【中考數(shù)學(xué)】三角形：精選真題專項(xiàng)打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?重慶）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E．在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME．

求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE=DN．

2．（2014?張家界）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF．

（1）證明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

（3）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

3．（2014?湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進(jìn)度，想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工．為了使山的另一側(cè)的開(kāi)挖點(diǎn)C在AB的延伸線上，設(shè)想過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線L，過(guò)點(diǎn)B作不斷線（在山的旁邊），與L相交于D點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量∠ABD=135°，BD=800米，求直線L上距離D點(diǎn)多遠(yuǎn)的C處開(kāi)挖？（≈1.414，到1米）

4．（2014?西寧）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖．

（1）求證：△ADC≌△CEB；

（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）．

5．（2014?溫州）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延伸線于點(diǎn)F．

（1）求∠F的度數(shù)；

（2）若CD=2，求DF的長(zhǎng)．

6．（2014?溫州）勾股定理奧秘而美好，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，上面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．

證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．

∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成上面的證明．

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．

求證：a2+b2=c2

證明：連結(jié)

∵S五邊形ACBED=

又∵S五邊形ACBED=

∴

∴a2+b2=c2．

7．（2014?）如圖，四邊形ABCD中，E點(diǎn)在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．請(qǐng)殘缺闡明為何△ABC與△DEC全等的理由．

8．（2014?遂寧）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

sin2A1+sin2B1=　　　　　　；sin2A2+sin2B2=　　　　　??；sin2A3+sin2B3=　　　　　?。?/p>

（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　　　　　?。?/p>

（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想．

（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．

9．（2014?邵陽(yáng)）如圖，已知點(diǎn)A、F、E、C在同不斷線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）從圖中任找兩組全等三角形；

（2）從（1）中任選一組進(jìn)行證明．

10．（2014?南京）【成績(jī)提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研討．

【初步考慮】

我們不妨將成績(jī)用符號(hào)言語(yǔ)表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探求．

【深入探求】

種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．

11．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連結(jié)MN，與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，連結(jié)AE，則：

（1）∠ADE=　　　　　　°；

（2）AE　　　　　　EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）當(dāng)AB=3，AC=5時(shí)，△ABE的周長(zhǎng)=　　　　　?。?/p>

12．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，且CD=CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)M，連接AM．

（1）求證：EF=AC．

（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數(shù)量關(guān)系．

13．（2014?吉林）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．

14．（2014?黃石）小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車”曾經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下成績(jī)：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B，如今可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站B．設(shè)AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．請(qǐng)你協(xié)助小明處理以下成績(jī)：

（1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)=4.6）

（2）若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短工夫到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車？請(qǐng)闡明理由．（不計(jì)候車工夫）

15．（2014?衡陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F．

求證：△BED≌△CFD．

16．（2014?菏澤）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過(guò)D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求線段DE的長(zhǎng)．

（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

17．（2014?菏澤）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D，連接DC并延伸交AB的延伸線于點(diǎn)E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若=，求cos∠ABC的值．

18．（2014?德州）成績(jī)背景：

如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探求圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

小王同窗探求此成績(jī)的方法是，延伸FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是　　　　　??；

探求延伸：

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論能否仍然成立，并闡明理由；

實(shí)踐運(yùn)用：

如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮的距離相等，接到舉動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

19．（2013?淄博）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．

20．（2013?云南）如圖，點(diǎn)B在AE上，點(diǎn)D在AC上，AB=AD．請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個(gè)）．

（1）你添加的條件是　　　　　?。?/p>

（2）添加條件后，請(qǐng)闡明△ABC≌△ADE的理由．

21．（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的長(zhǎng)；

（2）求△ADB的面積．

22．（2013?仙桃）如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點(diǎn)M，BC與ED，AD分別交于點(diǎn)F，N．請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對(duì)加以證明．

23．（2013?天水）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積．

24．（2013?隨州）如圖，點(diǎn)F、B、E、C在同不斷線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請(qǐng)給出證明；如果不能，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明．

提供的三個(gè)條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

25．（2013?寧德）如圖，點(diǎn)D、A、C在同不斷線上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求證：△ABC≌△CDE．

26．（2013?荊州）如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結(jié)BE．請(qǐng)找出一對(duì)全等三角形，并闡明理由．

27．（2013?杭州）（1）先求解下列兩題：

①如圖①，點(diǎn)B，D在射線AM上，點(diǎn)C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數(shù)；

②如圖②，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)都是3，且BC=2，點(diǎn)D在AC上，且橫坐標(biāo)為1，若反比例函數(shù)的圖象點(diǎn)B，D，求k的值．

（2）解題后，你發(fā)現(xiàn)以上兩小題有什么共同點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)單地寫出．

28．（2013?貴陽(yáng)）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探求△ABC的外形（按角分類）．

（1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為　　　　　　三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為　　　　　　三角形．

（2）猜想，當(dāng)a2+b2　　　　　　c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2　　　　　　c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形．

（3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，△ABC的外形，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍．

29．（2013?佛山）課本指出：公認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需求經(jīng)過(guò)推理的方法證明．

（1）敘說(shuō)三角形全等的判定方法中的推論AAS；

（2）證明推論AAS．

要求：敘說(shuō)推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號(hào)表達(dá)已知、求證，并證明，證明對(duì)各步驟要注明根據(jù)．

30．（2013?防城港）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求證：△ABC≌△AED．

31．（2013?鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說(shuō)：“這樓最少20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒(méi)有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說(shuō)：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說(shuō)：“沒(méi)成績(jī)！讓我們來(lái)量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn)，測(cè)量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點(diǎn)在同不斷線上）問(wèn)：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計(jì)算，你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢？請(qǐng)闡明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

32．（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）證明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)k=4時(shí)，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時(shí)，S有值？并求出S的值．

33．（2013?朝陽(yáng)）某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學(xué)興味小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過(guò)河就測(cè)得河的寬度，他們是這樣做的：

①在河流的一條岸邊B點(diǎn)，選對(duì)岸正對(duì)的一顆樹A；

②沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達(dá)D處；

③從D處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處中止行走；

④測(cè)得DE的長(zhǎng)就是河寬AB．

請(qǐng)你證明他們做法的正確性．

34．（2013?包頭）如圖，一根長(zhǎng)6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當(dāng)木棒A端沿墻下滑至點(diǎn)A′時(shí)，B端沿地面向右滑行至點(diǎn)B′．

（1）求OB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)AA′=1米時(shí)，求BB′的長(zhǎng)．

35．（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延伸線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相反的速度由B向CB延伸線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)能否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)闡明理由．

