第一篇：對(duì)高考數(shù)學(xué)“兩角和公式的證明”命題的思考

對(duì)高考數(shù)學(xué)“兩角和公式的證明”命題的思考 今年的高考數(shù)學(xué)命題，讓我們所有數(shù)學(xué)教師和學(xué)生不得不對(duì)數(shù)學(xué)考試大綱和新教材的學(xué)習(xí)方法重新審視?，F(xiàn)將我的心得體會(huì)分述如下。

一，教師教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變。

傳統(tǒng)教學(xué)是注入式教學(xué)，基本方式是“輸入信息——反饋信息——補(bǔ)充和糾正信息”?！皟山呛凸降淖C明”的推導(dǎo)，基本上都是由教師來完成的，學(xué)生作為被動(dòng)的、重視的聽眾。將公式背下來，會(huì)利用其解題就可以了。未經(jīng)自己分析、概括、比較，對(duì)知識(shí)缺乏深入理解和領(lǐng)會(huì)。結(jié)果是：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)記不牢，更不能靈活運(yùn)用。

而新課程改革方案明確提出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純的依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、合作交流與自主探究是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。而今年高考命題思維的轉(zhuǎn)變，是對(duì)新課程改革的最好詮釋。教師應(yīng)該換主動(dòng)權(quán)與學(xué)生。

二，學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

課堂教學(xué)中教師應(yīng)致力于探索激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的課堂形式，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，提供學(xué)生探索與交流的時(shí)間與空間。反對(duì)過去僵化的為“高分”而解題，反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)。學(xué)生應(yīng)在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。讓學(xué)生的學(xué)習(xí)成為“研究性學(xué)習(xí)”的模式。構(gòu)建一個(gè)以情景為基礎(chǔ)，提出問題與解決問題相互引發(fā)共同并進(jìn)的“情景——問題”學(xué)習(xí)鏈。

三，教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變。

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生真正成為課堂的主人，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”的“創(chuàng)造者”。使教學(xué)過程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、啟迪智慧、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程。教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、引導(dǎo)者，教師與學(xué)生是平等的關(guān)系。高考命題的轉(zhuǎn)變，對(duì)我們提出了新的要求，立足新課標(biāo)，認(rèn)真鉆研教材，探索新方法。

四，教學(xué)過程設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)變。

在我今后的教學(xué)“兩角和公式的證明”時(shí)，我想應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)。1，創(chuàng)設(shè)學(xué)生生活中熟悉而感興趣的數(shù)學(xué)情境。2，啟發(fā)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象、概括成數(shù)學(xué)問題。3，學(xué)生為了解決提出的數(shù)學(xué)問題，自主探索、合作交流、估算猜測，教師啟發(fā)誘導(dǎo)，師生共同歸納總結(jié)。4，在“師生”與“生生”雙邊互動(dòng)中，展示學(xué)生的數(shù)學(xué)思維建構(gòu)的過程。培養(yǎng)學(xué)生推理、證明的能力。5，讓學(xué)生用自己“發(fā)明”的“兩角和的公式”來解決相關(guān)問題。體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的道理。

五，教學(xué)課堂的轉(zhuǎn)變。

傳統(tǒng)的教學(xué)課堂，要求“堂堂清”，對(duì)本堂課的知識(shí)點(diǎn)、內(nèi)容完全掌握是最高境界。而新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，學(xué)生不能僅僅停留在課堂的探索上。而要引導(dǎo)學(xué)生課后繼續(xù)探究，把課堂延伸到課外。兩角和的公式探索方法很多?？梢岳脝挝粓A中的三角函數(shù)線，可以利用不同角度探索公式??這些探索證明方法的建構(gòu)，都有著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。讓學(xué)生產(chǎn)生“欲罷不能”的求知欲望，驚聲振奮地投入學(xué)習(xí)。從而使其獲得良好的學(xué)習(xí)效果。

總之，高考命題思路的轉(zhuǎn)變，對(duì)新課程改革的促進(jìn)是一個(gè)良好開端。教師在今后的教學(xué)中就可以大膽實(shí)踐，而沒有后顧之憂。教師大膽的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法。

