【中考數(shù)學(xué)】四邊形：精選真題專項(xiàng)打破沖刺提分60題
（含答案解析）
一、解
答
題（共60小題）
1．（2014?遵義）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點(diǎn)，且BE=DF，連接EF交BD于O．
（1）求證：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸線于G，當(dāng)FG=1時(shí)，求AD的長(zhǎng)．
2．（2014?鎮(zhèn)江）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AO上，且OE=OC．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）連結(jié)BE、DE，判斷四邊形BCDE的外形，并闡明理由．
3．（2014?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，BC=2CD．
（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；
（2）求證：BD=MN．
4．（2014?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作一條直線分別交DA、BC的延伸線于點(diǎn)E、F，連接BE、DF．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．
5．（2014?雅安）如圖：在?ABCD中，AC為其對(duì)角線，過點(diǎn)D作AC的平行線與BC的延伸線交于E．
（1）求證：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求證：四邊形ACED為菱形．
6．（2014?宿遷）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的工夫?yàn)閠（s），△PAB面積為S（cm2）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求S的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)S=12時(shí)，求t的值．
7．（2014?）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點(diǎn)；
②作直線PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，連接CE；
③過C作CF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：△AED≌△CFD；
（2）求證：四邊形AECF是菱形．
8．（2014?襄陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延伸線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．
（1）求證：EF∥CG；
（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中構(gòu)成的，與線段CG所圍成的暗影部分的面積．
9．（2014?湘西州）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和AD上，且BE=DF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）求證：AE=CF．
10．（2014?濰坊）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF（如圖2），延伸FP到BA的延伸線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；
（3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．
11．（2014?泰州）如圖，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求證：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積．
12．（2014?臺(tái)州）如圖1是某公交汽車擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運(yùn)動(dòng)時(shí)，一直垂直于玻璃窗下沿BC，請(qǐng)證明這一結(jié)論．
13．（2014?遂寧）已知：如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD中點(diǎn)，連結(jié)OE．過點(diǎn)C作CF∥BD交線段OE的延伸線于點(diǎn)F，連結(jié)DF．求證：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四邊形ODFC是菱形．
14．（2014?隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）填空：當(dāng)AB：AD= 時(shí)，四邊形MENF是正方形．
15．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長(zhǎng)．
16．（2014?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF．求證：CE=DF．
17．（2014?攀枝花）如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A（2，﹣3），C（0，2）．
（1）求過點(diǎn)B的雙曲線的解析式；
（2）若將等腰梯形OABC向右平移5個(gè)單位，問平移后的點(diǎn)C能否落在（1）中的雙曲線上？并簡(jiǎn)述理由．
18．（2014?寧德）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求證：四邊形AECD是矩形．
19．（2014?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么四邊形？闡明你的理由；
（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)闡明你的理由．
20．（2014?梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延伸線上一點(diǎn)，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
21．（2014?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．
（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是 ??；
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．梯形
（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1= S2；
（3）在四邊形ABCD中，沿中點(diǎn)四邊形EFGH的其中三邊剪開，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三角形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)畫出一種拼接表示圖，并寫出對(duì)應(yīng)全等的三角形．
22．（2014?涼山州）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
（1）試闡明AC=EF；
（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
23．（2014?連云港）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為菱形；
（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請(qǐng)闡明理由．
24．（2014?樂山）如圖，在△ABC中，AB=AC，四邊形ADEF是菱形，求證：BE=CE．
25．（2014?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．若AD=1，AB=2，求CE的長(zhǎng)．
26．（2014?黃石）如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C是的中點(diǎn)．
（1）求證：AB平分∠OAC；
（2）延伸OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長(zhǎng)．
27．（2014?葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合）在BC上，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE延伸線于點(diǎn)F，連接AD，BF．
（1）求證：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求證：四邊形AFBD是矩形．
28．（2014?賀州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，∠1=∠2．
（1）求證：BE=DF；
（2）求證：AF∥CE．
29．（2014?菏澤）已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．
（1）若正方形的邊長(zhǎng)為a，求BM?DN的值．
（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的外形，并證明你的結(jié)論．
30．（2014?桂林）在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF分別交線段AD、BC于點(diǎn)E、F．
（1）根據(jù)題意，畫出圖形，并標(biāo)上正確的字母；
（2）求證：DE=BF．
31．（2014?貴陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，連接AF，AC．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四邊形ABCF的周長(zhǎng)．
32．（2014?貴港）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CE=CD，過點(diǎn)E作EF⊥AC交AD于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：DF=AE；
（2）當(dāng)AB=2時(shí)，求BE2的值．
33．（2014?甘孜州）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AB中點(diǎn)，連接FC，AE，且AE與FC交于點(diǎn)G，AE的延伸線與DC的延伸線交于點(diǎn)N．
（1）求證：△ABE≌△NCE；
（2）若AB=3n，F(xiàn)B=GE，試用含n的式子表示線段AN的長(zhǎng)．
34．（2014?撫順）如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點(diǎn)，且BE=BA，以點(diǎn)A為圓心、AD長(zhǎng)為半徑作⊙A交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作⊙A的切線BF，切點(diǎn)為F．
（1）請(qǐng)判斷直線BE與⊙A的地位關(guān)系，并闡明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求圖中暗影部分的面積．
35．（2014?崇左）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是矩形．
36．（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF，PD．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
37．（2014?包頭）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，點(diǎn)E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的長(zhǎng)．（留意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)）
38．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．
39．（2013?株洲）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長(zhǎng)．
40．（2013?云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．
（1）求證：四邊形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面積．
41．（2013?宜昌）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn)，AE=AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF．
（1）請(qǐng)你判斷所畫四邊形的外形，并闡明理由；
（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長(zhǎng)．
42．（2013?無錫）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個(gè)作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題．
（1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉出反例；
（2）寫出按題意構(gòu)成的一切命題中的假命題，并舉出反例加以闡明．（命題請(qǐng)寫成“如果…，那么…．”的方式）
