2021年中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺復(fù)習(xí)：二次函數(shù)

解答題專題練習(xí)

1、如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），點A的坐標是（2，0），P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E，拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P在第二象限內(nèi)，且PE＝OD，求△PBE的面積．

（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

2、如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點N，過A點的直線l：y＝kx+n與y軸交于點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c的另一個交點為D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P點為拋物線y＝﹣x2+bx+c上一動點（不與A、D重合）．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）當點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l于點E，作PF∥y軸交直線l于點F，求PE+PF的最大值；

（3）設(shè)M為直線l上的點，探究是否存在點M，使得以點N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

3、如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點．點P為拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m+2的頂點．

（1）當m＝0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù)．

（2）當m＝3時，求該拋物線上的好點坐標．

（3）若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．

4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過點D（﹣2，﹣3）和點E（3，2），點P是第一象限拋物線上的一個動點．

（1）求直線DE和拋物線的表達式；

（2）在y軸上取點F（0，1），連接PF，PB，當四邊形OBPF的面積是7時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，當點P在拋物線對稱軸的右側(cè)時，直線DE上存在兩點M，N（點M在點N的上方），且MN＝2，動點Q從點P出發(fā)，沿P→M→N→A的路線運動到終點A，當點Q的運動路程最短時，請直接寫出此時點N的坐標．

5、如圖，已知直線AB與拋物線C：y＝ax2+2x+c相交于點A（﹣1，0）和點B（2，3）兩點．

（1）求拋物線C函數(shù)表達式；

（2）若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，求此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；

（3）在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y＝的距離？若存在，求出定點F的坐標；若不存在，請說明理由．

6、在平面直角坐標系中，正方形ABCD的四個頂點坐標分別為A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．

（1）填空：正方形的面積為　?。划旊p曲線y＝（k≠0）與正方形ABCD有四個交點時，k的取值范圍是：　；

（2）已知拋物線L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）頂點P在邊BC上，與邊AB，DC分別相交于點E，F(xiàn)，過點B的雙曲線y＝（k≠0）與邊DC交于點N．

①點Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面內(nèi)一動點，在拋物線L的運動過程中，點Q隨m運動，分別切運動過程中點Q在最高位置和最低位置時的坐標；

②當點F在點N下方，AE＝NF，點P不與B，C兩點重合時，求﹣的值；

③求證：拋物線L與直線x＝1的交點M始終位于x軸下方．

7、如圖，若b是正數(shù)，直線l：y＝b與y軸交于點A；直線a：y＝x﹣b與y軸交于點B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．

（1）若AB＝8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；

（2）當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；

（3）設(shè)x0≠0，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點（x0，0）與點D間的距離；

（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”，分別直接寫出b＝2019和b＝2019.5時“美點”的個數(shù)．

8、在平面直角坐標系xOy中，頂點為A的拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D，已知A（1，4），B（3，0）．

（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達式；

（2）探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；

（3）應(yīng)用：如圖2，P（m，n）是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標．

提示：若點A、B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），則線段AB的中點坐標為（，）．

9、若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A（3，0）、B（0，﹣2），且過點C（2，﹣2）．

（1）求二次函數(shù)表達式；

（2）若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的點，且S△PBA＝4，求點P的坐標；

（3）在拋物線上（AB下方）是否存在點M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由．

10、如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點D，連接MD，BD．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點，當以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F(xiàn)的坐標；

（3）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大？（請直接寫出結(jié)果）

11、如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）問在y軸上是否存在一點P，使得△PAM為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA＝OA，過D作DG⊥x軸于點G，設(shè)△ADG的內(nèi)心為I，試求CI的最小值．

12、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

（1）連結(jié)BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，當MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標軸于點G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G，使得∠Q＇＝∠Q＇OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺復(fù)習(xí)：二次函數(shù)

解答題專題練習(xí)

1、如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），點A的坐標是（2，0），P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E，拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P在第二象限內(nèi)，且PE＝OD，求△PBE的面積．

（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）點A的坐標是（2，0），拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，則點B（﹣4，0），則函數(shù)的表達式為：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣2；

（2）將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝mx+n并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x﹣2，則tan∠ABC＝，則sin∠ABC＝，設(shè)點D（x，0），則點P（x，x2+x﹣2），點E（x，x﹣2），∵PE＝OD，∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），即點D（﹣5，0）

