2019-2020學(xué)年市高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．下列表示中不正確的是（）

A．終邊在軸上角的集合是

B．終邊在軸上角的集合是

C．終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是

D．終邊在直線上角的集合是

【答案】D

【解析】根據(jù)終邊相同的角的定義逐一判斷得答案．

【詳解】

解：對(duì)于，終邊在軸上角的集合是，故正確；

對(duì)于，終邊在軸上的角的集合是，故正確；

對(duì)于，終邊在軸上的角的集合為，終邊在軸上的角的集合為，故合在一起即為，，故正確；

對(duì)于，終邊在直線上的角的集合是，故不正確．

表述不正確的是：．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假的判斷，角的定義以及終邊相同的角的判斷，是基礎(chǔ)題．

2．已知，點(diǎn)為角的終邊上一點(diǎn)，且，則角（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由已知，得出

sin（α﹣β），將β角化為β＝α﹣（α﹣β），根據(jù)和差角公式，求出β的某種三角函數(shù)值，再求出β．

【詳解】

∵|OP|＝7，∴sinα，cosα．

由已知，根據(jù)誘導(dǎo)公式即為sinαcosβ﹣cosαsinβ，∴，∵

∴0＜α﹣β，∴cos（α﹣β），∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），∵，所以角β

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、和差角公式的應(yīng)用：三角式求值、求角．運(yùn)用和差角公式時(shí)，角的轉(zhuǎn)化非常關(guān)鍵，注意要將未知角用已知角來表示．常見的角的代換形式：β＝α﹣（α﹣β），2α＝（α﹣β）+（α+β）等．

3．在中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，若，則是（）

A．等邊三角形

B．鈍角三角形

C．等腰直角三角形

D．任意三角形

【答案】C

【解析】根據(jù)正弦定理及條件即可得出，于是。

【詳解】

由正弦定理得：，又，于是，即是等腰直角三角形

故選：C.【點(diǎn)睛】

本題考查了解三角形中的正弦定理得運(yùn)用，判斷三角形的類型，屬于基礎(chǔ)題.4．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為：弧田面積=，弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”指半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差?，F(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田.下列說法不正確的是（）

A．“弦”米，“矢”米

B．按照經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積（）平方米

C．按照弓形的面積計(jì)算實(shí)際面積為（）平方米

D．按照經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積比實(shí)際面積少算了大約0.9平方米（參考數(shù)據(jù))

【答案】C

【解析】運(yùn)用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面積，運(yùn)用扇形的面積公式和三角形的面積公式，可得實(shí)際面積，計(jì)算可得結(jié)論．

【詳解】

解：如圖，由題意可得∠AOB，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD，∠DAO，ODAO，可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsin42，可得弦＝2AD＝4，所以弧田面積（弦×矢+矢2）（42+22）＝4平方米．

實(shí)際面積，．

可得A，B，D正確；C錯(cuò)誤．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的定義以及運(yùn)算能力、推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

二、填空題

5．已知扇形的半徑為4，弧所對(duì)的圓心角為2

rad，則這個(gè)扇形的面積為_______.【答案】16

【解析】直接利用扇形的面積公式求出扇形的面積即可.【詳解】

扇形的圓心角為2,半徑為4,扇形的面積，故答案為16.【點(diǎn)睛】

本題主要考查扇形的面積的求法，弧長(zhǎng)、半徑、圓心角的關(guān)系，考查利用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，是基礎(chǔ)題.在解決弧長(zhǎng)、面積及扇形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形的性質(zhì).6．若，則______．

【答案】2

【解析】首先根據(jù)題中所給的條件，利用

差角公式展開，求得，之后將待求的式子利用倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入求得結(jié)果.【詳解】

由，可求得，故答案是：2.【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正切的差角公式，正切的倍角公式，余弦的和角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式，正確應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.7．已知，則______．

【答案】

【解析】利用兩角差正切公式即可得到結(jié)果.【詳解】,故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查兩角和與差的正切公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．若函數(shù)y＝2－x＋1＋m的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍是________．

【答案】(－∞，－2]

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象列不等式，解得m的取值范圍.【詳解】

函數(shù)y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m，∵函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，∴()0－1＋m≤0，即m≤－2.【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查基本分析求解能力.9．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的解析式為_______.【答案】

【解析】由函數(shù)的奇偶性解函數(shù)的解析式。

【詳解】

解：是定義在上的奇函數(shù)

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查借助函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題。

10．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，則該三角形的最大內(nèi)角為_________

【答案】

【解析】由題意可得三角形的最大內(nèi)角即邊7對(duì)的角，設(shè)為θ，由余弦定理可得

cosθ的值，即可求得θ的值．

【詳解】

根據(jù)三角形中，大邊對(duì)大角，故邊長(zhǎng)分別為3，5，7的三角形的最大內(nèi)角即邊7對(duì)的角，設(shè)為θ，則由余弦定理可得

cosθ，∴θ＝，故答案為：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，大邊對(duì)大角，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于基礎(chǔ)題．

