第一篇：第二十二章一元二次方程小結(jié)

第二十二章 一元二次方程 小結(jié)

昆明市實驗中學(xué) 初三（５）班 陳璇

Ⅰ、本章知識結(jié)構(gòu)框圖：

Ⅱ、本章知識點：

１、一元二次方程的定義及一般形式：

只含有一個未知數(shù)、并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是：ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），其中ａｘ2叫做二次項，ａ叫做二次項系數(shù)，ｂ叫做一次項系數(shù)，ｃ叫做常數(shù)項。注意：（１）一般形式中，ｂ、ｃ可以是任何實數(shù)；二次項系數(shù)ａ是不等于0的實數(shù)，這是因為ａ等于0，方程就不是二次方程了；

（２）要確認一元二次方程的各項系數(shù)，必須先將此方程化簡整理成一般形式，然后再確定ａ、ｂ、ｃ，同時不要漏掉符號。２、一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右兩邊的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）。

３、一元二次方程的四種解法：

解一元二次方程常用的方法有：開平方法，配方法，公式法和因式分解法。其中開平方法和因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推導(dǎo)出來的求根公式是一般方法，一般方法對任何一元二次方程都可以使用。

（１）直接開平方法：

把方程變?yōu)樾稳纾ǎ?ａ）2＝ｂ（ｂ≥０）的方程可用直接開平方法求解。兩邊直接開平方得：ｘ+ａ＝ ｂ或ｘ+ａ＝－ ｂ。

∴ｘ１＝-ａ+ ｂ，ｘ２＝－ａ－ ｂ。

注意：（１）直接開平方的理論根據(jù)是平方根的定義，故只有在ｂ≥０條件下，方程才有實數(shù)根。若ｂ＜０，則方程（ｘ+ａ）2＝ｂ無實數(shù)根；

（２）在實際問題中，要聯(lián)系實際情況確定方程的解。（２）因式分解法：

如果一元二次方程經(jīng)過因式分解能化成ａ·ｂ＝０的形式，且ａ與ｂ都是含有未知數(shù)的一次式那么它就可以化為兩個一元一次方程ａ＝０或ｂ＝０，根據(jù)這種思想解一元二次方程的方法，就是因式分解法。

因式分解法體現(xiàn)了將一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的思想，運用這種方法的步驟是：

①將已知方程化為一般形式，使方程右端為０； ②將左端的二次三項式分解為兩個一次因式的積；

③分別令方程左邊的兩個因式為０，得到兩個一次方程，它們的解就是原方程的解。

注意：因式分解法是解一元二次方程常用的方法，務(wù)必熟練掌握。

（２）配方法：

通過配方把一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０變形為（ｘ+）2＝的形式，再利用直接開平方法解之，這就是配方法。

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①移項：使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項； ②化二項系數(shù)為１：在方程兩邊都除以二次項系數(shù)； ③配方：方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程化為（ｘ＋ｍ）2＝ｎ（ｎ≥０）的形式；

④用直接開平方法解變形后的方程。

注意（１）“將二項系數(shù)化為１”是配方的前提條件，配方是關(guān)鍵也是難點；

（２）配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)予以重視。（４）公式法：

應(yīng)用配方法可導(dǎo)出一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式ｘ＝

（ｂ2－４ａｃ≥０）。

用公式法解一元二次方程的一般步驟：

①化方程為一般形式，即ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）； ②確定ａ、ｂ、ｃ的值，并計算ｂ2－４ａｃ的值（注意符號）； ③當(dāng)ｂ2－４ａｃ≥０時，將ａ、ｂ、ｃ及ｂ2－４ａｃ的值代入球根公式，得出方程的根：ｘ＝

；當(dāng)ｂ2－４ａｃ＜０時，原方程無實數(shù)解。

注意：（１）在運用公式法解一元二次方程時，一定要先把方程化為一般形式，再確定ａ、ｂ、ｃ的值，否則，易出現(xiàn)符號錯誤；

（２）用公式法解一元二次方程時，套入公式要運算準(zhǔn)確。

４、怎樣選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?/p>

解一元二次方程常用的方法有四種。使用時關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ话惆凑障忍厥夂笠话愕某绦蜻x擇，考慮的順序是：直接開平方法→因式分解法→公式法。沒有特殊要求，配方法一般不用，因為配方法解方程比較麻煩，但配方的方法要熟練掌握。５、一元二次方程根的判別式及應(yīng)用：

（１）一元二次方程根的判別式概念及定理內(nèi)容：

概念：一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）是否有實數(shù)根，完全取決于ｂ2－４ａｃ的符號，因此，把ｂ2－４ａｃ叫一元二次方程的根的判別式。用“Δ”表示，即Δ＝ｂ2－４ａｃ。

內(nèi)容：對于一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０），Δ＝ｂ2－４ａｃ＞０，方程有兩個不相等實數(shù)根；

