第一篇：立體幾何復(fù)習(xí)課

立體幾何復(fù)習(xí)課

-------------向量在立體幾何中的應(yīng)用

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中集中培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的一個(gè)知識(shí)板塊，通過(guò)對(duì)空間幾何體認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)，初步具有空間感知和基本的識(shí)圖能力；通過(guò)三視圖的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，加深立體感，不但會(huì)識(shí)圖，更要會(huì)畫(huà)圖；通過(guò)位置關(guān)系的判斷和立體幾何中的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生用圖和計(jì)算、推理的能力。

當(dāng)然，向量作為一種具有“數(shù)形結(jié)合”能力的一種工具，在立體幾何中發(fā)揮了重要的作用。下面我們把立體幾何所有內(nèi)容集中復(fù)習(xí)一下。

一、位置關(guān)系：

1、平行關(guān)系：包括線線平行、線面平行、面面平行。三者可以互相推出，囊括了平行中的判斷定理和性質(zhì)定理。關(guān)系如下：

線線平行? 線面平行?面面平行

其中線的向量特征就是方向向量，面的向量特征就是面的法向量。

用向量法證明線線平行只需證明它們的方向向量共線。

用向量法證明線面平行要么證明線的方向向量與面內(nèi)一條線的方向向量平行，要么證明線的方向向量與面的法向量垂直。后者用的更多一些。

用向量法證明面面平行一般證明兩面的法向量平行或重合。

2、垂直關(guān)系： 包括線線垂直、線面垂直、面面垂直。三者可以互相推出，囊括了垂直中的判斷定理和性質(zhì)定理。關(guān)系如下：

線線垂直? 線面垂直?面面垂直

用向量法證明線線垂直只需證明它們的方向向量垂直。

用向量法證明線面垂直要么證明線的方向向量與面內(nèi)兩條相交線的方向向量垂直，要么證明線的方向向量與面的法向量平行或重合。后者用的更多一些。

用向量法證明面面垂直一般證明兩面的法向量垂直。

二、幾何運(yùn)算：

1、距離：主要包括點(diǎn)面、平行線面、平行面面的距離。

點(diǎn)面距的求解要用到線面角和由從該點(diǎn)出發(fā)的面的垂線、斜線、射影所組成的直角三角形。平行線面距只需轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距即可。

平行面面距亦然。

2、夾角：主要包括線線角、線面角、二面角

線線角又包括異面和共面主要考察異面直線所成的角，只要轉(zhuǎn)化為直線所在向量所成的角就可以了，不過(guò)要注意兩角范圍不同。

線面角用向量法要注意的是向量所成角的余弦是線面角的正弦。

二面角也要注意兩法向量所成角與二面角的關(guān)系（有時(shí)判斷會(huì)比較麻煩）

以上是對(duì)立體幾何的復(fù)習(xí)，望大家批評(píng)指正。

第二篇：立體幾何復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

立體幾何復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)背景

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段立體幾何課程的基本要求。

這部分內(nèi)容除了掌握一些規(guī)則幾何體的面積和體積公式外，重點(diǎn)要求是兩種位置關(guān)系（平行和垂直）、兩個(gè)度量性質(zhì)（夾角和距離）。根據(jù)近年來(lái)高考立體幾何命題的規(guī)律，一般以簡(jiǎn)單幾何體為載體，重點(diǎn)考察空間線面的平行、垂直問(wèn)題，理科還會(huì)有求空間角的求解問(wèn)題，由于新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了用空間向量研究空間的點(diǎn)、線、面的定量和定性研究，這會(huì)為研究空間的點(diǎn)、線運(yùn)動(dòng)變化帶來(lái)方便，如探索“存在性”問(wèn)題等，需要我們復(fù)習(xí)時(shí)多加注意。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.在鞏固平行與垂直判定定理與性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，提升利用空間向量解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題的能力；

2.體會(huì)向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力； 3.通過(guò)學(xué)習(xí)，理解并提高探索“存在性”問(wèn)題的一般方法(在假設(shè)存在的前提下，往往可以得到一個(gè)方程(組)或不等式(組)，通過(guò)計(jì)算求解得到判斷結(jié)果)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于方程的應(yīng)用意識(shí)。

三、教學(xué)重點(diǎn)

1.掌握利用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理來(lái)證明空間中的平行垂直關(guān)系 2.掌握利用空間向量來(lái)求空間角 3.了解“存在性”問(wèn)題的一般解決思路

四、教學(xué)難點(diǎn)

關(guān)于“存在性”問(wèn)題的探索

五、教學(xué)過(guò)程

例：如圖，已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD，E為DC中點(diǎn)，且∠A=60°，現(xiàn)將△BEC沿BE折起，得四棱錐C-ABED，且使得平面BCE⊥平面ABED，如圖所示（1）求證：CE⊥AB;（2）請(qǐng)建立空間直角坐標(biāo)系，并求出平面BCE與平面ACD的法向量;??