S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；

（3）由題意得：△BDM是以BD為腰的等腰三角形，①當BD＝BM時，過點M作MH⊥x軸于點H，BD＝1＝BM，則MH＝y(tǒng)M＝BMsin∠ABC＝1×＝，則xM＝，故點M（﹣，﹣）；

②當BD＝DM（M′）時，同理可得：點M′（﹣，）；

故點M坐標為（﹣，﹣）或（﹣，）．

2、如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點N，過A點的直線l：y＝kx+n與y軸交于點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c的另一個交點為D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P點為拋物線y＝﹣x2+bx+c上一動點（不與A、D重合）．

（1）求拋物線和直線l的解析式；

（2）當點P在直線l上方的拋物線上時，過P點作PE∥x軸交直線l于點E，作PF∥y軸交直線l于點F，求PE+PF的最大值；

（3）設(shè)M為直線l上的點，探究是否存在點M，使得以點N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）將點A、D的坐標代入直線表達式得：，解得：，故直線l的表達式為：y＝﹣x﹣1，將點A、D的坐標代入拋物線表達式，同理可得拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4；

（2）直線l的表達式為：y＝﹣x﹣1，則直線l與x軸的夾角為45°，即：則PE＝PE，設(shè)點P坐標為（x，﹣x2+3x+4）、則點F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，當x＝2時，其最大值為18；

（3）NC＝5，①當NC是平行四邊形的一條邊時，設(shè)點P坐標為（x，﹣x2+3x+4）、則點M（x，﹣x﹣1），由題意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），則點P坐標為（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；

②當NC是平行四邊形的對角線時，則NC的中點坐標為（﹣，2），設(shè)點P坐標為（m，﹣m2+3m+4）、則點M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P為頂點的四邊形為平行四邊形，則NC的中點即為PM中點，即：﹣＝，2＝，解得：m＝0或﹣4（舍去0），故點P（﹣4，3）；

故點P的坐標為：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．

3、如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點．點P為拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m+2的頂點．

（1）當m＝0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數(shù)．

（2）當m＝3時，求該拋物線上的好點坐標．

（3）若點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．

【解答】解：（1）如圖1中，當m＝0時，二次函數(shù)的表達式y(tǒng)＝﹣x2+2，函數(shù)圖象如圖1所示．

∵當x＝0時，y＝2，當x＝1時，y＝1，∴拋物線經(jīng)過點（0，2）和（1，1），觀察圖象可知：好點有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5個．

（2）如圖2中，當m＝3時，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5．如圖2．

∵當x＝1時，y＝1，當x＝2時，y＝4，當x＝4時，y＝4，∴拋物線經(jīng)過（1，1），（2，4），（4，4），共線圖象可知，拋物線上存在好點，坐標分別為（1，1），（2，4），（4，4）．

（3）如圖3中，∵拋物線的頂點P（m，m+2），∴拋物線的頂點P在直線y＝x+2上，∵點P在正方形內(nèi)部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F(xiàn)（2，2），觀察圖象可知，當點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點（點F除外），當拋物線經(jīng)過點E時，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m＝或（舍棄），當拋物線經(jīng)過點F時，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍棄），∴當≤m＜1時，頂點P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點．

4、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過點D（﹣2，﹣3）和點E（3，2），點P是第一象限拋物線上的一個動點．

（1）求直線DE和拋物線的表達式；

（2）在y軸上取點F（0，1），連接PF，PB，當四邊形OBPF的面積是7時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，當點P在拋物線對稱軸的右側(cè)時，直線DE上存在兩點M，N（點M在點N的上方），且MN＝2，動點Q從點P出發(fā)，沿P→M→N→A的路線運動到終點A，當點Q的運動路程最短時，請直接寫出此時點N的坐標．

【解答】解：（1）將點D、E的坐標代入函數(shù)表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2，同理可得直線DE的表達式為：y＝x﹣1…①；

（2）如圖1，連接BF，過點P作PH∥y軸交BF于點H，將點FB代入一次函數(shù)表達式，同理可得直線BF的表達式為：y＝﹣x+1，設(shè)點P（x，﹣x2+x+2），則點H（x，﹣x+1），S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，解得：x＝2或，故點P（2，3）或（，）；

