《菱形》解題策略（下）

核心考點(diǎn)一、菱形中的最短路徑問題

例1．如圖，點(diǎn)P是邊長為4的菱形ABCD形對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，求MP+PN的最小值.例2．如圖，菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，M、N分別是BC、CD上的動點(diǎn)，P是線段BD上的一個動點(diǎn)，求PM+PN的最小值.例3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角

線BD上的動點(diǎn)，連接PA，PE，PC，當(dāng)PA+PE的值最小時，求PC的長．

核心考點(diǎn)二、菱形中的折疊問題

例4．如圖，將菱形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，折痕為CE．若∠D＝70°，求∠AEF的度數(shù)．

例5．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是CD上一點(diǎn)，將△ADE折疊，折痕為AE，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)

為點(diǎn)D′，AD′與BC交于點(diǎn)F，若F為BC中點(diǎn)，求∠AED的度數(shù)．

例6．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE為BC邊上的高，將△ABE沿AE所在直線翻

折得△AB′E，AB′與CD邊交于點(diǎn)F，求B′F的長度．

例7．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．過

點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O．．

（1）求證：四邊形FBGD是菱形；

（2）若AB＝6，AD＝8，求DG的長．

例8．在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對

角線BD上的點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長．

核心考點(diǎn)三、菱形的判定與性質(zhì)

例9．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF．

（1）證明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．

（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；

（3）在（2）的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并說明理由．

例10．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC

交BE的延長線于點(diǎn)F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．

練習(xí)1．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為（）

A．3

B．4

C．5

D．6

練習(xí)2．如圖，在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，則AE的長為（）

A．16

B．15

C．14

D．13

練習(xí)3．如圖，將兩張長為5，寬為1的矩形紙條交叉，若兩張紙條重疊部分為一個四邊形（兩紙條不互相重合），則這個四邊形的周長的最大值是（）

A．8

B．10

C．10.4

D．12

練習(xí)4．如圖，在菱形ABCD中，若∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且BE＝AF，則∠AEC+∠AFC的度數(shù)等于（）

A．120°

B．140°

C．160°

D．180°

練習(xí)5．如圖，菱形ABCD的周長為8cm，高AE長為cm，則對角線AC長和BD長之比為（）

A．

B．

C．

D．