DECCDEABAB

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)置熟悉問(wèn)題，承前啟后、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望;減少課堂計(jì)算量、給學(xué)生留下思考與交流的時(shí)間，突出學(xué)生的主體地位和學(xué)習(xí)的重點(diǎn);提供關(guān)鍵計(jì)算信息：

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（1）帶學(xué)生一起分析：對(duì)于翻折問(wèn)題，關(guān)鍵去發(fā)現(xiàn)翻折前后哪些長(zhǎng)度發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有變化；哪些位置關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有變化；梳理證明垂直關(guān)系的方法，總結(jié)異面直線的垂直問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；

（2）以E為原點(diǎn)，ED、EB、EC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

E(0,0,0),A(2,3,0),B(0,3,0),D(1,0,0),C(0,0,1)從而求得平面BEC的法向量為m?(1,0,0)，平面ACD的法向量為n?(3,?1,3)(3)求AC與平面BEC所成角的大小

（4）求平面ACD與平面BCE所成銳二面角的余弦值

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)第（2）個(gè)問(wèn)題的設(shè)置，為（3）（4）求空間角做好了準(zhǔn)備工作，鞏固強(qiáng)化學(xué)生利用向量的辦法求空間角的能力。

(5)在棱BC上是否存在一點(diǎn)p,使PE⊥AC并說(shuō)明理由(6)在棱BC上是否存在一點(diǎn)M,使EM∥平面ACD并說(shuō)明理由

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于每一問(wèn)題先做定性的考量，使學(xué)生能夠從“運(yùn)動(dòng)變化”的角度觀

???察和分析問(wèn)題，體現(xiàn)問(wèn)題的形成過(guò)程，提高學(xué)生認(rèn)識(shí)、分析、探索“存在性”問(wèn)題的能力，之后再利用向量的辦法解決，由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，逐步提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

思考：設(shè)平面ABC ?平面DEC=m，判斷直線m與AB的位置關(guān)系并說(shuō)明理由.設(shè)計(jì)意圖：作為高二的學(xué)生，對(duì)于立體幾何問(wèn)題的解決還沒(méi)達(dá)到熟練的程度，所以思考題只為部分學(xué)生留下提升空間。

六、課堂小結(jié)

立體幾何主要研究位置關(guān)系和度量關(guān)系，本節(jié)課重點(diǎn)復(fù)習(xí)了位置關(guān)系的證明及利用向量求空間角，并適當(dāng)?shù)奶剿髁恕按嬖谛浴眴?wèn)題的求解。

七、布置作業(yè)

完成學(xué)案的例題的書(shū)寫(xiě)及練習(xí)題

第三篇：立體幾何復(fù)習(xí)

一、線線平行的證明方法

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線。

3、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。

4、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

5、如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

7、夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

2、反證法。

3、如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

4、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面

三、面面平行的證明方法

1、定義法：兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

3、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。

4、經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。

四、線線垂直的證明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對(duì)角線。

4、圓所對(duì)的圓周角是直角。

5、點(diǎn)在線上的射影

6、如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)任意的直線都垂直

7、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

8、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

9、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

4、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面。

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則必垂直于另一個(gè)平面。

7、兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么兩平面交線垂直于第三個(gè)平面。

8、過(guò)一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過(guò)一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個(gè)平面的二面角是直二面角。

2、如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

3、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直

4、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直

第四篇：立體幾何起始課

立體幾何起始課

北京第八中學(xué) 陳孟偉、黃煒、彭紅、劉燕 【教學(xué)目標(biāo)】(1)知識(shí)與技能

使學(xué)生明確學(xué)習(xí)立體幾何的目的，初步了解立體幾何研究的內(nèi)容；使學(xué)生初步建立空間觀念，會(huì)看空間圖形的直觀圖；使學(xué)生直觀了解空間中的點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，并初步了解符號(hào)語(yǔ)言；使學(xué)生了解平面幾何與立體幾何的聯(lián)系與區(qū)別．(2)過(guò)程與方法

