第一篇：立體幾何基本概念回歸課本復(fù)習(xí)材料

立體幾何基本概念回歸課本復(fù)習(xí)材料

一．基礎(chǔ)知識(shí):

1.．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（4）轉(zhuǎn)化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為線線平行；（2）轉(zhuǎn)化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為線面平行；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面交線垂直.12.球的半徑是R，則

其體積V?43

?R,其表面積S?4?R2．

13.球的組合體

(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng), 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng), 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).14．柱體、錐體的體積

V柱體?Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.V?1

錐體Sh（S是錐體的底面積、h3

是錐體的高）.17直線和平面所成的角：

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角。

（2）范圍：[0?,90?]；（3）求法：作出直線在平面上的射影；20．幾個(gè)定理

1.兩直線平行的判定：

（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

2、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；

（2）直線與平面相交。其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線

和這個(gè)平面垂直。注意：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。

3、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：

①判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行； ②面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行。性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時(shí)，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)。

4、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：

（1）判定：①如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直。②兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直。（2）性質(zhì)：①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直。②如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

5、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)：

（1）判定：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。）

第二篇：回歸課本專題五 不等式、立體幾何

一、不等式：

1．不等式的基本概念和性質(zhì)

不等（等）號(hào)的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.例1．（1）設(shè)a∈R且a≠-2,比較

（2）若不等式|x-1|

回歸課本專題五：不等式、立體幾何

（2）已知a1?a2?a3?0，則使得(1?aix)2?1(i?1,2,3)都成立的x取值范圍是____.4.不等式證明的幾種常用方法 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.常用不等式的放縮法：①

1111111?

??2???(n?2)

nn?

1n(n?

1)nn(n?1)n?1

n

22?a

與2-a的大?。?/p>

?

?

?

?n?1)

5.不等式的應(yīng)用

例5：已知f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0（1）證明f(x)為奇函數(shù)且是R上的減函數(shù)；（2）若關(guān)于x的不等式

a|?0,a2?0

?222

2（2）若a、b?R,則a?b?2ab(或a?b?2|ab|?2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)

（1）若a?R,則|

取等號(hào)）

（3）如果a，b都是正數(shù)，那么

a?b.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

2?????

f[cos2(x?)]?f[sin2(x?)]?f(m)對(duì)一切x??0,?恒成立，求m的取值范圍.66?2?

6.練習(xí)：

1、不等式4x?x?x解集是___________.2最值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,則： ○1如果P是定值，那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最??；即積定和最小○2如果S是定值，那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大．即和定積最大利用最值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等

.a?b?c(4)若a、b、c?R?,則?a=b=c時(shí)取等號(hào)）

3ba

(5)若ab?0,則??2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab

?

(6)a?0時(shí)，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;

（7）若a、b?R,則||（8）如果a,b都是正數(shù)，那么

2|x|?a?x2?a2??a?x?a

（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

a?b?

2??ab

即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：特別地，2

2的定義域?yàn)開____________.log2(?x2?4x?3)?2?x?y?4?0?x?

13．設(shè)命題甲為:?;命題乙為:?;則甲是乙的___________條件.?0?xy?3?2?y?

34．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(??,0]上是減函數(shù)，且f(2)?0，則使得f(x)?0的x的取值范圍是_____________.2．函數(shù)f(x)?

5．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是__________.．．．．（1）|a?b|?|a?c|?|b?c|（2）a2?（3）|a?b|?

1a

2a?b2a?ba?b2a2?b2)??ab）ab?()?（當(dāng)a = b時(shí)，(2222

＋

例2：（1）設(shè)a，b ?R，且a+b =1，則2a?1?2b?1的最大值是__________.（2）若0?a1?a2,0?b1?b2,且a1?a2?b1?b2?1，則下列代數(shù)式中值最大的是_____.A．a(chǎn)1b1?a2b2B．a(chǎn)1a2?bb12C．a(chǎn)1b2?a2b1D．

3.不等式的解法

2例3：（1）設(shè)p:x2?x?20?0,q:1?x?0，則p是q的_________.?a?

a

?2（4）a?3?a?1?a?2?a a?b6、若不等式|x-1|

9、設(shè)函數(shù)f(x)?xsinx,x?[?,]，若f(x1)?f(x2)，則x1與x2的關(guān)系為____________.2210、若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為.|x|?

2回歸課本專題五 不等式、立體幾何 第 1 頁

11、已知點(diǎn)（x0，y0）在直線ax+by=0，(a，b為常數(shù))上，則(x0?a)?(y0?b)的最小值為

＋

2例:⑴給出下列關(guān)于互不相同的直線m,n,l和平面?,?的四個(gè)命題：

①m??,l???A,點(diǎn)A?m,則l與m不共面；

②l、m是異面直線，l//?,m//?,且n?l,n?m,則n??； ③若l//?,m//?,?//?,則l//m；

④若l??,m??,l?m?點(diǎn)A,l//?,m//?，則?//?.其中真命題是.（填序號(hào)）⑵已知兩條直線m,n，兩個(gè)平面?,?，給出下面四個(gè)命題： ①m//n,m???n??②?//?,m??,n???m//n ③m//n,m//??n//?④?//?,m//n,m???n?? 其中正確命題的序號(hào)是2.常用定理:

.12、設(shè)a，b ?R，且a+b =1，則2a?1?2b?1的最大值是__________.二、解答題：

13、設(shè)f(x)是定義在[?1,1]上的奇函數(shù)，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，而當(dāng)x?[2,3] 時(shí)，g(x)??x2?4x?4．（1）求f(x)的解析式；（2）對(duì)于任意的 x1,x2?[0,1]且x1?x2,求證：f(x2)?f(x1)?2x2?x1;（3）對(duì)于任意的x1,x2?[0,1]且x1?x2,求證：f(x2)?f(x1)?1.14、已知f(x)?loga(x?1)，點(diǎn)P是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的軌跡是函數(shù)y=g(x)的圖象.（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)a>1，x∈?0,1?時(shí)，總有2f(x)+g(x)≥m恒成立，求m的范圍.a//b?????

