第一篇：淺談《九章算術(shù)》與《幾何原本》的異同

淺談《九章算術(shù)》與《幾何原本》的異同

就數(shù)學(xué)而言，古代東西方文明都對其發(fā)展作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)；其中以中國的《九章算術(shù)》和西方的歐幾里得的《幾何原本》的貢獻(xiàn)最大。以下，我就這兩部經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作談?wù)勎业淖x后感。

一、結(jié)構(gòu)：

《幾何原本》分十三篇。含有467個命題；有5個公理和5條公設(shè)；大部分的命題都是由極少數(shù)的公理邏輯推理而來

《九章算術(shù)》共收有246個數(shù)學(xué)問題,包括方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時的社會生活密切相關(guān)的。其數(shù)學(xué)成就也是多方面的。

貢獻(xiàn)：

《幾何原本》對世界數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要是：

1.建立了公理體系，明確提出所用的公理、公設(shè)和定義。由淺入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理證出幾百個定理。

2.把邏輯證明系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)中，強調(diào)邏輯證明是確立數(shù)學(xué)命題真實性的一個基本方法。

3.示范地規(guī)定了幾何證明的方法：分析法、綜合法及歸謬法。

《幾何原本》精辟地總結(jié)了人類長時期積累的數(shù)學(xué)成就，建工了數(shù)學(xué)的科學(xué)體系。為后世繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)提供了課題和資料，使幾何學(xué)的發(fā)展充滿了活的生機。二千年來，一直被公認(rèn)為初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教材。

《九章算術(shù)》對世界數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要有：

1.開方術(shù)，反應(yīng)了中國數(shù)學(xué)的高超計算水平，顯示中國獨有的算法體系。

2.方程理論，多元聯(lián)立一次方程組的出現(xiàn)，相當(dāng)于高斯消去法的總結(jié)，獨步于世界。

3.負(fù)數(shù)的引入，特別是正負(fù)數(shù)加減法則的確立，是一項了不起的貢獻(xiàn)。

二、兩部著作中的一些內(nèi)容比較：

《九章算術(shù)》在方程理論中的多元聯(lián)立一次方程組的出現(xiàn)比高斯后來提出的消去法早了很多年；在解線性方程組時，首次提出了負(fù)數(shù)的加減法法則，這對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是非常巨大的；在代數(shù)方面，開方術(shù)也是《九章算術(shù)》的一大貢獻(xiàn)；其開方程序是獨創(chuàng)先河；例如，秦九韶算法也的源于此；

在幾何方面，《九章算術(shù)》主要是面積（方田）和體積（商功）的計算；以計算為中心；任何問題，都要計算出具體的數(shù)字作為答案；幾乎沒有關(guān)于任何數(shù)的性質(zhì)、圖形的定性的關(guān)系命題。例如三角形全等、三角形相似的條件在《九章算術(shù)》中都沒有相關(guān)的表述。有的只有算出線段的長、圖形的面積和體積。

《幾何原本》中的命題是通過公理和定義以及公設(shè)經(jīng)邏輯推理而來；它建立了公理化的思想；也賦予了數(shù)學(xué)邏輯性強、嚴(yán)密的特點。

《幾何原本》更多的是在給出相關(guān)圖形的概念、性質(zhì)等的表述；這就是它與《九章算術(shù)》最大的不同之處。

在幾何方面，《幾何原本》進(jìn)一步地概括了一些概念；例如，對于“曲線”的概念，古希臘人只限于用尺規(guī)作圖來得到；而由《幾何原本》而來的解析幾何把“曲線”概括成任意的幾何圖形。其次，再一次突破直觀的限制，打開了數(shù)學(xué)發(fā)展的新思路。笛卡兒和費馬首先建立起來的是二維平面上的點和有序?qū)崝?shù)對之間的對應(yīng)，按同樣的思想，不難得出通過三個坐標(biāo)軸得出三維空間的點和實數(shù)的有序三數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)實的空間僅限于三維，由于解析幾何中采用了代數(shù)方法，平面上的點對應(yīng)于有序?qū)崝?shù)對，空間的點對應(yīng)著三元有序?qū)崝?shù)組，那么代數(shù)中的四元有序?qū)崝?shù)組當(dāng)然可以與此類比，構(gòu)成一個四維空間，由此類推，提出了高維空間的理論。這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)極重要的思想，開拓了數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域