通過(guò)動(dòng)手試驗(yàn)、互相討論等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、語(yǔ)言表達(dá)等能力，以及相互協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神；通過(guò)對(duì)具體情形的分析，歸納得出一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力．(3)情感態(tài)度價(jià)值觀

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在思維層次上，讓學(xué)生逐步體驗(yàn)“偶然——必然，必然——自由”的過(guò)程，為培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣奠定基礎(chǔ)． 【教學(xué)重點(diǎn)】

初步了解立體幾何研究的內(nèi)容，培養(yǎng)空間想象能力． 【教學(xué)難點(diǎn)】

克服平面幾何的干擾，了解立體幾何研究問(wèn)題的方法． 【教學(xué)方法】

教師啟發(fā)講授，學(xué)生觀察模型、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、分組討論、探究學(xué)習(xí)． 【教學(xué)手段】

多媒體、立體模型等． 【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣，引入課題

1、演示一組圖片

從學(xué)生熟悉的央視新大樓、鳥(niǎo)巢、長(zhǎng)城、祈年殿、金字塔、晶體結(jié)構(gòu)、DNA模型引出立體幾何，引起學(xué)生的興趣，同時(shí)說(shuō)明立體幾何非常有用．

人們?cè)诮ㄔ旆课?、修建水壩、研究晶體的結(jié)構(gòu)、研究DNA的結(jié)構(gòu)、在計(jì)算機(jī)上設(shè)計(jì)三維動(dòng)畫(huà)，研究高清晰度電視以及虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)等都需要立體幾何．我們需要進(jìn)一步了解我們生活的空間．這就是我們學(xué)習(xí)立體幾何的目的．立體幾何研究的是立體圖形，它們的形狀、大小、相互位置，與立體圖形有關(guān)的計(jì)算、畫(huà)圖與某些應(yīng)用．還在幾千年前，勞動(dòng)人民在常年累月耕地，建河堤、運(yùn)河、筑神廟、宮殿時(shí)積累了很多立體幾何的知識(shí)，作為二十一世紀(jì)的中學(xué)生，我們應(yīng)該更好地學(xué)習(xí)立體幾何，為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)．

2、思考兩個(gè)問(wèn)題

問(wèn)題1 把一塊豆腐切3刀，最多能切成幾塊？

問(wèn)題2 用六根等長(zhǎng)的火柴棍最多能拼成多少個(gè)正三角形？

鼓勵(lì)學(xué)生用模型實(shí)驗(yàn)、積極發(fā)言，讓學(xué)生更進(jìn)一步的感受立體幾何，明確學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵是培養(yǎng)空間想象能力．

二、歸納探索，形成正確認(rèn)知 1．直觀圖

例1 我們看下面的兩幅圖，他們有什么區(qū)別？請(qǐng)你分別用書(shū)和筆表示出來(lái)．

上面這幅圖說(shuō)明了直觀圖一個(gè)原則。請(qǐng)學(xué)生總結(jié)立體圖形直觀圖的虛實(shí)線使用和平面幾何圖形的不同之處．

原則一：當(dāng)一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋時(shí)，被遮擋部分的線段畫(huà)成虛線或者不畫(huà)． 在立體幾何中我們通過(guò)虛實(shí)結(jié)合來(lái)表示立體圖形的前后．

引申：想象一下能否出現(xiàn)這樣的情形？為什么？

練習(xí)1(1)請(qǐng)同學(xué)們觀察左邊圖形，說(shuō)明是從哪個(gè)角度進(jìn)行觀察的．

(2)在右邊圖形中，如果從上面觀察，那些線應(yīng)該畫(huà)成實(shí)線，哪些畫(huà)成虛線，試著在上圖修改．

學(xué)生動(dòng)手操作．教師也可以根據(jù)學(xué)生的意見(jiàn)，利用《幾何畫(huà)板》等軟件實(shí)時(shí)地進(jìn)行演示，提高師生交互性和課堂的時(shí)效性．

在立體圖形中，我們通常用希臘字母來(lái)表示平面，對(duì)于立方體這樣的圖形，我們通常按照順時(shí)針或者逆時(shí)針的順序依次將上下兩個(gè)底面標(biāo)上字母，然后將立方體記為練習(xí)2 正方體正確？如不正確，如何修改？

中，分別是

和

或者記為立方體的中點(diǎn)，連接

．

．右圖是否

學(xué)生討論，然后回答．根據(jù)學(xué)生的回答，教師利用軟件實(shí)時(shí)地進(jìn)行修改演示，讓學(xué)生立刻形成正確的認(rèn)識(shí)．