??//???

??a//?；a????a//? ①線面平行b????a//?；

a???

a???a?????

?//???

??a//b?a???????a?a//b??a//b；?②線線平行:a??；；?a//b??c//b ?

a//cb????????b?????b???

a??,b???

?//??a????

a?b?O??//????//? ????//?；③面面平行:；

?//?a????a//?,b//???

PO???

a???0?

④線線垂直:??a?b；所成角90；a????a?PA

b???

a?AO??

a//?

2a

2?a?0?

15、解關(guān)于x的不等式：xx?a?9

二、立體幾何： 1.位置和符號(hào):

①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法 ②直線與平面: a∥α、a∩α=A(a?α)、a?α ③平面與平面:α∥β、α∩β=a

a??,b???????//???a//b????a?????b?? ⑤線面垂直:a?b?O??l??；????l??a??；；

a??a????

l?a,l?b?a??,a?l???

a???a//??

?????????? ⑥面面垂直：二面角90；a??；

a????

（提醒：在書寫時(shí)，要注意定理?xiàng)l件使用的準(zhǔn)確）

2.求空間角:

①異面直線所成角?的求法：（1）范圍：??(0,?

]；（2）求法：平移以及補(bǔ)形法、向量法.(主

要以向量法為主)

如（1）正四棱錐P?ABCD的所有棱長(zhǎng)相等，E是PC的中點(diǎn)，那么異面直線BE與PA所成的角的余弦值等于____；

（2）在正方體AC1中，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點(diǎn)，則OP與AM所成的角的大小為____；

②直線和平面所成的角：（1）范圍[0,90]；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角：

?

?

回歸課本專題五 不等式、立體幾何 第 2 頁

（3）求法：作垂線找射影或求點(diǎn)線距離（向量法）；

如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面

AA1C1C所成的角的正弦值為______；

（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是______；

③二面角：二面角的求法：（主要以向量法考查）；

3.平行六面體→直平行六面體→長(zhǎng)方體→正四棱柱→正方體間聯(lián)系

三棱錐中:側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等)?頂點(diǎn)在底面射影為底面外心;側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)?頂點(diǎn)在底面射影為底面垂心;斜高相等(側(cè)面與底面所成相等)?頂點(diǎn)在底面射影為底面內(nèi)心;正棱錐各側(cè)面與底面所成角相等為θ,則S側(cè)cosθ=S底;正三角形四心?內(nèi)切外接圓半徑?;

4.空間距離:（要注意在求體積時(shí)）①異面直線間距離:找公垂線;②平行線與面間距離(兩平行

?????PA?n

面間距離)→點(diǎn)到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、向量法h?.n

5.平面圖形翻折(展開):注意翻折(展開)后在同一平面圖形中角度、長(zhǎng)度不變;6.從點(diǎn)O引射線OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,則A在平面BOC的射影在∠BOC平分線上;若A到OB與OC距離相等,則A在平面BOC的射影在∠BOC平分線上；

7.常用轉(zhuǎn)化思想:①構(gòu)造四邊形、三角形把問題化為平面問題；②將空間圖展開為平面圖； ③割補(bǔ)法；④等體積轉(zhuǎn)化；⑤線線平行?線面平行?面面平行；⑥線線垂直?線面垂直?面面垂直；⑦有中點(diǎn)等特殊點(diǎn)線,用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.8.練習(xí)

1、已知直線l⊥平面?，直線m?平面?，有下面四個(gè)命題：

（1）?∥β?l⊥m（2）?⊥β?l∥m（3）l∥m ??⊥β（4）l⊥m??∥β 其中正確命題的序號(hào)是

2、給出下列關(guān)于互不相同的直線m,n,l和平面?,?的四個(gè)命題：（1）m??,l???A,點(diǎn)A?m,則l與m不共面；

（2）l、m是異面直線，l//?,m//?,且n?l,n?m,則n??；（3）若l??,m??,l?m?點(diǎn)A,l//?,m//?，則?//?

（4）若l//?,m//?,?//?,則l//m其中真命題是（填序號(hào)）

3、已知一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體塑料盒子（無上蓋），上口放著一個(gè)半徑為5cm的鋼球，則球心到盒底的距離為cm.4、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B－AC－D，則四

面體ABCD的外接球的體積為

５．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面?BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為。

６、如圖AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上（異于A,B點(diǎn)）直線PA垂直于圓所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，有以下四個(gè)命題：(1)PA//平面MOB;(2)MO//平面PAC(3)OC?平面PAB;（4）平面PAC?平面PBC，其中正確的命題是_____________

B

C

７、設(shè)P,A,B,C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB,PC兩兩垂直，且PA?PB?PC?1，則球的表面積為.８．已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD.(1)求證:PF⊥FD；

(2)設(shè)點(diǎn)G在PA上,且EG//平面PFD,試確定點(diǎn)G的位置.９.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD?