《九章算術(shù)》涵蓋的開放化的歸納體系中對不同的問題都有一定的歸納總結(jié)，算法化的內(nèi)容對不同的實際問題予以程序化的求解；模型化的思想針對具體問題予以模型化的求解。所以，它像一臺計算機。然而一些一般性的問題，可能就不能求解。

《幾何原本》創(chuàng)立的公理化體系，以及解析幾何的思想，揭示了數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性；同時《幾何原本》也提供了解決一般性問題的方法。但它其中的一些定理存在錯誤或者并不嚴(yán)密；例如，第五公設(shè)在球面幾何上就不成立。

三、傳播：

《九章算術(shù)》采用的是中國古代的天干地支語言進(jìn)行編寫；其語言生澀難懂；因此，不便于傳播；而《幾何原本》用的是相對通俗易懂的數(shù)學(xué)符號語言書寫，方便書寫也方便記憶。

以上，是我對這兩部數(shù)學(xué)著作的一些淺見；還望老師予以批評和指導(dǎo)。

第二篇：《幾何原本》讀后感

萬物皆有秩序

——《幾何原本》讀后感

幾何，是空間之秩序，是物質(zhì)之規(guī)律，是造化之解析，是宇宙之始基，是邏輯之詩篇，是理性之美感。

——題記

幾何證明的引入，是初中數(shù)學(xué)的一個分水嶺，許多同學(xué)的成績出現(xiàn)了明顯的下滑，也逐漸產(chǎn)生了對數(shù)學(xué)的恐懼，這不再只是一門計算的課程，而要開始與那些老師口中“大同小異” 但學(xué)生眼中“大相徑庭”的各類幾何圖形作斗爭。學(xué)生們把對幾何的困惑歸結(jié)為“沒感覺”，甚至開始有了遇到幾何題就放棄的思想；一些家長也開始“妖魔化”幾何，在孩子還沒學(xué)幾何時就開始不斷嚇唬他們：“不要以為數(shù)學(xué)很簡單，等以后學(xué)了幾何就困難了”云云。那究竟幾何是否真的如此難學(xué)？還有無挽回學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的熱情的可能？我想回到幾何學(xué)的本源，從兩千多年前偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得的巨著《幾何原本》中去尋找答案。

歐幾里得，是一個熟悉的名字，常常出現(xiàn)在與數(shù)學(xué)有關(guān)的各個角落，我也曾在課堂上為學(xué)生演示“勾股定理”的證明時，使用過“歐幾里得證法”；這也是一個陌生的名字，他的生平已經(jīng)失傳，僅存的著作便是這部《幾何原本》，但僅憑這部著作便足以讓他被冠以“幾何之父”的頭銜。

中國古代的數(shù)學(xué)體系以算術(shù)、代數(shù)為主，重視應(yīng)用，如《九章算術(shù)》提出的谷物糧食按比例分配的算法、如何解決合理攤派賦稅等問題。而古希臘的數(shù)學(xué)體系脫胎于哲學(xué)，對計算類問題涉及不深，旨在尋找宇宙的基本構(gòu)成和數(shù)量關(guān)系。也許是因為古希臘的數(shù)學(xué)家們在面對浩瀚的星空時感受到了自身的渺小，所以想藉由建立起物質(zhì)與精神世界的確定體系來獲得些許自信。于是通過自明的簡單公理進(jìn)行演繹推理得出結(jié)論的方法誕生了，邏輯的三段論由亞里士多德提出，并被歐幾里得應(yīng)用于實際知識體系構(gòu)建，這也是我們現(xiàn)在所運用的幾何證明的推理演繹法的起源。

書中提出了五條公設(shè)和五條公理，這些都是無需證明的顯在事實，如“凡直角都相等”、“整體大于部分”……這些都不需要什么數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，只要稍有生活常識的人都很明了。就是靠著這些簡單的基礎(chǔ)原理，通過演繹推理的方法，在本書中論證了465個命題。我在此不愿過多贅述這些論證的過程，因為這并不是一本數(shù)學(xué)教本，我更愿把它作為一本建立秩序的書。萬物都要依托空間而存在，《幾何原本》是一部建立空間秩序最久遠(yuǎn)的方案之書，也意味著為萬物的秩序建立樹立了標(biāo)榜。

