【中考數(shù)學(xué)】圓：精選真題專項(xiàng)打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?長沙）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點(diǎn)恰好為BC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

2．（2014?永州）如圖，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于點(diǎn)D，作AC⊥OB，垂足為M，并交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)B作BP⊥OB，交OA的延伸線于點(diǎn)P，連接PD，求sin∠BPD的值．

3．（2014?無錫）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的長．

4．（2014?威海）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線．

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，求證：CD=HF．

5．（2014?天水）如圖，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延伸線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的地位關(guān)系，并闡明理由．

（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

6．（2014?天津）已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；

（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

7．（2014?綏化）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠BCD．

（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．

8．（2014?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，OD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BD，CD．

（1）求證：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

9．（2014?廈門）已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)．

（1）如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；

（2）如圖2，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑．

10．（2014?三明）已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB延伸線上的動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，保持CD=OA．

（1）當(dāng)直線CD與半圓O相切時(shí)（如圖①），求∠ODC的度數(shù)；

（2）當(dāng)直線CD與半圓O相交時(shí)（如圖②），設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE，若AE∥OC，①AE與OD的大小有什么關(guān)系？為什么？

②求∠ODC的度數(shù)．

11．（2014?黔東北州）如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過C點(diǎn)作CA∥BD交OD的延伸線于點(diǎn)A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的暗影部分的面積．（結(jié)果保留π）

12．（2014?南通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，MD恰好圓心O，連接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度數(shù)．

13．（2014?臨沂）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

14．（2014?聊城）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延伸線交于點(diǎn)P．連接PC并延伸與AB的延伸線交于點(diǎn)F．

（1）求證：PC是半⊙O的切線；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長．

15．（2014?遼陽）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延伸線上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

16．（2014?涼山州）已知：如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓的切線PC（C為切點(diǎn)）和割線PAB，分別交⊙O于A、B，連接AC，BC．

（1）求證：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的結(jié)論，已知PA=3，PB=5，求PC的長．

17．（2014?涼山州）如圖所示，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點(diǎn)三角形（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，點(diǎn)A移到點(diǎn)A1，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1繞點(diǎn)A1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2；

（3）如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，求點(diǎn)B（1）、（2）變換的路徑總長．

18．（2014?吉林）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，延伸AO交⊙O于點(diǎn)E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列成績：

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BC=3，CD=4，求平行四邊形OABC的面積．

19．（2014?黃岡）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E．

（1）求證：EB=EC；

（2）若以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷△ABC的外形，并闡明理由．

20．（2014?湖州）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．

（1）求證：AC=BD；

（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長．

21．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度數(shù)；

（2）過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延伸FO交BE于點(diǎn)G，DE=3，EG=2，求AB的長．

22．（2014?福州）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，點(diǎn)D為BA延伸線上的一點(diǎn)，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．

（1）求BC的長；

（2）求⊙O的半徑．

23．（2014?佛山）如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個(gè)動點(diǎn)，求OP的長度范圍．

24．（2014?濱州）如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延伸線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中暗影部分的面積．

25．（2014?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，⊙O的切線BD交AC的延伸線于點(diǎn)D，E是OB的中點(diǎn)，CE的延伸線交切線BD于點(diǎn)F，AF交⊙O于點(diǎn)H，連接BH．

（1）求證：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的長．

26．（2013?營口）在如圖的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)）

（1）畫出△ABC向下平移3個(gè)單位后的△A1B1C1；

（2）畫出△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所的路線長．

27．（2013?烏魯木齊）如圖．點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，求證：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

28．（2013?溫州）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延伸BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延伸DA與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AC，CE．

（1）求證：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長．

29．（2013?深圳）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時(shí)測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．

30．（2013?邵陽）如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓O的半徑r．

31．（2013?廈門）（1）甲市共有三個(gè)郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：

郊縣

人數(shù)/萬

人均耕地面積/公頃

A

0.15

B

0.20

C

0.18

求甲市郊縣一切人口的人均耕地面積（到0.01公頃）；

（2）先化簡下式，再求值：，其中，；

（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，延伸DC，AB相交于點(diǎn)E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．

32．（2013?黔東北州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．

33．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點(diǎn)E，交AD的延伸線于點(diǎn)F，設(shè)DA=2．

（1）求線段EC的長；

（2）求圖中暗影部分的面積．

34．（2013?涼山州）在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．

（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P的地位關(guān)系；

（2）若直線l點(diǎn)D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判斷直線l與⊙P的地位關(guān)系．

35．（2013?巴中）若⊙O1和⊙O2的圓心距為4，兩圓半徑分別為r1、r2，且r1、r2是方程組的解，求r1、r2的值，并判斷兩圓的地位關(guān)系．

36．（2012?岳陽）如圖所示，在⊙O中，=，弦AB與弦AC交于點(diǎn)A，弦CD與AB交于點(diǎn)F，連接BC．

（1）求證：AC2=AB?AF；

（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中暗影部分面積．

37．（2012?宜賓）如圖，⊙O1、⊙O2相交于P、Q兩點(diǎn)，其中⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=．過點(diǎn)Q作CD⊥PQ，分別交⊙O1和⊙O2于點(diǎn)C、D，連接CP、DP，過點(diǎn)Q任作不斷線AB交⊙O1和⊙O2于點(diǎn)A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延伸線交于點(diǎn)E．

（1）求證：；

（2）若PQ=2，試求∠E度數(shù)．

38．（2012?武漢）在銳角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；

（2）如圖2，點(diǎn)I為三角形ABC的內(nèi)心，BA=BC，求AI的長．

39．（2012?無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動．當(dāng)P運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)，P、Q都中止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的工夫?yàn)閠s．

（1）當(dāng)P異于A、C時(shí)，請闡明PQ∥BC；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個(gè)運(yùn)動過程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？

40．（2012?臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點(diǎn)，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求證：△ABD≌△CBE；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時(shí)，請判斷四邊形BDCE的外形，并證明你的結(jié)論．

41．（2012?日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

（Ⅰ）探求新知

如圖①，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G．

（1）求證：內(nèi)切圓的半徑r1=1；

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）結(jié)論運(yùn)用

（1）如圖②，若半徑為r2的兩個(gè)等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2的值；

（2）如圖③，若半徑為rn的n個(gè)等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切，求rn的值．

42．（2012?泉州）已知：A、B、C三點(diǎn)不在同不斷線上．

（1）若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的⊙O上，i）如圖①，當(dāng)∠A=45°，R=1時(shí)，求∠BOC的度數(shù)和BC的長；

ii）如圖②，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，求證：sinA=；

（2）若定長線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當(dāng)∠MAN=60°，BC=2時(shí)，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點(diǎn)為P，試探求在整個(gè)滑動過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離能否保持不變？請闡明理由．

43．（2012?南昌）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．

（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時(shí)，求O′A的長度；

②如圖2，當(dāng)折疊后的圓心為O時(shí)，求的長度；

③如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；

（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．

①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB、CD的距離之和為d，求d的值；

②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探求四邊形OMPN的外形，并證明你的結(jié)論．

44．（2012?荊州）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點(diǎn)A與B相距8m，罐底點(diǎn)到地面CD距離為1m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（暗影部分）的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結(jié)果保留整數(shù)）

45．（2012?呼倫貝爾）如圖，線段AB與⊙O相切于點(diǎn)C，連接OA，OB，OB交⊙O于點(diǎn)D，已知OA=OB=6，AB=6．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求圖中暗影部分的面積．

46．（2012?桂林）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O1⊙O2的圓心，依次連接A、O1、B、O2．

（1）求證：四邊形AO1BO2是菱形；

（2）過直徑AC的端點(diǎn)C作⊙O1的切線CE交AB的延伸線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE=2O2D；

（3）在（2）的條件下，若△AO2D的面積為1，求△BO2D的面積．

47．（2014?萊蕪）如圖1，在⊙O中，E是的中點(diǎn)，C為⊙O上的一動點(diǎn)（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F，EB=（r是⊙O的半徑）．

（1）D為AB延伸線上一點(diǎn)，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；

（2）求EF?EC的值；

（3）如圖2，當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí)，求EC的值．

48．（2012?崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一點(diǎn)，OP=24cm，以r為半徑作⊙P．

（1）若r=12cm，試判斷⊙P與OB地位關(guān)系；

（2）若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件．

49．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點(diǎn)A、B、C．

（1）求點(diǎn)D沿三條弧運(yùn)動到點(diǎn)G所的路線長；

（2）判斷直線GB與DF的地位關(guān)系，并闡明理由．

50．（2011?資陽）如圖，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點(diǎn)．

（1）連接AB、AD、AF，求證：AB+AF=AD；

（2）若P是圓周上異于已知六等分點(diǎn)的動點(diǎn)，連接PB、PD、PF，寫出這三條線段長度的數(shù)量關(guān)系（不必闡明理由）．

51．（2011?宜昌）如圖，某商標(biāo)是由邊長均為2的正三角形、正方形、正六邊形的金屬薄片鑲嵌而成的鑲嵌圖案．

（1）求這個(gè)鑲嵌圖案中一個(gè)正三角形的面積；

（2）如果在這個(gè)鑲嵌圖案中隨機(jī)確定一個(gè)點(diǎn)O，那么點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率為多少？（結(jié)果保留二位小數(shù)）

52．（2011?盤錦）如圖，風(fēng)車的支桿OE垂直于桌面，風(fēng)車O到桌面的距離OE為25cm，小小風(fēng)車在風(fēng)吹動下繞著O不停地轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中，葉片端點(diǎn)A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm．