第二篇：高二數(shù)學(xué)教案：三角函數(shù)兩角和公式

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兩角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos^A-Sin^A=1-2Sin^A=2Cos^A-1 tan2A=2tanA/1-tanA^2

三倍角公式

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

半角公式

和差化積

sin(a)+sin(b)= 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sin(a)-sin(b)= 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b)= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

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積化和差

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

+cos(a)cos(b)= 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)= 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

cos(a)sin(b)= 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

誘導(dǎo)公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)= cos(a)

sin(π/2-a)= cos(a)

cos(π/2-a)= sin(a)sin(π/2+a)= cos(a)

cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)= sin(a)

cos(π-a)=-cos(a)

sin(π+a)=-sin(a)

cos(π+a)=-cos(a)

tanA= sinA/cosA

萬能公式

其它公式

其他非重點(diǎn)三角函數(shù)

csc(a)= 1/sin(a)

sec(a)= 1/cos(a)

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雙曲函數(shù)

sinh(a)= [e^a-e^(-a)]/2

cosh(a)= [e^a+e^(-a)]/2

tg h(a)= sin h(a)/cos h(a)公式一： 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα

tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα

公式二： 設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π＋α）=-sinα cos（π＋α）=-cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα

公式三： 任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（-α）=-sinα cos（-α）= cosα tan（-α）=-tanα cot（-α）=-cotα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π-α）= sinα cos（π-α）=-cosα tan（π-α）=-tanα cot（π-α）=-cotα

公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（2π-α）=-sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）=-tanα cot（2π-α）=-cotα

公式六： π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π/2+α）= cosα

cos（π/2+α）=-sinα tan（π/2+α）=-cotα

cot（π/2+α）=-tanα sin（π/2-α）= cosα

cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα

cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）=-cosα

cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）=-cotα

cot（3π/2+α）=-tanα sin（3π/2-α）=-cosα

cos（3π/2-α）=-sinα tan（3π/2-α）= cotα

cot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)

這個(gè)物理常用公式我費(fèi)了半天的勁才輸進(jìn)來,希望對(duì)大家有用

A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ)=

√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} ? sin{ ωt + arcsin[(A?sinθ+B?sinφ)/ √{A^2 +B^2;+2ABcos(θ-φ)} }

√表示根號(hào),包括{……}中的內(nèi)容

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第三篇：兩角和與差的正弦公式教案

兩角和、差正弦公式

一、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)技能目標(biāo)：理解兩角和、差的正弦公式的推導(dǎo)過程，熟記兩角和與差的正弦公式，運(yùn)用兩角和與差的正弦公式，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。2.過程方法與目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和發(fā)散思維能力；培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀：通過觀察、對(duì)比體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和諧美，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的能力，學(xué)會(huì)從已有知識(shí)出發(fā)主動(dòng)探索未知世界的意識(shí)及對(duì)待新知識(shí)的良好情感態(tài)度。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦公式的推導(dǎo)過程及運(yùn)用； 2.教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦公式的靈活運(yùn)用.三、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入：

回顧兩角和與差的余弦公式：

cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．

推導(dǎo)：

??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin??2???2??2???2??sin?cos??cos?sin?．

sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?特例：sin(???)?cos? 23???)??cos? sin（（二）例題講解

例

1、利用和（差）公式求sin75?和sin15?的值。

232162*?*??222244sin75ｏ＝sin(45o+30o)=sin45ocos30o+cos45osin30o?sin15o?sin(45o?30o)?sin45ocos30o?cos45osin30o?另：sin15o?sin(90o?75o)?cos75o

232162*?*??222244例

2、已知sin??2?3?,??(0,),cos???,??(,?),求sin(???)與sin(???)3242的值。（又若?,?是第二象限角時(shí)）

52?2???? ?sin??,???0,? ?cos??1?sin2??1????3332????73?3???? ?cos???,???,?? ?sin??1?cos2??1?????44?4??2?222?3?57?6?35 ?sin(???)?sin?cos??cos?sin??*????*?3?4?3412

2?3?576?35 sin(???)?sin?cos??cos?sin??*????*??3?4?3412例

3、不查表求下列各式的值：

25112511?cos??cos?sin?126126（1）sin7ocos37o?sin37ocos7o（2）2sin解：sin(7o?37o)??sin30o??解：sin(2511?2 ???)?sin?12642（3）sin(?3??)?sin(?3??)