（3）當點P在拋物線對稱軸的右側(cè)時，點P（2，3），過點M作A′M∥AN，過作點A′直線DE的對稱點A″，連接PA″交直線DE于點M，此時，點Q運動的路徑最短，∵MN＝2，相當于向上、向右分別平移2個單位，故點A′（1，2），A′A″⊥DE，則直線A′A″過點A′，則其表達式為：y＝﹣x+3…②，聯(lián)立①②得x＝2，則A′A″中點坐標為（2，1），由中點坐標公式得：點A″（3，0），同理可得：直線AP″的表達式為：y＝﹣3x+9…③，聯(lián)立①③并解得：x＝，即點M（，），點M沿BD向下平移2個單位得：N（，﹣）．

5、如圖，已知直線AB與拋物線C：y＝ax2+2x+c相交于點A（﹣1，0）和點B（2，3）兩點．

（1）求拋物線C函數(shù)表達式；

（2）若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，求此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；

（3）在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y＝的距離？若存在，求出定點F的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題意把點（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，得，解得a＝﹣1，c＝3，∴此拋物線C函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，將點（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，得，解得，k＝1，b＝1，∴yAB＝x+1，設(shè)點M（a，﹣a2+2a+3），則K（a，a+1），則MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）

＝﹣（a﹣）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當a＝時，MK有最大長度，∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK

＝MK?AH+MK?（xB﹣xH）

＝MK?（xB﹣xA）

＝××3

＝，∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；

（3）y＝﹣x2+2x+3

＝﹣（x﹣1）2+4，∴對稱軸為直線x＝1，當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，∴拋物線與點x軸正半軸交于點C（3，0），如圖2，分別過點B，C作直線y＝的垂線，垂足為N，H，設(shè)拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y＝的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，則BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，由題意可列：，解得，a＝，∴F（1，）．

6、在平面直角坐標系中，正方形ABCD的四個頂點坐標分別為A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．

（1）填空：正方形的面積為　36??；當雙曲線y＝（k≠0）與正方形ABCD有四個交點時，k的取值范圍是：　0＜k＜4或﹣8＜k＜0??；

（2）已知拋物線L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）頂點P在邊BC上，與邊AB，DC分別相交于點E，F(xiàn)，過點B的雙曲線y＝（k≠0）與邊DC交于點N．

①點Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面內(nèi)一動點，在拋物線L的運動過程中，點Q隨m運動，分別切運動過程中點Q在最高位置和最低位置時的坐標；

②當點F在點N下方，AE＝NF，點P不與B，C兩點重合時，求﹣的值；

③求證：拋物線L與直線x＝1的交點M始終位于x軸下方．

【解答】解：（1）由點A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的邊長為6，∴正方形面積為36；

有四個交點時0＜k＜4或﹣8＜k＜0；

故答案為36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；

（2）①由題意可知，﹣2≤m≤4，yQ＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，當m＝﹣1，yQ最大＝4，在運動過程中點Q在最高位置時的坐標為（﹣1，4），當m＜﹣1時，yQ隨m的增大而增大，當m＝﹣2時，yQ最?。?，當m＞﹣1時，yQ隨m的增大而減小，當m＝4時，yQ最?。僵?1，∴3＞﹣21，∴yQ最?。僵?1，點Q在最低位置時的坐標（4，﹣21），∴在運動過程中點Q在最高位置時的坐標為（﹣1，4），最低位置時的坐標為（4，﹣21）；

②當雙曲線y＝經(jīng)過點B（﹣2，﹣2）時，k＝4，∴N（4，1），∵頂點P（m，n）在邊BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵拋物線y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）與邊AB、DC分別交于點E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F(xiàn)（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，點F在點N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；

③由題意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴yM＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即yM＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴對應(yīng)每一個a（a＞0）值，當m＝1時，yM最?。僵?，當m＝﹣2或4時，yM最大＝9a﹣2，當m＝4時，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵點E在邊AB上，且此時不與B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴yM≤﹣，同理m＝﹣2時，y＝y(tǒng)＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F(xiàn)（4，36a﹣2），∵點F在邊CD上，且此時不與C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴yM≤﹣，綜上所述，拋物線L與直線x＝1的交點M始終位于x軸下方；

7、如圖，若b是正數(shù)，直線l：y＝b與y軸交于點A；直線a：y＝x﹣b與y軸交于點B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．

（1）若AB＝8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；

（2）當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；

（3）設(shè)x0≠0，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點（x0，0）與點D間的距離；

（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”，分別直接寫出b＝2019和b＝2019.5時“美點”的個數(shù)．

