第一篇：與三角形有關(guān)的角

與三角形有關(guān)的角

一．填空題（共8小題）

1．（2013?威海）將一副直角三角板如圖擺放，點C在EF上，AC經(jīng)過點D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，則∠CDF=．

2．（2013?上海）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為 _________ ．

3．（2013?黔西南州）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=

4．（2013?荊門）若等腰三角形的一個角為50°，則它的頂角為．

5．（2013?葫蘆島）三個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=°．

6．（2013?河北）如圖，四邊形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B= _________ °．

7．（2013?達州）如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點A2013，則∠A2013=

8．（2012?呼和浩特）如圖，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠AEC= _________ ．

二．解答題（共13小題）

9．（2011?青海）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．

探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．

探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）

結(jié)論： _________ ．

10．（2010?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系

（1）如圖a，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

11．如圖，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且滿足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度數(shù)；

（2）若平行移動AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；

（3）在平行移動AC的過程中，是否存在某種情況，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度數(shù)；若不存在，說明理由．

12．實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．

（1）如圖，一束光線m射到平面鏡上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=50°，則∠2= _________ °，∠3= _________ °；

（2）在（1）中，若∠1=55°，則∠3= _________ °，若∠1=40°，則∠3= _________ °；

（3）由（1）、（2）請你猜想：當(dāng)兩平面鏡a、b的夾角∠3= _________ °時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行，請說明理由．

13．已知：△ABC中，記∠BAC=α，∠ACB=β．

（1）如圖1，若AP平分∠BAC，BP，CP分別平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于點D，用α的代數(shù)式表示∠BPC的度數(shù)，用β的代數(shù)式表示∠PBD的度數(shù)

（2）如圖2，若點P為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點，BD⊥AP于點D，猜想（1）中的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化，補全圖形并直接寫出你的結(jié)論．

14．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，請根據(jù)題中所給的條件，解答下列問題：

（1）如圖1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度數(shù)．

（2）通過以上的計算你發(fā)現(xiàn)∠EAD和∠ACB﹣∠B之間的關(guān)系應(yīng)為： _________ ．

（3）在圖2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的結(jié)論仍然成立嗎？為什么？

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒m個單位長度沿x軸的正方向運動，點B以每秒n個單位長度沿y軸正方向運動．

（1）已知運動1秒時，B點比A點多運動1個單位；運動2秒時，B點與A點運動的路程和為6個單位，求m、n；

（2）如圖2，設(shè)∠OBA的鄰補角的平分線、∠OAB的鄰補角的平分線相交于點P，∠P的大小是否發(fā)生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．

（3）若∠OBA的平分線與∠OAB的鄰補角的平分線的反向延長線相交于點Q，∠Q的大小是否發(fā)生改變？如不發(fā)生改變，求其值；若發(fā)生改變，請說明理由．

16．生活中到處都存在著數(shù)學(xué)知識，只要同學(xué)們學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，就會有許多意想不到的收獲，如圖兩幅圖都是由同一副三角板拼湊得到的：

（1）請你計算出圖1中的∠ABC的度數(shù)．

（2）圖2中AE∥BC，請你計算出∠AFD的度數(shù)．

17．如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB邊上的高；CE是∠ACB的平分線，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度數(shù)．

18．已知如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：

（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系： _________ ；

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)： _________ 個；

（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；

19．（1）如圖①∵∠B+∠D+∠1=180°

又∵∠1=∠A+∠2

∠2=∠C+∠E

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

（2）將圖①變形成圖②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°，請證明這個結(jié)論．

（3）將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°，請繼續(xù)證明這個結(jié)

論．

20．如圖

（1）如圖（1），∠ADC=100°，試求∠A+∠B+∠C的度數(shù)；

（2）如圖（2）所示，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，試求∠O的度數(shù)．

21．在小學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道三角形的三個角之和等于180°，如圖，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分線，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度數(shù)；

（2）判定AD是∠EAC的平分線嗎？說明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度數(shù)．（∠C＞∠B）

第二篇：《與三角形有關(guān)的角》教案設(shè)計

與三角形有關(guān)的角教案

李天明

從容說課

三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用．又因為三角形是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形．在幾何里，常常把多邊形分割成若干個三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究他們．因此對三角形性質(zhì)的研究就顯得十分重要．

在小學(xué)已學(xué)習(xí)過三角形的內(nèi)角的有關(guān)知識，知道三角形的內(nèi)角和為180°，?但是為什么是180°而不去研究．?在這里要求學(xué)生掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推論及其證明．在證明過程中通過一題多解、一題多變，初步體會思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個性化發(fā)展；由內(nèi)角中的等量關(guān)系和外角中的不等關(guān)系，讓學(xué)生體會相等與不等關(guān)系的簡單證明．引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外，相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思考．