43．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延伸到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并闡明理由．
44．（2013?深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點(diǎn)O，延伸BC到E，使得CE=AD，連接DE．
（1）求證：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的長(zhǎng)．
45．（2013?上海）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延伸線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=EF；
（2）連結(jié)CD，過點(diǎn)D作DC的垂線交CF的延伸線于點(diǎn)G，求證：∠B=∠A+∠DGC．
46．（2013?欽州）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形．
47．（2013?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
48．（2013?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求證：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的長(zhǎng)．
49．（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．
50．（2013?防城港）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點(diǎn)E，AF的延伸線與BC的延伸線交于點(diǎn)G，M，N分別是BG，DF的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長(zhǎng)和寬．
51．（2013?鄂爾多斯）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．
（1）求證：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長(zhǎng)．
52．（2013?朝陽(yáng)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，過點(diǎn)A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形．
（2）在（1）的條件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以點(diǎn)A為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫弧交BE于點(diǎn)F，連接AF，在圖中，用尺規(guī)補(bǔ)齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．
53．（2013?鞍山）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求證：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四邊形ABCD是平行四邊形．
54．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點(diǎn)，∠BDE=∠DBC．
（1）求證：DE=EC；
（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的外形，并闡明理由．
55．（2012?襄陽(yáng)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點(diǎn)，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點(diǎn)F．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）當(dāng)AB與AC具有什么地位關(guān)系時(shí)，四邊形AECD是菱形？請(qǐng)闡明理由，并求出此時(shí)菱形AECD的面積．
56．（2012?湘西州）如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，CD=5cm，OD=3cm；
過點(diǎn)C作CE∥DB，過點(diǎn)B作BE∥AC，CE與BE相交于點(diǎn)E．
（1）求OC的長(zhǎng)；
（2）求證：四邊形OBEC為矩形；
（3）求矩形OBEC的面積．
57．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．
（1）求證：△ABE≌△CDA；
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數(shù)．
58．（2012?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．
（1）求證：DE=DF；
（2）當(dāng)∠A=90°時(shí)，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．
59．（2012?鄂爾多斯）已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延伸線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．
（1）求證：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的長(zhǎng)．
60．（2012?濱州）我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似的，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，那么EF就是梯形ABCD的中位線．經(jīng)過觀察、測(cè)量，猜想EF和AD、BC有怎樣的地位和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
中考數(shù)學(xué)提分沖刺真題精析：四邊形
參考答案與試題解析
一、解
答
題（共60小題）
1．（2014?遵義）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點(diǎn)，且BE=DF，連接EF交BD于O．
（1）求證：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸線于G，當(dāng)FG=1時(shí)，求AD的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．版權(quán)一切
分析：
（1）經(jīng)過證明△ODF與△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，由于EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG與△DFG都是等腰直角三角形，從而求得DG的長(zhǎng)和EF=2，然后平行線分線段成比例定理即可求得．
解答：
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF與△OBE中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；
（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==，∵AB∥CD，∴=，即=，∴AD=2，點(diǎn)評(píng)：
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及平行線分行段定理．
2．（2014?鎮(zhèn)江）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AO上，且OE=OC．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）連結(jié)BE、DE，判斷四邊形BCDE的外形，并闡明理由．
考點(diǎn)：
菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）證明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證得結(jié)論；
（2）首先判定四邊形BCDE是平行四邊形，然后利用對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形判定菱形即可．
解答：
（1）證明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；
（2）四邊形BCDE是菱形；
證明：∵∠1=∠2，CD=BC，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形DEBC是菱形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的判定及線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定方法，難度不大．
3．（2014?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，BC=2CD．
（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；
（2）求證：BD=MN．
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD與BC的關(guān)系，根據(jù)MD與NC的關(guān)系，可得證明結(jié)論；
（2）根據(jù)根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DNC的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠DBC的度數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)，可得答案．
解答：
證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴MD=NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四邊形；
（2）如圖：連接ND，∵M(jìn)NCD是平行四邊形，∴MN=DC．
∵N是BC的中點(diǎn)，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等邊三角形．
∴ND=NC，∠DNC=60°．
∵∠DNC是△BND的外角，∴∠D+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．
∵tan，∴DB=DC=MN．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用了一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正切函數(shù)．
4．（2014?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作一條直線分別交DA、BC的延伸線于點(diǎn)E、F，連接BE、DF．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．
考點(diǎn)：
菱形的性質(zhì)；平行四邊形的判定．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）設(shè)OM=x，根據(jù)∠MBO的正切值表示出BM，再根據(jù)△AOM和△OBM類似，利用類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM，然后根據(jù)△AEM和△BFM類似，利用類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．
解答：
（1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）解：設(shè)OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴∠AOM=∠OBM，∴△AOM∽△OBM，∴=，∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：FM=AM：BM=x：2x=1：4．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，類似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)在于（2）兩次求出三角形類似．
5．（2014?雅安）如圖：在?ABCD中，AC為其對(duì)角線，過點(diǎn)D作AC的平行線與BC的延伸線交于E．
（1）求證：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求證：四邊形ACED為菱形．
考點(diǎn)：
菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）利用AAS判定兩三角形全等即可；
（2）首先證得四邊形ACED為平行四邊形，然后證得AC=AD，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可．
解答：
證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC
∴∠2=∠E，在△ABC與△DCE中，∴△ABC≌△DCE；
（2）∵平行四邊形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED為平行四邊形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四邊形ACED為菱形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是純熟掌握菱形的判定定理，難度不大．