（1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)∠AOE=45°時(shí)，求點(diǎn)A到桌面的距離（結(jié)果保留根號）．

（2）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點(diǎn)A絕對于桌面的高度不超過20cm所的路徑長（結(jié)果保留π）．

53．（2011?南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相反點(diǎn)和不同點(diǎn)．例如：

它們的一個(gè)相反點(diǎn)：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等．

它們的一個(gè)不同點(diǎn)：正五邊形不是對稱圖形，正六邊形是對稱圖形．

請你再寫出它們的兩個(gè)相反點(diǎn)和不同點(diǎn)：

相反點(diǎn)：

①　　　　　　；

②　　　　　?。?/p>

不同點(diǎn)：

①　　　　　??；

②　　　　　?。?/p>

54．（2014?云南）已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線AC上的一動點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC挪動時(shí)，過點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問在x軸的正半軸上能否存在使△DOM與△ABC類似的點(diǎn)M？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC挪動時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長畫圓．得到的圓稱為動圓P．若設(shè)動圓P的半徑長為，過點(diǎn)D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請?zhí)角笤趧訄AP中能否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請闡明理由．

55．（2011?綿陽）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切．

（1）求證：OB⊥OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O1的面積．

56．（2014?貴港）如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點(diǎn)P是大半圓O上一點(diǎn)，PA與小半圓M交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥OP于點(diǎn)D．

（1）求證：CD是小半圓M的切線；

（2）若AB=8，點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），設(shè)PD=x，CD2=y．

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②當(dāng)y=3時(shí)，求P，M兩點(diǎn)之間的距離．

57．（2011?杭州）在平面上，七個(gè)邊長為1的等邊三角形，分別用①至⑦表示（如圖）．從④⑤⑥⑦組成的圖形中，取出一個(gè)三角形，使剩下的圖形平移，與①②③組成的圖形拼成一個(gè)正六邊形

（1）你取出的是哪個(gè)三角形？寫出平移的方向和平移的距離；

（2）將取出的三角形任意放置在拼成的正六邊形所在平面，問：正六邊形沒有被三角形蓋住的面積能否等于？請闡明理由．

58．（2011?東莞）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，0），⊙P的半徑為2，將⊙P沿x軸向右平移4個(gè)單位長度得⊙P1

（1）畫出⊙P1，并直接判斷⊙P與⊙P1的地位關(guān)系；

（2）設(shè)⊙P1與x軸正半軸，y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B．求劣弧與弦AB圍成的圖形的面積（結(jié)果保留π）

59．（2011?大慶）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AC邊長為4，BC邊長為3，它的內(nèi)切圓為⊙0，⊙0與邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，延伸C0交斜邊AB于點(diǎn)G．

（1）求⊙0的半徑長；

（2）求線段DG的長．

60．（2014?河南）（1）成績發(fā)現(xiàn)

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同不斷線上，連接BE．

填空：

①∠AEB的度數(shù)為　　　　　　；

②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為　　　　　?。?/p>

（2）拓展探求

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同不斷線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并闡明理由．

（3）處理成績

如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．

中考數(shù)學(xué)提分沖刺真題精析：圓

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?長沙）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點(diǎn)恰好為BC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

考點(diǎn)：

切線的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OD，可以證得DE⊥OD，然后證明OD∥AC即可證明DE⊥AC；

（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE與CE的比值即可．

解答：

（1）證明：連接OD，∵D是BC的中點(diǎn)，OA=OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；

（2）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE

在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△DAE，∴，設(shè)tan∠ACB=x，CE=a，則DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=或．

（可以看出△ABC分別為銳角、鈍角三角形兩種情況）

點(diǎn)評：

本題次要考查了切線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵在于如何利用三角形類似求出線段DE與CE的比值．

2．（2014?永州）如圖，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于點(diǎn)D，作AC⊥OB，垂足為M，并交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)B作BP⊥OB，交OA的延伸線于點(diǎn)P，連接PD，求sin∠BPD的值．

考點(diǎn)：

切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連結(jié)OC，根據(jù)垂徑定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判斷OB為線段AC的垂直平分線，所以BA=BC，然后利用“SSS”證明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，則∠OCB=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得BC是⊙O的切線；

（2）在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出OB=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=OB=2；在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=1，根據(jù)勾股定理計(jì)算出PD=，然后利用正弦的定義求sin∠BPD的值．

解答：

（1）證明：連結(jié)OC，如圖，∵AC⊥OB，∴AM=CM，∴OB為線段AC的垂直平分線，∴BA=BC，在△OAB和△OCB中，∴△OAB≌△OCB（SSS），∴∠OAB=∠OCB，∵OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∴∠OCB=90°，∴OC⊥BC，故BC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，∴OB==2，∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，∵PB⊥OB，∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，在Rt△PBO中，OB=2，∴PB=OB=2，在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，∴PD==，∴sin∠BPD===．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的判定定理：半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．

3．（2014?無錫）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的長．

考點(diǎn)：

圓周角定理；平行線的性質(zhì)；三角形中位線定理．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得；

（2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．

解答：

解：（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．

∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°

∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC===．

∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．

又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．

點(diǎn)評：

本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理，正確證明OE是△ABC的中位線是關(guān)鍵．

4．（2014?威海）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線．

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，求證：CD=HF．

考點(diǎn)：

切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；

（2）連結(jié)DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出CD=HF．

解答：

證明：（1）如圖1，連接OE．

∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圓O的直徑．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切線；

（2）如圖2，連結(jié)DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE與△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．

點(diǎn)評：

本題次要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．

5．（2014?天水）如圖，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延伸線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的地位關(guān)系，并闡明理由．

（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

考點(diǎn)：

切線的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出DC，根據(jù)切線長定理求出DE=EB，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：

解：（1）直線CD和⊙O的地位關(guān)系是相切，理由是：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，∴直線CD是⊙O的切線，即直線CD和⊙O的地位關(guān)系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半徑是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，設(shè)DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，則（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線長定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，標(biāo)題比較典型，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．

6．（2014?天津）已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；

（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

考點(diǎn)：

圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理異樣得到BD=CD=5；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．

解答：

解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB=∠BDC=90°．

∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．

∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．

在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．

∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．

又∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD=OB=OD．

∵⊙O的直徑為10，則OB=5，∴BD=5．

點(diǎn)評：

本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．

7．（2014?綏化）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠BCD．

（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直徑．

考點(diǎn)：

圓周角定理；平行線的判定與性質(zhì)；垂徑定理；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據(jù)圓周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根據(jù)平行線的判定推出即可；

（2）根據(jù)垂徑定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．

解答：

（1）證明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；

（2）解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴=，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直徑是5．

點(diǎn)評：

本題考查了圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理，平行線的判定的運(yùn)用，次要考查先生的推理能力．

8．（2014?沈陽）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，OD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BD，CD．

（1）求證：AD=CD；

（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

考點(diǎn)：

圓周角定理；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）由AB為直徑，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂徑定理證得，=，繼而證得結(jié)論；

（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的長，繼而求得DE，AE的長，則可求得tan∠DAE，然后由圓周角定理，證得∠DBC=∠DAE，則可求得答案．

解答：

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；

（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA?cos∠AOE=OA?cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．

點(diǎn)評：

此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．

9．（2014?廈門）已知A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)．

（1）如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；

（2）如圖2，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑．

考點(diǎn)：

垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)題意不難證明四邊形ABCD是正方形，結(jié)論可以得到證明；

（2）連結(jié)DO，延伸交圓O于F，連結(jié)CF、BF．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，則BF∥AC，根據(jù)平行弦所夾的弧相等，得弧CF=弧AB，則CF=AB．根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：

解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，∴AC、BD是⊙O的直徑，∴∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD；

（2）連結(jié)DO，延伸交圓O于F，連結(jié)CF、BF．

∵DF是直徑，∴∠DCF=∠DBF=90°，∴FB⊥DB，又∵AC⊥BD，∴BF∥AC，∴CF=AB．

根據(jù)勾股定理，得

CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，∴DF=，∴OD=，即⊙O的半徑為．

點(diǎn)評：

此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、垂徑定理的推論、等弧對等弦以及勾股定理．學(xué)會作輔助線是解題的關(guān)鍵．

10．（2014?三明）已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB延伸線上的動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，保持CD=OA．

（1）當(dāng)直線CD與半圓O相切時(shí)（如圖①），求∠ODC的度數(shù)；

（2）當(dāng)直線CD與半圓O相交時(shí)（如圖②），設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE，若AE∥OC，①AE與OD的大小有什么關(guān)系？為什么？

②求∠ODC的度數(shù)．

考點(diǎn)：

直線與圓的地位關(guān)系；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OC，由于CD是⊙O的切線，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．

（2）連接OE，①證明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行線的性質(zhì)，可求得∠ODC的度數(shù)．

解答：

解：（1）如圖①，連接OC，∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；

（2）如圖②，連接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AE∥OC，∴∠2=∠3．

設(shè)∠ODC=∠1=x，則∠2=∠3=∠4=x．

∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x．

①AE=OD．理由如下：

在△AOE與△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE=OD．

②∠6=∠1+∠2=2x．

∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．

∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°．

∴∠ODC=36°．

點(diǎn)評：

本題考查了切線性質(zhì)，全等三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

11．（2014?黔東北州）如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過C點(diǎn)作CA∥BD交OD的延伸線于點(diǎn)A，連接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的暗影部分的面積．（結(jié)果保留π）