例2 觀察正方體，回答下列問(wèn)題：

(1)面(2)(3)與是什么圖形？ 是多少度？平行嗎？ 的大?。?/p>

是的平分線嗎？

是的平分線嗎？

(4)計(jì)算請(qǐng)學(xué)生回答，說(shuō)明理由．利用模型和軟件，實(shí)時(shí)進(jìn)行演示．比如，可以將幾何體旋轉(zhuǎn)一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢?，再讓學(xué)生觀察，形成正確的認(rèn)識(shí)．請(qǐng)學(xué)生總結(jié)表示立體圖形的直觀圖和平面幾何圖形的異同點(diǎn)．

答：(1)正方形． 原則二：平面圖形的畫(huà)法是真實(shí)的，而空間圖形的直觀圖是不真實(shí)的．

如正方體的底面本是正方形，但在直觀圖中都畫(huà)成平行四邊形．又如圓柱的底面本是圓，但在直觀圖中都畫(huà)成了橢圓．

學(xué)生討論，然后回答，說(shuō)明理由．利用軟件，將幾何體旋轉(zhuǎn)到不同位置讓學(xué)生觀察．告訴學(xué)生不光要觀察，還用進(jìn)行想象和推理．

(2)，是的平分線，不是的平分線．

(3)不平行．他們分別在兩個(gè)平面內(nèi)，并且永遠(yuǎn)不可能相交．(4)因?yàn)闉檎切?，所?/p>

．

原則三：在研究空間圖形時(shí)，不能依據(jù)對(duì)圖形的直覺(jué)作出判斷，而應(yīng)依據(jù)正確的推理、計(jì)算作出結(jié)論．

再次歸納空間立體圖形直觀圖的三個(gè)原則． 2．空間中的點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系

點(diǎn)、直線、平面是立體幾何中的最簡(jiǎn)單的圖形，研究它們的位置關(guān)系很有必要。我們將直線和平面看作點(diǎn)的集合，我們利用與集合類似的符號(hào)來(lái)表示它們之間的關(guān)系．

問(wèn)題1 觀察頂點(diǎn)A與其它棱所在直線的位置關(guān)系． 問(wèn)題2 觀察棱AB所在直線與其它棱所在直線的位置關(guān)系． 問(wèn)題3 觀察棱AB所在直線與某個(gè)面所在平面的位置關(guān)系． 問(wèn)題4 觀察正方體的面

所在平面與其它面所在平面的位置關(guān)系．

充分讓學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)，教師同時(shí)作必要的修正，并且將學(xué)生的表述用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行板書(shū)，如下：

點(diǎn)A與直線的位置關(guān)系：(1)點(diǎn)在直線上：直線與直線的位置關(guān)系：(1)平行：

；(2)點(diǎn)不在直線上：；(2)相交：

．

；(3)異面． 直線與平面直線與平面相交：平面與平面的位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)：

． 的位置關(guān)系：(1)平行：

；(2)直線與平面平行：；(3)

；(2)相交：．

教師通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，并指出研究這些關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．其中平行與垂直關(guān)系是日常生產(chǎn)生活中用得最多，所以它們是立體幾何研究的重點(diǎn)． 3．平面幾何與立體幾何

提出疑問(wèn)：平面幾何中也研究了點(diǎn)和直線，那么能否在立體幾何中使用平面幾何中的定理呢？

問(wèn)題1平面幾何中，正方形的對(duì)角線互相垂直。圖中的我們可以將面上使用。

與

垂直嗎？

化成平面圖形，這樣我們發(fā)現(xiàn)平面幾何的定理是可以在面

學(xué)生充分討論，教師適當(dāng)引導(dǎo)，使學(xué)生形成正確認(rèn)識(shí)，同時(shí)交給學(xué)生研究立體幾何的好方法——將立體圖形中某個(gè)平面抽取出來(lái)，畫(huà)出它平面圖． 問(wèn)題2平面幾何中，垂直于同一直線的兩直線平行。在上圖中，那么和平行嗎？，教師將平面幾何的一個(gè)定理錯(cuò)誤地推廣到立體幾何中，引發(fā)學(xué)生討論． 問(wèn)題3平面幾何中，平行于同一直線的兩直線平行。在上圖中，那么和平行嗎？，教師將平面幾何的一個(gè)定理正確地推廣到立體幾何中，引發(fā)學(xué)生討論．