在教學(xué)中，首先讓學(xué)生動手操作，把三角形的三個內(nèi)角拼合在一起，探索它們的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并歸納總結(jié)出結(jié)論．再尋求多渠道、不同途徑的解決問題的方法，使學(xué)生經(jīng)歷實驗──思考──交流──總結(jié)──運用的過程．讓他們不僅掌握知識點，還要知道為什么、做什么用，使學(xué)到的數(shù)學(xué)知識與實際生活聯(lián)系起來．避免了數(shù)學(xué)的枯燥無味和脫離實際的現(xiàn)象，使數(shù)學(xué)真正運用到實際中去．

教學(xué)課時 三維目標(biāo)

一、知識與技能

1．掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單運用．

2．掌握三角形的外角的定義，三角形內(nèi)角和定理的兩個推論及其證明； 3．體會幾何中不等關(guān)系的簡單證明．

二、過程與方法

1．通過探索“三角形內(nèi)角和定理”及其推論，?培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和實踐操作能力； 2．在學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和外角后，能運用所學(xué)知識解決簡單的問題，?訓(xùn)練學(xué)生對所學(xué)知識的運用能力．

三、情感態(tài)度與價值觀

1．通過讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲；

2．由具體實例的引導(dǎo)，?讓學(xué)生初步認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與研究．

教學(xué)重點三角形內(nèi)角和定理及推論．

教學(xué)難點三角形內(nèi)角和定理及推論的證明和運用． 教具準(zhǔn)備投影片三張：

第一張（記作7．2A）；第二張（7．2B）；第三張（7．2C）． 教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，導(dǎo)入新課

在小學(xué)我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為180°，但究竟為什么是180°，我們沒有去研究，本節(jié)課我們來回答這個問題．

二、動手試一試，你會有收獲 活動1 問題：

在紙上畫一個三角形，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個內(nèi)角的和是否為180°？ 設(shè)計意圖：

旨在讓學(xué)生親身實驗一下，對所研究的問題產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心和求知欲．通過親身經(jīng)歷，體會從具體情景中發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題．

師生活動：

讓學(xué)生人人畫一個三角形，并把三個角裁下來，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論． 生：三個角拼在一起，會得到一個180°的角． 師：為什么是180°呢？

生：因為三個角合起來形成一個平角，而平角等于180°，?所以三個角的和為180°． 師：大家得出的結(jié)論相同嗎？你們畫的三角形都一樣嗎？如果不一樣，你能得出什么結(jié)論呢？ 生：我們互相交流一下，結(jié)論都是一樣的，但所畫的三角形并不完全一樣，所以說明三角形三個內(nèi)角的和與形狀沒有關(guān)系，?只要是三角形，?其內(nèi)角和就一定為180°．

師：大家回答得非常棒．但這只是實驗，由觀察與實驗得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明來驗證，那么怎樣證明呢？請同學(xué)們看投影片．

（出示投影片7．2A）

在圖7．2-1（1）中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右兩側(cè)，?三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)一條過點A的直線L，移動后的∠B和∠C各有一條邊在L上．想一想，L?與△ABC的邊BC有什么關(guān)系？由這個圖你能想出說明三角形內(nèi)角和等于180°這個結(jié)論正確的方法嗎？

請大家思考后再互相交流．

生：因為移動后的∠C與未移動時的∠C相等，而他們又是內(nèi)錯角，由平行線的裁定可知，直線L與邊BC平行，所以可以過△ABC的頂點A作直線L平行于△ABC的邊BC，由平行線的性質(zhì)與平角的定義可知∠A+∠B+∠C=180°．

師：大家能寫出證明過程嗎？

這是一個文字命題，證明時應(yīng)先干什么呢？

生：需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證． 師：下面請一位同學(xué)完整地寫出過程．

生：如圖7．2-2，已知△ABC,求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：過A作直線DE∥BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C． ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．

師：再觀察圖7．2-2（2）．輔助線的作法與圖7．2-1（1）一樣嗎？證明方法相同嗎？ 生：輔助線的作法不同．移動前的∠A和移動后的∠A相等，?且是內(nèi)錯角的位置關(guān)系，可知直線L與邊AB平行，同時移動前和移動后的∠B是同位角也應(yīng)相等，?所以三個角拼在一起構(gòu)成了平角，故∠A+∠B+∠C=180°．

師：能寫出證明過程嗎？ 生：已知、求證和上面相同．

證明：如圖7．2-3延長BC到D，過C作CE∥AB．

∴∠A=∠ACE；∠B=∠ECD． ∵∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°，∴∠A+∠ACB+∠B=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．

