似三角形的判定推出即可；

（2）根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出OB=BD，OC=CD，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：

證明：（1）∵∠BAC的角平分線AD，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABC=∠ADC，∴△ABE∽△ADC；

（2）

∵∠BAD=∠CAD，∴=，∵OD為半徑，∴DO⊥BC，∵F為OD的中點(diǎn)，∴OB=BD，OC=CD，∵OB=OC，∴OB=BD=CD=OC，∴四邊形OBDC是菱形．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定，圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定，線段垂直平分線性質(zhì)的運(yùn)用，次要考查先生的推理能力．

24．（2014?樂(lè)山）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．M為AD中點(diǎn)，連接CM交BD于點(diǎn)N，且ON=1．

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對(duì)邊平行且相等，且對(duì)角線互相平分，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出三角形MND與三角形C類似，由類似得比例，得到DN：BN=1：2，設(shè)OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長(zhǎng)；

（2）由類似三角形類似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△C的面積，從而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，由S四邊形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．

解答：

解：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠C，∴△MND∽△C，∴=，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，設(shè)OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；

（2）∵△MND∽△C，且類似比為1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．

∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6

∴S四邊形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，純熟掌握類似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

25．（2014?福州）如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)工夫?yàn)閠秒．

（1）當(dāng)t=秒時(shí)，則OP=　1，S△ABP=　??；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ?BP=3．

考點(diǎn)：

類似形綜合題．版權(quán)一切

專題：

幾何動(dòng)點(diǎn)成績(jī)；壓軸題．

分析：

（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數(shù)或勾股定理求解；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，有三種情形，需求分類討論；

（3）如答圖4所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)類似三角形△OAQ∽△PBO，利用類似關(guān)系證明結(jié)論．

解答：

（1）解：當(dāng)t=秒時(shí)，OP=2t=2×=1．

如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．

在Rt△POD中，PD=OP?sin60°=1×=，∴S△ABP=AB?PD=×（2+1）×=．

（2）解：當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，①若∠A=90°．

∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此種情形不存在；

②若∠B=90°，如答圖2所示：

∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；

③若∠APB=90°，如答圖3所示：

過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則OD=OP?sin30°=t，PD=OP?sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．

在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2

∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32

解方程得：t=或t=（負(fù)值舍去），∴t=．

綜上所述，當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，t=1或t=．

（3）證明：如答圖4，過(guò)點(diǎn)O作OE∥AP，交PB于點(diǎn)E，則有，∴PE=PB．

∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．

∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；

∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；

∴△OAQ∽△PEO，∴，即，化簡(jiǎn)得：AQ?PB=3．

點(diǎn)評(píng)：

本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了類似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)中，解題關(guān)鍵在于分類討論思想的運(yùn)用；第（3）問(wèn)中，解題關(guān)鍵是構(gòu)造類似三角形，本問(wèn)有多種解法，可探求嘗試．

26．（2014?防城港）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM，連接NP，BP．

（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）線段MN與CD交于點(diǎn)Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)闡明理由．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠B，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△BCP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，從而得到MN∥BP，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ類似，根據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，根據(jù)類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，從而得到=，即可得解．

解答：

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，在△ABM和△BCP中，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）解：BM=MC．

理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABC=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，（1）求出兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)類似于同一個(gè)三角形的兩個(gè)三角形類似求出△AMQ∽△ABM是解題的關(guān)鍵．

27．（2014?東營(yíng)）【探求發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；

【數(shù)學(xué)考慮】某數(shù)學(xué)興味小組在探求AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從到普通”的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B，C除外）任意一點(diǎn)時(shí)（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立．

假如你是該興味小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線段BC延伸線上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線段BC反向延伸線上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫(huà)出圖形，并證明AE=EF．

【拓展運(yùn)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延伸線上時(shí)，若CE=BC，在備用圖2中畫(huà)出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出S△ABC：S△AEF的值．

考點(diǎn)：

類似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題；探求型．

分析：

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根據(jù)ASA，可得△AGE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論；

根據(jù)等邊三角形的判定，可得△AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形類似，可得△ABC與△AEF的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AC與AH的關(guān)系，AC與AE的關(guān)系，根據(jù)類似三角形面積的比等于類似比的平方，可得答案．

解答：

證明：種情況：點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)，可作三種輔助線：

方法一：如圖1，在B上截取AG，使AG=EC，連接EG，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．

∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等邊三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．

∵FC是外角的平分線，∠ECF=120°=∠AGE．

∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．

∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．

在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；

方法二：在CA上截取CG=CE，連結(jié)GE，證明類似方法一；

方法三：延伸FC到G，使CG=CE，連結(jié)EG，易證△CEG是等邊三角形，∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．

第二種情況：點(diǎn)E是線段BC延伸線上的任意一點(diǎn)

如圖2，可作三種輔助線：

①在CF上截取CG=CE，連接GE

②延伸AC到G，使CG=CE，連結(jié)EG；

③或延伸BA到G，使BG=BE，連結(jié)EG．

第②種添加輔助線的方法證明如下：

證明：延伸AC到G，使CG=CE，連結(jié)EG，易證△CEG為等邊三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．

第三種情況：點(diǎn)E是線段BC反向延伸線上的任意一點(diǎn)