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)：平面幾何的定理在立體圖形的某一個(gè)平面上完全成立，平面幾何中有的定理在空間中不成立，而有的仍成立．

三、歸納總結(jié)，提高認(rèn)識(shí) 教師給出提綱，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行“盤(pán)點(diǎn)”，從而形成規(guī)律性的結(jié)論．通過(guò)提問(wèn)，督促學(xué)生進(jìn)行自我總結(jié)：

1、你通過(guò)本節(jié)課學(xué)到了什么知識(shí)？

2、你在學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)用到了哪些方法？它們?cè)谀阋院蟮膶W(xué)習(xí)中會(huì)有作用嗎？

3、還有哪些地方不是很清楚，需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)? 使學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)總結(jié)、及時(shí)總結(jié)的好習(xí)慣。

四、課后作業(yè) 探究正方體的截面問(wèn)題 問(wèn)題1 假設(shè)我們用刀對(duì)正方體切一刀，將其一分為二，那么我們稱切開(kāi)的切面為正方體的截面，如圖．很顯然，當(dāng)切的位置和方向不同時(shí)，得到的截面是不同的，那么我們都可能得到幾邊形的截面呢？

因?yàn)檫@個(gè)題目的答案從三角形到六邊形都可能，一個(gè)學(xué)生很難將其回答完整，但通過(guò)學(xué)生的互相啟發(fā)補(bǔ)充，相信可以得出完整的答案．

問(wèn)題2 如果要求截面必須是四邊形，那你都可以得到什么樣的截面呢？

利用手中的正方體模型動(dòng)手實(shí)踐，學(xué)生可以逐漸總結(jié)出各種答案：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等．在總結(jié)課上教師根據(jù)學(xué)生敘述，利用幾何畫(huà)板演示． 問(wèn)題3 你得到的各種四邊形有什么共同的特點(diǎn)(共性)？為什么？

因?yàn)橛谐踔衅矫鎺缀蔚幕A(chǔ)，學(xué)生不難總結(jié)出以上得到的各種四邊形都至少有一組對(duì)邊平行．至于為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況，學(xué)生就不得不認(rèn)真觀察正方體六個(gè)面之間不同的位置關(guān)系，即垂直和平行，并且可能會(huì)有個(gè)別程度較好的學(xué)生會(huì)逐漸總結(jié)出一些猜想，如：一個(gè)平面交兩個(gè)平行平面的交線平行． 問(wèn)題4 具體總結(jié)每種截面四邊形得到的過(guò)程，你能說(shuō)說(shuō)為什么得到的截面就是這種四邊形嗎？你獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)，有什么樣的猜想？可將學(xué)生分組進(jìn)行研究．

因?yàn)橹耙呀?jīng)研究過(guò)截面為四邊形時(shí)，必然會(huì)經(jīng)過(guò)一組平行的平面(對(duì)面)，所以只需研究另外兩個(gè)面是平行，還是垂直的情況．

(1)一般平行四邊形：另兩個(gè)面也必須平行(如圖)，且沒(méi)有任何一條交線與棱平行．

(2)矩形：另兩個(gè)面既可以平行，也可以垂直，且有一對(duì)交線平行于棱，另兩條不平行．（由此可以總結(jié)線面垂直關(guān)系）

(3)菱形：類似一般平行四邊形，只不過(guò)還需鄰邊相等．

(4)正方形：類似矩形，只不過(guò)四條交線都和相應(yīng)的棱平行．

(5)(等腰)梯形：另兩個(gè)面需垂直，且沒(méi)有交線與棱平行．(教師可以提出更深問(wèn)題：可以得到直角梯形嗎？)

問(wèn)題5 剛才探究的過(guò)程體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？依此類推，當(dāng)截面是其他情況時(shí)，分別又該如何考慮？

學(xué)有余力，或有興趣的學(xué)生繼續(xù)思考． 【教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明】

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

“幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科．人們通常采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)．三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求．”

“在立體幾何初步部分，學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形；能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證．學(xué)生還將了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法．”

(1)立體幾何初步的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間想象能力．我們提供了豐富的實(shí)物模型和利用計(jì)算機(jī)軟件呈現(xiàn)的空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能．

(2)立體幾何初步的教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)際模型的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言．我們盡力幫助學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)空間中一般的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；通過(guò)對(duì)圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說(shuō)理，使學(xué)生初步了解空間平行、垂直關(guān)系，從而為學(xué)生展現(xiàn)立體幾何的全貌．