師：利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補怎樣？課下討論．從上面的兩種證明方法中，?大家能否找到它們的異同點？它們的思路是否一致呢？

生：相同點是：都是把三角形的三個內(nèi)角拼到一起，根據(jù)平角的定義，證明三角形的內(nèi)角和是180°；不同的是：輔助線的作法不同，前者是過A點作邊BC的平行線，后者是過C點作邊AB的平行線．但不管是過三角形的哪一個頂點，作另一邊的平行線，它們的思路基本一致，就是通過平行線，利用平行線的性質(zhì)，通過同位角或內(nèi)錯角相等，把三個角都拼到一起，構(gòu)成一個平角，從而得證．

師：很好．大家的證明過程寫的非常好，分析的非常棒，找到了解決問題的思路．?根據(jù)思路，大家還能找到其他的證明方法嗎？

生：還可以這樣作輔助線，如圖7．2-4作CA的延長線AD，過點A作∠DAE=∠C，?則AE∥BC，所以∠EAB=∠B．因為∠DAE+∠EAB+∠BAC=180°，故C+∠B+∠BAC=180°，?即∠A+∠B+∠C=180°．

師：大家做的非常好，前三種方法都是把三個角轉(zhuǎn)移到三角形的一個頂點處．?只要把它們拼到一起成為平角即可，那么是否可以轉(zhuǎn)移到其他地方呢？請大家討論．

生：如圖7．2-5，在BC上任取一點D，過點D作DE∥AB交AC于E，再過點D作DF∥AC?交AB于F．

∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4． ∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠4=∠A． ∴∠2=∠A．

∵∠1+∠2+∠3=180°． ∴∠A+∠B+∠C=180°．

師：大家討論的非常棒．可見大家已掌握了三角形內(nèi)角和定理的證明，?并能根據(jù)思路拓展，由于時間關(guān)系，我們不再繼續(xù)了，在課后大家可以繼續(xù)討論有關(guān)問題，比如點在△ABC的內(nèi)部？外部呢？

活動2 出示投影片7．2B．

例：如圖7．2-6，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？

師生活動：

師：請大家先觀察思考，題中出現(xiàn)的這些方位角，在圖上分別指出．

生：C島在A島的北偏東50°方向，指∠DAC=50°；B島在A島的北偏東80°方向，指∠DAB=80°；C島在A島的北偏西40°方向，指∠CBE=40°；要求的是∠AOB的度數(shù)．

師：下面再討論一下根據(jù)已知角，如果求出∠ACB的度數(shù)．

生：要求∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，需求出∠CAB和∠CBA的度數(shù)．?而∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°，∠CBA=90°-∠CBE=90°-40°=50°．?所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-50°=100°．

生：他做的不對，∠CBA不等于50°．因為∠EBA不是90°而是因為AD∥BE，∠DAB+∠ABE=180°． ∴∠ABE=180°-∠DAB=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=60°． ∴∠ACB=180°-30°-60°=90°． 師：哪一位同學(xué)能把過程完整地寫一下呢？ 生：解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°． ∵AD∥BE，∴∠BAD+∠ABE=180°．

∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°． ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°． 在△ABC中．

∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°． 答：從C島看A、B兩島的視角∠ACB=90°．

師：大家看，過C點作AD的平行線CF，則AD∥CF∥BE，??往后課下完成． 嘗試反饋鞏固練習(xí)（出示投影片7．2C）

1．△ABC中，∠A=40°，∠B-∠C=30°． 求∠B，∠C．

2．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2． 求∠A，∠B，∠C．

3．在△ABC中，∠A+∠B=90°，∠C=2∠A． 求∠A，∠B，∠C．

4．如圖7．2-7，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AB邊上的高． 求∠DBC的度數(shù)． 設(shè)計意圖：

利用三角形內(nèi)角和定理求某些角的度數(shù)．

師生活動：

生：1．解：∵∠A=40°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A=140°． ∵∠B-∠C=30°，∴∠B=∠C+30°，∴∠C+30°+∠C=140°． ∴∠C=55°，∠B=85°．

2．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：2，∴設(shè)∠A=x°，∠B=∠C=2x°． ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴5x°=180°，∴x=36°．

∴∠A=36°，∠B=∠C=72°． 3．解：∵∠A+∠B=80°，∴∠C=180°-80°=100°． ∵∠C=2∠A，∴∠A=1∠C=50°，2∴∠B=180°-∠A-∠B=30°． 4．解：∵∠C=∠ABC=2∠A． ∴∠A=36°，∠C=72°． ∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．

∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°． 活動3 問題：

探究三角形外角的定義，外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系． 設(shè)計意圖：

旨在掌握三角形外角的定義的基礎(chǔ)上，利用三角形內(nèi)角和定理，推導(dǎo)出外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系．