6．（2014?宿遷）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的工夫?yàn)閠（s），△PAB面積為S（cm2）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求S的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)S=12時(shí)，求t的值．
考點(diǎn)：
直角梯形；動(dòng)點(diǎn)成績(jī)的函數(shù)圖象．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題；動(dòng)點(diǎn)型．
分析：
（1）當(dāng)t=2時(shí)，可求出P運(yùn)動(dòng)的路程即BP的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過D作DH⊥AB，P′M⊥AB，求出P′M的值即為△PAB中AB邊上的高，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）當(dāng)S=12時(shí)，則P在BC或AD上運(yùn)動(dòng)，利用（1）和（2）中的面積和高的關(guān)系求出此時(shí)的t即可，解答：
解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)t=2時(shí)，BP=2cm，∴S的值=AB?BP=×8×2=8cm2；
（2）過D作DH⊥AB，過P′作P′M⊥AB，∴P′M∥DH，∴△AP′M∽△ADH，∴，∵AB=8cm，CD=5cm，∴AH=AB﹣DC=3cm，∵BC=4cm，∴AD==5cm，又∵A′P=14﹣t，∴，∴P′M=，∴S=AB?P′M=，即S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式S=；
（3）由題意可知當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S=AB×BC=×8×4=16cm2，所以當(dāng)S=12時(shí)，P在BC或AD上，當(dāng)P在BC上時(shí)，12=×8?t，解得：t=3；
當(dāng)P在AD上時(shí)，12=，解得：t=．
∴當(dāng)S=12時(shí)，t的值為3或．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了直角梯形的性質(zhì)、類似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用和三角形面積公式的運(yùn)用，標(biāo)題的綜合性較強(qiáng)，難度中等，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)成績(jī)特別要留意的是分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．
7．（2014?）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點(diǎn)；
②作直線PQ，分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，連接CE；
③過C作CF∥AB交PQ于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：△AED≌△CFD；
（2）求證：四邊形AECF是菱形．
考點(diǎn)：
菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等得到AE=CF，然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，F(xiàn)C=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形．
解答：
解：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED與△CFD中，∴△AED≌△CFD；
（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF為線段AC的垂直平分線，∴EC=EA，F(xiàn)C=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四邊形AECF為菱形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的判定、全等的判定與性質(zhì)及基本作圖，解題的關(guān)鍵是了解經(jīng)過作圖能得到直線的垂直平分線．
8．（2014?襄陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點(diǎn)，將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)E落在CB的延伸線上點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)A處．再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．
（1）求證：EF∥CG；
（2）求點(diǎn)C，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中構(gòu)成的，與線段CG所圍成的暗影部分的面積．
考點(diǎn)：
正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；扇形面積的計(jì)算．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化只改變圖形的地位不改變圖形的外形可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行證明；
（2）求出FE、BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出AF的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據(jù)S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計(jì)算即可得解．
解答：
（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；
（2）解：∵AD=2，E是AB的中點(diǎn)，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，扇形的面積計(jì)算，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)并精確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
9．（2014?湘西州）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC和AD上，且BE=DF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）求證：AE=CF．
考點(diǎn)：
平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，∠B=∠D，根據(jù)SAS證出△ABE≌△CDF；
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得．
解答：
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．
點(diǎn)評(píng)：
本題次要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)證出△ABE≌△CDF是證此題的關(guān)鍵．
10．（2014?濰坊）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF（如圖2），延伸FP到BA的延伸線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；
（3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．
考點(diǎn)：
四邊形綜合題．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）運(yùn)用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°求證；
（2）△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QP求解；
（3）先求出正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)面積比等于類似邊長(zhǎng)比的平方，求得S△AGN=，再利用S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解．
解答：
（1）證明：如圖1，∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF=BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF．
（2）解：如圖2，根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k
在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin∠BQP===．
（3）解：∵正方形ABCD的面積為4，∴邊長(zhǎng)為2，∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，∴AN=AB=2，∵∠AHM=90°，∴GN∥HM，∴=，∴=，∴S△AGN=，∴S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=，∴四邊形GHMN的面積是．
點(diǎn)評(píng)：
本題次要考查了四邊形的綜合題，處理的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，角的關(guān)系求解．
11．（2014?泰州）如圖，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求證：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積．
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．版權(quán)一切
專題：
幾何圖形成績(jī)．
分析：
（1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結(jié)論；
（2）首先過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，易求得DG與DE的長(zhǎng)，繼而求得答案．
解答：
（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；
（2）解：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四邊形ADEF的面積為：DE?DG=6．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．
12．（2014?臺(tái)州）如圖1是某公交汽車擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運(yùn)動(dòng)時(shí)，一直垂直于玻璃窗下沿BC，請(qǐng)證明這一結(jié)論．
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
運(yùn)用題．
分析：
首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可判斷．
解答：
證明：∵AB=CD、AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確理解平行四邊形的判定方法是關(guān)鍵．
13．（2014?遂寧）已知：如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD中點(diǎn)，連結(jié)OE．過點(diǎn)C作CF∥BD交線段OE的延伸線于點(diǎn)F，連結(jié)DF．求證：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四邊形ODFC是菱形．
考點(diǎn)：
矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ODE=∠FCE，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OD=FC，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．
解答：
證明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中點(diǎn)，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四邊形ODFC是平行四邊形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形ODFC是菱形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，熟記各性質(zhì)與平行四邊形和菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
14．（2014?隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）填空：當(dāng)AB：AD= 1：2 時(shí)，四邊形MENF是正方形．
考點(diǎn)：
矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定．版權(quán)一切
專題：
幾何圖形成績(jī)．
分析：