4，BD?，AB?2CD?8．

（Ⅰ）設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD?平面PAD；（Ⅱ）當(dāng)M點(diǎn)位于線段PC什么位置時(shí)，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱錐P?ABCD的體積．

P

HD

CF

回歸課本專題五 不等式、立體幾何 第 3 頁

第三篇：高考數(shù)學(xué)回歸課本教案：立體幾何

高考數(shù)學(xué)回歸課本教案

立體幾何

一、基礎(chǔ)知識(shí)

公理1 一條直線。上如果有兩個(gè)不同的點(diǎn)在平面。內(nèi)．則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，記作：a?a．

公理2 兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線，即若P∈α∩β，則存在唯一的直線m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面． 推論l 直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面． 推論2 兩條相交直線確定一個(gè)平面． 推論3 兩條平行直線確定一個(gè)平面．

公理4 在空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行．

定義1 異面直線及成角：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．過空間任意一點(diǎn)分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過900的角叫做兩條異面直線成角．與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長(zhǎng)度叫做兩條異面直線之間的距離．

定義2 直線與平面的位置關(guān)系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外．直線與平面相交和直線與平面平行(直線與平面沒有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行)統(tǒng)稱直線在平面外．

定義3 直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，則直線與這個(gè)平面垂直． 定理1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直．

定理2 兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行．

定理3 若兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也和這個(gè)平面垂直．

定理4 平面外一點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等，這個(gè)距離叫做直線與平面的距離．

定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線．由斜線上每一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫這個(gè)點(diǎn)在平面上的射影．所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影．斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角． 結(jié)論1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角．

定理4(三垂線定理)若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內(nèi)的射影，c為平面a內(nèi)的一條直線，若c?b，則c?a．逆定理：若c?a，則c?b．

定理5 直線d是平面a外一條直線，若它與平面內(nèi)一條直線b平行，則它與平面a平行 定理6 若直線。與平面α平行，平面β經(jīng)過直線a且與平面a交于直線6，則a//b． 結(jié)論2 若直線。與平面α和平面β都平行，且平面α與平面β相交于b，則a//b．

定理7(等角定理)如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個(gè)角相等．

定義6 平面與平面的位置關(guān)系有兩種：平行或相交．沒有公共點(diǎn)即平行，否則即相交． 定理8 平面a內(nèi)有兩條相交直線a，b都與平面β平行，則α//β.定理9 平面α與平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，則a//b．

定義7(二面角)，經(jīng)過同一條直線m的兩個(gè)半平面α,β(包括直線m，稱為二面角的棱)所組成的圖形叫二面角，記作α—m—β，也可記為A—m一B，α—AB—β等．過棱上任意一點(diǎn)P在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線AP，BP，則∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范圍是[0，π]． 特別地，若∠APB＝900，則稱為直二面角，此時(shí)平面與平面的位置關(guān)系稱為垂直，即α?β.定理10 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．

定理11 如果兩個(gè)平面垂直，過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線在第一個(gè)平面內(nèi)． 定理12 如果兩個(gè)平面垂直，過第一個(gè)子面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線與另一個(gè)平面垂直． 定義8 有兩個(gè)面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊(稱為側(cè)棱)都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．兩個(gè)互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體．棱長(zhǎng)都相等的正四棱柱叫正方體．

定義9 有一個(gè)面是多邊形(這個(gè)面稱為底面)，其余各面是一個(gè)有公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐．底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐． 定理13(凸多面體的歐拉定理)設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則 V+F-E=2．

定義10 空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球面．球面所圍成的幾何體叫做球．定長(zhǎng)叫做球的半徑，定點(diǎn)叫做球心．

定理14 如果球心到平面的距離d小于半徑R，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直．設(shè)截面半徑為r，則d2+r2＝R2．過球心的截面圓周叫做球大圓．經(jīng)過球面兩點(diǎn)的球大圓夾在兩點(diǎn)間劣弧的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間球面距離．

定義11(經(jīng)度和緯度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線．緯線上任意一點(diǎn)與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點(diǎn)的緯度．用經(jīng)過南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周(以兩極為端點(diǎn))叫做經(jīng)線，經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經(jīng)度，根據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)． 定理15(祖

原理)夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.定理16(三面角定理)從空間一點(diǎn)出發(fā)的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線共組成三個(gè)角．其中任意兩個(gè)角之和大于另一個(gè)，三個(gè)角之和小于3600．

定理17（面積公式）若一個(gè)球的半徑為R，則它的表面積為S球面=4πR2。若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則它的側(cè)面積S側(cè)=πrl.4定理18（體積公式）半徑為R的球的體積為V球=3?R3；若棱柱（或圓柱）的底面積為s，高h(yuǎn)，則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s，高為h，則它的體積為1sh.V=3

定理19 如圖12-1所示，四面體ABCD中，記∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH?平面ABC于H。

（1）射影定理：SΔABD?cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H為Ф。

sin??sin?sinB?sin?.（2）正弦定理：sinAsinC（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.V?13DH?SΔABC