36．（2012?珠海）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．

（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的外形．（只寫結(jié)果）

37．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求證：AB=BC；

（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE=AE+CD．

38．（2012?益陽(yáng)）如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求證：AB=AC．

39．（2012?湘潭）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F．

（1）猜想AC與BD的地位關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）求線段BD的長(zhǎng)．

40．（2012?梧州）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AD延伸線上的一點(diǎn)，且CE=CD．

求證：∠B=∠E．

41．（2012?紹興）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．

舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心．

運(yùn)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數(shù)．

探求：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探求PA的長(zhǎng)．

42．（2012?南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角．

（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=　　　　　　°；

②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數(shù)；

（2）已知O2是⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心作一個(gè)圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探求∠APB與∠MAN、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．

43．（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過(guò)程如下：

如圖①，連接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如圖②，P為BC延伸線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=　　　　　　．點(diǎn)P到AB邊的距離PE=　　　　　?。?/p>

44．（2012?黃岡）

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，連接BE，則∠EBC的度數(shù)為　　　　　?。?/p>

45．（2012?淮安）如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度數(shù)．

46．（2012?河池）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)和線段EF的端點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．

（1）填空：tanA=，AC=（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）請(qǐng)你在圖中找出一點(diǎn)D（僅一個(gè)點(diǎn)即可），連接DE、DF，使以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，并加以證明．

47．（2012?撫順）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點(diǎn)D是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，并以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E恰好在線段BC上時(shí)，請(qǐng)判斷線段DE和BE的數(shù)量關(guān)系，并圖①證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)E不在直線BC上時(shí)，連接BE，其它條件不變，（1）中結(jié)論能否成立？若成立，請(qǐng)圖②給予證明；若不成立，請(qǐng)直接寫出新的結(jié)論；

（3）若AC=3，點(diǎn)D在直線BC上挪動(dòng)的過(guò)程中，能否存在以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)闡明理由．

48．（2012?鄂州）小明是一位善于考慮的先生，在數(shù)學(xué)課上，他將一副直角三角板如圖地位擺放，A、B、D在同不斷線上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，試求BD的長(zhǎng)．

49．（2012?大慶）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3個(gè)單位，若點(diǎn)P由A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，次回到點(diǎn)A處中止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=S，用t表示運(yùn)動(dòng)工夫．

（1）當(dāng)點(diǎn)P由B到C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，用t表示S；

（2）當(dāng)t取何值時(shí)，S等于（求出一切的t值）；

（3）根據(jù)（2）中t的取值，直接寫出在哪些時(shí)段AP？

50．（2012?常州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF．求證：AE=AF．

51．（2011?株洲）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．

（1）求∠ECD的度數(shù)；

（2）若CE=5，求BC長(zhǎng)．

52．（2011?棗莊）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：

（1）畫線段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；

（2）線段AC的長(zhǎng)為，CD的長(zhǎng)為，AD的長(zhǎng)為　　　　　??；

（3）△ACD為　　　　　　三角形，四邊形ABCD的面積為　　　　　?。?/p>

（4）若E為BC中點(diǎn)，則tan∠CAE的值是　　　　　　．

53．（2011?隨州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長(zhǎng)．

54．（2011?沈陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度數(shù)；

（2）求證：DC=AB．

55．（2011?青海）認(rèn)真閱讀上面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探求片段，完成所提出的成績(jī)．

探求1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探求2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)闡明理由．

探求3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）

結(jié)論：　　　　　?。?/p>

56．（2011?寧波）閱讀上面的情景對(duì)話，然后解答成績(jī)：

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE=AD，CB=CE．

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．

57．（2011?牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長(zhǎng)．

58．（2011?梅州）如圖1，已知線段AB的長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．

（1）當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時(shí)，AP=　　　　　　；（直接寫結(jié)果）

（2）連接AD、BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC=α，那么α的大小能否會(huì)隨點(diǎn)P的挪動(dòng)面變化？請(qǐng)闡明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時(shí)α的大小能否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

59．（2011?連云港）某課題研討小組就圖形面積成績(jī)進(jìn)行專題研討，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

（1）有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于這條邊上的對(duì)應(yīng)高之比；

（2）有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；

…

現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)對(duì)上面成績(jī)進(jìn)行探求，探求過(guò)程可直接運(yùn)用上述結(jié)論．（S表示面積）

成績(jī)1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．經(jīng)探求知=S△ABC，請(qǐng)證明．

成績(jī)2：若有另一塊三角形紙板，可將其與成績(jī)1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請(qǐng)?zhí)角笈cS四邊形ABCD之間的數(shù)量關(guān)系．

成績(jī)3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求．

成績(jī)4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個(gè)部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請(qǐng)直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個(gè)等式．

60．（2011?樂(lè)山）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數(shù)．

中考數(shù)學(xué)提分沖刺真題精析：三角形

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?重慶）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E．在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME．

求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE=DN．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．版權(quán)一切

專題：

證明題；幾何綜合題．

分析：

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

（2）①過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；

②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．

解答：

證明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；

（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；

②由題意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于一問(wèn)根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角．

2．（2014?張家界）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點(diǎn)，OC=OA，若E是CD上任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF．

（1）證明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

（3）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；開(kāi)放型．

分析：

（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF．

（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對(duì)稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，由于OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)勾股定理全等AB長(zhǎng)，進(jìn)而求得四邊形的面積．

（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進(jìn)而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答：

（1）證明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是軸對(duì)稱圖形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4×2=8．

（3）當(dāng)EB⊥CD時(shí)，即E為過(guò)B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．

3．（2014?湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進(jìn)度，想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工．為了使山的另一側(cè)的開(kāi)挖點(diǎn)C在AB的延伸線上，設(shè)想過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線L，過(guò)點(diǎn)B作不斷線（在山的旁邊），與L相交于D點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量∠ABD=135°，BD=800米，求直線L上距離D點(diǎn)多遠(yuǎn)的C處開(kāi)挖？（≈1.414，到1米）

考點(diǎn)：

勾股定理的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績(jī)．

分析：

首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：

解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（米），答：直線L上距離D點(diǎn)566米的C處開(kāi)挖．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了勾股定理的運(yùn)用，在運(yùn)用勾股定理處理實(shí)踐成績(jī)時(shí)勾股定理與方程的是處理實(shí)踐成績(jī)常用的方法，關(guān)鍵是從題中籠統(tǒng)出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出精確的表示圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形的思想的運(yùn)用．

4．（2014?西寧）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖．

（1）求證：△ADC≌△CEB；

（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請(qǐng)你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小（每塊磚的厚度相等）．

考點(diǎn)：

全等三角形的運(yùn)用；勾股定理的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績(jī)．

分析：

（1）根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．

（2）由題意得：AD=4a，BE=3a，根據(jù)全等可得DC=BE=3a，根據(jù)勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．