（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）求出四邊形MENF是平行四邊形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根據(jù)正方形的判定推出即可．
解答：
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：當(dāng)AB：AD=1：2時(shí)，四邊形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四邊形MENF是平行四邊形，∵M(jìn)E=MF，∠BMC=90°，∴四邊形MENF是正方形，即當(dāng)AB：AD=1：2時(shí)，四邊形MENF是正方形，故答案為：1：2．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，正方形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的運(yùn)用，次要考查先生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，標(biāo)題比較好，難度適中．
15．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切
分析：
（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，由于BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．
（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．
解答：
（1）證明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，在△ADB與△CDB中，∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，∴?ABDF是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，設(shè)BE=x，則DE=5﹣x，∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2
解得：x=，∴=，∴AC=2AE=．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用．
16．（2014?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF．求證：CE=DF．
考點(diǎn)：
正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“邊角邊”證明△BCE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．
解答：
證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴CE=DF．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
17．（2014?攀枝花）如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A（2，﹣3），C（0，2）．
（1）求過點(diǎn)B的雙曲線的解析式；
（2）若將等腰梯形OABC向右平移5個(gè)單位，問平移后的點(diǎn)C能否落在（1）中的雙曲線上？并簡(jiǎn)述理由．
考點(diǎn)：
等腰梯形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；坐標(biāo)與圖形變化-平移．版權(quán)一切
專題：
數(shù)形；待定系數(shù)法．
分析：
（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和點(diǎn)A的坐標(biāo)求出CD、BD，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的解析式為y=（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷．
解答：
解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A（2，﹣3），∴CD=2，BD=3，∵C（0，2），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，5），設(shè)雙曲線的解析式為y=（k≠0），則=5，解得k=10，∴雙曲線的解析式為y=；
（2）平移后的點(diǎn)C落在（1）中的雙曲線上．
理由如下：點(diǎn)C（0，2）向右平移5個(gè)單位后的坐標(biāo)為（5，2），當(dāng)x=5時(shí)，y==2，∴平移后的點(diǎn)C落在（1）中的雙曲線上．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，純熟掌握等腰梯形的性質(zhì)并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
18．（2014?寧德）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求證：四邊形AECD是矩形．
考點(diǎn)：
矩形的判定．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
先判斷四邊形AECD為平行四邊形，然后由∠AEC=90°即可判斷出四邊形AECD是矩形．
解答：
證明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形．
∴AD=BE．
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EC=BE=AD．
∴四邊形AECD是平行四邊形．
∵AB=AC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．
∴?AECD是矩形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了梯形和矩形的判定，難度適中，解題關(guān)鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定定理．
19．（2014?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么四邊形？闡明你的理由；
（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)闡明你的理由．
考點(diǎn)：
正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；
（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根據(jù)正方形的判定推出即可．
解答：
（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE=AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，理由是：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD=BD，∴四邊形BECD是菱形；
（3）當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D為BA中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四邊形BECD是菱形，∴四邊形BECD是正方形，即當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，次要考查先生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．
20．（2014?梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延伸線上一點(diǎn)，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
考點(diǎn)：
正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又由于DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．
解答：
（1）證明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
點(diǎn)評(píng)：
本題次要考查證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了經(jīng)過全等找出和GE相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立．
21．（2014?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．
（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點(diǎn)四邊形EFGH一定是 B??；
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．梯形
（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1= 2 S2；
（3）在四邊形ABCD中，沿中點(diǎn)四邊形EFGH的其中三邊剪開，可得三個(gè)小三角形，將這三個(gè)小三角形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)畫出一種拼接表示圖，并寫出對(duì)應(yīng)全等的三角形．
考點(diǎn)：
中點(diǎn)四邊形；作圖—運(yùn)用與設(shè)計(jì)作圖．版權(quán)一切
專題：
探求型．
分析：
（1）連接AC、BD．先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由菱形的對(duì)角線互相垂直，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；
（2）由E為AB中點(diǎn)，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM類似，△AEN與△ABM類似，利用面積之比等于類似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進(jìn)而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個(gè)四邊形面積之和即為四個(gè)三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半；
（3）利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)得出拼接方法，進(jìn)而得出全等三角形．
解答：
解：（1）如圖1，連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴?EFGH是矩形；
故選：B．
（2）如圖2，設(shè)AC與EH、FG分別交于點(diǎn)N、P，BD與EF、HG分別交于點(diǎn)K、Q，∵E是AB的中點(diǎn)，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，=，=，∴=，∴四邊形ABCD的面積為S1，中點(diǎn)四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1=2S2；
（3）如圖3，四邊形NEHM是平行四邊形；
△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了中點(diǎn)四邊形以及類似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，利用三角形中位線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
22．（2014?涼山州）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
（1）試闡明AC=EF；
（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由于△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；
（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．
解答：
證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF
∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：
此題是首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形．
23．（2014?連云港）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為菱形；
（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請(qǐng)闡明理由．
考點(diǎn)：
矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．版權(quán)一切
專題：
幾何圖形成績(jī)．
分析：
（1）首先利用平行四邊形的判定得出四邊形DOCE是平行四邊形，進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)得出DO=CO，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出．
解答：
（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形DOCE是平行四邊形，∵矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OC=AC=BD=OD，∴四邊形OCED為菱形；
（2）解：AE=BE．