如圖3，可作三種輔助線：

①延伸AB到G，使BG=BE，連結(jié)EG；

②延伸CF到G，使CG=CE，連結(jié)EG；

③在CE上截取CG=CF，連結(jié)GF

現(xiàn)就第①種添加輔助線的方法證明如下：

證明：延伸AB到G，使BG=BE，連結(jié)EG，易證△BEG為等邊三角形，∴∠G=∠ECF=60°，∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．

拓展運(yùn)用：

如圖4：作CH⊥AE于H點(diǎn)，∴∠AHC=90°．

由數(shù)學(xué)考慮得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴△ABC∽△AEF．

∵CE=BC=AC，△ABC是等邊三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．

∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．

∴==．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似形綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，類似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵，標(biāo)題稍有難度．

28．（2014?大慶）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點(diǎn)D在邊AC上且BD平分∠ABC，設(shè)CD=x．

（1）求證：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°﹣cos72°的值．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；黃金分割；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）由等腰三角形ABC中，利用頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由BD為角平分線求出∠DBC的度數(shù)，得到∠DBC=∠A，再由∠C為公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形類似得到三角形ABC與三角形BCD類似；

（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BC，根據(jù)AD+DC表示出AC，由（1）兩三角形類似得比例求出x的值即可；

（3）過(guò)B作BE垂直于AC，交AC于點(diǎn)E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出cos36°與cos72°的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答：

解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=BC=1，設(shè)CD=x，則有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴=，即=，整理得：x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（負(fù)值，舍去），則x=；

（3）過(guò)B作BE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，∵BD=BC，∴E為CD中點(diǎn)，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°===，在Rt△BCE中，cosC=cos72°===，則cos36°﹣cos72°=﹣=．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及一元二次方程的解法，純熟掌握類似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

29．（2014?郴州）在13×13的網(wǎng)格圖中，已知△ABC和點(diǎn)M（1，2）．

（1）以點(diǎn)M為位似，位似比為2，畫(huà)出△ABC的位似圖形△A′B′C′；

（2）寫(xiě)出△A′B′C′的各頂點(diǎn)坐標(biāo)．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）利用位似圖形的性質(zhì)即可位似比為2，進(jìn)而得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位；

（2）利用所畫(huà)圖形得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：

解：（1）如圖所示：△A′B′C′即為所求；

（2）△A′B′C′的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．

30．（2014?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．

（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1．

（2）將△A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以﹣2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2，B2，C2，請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2．

（3）求△A1B1C1與△A2B2C2的面積比，即：=　1：4（不寫(xiě)解答過(guò)程，直接寫(xiě)出結(jié)果）．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-軸對(duì)稱變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位進(jìn)而得出答案；

（2）根據(jù)將△A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以﹣2，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案；

（3）利用位似圖形的性質(zhì)得出位似比，進(jìn)而得出答案．

解答：

解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求；

（2）如圖所示：△A2B2C2即為所求；

（3）∵將△A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以﹣2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2，B2，C2，∴△A1B1C1與△A2B2C2的類似比為：1：2，∴：=1：4．

故答案為：1：4．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了位似變換以及軸對(duì)稱變換，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)地位是解題關(guān)鍵．

31．（2013?益陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形類似證明．

解答：

證明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，確定出兩組對(duì)應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵．

32．（2013?銅仁市）為了測(cè)量旗桿AB的高度．甲同窗畫(huà)出了表示圖1，并把測(cè)量結(jié)果記錄如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同窗畫(huà)出了表示圖2，并把測(cè)量結(jié)果記錄如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．

（1）請(qǐng)你協(xié)助甲同窗計(jì)算旗桿AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；

（2）請(qǐng)你協(xié)助乙同窗計(jì)算旗桿AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．

考點(diǎn)：

類似三角形的運(yùn)用；解直角三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)DC⊥AE，BA⊥AE判定△ECD∽△EAB，利用類似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，從而用含有a、b、c的式子表示AB即可；

（2）首先在直角三角形DBC中用n和α表示出線段BC，然后再表示出AB即可．

解答：

解：（1）∵DC⊥AE，BA⊥AE

∴△ECD∽△EAB，∴

即：

∴；

（2）∵AE⊥AB，DC⊥AB，DE⊥AE

∴DC=AE=n，AC=DE=m

在Rt△DBC中，=tanα，∴BC=n?tanα

∴AB=BC+AC=n?tanα+m

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的運(yùn)用及解直角三角形的運(yùn)用，處理本題的關(guān)鍵是根據(jù)標(biāo)題的條件判定類似三角形．

33．（2013?汕頭）如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF，使得另一邊EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C．

（1）設(shè)Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1　=　S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；

（2）寫(xiě)出如圖中的三對(duì)類似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定；矩形的性質(zhì)．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案．

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，圖形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，選擇一對(duì)進(jìn)行證明即可．

解答：

（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．

（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．

證明△BCD∽△DEC；

證明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定，留意掌握類似三角形的判定定理，最經(jīng)常用的就是兩角法，此題難度普通．