幾何中的空間秩序是客觀存在的，歐幾里得不滿足于發(fā)現(xiàn)這些秩序，更試圖去證明這些秩序的正確性。我們生活中常有這樣的現(xiàn)象：我們常被告知要遵守某些秩序，但在不明就里時我們會有一種抵觸情緒；一旦我們了解了這些秩序的由來或原因后，往往會更愿意遵守。一個簡單的例子，有些國家習(xí)慣靠左行，有些國家習(xí)慣靠右行，僅僅以“因為大家都這樣所以你也要這樣”來解釋實在太牽強，一些人尤其是孩子就不容易接受。如果告訴了他們英國人靠右行因為騎士騎馬習(xí)慣左腳先上馬鐙，所以要靠路左上馬；而法國本來也是這個習(xí)慣，后來拿破侖大革命后，為了徹底打破貴族習(xí)俗，開創(chuàng)了靠右行的習(xí)慣并沿用至今，那么知道這些后，有理可循，自然更容易接受這些秩序。所以有理有據(jù)的秩序才更容易被人接受，這個道理早在兩千多年前就被歐幾里得表述在了《幾何原本》中。再聯(lián)系到我們幾何的教學(xué)，一些學(xué)生記不住定理或者不會用定理，也許也是因為在學(xué)習(xí)定理的初始階段，沒有向他們闡述清楚定理證明的過程，對定理的證明理解得越透徹，也就會越理解在怎樣的情況下更適合運用哪些定理。先學(xué)會證明定理，再學(xué)會應(yīng)用它，這就是學(xué)習(xí)幾何的秩序。

每個人都有求知欲、都有探索客觀世界的意愿、都有對美的向往，因此不應(yīng)該有人對幾何失去興趣與熱情，也不存在對幾何“沒感覺”，只是有時對幾何的理解太淺顯，覺得就是認(rèn)識幾個圖形、解幾道題。通過《幾何原本》中由點、線、面、角為萬物始基所構(gòu)筑的空間，我們會發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)就是物質(zhì)世界乃至精神世界的表述方式，她定義了萬物的秩序，所以只要你愿意去了解世界，你就會愿意接觸幾何，就有學(xué)習(xí)她的動力。同時幾何的美不僅僅是圖形變幻組合所產(chǎn)生的視覺效果，更蘊含邏輯的最美劇本，而重視幾何學(xué)的人也不會忽視數(shù)學(xué)在美學(xué)上的意義，因此愛美是愛幾何的充要條件。如果還要糾結(jié)幾何是否難學(xué)，我只想說，對優(yōu)雅事物的欣賞，是一件難事嗎？

總有學(xué)生會問，有沒有學(xué)習(xí)幾何的捷徑？被托勒密王問到相同的問題時，歐幾里得回答：“幾何無王者之道。”另一個常被學(xué)生問及的問題就是，學(xué)了幾何之后有什么用能得到什么？這個問題歐幾里得同樣有他的解答，他對身邊的侍從說：“給他三個錢幣，因為他想在學(xué)習(xí)中獲取實利?！睂W(xué)習(xí)沒有一步登天只有腳踏實地；對真理的追尋與求證不是為了功利的索取，而是在培植素養(yǎng)與情懷，這是幾何學(xué)的秩序，更是人生的箴言。

第三篇：幾何原本讀后感

《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作,大約成書于公元前 300 年左右,是一部劃時代的著作,下面為大家分享了幾何原本讀后感，歡迎借鑒！

幾何原本讀后感

1讀《幾何原本》的作者歐幾里得能夠代表整個古希臘人民，那么我可以說，古希臘是古代文化中最燦爛的一支——因為古希臘的數(shù)學(xué)中，所包含的不僅僅是數(shù)學(xué)，還有著難得的邏輯，更有著耐人尋味的哲學(xué)。

《幾何原本》這本數(shù)學(xué)著作，以幾個顯而易見、眾所周知的定義、公設(shè)和公理，互相搭橋，展開了一系列的命題：由簡單到復(fù)雜，相輔而成。其邏輯的嚴(yán)密，不能不令我們佩服。

就我目前拜訪的幾個命題來看，歐幾里得證明關(guān)于線段“一樣長”的題，最常用、也是最基本的，便是畫圓：因為，一個圓的所有半徑都相等。一般的數(shù)學(xué)思想，都是很復(fù)雜的，這邊剛講一點，就又跑到那邊去了;而《幾何原本》非常容易就被我接受，其原因大概就在于歐幾里得反復(fù)運用一種思想、使讀者不斷接受的緣故吧。