????cos??cossin??sincos??cossin?33333131 ?cos??sin??cos??sin?

2222?3cos?sin

2cos10o?sin20o（4）

sin70o

2cos10o－sin（30o?10o)?sin70o2cos10o??sin30ocos10o?cos30osin10o??sin70 0132cos10o?cos10o?sin10o22? osin7033cos10o?sin10o2?2sin70o（3??31cos10o?sin10o)22osin70 sin70o

3sin?10o?60o??3例

4、求證:cos??3sin??2sin(?6??)

?????)?2(sincos??cossin?)66613證明：?2(cos??sin?)

22?cos??3sin?2sin(11tan?,sin(???)?,則23tan?=__________5_______ 例

五、已知sin(???)?sin?tan?cos?sin?cos? ??sin?tan?cos?sin?cos?

（三）課堂練習(xí)：

35,cosB?,則sin(A?B)513的值為(A)在?ABC中，cosA?

56165616?? A、65 B、65 C、65 D、65

四、小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.五、板書設(shè)計(jì)： 1.兩角和正弦公式

sin??????sin?cos??cos?sin? 2.兩角差正弦公式

sin??????sin?cos??cos?sin?

推導(dǎo)過程

例題

練習(xí)

第四篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：4.4 兩角和與差、二倍角的公式(三)

4.4 兩角和與差、二倍角的公式

（三）●知識(shí)梳理 1.化簡要求

（1）能求出值的應(yīng)求出值.（2）使三角函數(shù)種數(shù)、項(xiàng)數(shù)盡量少；分母盡量不含三角函數(shù)；被開方式盡量不含三角函數(shù).2.化簡常用方法

（1）活用公式（包括正用、逆用、變形用）.（2）切割化弦、異名化同名、異角化同角等.3.常用技巧

（1）注意特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化.（2）注意利用代數(shù)上的一些恒等變形法則和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).（3）注意利用角與角之間的隱含關(guān)系.（4）注意利用“1”的恒等變形.●點(diǎn)擊雙基

3+sinαsinβ的一組α、β的值是 213π3πππA.α=，β=

B.α=，β=

124231.滿足cosαcosβ=C.α=ππ，β=

D.α=

ππ，β= 36解析：由已知得cos（α+β）=答案：A 2.已知tanα和tan（A.b=a+c

C.c=b+a

3，代入檢驗(yàn)得A.2π－α）是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，則a、b、c的關(guān)系是

4B.2b=a+c D.c=ab

πb?btan??tan（??）??，??π?4a解析：?∴tan=a=1.cπc4?tan?tan1?（??）?，?a4a?∴－bc=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.aasinxcosx的值域?yàn)?/p>

1?sinx?cosx答案：C 3.f（x）=A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［C.（?2?12?1，－1）∪（－1，］ 22?3?13?1，）22第1頁（共7頁）

D.［?2?12?1，］ 22π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，4解析：令t=sinx+cosx=2sin（x+t2?1?2?12?1t?1則f（x）=2=∈［，－1）∪（－1，］.1?t222答案：B 4.已知cosα－cosβ=

11，sinα－sinβ=，則cos（α－β）=_______.2311，（sinα－sinβ）2=.491359.∴cos（α－β）=.3672解析：（cosα－cosβ）2=兩式相加，得2－2cos（α－β）=答案：59 72●典例剖析 【例1】 求證：sin（2???）sin?－2cos（α+β）=.sin?sin?剖析：先轉(zhuǎn)換命題，只需證sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的關(guān)系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可證得結(jié)論.證明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.兩邊同除以sinα得 sin（2???）sin?－2cos（α+β）=.sin?sin?評(píng)述：證明三角恒等式，可先從兩邊的角入手——變角，將表達(dá)式中出現(xiàn)了較多的相異的角朝著我們選定的目標(biāo)轉(zhuǎn)化，然后分析兩邊的函數(shù)名稱——變名，將表達(dá)式中較多的函數(shù)種類盡量減少，這是三角恒等變形的兩個(gè)基本策略.【例2】 P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求證：橢圓的離心率為e=2cosα－1.剖析：依據(jù)橢圓的定義2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=在△PF1F2中解此三角即可得證.證明：在△PF1F2中，由正弦定理知