34．（2013?莆田）定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．

如圖2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．

（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；

（2）求出線段AD的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

黃金分割．版權(quán)一切

分析：

（1）判斷△ABC∽△BDC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得出答案．

（2）根據(jù)黃金比值即可求出AD的長(zhǎng)度．

解答：

解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC?CD．

∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．

（2）∵點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣1．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了黃金分割的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是細(xì)心審題，理解黃金分割的定義，留意掌握黃金比值．

35．（2013?寧夏）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）

（1）畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A1B1C1

（2）以原點(diǎn)O為位似，畫(huà)出將△A1B1C1三條邊放大為原來(lái)的2倍后的△A2B2C2．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可畫(huà)出△ABC，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可畫(huà)出△A1B1C1；

（2）由位似三角形的性質(zhì)，即可畫(huà)出△A2B2C2．

解答：

解：如圖：（1）△A1B1C1

即為所求；

（2）△A2B2C2

即為所求．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了位似變換的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．此題難度不大，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．

36．（2013?佛山）網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點(diǎn)，試闡明△ABC∽△DEF．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

證明題；網(wǎng)格型．

分析：

利用圖形與勾股定理可以推知圖中兩個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊成比例，由此可以證得△ABC∽△DEF．

解答：

證明：∵AC=，BC==，AB=4，DF==2，EF==2，ED=8，∴===，∴△ABC∽△DEF．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定、勾股定理．類似三角形類似的判定方法有：

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形類似；

這是判定三角形類似的一種基本方法．類似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在運(yùn)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中籠統(tǒng)出這些基本圖形；

（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形類似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形類似；

（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形類似．

37．（2013?德宏州）如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的表示圖．

（1）如果像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？

（2）如果要?dú)埲钡呐臄z高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m，像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

考點(diǎn)：

類似三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

分析：

（1）利用類似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高等于類似比即可列出比例式求解；

（2）和上題一樣，利用物體的高和拍攝點(diǎn)距離物體的距離及像高表示求相機(jī)的焦距即可．

解答：

解：根據(jù)物體成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．

（1）∵像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，∴，解得：LD=7，∴拍攝點(diǎn)距離景物7米；

（2）拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m，像高不變，∴，解得：LC=70，∴相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到類似三角形，并熟知類似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于類似比．

38．（2013?濱州）某高中學(xué)校為高一重生設(shè)計(jì)的先生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm．為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長(zhǎng)？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）．

考點(diǎn)：

類似三角形的運(yùn)用；等腰梯形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的長(zhǎng)度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，繼而得出EF的長(zhǎng)度．

解答：

解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，交EF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，交EF于點(diǎn)N，由題意得，MH=8cm，BH=40cm，則BM=32cm，∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，∴AH=（AD﹣BC）=15cm．

∵EF∥AD，∴△BEM∽△BAH，∴=，即=，解得：EM=12，故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm．

答：橫梁EF應(yīng)為44cm．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的運(yùn)用及等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是純熟掌握等腰梯形的性質(zhì)，這些是需求我們純熟記憶的內(nèi)容．

39．（2012?武漢）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6

（1）如圖1，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N，使△AMN與△ABC類似，求線段MN的長(zhǎng)；

（2）如圖2，是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10×10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形．

①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△A1B1C1與△ABC全等（畫(huà)出一個(gè)即可，不需證明）

②試直接寫(xiě)出所給的網(wǎng)格中與△ABC類似且面積的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫(huà)出其中一個(gè)（不需證明）．

考點(diǎn)：

作圖—類似變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，利用三角形的中位線定理可得MN的長(zhǎng)；作∠ANM=∠B，利用類似可得MN的長(zhǎng)；

（2）①AC為兩直角邊長(zhǎng)為4，8的直角三角形的斜邊，2為兩直角邊長(zhǎng)為2，4的兩直角三角形的斜邊；

②以所給網(wǎng)格的對(duì)角線作為原三角形中最長(zhǎng)的邊，可得每條對(duì)角線處可作4個(gè)三角形與原三角形類似，那么共有8個(gè)．

解答：

解：（1）①∵△AMN∽△ABC，∴=

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，AB=2，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；

②∵△AMN∽△ACB，∴=，∵BC=6，AC=4，AM=，∴MN=1.5；

（2）①如圖所示：

②每條對(duì)角線處可作4個(gè)三角形與原三角形類似，那么共有8個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：

次要考查類似作圖和全等作圖；留意類似作圖及解答有多種情況．

40．（2012?上海）己知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點(diǎn)G．

（1）求證：BE=DF；

（2）當(dāng)=時(shí)，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．

考點(diǎn)：

平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）證得△ABE與△AFD全等后即可證得結(jié)論；

（2））利用=得到，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進(jìn)而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，證得BE=GF，利用一組對(duì)邊平行且相等即可判定平行四邊形．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF

∴BE=DF；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG

∴=

又∵BE=DF，=

∴==

∴GF∥BC

（平行線分線段成比例）

∴∠DGF=∠DBC

∵BC=CD

∴∠BDC=∠DBC=∠DGF

∴GF=DF=BE

∵GF∥BC，GF=BE

∴四邊形BEFG是平行四邊形

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)，特別是第二問(wèn)如何利用已知比例式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是處理此題的關(guān)鍵．

41．（2012?陜西）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3+．

（1）如圖①，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積（不要求寫(xiě)作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)；