理由：∵四邊形OCED為菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE=BE．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，純熟掌握矩形的性質(zhì)進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段關(guān)系是解題關(guān)鍵．
24．（2014?樂山）如圖，在△ABC中，AB=AC，四邊形ADEF是菱形，求證：BE=CE．
考點(diǎn)：
菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
根據(jù)四邊形ADEF是菱形，得DE=EF，AB∥EF，DE∥AC可證明△DBE≌△FCE，即可得出BE=CE．
解答：
證明：∵四邊形ADEF是菱形，∴DE=EF，AB∥EF，DE∥AC，∴∠C=∠BED，∠B=∠CEF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BED=∠CEF，在△DBE和△FCE中，∴△DBE≌△FCE，∴BE=CE．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．
25．（2014?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．若AD=1，AB=2，求CE的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
矩形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義．版權(quán)一切
專題：
幾何圖形成績(jī)．
分析：
過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BH的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出CE的長(zhǎng)．
解答：
解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，則AD=HC=1，在△ABH中，∠B=30°，AB=2，∴cos30°=，即BH=ABcos30°=2×=3，∴BC=BH+HC=4，∵CE⊥AB，∴CE=BC=2．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系運(yùn)用以及直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半等知識(shí)，得出BH的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
26．（2014?黃石）如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C是的中點(diǎn)．
（1）求證：AB平分∠OAC；
（2）延伸OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）求出等邊三角形AOC和等邊△OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；
（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．
解答：
（1）證明：連接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中點(diǎn)，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等邊三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四邊形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；
（2）解：連接OC，∵△OAC是等邊三角形，OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，次要考查先生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，標(biāo)題比較典型，難度適中．
27．（2014?葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合）在BC上，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE延伸線于點(diǎn)F，連接AD，BF．
（1）求證：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求證：四邊形AFBD是矩形．
考點(diǎn)：
矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）AAS或ASA證全等；
（2）根據(jù)對(duì)角線互相平分的證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明∠ADB=90°，進(jìn)而根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得證．
解答：
證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E為AB的中點(diǎn)，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四邊形AFBD是矩形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠了解矩形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．
28．（2014?賀州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，∠1=∠2．
（1）求證：BE=DF；
（2）求證：AF∥CE．
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF，進(jìn)而得出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案．
解答：
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△ABE≌△CDF是解題關(guān)鍵．
29．（2014?菏澤）已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．
（1）若正方形的邊長(zhǎng)為a，求BM?DN的值．
（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的外形，并證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)：
正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后根據(jù)正方形的每一個(gè)角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和∠BAM+∠AMB=45°，從而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM和△NDA類似，利用類似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；
（2）過點(diǎn)A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“邊角邊”證明△AFM和△ANM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得FM=NM，再求出△FBM是直角三角形，然后利用勾股定理判斷即可．
解答：
解：（1）∵BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，∴∠CBM=∠CDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，∴∠NAD=∠AMB，在△ABM和△NDA中，∴△ABM∽△NDA，∴=，∴BM?DN=AB?AD=a2；
（2）以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．
證明如下：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，∵∠1+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，∴∠1=∠3，在△ABF和△ADN中，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，在△AFM和△ANM中，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM=NM，∴∠FBP=180°﹣∠FBA=180°﹣135°=45°，∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB=DN，F(xiàn)M=MN，∴以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理，類似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形．
30．（2014?桂林）在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF分別交線段AD、BC于點(diǎn)E、F．
（1）根據(jù)題意，畫出圖形，并標(biāo)上正確的字母；
（2）求證：DE=BF．
考點(diǎn)：
平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖．版權(quán)一切
專題：
作圖題；證明題．
分析：
（1）根據(jù)題意直接畫圖即可；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OB=OD，繼而可利用ASA，判定△DOE≌△BOF，繼而證得DE=BF．
解答：
（1）解：如圖所示：
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠OBF，在△DOE和△BOF中，∴DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．
31．（2014?貴陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，連接AF，AC．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四邊形ABCF的周長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
菱形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AE=CE，DE=EF，可判定四邊形ADCF是平行四邊形，然后證明DF⊥AC，可得四邊形ADCF是菱形；
（2）首先利用勾股定理可得AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)定義可得AD=5，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AF=FC=AD=5，進(jìn)而可得答案．
解答：
（1）證明：∵將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵D、E分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四邊形ADCF是菱形；
（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB邊上的中點(diǎn)，∴AD=5，∵四邊形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四邊形ABCF的周長(zhǎng)為8+10+5+5=28．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了菱形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
32．（2014?貴港）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CE=CD，過點(diǎn)E作EF⊥AC交AD于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：DF=AE；
（2）當(dāng)AB=2時(shí)，求BE2的值．
考點(diǎn)：
正方形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切
分析：
（1）連接CF，根據(jù)“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=EF，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=EF，然后等量代換即可得證；
（2）根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的倍求出AC，然后求出AE，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．
解答：
（1）證明：如圖，連接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF=EF，∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∴DF=AE；
（2）解：∵AB=2，∴AC=AB=2，∵CE=CD，∴AE=2﹣2，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△AEH是等腰直角三角形，∴EH=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，∴BH=2﹣（2﹣）=，在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．
33．（2014?甘孜州）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AB中點(diǎn)，連接FC，AE，且AE與FC交于點(diǎn)G，AE的延伸線與DC的延伸線交于點(diǎn)N．
（1）求證：△ABE≌△NCE；