2（4）四面體的體積公式1abc1?cos??cos22=6???cos??2cos?cos?cos?

aa1dsin?162（其中d是a1, a之間的距離，?是它們的夾角）

?3aSΔABD?SΔACD?sinθ(其中θ為二面角B—AD—C的平面角)。

二、方法與例題 1．公理的應(yīng)用。

例1 直線a,b,c都與直線d相交，且a//b,c//b，求證：a,b,c,d共面。

[證明] 設(shè)d與a,b,c分別交于A,B,C,因?yàn)閎與d相交，兩者確定一個(gè)平面，設(shè)為a.又因?yàn)閍//b，所以兩者也確定一個(gè)平面，記為β。因?yàn)锳∈α，所以A∈β，因?yàn)锽∈b，所以B∈β，所以d?β.又過b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一個(gè)平面，所以a?α.同理c?α.即a,b,c,d共面。

例2 長(zhǎng)方體有一個(gè)截面是正六邊形是它為正方體的什么條件？

[解] 充要條件。先證充分性，設(shè)圖12-2中PQRSTK是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的正六邊形截面，延長(zhǎng)PQ，SR設(shè)交點(diǎn)為O，因?yàn)橹本€SR?平面CC1D1D，又O∈直線SR，所以O(shè)∈平面CC1D1D，又因?yàn)橹本€PQ?平面A1B1C1D1，又O∈直線PQ，所以O(shè)∈平面A1B1C1D1。所以O(shè)∈直線C1D1，由正六邊形性質(zhì)知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ

CR?SRRO為正三角形，因?yàn)镃D//C1D1，所以

C1R=1。所以R是CC1中點(diǎn)，同理Q是B1C1的中點(diǎn)，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以該長(zhǎng)方體為正方體。充分性得證。必要性留給讀者自己證明。2．異面直線的相關(guān)問題。

例3 正方體的12條棱互為異面直線的有多少對(duì)？

[解] 每條棱與另外的四條棱成異面直線，重復(fù)計(jì)數(shù)一共有異面直線12×4=48對(duì)，而每一

48?對(duì)異面直線被計(jì)算兩次，因此一共有224對(duì)。

例4 見圖12-3，正方體，ABCD—A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，求面對(duì)角線A1C1與AB1所成的角。

[解] 連結(jié)AC，B1C，因?yàn)锳1A邊形，所以A1C1//?//?B1B

//?C1C，所以A1A

//?C1C，所以A1ACC1為平行四AC。

所以AC與AB1所成的角即為A1C1與AB1所成的角，由正方體的性質(zhì)AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1與AB1所成角為600。

3．平行與垂直的論證。

例5 A，B，C，D是空間四點(diǎn)，且四邊形ABCD四個(gè)角都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形。

[證明] 若ABCD是平行四邊形，則它是矩形；若ABCD不共面，設(shè)過A，B，C的平面為α，過D作DD1?α于D1，見圖12-4，連結(jié)AD1，CD1，因?yàn)锳B?AD1，又因?yàn)镈D1?平面α，又AB?α，所以DD1?AB，所以AB?平面ADD1，所以AB?AD1。同理BC?CD1，所以ABCD1為矩形，所以∠AD1C=900，但AD1

例6 一個(gè)四面體有兩個(gè)底面上的高線相交。證明：它的另兩條高線也相交。

[證明] 見圖12-5，設(shè)四面體ABCD的高線AE與BF相交于O，因?yàn)锳E?平面BCD，所以AE?CD，BF?平面ACD，所以BF?CD，所以CD?平面ABO，所以CD?AB。設(shè)四面體另兩條高分別為CM，DN，連結(jié)CN，因?yàn)镈N?平面ABC，所以DN?AB，又AB?CD，所以AB?平面CDN，所以AB?CN。設(shè)CN交AB于P，連結(jié)PD，作CM'?PD于M'，因?yàn)锳B?平面CDN，所以AB?CM'，所以CM'?平面ABD，即CM'為四面體的高，所以CM'與CM重合，所以CM，DN為ΔPCD的兩條高，所以兩者相交。例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中點(diǎn)，沿BE將ΔABE折起，并使AC=AD，見圖12-6。求證：平面ABE?平面BCDE。

[證明] 取BE中點(diǎn)O，CD中點(diǎn)M，連結(jié)AO，OM，OD，OC，則OM//BC，又CD?BC，所以O(shè)M?CD。又因?yàn)锳C=AD，所以AM?CD，所以CD?平面AOM，所以AO?CD。又因?yàn)锳B=AE，所以AO?BE。因?yàn)镋D≠BC，所以BE與CD不平行，所以BE與CD是兩條相交直線。所以AO?平面BC-DE。又直線AO?平面ABE。所以平面ABE?平面BCDE。

4．直線與平面成角問題。

例8 見圖12-7，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。

//?22221[解]設(shè)邊長(zhǎng)AB=2，因?yàn)镋F

AD，又AD?AB。所以EF?AB，所以BG=2BF?125，又AE?EF，BE?EF，所以∠AEB=1200。過A作AM?BE于M，則∠AEM=600，112，AM=AEsin600=2ME=2AE?232.由余弦定理MG2=BM2+BG2-2BM?BGcos∠?5?351953?3????2??????????2?234425?2???MBG= =2，所以MG=