（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的值和最小值，并闡明理由．

考點(diǎn)：

位似變換；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答圖①所示；

（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)；

（3）設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n（m≥n），求得面積和的表達(dá)式為：S=+（m﹣n）2，可見(jiàn)S的大小只與m、n的差有關(guān)：

①當(dāng)m=n時(shí)，S取得最小值；

②當(dāng)m而n最小時(shí)，S取得值．mn最小的情形見(jiàn)第（1）（2）問(wèn)．

解答：

解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求．

（2）設(shè)正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)為x，∵△ABC為正三角形，∴AE′=BF′=x．

∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，∴x=，即x=3﹣3，（x≈2.20也正確）

（3）如圖②，連接NE、EP、PN，則∠NEP=90°．

設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n（m≥n），它們的面積和為S，則NE=，PE=n．

∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．

∴S=m2+n2=PN2，延伸PH交ND于點(diǎn)G，則PG⊥ND．

在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．

∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化簡(jiǎn)得m+n=3．

∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2

①當(dāng)（m﹣n）2=0時(shí)，即m=n時(shí)，S最小．

∴S最小=；

②當(dāng)（m﹣n）2時(shí)，S．

即當(dāng)m且n最小時(shí)，S．

∵m+n=3，由（2）知，m=3﹣3．

∴S=[9+（m﹣n最小）2]

=[9+（3﹣3﹣6+3）2]

=99﹣54…．

（S≈5.47也正確）

綜上所述，S=99﹣54，S最小=．

點(diǎn)評(píng)：

本題以位似變換為基礎(chǔ)，綜合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形邊角性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．本題（1）（2）（3）問(wèn)之間互相關(guān)聯(lián)，逐級(jí)推進(jìn)，留意發(fā)現(xiàn)并利用好其中的聯(lián)系．第（3）問(wèn)的要點(diǎn)是求出面積和S的表達(dá)式，然后針對(duì)此表達(dá)式進(jìn)行討論，在求S值的過(guò)程中，利用了第（1）（2）問(wèn)的結(jié)論．

42．（2012?南京）下框中是小明對(duì)一道標(biāo)題的解答以及老師的批改．

標(biāo)題：某村計(jì)劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2：1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？

解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，根據(jù)題意，得x?2x=288．

解這個(gè)方程，得x1=﹣12（不合題意，舍去），x2=12

所以溫室的長(zhǎng)為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）

答：當(dāng)溫室的長(zhǎng)為28m，寬為14m時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2．

我的結(jié)果也正確！

小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中畫(huà)了一條橫線，并打了一個(gè)？．

結(jié)果為何正確呢？

（1）請(qǐng)指出小明解答中存在的成績(jī)，并補(bǔ)充缺少的過(guò)程：

變化一下會(huì)怎樣…

（2）如圖，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的內(nèi)部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，設(shè)AB與A′B′、BC與B′C′、CD與C′D′、DA與D′A′之間的距離分別為a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)闡明理由．

考點(diǎn)：

類似多邊形的性質(zhì)；一元二次方程的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)題意可得小明沒(méi)有闡明矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1的理由，所以應(yīng)設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，然后由題意得，矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1，再利用小明的解法求解即可；

（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用類似多邊形的性質(zhì)，可得，即，然后利用比例的性質(zhì)，即可求得答案．

解答：

解：（1）小明沒(méi)有闡明矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1的理由．

在“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為x

m，則長(zhǎng)為2x

m．”前補(bǔ)充以下過(guò)程：

設(shè)溫室的寬為x

m，則長(zhǎng)為2x

m．

則矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為（x﹣1﹣1）m，長(zhǎng)為（2x﹣3﹣1）m．

∵，∴矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2：1；

（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）=2AB﹣（a+c），∴a+c=2（b+d），即．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似多邊形的性質(zhì)．此題屬于閱讀性標(biāo)題，留意理解題意，讀懂標(biāo)題是解此題的關(guān)鍵．

43．（2012?連云港）如圖，甲、乙兩人分別從A（1，）、B（6，0）兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn)．

（1）請(qǐng)闡明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△OMN∽△OBA；

（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長(zhǎng)，設(shè)s=MN2，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

考點(diǎn)：

類似三角形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）用反證法闡明．根據(jù)已知條件分別表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形類似得比例式闡明；

（2）根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的工夫不同分段討論解答；

（3）在不同的工夫段運(yùn)用類似三角形的判定和性質(zhì)分別求解析式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答成績(jī)．

解答：

證明：（1）由于A坐標(biāo)為（1，），所以O(shè)A=2，∠AOB=60°．

由于OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，當(dāng)=時(shí)，解得t=0，即在甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，只要當(dāng)t=0時(shí)，△OMN∽△OAB，所以MN與AB不可能平行；

（2）由于甲達(dá)到O點(diǎn)工夫?yàn)閠=，乙達(dá)到O點(diǎn)的工夫?yàn)閠==，所以甲先到達(dá)O點(diǎn)，所以t=或t=時(shí)，O、M、N三點(diǎn)不能連接成三角形，①當(dāng)t＜時(shí)，如果△OMN∽△OBA，則有=，解得t=2＞，所以，△OMN不可能類似△OBA；