師生活動：

師：前面我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角，也稱為三角形的角，還掌握了內(nèi)角和定理，下面我們來探究一下三角形的外角．

生：顧名思義，三角形的內(nèi)角是三角形內(nèi)部的角，那角形的外角就是三角形外部的角．如圖7．2-8，∠BAC、∠C是三角形的內(nèi)角，∠BAE、∠CAD?、?∠EAD是三角形的角，稱為三角形的外角．

師：這位同學(xué)的分析似乎有道理，大家認(rèn)為怎么樣？討論后交流．

生：不正確，不能這樣想當(dāng)然．外角不是外部的角，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，如∠DAC、∠∠DAE雖然在三角形的外部，?但它的兩邊都是三角形的延不符合外角的定義，所以它不是外角．

么三∠B、外部

小組

而是EAB、長線，師：這位同學(xué)說出了外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點是三角形的頂點；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線，那么在上面的圖7．2-?8中，滿足條件的角（外角）是否只有∠DAC和∠EAB呢？請大家思考后作答．

生：不是．在三角形每個頂點處都有兩個外角，所以一個三角形有6個外角，?而且同一頂點處的兩個外角是對頂角，應(yīng)該相等．

師：大家的分析很詳細(xì)．那么這些外角與內(nèi)角之間有沒有關(guān)系，如果有，存在什么關(guān)系呢？將是下面我們要解決的問題．

如圖7．2-9，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°．∠ACD是△ABC的一個外角．能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？你能進一步說明任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角有什么關(guān)系嗎？

生：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB+∠ACD=180°． ∴∠ACD=∠A+∠B=130°．

所以三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和． 師：根據(jù)剛才這位同學(xué)的邏輯，那么∠ACD=∠A+∠ACD=∠B+∠ACB成立嗎？

生：不成立．

∠ACB，再如圖7．2-10，∠A=30°，∠B=40°．則∠ACB=110°．因為∠ACB+∠ACD=180°，?所以∠ACD=70°．那么∠ACD=∠A+∠ACB成立嗎？

生：不成立．

師：為什么呢？那剛才的結(jié)論成立嗎？

生：不成立．在上圖中有結(jié)論∠ACD=∠A+∠B，本題中有∠ACD=∠A+∠B．而∠A，∠B與∠ACD不相鄰，所以上面的結(jié)論應(yīng)改為：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．

師：那么外角與其中一個不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系呢？

生：因為兩個角的和等于外角，所以外角應(yīng)大于其中任何一個內(nèi)角． 師：由此可知三角形內(nèi)角和定理的推論．

1．三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和． 2．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角． 嘗試反饋鞏固練習(xí)

1．已知：如圖7．2-11，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三個外角． 求證：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

設(shè)計意圖：

鞏固三角形內(nèi)角和及其推論． 師生活動：

生：證明：∵∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°．

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．

2．已知：如圖7．2-12，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連結(jié)DE．求證：∠1>∠2．

設(shè)計意圖：

體會幾何中不等關(guān)系的簡單證明． 師生活動：

證明：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1>∠3．

∵∠3是△DCE的外角，∴∠3>∠2，∴∠1>∠2．

三、課時小結(jié)

本節(jié)課共同探索了三角形內(nèi)角和定理及推論的證明，基本思想是：把三個內(nèi)角拼在一起，拼成一個平角；熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角和定理；理解三角形外角的性質(zhì)，并能解簡單問題．

板書設(shè)計

7．2與三角形有關(guān)的角 活動一（探究三角形內(nèi)角和）活動二（例題講解）

活動三（探究三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角間的關(guān)系）活動與探究

在前面討論三角形內(nèi)角和定理的證明時，證明的思路是把三角形的三個角拼到一起，構(gòu)成一個平角，根據(jù)平角的定義得證．可以把三個角“湊”到一個頂點處，也可以把三角形“湊”到一邊上，那么能否把三個角“湊”到三角形的內(nèi)部和外部呢？

如下圖：

過P點分別作三邊的平行線ST、MN、QR．

在左上圖中，∠A=∠QST=∠SPN，∠B=∠SQP=∠NPR，∠C=∠NRP=∠SPQ，∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

在右上圖中，∠A+∠ATS=∠SPN，∠B=∠1=∠NPR，∠C=∠2=∠SPQ． ∵∠SPN+∠NPR+∠SPQ=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

