第一篇：數(shù)學(xué)解題方法談：復(fù)數(shù)與平行四邊形家族

復(fù)數(shù)與平行四邊形家族

菱形、矩形等特殊的平面四邊圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系，復(fù)數(shù)的幾何意義架起了“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的橋梁．下面略舉幾例，以供參考． 友情提示：若復(fù)數(shù)z?a?

bi，則z?

一、復(fù)數(shù)式與矩形

例1 復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2?0z1?z2?z1?z2，證明：證明：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，由z1?z2?z1?z

2z1z2

稱為z的模，它在復(fù)數(shù)中有廣泛的應(yīng)用．

z

122

z2

?0．

????????????????????

知，以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形為矩形，OZ1⊥OZ2，可設(shè)

z1z

2?ki(k?R，k?0)，所以

?ki??k?0．

222

例2 已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1?1z2?1，且z1?z2?4，求

z1z2

與z1?z2的值．

解：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，由

于z1

1)?7?1)?4故，?z2

?z1?2，2

??????????

故以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形，??????????z

從而OZ1⊥

OZ2，則1??

z2

14?3i；z1?z2?z1?z2?4．

??

例3 已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1?z2?

1，且z1?z2?

z1?z2?

證明：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，由條件知z1?z2?1?

??????????

以O(shè)Z1，2，OZ2

為鄰邊的平行四邊形為正方形，而z1?z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為正方形的一條對(duì)角線，所

以

z1?z2?

點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)的幾何意義．復(fù)數(shù)加法幾何意義的運(yùn)用是本題考查的重點(diǎn)．

二、復(fù)數(shù)式與菱形

例4

已知z1，z2?Cz1?z2?1z1?z2?

z1?z2．

??????????

解：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z1?z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z，由z1?z2?1知，以O(shè)Z1，OZ2為

鄰邊的平行四邊形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得

z1

cos?OZ1Z?

?z

2?z?1z

2z1z2

?

?

??

12，??OZ1Z?120，??Z1OZ2?60，因此，△OZ1Z2是正三角形．

?z1?z2

?????

?Z1Z2?1．

點(diǎn)評(píng)：本題通過復(fù)數(shù)模的幾何意義的應(yīng)用來(lái)判斷四邊形的形狀，并且應(yīng)用到了余弦定理，使得問題解決的很巧妙，其中例1～例4均可用z1?z2例5 求使

z?az?a

222

?z1?z2

?2(z1

?z2)處理．

(a?0)為純虛數(shù)的充要條件．

解：∵

z?az?a

是純虛數(shù)，∴可設(shè)

z?az?a

222

??i(??R，??0)，將其改寫為

z1?z2z1?z2

??i(??R，??0)．

??????????

設(shè)復(fù)數(shù)z，a在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，Z2，以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴z?a，?z?a，考慮到z??a時(shí)，z?az?a

222

?0；

z??aiz?a

222

z?a

無(wú)意義，故使

z?az?a

222

且z??a，z??a(a?0)為純虛數(shù)的充要條件是z?a，i，即z是模為a的虛數(shù)（非純虛數(shù)）．

點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的加減法符合平行四邊形法則，是復(fù)數(shù)與平行四邊形家族聯(lián)姻的前提．深入抓住復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的本質(zhì)，可使我們求解復(fù)數(shù)問題的思路更加廣闊，方法也更加靈活．

第二篇：數(shù)學(xué)經(jīng)典解題方法

1、配方法

所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來(lái)的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達(dá)定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬于R，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來(lái)判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。

韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根;已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。

5、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

6、構(gòu)造法

在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問題的解決。

第三篇：一般數(shù)學(xué)解題方法

初中數(shù)學(xué)解題方法之我見

1、配方法

所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來(lái)的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達(dá)定理

一元二次方程根的判別，不僅用來(lái)判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以討論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，都有非常廣泛的應(yīng)用。

5、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

第四篇：數(shù)學(xué)證明題解題方法

數(shù)學(xué)證明題解題方法

第一步：結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫出滿足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。