解答：

（1）證明：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）解：由題意得：

∵一塊墻磚的厚度為a，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墻磚塊的厚度a為5cm．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了全等三角形的運(yùn)用，以及勾股定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．

5．（2014?溫州）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延伸線于點(diǎn)F．

（1）求∠F的度數(shù)；

（2）若CD=2，求DF的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績(jī)．

分析：

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；

（2）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形．

∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，30度的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．

6．（2014?溫州）勾股定理奧秘而美好，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，上面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．

證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．

∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．

又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）

∴b2+ab=c2+a（b﹣a）

∴a2+b2=c2

請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成上面的證明．

將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．

求證：a2+b2=c2

證明：連結(jié)　BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED=　S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED=　S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴　ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．

考點(diǎn)：

勾股定理的證明．版權(quán)一切

專題：

推理填

空

題．

分析：

首先連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，表示出S五邊形ACBED，進(jìn)而得出答案．

解答：

證明：連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了勾股定理得證明，表示出五邊形面積是解題關(guān)鍵．

7．（2014?）如圖，四邊形ABCD中，E點(diǎn)在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．請(qǐng)殘缺闡明為何△ABC與△DEC全等的理由．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

根據(jù)∠BCE=∠ACD=90°，可得∠3=∠5，又根據(jù)∠BAE=∠1+∠2=90°，∠2+∠D=90°，可得∠1=∠D，繼而根據(jù)AAS可判定△ABC≌△DEC．

解答：

解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

8．（2014?遂寧）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

sin2A1+sin2B1=　1??；sin2A2+sin2B2=　1??；sin2A3+sin2B3=　1　．

（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　1?。?/p>

（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想．

（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．

考點(diǎn)：

勾股定理；互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；規(guī)律型．

分析：

（1）由前面的結(jié)論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=，si=，則sin2A+sin2B=，再根據(jù)勾股定理得到a2+b2=c2，從而證明sin2A+sin2B=1；

（3）利用關(guān)系式sin2A+sin2B=1，已知條件sinA=，進(jìn)行求解．

解答：

解：（1）由圖可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；

sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；

sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．

觀察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．

（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．

∵sinA=，si=，∴sin2A+sin2B=，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1．

（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴si==．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了在直角三角形中互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡(jiǎn)單．

9．（2014?邵陽(yáng)）如圖，已知點(diǎn)A、F、E、C在同不斷線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）從圖中任找兩組全等三角形；

（2）從（1）中任選一組進(jìn)行證明．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據(jù)標(biāo)題所給條件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）根據(jù)AB∥CD可得∠1=∠2，根據(jù)AF=CE可得AE=FC，然后再證明△ABE≌△CDF即可．

解答：

解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；

（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

10．（2014?南京）【成績(jī)提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研討．

【初步考慮】

我們不妨將成績(jī)用符號(hào)言語(yǔ)表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探求．

【深入探求】

種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)　HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若　∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖—運(yùn)用與設(shè)計(jì)作圖．版權(quán)一切

專題：

壓軸題；探求型．

分析：

（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延伸線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延伸線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；

（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；

（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．

解答：

（1）解：HL；

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延伸線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延伸線于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如圖，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．

故答案為：（1）HL；（4）∠B≥∠A．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用與設(shè)計(jì)作圖，純熟掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真細(xì)心．

11．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，連結(jié)MN，與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，連結(jié)AE，則：

（1）∠ADE=　90　°；

（2）AE　=　EC；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）當(dāng)AB=3，AC=5時(shí)，△ABE的周長(zhǎng)=　7?。?/p>

考點(diǎn)：

線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績(jī)．

分析：

（1）由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，故可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：

解：（1）∵由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，∴∠ADE=90°．

故答案為：90°；

（2）∵M(jìn)N是線段AC的垂直平分線，∴AE=EC．

故答案為：=；

（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵AE=CE，∴△ABE的周長(zhǎng)=AB+BC=3+4=7．

故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

12．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，且CD=CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)M，連接AM．

（1）求證：EF=AC．

（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數(shù)量關(guān)系．

考點(diǎn)：

直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE⊥BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=AC；

（2）判斷出△AEC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代換即可得解．

解答：

（1）證明：∵CD=CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∴CE⊥BD，∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，∴EF=AC；

（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）判斷出EF垂直平分AC．

13．（2014?吉林）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

根據(jù)∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根據(jù)全等的條件可得出結(jié)論．

解答：

證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC（SAS）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定，判斷三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法HL．

14．（2014?黃石）小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車”曾經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下成績(jī)：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B，如今可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站B．設(shè)AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．請(qǐng)你協(xié)助小明處理以下成績(jī)：

（1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)=4.6）

（2）若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短工夫到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車？請(qǐng)闡明理由．（不計(jì)候車工夫）

考點(diǎn)：

勾股定理的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績(jī)．

分析：

（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延伸線于E點(diǎn)，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可；

（2）分別求得乘車工夫，然后比較即可得到答案．

解答：

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延伸線于E點(diǎn)，∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；

（2）乘客車需工夫（小時(shí)）；

乘列車需工夫（小時(shí)）；

∴選擇城際列車．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形．

15．（2014?衡陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E、F．

求證：△BED≌△CFD．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據(jù)AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．

解答：

證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

16．（2014?菏澤）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過(guò)D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求線段DE的長(zhǎng)．

（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

考點(diǎn)：

等腰三角形的判定與性質(zhì)；分式的化簡(jiǎn)求值；平行線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．版權(quán)一切

分析：

（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．

（2）化簡(jiǎn)當(dāng)前，用全體思想代入即可得到答案．

解答：

解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．

（2）原式=

=

∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，原式=

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的運(yùn)用，關(guān)鍵是求出DE=BE=AE．學(xué)會(huì)用全體思想解答有關(guān)成績(jī)是我們學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．

17．（2014?菏澤）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D，連接DC并延伸交AB的延伸線于點(diǎn)E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若=，求cos∠ABC的值．

考點(diǎn)：

勾股定理；切線的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）如圖，連接OC．欲證DE是⊙O的切線，只需證得OC⊥DE；

（2）由=，可設(shè)CE=2k（k＞0），則DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．則tan∠E==．所以在Rt△OCE中，tan∠E==．

在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．

解答：

（1）證明：如圖，連接OC．

∵AD是過(guò)點(diǎn)A的切線，AB是⊙O的直徑，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．

∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵OC=OB，∴∠2=∠4．

∴∠1=∠3．

在△COD和△AOD中，∴△COD≌△AOD（SAS）

∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于點(diǎn)C．

∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；

（2）解：由=，可設(shè)CE=2k（k＞0），則DE=3k，∴AD=DC=k．

∴在Rt△DAE中，AE==2k．

∴tan∠E==．

∵在Rt△OCE中，tan∠E==．

∴=，∴OC=OA=．

∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了切線的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．

