第一篇：11月9日嘉定嘉桃八年級數學證明舉例

第十九章證明舉例之添加輔助線的幾種類型

一、第一條：等腰三角形的三線合一

例

1、已知如圖，在?ABC中，AB=AC,CD是邊AB上的高.(練習冊P61)1?BCD??A.求證：

2例

2、已知?ABC中，AB=AC,AB?AC，點D是邊BC的中點，?EDF?90?，射線DE與直線AB交于點E，射線DF與直線AC交與點F.(1)當點E在線段AB上時(如圖一)

《1》、是判斷DE、DF的大小關系，并證明你的結論。

《2》、試猜想線段AE、AF的大小關系，并證明你的結論。

（2）當點E在線段BA的延長線上時，在圖二中補畫符合要求的圖形，并判斷（1）中的兩個小題的結論是否任然成立？若不成立，是寫出這時相應的結論并證明（寶山2010年期中）

二、第二條：倍長中線

例

3、如圖在?ABC中，?BAC的平分線AD平分BC,求證：AB=AC(堂堂練P85)例

4、如圖C是AB的中點，?1??2，求證：AE=BD.(TP85)

例

5、如圖在?ABC中，點D、E是BC邊上的點，且?1??2，DE=CE，過D作

三、第三條：截長和補短

第二篇：初二數學《證明舉例》

初二數學《證明舉例》

課題：22.4證明舉例（4）

一、教案設計思考與亮點

教案設計思考：本節(jié)內容為證明舉例的第四課時，用二次三角形全等來證明有關問題，教案的設計力求通過師生生動活潑的問題研究，不生搬硬套固定的解題模式，讓學生親身經歷問題的解決與創(chuàng)設過程。教學中，隨著問題的提出、分析和解決，構建積極進取的學習氛圍，整個一堂課，始終是在師生的默契配合下進行，師生思維協調同步，處于“共鳴”狀態(tài)，從而大大提高了課堂教學質效。

教案設計亮點：

1、教學過程中，設計了開放性問題，既可以消除學生“模仿例題”的習慣，又可以克服學生被動學習的弊端，有利于培養(yǎng)學生個性，發(fā)揮每個學生的聰明才智，更好地培養(yǎng)他們的思維品質。

2、教學過程中，設計了對例題的簡單變式訓練，引導學生進行猜想與驗證，同時引導學生修正猜想。

二、教學目標：

1、知識目標：（1）嘗試命題教學，學生掌握文字命題的證明步驟。

（2）會用二次三角形全等證明幾何問題。

2、能力目標：（1）了解猜想證明與反駁、優(yōu)化的數學思想方法。

（2）經歷了命題的證明過程，學生逐步學會分別從題設和結論

出發(fā)，尋求論證思路的綜合分析方法。

3、情感目標：注重對學生思維品質的培養(yǎng)，鼓勵學生進行有效的合作學習。

三、教學重、難點：重點：用二次三角形全等進行幾何證明。

難點：舉出反例說明一個命題是假命題。

四、教學過程：

今天這一節(jié)課，我們繼續(xù)來學習幾何證明。（寫課題）

一、文字命題證明

請同學們看這樣一道例題：

例7：求證：有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等。

（一）提問：

1、文字命題的證明有哪些步驟？

2、這個命題的題設與結論分別是什么？

（二）學生動手操作：

完成畫圖，寫已知和求證。

（學生完成，教師巡視，并抽一份點評，盡量讓學生自己發(fā)現問題并

解決和完善）AA’

’

DD’

已知：如圖，在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,BC= B’C’,AD、A’D’分別是

BC和B’C’邊上的中線，AD＝A’D’。

求證：△ABC≌△A’B’C’

[歸納小結]

對于文字命題，我們先要讀懂題意，正確理解其中的內涵，再著手

解題。

（三）討論與分析：

我們如何來證明△ABC≌△A’B’C’，用什么方法？同學投入討論。

（學生思考并討論，互相啟發(fā)，自我教育，然后小組選代表匯報解題思路。）追問學生：

1、你怎么想到證∠B＝∠B’？

2、如何證得BD’=B’D’？

你們能自己完成這道題的證明了嗎？

（四）獨立書寫證明過程：

證明：∵AD、A’D’分別是BC和B’C’邊上的中線（已知）

∴BD=

1212BC，B’C’＝B’C’（三角形中線定義）

又∵BC= B’C’（已知）

∴BD= B’D’（等式性質）

在△ABC和△A’B’C’中

’D’（已知）

’B’（已知）

AD＝A’D’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S ? S ? S）

∴∠B＝∠B’（全等三角形對應角相等）

在△ABC和△A’B’C’中

’B’（已知）

∠B＝∠B’（已證）

BC= B’C’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S ? A ? S）

（可能還有學生通過證AC= A’C’，從而得到△ABC≌△A’B’C’。此時教

師均給予肯定，然后指出在具體解決問題的過程中，要善于選擇簡捷的方法，培養(yǎng)學生優(yōu)選的數學思想。）

（五）[歸納小結]