11．若函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是________.【答案】

【解析】對(duì)系數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)分類討論。

【詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)

故①解得

②解得

綜上：

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題。

12．設(shè)且，若，則______．

【答案】1

【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解，得到答案.【詳解】

設(shè)且，若，所以，所以，又，所以，又由，則

所以

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系的化簡(jiǎn)求值問題，其中解答中合理利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13．內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是，，且.當(dāng)，的面積為______.【答案】

【解析】由，利用正弦定理得到，再用余弦定理求得b，可得a、c，利用面積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】

由正弦定理可化為，所以，在三角形中，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，由余弦定理得，又，所以?故的面積為.故答案為.【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

14．在△ABC中，已知，其中，若為定值，則實(shí)數(shù)＝__.【答案】

【解析】首先根據(jù)，求得，根據(jù)題中所給的條件，得到，再結(jié)合題中所給的條件為定值，設(shè)其為k，從而整理得出恒成立，從而求得結(jié)果.【詳解】

由，得：，由，得：，即，（k為定值），即，即恒成立，所以，故答案是：.【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)根據(jù)條件求參數(shù)的值的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角差的正弦公式，三角形的內(nèi)角和，誘導(dǎo)公式，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.三、解答題

15．已知．

（1）求的值；

（2）若且，求的值．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解，代入直接求解即可；

（2）由條件可得，再平方得，結(jié)合角的范圍可得，進(jìn)而得和的值，從而得解.【詳解】

（1）因?yàn)?，所?/p>

（2）因?yàn)?，所以，所以，兩邊平方，得，所以，即，因?yàn)?，所以，所?/p>

所以，結(jié)合，解得，……

故

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系，對(duì)于sin＋cos，sincos，sin－cos這三個(gè)式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．屬于中檔題.16．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線y=2x上.則

(1)求的值；

(2)已知，求的值.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義可得＝2，再利用兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值．

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得再利用兩角差的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．

【詳解】

(1)依題意

c

=

.(2)，∴,，∴

.【點(diǎn)睛】

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、兩角和與差的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

17．在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且.（1）求的值；

（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）（2）

【解析】(1)根據(jù)正弦定理得到，即，進(jìn)而得到角B；（2）由余弦定理結(jié)合第一問得到，利用均值不等式求最值即可.【詳解】

（1）∵，由正弦定理得，即，∴，即，又，∴.（2）∵，又由（1）得，由余弦定理得，即，∴，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴周長(zhǎng)的最大值為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.18．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的奇偶性并說明理由；

（2）求的最小值.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）考查函數(shù)的奇偶性，用特殊值法判斷函數(shù)及不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值．

【詳解】

解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)

此時(shí)，為偶函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

（2）①當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則函數(shù)在，上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在，上的最小值為．

若，則函數(shù)在，上的最小值為，且．

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)

若，則函數(shù)在，上的最小值為；

若，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在，上的最小值為．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．

【點(diǎn)睛】

本題為函數(shù)的最值和奇偶性的考查；是高考?？嫉闹R(shí)點(diǎn)之一；而求最值時(shí)需要注意的是先判斷函數(shù)的單調(diào)性．

19．在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，，滿足.（1）求證：；

（2）若的面積為，求角的大小.【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】（1）根據(jù)余弦定理，與可得，再利用正弦定理可得結(jié)合內(nèi)角和定理與兩角和與差正弦公式可得結(jié)果；

（2）利用面積公式有，可得，又從而有，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】

（1）在中，根據(jù)余弦定理，又因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理，.因?yàn)?，即，則，所以，即.因?yàn)椋瑒t，所以，或（應(yīng)舍去）.所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，即，所以?當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由，解得，則.綜上，或.【點(diǎn)睛】

解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.20．已知函數(shù)，記．

⑴解不等式：；

⑵設(shè)k為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求k的取值范圍；

⑶記(其中a，b均為實(shí)數(shù))，若對(duì)于任意的，均有，求a，b的值．

【答案】(1)

(2)

(3)，【解析】⑴函數(shù)，即為，即為，可得解集；

⑵根據(jù)，利用換元法，求解最值，即可求解k的取值范圍；

⑶根據(jù)(其中a，b均為實(shí)數(shù))，均有，建立關(guān)系即可求解a，b的值．

【詳解】

⑴函數(shù)，即為，即為，即有，解得，即解集為；

⑵存在實(shí)數(shù)，使得成立，即為，設(shè)，在遞增，可得，即有，則，設(shè)，即有，在遞增，可得，即有.⑶，令，，．

若對(duì)于任意的，均有，即對(duì)任意，．，解得：，．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)恒成立問題的求解，分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，二次函數(shù)閉區(qū)間是的最值以及單調(diào)性的應(yīng)用．