Δ＝ｂ2－４ａｃ＝０，方程有兩個相等的實數(shù)根；

Δ＝ｂ2－４ａｃ＜０，方程無實數(shù)根。

注意：（１）Δ＝ｂ2－４ａｃ只適用于一元二次方程；

（２）使用時，要先將一元二次方程化為一般形式后，才能確定ａ、ｂ、ｃ，求出Δ；

（３）當(dāng)Δ＝ｂ2－４ａｃ≥０時，方程有實數(shù)根。（２）一元二次方程根的判別式主要有以下應(yīng)用： ①不解一元二次方程，判斷根的情況； ②證明字母系數(shù)方程有實數(shù)根或無實數(shù)根； ③根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍。６、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用：（１）內(nèi)容：

①如果ｘ１，ｘ２是一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的兩根，那么ｘ１+ｘ２＝－，ｘ１·ｘ２＝

；

②如果方程ｘ2+ｐｘ+ｑ＝０的兩個根是ｘ１，ｘ２，那么ｘ１+ｘ２＝－ｐ，ｘ１·ｘ２＝ｑ（韋達定理）；

③以兩個數(shù)ｘ１，ｘ２為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為１）是ｘ2－（ｘ１+ｘ２）ｘ+ｘ１·ｘ２＝０.（２）應(yīng)用：

①已知方程的一個跟，求另一根及未知系數(shù)； ②不解方程，求與已知方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值； ③已知方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值。

7、列一元二次方程解應(yīng)用題的方法步驟：

列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的拓展，解題方法是相同的，但由于一元二次方程有兩個解，要注意檢驗方程的解是否符合實際意義。

其步驟為：

①設(shè)：即適當(dāng)設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)，間接設(shè)未知數(shù)），不要漏寫單位名稱，會用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目中涉及的量；

②列：根據(jù)題意，列出含有未知數(shù)的等式，注意等號兩邊量的單位必須一致； ③解：解所列方程，求出解來；

④驗：一是檢驗是否為方程的解；二是檢驗是否為應(yīng)用題的解； ⑤答：怎么問就怎么答，注意不要漏寫單位名稱。

8、主要題型：

列一元二次方程解應(yīng)用題的類型很多，在日常生活、生產(chǎn)、科技等方面有廣泛的應(yīng)用，如面積問題、平均增長率（降低率）問題、利潤問題、數(shù)字問題、剎車問題等。Ⅲ、本章數(shù)學(xué)思想方法：

配方法

轉(zhuǎn)化思想：主要體現(xiàn)在解一元二次方程通過開平方法或因式分解法轉(zhuǎn)化為一元一次方程；把一般形式的一元二次方程轉(zhuǎn)化為特殊形式的方程（ｘ+ａ）2＝ｂ（ｂ≥０）

分類討論思想

化歸思想：化歸思想就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個較容易的問題或已經(jīng)解決的問題

方程思想 數(shù)學(xué)建模思想

第二篇：一元二次方程的解法小結(jié)

一元二次方程的解法小結(jié)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會選擇利用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?/p>

2.體驗解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法．

【前置學(xué)習(xí)】

一、自主學(xué)習(xí)（自主探究）：

1.獨立思考·解決問題

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解決問題

通過對以上方程的解法，你能說出解一元二次方程的基本思路，總結(jié)出對于不同特點的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？

知識匯總

（1）.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為，即

．

（2）.一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表：

方法名稱

理論根據(jù)

適用方程的形式

直接開平方法

平方根的定義

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0

（3）.一般考慮選擇方法的順序是：

法、法、法或

法

二、疑難摘要：

【學(xué)習(xí)探究】

一、合作交流，解決困惑：

1.小組交流：（在小組內(nèi)說說通過自主學(xué)習(xí)，你學(xué)會了什么？你的疑難與困惑是什么？請同伴幫你解決.）

2.班級展示與教師點撥：

展示1：用直接開方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思與總結(jié)：本節(jié)課你學(xué)會了什么？你有哪些收獲與體會？

【自我檢測】

選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：一元二次方程實際問題

例3．某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，?據(jù)市場分析，?若每千克50元銷售，一個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產(chǎn)品情況，請解答以下問題：

（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤．

（2）設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關(guān)系式．

（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)為多少?

分析：（1）銷售單價定為55元，比原來的銷售價50元提高5元，因此，銷售量就減少5×10kg．

（2）銷售利潤y=（銷售單價x-銷售成本40）×銷售量[500-10（x-50）]

（3）月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過10000=250kg，在這個提前下，40

?求月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)為多少．

解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水產(chǎn)品不超過10000÷40=250kg，定價為x元，則（x-40）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60

當(dāng)x1=80時，進貨500-10（80-50）=200kg<250kg，滿足題意．

當(dāng)x2=60時，進貨500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

例4.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．

分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x·80%，其它依此類推．解：設(shè)這種存款方式的年利率為x

則：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2（不符，舍去），x2=

答：所求的年利率是12．5%．

1=0.125=12.5% 8

第四篇：一元二次方程應(yīng)用2010

1、（2009煙臺市）某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉(xiāng)”政策的實施，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.調(diào)查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．

（1）假設(shè)每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數(shù)表達式；（不要求寫自變量的取值范圍）

（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元？

2、(2009武漢)某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？

3、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結(jié)600個橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子.⑴利用函數(shù)表達式描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關(guān)系.（2）增種多少棵橙子,可以使橙子的總產(chǎn)量達到60400個?