②當(dāng)＜t＜時(shí)，∠MON＞∠AOB，顯然△OMN不類似△OBA；

③當(dāng)t＞時(shí)，=，解得t=2＞，所以當(dāng)t=2時(shí)，△OMN∽△OBA；

（3）①當(dāng)t≤時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為H，在Rt△MOH中，由于∠AOB=60°，所以MH=OMsin60°=（2﹣4t）×=（1﹣2t），OH=0Mcos60°=（2﹣4t）×=1﹣2t，所以NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，所以s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

②當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，在Rt△MOH中，MH=（4t﹣2）=（2t﹣1），NH=（4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，所以s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28

③當(dāng)t＞時(shí)，同理可得s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28，綜上所述，s=[（1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

由于s=16t2﹣32t+28=16（t﹣1）2+12，所以當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值為12，所以甲、乙兩人距離最小值為2km．

點(diǎn)評(píng)：

此題綜合考查了坐標(biāo)與圖形、類似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．

44．（2012?錦州）如圖所示，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．

（1）畫(huà)出位似點(diǎn)O；

（2）直接寫(xiě)出△ABC與△A′B′C′的位似比；

（3）以位似O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的△A″B″C″，并直接寫(xiě)出△A″B″C″各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題；壓軸題．

分析：

（1）連接CC′并延伸，連接BB′并延伸，兩延伸線交于點(diǎn)O；

（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC與△A′B′C′的位似比為2：1；

（3），連接B′O并延伸，使OB″=OB′，延伸A′O并延伸，使OA″=OA′，C′O并延伸，使OC″=OC′，連接A″B″，A″C″，B″C″，則△A″B″C″為所求，從網(wǎng)格中即可得出△A″B″C″各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：

解：（1）圖中點(diǎn)O為所求；

（2）△ABC與△A′B′C′的位似比等于2：1；

（3）△A″B″C″為所求；

A″（6，0）；B″（3，﹣2）；

C″（4，﹣4）．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了作圖﹣位似變換，畫(huà)位似圖形的普通步驟為：①確似，②分別連接并延伸位似和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)類似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；依次連接上述各點(diǎn)，得到放大或減少的圖形．

45．（2012?衡陽(yáng)）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)工夫?yàn)閠（0＜t＜）秒．解答如下成績(jī)：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？

（2）設(shè)△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的值；

②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2﹣x1，y2﹣y1）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．

考點(diǎn)：

平行線分線段成比例；二次函數(shù)的最值；勾股定理；三角形中位線定理．版權(quán)一切

專題：

代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．

分析：

（1）如圖①所示，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值；

（2）①求S關(guān)系式的要點(diǎn)是求得△AQP的高，如圖②所示，過(guò)點(diǎn)P作過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)造平行線PD∥BO，由線段比例關(guān)系求得PD，從而S可求出．S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的值；

②本問(wèn)關(guān)鍵是求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．當(dāng)S取值時(shí)，可推出此時(shí)PD為△OAB的中位線，從而可求出點(diǎn)P的縱橫坐標(biāo)，又易求Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；求得P、Q的坐標(biāo)之后，代入“向量PQ”坐標(biāo)的定義（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．

解答：

解：（1）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8，∴AB===10．

如圖①，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=10﹣3t．

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，∴當(dāng)t=秒時(shí)，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如圖②所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則PD∥BO，∴，即，解得PD=6﹣t．

S=AQ?PD=?2t?（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜），當(dāng)t=秒時(shí)，S取得值，值為5（平方單位）．

②如圖②所示，當(dāng)S取值時(shí)，t=，∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又∵PD∥BO，∴此時(shí)PD為△OAB的中位線，則OD=OA=4，∴P（4，3）．

又∵AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．

依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

∴當(dāng)S取值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，﹣3）．

點(diǎn)評(píng)：

本題是典型的動(dòng)點(diǎn)型成績(jī)，解題過(guò)程中，綜合利用了平行線分線段成比例定理（或類似三角形的判定與性質(zhì)）、勾股定理、二次函數(shù)求極值及三角形中位線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．第（2）②問(wèn)中，給出了“向量PQ”的坐標(biāo)的新定義，為標(biāo)題增添了新意，不過(guò)同窗們無(wú)須為此迷惑，求解過(guò)程仍然是利用本人所熟習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)．

46．（2012?菏澤）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：

（1）試證明三角形△ABC為直角三角形；

（2）判斷△ABC和△DEF能否類似，并闡明理由；

（3）畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為P1，P2，P3，P4，P5中的3個(gè)格點(diǎn)并且與△ABC類似（要求：不寫(xiě)作法與證明）．

考點(diǎn)：

作圖—類似變換；勾股定理的逆定理；類似三角形的判定．版權(quán)一切

分析：

（1）利用網(wǎng)格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；

（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三邊比值關(guān)系得出即可；

（3）根據(jù)△P2P4

P5三邊與△ABC三邊長(zhǎng)度得出答案即可．

解答：

解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；

∴AB2+AC2=BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC

為直角三角形；

（2）△ABC和△DEF類似．

由（1）中數(shù)據(jù)得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2．

====，∴△ABC∽△DEF．

（3）如圖：連接P2P5，P2P4，P4P5，∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，∴===，∴，△ABC∽△P2P4