18．（2014?德州）成績(jī)背景：

如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探求圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

小王同窗探求此成績(jī)的方法是，延伸FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是　EF=BE+DF　；

探求延伸：

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論能否仍然成立，并闡明理由；

實(shí)踐運(yùn)用：

如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮的距離相等，接到舉動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

壓軸題；探求型．

分析：

成績(jī)背景：根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答；

探求延伸：延伸FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可；

實(shí)踐運(yùn)用：連接EF，延伸AE、BF相交于點(diǎn)C，然后求出∠EAF=∠AOB，判斷出符合探求延伸的條件，再根據(jù)探求延伸的結(jié)論解答即可．

解答：

解：成績(jī)背景：EF=BE+DF；

探求延伸：EF=BE+DF仍然成立．

證明如下：如圖，延伸FD到G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；

實(shí)踐運(yùn)用：如圖，連接EF，延伸AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探求延伸中的條件，∴結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂成績(jī)背景的求解思緒，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．

19．（2013?淄博）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．

考點(diǎn)：

等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

根據(jù)AD∥BC，可求證∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代換可求證∠ABD=∠ADB，然后即可得出結(jié)論．

解答：

證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查先生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，此題很簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題．

20．（2013?云南）如圖，點(diǎn)B在AE上，點(diǎn)D在AC上，AB=AD．請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個(gè)）．

（1）你添加的條件是　∠C=∠E?。?/p>

（2）添加條件后，請(qǐng)闡明△ABC≌△ADE的理由．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

開(kāi)放型．

分析：

（1）可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；

（2）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可．

解答：

解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，綜上所述，可以添加的條件為∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；

故答案為：∠C=∠E；

（2）選∠C=∠E為條件．

理由如下：在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．

點(diǎn)評(píng)：

本題次要考查了全等三角形的判定，開(kāi)放型標(biāo)題，根據(jù)不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相反．

21．（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的長(zhǎng)；

（2）求△ADB的面積．

考點(diǎn)：

角平分線的性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE，代入求出即可；

（2）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算△ADB的面積．

解答：

解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面積為S△ADB=AB?DE=×10×3=15．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，留意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．

22．（2013?仙桃）如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點(diǎn)M，BC與ED，AD分別交于點(diǎn)F，N．請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對(duì)加以證明．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

分析：

找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來(lái)，選擇一組證明即可．

解答：

解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．

選擇△AEM≌△ACN，理由如下：

∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，∵在△AEM和△ACN中，∴△AEM≌△ACN（ASA）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)；判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

23．（2013?天水）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積．

考點(diǎn)：

勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權(quán)一切

分析：

利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出EH=DH=1，進(jìn)而得出再利用直角三角形中30°所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)，求出AC，AB的長(zhǎng)即可得出四邊形ABCD的面積．

解答：

解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四邊形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了解直角三角形和三角形面積求法，根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形進(jìn)而得出直角邊的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．

24．（2013?隨州）如圖，點(diǎn)F、B、E、C在同不斷線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請(qǐng)給出證明；如果不能，請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明．

提供的三個(gè)條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

分析：

由BF=CE可得EF=CB，再有條件∠ABC=∠DEF不能證明△ABC≌△DEF；可以加上條件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF．

解答：

解：不能；

選擇條件：①AB=DE；

∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS）．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

25．（2013?寧德）如圖，點(diǎn)D、A、C在同不斷線上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求證：△ABC≌△CDE．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據(jù)AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上條件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理證明三角形全等．

解答：

證明：∵AB∥CE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（ASA）．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

26．（2013?荊州）如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結(jié)BE．請(qǐng)找出一對(duì)全等三角形，并闡明理由．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定；等腰直角三角形．版權(quán)一切

分析：

分析

根據(jù)等角的余角相等可得出∠ACD=∠BCE，CA=CB，CD=CE，可證明△ACD≌△BCE．

解答：

解：△ACD≌△BCE．

證明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE．

∵△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB，CD=CE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定定理．

27．（2013?杭州）（1）先求解下列兩題：

①如圖①，點(diǎn)B，D在射線AM上，點(diǎn)C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數(shù)；

②如圖②，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)都是3，且BC=2，點(diǎn)D在AC上，且橫坐標(biāo)為1，若反比例函數(shù)的圖象點(diǎn)B，D，求k的值．

（2）解題后，你發(fā)現(xiàn)以上兩小題有什么共同點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)單地寫出．

考點(diǎn)：

等腰三角形的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）①根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，計(jì)算即可求解；

②先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)AC∥x軸可得點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)相反，從而表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

（2）從數(shù)學(xué)思想上考慮解答．

解答：

解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；

②∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=圖象上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)都是3，∴點(diǎn)B（3，），∵BC=2，∴點(diǎn)C（3，+2），∵AC∥x軸，點(diǎn)D在AC上，且橫坐標(biāo)為1，∴D（1，+2），∵點(diǎn)D也在反比例函數(shù)圖象上，∴+2=k，解得，k=3；

（2）用已知的量經(jīng)過(guò)關(guān)系去表達(dá)未知的量，運(yùn)用轉(zhuǎn)換的思想和方法．（開(kāi)放題）

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是基礎(chǔ)題．

28．（2013?貴陽(yáng)）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探求△ABC的外形（按角分類）．

（1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為　銳角　三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為　鈍角　三角形．

（2）猜想，當(dāng)a2+b2?。尽2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2?。肌2時(shí)，△ABC為鈍角三角形．

（3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，△ABC的外形，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍．

考點(diǎn)：

勾股定理的逆定理；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時(shí)的斜邊的值，然后作出判斷即可；

（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算作出判斷即可；

（3）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長(zhǎng)邊c點(diǎn)的值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．

解答：

解：（1）兩直角邊分別為6、8時(shí)，斜邊==10，∴△ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，△ABC為銳角三角形；

當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，△ABC為鈍角三角形；

故答案為：銳角；鈍角；

（2）當(dāng)a2+b2＞c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；

當(dāng)a2+b2＜c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形；

故答案為：＞；＜；

（3）∵c為最長(zhǎng)邊，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴當(dāng)4≤c＜2時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形；

②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴當(dāng)c=2時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形；

③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴當(dāng)2＜c＜6時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂標(biāo)題信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí)的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

29．（2013?佛山）課本指出：公認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需求經(jīng)過(guò)推理的方法證明．