(3)因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何之前學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，平面幾何與立體幾何研究的對(duì)象又都來(lái)自于日常空間的抽象，并且研究的對(duì)象有部分重疊，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何過(guò)程中一定會(huì)受平面幾何知識(shí)的影響．又因?yàn)槠矫鎺缀沃械慕Y(jié)論不能原封不動(dòng)地搬到立體幾何中，有的在立體幾何中還成立，而有的卻不成立，但在立體圖形的一個(gè)平面上，平面幾何的所有結(jié)論又全都可用．因此，在立體幾何起始課上，有必要向?qū)W生講清這一點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)掃清障礙．

(4)我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)代信息技術(shù)展示空間圖形，為理解和掌握?qǐng)D形幾何性質(zhì)(包括證明)的教學(xué)提供形象的支持，提高學(xué)生的幾何直觀能力．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定 這節(jié)課是立體幾何入門(mén)的第一節(jié)課．它的功能是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，展現(xiàn)這門(mén)課的概貌，揭示它與平面幾何的區(qū)別與聯(lián)系、研究它的方法、學(xué)習(xí)它所需培養(yǎng)的能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．

認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)的主要方法是：直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算．本節(jié)課作為立體幾何起始課，主要是通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)的方式讓學(xué)生認(rèn)識(shí)人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力．在后續(xù)的課程中，我們會(huì)采取思辯論證、度量計(jì)算等方法繼續(xù)研究空間中的幾何圖形．

三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇

在學(xué)習(xí)這門(mén)課之前，學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面幾何的知識(shí)，對(duì)平面中幾何圖形的位置和數(shù)量關(guān)系研究較多，在小學(xué)和初中階段只是比較直觀地認(rèn)識(shí)了一些簡(jiǎn)單的幾何體，并沒(méi)有更深入地對(duì)空間中幾何圖形的位置和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理和計(jì)算．

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中將會(huì)遇到一些問(wèn)題：如對(duì)學(xué)習(xí)立體幾何的興趣不足、不能很好地使用直觀圖來(lái)表示立體圖形、將平面幾何的結(jié)論不加研究地類推到立體幾何中等等．

根據(jù)這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容特點(diǎn)，以及學(xué)生的實(shí)際情況，在教學(xué)方法和手段上采取了如下設(shè)計(jì)：

1、由于是起始課，因此多采取直觀的演示幻燈片、使用書(shū)本、鉛筆、立方體等模型，直觀感知、操作確認(rèn)，避免過(guò)度抽象，思辯論證、度量計(jì)算等手段在后續(xù)課程中再采用；

2、鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、獨(dú)立思考、相互討論等手段得出結(jié)論，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的見(jiàn)解，教師只做必要的引導(dǎo)和總結(jié)；

3、從多種具體情形出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力；

4、采用模型或軟件，使學(xué)生的想法能夠即時(shí)得到實(shí)現(xiàn)，所想即所見(jiàn)，快速形成正確認(rèn)知，提高教學(xué)實(shí)效性。比如直觀圖中虛實(shí)線的使用，教師根據(jù)學(xué)生的表述，隨即在軟件中進(jìn)行修改，學(xué)生馬上看見(jiàn)自己的想法變成了圖形，也立刻知道了自己的想法是否正確，隨即進(jìn)行修正。

四、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)一門(mén)課之前，學(xué)生都會(huì)問(wèn)：學(xué)習(xí)它有什么用途？因此，這節(jié)課首先為說(shuō)明立體幾何有何用途，以及激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，演示一組古今中外的著名建筑圖片．又為說(shuō)明只學(xué)習(xí)習(xí)近平面幾何不足以對(duì)付日常生產(chǎn)生活中的需要，設(shè)計(jì)一組小問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)習(xí)立體幾何的必要性．

直觀圖是用來(lái)表示立體圖形的，它是學(xué)習(xí)立體幾何，進(jìn)行交流和表達(dá)的重要工具，這節(jié)課的后續(xù)部分也要用到。但學(xué)生對(duì)直觀圖的觀察和使用會(huì)有一些偏差，因此接著引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)觀察、使用立體圖形的直觀圖，設(shè)計(jì)了一組問(wèn)題，從不同側(cè)面來(lái)說(shuō)明直觀圖中虛實(shí)線的不同使用，顯示出不同的立體圖形，直觀圖與平面圖有所不同等等，從而告訴學(xué)生畫(huà)直觀圖的原則，以及如何觀察直觀圖，進(jìn)而想象出立體圖形．