在這個命題的證明過程中，有兩次證明三角形全等，其中第一次證

明所得的兩角相等，成為第二次證明三角形全等的條件，這種將上一步推理所得的結論作為下一步推理條件的情況，在證明過程中常常會遇到。

二、變式訓練

（一）完成了上述命題的證明：若將其中“一邊上的中線”改成“一邊上的高”，命題是否成立？

（學生獨立思考，并請一位同學上黑板畫圖）

估計學生回答此命題仍成立，請學生說明理由。

老師問還有沒有其它意見？

若學生沒有意見，教師進行反駁，將學生所畫的圖作如下改變：

’（通過老師畫圖操作，學生觀察分析，從而獲得直觀的認識）然后提問：

1、觀察△ABC≌△A’B’C’中條件是否符合題意？

2、此時，△ABC≌△A’B’C’嗎？為什么？

3、老師是用什么方法說明這是個假命題的？

（二）思考題：（讓學有余力的同學進行再思考）

1、修正上述命題，使之成為真命題。

2、若改變“一邊上中線”為“一角平分線”，其它條件作怎樣變化，命題仍

成立，留作同學課外思考。

[歸納小結]

由上可見，我們在思考問題時既要積極大膽，又要注意思維的嚴密

性，不斷優(yōu)化我們的思維方式。

三、鞏固練習：

如圖：已知：點D、E分別在AB、AC上，BE和

相交于O點，且DB=EC，要證明OB=OC，還需要增加什么條件？

BC

（一）放手發(fā)動學生積極參與討論，大膽思維，勇于探索。

（二）鼓勵學生敢于發(fā)表見解，善于發(fā)表見解。

（三）學生提出的問題，還是由學生自己來評判是否正確。

（通過開放性練習，讓學生探究嘗試，調動學生學習的積極性，培養(yǎng)

學生發(fā)散性思維和逆向性思維的能力。）

四、課堂小結：

（先由學生小結，然后老師作點評和補充。）

這節(jié)課我們學到了些什么？

1、文字命題證明步驟。

2、二次三角形全等證明有關問題。

3、證明假命題的方法——舉反例。

4、良好思維品質的培養(yǎng)。

五、作業(yè)布置：

1、課本練習及練習冊練習

2、有興趣的同學繼續(xù)考慮：

（1）有兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩三角形全等嗎？

（2）類似的角平分線、高有沒有這樣的性質呢？

五、教案說明

課堂教學是有效地開展師生雙邊活動的主陣地，在教師的主導作用下，廣泛地讓學生參與，積極思考，親自實踐，培養(yǎng)學生的自我意識、競爭意識和創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維，這是素質教育的要求之一。所以，我在教學過程中，讓學生充分的動手、動腦，自由的討論，在此基礎上進行分析與研究，以激發(fā)學生學習的主動性，同時通過變式訓練及開放性練習，不斷開發(fā)學生的潛能，注重對學生思維品質的培養(yǎng)，從而提高分析問題，解決問題的能力。

本節(jié)內容為22.4證明舉例的第四課時，用二次三角形全等來證明有關問題，為了分散難點，先復習了命題的證明步驟，再安排學生根據題意畫圖并寫已知與求證，然后讓學生在思考討論的基礎上分析解題思路，突出分析與綜合的思想方法，最后獨立寫證明過程。整個例題基本上是由學生解決的，老師在其中作適當的分析、點評，從而培養(yǎng)學生對問題的觀察、比較分析及綜合演繹的能力。

由對例題的簡單變換，引導學生進行猜想與驗證，同時引導學生修正猜想。其中滲透猜想與反駁的數學思想，注重對學生思維品質的培養(yǎng)。之后又進一步提出問題，讓學有余力的學生課外有深入的思考余地。這樣的處理，使例7與練習第一題成為一個整體，而練習2的思維方式與例7相同，作為課后作業(yè)是對知識