以上幾種證法，都是在把三角形的三個內(nèi)角剪下拼在一起，構(gòu)成一個平角的實驗基礎(chǔ)上產(chǎn)生的．特別是添加了輔助線，構(gòu)造出了新圖形，形成了新的關(guān)系，把未知數(shù)化成已知．下面這一種證法十分有趣，不直接從內(nèi)角的角度考慮問題，而是從外角入手，應(yīng)用了運動的觀點來解決問題． 一個人沿著一個三角形廣場繞圈跑步，設(shè)他站在AB邊上任意一點P處，面向B點前進，到達B點向左移動一個角度∠1，面向C點前面，到達C?點后向左再轉(zhuǎn)動一個角度∠2，再面向A點前進，到達A點后再向左轉(zhuǎn)動一個角度∠3，最后又回到P點，仍面向B點站立，則他在這個過程中共轉(zhuǎn)了一周，即∠1+∠2+∠3=360°．

證明：∵∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∠3=180°-∠BAC，∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=360°． ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．

第三篇：三角形的線與角練習(xí)

1.(本小題7分)下列說法正確的是()A.三角形的三條角平分線有可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外 B.三角形的三條高都在三角形內(nèi) C.三角形的三條高交于一點 D.三角形的三條中線交于一點

2.(本小題7分)如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，則下列說法不正確的是()A.DE是△BCD的中線

B.BD是△ABC的中線 C.AD=DC，BE=EC

D.DE是△ABC的中線)如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC的延長線于D，BE⊥AC交AC的延長線于E，CF⊥BC交AB于F，下列說法錯誤的是()A.FC是△ABC的高

B.FC是△BCF的高 C.BE是△ABC的高

D.BE是△ABE的高 4.(本小題7分)如圖，在△ABC中，作BC邊上的高，下列

選項中正確的是

()

A.B

.C.D.5.(本小題7分)如圖，在△ABC中，∠1=∠2，G為AD的中點，延長BG交AC于E，F(xiàn)為AB上的一點，CF⊥AD于H．則下列判斷正確的個數(shù)是()①AD是△ABE的角平分線；②BG是△ABD的中線；③CH為△ACD中AD邊上的高.A.1個

B.2個

C.3個

D.0個

6.(本小題7分)如圖，AD是△ABC的角平分線，點O在AD上，且OE⊥BC于E，∠BAC=60°，∠C=80°，則∠EOD的度數(shù)為()

A.20°

B.30°

C.10°

D.15°

五題圖

7.(本小題7分)有3cm，6cm，8cm，9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個三角形，則最多能組成三角形的個數(shù)為()A.1

B.2

C.3

D.4 8.(本小題7分)已知三角形的三邊長分別是3，8，x；若x的值為偶數(shù)，則x的值有()A.6個

B.5個

C.4個

D.3個

六題圖

9.(本小題7分)三角形兩邊長為2和9，周長為偶數(shù)，則第三邊長為()A.7

B.8

C.9

D.10 10.(本小題7分)已知三角形的兩邊分別為3和8，且周長為偶數(shù)，則周長為()A.大于5，小于11

B.18

C.20

D.18或20 11.(本小題7分)一個三角形的兩邊分別是5和11，若第三邊是整數(shù)，則這個三角形的 最小周長是()A.21

B.22

C.23

D.24 12.(本小題8分)已知等腰三角形的周長為16，其中一邊長為3，則該等腰三角形的腰長為()A.3

B.10

C.6.5

D.3或6.5 14.(本小題8分)已知等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊為()A.5

B.3

C.5或3

D.9

三角形的線與角

一、知識點睛

三角形的定義：由________________________________首尾順次相連組成的平面圖形叫做三角形． 三角形三邊關(guān)系：

①______________________________________________； ②______________________________________________． 三角形相關(guān)的線：

①三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的_________叫做三角形的角平分線．

②三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的________，叫做這個三角形的中線． 三角形的三條中線_____________交于一點，這點稱為三角形的__________． ③三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的________叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．

三角形具有穩(wěn)定性；四邊形具有不穩(wěn)定性． 三角形相關(guān)的角：

（1）三角形的內(nèi)角和等于__________．

（2）直角三角形兩銳角_____________．有兩個角_________的三角形是直角三角形．（3）______________________組成的角，叫做三角形的外角．（4）三角形外角定理：三角形的一個外角等于_____________ C_________________________________．

二、精講精練

作出下圖三角形的三條高線．

如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高． BA填空：

?（1）BE=_________12__________； ?12__________；

BA（2）∠BAD=__________

EDFC（3）∠AFB=__________=90°；（4）S△ABC=_______________．

EA如圖，在△ABC中，AB=2，BC=4．△ABC的高AD與CE的比是______________．

下面設(shè)計的原理不是利用三角形穩(wěn)定性的是（）

BDCA．三角形的房架

B．自行車的三角形車架 C．長方形門框的斜拉條

D．由四邊形組成的伸縮門 如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點O，測得OA=15米，OB=10米，A，B間