2.因?yàn)镋F?AE，EF?BE，所以EF?平面AEB，所以EF?AM，又AM?BE，所以AM?平面BCE。所以

32?64。所以AG與平面EBCF∠AGM為AG與平面EBCF所成的角。而tan∠AGM=2arctan64.所成的角為例9 見圖12-8，OA是平面α的一條斜角，AB?α于B，C在α內(nèi)，且AC?OC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。證明：cosα=cosβ?cosγ.[證明] 因?yàn)锳B?α，AC?OC，所以由三垂線定理，BC?OC，所以O(shè)Acosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以O(shè)Acosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ?cosγ.5．二面角問題。

例10 見圖12-9，設(shè)S為平面ABC外一點(diǎn)，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C為直角二面角，求∠ASC的余弦值。

[解] 作CM?SB于M，MN?AS于N，連結(jié)CN，因?yàn)槎娼茿—SB—C為直二面角，所以平面ASB?平面BSC。又CM?SB，所以CM?平面ASB，又MN?AS，所以由三垂線定理的逆定理有CN?AS，所以SC?cos∠CSN=SN=SC?cos∠CSM?cos∠ASB，所以cos

2∠ASC=cos450cos600=4。

例11 見圖12-10，已知直角ΔABC的兩條直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊AB上一點(diǎn)，沿CP將此三角形折成直二面角A—CP—B，當(dāng)AB=

7時(shí)，求二面角P—AC—B的大小。

[解] 過P作PD?AC于D，作PE?CP交BC于E，連結(jié)DE，因?yàn)锳—CP—B為直二面角，即平面ACP?平面CPB，所以PE?平面ACP，又PD?CA，所以由三垂線定理知DE?AC，所以∠PDE為二面角P—AC—B的平面角。設(shè)∠BCP=θ，則cos∠ECD=cosθ

2?3?2272?cos(900-θ)=sinθcosθ，由余弦定理cos∠ACB=

?2?2?3?112，所以sinθcosθ=2，2所以sin2θ=1.又0<2θ<π，所以θ=4，設(shè)CP=a，則PD=2a,PE=a.所以tan∠PE?2.PDE=PD

2。所以二面角P—AC—B的大小為arctan6．距離問題。

例12 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求對(duì)角線AC與BC1的距離。

[解] 以B為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖12-11所示。設(shè)P，Q分別是BC1，CA上的點(diǎn)，BP?13BC1,CQ?13CA且，各點(diǎn)、各向量的坐標(biāo)分別為A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，13CA?13BC1?BC?13BA?13BC?13BC?13BB1?13BC?13BA?13BB1PQ?BQ?BP?BC?1111113?(a,a,?a)PQ?BC1??PQ?CA?|PQ|?a3333a×a+3a×a=0, 3a3,所以，所以1×a-3a×a=0.所以PQ?BC1,PQ?CA。所以PQ為AC與BC1的公垂線段，所以兩者3a.距離為3

例13 如圖12-12所示，在三棱維S—ABC中，底面是邊長(zhǎng)為42的正三角形，棱SC的長(zhǎng)為2，且垂直于底面，E，D分別是BC，AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離。

[分析] 取BD中點(diǎn)F，則EF//CD，從而CD//平面SEF，要求CD與SE間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到平面SEF間的距離。

[解] 設(shè)此距離為h，則由體積公式

13?SC?S?CEF?VS?CEF?13h?S?SEF.h?233.計(jì)算可得SΔSEF=3，S?CEF?3.所以

7．凸多面體的歐拉公式。

例14 一個(gè)凸多面體有32個(gè)面，每個(gè)面或是三角形或是五邊形，對(duì)于V個(gè)頂點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)均有T個(gè)三角形面和P個(gè)五邊形面相交，求100P+10T+V。

[解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因?yàn)門+P個(gè)面相交于每個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有T+P條棱，所以2E=V(T+P).由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60.由于每個(gè)三

VTVP角形面有三條棱，故三角形面有3個(gè)，類似地，五邊形有5個(gè)，又因?yàn)槊總€(gè)面或者是三

P??TV???5?=32，角形或者是五邊形，所以?3由此可得3T+5P=16，它的唯一正整數(shù)解為T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。

8．與球有關(guān)的問題。

例15 圓柱直徑為4R，高為22R，問圓柱內(nèi)最多能裝半徑為R的球多少個(gè)？

[解] 最底層恰好能放兩個(gè)球，設(shè)為球O1和球O2，兩者相切，同時(shí)與圓柱相切，在球O1與球O2上放球O3與球O4，使O1O2與O3O4相垂直，且這4個(gè)球任兩個(gè)相外切，同樣在球O3與球O4上放球O5與球O6，……直到不能再放為止。先計(jì)算過O3O4與過O1O2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為

(3R)?R22?2R。設(shè)共裝K層，則(22-2)R<2R(K-1)+2R≤22R，解得K=15，因此最多裝30個(gè)。9．四面體中的問題。

例16 已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA=23。求三棱錐S—ABC的體積。[解] 由題設(shè)，AH?平面SBC，作BH?SC于E，由三垂線定理可知SC?AE，SC?AB，故SC?平面ABE。設(shè)S在平面ABC內(nèi)射影為O，則SO?平面ABC，由三垂線定理的逆定理知，CO?AB于F。同理，BO?AC，所以O(shè)為ΔABC垂心。又因?yàn)棣BC是等邊三角形，故O為ΔABC的中心，從而SA=SB=SC=23，因?yàn)镃F?AB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂線定理知，EF?AB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，1223??33故∠EFC=300，所以O(shè)C=SCcos600=