進行鞏固。

最后一道題則是提高要求，少給一個條件，進行開放性思維訓練、要學生通過討論，大膽探索，提出所增加的條件，再由學生來判斷其正確性。這樣學生的積極性得到充分的調動，更增添學生學習數學的興趣，從而培養(yǎng)學生發(fā)散思維與逆向思維的能力。本堂課小結基本上由學生完成，使學生明白通過努力，收獲還是很多的，同時也培養(yǎng)了學生對知識的概括歸納能力。

六、教學反思

綜觀本節(jié)課的課堂教學，我認為教學其實施過程比較順利，并能有效地開展教學雙邊活動。其中學生始終是課堂教學的主人，在教師的調動下，學生積極參與課堂教學活動，學習的主動性與積極性得到充分的發(fā)揮。

在教學中，凡是能讓學生自己去獲取知識的內容，我都給學生提供機會，大膽地放，如例題教學中，命題證明要先根據題意畫圖，寫已知、求證、再進行證明，我就放手讓學生操作，然后分析解題思路讓學生講，疑點讓學生議，錯如讓學生剖析，最后加以修正。這樣，使新知識易掌握，錯誤易暴露，也利于及時糾正反饋，同時，對發(fā)展學生的邏輯思維能力是十分有利的，從而使例題教學顯得充實、有效。

把例題簡單變式后，提出問題“此時命題還是否成立？”其實這是老師有意設計的一個問題，我先讓學生猜想認可，學生均自以為判斷是正確的。然后教師平等地參與學生一起也發(fā)表見解，通過老師實際畫圖，學生觀察分析，直觀地認識到結論不成立，再來分析原因，從而引起學生的重視與反思。這樣的反例反駁，學生不僅錯明確誤之處，而且更明確用舉反例證明假命題的方法，從而得出與原來不同的結論。這樣使學生在今后解題過程中，不僅要敢于探索，大膽思維，同時也要注意思維的嚴密性與批判性，從而培養(yǎng)良好的思維品質，不斷優(yōu)化思維方式。

鞏固練習是屬于“從不變的結論來探索使結論成立的已知條件”的編題，其題型結構是：

條件條件條件結論

條件（不變）

條件條件（學生探索）

缺條件，當然要設定，而且有多種可能性，這樣的開放性問題要求學生從條

件方面進行思維和縱向發(fā)散，而這種思維的發(fā)散需要先進行廣泛的逆向聯想，再進行正向的驗證，頗具挑戰(zhàn)性，很容易激起學生“躍躍欲試”的情感和對數學知識的濃厚興趣，從而打破學生的思維定勢，開闊思維。在整個教學過程中，由于教師的鼓勵，適時的引導，使學生敢于創(chuàng)新，大膽創(chuàng)造，特別是增加了“BE=DC”這個條件，它的證明需添設輔助線，此時由于學生的思維始終處于興奮狀態(tài)，就很自然地想到了解決的辦法，進而提高了學生分析問題、解決問題地能力，從中得到了“以思維的逆向性和變通性”為主的思維轉換能力的培養(yǎng)。

從當堂學生的各種反饋及課后的作業(yè)來看，本節(jié)課完成了教學任務，達到了教學目的與要求，特別注重了思維力度與品質的培養(yǎng)，但在教學過程中，對某些問題的問法設計上還有待改進。

第三篇：19.2證明舉例(上海八年級第一學期)

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龍文教育個性化輔導授課案

教師：學生：學科：時間：年月日

§19.2

證明舉例（上海八年級第一學期）

第四篇：滬教版_初二數學幾何證明舉例

1.已知：如圖1，AD是BC上的中線，且BE∥CF.求證：DF=DE.2.已知：如圖2，AD、BC相交于點O，OA=OD，OB=OC，點E、F

在AD上，∠ABE=∠DCF.求證：BE∥CF.3.已知：如圖3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中點。

求證：AE=AF.4.已知：如圖1，AB∥CD，BE、DE分別是∠ABD、∠BDC的平分線.求證：BE⊥

DE.5.已知：如圖2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC.求證：AO⊥BC.6.如圖3，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.1)若BC在DE的同側(如圖①)且AD=CE，求證：BA⊥AC.2)若BC在DE的兩側(如圖②)其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是，請予證明，若不是請說明理由.7.已知：如圖1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三點

共線，D、C、F三點共線.求證：∠E=∠F.8.已知：如圖2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.求證：FD⊥ED.9.已知：如圖3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.求證：AD=BC.10.已知：如圖1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.求證：AC=BD-DC

11.已知：如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：AC=BF.12.已知：如圖3，正方形ABCD中，點F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°.求證：EF=BE+DF.