O的距離不可能是（）

A．5米

B．10米

C．15米

D．20米 下列長度的三條線段能組成三角形的是（）

BA．1 cm，2 cm，5 cm B．4 cm，5 cm，9 cm AC．5 cm，8 cm，15 cm

D．6 cm，8 cm，9 cm 一個等腰三角形的一邊長為6 cm，周長為20 cm，則底邊長為_________． 一個等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為_____．

若一個三角形的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，其周長m滿足10＜m＜22，則這樣的三角形有_________個．

A滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A．∠B+∠A=∠C

B．∠A:∠B:∠C=2:3:5

北C．∠A=2∠B=3∠C

D．∠B+∠C=90°

如圖，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，則∠ACB=________． B

已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．若∠A=75°，D∠ADE=35°，則∠EDC=____________．

AB如圖，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一點，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分別為D，F(xiàn)，若∠AED=140°，則∠C=______，∠BDF=__________，∠A=__________． F

如果三角形的一個外角與它的一個內(nèi)角相等，那么這個三角形只能是________三角形．

B

已知：如圖，在△ABE中，D是BE上一點，C是AE延長線上一點，連接CD．若∠BDC=140°，∠B=35°，∠C=25°，則∠A=_____________．

D B如圖，D是AB上一點，E是AC上一點，BE，CD相交于點F，∠A=60°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，則∠BDC=_______，∠BEC=________，∠BFC=________．

ACAECECDECAEDFADFBECBCGH

第17題圖

17、已知：如圖，在△ABC中，DE∥BC，F(xiàn)是AB上一點，F(xiàn)E的延長線交BC的延長線于點G，∠A=45°，∠ADE=60°，∠CEG=40°，則∠EGH=______．

已知，如圖△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線．求∠DAE的度數(shù)． AB

DEC

7.(本小題7分)如圖，已知BD是△ABC的中線，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周長的差是()A.2 B.3 C.6 D.不能確定

【參考答案】

一、知識點睛

由不在同一條直線上的三條線段

三角形兩邊的和大于第三邊

三角形兩邊的差小于第三邊 線段 線段 在三角形的內(nèi)部 重心 線段（1）180°

（2）互余 互余

（3）三角形的一邊與另一邊延長線（4）和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

二、精講精練 作圖略

1BC?AFCE，BC；∠DAC，∠BAC；∠AFC；2

1:2 D A D 8 cm或6 cm 12 4 C 85° 35° 50°

40°

80° 直角 80° 95°

80°

115° 145°

解：如圖，∵∠B=60°，∠C=45° ∴∠∠∠C =70°

∵AE是∠BAC的平分線

1∴∠EAC=2∠BAC=35°

∵AD是BC邊上的高 ∴∠ADC=90° ∵∠C=45° ∴∠∠C=45° ∴∠DAE=∠∠EAC

=10°

第四篇：11.2與三角形有關(guān)的角 教案

11.2.1三角形的內(nèi)角

教學(xué)目標(biāo) 經(jīng)歷實驗活動的過程，得出三角形的內(nèi)角和定理，能用平行線的性質(zhì)推出這一定理 2 能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決一些簡單的實際問題 重點：三角形內(nèi)角和定理

難點：三角形內(nèi)角和定理的推理的過程 課前準(zhǔn)備

每個學(xué)生準(zhǔn)備好二個由硬紙片剪出的三角形 教學(xué)過程 做一做

1在所準(zhǔn)備的三角形硬紙片上標(biāo)出三個內(nèi)角的編碼 讓學(xué)生動手把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，用量角器量出?BCD的度數(shù)，可得到?A??B??ACB?180? 剪下?A，按圖（2）拼在一起，從而還可得到?A??B??ACB?180

?

圖2 4 把?B和?C剪下按圖（3）拼在一起，用量角器量一量?MAN的度數(shù)，會得到什么結(jié)果。

二想一想

如果我們不用剪、拼辦法，可不可以用推理論證的方法來說明上面的結(jié)論的正確性呢？

?已知?ABC，說明?A??B??C?180，你有幾種方法？結(jié)合圖（1）、圖（2）、圖（3）能不能用圖（4）也可以說明這個結(jié)論成立

一、例題如圖，C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向，從C島看A、B兩島的視角?ACB是多少度？ ???