第三步：逆推。從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè)F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

第五篇：初中數(shù)學(xué)解題方法

初中數(shù)學(xué)選擇題解題方法與技巧

胡橋一中許鎖林

初中數(shù)學(xué)選擇題解題方法

胡橋一中許鎖林

對(duì)于選擇題，關(guān)鍵是速度與正確率，所占的時(shí)間不能太長(zhǎng)，否則會(huì)影響后面的解題。提高速度與正確率，方法至關(guān)重要。方法用得恰當(dāng)，事半功倍，希望大家靈活運(yùn)用。做選擇題的主要方法有：直接法、特值法、代入法（或者叫驗(yàn)證法）、排除法、數(shù)形結(jié)合法、極限法、估值法等。

（一）直接法：

有些選擇題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的．這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法叫直接法．這種解法最常用，解答中也要注意結(jié)合選項(xiàng)特點(diǎn)靈活做題，注意題目的隱含條件，爭(zhēng)取少算．這樣既節(jié)約了時(shí)間，又提高了命中率。9001500?例：方程的解為（）x?300x

ABCD

解：直接計(jì)算，同時(shí)除以300，再算的x=750。

（二）特值法：

用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法結(jié)合運(yùn)用，達(dá)到少計(jì)算的目的，從而提高速度。

例：如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（）

A.y?x?1B.y?x?1C.y??x?1 D.y??x?

1解：看圖得，斜率k>0,排除CD，再在AB中選，取特值

x=0,則y=-1,結(jié)果選A。

（三）代人法：

通過對(duì)試題的觀察、分析、確定，將各選擇支逐個(gè)代入題干中，進(jìn)行驗(yàn)證、或適當(dāng)選取特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)、或采取其他驗(yàn)證手段，以判斷選擇支正誤的方法．

例3．（2007年安徽）若對(duì)任意x∈R,不等式圍是（）

（A）<－1（B）||≤1（C）||<1（D）≥1 解：

化為化為，顯然恒成立，由此排除答案A、D，也顯然恒成立，故排除C，所以選B；

恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范

此解法也可以稱之為特值法。

（四）排除法：

從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，逐步剔除干擾項(xiàng)，從而得出正確的判斷。它與特例法（特值法）、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法。

例：直線y?kx?b經(jīng)過A(0,2)和B(3,0)兩點(diǎn),那么這個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式是()

2A.y?2x?3B.y??x?2C.y?3x?2D.y?x?1

3解：當(dāng)x=0時(shí)，y=2,可以排除AD，當(dāng)x=3時(shí)，y=0,直接選A。

（五）數(shù)形結(jié)合法：

據(jù)題設(shè)條件作出所研究問題的曲線或有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.有的選擇題可通過命題條件的函數(shù)關(guān)系或幾何意義，作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論．

（2007年江西）若0＜x＜，則下列命題中正確的是（）

A．sin x＜ B．sin x＞ C．sin x＜ D．sin x＞

與解：sin x

等三角函數(shù)會(huì)在九下學(xué)。在同一直角坐標(biāo)系中分別作出的圖象，便可觀察選D

（六）極限法：

從有限到無(wú)限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變.應(yīng)用極限思想解決某些問題，可以避開抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難度，優(yōu)化解題過程。它是在選擇題中避免“小題大做”的有效途徑．它根據(jù)題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，計(jì)算簡(jiǎn)便，迅速找到答案． 例：對(duì)于任意的銳角

（A）

（C），下列不等關(guān)系式中正確的是（）（B）（D），時(shí)

排除 解：（九年級(jí)下學(xué)期學(xué)）當(dāng)當(dāng)，時(shí)

排除選D.（七）估值法：

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無(wú)需過程.因此可以猜測(cè)、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以減少運(yùn)算量，當(dāng)然自然加強(qiáng)了思維的層次.例：如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）

（A）（B）5（C）6（D）

解：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，∴VF－ABCD

＝*底面積*高

=·32·2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.