P5．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了類似三角形的判定以及勾股定理與逆定理運(yùn)用，根據(jù)已知得出三角形各邊長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．

47．（2012?河北）如圖，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以BC為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同側(cè)．

（1）AE和ED的數(shù)量關(guān)系為　AE=ED?。籄E和ED的地位關(guān)系為　AE⊥ED??；

（2）在圖1中，以點(diǎn)E為位似，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD．分別得到圖2和圖3．

①在圖2中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的類似比1：2，H是EC的中點(diǎn)．求證：GH=HD，GH⊥HD．

②在圖3中，點(diǎn)F在的BE延伸線上，△EGF與△EAB的類似比是k：1，若BC=2，請(qǐng)直接寫(xiě)CH的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代數(shù)式表示）．

考點(diǎn)：

位似變換；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．版權(quán)一切

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ABE≌△DCE，進(jìn)而得出AE=ED，AE⊥ED；

（2）①根據(jù)△EGF與△EAB的類似比1：2，得出EH=HC=EC，進(jìn)而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；

②根據(jù)恰好使GH=HD且GH⊥HD時(shí)，得出△GFH≌△HCD，進(jìn)而得出CH的長(zhǎng)．

解答：

解：（1）∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別BC以為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰三角形，∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE，∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．

故答案為：AE=ED，AE⊥ED；

（2）①由題意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，∵△EGF與△EAB的類似比1：2，∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB，∴∠GFE=∠C，∴EH=HC=EC，∴GF=HC，F(xiàn)H=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD，∴△HGF≌△DHC．

∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．

∵∠HDC+∠DHC=90°．

∴∠GHF+∠DHC=90°

∴∠GHD=90°．

∴GH⊥HD．

②根據(jù)題意得出：∵當(dāng)GH=HD，GH⊥HD時(shí)，∴∠FHG+∠DHC=90°，∵∠FHG+∠FGH=90°，∴∠FGH=∠DHC，∴，∴△GFH≌△HCD，∴CH=FG，∵EF=FG，∴EF=CH，∵△EGF與△EAB的類似比是k：1，BC=2，∴BE=EC=1，∴EF=k，∴CH的長(zhǎng)為k．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了位似圖形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．

48．（2012?桂林）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．

（1）作出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo)；

（2）以原點(diǎn)O為位似，在原點(diǎn)的另一側(cè)畫(huà)出△A2B2C2，使=．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-軸對(duì)稱變換．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)坐標(biāo)系找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1的地位，然后依次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)即可；

（2）利用在原點(diǎn)的另一側(cè)畫(huà)出△A2B2C2，使=，原三角形的各頂點(diǎn)坐標(biāo)都乘以﹣2，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出圖形．

解答：

解：（1）如圖所示：

A1（1，﹣3），B1（4，﹣2），C1（2，﹣1）；

（2）根據(jù)A（1，3）、B（4，2）、C（2，1），以原點(diǎn)O為位似，在原點(diǎn)的另一側(cè)畫(huà)出△A2B2C2，使=，則A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣4），C2（﹣4，﹣2）；在坐標(biāo)系中找出各點(diǎn)，畫(huà)出圖形即可，結(jié)果如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖以及作位似圖形，利用坐標(biāo)系精確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的地位是解題的關(guān)鍵．

49．（2012?恩施州）如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后經(jīng)過(guò)折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新地位B′，因此EB′=EB．類似地，在AB上折出點(diǎn)B″使AB″=AB′．這時(shí)B″就是AB的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．

考點(diǎn)：

黃金分割．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)E為BC的中點(diǎn)和翻折不變性，求出AB″的長(zhǎng)，二者相比即可得到黃金比．

解答：

證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，∴BE=1

∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″

∴點(diǎn)B″是線段AB的黃金分割點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了黃金分割的運(yùn)用，知道黃金比并能求出黃金比是解題的關(guān)鍵．

50．（2012?丹東）已知：△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度）

（1）畫(huà)出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1，并直接寫(xiě)出C1點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）以點(diǎn)B為位似，在網(wǎng)格中畫(huà)出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比為2：1，并直接寫(xiě)出C2點(diǎn)的坐標(biāo)及△A2BC2的面積．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-平移變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題；壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出點(diǎn)A、B、C向下平移4個(gè)單位的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1的地位，然后依次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；

（2）延伸BA到A2，使AA2=AB，延伸BC到C2，使CC2=BC，然后連接A2C2即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出C2點(diǎn)的坐標(biāo)，利用△A2BC2所在的矩形的面積減去周圍三個(gè)小直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解．

解答：

解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，C1（2，﹣2）；

（2）如圖，△A2BC2即為所求，C2（1，0），△A2BC2的面積：

6×4﹣×2×6﹣×2×4﹣×2×4

=24﹣6﹣4﹣4

=24﹣14

=10．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了利用位似變換作圖，利用平移變換作圖，以及網(wǎng)格內(nèi)三角形的面積的求解，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)精確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的地位是解題的關(guān)鍵，網(wǎng)格內(nèi)的三角形的面積通常利用三角形所在的矩形的面積減去周圍三個(gè)小直角三角形的面積，一定要純熟掌握并靈活運(yùn)用．