不過，我要著重講的，是他的哲學(xué)。

書中有這樣幾個命題：如，“等腰三角形的兩底角相等，將腰延長，與底邊形成的兩個補角亦相等”，再如，“如果在一個三角形里，有兩個角相等，那么也有兩條邊相等”，這些命題，我在讀時，內(nèi)心一直承受著幾何外的震撼。

我們七年級已經(jīng)學(xué)了幾何。想想那時做這類證明題，需要證明一個三角形中的兩個角相等的時候，我們總是會這么寫：“因為它是一個等腰三角形，所以兩底角相等”——我們總是習(xí)慣性的認(rèn)為，等腰三角形的兩個底角就是相等的;而看《幾何原本》，他思考的是“等腰三角形的兩個底角為什么相等”。想想看吧，一個思想習(xí)以為常，一個思想在思考為什么，這難道還不夠說明現(xiàn)代人的問題嗎?

大多數(shù)現(xiàn)代人，好奇心似乎已經(jīng)泯滅了。這里所說的好奇心不單單是指那種對新奇的事物感興趣，同樣指對平常的事物感興趣。比如說，許多人會問“宇航員在空中為什么會飄起來”，但也許不會問“我們?yōu)槭裁茨軌蛘驹诘厣隙粫h起來”;許多人會問“吃什么東西能減肥”，但也許不會問“羊為什么吃草而不吃肉”。

我們對身邊的事物太習(xí)以為常了，以致不會對許多“平?！钡氖挛锔信d趣，進(jìn)而去琢磨透它。牛頓為什么會發(fā)現(xiàn)萬有引力?很大一部分原因，就在于他有好奇心。

如果僅把《幾何原本》當(dāng)做數(shù)學(xué)書看，那可就大錯特錯了：因為古希臘的數(shù)學(xué)滲透著哲學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)，就是學(xué)哲學(xué)。

哲學(xué)第一課：人要建立好奇心，不僅探索新奇的事物，更要探索身邊的平常事，這就是我讀《幾何原本》意外的收獲吧!

幾何原本讀后感

2《幾何原本》作為數(shù)學(xué)的圣經(jīng)，第一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)著作，牛頓，愛因斯坦，就是以這種形式寫的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《相對論》，斯賓諾莎寫出哲學(xué)著作《倫理學(xué)》，倫理學(xué)可以作為哲學(xué)與社會科學(xué)以及心理學(xué)的接口，都是推理性很強。

幾何原本總共13卷，研究前六卷就可以了，因為后邊的都是應(yīng)用前邊的理論，應(yīng)用到具體的領(lǐng)域，無理數(shù)，立體幾何等領(lǐng)域，幾何原本我認(rèn)為最精髓的就是合理的假設(shè)，對點線面的抽象，這樣才得以使得后面的定理成立，其中第五個公設(shè)后來還被推翻了，以點線面作為基礎(chǔ)，以歐幾里得工具作為工具，進(jìn)行了各種幾何現(xiàn)象的嚴(yán)密推理，我認(rèn)為這些定理成立的條件必須是在，對幾條哲學(xué)原則默許了之后，才能成立。主要是最簡單的幾何形狀，從怎么畫出來，畫出來也是有根據(jù)的，再就是各種形狀的性質(zhì)，以及各種形狀之間關(guān)系的定理，都是一步一步推理出來的。

在幾何原本后續(xù)的有阿波羅尼奧斯的《圓錐截線論》，牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，算是比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)著作，也都是用歐幾里得工具進(jìn)行證明的，后來的微積分工具的出現(xiàn)，我認(rèn)為是圓周率的求解過程，無限接近的思想，才使得微積分工具產(chǎn)生，現(xiàn)代數(shù)學(xué)看似陣容豪華，可是并沒有新的工具的出現(xiàn)，只是對微積分工具在各個形狀上進(jìn)行應(yīng)用，數(shù)學(xué)主要是在空間上做文章，現(xiàn)在數(shù)學(xué)能干的活看似挺多，但是也要得益于物理學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)一方面往一般性方面發(fā)展，都忘了，細(xì)想數(shù)學(xué)思想是比較沒什么，只是腦力勞作比較大，特別是只是純數(shù)學(xué)研究，不做思想的人，很累也做不出有意義的工作。