2c.2a|PF1||PF2||F1F2|==.sin2?sin?sin（π?3?）第2頁（共7頁）

由比例的性質(zhì)得|F1F2||PF1|?|PF2|= sin3?sin2??sin?|F1F2|sin?cos2??cos?sin2?sin3??e===

|PF1|?|PF2|sin2??sin?sin??2sin?cos2?sin?（2cos2???）?2sin??cos2?=

sin（1?2cos?）4cos2??1==2cosα－1.2cos???評(píng)述：恰當(dāng)?shù)乩帽壤男再|(zhì)有事半功倍之效.深化拓展

求cot10°－4cos10°的值.分析：給出非特殊角，怎樣化為特殊角或非特殊角，互相抵消、約分求出值.提示：cot10°－4cos10° =cos10?cos10??2sin20?－4cos10°=

sin10?sin10?31cos20??sin20??2sin20?cos（30??20?）?2sin20?2==2

sin10?sin10?33cos20??sin20?3sin（30??20?）2=2==3.sin10?sin10?答案：3.●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（2003年高考新課程卷）已知x∈（－A.7 24π4，0），cosx=，則tan2x等于 2B.－

4C.24 7

D.－

7解析：∵cosx=4π33，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.525432tanx2=－3×16=－24.∴tan2x==

2771?tan2x1?916?答案：D 2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是

A.tanC.sin?2＜cot＜cos?2

B.tanD.sin

?2＞cot＞cos

?2 ?2?2?2?2第3頁（共7頁）

解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，則tan

?2－cot

?2sin??2－2cos?=cos2=－2cos?＞0.?sin?sin2∴tan?2＞cot?2.答案：B 3.下列四個(gè)命題中的假命題是

A.存在這樣的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在無窮多個(gè)α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.對(duì)于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在這樣的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得 sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B 4.函數(shù)y=5sinx+cos2x的最大值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－

5233）+.48∴sinx=1時(shí)，ymax=4.答案：4 5.求周長為定值L（L＞0）的直角三角形的面積的最大值.L解法一：a+b+a2?b2=L≥2ab+2ab.∴ab≤.2?2∴S=

L（2?2）L23?222111ab≤（）2=·［］=L.242222?2解法二：設(shè)a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=

L1?sin??cos?.sin?cos?L212∴S=csinθcosθ=.22（21?sin??cos?）設(shè)sinθ+cosθ=t∈（1，2］，t2?12L2L2L23?222t?1L222則S=·=·=（1－）≤（1－）=L.22（4444t?1t?11?t）2?16.（2004年湖南，17）已知sin（2sin2α+tanα－cotα－1的值.ππ1ππ+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求44442第4頁（共7頁）

解：由sin（α）=ππππ1π+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin（+4444422111cos4α=，得cos4α=.242ππ5π，），所以α=.4212又α∈（sin2??cos2??2cos2?于是2sinα+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+

sin?cos?sin2?5π5π=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）

662=－（－35－23）=22培養(yǎng)能力

3.7.求證：1?sin???2sin21?tan??2.?2=1?tan22（sin?cos）cos?sin1?sin?2222，證明：左邊===

????cos?cos2?sin2cos?sin2222????sin1?cos?2??2=coscos?2?sin?sin??2，右邊=sin1?cos?222?2∵左邊=右邊，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值2和△ABC的面積.分析：本題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力.21，∴cos（A－45°）=.22又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1?31?3=－2－3.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC=1AC·ABsinA 2第5頁（共7頁）

2?6.4

=2?631·2·3·=（2+6）.4242，2解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=

①

11.∴2sinAcosA=－.223，2∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.②

2?6.42?6.4∴tanA=

42?6sinA=·=－2－3.4cosA2?6（以下同解法一）

探究創(chuàng)新

9.銳角x、y滿足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠

π，求tany的最大值.2解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany=

sinxcosxtanxtanx2cosxsinxcosx===≤=，4sinx?cscx1?sinx2sin2x?cos2x1?2tan2x22tanx2時(shí)取等號(hào).22.4當(dāng)且僅當(dāng)tanx=∴tany的最大值為●思悟小結(jié)