（1）敘說(shuō)三角形全等的判定方法中的推論AAS；

（2）證明推論AAS．

要求：敘說(shuō)推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號(hào)表達(dá)已知、求證，并證明，證明對(duì)各步驟要注明根據(jù)．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定；命題與定理．版權(quán)一切

分析：

（1）兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的判斷定理ASA來(lái)證明．

解答：

解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

（2）已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．

求證：△ABC≌△DEF．

證明：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代換）．

又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠B=∠E．

∵在△ABC與△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

30．（2013?防城港）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求證：△ABC≌△AED．

考點(diǎn)：

全等三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據(jù)∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上條件AB=AE，∠C=∠D可證明△ABC≌△AED．

解答：

證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（AAS）．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

留意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

31．（2013?鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說(shuō)：“這樓最少20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒(méi)有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說(shuō)：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說(shuō)：“沒(méi)成績(jī)！讓我們來(lái)量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn)，測(cè)量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點(diǎn)在同不斷線上）問(wèn)：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計(jì)算，你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢？請(qǐng)闡明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.24）

考點(diǎn)：

勾股定理的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

運(yùn)用題．

分析：

（1）設(shè)樓高為x，則CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據(jù)AC+CD+BD=150，求出x的值即可；

（2）根據(jù)（1）求出的樓高x，然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰(shuí)的觀點(diǎn)正確．

解答：

解：（1）設(shè)樓高為x米，則CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴AC=x米，BD=x米，∴x+x=150﹣10，解得x==70（﹣1）（米），∴樓高70（﹣1）米．

（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，∴我支持小華的觀點(diǎn)，這樓不到20層．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用方程思想求解，難度普通．

32．（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．

（1）證明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)k=4時(shí)，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時(shí)，S有值？并求出S的值．

考點(diǎn)：

等腰三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠C，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長(zhǎng)，再根據(jù)結(jié)果整理可得EM+FN=BH；

（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據(jù)S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據(jù)S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值成績(jī)解答．

解答：

（1）證明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM?tanC=?k=，同理：FN=AN?tanA=?k=4k﹣，由于BH=AH?tanA=×8?k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；

（3）解：當(dāng)k=4時(shí)，EM=2x，F(xiàn)N=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x?2x=x2，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，當(dāng)x=4時(shí)，S有值32．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值成績(jī)，表示出各三角形的高線是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．

33．（2013?朝陽(yáng)）某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學(xué)興味小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過(guò)河就測(cè)得河的寬度，他們是這樣做的：

①在河流的一條岸邊B點(diǎn)，選對(duì)岸正對(duì)的一顆樹A；

②沿河岸直走20步有一樹C，繼續(xù)前行20步到達(dá)D處；

③從D處沿河岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處中止行走；

④測(cè)得DE的長(zhǎng)就是河寬AB．

請(qǐng)你證明他們做法的正確性．

考點(diǎn)：

全等三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

分析：

將標(biāo)題中的實(shí)踐成績(jī)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)成績(jī)，然后利用全等三角形的判定方法證得兩個(gè)三角形全等即可闡明其做法的正確性．

解答：

證明：如圖，由做法知：

在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）

∴AB=ED

即他們的做法是正確的．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了全等三角形的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)踐成績(jī)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)成績(jī)．

34．（2013?包頭）如圖，一根長(zhǎng)6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當(dāng)木棒A端沿墻下滑至點(diǎn)A′時(shí)，B端沿地面向右滑行至點(diǎn)B′．

（1）求OB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)AA′=1米時(shí)，求BB′的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

勾股定理的運(yùn)用；解直角三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

分析：

（1）由已知數(shù)據(jù)解直角三角形AOB即可；

（2）首先求出OA的長(zhǎng)和OA′的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出OB′的長(zhǎng)即可．

解答：

解：（1）根據(jù)題意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°，在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=，∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米，∴OB的長(zhǎng)為3米；

（2）根據(jù)題意可知A′B′=AB=6米，在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=，∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米，∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，∴OA′=8米，在Rt△A′OB′中，OB′=2米，∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了勾股定理的運(yùn)用和角的銳角三角函數(shù)，是中考常見(jiàn)題型．

35．（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延伸線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相反的速度由B向CB延伸線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)能否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)闡明理由．

考點(diǎn)：

等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．版權(quán)一切

專題：

壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．

分析：

（1）由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；

（2）作QF⊥AB，交直線AB的延伸線于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相反，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6可得出DE=3，故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

解答：

解：（1）∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相反時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．理由如下：

作QF⊥AB，交直線AB的延伸線于點(diǎn)F，連接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵點(diǎn)P、Q速度相反，∴AP=BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，∴DE=3，∴點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相反時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．

36．（2012?珠海）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．

（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）設(shè)DN與AM交于點(diǎn)F，判斷△ADF的外形．（只寫結(jié)果）

考點(diǎn)：

等腰三角形的判定與性質(zhì)；作圖—基本作圖．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）以D為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于G，交DC于H，分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫弧，兩弧交于N，作射線DN，交AM于F．

（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．

解答：

解：（1）如圖所示：

（2）△ADF的外形是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了作圖﹣基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，次要培養(yǎng)先生的動(dòng)手操作能力和推理能力，標(biāo)題比較典型，難度也適中．

37．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求證：AB=BC；

（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE=AE+CD．

考點(diǎn)：

勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據(jù)勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，進(jìn)而得出AB=BC；

（2）首先證明CDEF是矩形，再根據(jù)△BAE≌△CBF，得出AE=BF，進(jìn)而證明結(jié)論．

解答：

證明：（1）連接AC．

∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．

∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2．

∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB=BC．

（2）過(guò)C作CF⊥BE于F．

∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四邊形CDEF是矩形．

∴CD=EF．

∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴在△BAE與△CBF中

∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）

∴AE=BF．

∴BE=BF+EF=AE+CD．

點(diǎn)評(píng)：

此題次要考查了勾股定理的運(yùn)用以及三角形的全等證明，根據(jù)已知得出四邊形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是處理成績(jī)的關(guān)鍵．

38．（2012?益陽(yáng)）如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求證：AB=AC．

考點(diǎn)：

等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定．版權(quán)一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠2=∠C，從而得到∠B=∠C，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證．

解答：

證明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

39．（2012?湘潭）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F．

（1）猜想AC與BD的地位關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）求線段BD的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；平移的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

探求型．

分析：

（1）由平移的性質(zhì)可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出結(jié)論；

（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的長(zhǎng)．

解答：

解：（1）AC⊥BD．

∵△DCE由△ABC平移而成，∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，∴DE=BE，∴BD⊥DE，又∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC，∵△ABC是等邊三角形，∴BF是邊AC的中線，∴BD⊥AC，BD與AC互相垂直平分；