看完二十世紀(jì)數(shù)學(xué)史，發(fā)現(xiàn)里面的人的著作，我一本也不想看，太虛。

幾何原本讀后感

3《幾何原本》內(nèi)容簡介：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數(shù)學(xué)的成果與精神于一身。既是數(shù)學(xué)巨著，也是哲學(xué)巨著，并且第一次完成了人類對空間的認(rèn)識。該書自問世之日起，在長達(dá)兩千多年的時間里，歷經(jīng)多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，至今已有一千多種不同版本。除《圣經(jīng)》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠與《幾何原本》相比。漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學(xué)家徐光啟于1607年合作完成的，但他們只譯出了前六卷。證實這個殘本斷定了中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本術(shù)語，諸如三角形、角、直角等。日本、印度等東方國家皆使用中國譯法，沿用至今。近百年來，雖然大陸的中學(xué)課本必提及這一偉大著作，但對中國讀者來說，卻無緣一睹它的全貌，納入家庭藏書更是妄想。徐光啟在譯此作時，對該書有極高的評價，他說：“能精此書者，無一事不可精；好學(xué)此書者，無一事不科學(xué)。”現(xiàn)代科學(xué)的奠基者愛因斯坦更是認(rèn)為：如果歐幾里得未能激發(fā)起你少年時代的科學(xué)熱情，那你肯定不會是一個天才的科學(xué)家。由此可見，《幾何原本》對人們理性推演能力的影響，即對人的科學(xué)思想的影響是何等巨大。

幾何原本的讀后感，來自淘寶網(wǎng)的網(wǎng)友：幾何原本真的是一部很經(jīng)典的著作啊，手上的這本已經(jīng)翻得很舊了。準(zhǔn)備入手一本新的，正好遇到這個修訂版。希望翻譯質(zhì)量能夠更好，之前的版本總覺得有些地方譯得有些含糊。這本的包裝看上去也還不錯。

幾何原本的讀后感，來自卓越網(wǎng)的網(wǎng)友：不愧是古希臘的數(shù)學(xué)家，推導(dǎo)能力太強了。里面對幾何問題的解析，對思維的培養(yǎng)幫助很大；尤其推薦給要學(xué)習(xí)習(xí)近平面幾何的學(xué)生作為補充讀物來讀，啟發(fā)會很大的。本來這種科學(xué)類的書，翻譯得不好的話，就會非常難懂，江蘇人民出版社最近出的幾本自然科學(xué)的書，翻譯倒是都還可以，像我這種非專業(yè)的，也能看明白。

第四篇：肖臨駿：從數(shù)學(xué)教育的角度比較分析《九章算術(shù)》與《幾何原本》

《九章算術(shù)》是“算經(jīng)十書”中最重要的一種，該書內(nèi)容非常豐富，且系統(tǒng)化總結(jié)并概括了戰(zhàn)國、秦朝，以及漢時期的數(shù)學(xué)成就。此外，該書在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也取得了杰出的成就，首次提出分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)及加減運算法則等。概括來說，《九章算術(shù)》是一本綜合性的數(shù)學(xué)歷史著作，該書的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的基本形成。《幾何原本》在數(shù)學(xué)界又被稱為《原本》，該書為歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)，且被廣泛認(rèn)為是歷史上最成功的教科書，書中主要總結(jié)并歸納了平面幾何的五大公設(shè)。除此之外，《幾何原本》在西方也占據(jù)著相當(dāng)重要的位置，僅次于《圣經(jīng)》。這兩本著名的數(shù)學(xué)著作對數(shù)學(xué)的發(fā)展都發(fā)揮著非常重要的作用，但是二者還存在諸多差異。本文對這兩本書從成書背景、體例、內(nèi)容等方面進(jìn)行研究后，得出二者的差異所在。在此基礎(chǔ)上，對其數(shù)學(xué)教育觀、數(shù)學(xué)教育目的、數(shù)學(xué)教材及數(shù)學(xué)文化也進(jìn)行了詳細(xì)論述，基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)視野，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革提供啟示，以供參考。

一、成書背景的對比

《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，也是“算經(jīng)十書”中最重要的一種。眾所周知，我國春秋戰(zhàn)國時期，諸子百家爭鳴，眾多學(xué)派相繼出現(xiàn)，在形式邏輯研究方面，相比其他學(xué)派而言，墨家比較突出，但之后形式邏輯在我國并沒有太大的進(jìn)展，而《九章算術(shù)》恰巧問世。該書成書最遲是在東漢前期，但內(nèi)容的定型卻在西漢后期，這時候出現(xiàn)，就注定其呈現(xiàn)出非邏輯結(jié)構(gòu)的特點。中國古代數(shù)學(xué)專著都是在不斷總結(jié)生活現(xiàn)象的過程中逐漸衍生而來的，《九章算術(shù)》也不例外，該書主要強調(diào)的是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，在不斷地總結(jié)、歸納、推理、論證的過程中，最終發(fā)展成演繹推理。