考點(diǎn)：

切線的判定；扇形面積的計(jì)算．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案．

解答：

（1）證明：連接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=BD=，∵sin∠COD=，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA=，∴AC=2，∴S暗影=×2×2﹣=2﹣．

點(diǎn)評：

本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，標(biāo)題比較好，難度適中．

12．（2014?南通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，MD恰好圓心O，連接MB．

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度數(shù)．

考點(diǎn)：

垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）先根據(jù)CD=16，BE=4，得出OE的長，進(jìn)而得出OB的長，進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，直角三角形可以求得結(jié)果；

解答：

解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，設(shè)OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直徑是20．

（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．

點(diǎn)評：

本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧；

13．（2014?臨沂）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

考點(diǎn)：

切線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）首先連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結(jié)論；

（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求得BD，DE，AE的長，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面積，繼而求得答案．

解答：

（1）證明：連接OD，CD，∵BC為⊙O直徑，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D點(diǎn)在⊙O上，∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，BD=BC?cos30°=2，∴AD=BD=2，AB=2BD=4，∴S△ABC=AB?CD=×4×2=4，∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，AE=AD?cos30°=3，∴S△ODE=OD?DE=×2×=，S△ADE=AE?DE=××3=，∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4﹣﹣﹣=．

點(diǎn)評：

此題考查了切線的判定、三角形中位線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意掌握數(shù)形思想的運(yùn)用．

14．（2014?聊城）如圖，AB，AC分別是半⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作半⊙O的切線AP，AP與OD的延伸線交于點(diǎn)P．連接PC并延伸與AB的延伸線交于點(diǎn)F．

（1）求證：PC是半⊙O的切線；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求線段BF的長．

考點(diǎn)：

切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）連接OC，可以證得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可證得；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)定理可知OC⊥PE，然后經(jīng)過解直角三角函數(shù)，求得OF的值，再減去圓的半徑即可．

解答：

（1）證明：連接OC，∵OD⊥AC，OD圓心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°．

∴∠OCP=90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切線，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF===10，∴BF=OF﹣OB=5．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，以及直角三角形三角函數(shù)的運(yùn)用，證明圓的切線的成績常用的思緒是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的成績．

15．（2014?遼陽）如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延伸線上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

考點(diǎn)：

切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；類似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．

（2）利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．

解答：

（1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴

∴BF==

點(diǎn)評：

本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求先生掌握常見的解題方法，并能圖形選擇簡單的方法解題．

16．（2014?涼山州）已知：如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓的切線PC（C為切點(diǎn)）和割線PAB，分別交⊙O于A、B，連接AC，BC．

（1）求證：∠PCA=∠PBC；

（2）利用（1）的結(jié)論，已知PA=3，PB=5，求PC的長．

考點(diǎn)：

切線的性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連結(jié)OC，OA，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACO=∠，再由PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠ACO+∠+∠AOC=180°，由圓周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根據(jù)∠PCA+∠ACO=90°即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)類似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由類似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答：

（1）證明：連結(jié)OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠，∵PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；

（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA?PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．

點(diǎn)評：

本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓心角是解答此題的關(guān)鍵．

17．（2014?涼山州）如圖所示，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點(diǎn)三角形（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

（1）把△ABC沿BA方向平移后，點(diǎn)A移到點(diǎn)A1，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1繞點(diǎn)A1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2；

（3）如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，求點(diǎn)B（1）、（2）變換的路徑總長．

考點(diǎn)：

弧長的計(jì)算；作圖-平移變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．版權(quán)一切

專題：

作圖題；網(wǎng)格型．

分析：

（1）利用平移的性質(zhì)畫圖，即對應(yīng)點(diǎn)都挪動相反的距離；

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫圖，對應(yīng)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)相反的角度；

（3）利用弧長公式求點(diǎn)B（1）、（2）變換的路徑總長．

解答：

解：（1）連接AA1，然后從C點(diǎn)作AA1的平行線且AA1=CC1．

同理找到點(diǎn)B．

（2）畫圖如下：

（3）B（1）、（2）變換的路徑如圖紅色部分所示：，弧B1B2的長=，故點(diǎn)B所走的路徑總長=．

點(diǎn)評：

本題次要考查了平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的相關(guān)知識，做這類題時(shí)，理解平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．

18．（2014?吉林）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，延伸AO交⊙O于點(diǎn)E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列成績：

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BC=3，CD=4，求平行四邊形OABC的面積．

考點(diǎn)：

切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD，求出∠EOC=∠DOC，根據(jù)SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出CE=CD=4，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OA=3，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出即可．

解答：

（1）證明：連接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中

∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA=BC=3，∴平行四邊形OABC的面積S=OA×CE=3×4=12．

點(diǎn)評：

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解此題的關(guān)鍵是推出△EOC≌△DOC．

19．（2014?黃岡）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E．

（1）求證：EB=EC；

（2）若以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷△ABC的外形，并闡明理由．

考點(diǎn)：

切線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，再由BC是⊙O的切線得出∠BCA=90°，由DE是⊙O的切線，得出ED=EC，∠ODE=90°，故可得出∠EDB=∠EBD，由此可得出結(jié)論．

（2）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，則△DEB是等腰直角三角形，據(jù)此即可判斷．

解答：

（1）證明：連接OD，∵AC是直徑，∠ACB=90°，∴BC是⊙O的切線，∠BCA=90°．

又∵DE是⊙O的切線，∴ED=EC，∠ODE=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，又∵∠OAD+∠DBE=90°，∴∠EDB=∠EBD，∴ED=EB，∴EB=EC．

（2）解：當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，則∠DEB=90°，又∵ED=EB，∴△DEB是等腰直角三角形，則∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是連接OD得垂直，構(gòu)造出等腰三角形，利用“等角的余角相等解答．

20．（2014?湖州）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．

（1）求證：AC=BD；

（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長．

考點(diǎn)：

垂徑定理；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）過O作OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD；

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，再根據(jù)勾股定理求出CE及AE的長，根據(jù)AC=AE﹣CE即可得出結(jié)論．

解答：

（1）證明：過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；

（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．

點(diǎn)評：

本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．

21．（2014?哈爾濱）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度數(shù)；

（2）過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延伸FO交BE于點(diǎn)G，DE=3，EG=2，求AB的長．

考點(diǎn)：

三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）首先得出△AEB≌△DEC，進(jìn)而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；

（2）由已知得出EF，BC的長，進(jìn)而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．

解答：

（1）證明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC為等邊三角形，∴∠ACB=60°；

（2）解：作BM⊥AC于點(diǎn)M，∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC為等邊三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．

點(diǎn)評：

此題次要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出CM，BM的長是解題關(guān)鍵．

22．（2014?福州）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，點(diǎn)D為BA延伸線上的一點(diǎn)，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．

（1）求BC的長；

（2）求⊙O的半徑．

考點(diǎn)：

三角形的外接圓與外心；圓周角定理；解直角三角形．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)題意得出AE的長，進(jìn)而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的長即可；

（2）首先得出AC的長，再利用圓周角定理得出∠D=∠M=60°，進(jìn)而求出AM的長，即可得出答案．

解答：

解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵si=，∴AE=ABsi=3sin45°=3×=3，∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；

（2）連接AO并延伸到⊙O上一點(diǎn)M，連接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半徑為2．

點(diǎn)評：

此題次要考查了解直角三角形以及銳角三角函數(shù)關(guān)系運(yùn)用，根據(jù)題意正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．

23．（2014?佛山）如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個(gè)動點(diǎn)，求OP的長度范圍．

考點(diǎn)：

垂徑定理；勾股定理．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OB，由垂徑定理可知AE=BE=AB，再根據(jù)勾股定理求出OE的長，由此可得出結(jié)論．

解答：

解：過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，連接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直徑為10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂線段最短，半徑最長，∴3cm≤OP≤5cm．

點(diǎn)評：

本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．

24．（2014?濱州）如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延伸線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中暗影部分的面積．

考點(diǎn)：

扇形面積的計(jì)算；等腰三角形的性質(zhì)；切線的判定；角的三角函數(shù)值．版權(quán)一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）連接OC．只需證明∠OCD=90°．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明；

（2）暗影部分的面積即為直角三角形OCD的面積減去扇形COB的面積．

解答：

（1）證明：連接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，∵，∴．

∴．

∴圖中暗影部分的面積為：．

點(diǎn)評：

此題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定方法、扇形的面積計(jì)算方法．

25．（2014?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，⊙O的切線BD交AC的延伸線于點(diǎn)D，E是OB的中點(diǎn)，CE的延伸線交切線BD于點(diǎn)F，AF交⊙O于點(diǎn)H，連接BH．

（1）求證：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的長．

考點(diǎn)：

切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切

分析：

（1）連接OC，由C是的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，則CO⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；

（2）根據(jù)點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，得OE=BE，可證明△COE≌△FBE（ASA），則BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直徑，得BH⊥AF，可證明△ABF∽△BHF，即可得出BH的長．

解答：

（1）證明：連接OC，∵C是的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中點(diǎn)，∴OE=BE，在△COE和△FBE中，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∵OB=2，∴BF=2，∴AF==2，∵AB是直徑，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴=，∴AB?BF=AF?BH，∴BH===．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，是中檔題，難度不大．

26．（2013?營口）在如圖的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)）

（1）畫出△ABC向下平移3個(gè)單位后的△A1B1C1；

（2）畫出△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2，并求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所的路線長．

考點(diǎn)：

弧長的計(jì)算；作圖-平移變換；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．版權(quán)一切