4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請售答以下問題：

（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過1000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？

5、某化工材料經(jīng)銷公司購進了一種化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元．物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數(shù)不足一天時，按整天計算）．設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元．求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；

6、（2009年貴州省黔東南州）凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業(yè)時間，每間包房收包房費100元時，包房便可全部租出；若每間包房收費提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去。

（1）設(shè)每間包房收費提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會減少y2

間包房租出，請分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設(shè)酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

7、（2009年甘肅慶陽）（8分）某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業(yè)2007年盈利多少萬元？

（2）若該企業(yè)盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計2009年盈利多少萬元？

8、(2009年湖州)隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據(jù)統(tǒng)計，某小區(qū)2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100輛.（1）若該小區(qū)2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，求該小區(qū)到2009年底家庭轎車將達到多少輛？

（2）為了緩解停車矛盾，該小區(qū)決定投資15萬元再建造若干個停車位.據(jù)測算，建造費用分別為室內(nèi)車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數(shù)量不少于室內(nèi)車位的2倍，但不超過室內(nèi)車位的2.5倍，求該小區(qū)最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.9.建造一個面積是140平方米的倉庫，要求其一邊靠墻，墻長16米，在與墻平行的一邊開一道２米寬的門。現(xiàn)人32米長的材料來建倉庫，求這個倉庫的長是多少米？

10、如圖在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。點P從A點開始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移動，同時點Q從點B開始，沿BC方向以每秒厘米移動。問幾秒時△PBQ的面積等于8平方厘米？

11．（2009年甘肅慶陽）若關(guān)于x的方程x2

?2x?k?1?0的一個根是0，則k?．

12.、（2009威海）若關(guān)于x的一元二次方程x2

?(k?3)x?k?0的一個根是?2，則另一個根是______．、（2009山西省太原市）某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價P 13由3200元降到了2500元．設(shè)平均每月降價的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是．

第五篇：2014最新人教版一元二次方程 簡單

《一元二次方程》單元訓(xùn)練題

班級：姓名：

一、選擇題(每小題3分，共24分)

1．方程x2＝2x－3化為一般形式后二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為()

A． 1、2、－3B．

1、2、－3C．

1、－

2、3D．1、2、3

2．方程(m?2)x2?3mx?1?0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）

A．m??2B．m?2C．m??2D．m?2

3．一元二次方程x2－4＝0的解是()

A．x1＝2，x2＝－2B．x＝－2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0

4．用配方法解方程x2－4x＝－2，下列配方正確的是()

A．(x－2)2＝2B．(x＋2)2＝2C．(x－2)2＝－2D．(x－2)2＝6

5．已知一元二次方程x2＋x－1＝0，下列判斷正確的是()

A．該方程有兩個相等的實數(shù)根B．該方程有兩個不相等的實數(shù)根

C．該方程無實數(shù)根D．該方程根的情況不確定

6．若x1、x2是方程x2?3x?5?0的兩個根，則x1?x2的值為（）

22A.?3B.?5C.3D.5 7．如果x＝4是一元二次方程x?3x?a的一個根，則常數(shù)a的值是（）

A．2B．－2C．±2D．±4

8．為了美化環(huán)境，某市加大對環(huán)境綠化的投資．2009年用于綠化投資20萬元，2011年用于綠化投資25萬元，求這兩年綠化投資的年平均增長率．設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長率為x，根據(jù)題意，所列方程為()

A．20x2＝25B．20(1＋x)＝25C．20(1＋x)2＝25D．20(1＋x)＋20(1＋x)2＝25

二、填空題（每小題3分，共21分）

9.一元二次方程x?2x的解為：；

10．已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一個根，則p的值是_______．

11．已知

3、－5是關(guān)于x的方程x+px+q=0的兩根,則 ,.12．已知x2＋x－1＝0，則3x2＋3x－5＝_______．

13．三角形的兩邊長分別為3和4，第三邊的長是方程x?6x?8?0的一個根，則這個三角形的周長是

14．已知代數(shù)式x?2x?3與x?7的值相等，則x的值是．

15．已知方程x－4x+3=0的兩根為x1、x2, 則x1+x2=，x1·x2=，三．解下列方程（每小題5分，共20分）

21．x?9?0；2．3x2?1?6x． 2222211?． x1x

22x4．2x(x?3)?5x(? 33．2x?1?3

四．解答題（共35分）

1．已知x1＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一個根，求m的值及方程的另一個根x2．(8分)

4．已知關(guān)于x的一元二次方程x+（m+1）x+m+4=0，當(dāng)m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根．（8分）

2．某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同．問該公司的年增長率是多少？（8分）

3．商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出 2件．

設(shè)每件商品降價x元.據(jù)此規(guī)律，請回答：

（1）商場日銷售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？（11分）