1?3,SO=3tan600=3，又OC=3AB，所

93以AB=3OC=3。所以VS—ABC=34×32×3=4。

例17 設(shè)d是任意四面體的相對(duì)棱間距離的最小值，h是四面體的最小高的長(zhǎng)，求證：2d>h.[證明] 不妨設(shè)A到面BCD的高線長(zhǎng)AH=h，AC與BD間的距離為d，作AF?BD于點(diǎn)F，CN?BD于點(diǎn)N，則CN//HF，在面BCD內(nèi)作矩形CNFE，連AE，因?yàn)锽D//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距離為BD與AC間的距離d。在ΔAEF中，AH為邊EF上的高，AE邊上的高FG=d，作EM?AF于M，則由EC//平面ABD知，EM為點(diǎn)C到面ABD的距離（因EM?面ABD），于是EM≥AH=h。在RtΔEMF與RtΔAHF中，由EM

h?AHFG?AEEF?AF?EFEF≥AH得EF≥AF。又因?yàn)棣EH∽ΔFEG，所以d≤2。所以2d>h.注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、射影法，請(qǐng)讀者在解題中認(rèn)真總結(jié)。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，到A，B，C的距離都是1的平面有__________個(gè).2．空間中有四個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，命題甲：E，F(xiàn)，G，H不共面；命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙的__________條件。

3．動(dòng)點(diǎn)P從棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱運(yùn)動(dòng)，每條棱至多經(jīng)過一次，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最大距離為__________。

4．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面ADD1A1、面ABCD的中心，G為棱CC1中點(diǎn)，直線C1E，GF與AB所成的角分別是α，β。則α+β=__________。

5．若a,b為兩條異面直線，過空間一點(diǎn)O與a,b都平行的平面有__________個(gè)。

6．CD是直角ΔABC斜邊AB上的高，BD=2AD，將ΔACD繞CD旋轉(zhuǎn)使二面角A—CD—B為600，則異面直線AC與BD所成的角為__________。

17．已知PA?平面ABC，AB是⊙O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)且AC=2AB，則二面角A—PC—B的大小為__________。

8．平面α上有一個(gè)ΔABC，∠ABC=1050，AC=2(6?使得SA=SB=SC=

2)，平面α兩側(cè)各有一點(diǎn)S，T，41，TA=TB=TC=5，則ST=_____________.9．在三棱錐S—ABC中，SA?底面ABC，二面角A—SB—C為直二面角，若∠BSC=450，SB=a，則經(jīng)過A，B，C，S的球的半徑為_____________.10．空間某點(diǎn)到棱長(zhǎng)為1的正四面體頂點(diǎn)距離之和的最小值為_____________.11．異面直線a,b滿足a//α,b//β,b//α,a//β，求證：α//β。

12．四面體SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，S0，S1，S2，S3分別表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面積，求證：

S0?S1?S2?S3.2222

13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC?側(cè)面AA1C1C，（1）求證：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。

四、高考水平訓(xùn)練題

1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1B1的中點(diǎn)，N為B1C與BC1的交點(diǎn)，平面AMN交B1PB1C1于P，則PC1=_____________.1332.空間四邊形ABCD中，AD=1，BC=3，且AD?BC，BD=2BD所成的角為_____________.，AC=2，則AC與3．平面α?平面β，α?β=直線AB，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CD?AB，則直線AB與平面ACD所成的角為_____________.4．單位正方體ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小為_____________.5．如圖12-13所示，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在二面角α—MN—β的棱MN上，點(diǎn)B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影為為菜，則二面角α—MN—β=_____________.6．已知異面直線a,b成角為θ，點(diǎn)M，A在a上，點(diǎn)N，B在b上，MN為公垂線，且MN=d，MA=m，NB=n。則AB的長(zhǎng)度為_____________.7．已知正三棱錐S—ABC側(cè)棱長(zhǎng)為4，∠ASB=450，過點(diǎn)A作截面與側(cè)棱SB，SC分別交于M，N，則截面ΔAMN周長(zhǎng)的最小值為_____________.8．l1與l2為兩條異面直線，l1上兩點(diǎn)A，B到l2的距離分別為a,b，二面角A—l2—B大小為θ，則l1與l2之間的距離為_____________.9．在半徑為R的球O上一點(diǎn)P引三條兩兩垂直的弦PA，PB，PC，則PA2+PB2+PC2=_____________.10．過ΔABC的頂點(diǎn)向平面α引垂線AA1，BB1，CC1，點(diǎn)A1，B1，C1∈α，則∠BAC與∠B1A1C1的大小關(guān)系是_____________.11．三棱錐A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B為直角二面角。（1）求直線AC與平面ABD所成的角；（2）若M為BC中點(diǎn)，E為BD中點(diǎn)，求AM與CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。

12．四棱錐P—ABCD底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD?底面ABCD，PD=6，M，N分別是PB，AB的中點(diǎn)，（1）求二面角M—DN—C的大?。唬?）求異面直線CD與MN的距離。13．三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，M為ΔABC的重心，D為AB中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP，證明：（1）DP與SM相交；（2）設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D'，則D'為三棱錐S—ABC外接球球心。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)分別為4，5，41的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)分52別為6，4，5的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成_________個(gè)四面體。