（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，∴△BED是直角三角形，∵BE=6，DE=3，∴BD===3．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

40．（2012?梧州）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AD延伸線上的一點(diǎn)，且CE=CD．

求證：∠B=∠E．

考點(diǎn)：

等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠B+∠ADC=180°，再根據(jù)兩角互補(bǔ)的性質(zhì)得出∠B=∠CDE，再根據(jù)CE=CD即可得出∠CDE=∠E，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：

證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE，∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)及等腰梯形的性質(zhì)，熟知等腰梯形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵．

41．（2012?紹興）聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．

舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心．

運(yùn)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數(shù)．

探求：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探求PA的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

新定義．

分析：

運(yùn)用：連接PA、PB，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出PD與AB的關(guān)系，然后判斷出只要情況③是合適的，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數(shù)；

探求：先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．

解答：

運(yùn)用：解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；

探求：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，設(shè)PA=x，則x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，則PA=2，③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．

故PA=2或．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，弄清楚準(zhǔn)外心的定義是解題的關(guān)鍵，根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，要留意分三種情況進(jìn)行討論．

42．（2012?南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角．

（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=　90　°；

②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數(shù)；

（2）已知O2是⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心作一個(gè)圓與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探求∠APB與∠MAN、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．

考點(diǎn)：

勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；點(diǎn)與圓的地位關(guān)系；圓與圓的地位關(guān)系．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）①根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°即可求解；

②根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點(diǎn)P在優(yōu)弧上；點(diǎn)P在劣弧上兩種情況討論求解；

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的地位分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：

解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=90．

②如圖，連接AB、OA、OB．

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．

∴∠AOB=90°．

當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)，∠APB=∠AOB=45°；

當(dāng)點(diǎn)P在劣弧上時(shí)，∠AP′B=（360°﹣∠AOB）=135°

（2）根據(jù)點(diǎn)P在⊙O1上的地位分為以下四種情況．

種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖①

∵∠MAN=∠APB+∠A，∴∠APB=∠MAN﹣∠A；

第二種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)N在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，如圖②．

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠A），∴∠APB=∠MAN+∠A﹣180°；

第三種情況：點(diǎn)P在⊙O2外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)B在點(diǎn)P與點(diǎn)N之間，如圖③．

∵∠APB+∠A+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠A，第四種情況：點(diǎn)P在⊙O2內(nèi)，如圖④，∠APB=∠MAN+∠A．

點(diǎn)評(píng)：

綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點(diǎn)與圓的地位關(guān)系，本題難度較大，留意分類思想的運(yùn)用．

43．（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過(guò)程如下：

如圖①，連接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如圖②，P為BC延伸線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=　7?。c(diǎn)P到AB邊的距離PE=　4或10　．

考點(diǎn)：

等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接AP．先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；

（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CH，再由△ABC的面積為49，求出CH=7，由于CH＞PF，則可分兩種情況進(jìn)行討論：①P為底邊BC上一點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E+PF=CH；②P為BC延伸線上的點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E=PF+CH．

解答：

解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．

∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．

分兩種情況：

①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．

∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；

②P為BC延伸線上的點(diǎn)時(shí)，如圖②．

∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．

故答案為：7；4或10．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中，運(yùn)用面積證明可使成績(jī)簡(jiǎn)便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．

44．（2012?黃岡）

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，連接BE，則∠EBC的度數(shù)為　36°?。?/p>

考點(diǎn)：

線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切

分析：

由DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得AE=BE，則可求得∠ABE的度數(shù)，又由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠ABC的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：

解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==72°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=72°﹣36°=36°．

故答案為：36°．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，留意數(shù)形思想的運(yùn)用．

45．（2012?淮安）如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度數(shù)．

考點(diǎn)：

含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權(quán)一切

分析：

首先在直角三角形BDC中，利用BD的長(zhǎng)和∠BDC=45°求得線段BC的長(zhǎng)，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度數(shù)即可；

解答：

解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10，∴BC=BD?sin∠BDC=10×=10

∵∠C=90°AB=20

∴sin∠A===，∴∠A=30°．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單．

46．（2012?河池）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)和線段EF的端點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．

（1）填空：tanA=，AC=　2（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）請(qǐng)你在圖中找出一點(diǎn)D（僅一個(gè)點(diǎn)即可），連接DE、DF，使以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，并加以證明．

考點(diǎn)：

勾股定理；全等三角形的判定；銳角三角函數(shù)的定義．版權(quán)一切

專題：

網(wǎng)格型．

分析：

（1）延伸AB，過(guò)C作延伸線的垂線CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；

（2）圖中找出一點(diǎn)D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如圖所示，理由為：在直角三角形FDM中，由FM與MD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出FD的長(zhǎng)，同理求出BC的長(zhǎng)，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．

解答：

解：（1）延伸AB，過(guò)C作CG⊥AB，交延伸線于點(diǎn)G，在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，根據(jù)勾股定理得：AC==2，tanA==；

（2）圖中找出一點(diǎn)D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右圖所示，證明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根據(jù)勾股定理得：ED==2，在Rt△FDM中，F(xiàn)M=2，MD=2，根據(jù)勾股定理得：FD==2，同理在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理得：BC=2，在△ABC和△EFD中，∵，∴△ABC≌△EFD（SSS）．

故答案為：（1）；2

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及全等三角形的判定，純熟掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．

47．（2012?撫順）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點(diǎn)D是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，并以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E恰好在線段BC上時(shí)，請(qǐng)判斷線段DE和BE的數(shù)量關(guān)系，并圖①證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)E不在直線BC上時(shí)，連接BE，其它條件不變，（1）中結(jié)論能否成立？若成立，請(qǐng)圖②給予證明；若不成立，請(qǐng)直接寫出新的結(jié)論；

（3）若AC=3，點(diǎn)D在直線BC上挪動(dòng)的過(guò)程中，能否存在以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)闡明理由．

考點(diǎn)：

等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；梯形．版權(quán)一切

分析：

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定解答即可；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，證得△ADC≌△AEF，直角三角形中30度的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半處理成績(jī)；

（3）從A、C、D、E為頂點(diǎn)的梯形的性質(zhì)入手，逐漸找出處理成績(jī)的．

解答：

解：（1）DE=BE．

理由如下：

∵△ADE為等邊三角形，∴AD=DE=AE，∠AED=60°．

∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，∴∠EAB=60°﹣30°=30°，∴∠ABC=∠EAB，∴EB=AE，∴EB=DE；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，在△ABC中，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∴∠DAE=∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE=∠BAC﹣∠CAE，則∠CAD=∠EAF．