1.證明三角恒等式的基本思路，是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右歸

一、變更命題等方法，使等式兩端的“異”化為“同”.2.條件等式的證明，通過認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)耐緩桨褩l件用上去.常用方法有代入法、消去法、綜合法（即從已知條件出發(fā)，以待證式為目標(biāo)進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變形，逐步推出待證式）、分析法等.3.三角函數(shù)的應(yīng)用主要是借用三角函數(shù)的值域求最值，這首先應(yīng)將原函數(shù)通過降冪、輔助角公式等化成y=Asin（ωx+?）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，然后再求之.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.三角恒等式的證明實(shí)際上就是三角函數(shù)式的化簡過程.2.有條件的三角函數(shù)求值有兩個(gè)關(guān)鍵：①三角函數(shù)各關(guān)系式及常用公式的熟練應(yīng)用.②條

第6頁（共7頁）

件的合理應(yīng)用：注意條件的整體功能，注意將條件適當(dāng)簡化、整理或重新改造組合，使其與所計(jì)算的式子更加吻合.3.注意方程思想的應(yīng)用.拓展題例

【例1】 試證：tan?（1?sin?）?sin?tan??sin?=.tan?（1?sin?）?sin?tan?sin?sin?（1?sin?）?sin?證明：左邊=cos?

sin?（1?sin?）?sin?cos?1?sin??cos?=??sin??cos?2sin2sin?2coscos?2?2cos2?2sin2??2=

cos?=

?2?222=cot?，?2sin2sin??sin?1?cos?cos?右邊==

sin?sin??sin?cos?2cos2?2=2sin?2cos?2=cot?2，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，β的值.解：∵4tan

π??），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+4221.2?2=1－tan2

?2，∴2·tanα=1，tanα=∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=

π.4評(píng)述：角的變換是常用技巧.如2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α等.第7頁（共7頁）

第五篇：兩角和差正余弦公式的證明

兩角和差正余弦公式的證明

北京四中數(shù)學(xué)組 皇甫力超

論文摘要：

本文對(duì)兩角和差的正余弦公式的推導(dǎo)進(jìn)行了探討。在單位圓的框架下 , 我們得到了和角余弦公式(方法 1)與差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我們得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)與差角正弦公式(方法 12,13)。

關(guān)鍵詞：

兩角和差的正余弦公式 正文：

兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。

由角 , 的三角函數(shù)值表示 的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。換言之 , 要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個(gè)等式或方程 , 將 或

與 , 的三角函數(shù)聯(lián)系起來。的三角函數(shù)。因此 , 由和角公式容根據(jù)誘導(dǎo)公式 , 由角 的三角函數(shù)可以得到

易得到對(duì)應(yīng)的差角公式 , 也可以由差角公式得到對(duì)應(yīng)的和角公式。又因?yàn)?, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 據(jù)此 , 可以實(shí)現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。因此 , 只要解決這組公式中的一個(gè) , 其余的公式將很容易得到。

(一)在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角余弦公式 注意到單位圓比較容易表示 ，和 , 而且角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可

與 , 的三以用三角函數(shù)值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系 角函數(shù)值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如圖所示, 在直角坐標(biāo)系 角 的始邊為 于點(diǎn) C；角 , 交 始邊為 ,由兩點(diǎn)間距離公式得

；

于點(diǎn) A, 終邊交 , 終邊交

中作單位圓 , 并作角 , 和 , 使

于點(diǎn) B；角 始邊為 , 終邊交 ，于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B, C和 D的坐標(biāo)分別為,。

注意到 , 因此。

注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。

2.差角余弦公式

仍然在單位圓的框架下 , 用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是

(方法2)如圖所示, 在坐標(biāo)系 的始邊均為 , 交

于點(diǎn) C, 角 ,中作單位圓 終邊交

。, 并作角 和 , 使角 和

于點(diǎn) A,角 終邊交 于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得。

由余弦定理得。

從而有。

注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴于 要補(bǔ)充討論角 和 的終邊共線, 以及 情形中依然成立。