2．一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，這兩個(gè)多面體

m的內(nèi)切球的半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)n，那么mn=_________。

??0???????3．已知三個(gè)平面α，β，γ每?jī)蓚€(gè)平面之間的夾角都是

????2?，且???=a,????b,????c，命題甲：的_________條件。

3；命題乙：a,b,c相交于一點(diǎn)。則甲是乙4．棱錐M—ABCD的底面是正方形，且MA?AB，如果ΔAMD的面積為1，則能放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為_________.5．將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)兩個(gè)頂點(diǎn)間距離為_________。

6．空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有_________條。7．一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，正四面體棱長(zhǎng)為a，這個(gè)球的體積為_________。8．由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的V1?體積為V2，則V2_________。

9．頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓圍上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB?OB，垂足為B，OH?PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐C—HPC體積最大時(shí)，OB=_________。

10．OA,OB,OC是三個(gè)互相垂直的單位向量，π是過點(diǎn)O的一個(gè)平面，A',B',C'分別是A，B，C在π上的射影，對(duì)任意的平面π，由OA'?OB'?OC'構(gòu)成的集合為_________。11．設(shè)空間被分為5個(gè)不交的非空集合，證明：一定有一個(gè)平面，它至少與其中的四個(gè)集合有公共點(diǎn)。

12．在四面體ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂線的垂足S是ΔABC的垂心，試證：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并說明等號(hào)成立時(shí)是一個(gè)什么四面體？

13．過正四面體ABCD的高AH作一平面，與四面體的三個(gè)側(cè)面交于三條直線，這三條直線與四面體的底面夾角為α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．能否在棱長(zhǎng)為1的正方體形狀的盒子里放入三個(gè)彼此至多有一個(gè)公共點(diǎn)的棱長(zhǎng)為1的正四面體？

cos?PAQ?1.2

2222．P，Q是正四面體A—BCD內(nèi)任意兩點(diǎn)，求證：已知銳角，試確定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。3．P，A，B，C，D是空間五個(gè)不同的點(diǎn)，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，這里θ為4．空間是否存在有限點(diǎn)集M，使得對(duì)M中的任意兩點(diǎn)A，B，可以在M中另取兩點(diǎn)C，D，使直線AB和CD互相平行但不重合。

5．四面體ABCD的四條高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H點(diǎn)（A1，B1，C1，D1分別為垂足）。三條高上的內(nèi)點(diǎn)A2，B2，C2滿足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。證明：H，A2，B2，C2，D1在同一個(gè)球面上。

6．設(shè)平面α，β，γ，δ與四面體ABCD的外接球面分別切于點(diǎn)A，B，C，D。證明：如果平面α與β的交線與直線CD共面，則γ與δ的交線與直線AB共面。

第四篇：立體幾何復(fù)習(xí)

一、線線平行的證明方法

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線。

3、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。

4、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

5、如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

7、夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點(diǎn)。

2、反證法。

3、如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

4、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面

三、面面平行的證明方法

1、定義法：兩平面沒有公共點(diǎn)。

2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

3、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。

4、經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。

四、線線垂直的證明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對(duì)角線。

4、圓所對(duì)的圓周角是直角。

5、點(diǎn)在線上的射影

6、如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)任意的直線都垂直

7、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

8、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

9、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

4、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面。

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則必垂直于另一個(gè)平面。

7、兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么兩平面交線垂直于第三個(gè)平面。

8、過一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個(gè)平面的二面角是直二面角。

2、如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

3、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直

4、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直

第五篇：立體幾何專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

立體幾何專題教學(xué)設(shè)計(jì)

【考情分析】立體幾何主要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展空間想像能力和推理論證能力。立體幾何是高考必考的內(nèi)容，試題一般以“兩小題一大題或一大題一小題”的形式出現(xiàn)，分值在17—22分左右。近三年的試題中必有一個(gè)選擇題是以三視圖為背景，來考查空間幾何體的表面積或體積。立體幾何在高考中的考查難度一般為中等，從解答題來看，立體幾何大題所處的位置為前4道，有承上啟下的作用。主要考查的知識(shí)點(diǎn)有： 1.客觀題考查的知識(shí)點(diǎn)：

(1)判斷：線線、線面、面面的位置關(guān)系；

(2)計(jì)算：求角(異面直線所成角、線面角、二面角)；求距離(主要是點(diǎn)面距離、球面距離)；求表面積、體積；

(3)球內(nèi)接簡(jiǎn)單幾何體(正方體、長(zhǎng)方體、正四面體、正三棱錐、正四棱柱)(4)三視圖、直觀圖（由幾何體的三視圖作出其直觀圖，或由幾何體的直觀圖判斷其三視圖）

2.主觀題考查的知識(shí)點(diǎn)：

(1)有關(guān)幾何體：四棱錐、三棱錐、(直、正)

三、四棱柱；

(2)研究的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系：以線線、線面(尤其是垂直)為主的點(diǎn)線面位置關(guān)系；(3)研究的幾何量：二面角、線面角、異面直線所成角、線線距、點(diǎn)面距離、面積、體積。其中，解答題的第二問一般都是求一個(gè)空間角，而且都能通過傳統(tǒng)方法（幾何法）和空間向量?jī)煞N方法加以解決。【課時(shí)安排】本專題復(fù)習(xí)時(shí)間為三課時(shí)：