（2）若AB=3n，F(xiàn)B=GE，試用含n的式子表示線段AN的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CN，由此可知∠B=∠ECN，再根據(jù)全等三角形的判定方法ASA即可證明△ABE≌△NCE；
（2）由于AB∥CN，所以△AFG∽△CNG，利用類似三角形的性質(zhì)和已知條件即可得到含n的式子表示線段AN的長(zhǎng)．
解答：
（1）證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CN，∴∠B=∠ECN，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE=CE，在△ABE和△NCE中，∴△ABE≌△NCE（ASA）．
（2）∵AB∥CN，∴△AFG∽△CNG，∴AF：CN=AG：GN，∵AB=CN，∴AF：AB=AG：GN，∵AB=3n，F(xiàn)為AB中點(diǎn)
∴FB=GE，∴GE=n，∴=，解得AE=3n，∴AG=2n，GE=n，EN=3n，∴AN=AG+GE+EN=2n+n+3n=6n．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及類似三角形的平和性質(zhì)，標(biāo)題的綜合性較強(qiáng)，難度中等．
34．（2014?撫順）如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點(diǎn)，且BE=BA，以點(diǎn)A為圓心、AD長(zhǎng)為半徑作⊙A交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作⊙A的切線BF，切點(diǎn)為F．
（1）請(qǐng)判斷直線BE與⊙A的地位關(guān)系，并闡明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求圖中暗影部分的面積．
考點(diǎn)：
矩形的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）直線BE與⊙A的地位關(guān)系是相切，連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，再證明AH=AD即可；
（2）連接AF，則圖中暗影部分的面積=直角三角形ABF的面積﹣扇形MAF的面積．
解答：
解：（1）直線BE與⊙A的地位關(guān)系是相切，理由如下：連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，則四邊形ADEG是矩形．
∵S△ABE=BE?AH=AB?EG，AB=BE，∴AH=EG，∵四邊形ADEG是矩形，∴AD=EG，∴AH=AD，∴BE是圓的切線；
（2）連接AF，∵BF是⊙A的切線，∴∠BFA=90°
∵BC=5，∴AF=5，∵AB=10，∴∠ABF=30°，∴∠BAF=60°，∴BF=AF=5，∴圖中暗影部分的面積=直角三角形ABF的面積﹣扇形MAF的面積=×5×5﹣=．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了矩形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、三角形和扇形面積公式的運(yùn)用以及角的銳角三角函數(shù)值，標(biāo)題的綜合性較強(qiáng)，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．
35．（2014?崇左）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是矩形．
考點(diǎn)：
中點(diǎn)四邊形；三角形中位線定理．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．
解答：
證明：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF=AC，GH=AC，∴EF=GH，同理EH=FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
又∵對(duì)角線AC、BD互相垂直，∴EF與FG垂直．
∴四邊形EFGH是矩形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進(jìn)行證明，是一道綜合題．
36．（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF，PD．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
考點(diǎn)：
菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形．版權(quán)一切
分析：
（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形和角平分線的性質(zhì)可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；
（2）作PH⊥AD于H，根據(jù)四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=，DH=5，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．
解答：
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分線，∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形．
（2）解：作PH⊥AD于H，∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記菱形的幾個(gè)判定定理，難度不大．
37．（2014?包頭）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，點(diǎn)E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的長(zhǎng)．（留意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)）
考點(diǎn)：
梯形；勾股定理．版權(quán)一切
專題：
計(jì)算題．
分析：
過點(diǎn)D作DF⊥BC，根據(jù)∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的長(zhǎng)，由于AD=1，所以BC=2+1，根據(jù)∠AEB=60°，可得BE，進(jìn)而得出CE的長(zhǎng)．
解答：
解：過點(diǎn)D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四邊形ABFD為矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；
∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了梯形的計(jì)算以及勾股定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要純熟掌握．
38．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．
考點(diǎn)：
矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定．版權(quán)一切
專題：
證明題；開放型．
分析：
（1）根據(jù)矩形的有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．
（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．
解答：
（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形．
（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．
理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形．
∴當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．
點(diǎn)評(píng)：
本題是以開放型試題，次要考查了對(duì)矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．
39．（2013?株洲）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．版權(quán)一切
分析：
（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO，對(duì)邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長(zhǎng)，再求出EF的長(zhǎng)，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．
解答：
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°，∴∠AEF=180°﹣∠DAO﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1，∴AO===，∴AE=CF=×=，∵菱形的邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，∴高EF=2×=，在Rt△CEF中，CE===．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．
40．（2013?云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．
（1）求證：四邊形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面積．
考點(diǎn)：
矩形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．版權(quán)一切
分析：
（1）利用三線合一定理可以證得∠ADB=90°，根據(jù)矩形的定義即可證得；
（2）利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)，然后利用矩形的面積公式即可求解．
解答：
解：（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四邊形ADBE是平行四邊形．
∴平行四邊形ADBE是矩形；
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中線，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD?AD=3×4=12．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了三線合一定理以及矩形的判定，理解三線合一定理是關(guān)鍵．
41．（2013?宜昌）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點(diǎn)，AE=AF，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，以AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接DE，DF．
（1）請(qǐng)你判斷所畫四邊形的外形，并闡明理由；
（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
分析：
（1）由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；
（2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長(zhǎng)．
解答：
解：（1）菱形．
理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF，∴四邊形AEDF是菱形；
（2）連接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴EF=AE=8厘米．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，留意掌握輔助線的作法，留意數(shù)形思想的運(yùn)用．
42．（2013?無錫）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個(gè)作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題．
（1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉出反例；
（2）寫出按題意構(gòu)成的一切命題中的假命題，并舉出反例加以闡明．（命題請(qǐng)寫成“如果…，那么…．”的方式）
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定；命題與定理．版權(quán)一切
分析：
（1）根據(jù)平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）根據(jù)等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可．
解答：
（1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題，證明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
（2）根據(jù)①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，那么四邊形是平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形；