【解答】解：（1）當x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，∴B

（0，﹣b），∵AB＝8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）＝8，∴b＝4．

∴L：y＝﹣x2+4x，∴L的對稱軸x＝2，當x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，∴L的對稱軸與a的交點為（2，﹣2）；

（2）y＝﹣（x﹣）2+，∴L的頂點C（）

∵點C在l下方，∴C與l的距離b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，∴點C與1距離的最大值為1；

（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）

解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，對于L，當y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交點D（b，0）．

∴點（x0，0）與點D間的距離b﹣（b﹣）＝

（4）①當b＝2019時，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019x

直線解析式a：y＝x﹣2019

聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一個整數(shù)x的值

都對應(yīng)的一個整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個整數(shù)；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個整數(shù)點

∴總計4042個點，∵這兩段圖象交點有2個點重復(fù)，∴美點”的個數(shù)：4042﹣2＝4040（個）；

②當b＝2019.5時，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y＝x﹣2019.5，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴當x取整數(shù)時，在一次函數(shù)y＝x﹣2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點”為0，在二次函數(shù)y＝x2+2019.5x圖象上，當x為偶數(shù)時，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣1到2019.5之

間有1009個偶數(shù)，并且在﹣1和2019.5之間還有整數(shù)0，驗證后可知0也符合條件，因此“美點”共有1010個．

故b＝2019時“美點”的個數(shù)為4040個，b＝2019.5時“美點”的個數(shù)為1010個．

8、在平面直角坐標系xOy中，頂點為A的拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D，已知A（1，4），B（3，0）．

（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達式；

（2）探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；

（3）應(yīng)用：如圖2，P（m，n）是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標．

提示：若點A、B的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），則線段AB的中點坐標為（，）．

【解答】解：（1）函數(shù)表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，將點B坐標的坐標代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x﹣3；

（2）OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由：

如圖1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四邊形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四邊形OMAD＝S△OBM；

（3）設(shè)點P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故點P（4，﹣5）；

如圖2，故點D作QD∥AC交PC的延長線于點Q，由（2）知：點N是PQ的中點，將點C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線PC的表達式為：y＝﹣x﹣1…①，同理直線AC的表達式為：y＝2x+2，直線DQ∥CA，且直線DQ經(jīng)過點D（0，3），同理可得直線DQ的表達式為：y＝2x+3…②，聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，即點Q（﹣，），∵點N是PQ的中點，由中點公式得：點N（，﹣）．

9、若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A（3，0）、B（0，﹣2），且過點C（2，﹣2）．

（1）求二次函數(shù)表達式；

（2）若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的點，且S△PBA＝4，求點P的坐標；

（3）在拋物線上（AB下方）是否存在點M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）

∴

解得：

∴二次函數(shù)表達式為y＝x2﹣x﹣2

（2）如圖1，設(shè)直線BP交x軸于點C，過點P作PD⊥x軸于點D

設(shè)P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）

∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2

設(shè)直線BP解析式為y＝kx﹣2

把點P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2

∴k＝t﹣

∴直線BP：y＝（t﹣）x﹣2

當y＝0時，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝

∴C（，0）

∵t＞3

∴t﹣2＞1

∴，即點C一定在點A左側(cè)

∴AC＝3﹣

∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC?OB+AC?PD＝AC（OB+PD）＝4

∴＝4

解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）

∴t2﹣t﹣2＝

∴點P的坐標為（4，）

（3）在拋物線上（AB下方）存在點M，使∠ABO＝∠ABM．

如圖2，作點O關(guān)于直線AB的對稱點E，連接OE交AB于點G，連接BE交拋物線于點M，過點E作EF⊥y軸于點F

∴AB垂直平分OE

∴BE＝OB，OG＝GE

∴∠ABO＝∠ABM

∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°

∴OA＝3，OB＝2，AB＝

∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝

∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OG

∴OG＝

∴OE＝2OG＝

∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°

∴∠OAB＝∠BOG

∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝

∴EF＝OE＝，OF＝OE＝

∴E（，﹣）

設(shè)直線BE解析式為y＝ex﹣2

把點E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣

∴直線BE：y＝﹣x﹣2

當﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝

∴點M橫坐標為，即點M到y(tǒng)軸的距離為．

10、如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點D，連接MD，BD．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點，當以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F(xiàn)的坐標；

（3）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大？（請直接寫出結(jié)果）

【解答】解；（1）C（0，3）

∵CD⊥y，∴D點縱坐標是3，∵D在y＝上，∴D（2，3），將點A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；