又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，∴△ADC≌△AEF，∴AC=AF．

在△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB，∴AF=BF，∴EA=EB，∴DE=EB；

（3）如圖，∵四邊形ACDE是梯形，∠ACD=90°，∴∠CAE=90°．

∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．

在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，由勾股定理可得CD=．

同理可得：若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，AC平行DE，此時(shí)CD=3，綜上所述：若AE∥CD，CD=；若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，此時(shí)CD=3．

點(diǎn)評(píng)：

此題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．

48．（2012?鄂州）小明是一位善于考慮的先生，在數(shù)學(xué)課上，他將一副直角三角板如圖地位擺放，A、B、D在同不斷線上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，試求BD的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

勾股定理；平行線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權(quán)一切

分析：

過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和平行線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出BD的長(zhǎng)．

解答：

解：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作垂直構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出DM的長(zhǎng)．

49．（2012?大慶）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3個(gè)單位，若點(diǎn)P由A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，次回到點(diǎn)A處中止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=S，用t表示運(yùn)動(dòng)工夫．

（1）當(dāng)點(diǎn)P由B到C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，用t表示S；

（2）當(dāng)t取何值時(shí)，S等于（求出一切的t值）；

（3）根據(jù)（2）中t的取值，直接寫出在哪些時(shí)段AP？

考點(diǎn)：

等邊三角形的性質(zhì)；一元二次方程的運(yùn)用；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

代數(shù)幾何綜合題；動(dòng)點(diǎn)型．

分析：

（1）用t表示出PB的長(zhǎng)，利用余弦定理即可表示出AP的長(zhǎng)；

（2）令S等與，建立關(guān)于t的方程，解答即可；

（3）利用（2）中所求，即可得出AP時(shí)t的取值．

解答：

解：（1）∵AB=3，BP=t﹣3；

∴AP2=32+（t﹣3）2﹣2×3?（t﹣3）?cos60°

=9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×

=18﹣6t+t2+9﹣3t

=t2﹣9t+27，∴S=．

（2）當(dāng)t在BC上時(shí)，∵S=，∴t2﹣9t+27=7，解得t1=4，t2=5；

當(dāng)p在AB上時(shí)，t=；

當(dāng)p在CA上時(shí)，t=9﹣．

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，由（2）∵S=開(kāi)口向上，與S=交點(diǎn)橫坐標(biāo)為t1=4，t2=5；

綜上所述：t=4或t=5或或9﹣；

（3）根據(jù)（2）可知：0≤t＜；4＜t＜5；9﹣＜t≤9；

這三個(gè)工夫段內(nèi)S＜．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、余弦定理、一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，難度較大，會(huì)解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

50．（2012?常州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF．求證：AE=AF．

考點(diǎn)：

線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題；壓軸題．

分析：

方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結(jié)論．

方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進(jìn)而得到AC垂直平分EF，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=AF．

解答：

證明：連接CE，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE與△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AE=CE，∴四邊形AFCE是菱形，∴AE=AF．

另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及菱形的判定定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵．

51．（2011?株洲）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．

（1）求∠ECD的度數(shù)；

（2）若CE=5，求BC長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題；幾何圖形成績(jī)．

分析：

（1）ED是AC的垂直平分線，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；

（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；

解答：

解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．

答：（1）∠ECD的度數(shù)是36°；

（2）BC長(zhǎng)是5．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等腰三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)，應(yīng)熟記其性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

52．（2011?棗莊）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：

（1）畫線段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；

（2）線段AC的長(zhǎng)為　2，CD的長(zhǎng)為，AD的長(zhǎng)為　5??；

（3）△ACD為　直角　三角形，四邊形ABCD的面積為　10　；

（4）若E為BC中點(diǎn)，則tan∠CAE的值是　?。?/p>

考點(diǎn)：

勾股定理；勾股定理的逆定理；作圖—基本作圖；銳角三角函數(shù)的定義．版權(quán)一切

專題：

作圖題．

分析：

（1）根據(jù)題意，畫出AD∥BC且使AD=BC，連接CD；

（2）在網(wǎng)格中利用直角三角形，先求AC2，CD2，AD2的值，再求出AC的長(zhǎng)，CD的長(zhǎng)，AD的長(zhǎng)；

（3）利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，再求出四邊形ABCD的面積；

（4）把成績(jī)轉(zhuǎn)化到Rt△ACF中，利用三角函數(shù)的定義解題．

解答：

解：（1）如圖；

（2）由圖象可知AC2=22+42=20，CD2=12+22=5，AD2=32+42=25，∴AC=2，CD=，AD=5；

故答案為：2，5；

（3）∵AD2=CD2+AC2，∴△ACD是直角三角形．

四邊形ABCD的面積為2×（2×÷2）=10；

故答案為：直角，10；

（4）由圖象可知CF=2，AF=4，∴tan∠CAE==．

故答案為：．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是運(yùn)用網(wǎng)格表示線段的長(zhǎng)度．

53．（2011?隨州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

首先連接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，從而得出BE=FC=3，那么AB=7，則BC=7，BF=4，再根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)．

解答：

解：連接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點(diǎn)，∴BD⊥AC（三線合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB與△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，則BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．

答：EF的長(zhǎng)為5．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理及全等三角形的判定，關(guān)鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的長(zhǎng)．

54．（2011?沈陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B=30°，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度數(shù)；

（2）求證：DC=AB．

考點(diǎn)：

等腰三角形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等得到∠B=∠C=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，則∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；

（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根據(jù)等腰三角形的判定可得DC=AC，這樣即可得到結(jié)論．

解答：

（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；

（2）證明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定定理：等腰三角形的兩底角相等；有兩個(gè)角相等的三角形為等腰三角形．也考查了三角形的內(nèi)角和定理．

55．（2011?青海）認(rèn)真閱讀上面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探求片段，完成所提出的成績(jī)．

探求1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探求2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)闡明理由．

探求3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）

結(jié)論：　∠BOC=90°﹣∠A　．

考點(diǎn)：

三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)提供的信息，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關(guān)系；

（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：

解：（1）探求2結(jié)論：∠BOC=∠A，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；

（2）探求3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），結(jié)論∠BOC=90°﹣∠A．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵，讀懂標(biāo)題提供的信息，然后利用提供信息的思緒也很重要．

56．（2011?寧波）閱讀上面的情景對(duì)話，然后解答成績(jī)：

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E，使AE=AD，CB=CE．

①求證：△ACE是奇異三角形；

②當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，求∠AOC的度數(shù)．

考點(diǎn)：

勾股定理；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

壓軸題；新定義．

分析：

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質(zhì)，求證即可；

（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；

（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質(zhì)即可證得；

②利用（2）中的結(jié)論，分別從AC：AE：CE=1：：與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結(jié)果．