練習(xí)：課本P80，練習(xí)1，11.2.2三角形的外角

教學(xué)目標(biāo)

1使學(xué)生在操作活動中，探索并了解三角形的外角的兩條性質(zhì) 2利用學(xué)過的定理論證這些性質(zhì) 3能利用三角形的外角性質(zhì)解決實際問題

重點：（1）三角形的外角的性質(zhì)；（2）三角形外角和定理 難點：三角形外角的定義及定理的論證過程 想一想

1三角形的內(nèi)角和定理是什么？ 做一做

CD，把?ABC的一邊AB延長到D，得?A它不是三角形的內(nèi)角，那它是三角形的什么角？

它是三角形的外角。

定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角 想一想：三角形的外角有幾個？

每個頂點處有兩個外角，但這兩個是對頂角 議一議

?ACD與?ABC的內(nèi)角有什么關(guān)系？（1）?ACD??A??B

（2）?ACD??A，?ACD??B

再畫三角形ABC的外角試一試，還會得到這個性質(zhì)嗎？ 同學(xué)用幾何語言敘述這個性質(zhì)：

三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和； 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。你能用學(xué)過的定理說明這些定理的成立嗎？ 已知：?ACD是?ABC的外角 說明：

（1）?ACD??A??B

（2）?ACD??A，?ACD??B 結(jié)合下面圖形給予說明

第五篇：角與三角形的認(rèn)識 教案

三、繁忙的工地——角與三角形的認(rèn)識

信息窗１：角

教學(xué)內(nèi)容

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書青島版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊第３２～３３頁。

教材分析

本課是在學(xué)生初步認(rèn)識角和三角形的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，是今后進一步學(xué)習(xí)幾何初步知識的基礎(chǔ)。該信息窗呈現(xiàn)的是一幅工地上挖掘機繁忙的作業(yè)景象。觀看的小朋友看到正在隆隆作業(yè)的機器，興奮地交談。擬借此情境引導(dǎo)學(xué)生通過討論“鏟斗臂在工作中可能形成什么樣的角”的問題，引入對角的知識的系統(tǒng)學(xué)習(xí)。

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷從具體物體中抽象出角的過程，認(rèn)識平角、周角，知道平角和它們之間的關(guān)系，并能按一定標(biāo)準(zhǔn)分類。

2.培養(yǎng)學(xué)生動手操作、合作學(xué)習(xí)與探究學(xué)習(xí)能力。發(fā)展學(xué)生的空間觀念。３、體會身邊處處有數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進一步體會通過探索解決問題的樂趣。

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，激趣導(dǎo)課

（課件）播放：繁忙的工地上，五臺挖掘機在緊張的工作著，鏟斗臂形成了各種各樣的角??

師：仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生1：畫面上有5臺挖掘機。

生2：工人叔叔工作非常繁忙，非常辛苦。生3：鏟斗臂上形成了很多角。生4：鏟斗臂上的角不一樣大?！?/p>

師：我非常欣賞這位同學(xué)，她已經(jīng)學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光來觀察生活了?。ㄕn件演示：鏟斗臂上形成的各種角）師：鏟斗臂在工作的時候，能形成什么樣的角呢？今天我們就來研究這個問題。

（板書課題：角的認(rèn)識）

【設(shè)計意圖】本課的教學(xué)，從挖掘機工作的生活場境入手，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題---角，從而來復(fù)習(xí)角的知識，進一步研究角的相關(guān)知識，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)知識與生活緊密相連，養(yǎng)成注意觀察挖掘生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的習(xí)慣。

二、探索新知

（一）認(rèn)識平角、周角

1、學(xué)生做各種活動角。

師：老師課前讓大家準(zhǔn)備了活動角，請大家把活動角的兩邊重合，一邊不動，另一條邊開始轉(zhuǎn)動，就可以得到一個角。然后把你得到的角沿邊畫下來。小組同學(xué)說一說，你折的是什么角。（小組交流）：

師：哪組的同學(xué)愿意上臺給大家展示一下你們小組折的角？

2、小組匯報交流

師：展示你們折的角，并告訴同學(xué)們它的名稱。（實物投影展示，再把角貼在黑板上）

（學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了直角、銳角和鈍角，很容易說出名稱。個別學(xué)生可能還會說出平角和周角。）

【設(shè)計意圖】這是一節(jié)概念課，所有角的定義都是規(guī)定的，如果只是告訴學(xué)生這些角的定義，學(xué)生有可能記得很牢，但是缺乏必要的體驗，肯定沒有深刻的印象。這里以操作體驗為主讓學(xué)生在復(fù)習(xí)直角、銳角和鈍角的基礎(chǔ)上認(rèn)識平角和周角，經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程。

3.分類。

師：這么多角，看起來太亂了，能不能把他們分類整理一下呢？（小組活動）：

師：把你們小組折的角放在一起，分分看。（一組同學(xué)在臺上分）師：你們是怎么分的？為什么？（學(xué)生上臺展示）

生1：我們把直角分為一類，把銳角分為一類，把鈍角分為一類。師：這位同學(xué)分的非常合理，有不同意見嗎？（個別學(xué)生可能會按平角和周角分類，如果說不出，教師再啟發(fā)、演示。）【設(shè)計意圖】先讓學(xué)生作出各種活動角，把剪下來的角貼在黑板上，故意給學(xué)生造成一種“視覺混亂”的局面，激發(fā)學(xué)生探究新知。