專題：

網(wǎng)格型．

分析：

（1）根據(jù)平移的規(guī)律找到出平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依次連接即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出旋轉(zhuǎn)后各個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，依次連接即可．點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所的路線是半徑為OA，圓心角是90度的扇形的弧長．

解答：

解：（1）畫出△A1B1C1；

（2）畫出△A2B2C2

連接OA，OA2，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所的路線長為．

點(diǎn)評：

本題考查的是平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖．

作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步．平移作圖的普通步驟為：①確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點(diǎn)；②確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；③利用組對應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中一切關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；④按原圖形順序依次連接對應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形．

作旋轉(zhuǎn)后的圖形的根據(jù)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，基本作法是①先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；②利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；③按原圖形中的方式依次連接對應(yīng)點(diǎn)．要留意旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)方向和角度．

27．（2013?烏魯木齊）如圖．點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，求證：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

考點(diǎn)：

圓周角定理；垂徑定理；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理可得∠BAE=∠BOC，根據(jù)垂徑定理可得∠COF=∠BOC，再根據(jù)垂直的定義可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形類似證明即可；

（2）根據(jù)類似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，再根據(jù)圓周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE類似，根據(jù)類似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，從而得到=，再根據(jù)垂徑定理BC=2FC，代入整理即可得證．

解答：

證明：（1）如圖，連接OB，則∠BAE=∠BOC，∵OF⊥BC，∴∠COF=∠BOC，∴∠BAE=∠COF，又∵AC⊥BD，OF⊥BC，∴∠OFC=∠AEB=90°，∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，∴=，由圓周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∴=，∴=，∵OF⊥BC，∴BC=2FC，∴AD=?FO=2FO，即AD=2FO．

點(diǎn)評：

本題考查了圓周角定理，垂徑定理，類似三角形的判定與性質(zhì)，熟記兩個(gè)定理并精確識圖找出相等的角從而得到三角形類似是解題的關(guān)鍵．

28．（2013?溫州）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延伸BC至點(diǎn)D，使DC=CB，延伸DA與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AC，CE．

（1）求證：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的長．

考點(diǎn)：

圓周角定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)一切

分析：

（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

（2）首先設(shè)BC=x，則AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長．

解答：

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；

（2）解：設(shè)BC=x，則AC=x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．

點(diǎn)評：

此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度適中，留意掌握方程思想與數(shù)形思想的運(yùn)用．

29．（2013?深圳）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時(shí)測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．

考點(diǎn)：

垂徑定理的運(yùn)用；勾股定理；類似三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

分析：

根據(jù)已知得出旗桿高度，進(jìn)而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半徑即可．

解答：

解：∵小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，∴8米高旗桿DE的影子為：12m，∵測得EG的長為3米，HF的長為1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m），∴GM=MH=4m．

如圖，設(shè)小橋的圓心為O，連接OM、OG．

設(shè)小橋所在圓的半徑為r，∵M(jìn)N=2m，∴OM=（r﹣2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5，答：小橋所在圓的半徑為5m．

點(diǎn)評：

此題次要考查了垂徑定理以及勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)已知得出關(guān)于r的等式是解題關(guān)鍵．

30．（2013?邵陽）如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓O的半徑r．

考點(diǎn)：

垂徑定理的運(yùn)用；勾股定理．版權(quán)一切

分析：

根據(jù)垂徑定理可得AF=AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：

解：∵弓形的跨度AB=3m，EF為弓形的高，∴OE⊥AB，∴AF=AB=m，∵所在圓O的半徑為r，弓形的高EF=1m，∴AO=r，OF=r﹣1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=（）2+（r﹣1）2，解得r=（m）．

答：所在圓O的半徑為m．

點(diǎn)評：

本題考查了垂徑定理的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，此類標(biāo)題通常采用把半弦，弦心距，半徑三者放到同一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理解答．

31．（2013?廈門）（1）甲市共有三個(gè)郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：

郊縣

人數(shù)/萬

人均耕地面積/公頃

A

0.15

B

0.20

C

0.18

求甲市郊縣一切人口的人均耕地面積（到0.01公頃）；

（2）先化簡下式，再求值：，其中，；

（3）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，延伸DC，AB相交于點(diǎn)E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．

考點(diǎn)：

圓周角定理；分式的化簡求值；等腰三角形的判定；加權(quán)平均數(shù)．版權(quán)一切

分析：

（1）求出總面積和總?cè)丝?，再相除即可?/p>

（2）先算加法，再化成最簡分式，再代入求出即可；

（3）求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．

解答：

解：（1）甲市郊縣一切人口的人均耕地面積是≈0.17（公頃）；

（2）原式=

=

=x﹣y，當(dāng)x=+1，y=2﹣2時(shí)，原式=+1﹣（2﹣2）

=3﹣；

（3）證明：∵A、D、C、B四點(diǎn)共圓，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．

點(diǎn)評：

本題考查了分式求值，四點(diǎn)共圓，等腰三角形的性質(zhì)和判定，求平均數(shù)等知識點(diǎn)的運(yùn)用，次要考查先生的推理和計(jì)算能力．

32．（2013?黔東北州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB與點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求證：CB∥PD；

（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直徑．

考點(diǎn)：

圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）要證明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根據(jù)=可以確定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；

（2）根據(jù)題意可知∠P=∠CAB，則sin∠CAB=，即=，所以可以求得圓的直徑．

解答：

（1）證明：∵∠C=∠P

又∵∠1=∠C

∴∠1=∠P

∴CB∥PD；

（2）解：連接AC

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直徑為5．

點(diǎn)評：

本題考查的是垂徑定理和平行線、圓周角性質(zhì)，解題時(shí)細(xì)心是解答好本題的關(guān)鍵．

33．（2013?梅州）如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點(diǎn)E，交AD的延伸線于點(diǎn)F，設(shè)DA=2．

（1）求線段EC的長；

（2）求圖中暗影部分的面積．

考點(diǎn)：

扇形面積的計(jì)算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性質(zhì)．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)扇形的性質(zhì)得出AB=AE=4，進(jìn)而利用勾股定理得出DE的長，即可得出答案；

（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠DEA=30°，進(jìn)而求出圖中暗影部分的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．

解答：

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；

（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴圖中暗影部分的面積為：

S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB

=﹣×2×2﹣

=﹣2．

點(diǎn)評：

此題次要考查了扇形的面積計(jì)算以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出DE的長是解題關(guān)鍵．

34．（2013?涼山州）在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．

（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P的地位關(guān)系；

（2）若直線l點(diǎn)D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判斷直線l與⊙P的地位關(guān)系．

考點(diǎn)：

直線與圓的地位關(guān)系；點(diǎn)與圓的地位關(guān)系；作圖—復(fù)雜作圖．版權(quán)一切

專題：

壓軸題；探求型．

分析：

（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，畫出△ABC的外接圓，并指出點(diǎn)D與⊙P的地位關(guān)系即可；

（2）連接PE，用待定系數(shù)法求出直線PD與PE的地位關(guān)系即可．

解答：

解：（1）如圖所示：

△ABC外接圓的圓心為（﹣1，0），點(diǎn)D在⊙P上；

（2）方法一：連接PD，設(shè)過點(diǎn)P、D的直線解析式為y=kx+b，∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），∴，解得，∴此直線的解析式為y=2x+2；

設(shè)過點(diǎn)D、E的直線解析式為y=ax+c，∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），∴，解得，∴此直線的解析式為y=﹣x﹣3，∵2×（﹣）=﹣1，∴PD⊥DE，∵點(diǎn)D在⊙P上，∴直線l與⊙P相切．

方法二：連接PE，PD，∵直線

l過點(diǎn)

D（﹣2，﹣2），E

（0，﹣3），∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5，．．

∴PE2=PD2+DE2．

∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°．

∴PD⊥DE．

∵點(diǎn)D在⊙P上，∴直線l與⊙P相切．

點(diǎn)評：

本題考查的是直線與圓的地位關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形求解是解答此題的關(guān)鍵．

35．（2013?巴中）若⊙O1和⊙O2的圓心距為4，兩圓半徑分別為r1、r2，且r1、r2是方程組的解，求r1、r2的值，并判斷兩圓的地位關(guān)系．

考點(diǎn)：

圓與圓的地位關(guān)系；解二元方程組．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

首先由r1、r2是方程組的解，解此方程組即可求得答案；又由⊙O1和⊙O2的圓心距為4，根據(jù)兩圓地位關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系得出兩圓地位關(guān)系．

解答：

解：∵，①×3﹣②得：11r2=11，解得：r2=1，把r2=1代入①得：r1=4；

∴，∵⊙O1和⊙O2的圓心距為4，∴兩圓的地位關(guān)系為相交．

點(diǎn)評：

此題考查了圓與圓的地位關(guān)系與方程組的解法．留意掌握兩圓地位關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系是解此題的關(guān)鍵．

36．（2012?岳陽）如圖所示，在⊙O中，=，弦AB與弦AC交于點(diǎn)A，弦CD與AB交于點(diǎn)F，連接BC．

（1）求證：AC2=AB?AF；

（2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中暗影部分面積．

考點(diǎn)：

扇形面積的計(jì)算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）由=，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形類似可得出△ACF與△ABC類似，根據(jù)類似得比例可得證；

（2）連接OA，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點(diǎn)E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長，進(jìn)而求出AC的長，由扇形AOC的面積﹣△AOC的面積表示出暗影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出暗影部分的面積．