根據(jù)②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果一個(gè)四邊形ABCD的對(duì)角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形，如圖，根據(jù)已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了平行四邊形的判定，類似三角形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，次要考查先生的推理能力和辨析能力，標(biāo)題比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的標(biāo)題．
43．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延伸到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE．
（1）求證：四邊形AEBD是矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并闡明理由．
考點(diǎn)：
矩形的判定；正方形的判定．版權(quán)一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可．
解答：
（1）證明：∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延伸到點(diǎn)E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AEBD是矩形；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，純熟掌握正方形和矩形的判定是解題關(guān)鍵．
44．（2013?深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點(diǎn)O，延伸BC到E，使得CE=AD，連接DE．
（1）求證：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
等腰梯形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
分析：
（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四邊形ACED是平行四邊形，即可證得AC=DE，又由等腰梯形的性質(zhì)，可得AC=BD，即可證得結(jié)論；
（2）首先過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，可證得△BDE是等腰直角三角形，由SABCD=16，可求得BD的長(zhǎng)，繼而求得答案．
解答：
（1）證明：∵AD∥BC，CE=AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC=DE，∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∴BD=DE．
（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=3，AC∥DE，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，∵BD=DE，∴S△BDE=BD?DE=BD2=BE?DF=（BC+CE）?DF=（BC+AD）?DF=S梯形ABCD=16，∴BD=4，∴BE=BD=8，∴DF=BF=EF=BE=4，∴CF=EF﹣CE=1，∴由勾股定理得AB=CD==．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意數(shù)形思想的運(yùn)用．
45．（2013?上海）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延伸線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=EF；
（2）連結(jié)CD，過點(diǎn)D作DC的垂線交CF的延伸線于點(diǎn)G，求證：∠B=∠A+∠DGC．
考點(diǎn)：
菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．版權(quán)一切
分析：
（1）首先證明四邊形DBCF為平行四邊形，可得DF=BC，再證明DE=BC，進(jìn)而得到EF=CB，即可證出DE=EF；
（2）首先畫出圖形，首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADG=∠G，再證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．
解答：
證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四邊形DBCF為平行四邊形，∴DF=BC，∵D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；
（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點(diǎn)，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
46．（2013?欽州）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形．
考點(diǎn)：
等腰梯形的判定．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
由AB∥DE，∠DEC=∠C，易證得∠B=∠C，又由同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形，即可證得結(jié)論．
解答：
證明：∵AB∥DE，∴∠DEC=∠B，∵∠DEC=∠C，∴∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了等腰梯形的判定．此題比較簡(jiǎn)單，留意掌握同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形定理的運(yùn)用，留意數(shù)形思想的運(yùn)用．
47．（2013?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
考點(diǎn)：
正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
解答：
證明：（1）∵對(duì)角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°
∴PM=MD，∴四邊形MPND是正方形．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定．
48．（2013?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求證：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
等腰梯形的性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形類似，即可證得：△APB∽△PEC；
（2）首先過點(diǎn)A作AF∥CD交BC于點(diǎn)F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據(jù)類似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
解答：
（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°，∵∠APC=∠B+∠BAP，即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∵∠APE=∠B，∴∠BAP=∠EPC，∴△APB∽△PEC；
（2）解：過點(diǎn)A作AF∥CD交BC于點(diǎn)F，∵AD∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠AFB=∠C=∠B=60°，∴△ABF為等邊三角形，∴CF=AD=3，AB=BF=7﹣3=4，∵△APB∽△PEC，∴，設(shè)BP=x，則PC=7﹣x，∵EC=3，AB=4，∴，解得：x1=3，x2=4，經(jīng)檢驗(yàn)：x1=3，x2=4是原分式方程的解，∴BP的長(zhǎng)為：3或4．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、類似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意數(shù)形思想與方程思想的運(yùn)用．
49．（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．
考點(diǎn)：
菱形的性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得OD=OB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=OB，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠OHB=∠OBH，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根據(jù)等角的余角相等證明即可．
解答：
證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=BD=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
50．（2013?防城港）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點(diǎn)E，AF的延伸線與BC的延伸線交于點(diǎn)G，M，N分別是BG，DF的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長(zhǎng)和寬．
考點(diǎn)：
直角梯形；矩形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題；壓軸題．
分析：
（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠DAF=∠EDF=45°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BGE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據(jù)矩形的判定證明即可；
（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)梯形的面積求出CD的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DN，即可得解．
解答：
（1）證明：∵點(diǎn)A、F關(guān)于BD對(duì)稱，∴AD=DF，DE⊥AF，又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴∠DAF=∠EDF=45°，∵AD∥BC，∴∠G=∠GAD=45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∵M(jìn)，N分別是BG，DF的中點(diǎn)，∴EM⊥BC，EN⊥CD，又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD，∴四邊形EMCN是矩形；
（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=CD，∴S梯形ABCD=（AD+BC）?CD=（2+CD）?CD=，即CD2+2CD﹣15=0，解得CD=3，CD=﹣5（舍去），∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2，∵N是DF的中點(diǎn)，∴EN=DN=DF=×2=1，∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，∴矩形EMCN的長(zhǎng)和寬分別為2，1．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了直角梯形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，純熟掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)判斷出相關(guān)的等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
51．（2013?鄂爾多斯）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．
（1）求證：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
探求型．
分析：
（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可；
（2）如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長(zhǎng)．
解答：
（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE；
（2）解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=BH=AH，同理：CD=CK=KD，∵S梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD==，而S△ABE=S△DCF=a2，∴=2×a2，∴BC=a．
點(diǎn)評(píng)：
本題綜合性的考查了等腰梯形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及等于直角三角形的性質(zhì)和梯形、三角形的面積公式，屬于中檔標(biāo)題．
52．（2013?朝陽(yáng)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，過點(diǎn)A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形AECD是菱形．