解答：

解：（1）設(shè)等邊三角形的一邊為a，則a2+a2=2a2，∴符合奇異三角形”的定義．

∴是真命題；

（2）∵∠C=90°，則a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；

（3）∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇異三角形；

②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2=2AE2，當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí)，由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，當(dāng)AC：AE：CE=1：：時(shí)，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；

當(dāng)AC：AE：CE=：：1時(shí)，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．

∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了新定義的知識(shí)，勾股定理以及圓的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是理解題意，抓住數(shù)形思想的運(yùn)用．

57．（2011?牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長(zhǎng)．

考點(diǎn)：

勾股定理的逆定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

分析：

根據(jù)題意中的△ABD為等腰直角三角形，顯然應(yīng)分為三種情況：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙構(gòu)造輔助線，出現(xiàn)全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行求解．

解答：

解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°．

分三種情況：

如圖（1），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E．

∵DE⊥CB（已知）

∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定義），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形兩銳角互余），∵△ABD為等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定義），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定義），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB與△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已證），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∴CE=6（等量代換）

根據(jù)勾股定理得：CD=2；

如圖（2），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CA，垂足為點(diǎn)E．

∵BC⊥CA（已知）

∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定義）

∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形兩銳角互余）

∵△ABD為等腰直角三角形（已知）

∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定義）

∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定義）

∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）

在△ACB與△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已證）∠CAB=∠EDA（已證）

AB=DA（已證）

∴△ACB≌△DEA（AAS）

∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∴CE=6（等量代換）

根據(jù)勾股定理得：CD=2；

如圖（3），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F．

∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，則ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，則四邊形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，設(shè)DF=x，則BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，則2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，則CD=3．

點(diǎn)評(píng)：

此題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．

58．（2011?梅州）如圖1，已知線段AB的長(zhǎng)為2a，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．

（1）當(dāng)△APC與△PBD的面積之和取最小值時(shí)，AP=　a??；（直接寫結(jié)果）

（2）連接AD、BC，相交于點(diǎn)Q，設(shè)∠AQC=α，那么α的大小能否會(huì)隨點(diǎn)P的挪動(dòng)面變化？請(qǐng)闡明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)P固定，將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°），此時(shí)α的大小能否發(fā)生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）

考點(diǎn)：

等邊三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）設(shè)AP的長(zhǎng)是x，然后利用x表示出兩個(gè)三角形的面積的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得x的值；

（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；

（3）旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（2）中得兩個(gè)三角形的全等關(guān)系不變，因此角度不會(huì)變化．

解答：

解：（1）設(shè)AP的長(zhǎng)是x，則BP=2a﹣x，∴S△APC+S△PBD=x?x+（2a﹣x）?（2a﹣x）

=x2﹣ax+a2，當(dāng)x=﹣=﹣=a時(shí)△APC與△PBD的面積之和取最小值，故答案為：a；

（2）α的大小不會(huì)隨點(diǎn)P的挪動(dòng)而變化，理由：∵△APC是等邊三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；

（3）此時(shí)α的大小不會(huì)發(fā)生改變，一直等于60°．

理由：∵△APC是等邊三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．

59．（2011?連云港）某課題研討小組就圖形面積成績(jī)進(jìn)行專題研討，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

（1）有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于這條邊上的對(duì)應(yīng)高之比；

（2）有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形面積之比等于夾這個(gè)角的兩邊乘積之比；

…

現(xiàn)請(qǐng)你繼續(xù)對(duì)上面成績(jī)進(jìn)行探求，探求過(guò)程可直接運(yùn)用上述結(jié)論．（S表示面積）

成績(jī)1：如圖1，現(xiàn)有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．經(jīng)探求知=S△ABC，請(qǐng)證明．

成績(jī)2：若有另一塊三角形紙板，可將其與成績(jī)1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請(qǐng)?zhí)角笈cS四邊形ABCD之間的數(shù)量關(guān)系．

成績(jī)3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求．

成績(jī)4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個(gè)部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請(qǐng)直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個(gè)等式．

考點(diǎn)：

三角形的面積．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

成績(jī)1，圖1中，連接P1R2，R2B，由三角形中線的性質(zhì)得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2為AC的三等分點(diǎn)，得S△BCR2=S△ABR2，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S△ABC與S四邊形P1P2R2R1的數(shù)量關(guān)系，證明結(jié)論；

成績(jī)2，圖2中，連接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中線性質(zhì)，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2為CD，AB的三等分點(diǎn)可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2與S四邊形AQ1CP2的關(guān)系，再根據(jù)圖形的面積關(guān)系，得S四邊形ABCD與S四邊形P1Q1Q2P2的等量關(guān)系；

成績(jī)3，圖3中，依次設(shè)四邊形的面積為S1，S2，S3，S4，S5，由成績(jī)2的結(jié)論可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用換元法求S1+S2+S3+S4+S5與S3的數(shù)量關(guān)系，已知S四邊形ABCD=1，可求S四邊形P2Q2Q3P3；

成績(jī)4，圖4中，由成績(jī)2的結(jié)論可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，兩式相加得S1，S2，S3，S4的等量關(guān)系．

解答：

解：成績(jī)1，證明：

如圖1，連接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1為中線，∴S△AP1R1=S△P1R1R2，同理S△P1R2P2=S△P2R2B，∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1，由R1，R2為AC的三等分點(diǎn)可知，S△BCR2=S△ABR2，∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1+2S四邊形P1P2R2R1=3S四邊形P1P2R2R1，∴S四邊形P1P2R2R1=S△ABC；

成績(jī)2，S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2．

理由：如圖2，連接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1為中線，∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=S四邊形AQ1CP2=S四邊形P1Q1Q2P2，由Q1，P2為CD，AB的三等分點(diǎn)可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，∴S△ADQ1+S△BCP2=（S△AQ1C+S△AP2C）=S四邊形AQ1CP2，∴S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四邊形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四邊形P1Q1Q2P2，即S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2；

成績(jī)3，解：

如圖3，由成績(jī)2的結(jié)論可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加得，S2+S4=S1+S5，∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3，即S四邊形P2Q2Q3P3=S四邊形ABCD=；

成績(jī)4，如圖4，關(guān)系式為：S2+S3=S1+S4．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了三角形面積成績(jī)．關(guān)鍵是利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理．

60．（2011?樂(lè)山）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數(shù)．

考點(diǎn)：

線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題．

分析：

根據(jù)DE垂直平分AB，求證∠DAE=∠B，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠B的度數(shù)．

解答：

解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B），∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B）=∠B，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．

答：若DE垂直平分AB，∠B的度數(shù)為30°．

點(diǎn)評(píng)：

此題本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，比較簡(jiǎn)單，合適先生的訓(xùn)練．