解答：

（1）證明：∵=，∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴=，即AC2=AB?AF；

（2）解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，如圖所示：

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=1cm，∴AE==cm，∴AC=2AE=2cm，則S暗影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm2．

點(diǎn)評：

此題考查了扇形面積的求法，涉及的知識有：類似三角形的判定與性質(zhì)，弧、圓心角及弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，純熟掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．

37．（2012?宜賓）如圖，⊙O1、⊙O2相交于P、Q兩點(diǎn)，其中⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=．過點(diǎn)Q作CD⊥PQ，分別交⊙O1和⊙O2于點(diǎn)C、D，連接CP、DP，過點(diǎn)Q任作不斷線AB交⊙O1和⊙O2于點(diǎn)A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延伸線交于點(diǎn)E．

（1）求證：；

（2）若PQ=2，試求∠E度數(shù)．

考點(diǎn)：

相交兩圓的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；圓周角定理；類似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）求出PC、PD，證△PAB∽△PCD，推出=，代入求出即可；

（2）求出cos∠CPQ=，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°，推出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．

解答：

（1）證明：∵⊙O1的半徑r1=2，⊙O2的半徑r2=，∴PC=4，PD=2，∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°，∴PC、PD分別是⊙O1、⊙O2的直徑，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD，∴===，即=．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2（已知），∴cos∠CPQ=，∴∠CPQ=60°，∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，∴sin∠PDQ=，∴∠PDQ=45°，∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，又∵CD⊥PQ，∴∠PQD=90°，∴PD是⊙O2的直徑，∴∠PBD=90°，∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，答：∠E的度數(shù)是75°．

點(diǎn)評：

本題考查了類似三角形的性質(zhì)和判定，相切兩圓的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解直角三角形，圓周角定理等知識點(diǎn)的運(yùn)用，次要培養(yǎng)先生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，標(biāo)題綜合性比較強(qiáng)，是一道比較好的標(biāo)題．

38．（2012?武漢）在銳角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；

（2）如圖2，點(diǎn)I為三角形ABC的內(nèi)心，BA=BC，求AI的長．

考點(diǎn)：

三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；三角形的面積；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題；壓軸題．

分析：

（1）作DB垂直于BC，連DC，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根據(jù)sinA的值求出即可；

（2）連接IC、BI，且延伸BI交AC于F，過I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根據(jù)sinA求出BF/AB，求出AC，根據(jù)三角形的面積公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．

解答：

（1）解：作DB垂直于BC，連DC，∵∠DBC=90°，∴DC為直徑．

∵∠A=∠D，BC=5，sinA=，∴sinD==，∴CD=，答：三角形ABC外接圓的直徑是．

（2）解：連接IC、BI，且延伸BI交AC于F，過點(diǎn)I作IG⊥BC于點(diǎn)G，過I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I為△ABC內(nèi)心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sinA==，∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=3，∵BA=BC，I是內(nèi)心，即BF是∠ABC的角平分線，∴AC=2AF=6，∵I是△ABC內(nèi)心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，設(shè)IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面積之和等于△ABC的面積，∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=，在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．

答：AI的長是．

點(diǎn)評：

本題考查了三角形的面積公式，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識點(diǎn)的運(yùn)用，次要考查先生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，標(biāo)題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．

39．（2012?無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動．當(dāng)P運(yùn)動到C點(diǎn)時(shí)，P、Q都中止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的工夫?yàn)閠s．

（1）當(dāng)P異于A、C時(shí)，請闡明PQ∥BC；

（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個(gè)運(yùn)動過程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？

考點(diǎn)：

直線與圓的地位關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）連接BD交AC于O，構(gòu)建直角三角形AOB．利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質(zhì)推知△PAQ∽△CAB；然后根據(jù)“類似三角形的對應(yīng)角相等”證得∠APQ=∠ACB；根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結(jié)論；

（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，構(gòu)建Rt△CPM，在Rt△CPM利用角的三角函數(shù)值求得PM=PC=，然后根據(jù)PM=PQ=AQ=t列出關(guān)于t的方程，經(jīng)過解方程即可求得t的值；

如圖3，⊙P過點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，根據(jù)等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)以及（2）中求得t的值來確定此時(shí)t的取值范圍；

如圖4，⊙P過點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程，經(jīng)過解方程求得t的值．

解答：

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；

如圖1，連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC，∴OB=AB=1（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），∴OA=（cm），AC=2OA=2（cm），運(yùn)動ts后，∴

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，∴∠APQ=∠ACB（類似三角形的對應(yīng)角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）

（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=

由PM=PQ=AQ=t，即=t

解得t=4﹣6，此時(shí)⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)；

如圖3，⊙P過點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1

∴時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．

如圖4，⊙P過點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．

∴當(dāng)1＜t≤3﹣時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C，即t=2時(shí)，⊙P過點(diǎn)B，此時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，∴當(dāng)t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2時(shí)，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)4﹣6＜t≤1時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：

本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、直線與圓的地位關(guān)系以及類似三角形的判定等性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，根據(jù)⊙P的運(yùn)動過程來確定t的值，以防漏解．

40．（2012?臺州）已知，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點(diǎn)，∠ABC=∠DBE，BD=BE．

（1）求證：△ABD≌△CBE；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC的外接圓圓心時(shí)，請判斷四邊形BDCE的外形，并證明你的結(jié)論．

考點(diǎn)：

三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；探求型．

分析：

（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS定理可知△ABD≌△CBE；

（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根據(jù)點(diǎn)D是△ABC外接圓圓心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判斷出BD=BE=CE=CD，故可得出四邊形BDCE是菱形．

解答：

（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD與△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE（SAS）

（2）解：四邊形BDCE是菱形．證明如下：

同（1）可證△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵點(diǎn)D是△ABC外接圓圓心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四邊形BDCE是菱形．

點(diǎn)評：

本題考查的是三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定定理，先根據(jù)題意判斷出△ABD≌△CBE是解答此題的關(guān)鍵．

41．（2012?日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

（Ⅰ）探求新知

如圖①，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G．

（1）求證：內(nèi)切圓的半徑r1=1；

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）結(jié)論運(yùn)用

（1）如圖②，若半徑為r2的兩個(gè)等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2的值；

（2）如圖③，若半徑為rn的n個(gè)等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均與AB相切，求rn的值．

考點(diǎn)：

相切兩圓的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（Ⅰ）（1）根據(jù)切線的性質(zhì)以及正方形的判定得出四邊形CEOF是正方形，進(jìn)而得出CE=CF=r1，再利用切線長定理求出即可；

（2）在Rt△AOG中，根據(jù)r1=1，AG=3﹣r1=2，求出tan∠OAG的值即可；

（Ⅱ）（1）由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，進(jìn)而得出AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2，即可求出r2=；

（2）根據(jù)（1）中所求可以得出AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，得到2rn+2rn+…+3rn=5，求出即可．

解答：

（Ⅰ）（1）證明：在圖①中，連接OE，OF，OA．

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E、F、G．

∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，∴四邊形CEOF是矩形，又∵EO=OF，∴四邊形CEOF是正方形，CE=CF=r1．

又∵AG=AE=3﹣r1，BG=BF=4﹣r1，AG+BG=5，∴（3﹣r1）+（4﹣r1）=5．

即r1=1．

（2）解：連接OG，在Rt△AOG中，∵r1=1，AG=3﹣r1=2，tan∠OAG==；

（Ⅱ）（1）解：連接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于點(diǎn)D、O2E⊥AB交于點(diǎn)E，AO1、BO2分別平分∠CAB、∠ABC．

由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2．

∵AD+DE+BE=5，r2=；

（2）解：如圖③，連接O1A、O，作O1D⊥AB交于點(diǎn)D、O2E⊥AB交于點(diǎn)E、…、OnM⊥AB交于點(diǎn)M．

則AO1、BOn分別平分∠CAB、∠ABC．

tan∠O1AD=，tan∠OM=，AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，又∵AD+DE+…+MB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，（2n+3）rn=5，rn=．

點(diǎn)評：

此題次要考查了切線長定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及相切兩圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出tan∠O1AD=，tan∠O2BE==是解題關(guān)鍵．

42．（2012?泉州）已知：A、B、C三點(diǎn)不在同不斷線上．

（1）若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的⊙O上，i）如圖①，當(dāng)∠A=45°，R=1時(shí)，求∠BOC的度數(shù)和BC的長；

ii）如圖②，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，求證：sinA=；

（2）若定長線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當(dāng)∠MAN=60°，BC=2時(shí)，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點(diǎn)為P，試探求在整個(gè)滑動過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離能否保持不變？請闡明理由．

考點(diǎn)：

三角形的外接圓與外心；圓周角定理；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）i）根據(jù)圓周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的長；

ii）作直徑CE，則∠E=∠A，CE=2R，利用sinA=sinE=，得出即可；

（2）首先證明點(diǎn)A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°=，得出AP==（定值）．

解答：

解：（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°，∵OB=OC=1，∴BC=，注：也可延伸BO或過O點(diǎn)作BC的垂線構(gòu)造直角三角形求得BC．

ii）證法一：如圖②，連接EB，作直徑CE，則∠E=∠A，CE=2R，∴∠EBC=90°

∴sinA=sinE=，證法二：如圖③．連接OB、OC，作OH⊥BC于點(diǎn)H，則∠A=∠BOC=∠BOH，BH=BC

∴sinA=sin∠BOH===，（2）如圖④，連接AP，取AP的中點(diǎn)K，連接BK、CK，在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK，同理得：BK=AK=PK，∴CK=BK=AK=PK，∴點(diǎn)A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°=