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造于一體的不朽之作，整本書的內(nèi)容是把人們公認(rèn)的一些事實歸納成定義和公理，將形式邏輯的方法運用于教學(xué)研究。通過這些定義和公理對幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行探討，最終建立起一套數(shù)學(xué)理論體系，簡稱幾何學(xué)。該書的成書與《九章算術(shù)》有著不同的背景，當(dāng)時古希臘正處于形式邏輯的發(fā)展時期，形式邏輯的思想方法被運用到了數(shù)學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域中，逐漸形成了強大的數(shù)學(xué)思潮，之后歐幾里得不斷研究和探索，將其用演繹法進(jìn)行歸類和整理，編寫成《幾何原本》一書。這本書也是歐式幾何的奠基之作。此書主要囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)――歐幾里得生活時期――前后四百多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。從內(nèi)容上分析，該書保存了古希臘早期的幾何學(xué)理論，之后歐幾里得對其進(jìn)行了系統(tǒng)化的整理，使其成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的思想源泉?？傮w來說，《幾何原本》開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。

二、《九章算術(shù)》與《幾何原本》在體例方面的對比

研究這兩本書發(fā)現(xiàn)，其在體例方面存在一定的差異性，表現(xiàn)在：《九章算術(shù)》是按照問題的性質(zhì)和解法具體分類的，總共九類，且每一類為一章節(jié)，每一章節(jié)又分多個小類，每一小類都有解題步驟，包括數(shù)學(xué)公式、推理等。這種結(jié)構(gòu)體系，是以算法為中心，根據(jù)算法組建理論體系，表現(xiàn)出了中國特有的數(shù)學(xué)思想。《幾何原本》在結(jié)構(gòu)方面與《九章算術(shù)》存在較大的差異性，該書共十三篇，主要包含兩大部分。第一部分中，有4條作圖公法，36條定義，19條公設(shè)和公理，為全書的推理基礎(chǔ)。第二部分主要是題，其中每一道題都相當(dāng)于一條定理，后面附注證明過程和推論過程，還有少部分題后面有圖解?？傊?，《幾何原本》主要是將邏輯推理進(jìn)行系統(tǒng)化歸納，形成數(shù)學(xué)體系中的邏輯演繹系統(tǒng)。

三、《九章算術(shù)》和《幾何原本》的內(nèi)容對比

從內(nèi)容方面對比發(fā)現(xiàn)，《九章算術(shù)》和《幾何原本》也存在較大的差異性。其中《九章算術(shù)》的內(nèi)容呈現(xiàn)出豐富性和多樣性特征。它主要是對從春秋至秦漢時代社會生產(chǎn)過程中各方面累積的教學(xué)知識的匯總。整本書包含246題，涉及生活的各個領(lǐng)域，故被稱為“數(shù)學(xué)百科全書”。此外，該書中的代數(shù)水平和算術(shù)水平相當(dāng)高，但在幾何圖形方面，卻與《幾何原本》存在較大的差距?！稁缀卧尽肥谴鷶?shù)幾何化，且數(shù)論問題都是通過嚴(yán)格的邏輯證明來具體解決的，它為幾何學(xué)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)?！稁缀卧尽返恼Q生，標(biāo)志著幾何學(xué)已經(jīng)成為一個有著比較嚴(yán)密的理論體系和科學(xué)方法的數(shù)學(xué)學(xué)科。除此之外，《幾何原本》還對勾股定理做了詳細(xì)證明。由此可見，這兩本數(shù)學(xué)名著各有優(yōu)勢。

四、《九章算術(shù)》和《幾何原本》對當(dāng)代數(shù)學(xué)教育改革的啟示

關(guān)于《九章算術(shù)》和《幾何原本》對當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的啟示，需從數(shù)學(xué)教育觀、數(shù)學(xué)教育目的、數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)文化幾大方面來了解。