在上邊的證明中 , 用余弦定理計(jì)算

是三角形的內(nèi)角。因此, 還需

大于 的情形。容易驗(yàn)證 , 公式在以上的過程也可以用勾股定理來進(jìn)行。

(二)在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式

除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如圖所示, , ，為 的

邊上的高 ，為

邊上的高。設(shè) , 則。從而有 , , 。

因此 。

注意到 從而有 , , 整理可得。

注記：在方法 3 中 , 用 邊上高

和與底角 , 相關(guān)的三角函數(shù), 從兩個(gè)角度來表示 , 從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的 , 對(duì)基于直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。

利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似于恒等變形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如圖所示, , , 則

為 的。

邊上的高 ，為

邊上的高。設(shè)

注意到 , 則有,即。從而有。

利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個(gè)非常簡潔的證法。注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。

(方法 5)如圖所示 , 則有

為 的

邊上的高。設(shè) , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d為 的外接圓直徑。

由 得 , 從而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個(gè)底角上。如果將這兩個(gè)角的和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角 , 將會(huì)有下面的幾種證法(方法 6~11)。

(方法 6)如圖所示 , 作 , , 則

于D, 交 , ,外接圓于 E, 連。

和

。設(shè)設(shè) 的外接,圓直徑,為 d, 則有。

所以有。

注意到 , 從而。

(方法 7)如圖所示 , , , 則

為 的

邊上的高 , , 則

為

邊上的高。設(shè)

。設(shè) , , ,。, 又

從而。整理可得。

(方法 8)如圖所示 , 作 設(shè) 。

于D, 過 D作 , 則 ,于 F, ,設(shè)

于G。, 從而 ,所以。

注意到 , 則有。

注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算 法來計(jì)算 , 得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方, 則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得 , , 從而有而可得。

。注意到 , 從方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數(shù)從兩個(gè)角度表示圖形中的同一線段 , 從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。

(方法 9)如圖所示 , 設(shè) ,，為 的

邊上的高。設(shè) , , 從而有

方法 9 利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。

(方法 10)如圖所示 , 設(shè) , 則

為 , 從而 的外接圓直徑d, 長度為d。設(shè) ，注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和。

是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線 , 則有

(方法 11)如圖所示 , 則。設(shè)

為 , 則 的

邊上的高。設(shè) , ，方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 ，相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段 , 再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理(托勒密定理或正弦定理), 構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。

3.差角正弦公式

仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。

(方法 12)如圖所示 ,于 E, 則 。設(shè) , , 從而有 , 記 , 作

(方法 13)如圖所示 , , 則 ，為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設(shè)。從而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段 , 借此來構(gòu)造等式關(guān)系。

很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。換言之 , 這兩種方法中出現(xiàn)的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內(nèi)角(甚至都是銳角)。因此 , 對(duì)于方法 3~13, 我們需要將我們的結(jié)果推廣到角 和

是任意角的情形。具體而言 , 我們要證明：如果公式對(duì)任意 任意角也成立。

容易驗(yàn)證 , 角 和

成立 , 則對(duì)

中至少有一個(gè)是軸上角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角), 我們的公式是成立的。下面證明 , 角 和 都是象限角(即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角)時(shí) , 我們的公式也成立。不妨設(shè) 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有

從而

同理可證, 公式對(duì)于象限角 3~13 推導(dǎo)的公式推廣到角

和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 , 是任意角的情形。

兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對(duì)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個(gè)步驟：

(1)明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系 和 等式或方程 ；

(2)簡化課題：四個(gè)公式只要解決一個(gè) , 其余的都可由它推出 ；(3)解決問題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系

和

三角函數(shù)與

或

三角函數(shù)與

或 的的工具 , 尋找我們希望的等式關(guān)系 ；

(4)完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時(shí)還要進(jìn)行分類討論。

參考文獻(xiàn)：

1.谷丹：全面數(shù)學(xué)教育觀與知識(shí)形成過程的教學(xué)——三個(gè)教學(xué)個(gè)案及分析 , 《開放的視野 , 務(wù)實(shí)的努力》, 中央民族大學(xué)出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 頁。

2.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室：全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書 << 數(shù)學(xué)(第一冊下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 頁。