∴AP==（定值），故在整個(gè)滑動過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離不變．

點(diǎn)評：

此題次要考查了圓周角定理以及解直角三角形和四點(diǎn)共圓等知識，根據(jù)已知得出點(diǎn)A、B、P、C都在⊙K上以及sin60°=是解題關(guān)鍵．

43．（2012?南昌）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．

（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時(shí)，求O′A的長度；

②如圖2，當(dāng)折疊后的圓心為O時(shí)，求的長度；

③如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；

（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．

①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB、CD的距離之和為d，求d的值；

②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探求四邊形OMPN的外形，并證明你的結(jié)論．

考點(diǎn)：

相切兩圓的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；垂徑定理；弧長的計(jì)算；翻折變換（折疊成績）；解直角三角形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長度；

②如圖2，過點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；

③如圖3，連接O′A、O′B，過點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E，可得△AO′B為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識可求折疊后求所在圓的圓心O′到弦AB的距離；

（2）①如圖4，與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)O作EF⊥AB交于于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求點(diǎn)O到AB、CD的距離之和；

②根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證．

解答：

解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，∴O′A=OA=2；

②當(dāng)圓O時(shí)，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A、OA、O′B，OB，OO′

∵△OO′A△OO′B為等邊三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°

∴==；

③如圖3所示，連接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB為等邊三角形，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∴OE=OA?sin60°=．

（2）①如圖4，當(dāng)折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)H、交于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交于點(diǎn)F，即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上，∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知PH=PE，PG=PF，又∵EF=4，∴點(diǎn)O到AB、CD的距離之和d為：

d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，四邊形PNOM是平行四邊形．證明如下：

設(shè)折疊后的所在圓的圓心為O′，折疊后的所在圓的圓心為O″，∵點(diǎn)O′與點(diǎn)O關(guān)于AB對稱，點(diǎn)O″與點(diǎn)O關(guān)于CD對稱，∴O′M=OM，ON=O″N，∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn)，點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)

∵折疊后的與所在圓外切，∴連心線O′O″必過切點(diǎn)P，∵折疊后的與所在圓與⊙O是等圓，∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，同理：PN=OM，∴四邊形OMPN是平行四邊形．

點(diǎn)評：

綜合考查了相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計(jì)算，翻折變換（折疊成績），解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難度較大．

44．（2012?荊州）如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形（AB∥DC），支點(diǎn)A與B相距8m，罐底點(diǎn)到地面CD距離為1m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，∠D=56°，求：U型槽的橫截面（暗影部分）的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，結(jié)果保留整數(shù)）

考點(diǎn)：

垂徑定理的運(yùn)用；勾股定理；等腰梯形的性質(zhì)；解直角三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

分析：

連接AO、BO．過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N，ON交⊙O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，則OF⊥AB，先根據(jù)垂徑定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠AOB的度數(shù)，由勾股定理求出OF的長，根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形求出AE的長，再由S陰=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）即可得出結(jié)論．

解答：

解：如圖，連接AO、BO．過點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N，ON交⊙O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F．則OF⊥AB．

∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半徑，OM⊥AB，∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，∴∠AOF=53°，則∠AOB=106°，∵OF==3（m），由題意得：MN=1m，∴FN=OM﹣OF+MN=3（m），∵四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，F(xiàn)N⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．

在Rt△ADE中，tan56°==，∴DE=2m，DC=12m．

∴S陰=S梯形ABCD﹣（S扇OAB﹣S△OAB）=（8+12）×3﹣（π×52﹣×8×3）≈20（m2）．

答：U型槽的橫截面積約為20m2．

點(diǎn)評：

本題考查的是垂徑定理的運(yùn)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理進(jìn)行求解是解答此題的關(guān)鍵．

45．（2012?呼倫貝爾）如圖，線段AB與⊙O相切于點(diǎn)C，連接OA，OB，OB交⊙O于點(diǎn)D，已知OA=OB=6，AB=6．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求圖中暗影部分的面積．

考點(diǎn)：

扇形面積的計(jì)算；勾股定理；切線的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）線段AB與⊙O相切于點(diǎn)C，則可以連接OC，得到OC⊥AB，則OC是等腰三角形OAB底邊上的高線，根據(jù)三線合一定理，得到AC=3，在直角△OAC中根據(jù)勾股定理得到半徑OC的長；

（2）圖中暗影部分的面積等于△OAB的面積與扇形OCD的面積的差的一半．

解答：

解：（1）連接OC，則OC⊥AB．（1分）

∵OA=OB，∴AC=BC=AB=×6=3．（2分）

在Rt△AOC中，OC==3，∴⊙O的半徑為3；（4分）

（2）∵OC=，∴∠B=30°，∠COD=60°（5分）

∴扇形OCD的面積為S扇形OCD==π，（7分）

∴暗影部分的面積為S暗影=SRt△OBC﹣S扇形OCD=OC?CB﹣π=﹣π．（8分）

點(diǎn)評：

本題次要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，并且留意，不規(guī)則圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一些規(guī)則圖形的面積的和或差．

46．（2012?桂林）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，⊙O1⊙O2的圓心，依次連接A、O1、B、O2．

（1）求證：四邊形AO1BO2是菱形；

（2）過直徑AC的端點(diǎn)C作⊙O1的切線CE交AB的延伸線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE=2O2D；

（3）在（2）的條件下，若△AO2D的面積為1，求△BO2D的面積．

考點(diǎn)：

相交兩圓的性質(zhì)；菱形的判定；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據(jù)⊙O1與⊙O2是等圓，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四條邊都相等的四邊形是菱形可判定出結(jié)論；

（2）根據(jù)已知得出△ACE∽△AO2D，進(jìn)而得出，即可得出答案；

（3）首先證明△ACD∽△BO2D，得出，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面積關(guān)系得出答案即可．

解答：

證明：（1）∵⊙O1與⊙O2是等圓，∴AO1=O1B=BO2=O2A，∴四邊形AO1BO2是菱形；

（2）∵四邊形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB，∵CE是⊙O1的切線，AC是⊙O1的直徑，∴∠ACE=∠AO2C=90°，∴△ACE∽△AO2D，即CE=2DO2；

（3）∵四邊形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2

∴△ACD∽△BO2D，∴，∴AD=2BD，∵，∴，點(diǎn)評：

此題次要考查了類似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積關(guān)系和菱形判定等知識，純熟利用類似三角形的判定得出△ACE∽△AO2D是解題關(guān)鍵．

47．（2014?萊蕪）如圖1，在⊙O中，E是的中點(diǎn)，C為⊙O上的一動點(diǎn)（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點(diǎn)F，EB=（r是⊙O的半徑）．

（1）D為AB延伸線上一點(diǎn)，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；

（2）求EF?EC的值；

（3）如圖2，當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí)，求EC的值．

考點(diǎn)：

圓的綜合題；勾股定理的運(yùn)用；垂徑定理；圓周角定理；切線的判定；類似三角形的運(yùn)用．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得到OE⊥AB，則∠HEF+∠HFE=90°，由對頂相等得∠HFE=∠CFD，則∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得直線DC與⊙O相切；

（2）由=，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判斷△EBF∽△ECB，利用類似比得到EF?EC=BE2=（r）2=r2；

（3）如圖2，連接OA，由=得AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=r﹣x，根據(jù)勾股定理，在Rt△OAH中有AH2+x2=r2；在Rt△EAH中由AH2+（r﹣x）2=（r）2，利用等式的性質(zhì)得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，則HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AH=，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四等分點(diǎn)，所以HF=AH=，于是在Rt△EFH中可計(jì)算出EF=r，然后利用（2）中的結(jié)論可計(jì)算出EC．

解答：

（1）證明：連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，∵E是的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直線DC與⊙O相切；

（2）解：連接BC，∵E是的中點(diǎn)，∴=，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，∴EF?EC=BE2=（r）2=r2；

（3）解：如圖2，連接OA，∵=，∴AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=r﹣x，在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2，∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，而F是AB的四等分點(diǎn)，∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，∵EF?EC=r2，∴r?EC=r2，∴EC=r．

點(diǎn)評：

本題考查了圓的綜合題：純熟掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理；會利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算，利用類似三角形的知識處理有關(guān)線段等積的成績．

48．（2012?崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一點(diǎn)，OP=24cm，以r為半徑作⊙P．

（1）若r=12cm，試判斷⊙P與OB地位關(guān)系；

（2）若⊙P與OB相離，試求出r需滿足的條件．

考點(diǎn)：

直線與圓的地位關(guān)系．版權(quán)一切

分析：

（1）過點(diǎn)P作PC⊥OB，垂足為C根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出PC，得出PC=r，則得出⊙P與OB地位關(guān)系是相切；

（2）根據(jù)相切時(shí)半徑=12，再根據(jù)當(dāng)r＜d時(shí)相離，即可求出答案．

解答：

解：過點(diǎn)P作PC⊥OB，垂足為C，則∠OCP=90°．

∵∠AOB=30°，OP=24cm，∴PC=OP=12cm．

（1）當(dāng)r=12cm時(shí)，r=PC，∴⊙P與OB相切，即⊙P與OB地位關(guān)系是相切．

（2）當(dāng)⊙P與OB相離時(shí)，r＜PC，∴r需滿足的條件是：0cm＜r＜12cm．

點(diǎn)評：

本題考查了直線與圓的地位關(guān)系和含30度角的直角三角形性質(zhì)，留意：已知圓的半徑r，圓心到直線l的距離為d，①當(dāng)d＞r時(shí)，直線l與圓相離，②當(dāng)d=r時(shí)，直線l與圓相切，③當(dāng)d＜r時(shí)，直線l與圓相交．