4、認(rèn)識平角。

師：手拿一個活動角，從兩邊重合開始，一邊不動，另一條邊怎樣轉(zhuǎn)動，當(dāng)兩條邊成一條直線時問：

師：這是角嗎？為什么？

生1：是，因為他仍有一個頂點兩條邊。

生2：我認(rèn)為不是角，因這里是平平的，不尖了。生3：我也認(rèn)為不是角，因為它看上去是一條直線。生4：我反駁他們的意見，請問兩位同學(xué)，角是怎樣形成的？ 生5：角是由一點引出的兩條射線組成的圖形。

生6：那么請問你看到從一點引出的兩條射線了嗎？角還可以怎樣形成？ 師：我非常欣賞這位同學(xué)，他能自覺運用已經(jīng)學(xué)過的角的定義來解決今天的問題。還有不同意見嗎？

師：（演示平角的形成過程）同學(xué)們請看，這個角的兩邊成一條直線了，我們給它起個名字叫平角。（板書）

（畫平角）：

師：好，跟著老師畫平角。（示范平角的畫法）。

5、認(rèn)識周角。

師：我們輕松一下，一起來做個游戲：

⑴老師先說出一種角，你們利用活動角轉(zhuǎn)出這種角：開始！銳角！直角！鈍角！

⑵老師轉(zhuǎn)動活動角，你們說出它的名稱。開始！師：（老師轉(zhuǎn)動一周，兩條射線重合），這是角嗎？為什么？

生1：我認(rèn)為是，從剛才的討論中我發(fā)現(xiàn)這個圖形也是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)形成的，而且是旋轉(zhuǎn)了一周，所以，我認(rèn)為是角。

生2：我認(rèn)為不是，角是由一點引出的兩條射線組成的圖形，而這里只有一條射線，所以不是角。生3：我補充，因為這兩條射線重合了，其實是有兩條射線的。

師：同學(xué)們的回答都很精彩！請看大屏幕（課件演示周角的形成過程），這是一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)一周組成的圖形，我們給它叫周角。（板書）（畫周角）：

師：好，跟著老師畫周角。（示范周角的畫法）。

【設(shè)計意圖】為了突破難點，認(rèn)識平角和周角，我精心設(shè)計了兩場辯論賽，力圖在學(xué)生辯論的過程中，使學(xué)生的思維形成相互碰撞，使整個辯論過程成為學(xué)生認(rèn)真思辨、積極探索和自我建構(gòu)的過程，也力圖教給學(xué)生從角的定義出發(fā)分析問題的方法。

（二）角的表示方法：

師：我們認(rèn)識了這么多角，角應(yīng)該怎樣表示呢？誰有好方法？（兩生上臺板演）

師：角可以這樣表示：從一點起，畫兩條射線，就組成一個角。通常用符號“∠”表示。記作“∠1”（或“∠2”等）。讀作“角一”

【設(shè)計意圖】學(xué)習(xí)角的表示方法，放手讓學(xué)生先動腦想，給學(xué)生留下一定的空間。教師再演示角的表示方法，學(xué)生印象很深刻。

（三）探索三種角的關(guān)系

師：直角、平角、周角這三種角之間有什么關(guān)系呢？請小組合作利用手中的材料研究一下。（小組匯報）：

師：哪個小組來匯報一下：你們發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？ 生1：我們發(fā)現(xiàn)：平角是直角的2倍 生2：周角是直角的4倍 生3：周角還是平角的2倍

師：同意嗎？（學(xué)生都點頭同意，師板書）

【設(shè)計意圖】在研究學(xué)習(xí)中對于平角、周角的認(rèn)識充分利用知識的遷移和對活動角的操作來感受兩種特殊角的形成，我感覺對于學(xué)生來說知識的形成過程比較自然，并變抽象為具體，有利于學(xué)生的很好把握。

三、回歸生活 1.解決情境中的問題 師：現(xiàn)在我們來看看鏟斗臂在工作時都形成了哪種角？（課件播放，學(xué)生回答）2.找出身邊的各種角

師：同學(xué)們，你在生活中見過這些角嗎？（生舉例）3.播放生活中的各種角

師：其實，我們的生活中到處都有角，請看大屏幕（播放：生活中的角畫面：斜拉橋、路燈、籃球架、滑梯、起重機、各種扇子、自行車等等）師：看到生活中這么多的角，你想說什么？