（2）M（1，4），B（3，0），作M關(guān)于y軸的對稱點M＇，作D關(guān)于x軸的對稱點D＇，連接M＇D＇與x軸、y軸分別交于點N、F，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小即為M＇D＇+MD的長；

∴M＇（﹣1，4），D＇（2，﹣3），∴M＇D＇直線的解析式為y＝﹣x+，∴N（，0），F(xiàn)（0，）；

（3）設(shè)P（0，t），∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP＝，tan∠PBO＝，令y＝tan∠BPD＝，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9＝0，△＝﹣15y2+30y+1＝0時，y＝（舍）或y＝，∴t＝﹣×，∴t＝9﹣2，∴P（0，9﹣2）；

11、如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）問在y軸上是否存在一點P，使得△PAM為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA＝OA，過D作DG⊥x軸于點G，設(shè)△ADG的內(nèi)心為I，試求CI的最小值．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點A（3，0），B（﹣1，0）

∴

解得：

∴這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3

（2）在y軸上存在點P，使得△PAM為直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4

∴頂點M（1，4）

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20

設(shè)點P坐標為（0，p）

∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2

①若∠PAM＝90°，則AM2+AP2＝MP2

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2

解得：p＝﹣

∴P（0，﹣）

②若∠APM＝90°，則AP2+MP2＝AM2

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20

解得：p1＝1，p2＝3

∴P（0，1）或（0，3）

③若∠AMP＝90°，則AM2+MP2＝AP2

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2

解得：p＝

∴P（0，）

綜上所述，點P坐標為（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）時，△PAM為直角三角形．

（3）如圖，過點I作IE⊥x軸于點E，IF⊥AD于點F，IH⊥DG于點H

∵DG⊥x軸于點G

∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°

∴四邊形IEGH是矩形

∵點I為△ADG的內(nèi)心

∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG

∴矩形IEGH是正方形

設(shè)點I坐標為（m，n）

∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n

∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m

∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m

∵DA＝OA＝3

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m

∴DG＝DH+HG＝m+n

∵DG2+AG2＝DA2

∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32

∴化簡得：m2﹣3m+n2+3n＝0

配方得：（m﹣）2+（n+）2＝

∴點I（m，n）與定點Q（，﹣）的距離為

∴點I在以點Q（，﹣）為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運動

∴當點I在線段CQ上時，CI最小

∵CQ＝

∴CI＝CQ﹣IQ＝

∴CI最小值為．

12、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

（1）連結(jié)BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，當MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標軸于點G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G，使得∠Q＇＝∠Q＇OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）如圖1

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵點D為拋物線的頂點，且＝＝1，＝＝﹣4

∴點D的坐標為D（1，﹣4）

∴直線BD的解析式為：y＝2x﹣6，由題意，可設(shè)點N（m，m2﹣2m﹣3），則點F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴當m＝＝2時，NF

取到最大值，此時MN取到最大值，此時HF＝2，此時，N（2，﹣3），F(xiàn)（2，﹣2），H（2，0）

在x軸上找一點K（，0），連接CK，過點F作CK的垂線交CK于點J點，交y軸于點P，∴sin∠OCK＝，直線KC的解析式為：y＝，且點F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直線FJ的解析式為：y＝

∴點J（，）

∴FP+PC的最小值即為FJ的長，且|FJ|＝

∴|HF+FP+PC|min＝；

（2）由（1）知，點P（0，），∵把點P向上平移個單位得到點Q

∴點Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中點G，連接OG，則OG＝GQ＝AQ＝，此時，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標軸于點G

①如圖2

G點落在y軸的負半軸，則G（0，﹣），過點Q＇作Q＇I⊥x軸交x軸于點I，且∠GOQ＇＝∠Q＇

則∠IOQ＇＝∠OA＇Q＇＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝

∴sin∠IOQ＇＝＝＝，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ＇中根據(jù)勾股定理可得|OI|＝

∴點Q＇的坐標為Q＇（，﹣）；

②如圖3，當G點落在x軸的正半軸上時，同理可得Q＇（，）

③如圖4

當G點落在y軸的正半軸上時，同理可得Q＇（﹣，）

④如圖5

當G點落在x軸的負半軸上時，同理可得Q＇（﹣，﹣）

綜上所述，所有滿足條件的點Q′的坐標為：（，﹣），（，），（﹣，），（﹣，﹣）