49．（2012?崇左）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點(diǎn)A、B、C．

（1）求點(diǎn)D沿三條弧運(yùn)動到點(diǎn)G所的路線長；

（2）判斷直線GB與DF的地位關(guān)系，并闡明理由．

考點(diǎn)：

弧長的計(jì)算；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)弧長的計(jì)算公式，代入運(yùn)算即可．

（2）先證明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，從而利用等量代換可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．

解答：

解：（1）根據(jù)弧長公式得所求路線長為：++=3π．

（2）GB⊥DF．

理由如下：

在△FCD和△GCB中，∵，∴△FCD≌△GCB（SAS），∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．

點(diǎn)評：

本題考查了弧長的計(jì)算、全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是純熟各個(gè)知識點(diǎn)，將所學(xué)知識融會貫通，難度普通．

50．（2011?資陽）如圖，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點(diǎn)．

（1）連接AB、AD、AF，求證：AB+AF=AD；

（2）若P是圓周上異于已知六等分點(diǎn)的動點(diǎn)，連接PB、PD、PF，寫出這三條線段長度的數(shù)量關(guān)系（不必闡明理由）．

考點(diǎn)：

圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

動點(diǎn)型．

分析：

（1）連接OB、OF，得到等邊△AOB、△AOF，據(jù)此并演的性質(zhì)，即可推理出AB=AF=AO=OD，從而得到AB+AF=AD；

（2）由于AD是⊙O的直徑，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點(diǎn)，故點(diǎn)B與點(diǎn)F，點(diǎn)C與點(diǎn)E均關(guān)于AD對稱，故分點(diǎn)P在不同的地位﹣﹣﹣在上、在上、在上三種情況討論．

解答：

解：（1）連接OB、OF．

∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點(diǎn)，∴AD是⊙O的直徑，且∠AOB=∠AOF=60°，∴△AOB、△AOF是等邊三角形．

∴AB=AF=AO=OD，∴AB+AF=AD．

（2）當(dāng)P在上時(shí)，PB+PF=PD；

當(dāng)P在上時(shí)，PB+PD=PF；

當(dāng)P在上時(shí)，PD+PF=PB．

點(diǎn)評：

本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系及等邊三角形的判定與性質(zhì)，要留意標(biāo)題中的隱含條件﹣﹣﹣半徑相等及分類討論思想的運(yùn)用．

51．（2011?宜昌）如圖，某商標(biāo)是由邊長均為2的正三角形、正方形、正六邊形的金屬薄片鑲嵌而成的鑲嵌圖案．

（1）求這個(gè)鑲嵌圖案中一個(gè)正三角形的面積；

（2）如果在這個(gè)鑲嵌圖案中隨機(jī)確定一個(gè)點(diǎn)O，那么點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率為多少？（結(jié)果保留二位小數(shù)）

考點(diǎn)：

正多邊形和圓；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平面鑲嵌（密鋪）；幾何概率．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）過A作AD⊥BC于D，根據(jù)等邊△ABC，得到BD=BC，由勾股定理求出AD=，根據(jù)△ABC的面積是BC?AD代入即可求出答案；

（2）由圖形得到由10個(gè)正三角形，11個(gè)正方形，2個(gè)正六邊形，分別求出三個(gè)圖形的面積，即可求出點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率．

解答：

解：（1）過A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，BC=2，∴BD=CD=BC=1，在△BDA中由勾股定理得：AD===，∴△ABC的面積是BC?AD=×2×=，答：這個(gè)鑲嵌圖案中一個(gè)正三角形的面積是．

（2）由圖形可知：由10個(gè)正三角形，11個(gè)正方形，2個(gè)正六邊形，正方形的面積是2×2=4，連接OA、OB，∵圖形是正六邊形，∴△OAB是等邊三角形，且邊長是2，即等邊三角形的面積是，∴正六邊形的面積是6×=6，∴點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率是≈0.54，答：點(diǎn)O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率約為0.54．

點(diǎn)評：

本題次要考查對正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何概率，勾股定理，平面鑲嵌等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．

52．（2011?盤錦）如圖，風(fēng)車的支桿OE垂直于桌面，風(fēng)車O到桌面的距離OE為25cm，小小風(fēng)車在風(fēng)吹動下繞著O不停地轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中，葉片端點(diǎn)A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm．

（1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)∠AOE=45°時(shí)，求點(diǎn)A到桌面的距離（結(jié)果保留根號）．

（2）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點(diǎn)A絕對于桌面的高度不超過20cm所的路徑長（結(jié)果保留π）．

考點(diǎn)：

弧長的計(jì)算；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義；角的三角函數(shù)值．版權(quán)一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）作A1F⊥MN于點(diǎn)F，A1G⊥OE于點(diǎn)G，在Rt△A1OG中，利用三角函數(shù)可求得OG，從而得出點(diǎn)A到桌面的距離A1F；

（2）作A2H⊥MN于H，則A2H=20．作A2D⊥OE于點(diǎn)D，則DE=A2H．在Rt△A2OD中，由角的三角函數(shù)得∠A2OD=60°，由圓的軸對稱性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．從而得出點(diǎn)A所的路徑長．

解答：

解：（1）如圖（1），點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A1的地位時(shí)∠AOE=45°．

作A1F⊥MN于點(diǎn)F，A1G⊥OE于點(diǎn)G，∴A1F=GE．

在Rt△A1OG中，∵∠A1OG=45°，OA1=10，∴OG=OA1?cos45°=10×=5．

∵OE=25，∴GE=OE﹣OG=25﹣5．

∴A1F=GE=25﹣5．

答：點(diǎn)A到桌面的距離是（25﹣5）厘米．

（2）如圖（2），點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中運(yùn)動到點(diǎn)A2、A3的地位時(shí)，點(diǎn)A到桌面的距離等于20厘米．

作A2H⊥MN于H，則A2H=20．作A2D⊥OE于點(diǎn)D，∴DE=A2H．

∵OE=25，∴OD=OE﹣DE=25﹣20=5．

在Rt△A2OD中，∵OA2=10，∴cos∠A2OD===．

∴∠A2OD=60°．

由圓的軸對稱性可知，∠A3OA2=2∠A2OD=120°．

∴點(diǎn)A所的路徑長為=．

答：點(diǎn)A所的路徑長為厘米．

點(diǎn)評：

本題考查了弧長的計(jì)算、勾股定理、角的三角函數(shù)值以及銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)難度偏大．

53．（2011?南通）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相反點(diǎn)和不同點(diǎn)．例如：

它們的一個(gè)相反點(diǎn)：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等．

它們的一個(gè)不同點(diǎn)：正五邊形不是對稱圖形，正六邊形是對稱圖形．

請你再寫出它們的兩個(gè)相反點(diǎn)和不同點(diǎn)：

相反點(diǎn)：

①　都是軸對稱圖形??；

②　都有外接圓和內(nèi)切圓?。?/p>

不同點(diǎn)：

①　內(nèi)角和不同??；

②　對角線的條數(shù)不同?。?/p>

考點(diǎn)：

正多邊形和圓．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題．

分析：

此題要了解正多邊形的有關(guān)性質(zhì)：正多邊形的各邊相等，正多邊形的各個(gè)角相等，一切的正多邊形都是軸對稱圖形，偶數(shù)邊的正多邊形又是對稱圖形．根據(jù)正多邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析它們的相反和不同之處．

解答：

解：相反點(diǎn)不同點(diǎn)

①都有相等的邊．①邊數(shù)不同；

②都有相等的內(nèi)角．②內(nèi)角的度數(shù)不同；

③都有外接圓和內(nèi)切圓．③內(nèi)角和不同；

④都是軸對稱圖形．④對角線條數(shù)不同；

⑤對稱軸都交于一點(diǎn)．⑤對稱軸條數(shù)不同．

點(diǎn)評：

本題考查了正多邊形和圓的知識，一個(gè)是奇數(shù)邊的正多邊形，一個(gè)是偶數(shù)邊的正多邊形．此題的答案不，只需抓住正多邊形的性質(zhì)進(jìn)行回答均可．

54．（2014?云南）已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線AC上的一動點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC挪動時(shí)，過點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問在x軸的正半軸上能否存在使△DOM與△ABC類似的點(diǎn)M？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請闡明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC挪動時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長畫圓．得到的圓稱為動圓P．若設(shè)動圓P的半徑長為，過點(diǎn)D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請?zhí)角笤趧訄AP中能否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請闡明理由．

考點(diǎn)：

圓的綜合題；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；垂線段最短；勾股定理；切線長定理；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

綜合題；壓軸題；存在型；分類討論．

分析：

（1）只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式．

（2）由于△DOM與△ABC類似，對應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形類似求出OM的長，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）易證S△PED=S△PFD．從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對應(yīng)的四邊形DEPF的面積最?。柚谌切晤愃疲纯汕蟪鯠P⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．