51．（2012?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC和△DEF的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．

按下列要求畫(huà)圖：以O(shè)為位似，將△ABC向y軸左側(cè)按比例尺2：1放大得△ABC的位似圖形△A1B1C1，并處理下列成績(jī)：

（1）頂點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣2，0），B1的坐標(biāo)為（﹣6，0），C1的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）；

（2）請(qǐng)你利用旋轉(zhuǎn)、平移兩種變換，使△A1B1C1經(jīng)過(guò)變換后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰與△DEF拼接成一個(gè)平行四邊形（非正方形），寫(xiě)出符合要求的變換過(guò)程．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-平移變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題；壓軸題．

分析：

（1）延伸AO到A1，使A1O=2AO，延伸BO到B1，使B1O=2BO，連接CO并延伸到C1，使C1O=2CO，然后依次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（2）先繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，然后向右平移再向下（或向上）平移，使△A2B2C2的直角邊與△DEF的直角邊重合即可．

解答：

解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求作的三角形，A1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；

（2）如圖，把△A1B1C1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移6個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，使B2C2與DE重合，或者：把△A1B1C1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移6個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，使A2C2與EF重合，都可以拼成一個(gè)平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了利用位似變換作圖，利用平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖，純熟掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，精確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的地位是解題的關(guān)鍵．

52．（2011?徐州）如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B﹣A﹣C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)中止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x

s時(shí)，△PBC的面積為y

cm2．已知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列成績(jī)：

（1）試判斷△DOE的外形，并闡明理由；

（2）當(dāng)a為何值時(shí)，△DOE與△ABC類似？

考點(diǎn)：

類似三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，可得點(diǎn)P在邊AB和AC上的運(yùn)動(dòng)工夫相反，即可得點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，即可證得DF是OE的垂直平分線，可得△DOE是等腰三角形；

（2）設(shè)D（a，a2），由DO=DE，AB=AC，可得當(dāng)且僅當(dāng)∠DOE=∠ABC時(shí)，△DOE∽△ABC，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)a=時(shí)，△DOE∽△ABC．

解答：

解：（1）△DOE是等腰三角形．

理由如下：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM=×=a，AC=AB=a，∴S△ABC=BC?AM=a2，∴P在邊AB上時(shí)，y=?S△ABC=ax，P在邊AC上時(shí)，y=?S△ABC=a2﹣ax，作DF⊥OE于F，∵AB=AC，點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P在邊AB和AC上的運(yùn)動(dòng)工夫相反，∴點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，∴DF是OE的垂直平分線，∴DO=DE，∴△DOE是等腰三角形．

（2）由題意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM=×=a，∴AB=a，∴D（a，a2），∵DO=DE，AB=AC，∴當(dāng)且僅當(dāng)∠DOE=∠ABC時(shí)，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF===a，由a=tan30°=，得a=，∴當(dāng)a=時(shí)，△DOE∽△ABC．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形思想的運(yùn)用．

53．（2011?泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE、AC．

（1）點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；

（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定；菱形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；

（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．

解答：

證明：（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；

（2）連接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴EF、GE是△CBD的兩條中位線，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四邊形EFDG是菱形．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形與菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是要留意數(shù)形思想的運(yùn)用．

54．（2011?南平）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A

（1，2），B

（3，1），C

（2，3），以原點(diǎn)O為位似，將△ABC放大為原來(lái)的2倍得△A′B′C′．

（1）在圖中象限內(nèi)畫(huà)出符合要求的△A′B′C′；（不要求寫(xiě)畫(huà)法）

（2）△A′B′C′的面積是：　6?。?/p>

考點(diǎn)：

作圖-位似變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）延伸OA到A′，使OA′=2OA，同法得到其余點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，依次連接即可；

（2）把所求三角形的面積分割為矩形的面積減去若干直角三角形的面積即可．

解答：

解：（1）；

（2）△A′B′C′的面積=4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4=6，故答案為6．

點(diǎn)評(píng)：

考查位似圖形的畫(huà)法及相關(guān)計(jì)算；得到關(guān)鍵點(diǎn)的地位是處理本題的關(guān)鍵；網(wǎng)格中三角形面積的求法通常整理為規(guī)則圖形的面積的和或者差．

55．（2011?南寧）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，6）．

（2）將△ABC向左平移7個(gè)單位，請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A1B1C1．若M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（a，b），則平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（a﹣7，b）．

（3）以原點(diǎn)O為位似，將△ABC減少，使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1：2．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo)：（1，4）或（﹣1，﹣4）．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；點(diǎn)的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化-平移．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）直接根據(jù)圖形即可寫(xiě)出點(diǎn)A和C的坐標(biāo)；

（2）找出三角形平移后各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后依次連接即可；根據(jù)平移的規(guī)律即可寫(xiě)出點(diǎn)M平移后的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)位似變換的要求，找出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后依次連接各點(diǎn)即可，留意有兩種情況．

解答：

解：（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，8），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，6）；