1.數(shù)學(xué)教育觀

數(shù)學(xué)教育觀主要包含兩大類，一類是動態(tài)數(shù)學(xué)教育觀，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一項人類活動，也是一個動態(tài)學(xué)科，活動之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性，內(nèi)部要素之間也呈現(xiàn)出動態(tài)發(fā)展趨勢；另一類是靜態(tài)數(shù)學(xué)教育觀，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一個永恒不變的學(xué)科，其內(nèi)容主要包含數(shù)學(xué)定理、公式。《九章算術(shù)》表現(xiàn)出動態(tài)教育觀，主要是由于其豐富的內(nèi)容都是在不斷總結(jié)和積累后得到的。《幾何原本》表現(xiàn)出靜態(tài)教育觀，認(rèn)為教學(xué)活動是一種程序化過程，即數(shù)學(xué)概念-定理-公式-例題-練習(xí)，整個過程中，學(xué)生占被動地位，一味地接受教師的灌輸。相對來說，這種教育觀比較死板。由此可見，為了促進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，要主張學(xué)生理論與實踐相結(jié)合，從理論中解釋實踐，從實踐中總結(jié)理論，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，實施并創(chuàng)新情境化教學(xué)模式。

2.數(shù)學(xué)教育目的

《九章算術(shù)》強調(diào)數(shù)學(xué)與實際生活之間的聯(lián)系，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性特征，通過學(xué)習(xí)能夠促使學(xué)生將理論與實踐相結(jié)合。而《幾何原本》強調(diào)學(xué)生要關(guān)注內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性和嚴(yán)密性特征，該書在一定程度上忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng)。其實這兩本書都有自己的優(yōu)越性和局限性，我們在研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科時，應(yīng)將二者相結(jié)合，取長補短，從而達(dá)到提升數(shù)學(xué)教育的目的。

3.數(shù)學(xué)教材

從上文中了解到，《九章算術(shù)》是一部數(shù)學(xué)百科全書，自隋唐時數(shù)學(xué)教育制度建立以來，該書已經(jīng)成為國家統(tǒng)一審定的數(shù)學(xué)課程之一，且逐步形成了以該書為中心的古代數(shù)學(xué)課程體系。而《幾何原本》則過度強調(diào)形式化的數(shù)學(xué)教學(xué)，忽視了與實際相結(jié)合。這兩本書在教材上都有一定的優(yōu)越性和局限性，我們要認(rèn)真分析，相互借鑒，為推動現(xiàn)代化數(shù)學(xué)學(xué)科的改革和發(fā)展不斷努力。

4.數(shù)學(xué)文化

《九章算術(shù)》和《幾何原本》存在諸多方面的差異，其根本原因在于中西方文化之間存在一定的差異性，從而形成了不同的數(shù)學(xué)思想方法體系。所以，在進(jìn)行現(xiàn)代化數(shù)學(xué)學(xué)科改革時，要對這兩本書的數(shù)學(xué)文化多加重視，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生去了解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本身所蘊含的文化內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，逐步滲透思想方法、意識精神等，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)學(xué)科中蘊含的各種魅力。

五、結(jié)語

綜上，數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間、變化及信息等概念的綜合學(xué)科，也屬于一種形式科學(xué)。為了促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科的改革和發(fā)展，通過上文對《九章算術(shù)》和《幾何原本》的比較得到的啟示是：要引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實際，通過實踐進(jìn)行總結(jié)、歸納，了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而達(dá)到提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。筆者希望更多有關(guān)人士參與到《九章算術(shù)》和《幾何原本》的比較研究中來，為推動現(xiàn)代化數(shù)學(xué)學(xué)科的改革做出更大的貢獻(xiàn)。

第五篇：《幾何原本》讀后感（通用）

《幾何原本》讀后感（通用8篇）

讀完一本經(jīng)典名著后，想必你有不少可以分享的東西，現(xiàn)在就讓我們寫一篇走心的讀后感吧。想必許多人都在為如何寫好讀后感而煩惱吧，下面是小編幫大家整理的《幾何原本》讀后感（通用8篇），歡迎閱讀與收藏。

“古希臘”這個詞，我們耳熟能詳，很多人卻不了解它。

如果《幾何原本》的作者歐幾里得能夠代表整個古希臘人民，那么我可以說，古希臘是古代文化中最燦爛的一支——因為古希臘的數(shù)學(xué)中，所包含的不僅僅是數(shù)學(xué)，還有著難得的邏輯，更有著耐人尋味的哲學(xué)。

《幾何原本》這本數(shù)學(xué)著作，以幾個顯而易見、眾所周知的定義、公設(shè)和公理，互相搭橋，展開了一系列的命題：由簡單到復(fù)雜，相輔而成。其邏輯的嚴(yán)密，不能不令我們佩服。