立體幾何研究的內(nèi)容是什么？這也是起始課上學(xué)生想問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題．接著利用最簡(jiǎn)單的正方體模型，教師帶領(lǐng)學(xué)生歸納出空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，以此告訴學(xué)生這些位置關(guān)系是立體幾何研究的主要內(nèi)容．同時(shí)，讓學(xué)生初步了解立體幾何中的符號(hào)語(yǔ)言，為后續(xù)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備．

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的過(guò)程中，受平面幾何的影響較大，常常將平面幾何中的結(jié)論不加分別地用到立體幾何中來(lái)．為了讓學(xué)生形成正確的認(rèn)識(shí)，使其在后續(xù)的學(xué)習(xí)中更加順利，我們安排了一組問(wèn)題，說(shuō)明了平面幾何與立體幾何的聯(lián)系與區(qū)別．

最后，為了讓學(xué)生復(fù)習(xí)直觀圖的觀察與使用，更加深入了解空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，我們?cè)O(shè)計(jì)了一組探究活動(dòng)，由于時(shí)間關(guān)系，將此探究活動(dòng)放到課外．

2010-12-08 人教網(wǎng) 關(guān)閉 打印 推薦給朋友 大

中

小

【上一篇】例談運(yùn)用集合思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題

【下一篇】課改后各地新課標(biāo)高考試卷中對(duì)“新增內(nèi)容”考察的研究

第五篇：立體幾何專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

立體幾何專題教學(xué)設(shè)計(jì)

【考情分析】立體幾何主要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展空間想像能力和推理論證能力。立體幾何是高考必考的內(nèi)容，試題一般以“兩小題一大題或一大題一小題”的形式出現(xiàn)，分值在17—22分左右。近三年的試題中必有一個(gè)選擇題是以三視圖為背景，來(lái)考查空間幾何體的表面積或體積。立體幾何在高考中的考查難度一般為中等，從解答題來(lái)看，立體幾何大題所處的位置為前4道，有承上啟下的作用。主要考查的知識(shí)點(diǎn)有： 1.客觀題考查的知識(shí)點(diǎn)：

(1)判斷：線線、線面、面面的位置關(guān)系；

(2)計(jì)算：求角(異面直線所成角、線面角、二面角)；求距離(主要是點(diǎn)面距離、球面距離)；求表面積、體積；

(3)球內(nèi)接簡(jiǎn)單幾何體(正方體、長(zhǎng)方體、正四面體、正三棱錐、正四棱柱)(4)三視圖、直觀圖（由幾何體的三視圖作出其直觀圖，或由幾何體的直觀圖判斷其三視圖）

2.主觀題考查的知識(shí)點(diǎn)：

(1)有關(guān)幾何體：四棱錐、三棱錐、(直、正)

三、四棱柱；

(2)研究的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系：以線線、線面(尤其是垂直)為主的點(diǎn)線面位置關(guān)系；(3)研究的幾何量：二面角、線面角、異面直線所成角、線線距、點(diǎn)面距離、面積、體積。其中，解答題的第二問(wèn)一般都是求一個(gè)空間角，而且都能通過(guò)傳統(tǒng)方法（幾何法）和空間向量?jī)煞N方法加以解決?！菊n時(shí)安排】本專題復(fù)習(xí)時(shí)間為三課時(shí)：

例2．設(shè)α、β為互不重合的平面，m、n為互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：

①若m⊥α，n?α，則m⊥n；

②若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β；

③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β；

④若m⊥α，α⊥β，m//n，則n//β．

其中所有正確命題的序號(hào)是．

解決策略：培養(yǎng)學(xué)生善于利用身邊的工具與情境（如紙筆、桌面、墻角等）構(gòu)造具體模型，充分利用正方體這個(gè)有力的載體，將抽象問(wèn)題具體化處理，提高他們的空間想象能力．本類題為高考?？碱}型，其本質(zhì)實(shí)為多項(xiàng)選擇題．主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選多選． 基本題型三：空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的證明（解答題）

例3．如圖，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA1、BB1、AB、B1C1的中點(diǎn)．

（1）求證：面PCC1⊥面MNQ；

（2）求證：PC1∥面MNQ．

解決策略：證明或探究空間中線線、線面與面面平行與垂直的位置關(guān)