例2．設(shè)α、β為互不重合的平面，m、n為互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：

①若m⊥α，n?α，則m⊥n；

②若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β；

③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β；

④若m⊥α，α⊥β，m//n，則n//β．

其中所有正確命題的序號(hào)是．

解決策略：培養(yǎng)學(xué)生善于利用身邊的工具與情境（如紙筆、桌面、墻角等）構(gòu)造具體模型，充分利用正方體這個(gè)有力的載體，將抽象問題具體化處理，提高他們的空間想象能力．本類題為高考?？碱}型，其本質(zhì)實(shí)為多項(xiàng)選擇題．主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選多選． 基本題型三：空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的證明（解答題）

例3．如圖，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA1、BB1、AB、B1C1的中點(diǎn)．

（1）求證：面PCC1⊥面MNQ；

（2）求證：PC1∥面MNQ．

解決策略：證明或探究空間中線線、線面與面面平行與垂直的位置關(guān)

系，一要熟練掌握所有判定與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見A1 B

1證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面M

平行；二要掌握解題時(shí)由已知想性質(zhì)、由求證想判定，即分析法與綜

合法相結(jié)合來尋找證明的思路；三要嚴(yán)格要求學(xué)生注意表述規(guī)范，推

理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論．此外，要特A N P B 別注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，會(huì)分析一些非常規(guī)放置的空間幾何

體（如側(cè)面水平放置的棱錐、棱柱等），會(huì)畫空間圖形的三視圖與直觀圖，且會(huì)把三視圖、直觀圖還原成空間圖形．

基本題型四：運(yùn)用空間向量證明與計(jì)算（解答題）

例4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PD?平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中點(diǎn)．

P（1）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使得EF?平面PBC；

（2）求二面角F?PC?E的余弦值大小．

解決策略：要注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)空間幾何體合理建系的意識(shí)，會(huì)求平面的法向量；要求學(xué)生理解用向量判定空間線面位置關(guān)系、求解夾角與

E 距離的原理，并掌握一般求解步驟．其中，線線角、線面角與二面角

是本類題型中的重點(diǎn)考查對(duì)象，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．此外，在探究點(diǎn)的位置

等問題中，要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)共線向量，用已知點(diǎn)的坐標(biāo)表示未知點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)通過解方程（組）來解決問題的方法．

【復(fù)習(xí)建議】 A B C

1．三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，考查形式越來越靈活，因此與三視圖相關(guān)內(nèi)容應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練。

2．證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時(shí)要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路，必須根據(jù)所依據(jù)的大前提把具體問題中的小前提寫

完整。

3．空間角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“一作二證三求”的有機(jī)統(tǒng)一。解題時(shí)注意各種角的范圍，異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和向量法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影、法向量法；二面角的范圍是0°≤θ≤180°，其主要方法有：定義法、三垂線定理法、射影面積法、法向量法。鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解決問題，既要想到用向量法，也要有意識(shí)的去用幾何法求解。

4.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對(duì)照翻折（或展開）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒有改變.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】

1．回歸課本，抓好基礎(chǔ)落實(shí)

系統(tǒng)地掌握每一章節(jié)的概念、性質(zhì)、法則、公式、定理、公理及典型例題，這是高考復(fù)習(xí)必須做好的第一步,高考題“源于課本,高于課本”，這是一條不變的真理，所以復(fù)習(xí)時(shí)萬萬不能遠(yuǎn)離課本，必要時(shí)還應(yīng)對(duì)一些課本內(nèi)容進(jìn)行深入探究、合理延伸和拓展。

2．注重規(guī)范，力求顆粒歸倉

網(wǎng)上閱卷對(duì)考生的答題規(guī)范提出更高要求，填空題要求：數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式(數(shù))最簡(jiǎn)；解答題要求：語言精練、字跡工整、完整規(guī)范。

考生答題時(shí)常見問題：如立幾論證中的“跳步”，缺少必要文字說明，忽視分類討論，或討論遺漏或重復(fù)等等。這些都是學(xué)生的“弱點(diǎn)”，自然也是考試時(shí)的“失分點(diǎn)”，平時(shí)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該引起足夠的重視。

3．加強(qiáng)計(jì)算，提高運(yùn)算能力

“差之毫厘，繆以千里”，“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”，計(jì)算能力偏弱，計(jì)算合理性不夠，這些在考試時(shí)有發(fā)生，對(duì)此平時(shí)復(fù)習(xí)過程中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)計(jì)算能力的培養(yǎng)；學(xué)會(huì)主動(dòng)尋求合理、簡(jiǎn)捷運(yùn)算途徑；平時(shí)訓(xùn)練應(yīng)樹立“題不在多，做精則行”的理念。

4．整體把握，培養(yǎng)綜合能力

對(duì)于綜合能力的培養(yǎng)，我們堅(jiān)持整體著眼，局部入手，重點(diǎn)突破，逐步深化原則；適度關(guān)注創(chuàng)新題。高考數(shù)學(xué)考查學(xué)生的能力，勢(shì)必設(shè)計(jì)一定的創(chuàng)新題，以增加試題的區(qū)分度，平時(shí)復(fù)習(xí)應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)建模、直覺思維能力、合情推理能力、策略創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。