解答：

解：（1）過點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示．

∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．

∴==．

∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，∴CP=CA．

∴HP=OA，CH=CO．

∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．

∴HP=，CH=2．

∴OH=2．

∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）．

設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，∴

∴

∴直線DP的解析式為y=x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．

∴=．

∴OM=．

∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）

②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．

∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．

∴OM=．

∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．

綜上所述：若△DOM與△CBA類似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．

∴PE=PF=AC=．

∵DE、DF都與⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．

∴S△PED=S△PFD．

∴S四邊形DEPF=2S△PED

=2×PE?DE

=PE?DE

=DE．

∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．

=DP2﹣．

根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：

當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最?。?/p>

∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．

∴∠AOC=∠DPC．

∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．

∴=．

∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．

∴DP=．

∴DE2=DP2﹣

=（）2﹣

=．

∴DE=，∴S四邊形DEPF=DE

=．

∴四邊形DEPF面積的最小值為．

點(diǎn)評：

本題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線的解析式、切線長定理、勾股定理、垂線段最短等知識，考查了分類討論的思想．將求DE的最小值轉(zhuǎn)化為求DP的最小值是處理第3小題的關(guān)鍵．另外，要留意“△DOM與△ABC類似”與“△DOM∽△ABC“之間的區(qū)別．

55．（2011?綿陽）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切．

（1）求證：OB⊥OC；

（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O1的面積．

考點(diǎn)：

相切兩圓的性質(zhì)；直角梯形．版權(quán)一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）證明兩個(gè)銳角的和等于90°即可；

（2）求得⊙O1的半徑后代入圓的面積公式求得其面積即可．

解答：

（1）證明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切，∴AB，BC，CD均與半圓O相切，∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．

又∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．

∴2∠CBO+2∠BCO=180°，于是∠CBO+∠BCO=90°，∴∠BOC=180°﹣（∠CBO+∠BCO）=180°﹣90°=90°，即OB⊥OC．

（2）解：設(shè)CD切⊙O1于點(diǎn)M，連接O1M，則O1M⊥CD．

設(shè)⊙O1的半徑為r．

∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，∴∠O1CM=30°．

在Rt△O1CM中，CO1=2r，O1M=r．

在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．

∵⊙O1與半圓O外切，∴OO1=6+r，于是，由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，解得r=2，因此⊙O1的面積為4π．

點(diǎn)評：

本題考查了相切兩圓的性質(zhì)及直角梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相切兩圓半徑只間的關(guān)系確定兩圓心之間的距離．

56．（2014?貴港）如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點(diǎn)P是大半圓O上一點(diǎn)，PA與小半圓M交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥OP于點(diǎn)D．

（1）求證：CD是小半圓M的切線；

（2）若AB=8，點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），設(shè)PD=x，CD2=y．

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

②當(dāng)y=3時(shí)，求P，M兩點(diǎn)之間的距離．

考點(diǎn)：

圓的綜合題；平行線的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；切線的判定；類似三角形的判定與性質(zhì)；角的三角函數(shù)值．版權(quán)一切

專題：

代數(shù)幾何綜合題．

分析：

（1）連接CO、CM，只需證到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需證到CM∥OP，只需證到CM是△AOP的中位線即可．

（2）①易證△ODC∽△CDP，從而得到CD2=DP?OD，進(jìn)而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式．由于當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)x=0，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)x=4，點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），因此自變量x的取值范圍為0＜x＜4．

②當(dāng)y=3時(shí)，得到﹣x2+4x=3，求出x．根據(jù)x的值可求出CD、PD的值，從而求出∠CPD，運(yùn)用勾股定理等知識就可求出P，M兩點(diǎn)之間的距離．

解答：

解：（1）連接CO、CM，如圖1所示．

∵AO是小半圓M的直徑，∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，∴AC=PC．

∵AM=OM，∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°即CD⊥CM．

∵CD半徑CM的外端C，且CD⊥CM，∴直線CD是小半圓M的切線．

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴．

∴CD2=DP?OD．

∵PD=x，CD2=y，OP=AB=4，∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，x=4；

∵點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），∴0＜x＜4．

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+4x，自變量x的取值范圍是0＜x＜4．

②當(dāng)y=3時(shí)，﹣x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

Ⅰ．當(dāng)x=1時(shí)，如圖2所示．

在Rt△CDP中，∵PD=1，CD=．

∴tan∠CPD==，∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，∴△OAP是等邊三角形．

∵AM=OM，∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2．

Ⅱ．當(dāng)x=3時(shí)，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

過點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H，連接PM，如圖3所示．

∵sin∠POH===，∴PH=2．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，∵M(jìn)H=4，PH=2，∴PM=

=

=2．

綜上所述：當(dāng)y=3時(shí)，P，M兩點(diǎn)之間的距離為2或2．

點(diǎn)評：

本題考查了切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、類似三角形的判定與性質(zhì)、角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識，綜合性比較強(qiáng)．

57．（2011?杭州）在平面上，七個(gè)邊長為1的等邊三角形，分別用①至⑦表示（如圖）．從④⑤⑥⑦組成的圖形中，取出一個(gè)三角形，使剩下的圖形平移，與①②③組成的圖形拼成一個(gè)正六邊形

（1）你取出的是哪個(gè)三角形？寫出平移的方向和平移的距離；

（2）將取出的三角形任意放置在拼成的正六邊形所在平面，問：正六邊形沒有被三角形蓋住的面積能否等于？請闡明理由．

考點(diǎn)：

正多邊形和圓；等邊三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）取出⑦，觀察圖象，根據(jù)圖象進(jìn)行平移即可；

（2）可以做到．先求出每個(gè)等邊三角形的面積，得到正六邊形的面積為，根據(jù)﹣覆蓋住正六邊形即可．

解答：

解：（1）取出⑦，向上平移1個(gè)單位；

答：取出的是三角形⑦，平移的方向向上平移，平移的距離是1個(gè)單位．

（2）可以做到．

理由是：∵每個(gè)等邊三角形的面積是，∴正六邊形的面積為，而0＜S6﹣＜，∴0＜﹣＜S1，∴只需用⑦的面積覆蓋住正六邊形就能做到．

點(diǎn)評：

本題次要考查對正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．

58．（2011?東莞）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，0），⊙P的半徑為2，將⊙P沿x軸向右平移4個(gè)單位長度得⊙P1

（1）畫出⊙P1，并直接判斷⊙P與⊙P1的地位關(guān)系；

（2）設(shè)⊙P1與x軸正半軸，y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B．求劣弧與弦AB圍成的圖形的面積（結(jié)果保留π）

考點(diǎn)：

圓與圓的地位關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．版權(quán)一切

分析：

（1）根據(jù)題意作圖即可求得答案，留意圓的半徑為2；

（2）首先根據(jù)題意求得扇形BP1A與△BP1A的面積，再作差即可求得劣弧與弦AB圍成的圖形的面積．

解答：

解：（1）如圖：

∴⊙P與⊙P1的地位關(guān)系是外切；

（2）如圖：∠BP1A=90°，P1A=P1B=2，∴S扇形BP1A=，=π，S△AP1B=×2×2=2，∴劣弧與弦AB圍成的圖形的面積為：π﹣2．

點(diǎn)評：

此題考查了圓與圓的地位關(guān)系以及扇形面積的求解方法．標(biāo)題難度不大，解題的關(guān)鍵是留意數(shù)形思想的運(yùn)用．

59．（2011?大慶）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AC邊長為4，BC邊長為3，它的內(nèi)切圓為⊙0，⊙0與邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，延伸C0交斜邊AB于點(diǎn)G．

（1）求⊙0的半徑長；

（2）求線段DG的長．

考點(diǎn)：

三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；勾股定理；類似三角形的判定與性質(zhì)．版權(quán)一切

專題：

計(jì)算題；壓軸題．

分析：

（1）由勾股定理求AB，設(shè)⊙O的半徑為r，則r=（AC+BC﹣AB）求解；

（2）過G作GP⊥AC，垂足為P，根據(jù)CG平分直角∠ACB可知△PCG為等腰直角三角形，設(shè)PG=PC=x，則CG=x，由（1）可知CO=r=，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用類似比求x，由OG=CG﹣CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．

解答：

解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==5，∴⊙O的半徑r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；

（2）過G作GP⊥AC，垂足為P，設(shè)GP=x，由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，∴GP=PC=x，∵Rt△AGP∽Rt△ABC，∴=，解得x=，即GP=，CG=，∴OG=CG﹣CO=﹣=，在Rt△ODG中，DG==．

點(diǎn)評：

本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，類似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)作輔助線，運(yùn)用三角形類似及勾股定理解題．

60．（2014?河南）（1）成績發(fā)現(xiàn)

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同不斷線上，連接BE．

填空：

①∠AEB的度數(shù)為　60°?。?/p>

②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為　AD=BE?。?/p>

（2）拓展探求

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同不斷線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并闡明理由．

（3）處理成績

如圖3，在正方形ABCD中，CD=，若點(diǎn)P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．

考點(diǎn)：

圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．版權(quán)一切

專題：

綜合題；壓軸題；探求型．

分析：

（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同不斷線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接上去需對兩個(gè)地位分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可處理成績．

解答：

解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點(diǎn)A，D，E在同不斷線上，∴∠ADC=120°．

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案為：60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．

故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點(diǎn)A，D，E在同不斷線上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．

∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．

∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．

①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示地位時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．

∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵A、P、D、B四點(diǎn)共圓，∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．

∴=2AH+1．

∴AH=．

②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示地位時(shí)，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延伸線于點(diǎn)E，如圖3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴=2AH﹣1．

∴AH=．

綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．

點(diǎn)評：

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考查了運(yùn)用已有的知識和處理成績的能力，是表現(xiàn)新課程理念的一道好題．而經(jīng)過添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論處理成績是處理第（3）的關(guān)鍵．