第五篇：八年級數學-勾股定理的證明及拓展

八年級數學

勾股定理的證明及其延伸

1.說明

勾股定理是數學中一個重要知識。雖然在教材章節(jié)內容中所占篇幅不多，在考試中也往往不會作為一個獨立知識點進行命題，但其實其內容及方法常常包含在其他各類題目中，是問題解答過程中一個很重要的手段。所以學生對勾股定理要能夠十分熟練地進行使用。本文對勾股定理進行證明及拓展，以使學生對其進行深刻理解。

2.勾股定理的證明

命題：在直角三角形中，a、b為直角邊長，c為斜邊邊長，則有a?b?c。勾股定理一個最簡單的證明方法是使用圖形證明法。如下圖，我們使用4個同樣大小的紅色直角三角形（a、b為直角邊長，c為斜邊邊長）拼出2個圖形： 22

2圖1和圖2這兩個藍色正方形的面積是相等的（它們的邊長都是a+b），而4個紅色直角三角形的面積也是相等的，所以2個圖形中白色部分的面積也應該相等（都等于藍色正方

形面積減去4個紅色三角形的面積）。而左邊圖形中白色部分的面積是a?b，右邊圖形中白色部分的面積是c，所以a?b?c。

222222

3.圓與三角形

在討論勾股定理的延伸之前，我們先來看圓與三角形的關系。

如圖3，以BC為直徑做圓，圓心為BC的中點O。在圓上任取一點A，則三角形ABC為直角三角形，其中∠A=90°。

如圖4，同樣做圓。如果A點在圓外，則∠A為銳角?？梢赃@樣來證明：連接AO，和圓交與點D。容易得到∠BAC<∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A<90°。

如圖5，同樣做圓。如果A點在圓內，則∠A為鈍角?？梢赃@樣來證明：連接OA，并延長和圓交與點D。容易得到∠BAC>∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A>90°。

綜合起來，我們可以得到如下命題：

命題：在三角形ABC中，以BC為直徑、BC的中心點為圓心做圓，如果A在圓上，則∠A=90°；如果A在圓外，則∠A<90°；如果A在圓內，則∠A>90°。

注意，這個命題的逆命題也是成立的，即：

命題：在三角形ABC中，以BC為直徑、BC的中心點為圓心做圓，如果∠A=90°，則A在圓上；如果∠A<90°，則A在圓外；如果∠A>90°，則A在圓內。

這個逆命題可以利用上面幾副圖用反證法很容易證得。

4.勾股定理的延伸

現在，我們對勾股定理進行延伸，如下：

命題：在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），如果三角形為直角三角形，則a?b?c；如果三角形為銳角三角形，則a?b?c；如果三角形為鈍角三角形，則a?b?c。

請注意上面“c為最長邊（c≥a、c≥b）”的條件限定。如果c不是最長邊，那么必然是a?b?c，這就不存在任何討論的必要了。

下面我們來證明這一命題。對于直角三角形的情況，那就是勾股定理，前面我們已經證明了?，F在只要證明銳角和鈍角三角形的情況。

見下圖，仍然如上一節(jié)那樣，去最長邊c為直徑做圓（設這條邊為BC），那么直徑所對應的∠A也會是三角形ABC中最大的角（大角對大邊）。

222222222222從上節(jié)的討論中，如果是銳角三角形，A必然在圓外，如圖6所示。從A點做直徑BC的垂線，交圓于D點。顯然AB>BD、AC>DC，而BD?DC?BC，所以222AB2?AC2?BC2。

如果是鈍角三角形，A必然在圓內，如圖7所示。從A點做直徑BC的垂線，反向延長交圓于D點。顯然AB

命題：在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），如果222222a2?b2?c2，則三角形為直角三角形；如果a2?b2?c2，則三角形為銳角三角形；如果

a2?b2?c2，則三角形為鈍角三角形。

5.勾股定理的增強描述

綜合以上的討論，我們可以對勾股定理進行增強型的表述，如下：

在三角形中，a、b、c為其3條邊長，其中c為最長邊（c≥a、c≥b），則三角形為直角三角形的充分必要條件是a?b?c；三角形為銳角三角形的充分必要條件是222

a2?b2?c2；三角形為鈍角三角形的充分必要條件是a2?b2?c2。