（2）所畫(huà)圖形如下所示，其中△A1B1C1即為所求，根據(jù)平移規(guī)律：左平移7個(gè)單位，可知M1的坐標(biāo)（a﹣7，b）；

（3）所畫(huà)圖形如下所示，其中△A2B2C2即為所求，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（1，4）或（﹣1，﹣4）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換和位似變換后圖形的畫(huà)法，解題關(guān)鍵是根據(jù)變換要求找出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，難度普通．

56．（2011?聊城）如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蚺矂?dòng)．點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之中止挪動(dòng)．設(shè)挪動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S（cm2）

（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？

（2）寫(xiě)出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；

（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上挪動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形類似？請(qǐng)闡明理由．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定；函數(shù)的運(yùn)用；三角形的面積；矩形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）當(dāng)t=1時(shí)，根據(jù)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，可求出S和t的關(guān)系．

（2）根據(jù)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之中止挪動(dòng)．設(shè)挪動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，△EFG的面積為S，求出S和t的關(guān)系式．

（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等的三角形是類似三角形可求出解．

解答：

解：（1）如圖1，當(dāng)t=1秒時(shí)，AE=2，EB=10，BF=4，F(xiàn)C=4，CG=2，由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，=×﹣

=×（10+2）×8﹣×10×4﹣

=24（cm2）；

（2）①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上挪動(dòng)，此時(shí)AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，F(xiàn)C=8﹣4t，CG=2t，S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG

=×（EB+CG）?BC﹣EB?BF﹣FC?CG

=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）

=8t2﹣32t+48．

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G時(shí)，4t=2t+8，解得t=4，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，點(diǎn)E在邊AB上挪動(dòng)，點(diǎn)F、G都在邊CD上挪動(dòng)，此時(shí)CF=4t﹣8，CG=2t，F(xiàn)G=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，S=FG?BC=（8﹣2t）?8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32．

（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在矩形的邊BC上的邊挪動(dòng)時(shí)，0≤t≤2，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，1若=，即=，解得t=．

又t=滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=時(shí)，△EBF∽△FCG，2若=即=，解得t=．

又t=滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=時(shí)，△EBF∽△GCF．

綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形類似．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定定理，函數(shù)的運(yùn)用和三角形的面積以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．

57．（2011?來(lái)賓）如圖，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分線分別與AC、AB交于點(diǎn)D、E．

（1）用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE，并連接BD；

（2）證明：△ABC∽△BDC．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．版權(quán)一切

專題：

作圖題；證明題．

分析：

（1）分別以A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作直線，即為AB的垂直平分線；

（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)，得DA=DB，則∠ABD=∠BAC=40°，從而求得∠CBD=40°，即可證出△ABC∽△BDC．

解答：

解：（1）

（2）∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∵∠ABC=80°，∠BAC=40°，∴∠ABD=∠BAC=40°，∴∠CBD=40°，∴△ABC∽△BDC．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)和作法，基本作圖是難點(diǎn)．

58．（2011?河北）如圖，在6×8網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)0和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)．

（1）以O(shè)為位似，在圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為

1：2；

（2）連接（1）中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

考點(diǎn)：

作圖-位似變換．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題；作圖題．

分析：

（1）根據(jù)位似比是1：2，畫(huà)出以O(shè)為位似的△A′B′C′；

（2）根據(jù)勾股定理求出AC，A′C′的長(zhǎng)，由于AA′，CC′的長(zhǎng)易得，相加即可求得四邊形AA′C′C的周長(zhǎng)．

解答：

解：（1）如圖所示：

（2）AA′=CC′=2．

在Rt△OA′C′中，OA′=OC′=2，得A′C′=2；

同理可得AC=4．

∴四邊形AA′C′C的周長(zhǎng)=4+6．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了畫(huà)位似圖形．畫(huà)位似圖形的普通步驟為：①確似，②分別連接并延伸位似和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)類似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；依次連接上述各點(diǎn)，得到放大或減少的圖形．同時(shí)考查了利用勾股定理求四邊形的周長(zhǎng)．

59．（2011?常德）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形．

（1）求證：△MEF∽△MBA；

（2）若AF、BE分別是∠DAB，∠CBA的平分線，求證：DF=EC．

考點(diǎn)：

類似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出角相等，再根據(jù)類似三角形的判定得出答案；

（2）由AB∥CD，得∠DFA=∠FAB，再由角平分線的定義得出∠DAF=∠FAB，從而得出∠DAF=∠DFA，即DA=DF，同理得出CE=CB，由平行四邊形的性質(zhì)得出DF=EC．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA，∴△MEF∽△MBA；

（2）∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，∵AF、BE分別是∠DAB，∠CBA的平分線，∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF，同理得出CE=CB，∴DF=EC．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了類似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要純熟掌握．

60．（2011?安徽）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫(huà)出△A1B1C1和△A2B2C2；

（1）把△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到△A1B1C1；

（2）以圖中的O為位似，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來(lái)的兩倍，得到△A2B2C2．

考點(diǎn)：

作圖-位似變換；作圖-平移變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）把A、B、C三點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到A1，B1，C1，依次連接得到的各點(diǎn)即可；

（2）延伸OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各點(diǎn)，依次連接即可．

解答：

解：如圖

點(diǎn)評(píng)：

本題考查圖形的平移變換及旋轉(zhuǎn)變換；留意圖形的變換，看關(guān)鍵點(diǎn)是變換即可．