系，一要熟練掌握所有判定與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見(jiàn)A1 B

1證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面M

平行；二要掌握解題時(shí)由已知想性質(zhì)、由求證想判定，即分析法與綜

合法相結(jié)合來(lái)尋找證明的思路；三要嚴(yán)格要求學(xué)生注意表述規(guī)范，推

理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論．此外，要特A N P B 別注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，會(huì)分析一些非常規(guī)放置的空間幾何

體（如側(cè)面水平放置的棱錐、棱柱等），會(huì)畫(huà)空間圖形的三視圖與直觀圖，且會(huì)把三視圖、直觀圖還原成空間圖形．

基本題型四：運(yùn)用空間向量證明與計(jì)算（解答題）

例4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PD?平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中點(diǎn)．

P（1）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使得EF?平面PBC；

（2）求二面角F?PC?E的余弦值大?。?/p>

解決策略：要注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間幾何體合理建系的意識(shí)，會(huì)求平面的法向量；要求學(xué)生理解用向量判定空間線面位置關(guān)系、求解夾角與

E 距離的原理，并掌握一般求解步驟．其中，線線角、線面角與二面角

是本類題型中的重點(diǎn)考查對(duì)象，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．此外，在探究點(diǎn)的位置

等問(wèn)題中，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)共線向量，用已知點(diǎn)的坐標(biāo)表示未知點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)通過(guò)解方程（組）來(lái)解決問(wèn)題的方法．

【復(fù)習(xí)建議】 A B C

1．三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，考查形式越來(lái)越靈活，因此與三視圖相關(guān)內(nèi)容應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練。

2．證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時(shí)要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路，必須根據(jù)所依據(jù)的大前提把具體問(wèn)題中的小前提寫(xiě)

完整。

3．空間角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“一作二證三求”的有機(jī)統(tǒng)一。解題時(shí)注意各種角的范圍，異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和向量法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影、法向量法；二面角的范圍是0°≤θ≤180°，其主要方法有：定義法、三垂線定理法、射影面積法、法向量法。鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解決問(wèn)題，既要想到用向量法，也要有意識(shí)的去用幾何法求解。

4.平面圖形的翻折與空間圖形的展開(kāi)問(wèn)題，要對(duì)照翻折（或展開(kāi)）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒(méi)有改變.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

1．回歸課本，抓好基礎(chǔ)落實(shí)

系統(tǒng)地掌握每一章節(jié)的概念、性質(zhì)、法則、公式、定理、公理及典型例題，這是高考復(fù)習(xí)必須做好的第一步,高考題“源于課本,高于課本”，這是一條不變的真理，所以復(fù)習(xí)時(shí)萬(wàn)萬(wàn)不能遠(yuǎn)離課本，必要時(shí)還應(yīng)對(duì)一些課本內(nèi)容進(jìn)行深入探究、合理延伸和拓展。

2．注重規(guī)范，力求顆粒歸倉(cāng)

網(wǎng)上閱卷對(duì)考生的答題規(guī)范提出更高要求，填空題要求：數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式(數(shù))最簡(jiǎn)；解答題要求：語(yǔ)言精練、字跡工整、完整規(guī)范。

考生答題時(shí)常見(jiàn)問(wèn)題：如立幾論證中的“跳步”，缺少必要文字說(shuō)明，忽視分類討論，或討論遺漏或重復(fù)等等。這些都是學(xué)生的“弱點(diǎn)”，自然也是考試時(shí)的“失分點(diǎn)”，平時(shí)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該引起足夠的重視。

3．加強(qiáng)計(jì)算，提高運(yùn)算能力

“差之毫厘，繆以千里”，“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”，計(jì)算能力偏弱，計(jì)算合理性不夠，這些在考試時(shí)有發(fā)生，對(duì)此平時(shí)復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)計(jì)算能力的培養(yǎng)；學(xué)會(huì)主動(dòng)尋求合理、簡(jiǎn)捷運(yùn)算途徑；平時(shí)訓(xùn)練應(yīng)樹(shù)立“題不在多，做精則行”的理念。

4．整體把握，培養(yǎng)綜合能力

對(duì)于綜合能力的培養(yǎng)，我們堅(jiān)持整體著眼，局部入手，重點(diǎn)突破，逐步深化原則；適度關(guān)注創(chuàng)新題。高考數(shù)學(xué)考查學(xué)生的能力，勢(shì)必設(shè)計(jì)一定的創(chuàng)新題，以增加試題的區(qū)分度，平時(shí)復(fù)習(xí)應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)建模、直覺(jué)思維能力、合情推理能力、策略創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。