（2）在（1）的條件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以點(diǎn)A為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫弧交BE于點(diǎn)F，連接AF，在圖中，用尺規(guī)補(bǔ)齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．
考點(diǎn)：
梯形；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；作圖—復(fù)雜作圖．版權(quán)一切
分析：
（1）由AD∥BC，AE∥DC，可證得四邊形AECD是平行四邊形，又由AD=CD，即可證得四邊形AECD是菱形．
（2）由∠B=30°，AE⊥AB，AE=AF，易得△AEF是等邊三角形，繼而證得△ABF是等腰三角形，則可證得BF=AF=EF，即可得點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．
解答：
證明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形AECD是菱形．
（2）補(bǔ)齊圖形：
證明：∵∠B=30°，AE⊥AB，∴∠AEB=60°，∵AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴AF=EF，∠EAF=60°，∴∠BAF=90°﹣∠EAF=30°，∴∠BAF=∠B，∴AF=BF，∴BF=EF，即點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．
53．（2013?鞍山）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求證：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四邊形ABCD是平行四邊形．
考點(diǎn)：
平行四邊形的判定；全等三角形的判定．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）利用兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易證明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易證明AD=BC且AD∥BC，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
解答：
證明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．
∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四邊形的判定，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
54．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點(diǎn)，∠BDE=∠DBC．
（1）求證：DE=EC；
（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的外形，并闡明理由．
考點(diǎn)：
梯形；直角三角形的性質(zhì)；菱形的判定．版權(quán)一切
分析：
（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角對(duì)等邊，即可證得DE=EC；
（2）易證得AD=BE，AD∥BC，即可得四邊形ABED是平行四邊形，又由BE=DE，即可得四邊形ABED是菱形．
解答：
（1）證明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，∴∠EDC=∠BDC﹣∠BDE=90°﹣∠BDE，又∵∠C=90°﹣∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；
（2）若AD=BC，則四邊形ABED是菱形．
證明：∵∠BDE=∠DBC．
∴BE=DE，∵DE=EC，∴DE=BE=EC=BC，∵AD=BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵BE=DE，∴?ABED是菱形．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，留意數(shù)形思想的運(yùn)用．
55．（2012?襄陽(yáng)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點(diǎn)，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點(diǎn)F．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）當(dāng)AB與AC具有什么地位關(guān)系時(shí)，四邊形AECD是菱形？請(qǐng)闡明理由，并求出此時(shí)菱形AECD的面積．
考點(diǎn)：
等腰梯形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
分析：
（1）由AD∥BC，由平行線的性質(zhì)，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，繼而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形；過A作AG⊥BE于點(diǎn)G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長(zhǎng)，繼而求得菱形AECD的面積．
解答：
（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）當(dāng)AB⊥AC時(shí)，四邊形AECD是菱形．
證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．
∴ABED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴平行四邊形AECD是菱形．
過A作AG⊥BE于點(diǎn)G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC?AG=2×=2．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了等腰梯形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，留意數(shù)形思想的運(yùn)用．
56．（2012?湘西州）如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，CD=5cm，OD=3cm；
過點(diǎn)C作CE∥DB，過點(diǎn)B作BE∥AC，CE與BE相交于點(diǎn)E．
（1）求OC的長(zhǎng)；
（2）求證：四邊形OBEC為矩形；
（3）求矩形OBEC的面積．
考點(diǎn)：
矩形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
幾何圖形成績(jī)．
分析：
（1）在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；
（2）利用矩形的定義即可證明；
（3）利用矩形的面積公式即可直接求解．
解答：
解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC===4cm；
（2）∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四邊形OBEC為矩形；
（3）∵OB=0D，∴S矩形OBEC=OB?OC=4×3=12（cm2）．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的判定，理解菱形的對(duì)角線的關(guān)系是關(guān)鍵．
57．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．
（1）求證：△ABE≌△CDA；
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數(shù)．
考點(diǎn)：
梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
證明題．
分析：
（1）先根據(jù)題意得出∠ABE=∠CDA，然后題意條件利用SAS可判斷三角形的全等；
（2）根據(jù)題意可分別求出∠AEC及∠ACE的度數(shù)，在△AEC中利用三角形的內(nèi)角和定理即可得出答案．
解答：
（1）證明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA
在△ABE和△CDA中，∴△ABE≌△CDA．
（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°．
點(diǎn)評(píng)：
此題考查了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)梯形及題意條件得出一些線段之間的關(guān)系，留意所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通．
58．（2012?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．
（1）求證：DE=DF；
（2）當(dāng)∠A=90°時(shí)，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)：
正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）利用“HL”證明Rt△BDF≌Rt△CDE，即可得到DE=DF；
（2）由已知可證明它是矩形，由于有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方形．
解答：
（1）證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE=DF；
（2）答：四邊形AFDE是正方形．
證明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四邊形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四邊形AFDE是正方形．
點(diǎn)評(píng)：
此題次要考查先生對(duì)全等三角形的判定和性質(zhì)及正方形的判定方法的掌握情況．
59．（2012?鄂爾多斯）已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延伸線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．
（1）求證：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：
直角梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）由直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC，AE=AC，根據(jù)AAS易證得△ABC≌△AFE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得AB=AF，繼而可得FC=BE；
（2）利用等腰三角形的三線合一定理可得AF=AC=AE，進(jìn)而求得一些角是30°，次要利用AD長(zhǎng)，直角三角形勾股定理來求解即可求得答案．
解答：
（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ABC=∠AFE．
∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．
∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；
（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．
∴AG=CG，∠E=30°．
∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．
點(diǎn)評(píng)：
本題考查直角梯形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定．此題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)．打破此題的關(guān)鍵在于問證得△ABC≌△AFE，第二問利用等腰△ADC的性質(zhì)得AF=AC=AE．從而得出∠E=30°，留意數(shù)形思想的運(yùn)用．
60．（2012?濱州）我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似的，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，那么EF就是梯形ABCD的中位線．經(jīng)過觀察、測(cè)量，猜想EF和AD、BC有怎樣的地位和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)：
梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．版權(quán)一切
專題：
探求型．
分析：
連接AF并延伸交BC于點(diǎn)G，則△ADF≌△GCF，可以證得EF是△ABG的中位線，利用三角形的中位線定理即可證得．
解答：
解：結(jié)論為：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下：
連接AF并延伸交BC于點(diǎn)G．
∵AD∥BC，∴∠DAF=∠G，在△ADF和△GCF中，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AF=FG，AD=CG．
又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=BG，即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
點(diǎn)評(píng)：
本題猜想并且證明了梯形的中位線定理，經(jīng)過輔助線轉(zhuǎn)化成三角形的中位線的成績(jī)．
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