就我目前拜訪的幾個命題來看，歐幾里得證明關(guān)于線段“一樣長”的題，最常用、也是最基本的，便是畫圓：因為，一個圓的所有半徑都相等。一般的數(shù)學(xué)思想，都是很復(fù)雜的，這邊剛講一點，就又跑到那邊去了；而《幾何原本》非常容易就被我接受，其原因大概就在于歐幾里得反復(fù)運用一種思想、使讀者不斷接受的緣故吧。

不過，我要著重講的，是他的哲學(xué)。

書中有這樣幾個命題：如，“等腰三角形的兩底角相等，將腰延長，與底邊形成的兩個補角亦相等”，再如，“如果在一個三角形里，有兩個角相等，那么也有兩條邊相等”。這些命題，我在讀時，內(nèi)心一直承受著幾何外的震撼。

我們七年級已經(jīng)學(xué)了幾何。想想那時做這類證明題，需要證明一個三角形中的兩個角相等的時候，我們總是會這么寫：“因為它是一個等腰三角形，所以兩底角相等”——我們總是習(xí)慣性的認(rèn)為，等腰三角形的兩個底角就是相等的；而看《幾何原本》，他思考的是“等腰三角形的兩個底角為什么相等”。想想看吧，一個思想習(xí)以為常，一個思想在思考為什么，這難道還不夠說明現(xiàn)代人的問題嗎？

大多數(shù)現(xiàn)代人，好奇心似乎已經(jīng)泯滅了。這里所說的好奇心不單單是指那種對新奇的事物感興趣，同樣指對平常的事物感興趣。比如說，許多人會問“宇航員在空中為什么會飄起來”，但也許不會問“我們?yōu)槭裁茨軌蛘驹诘厣隙粫h起來”；許多人會問“吃什么東西能減肥”，但也許不會問“羊為什么吃草而不吃肉”。

我們對身邊的事物太習(xí)以為常了，以致不會對許多“平?！钡氖挛锔信d趣，進(jìn)而去琢磨透它。牛頓為什么會發(fā)現(xiàn)萬有引力？很大一部分原因，就在于他有好奇心。

如果僅把《幾何原本》當(dāng)做數(shù)學(xué)書看，那可就大錯特錯了：因為古希臘的數(shù)學(xué)滲透著哲學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)，就是學(xué)哲學(xué)。

哲學(xué)第一課：人要建立好奇心，不僅探索新奇的事物，更要探索身邊的平常事，這就是我讀《幾何原本》意外的收獲吧！

數(shù)學(xué)中最古老的一門分科。據(jù)說是起源于古埃及尼羅河泛濫后為整修土地而產(chǎn)生的測量法，它的外國語名稱geometry就是由geo(土地)與metry(測量)組成的。泰勒斯曾經(jīng)利用兩三角形的等同性質(zhì)，做了間接的測量工作;

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派則以勾股定理等著名。

在中國古代早有勾股測量，漢朝人撰寫的《周髀算經(jīng)》的第一章敘述了西周開國時期(約公元前1000)周公姬旦同商高的問答，討論用矩測量的方法，得出了著名的勾股定律，并舉出了“勾三、股四、弦五”的例子。在埃及產(chǎn)生的幾何學(xué)傳到希臘，然后逐步發(fā)展起來而變?yōu)槔碚摰臄?shù)學(xué)。

哲學(xué)家柏拉圖(公元前429～前348)對幾何學(xué)作了深奧的探討，確立起今天幾何學(xué)中的定義、公設(shè)、公理、定理等概念，而且樹立了哲學(xué)與數(shù)學(xué)中的分析法與綜合法的概念。此外，梅內(nèi)克繆斯(約公元前340)已經(jīng)有了圓錐曲線的概念。

希臘文化以柏拉圖學(xué)派的時代為頂峰，以后逐漸衰落，而埃及的亞歷山大學(xué)派則漸漸繁榮起來，它長時間成了文化的中心。歐幾里得把至希臘時代為止所得到的數(shù)學(xué)知識集其大成，編成十三卷的《幾何原本》，這就是直到今天仍廣泛地作為幾何學(xué)的教科書使用下來的歐幾里得幾何學(xué)(簡稱歐氏幾何)。

徐光啟于1606年翻譯了《幾何原本》前六卷，至1847年李善蘭才把其余七卷譯完。“幾何”與其說是geo的音譯，毋寧解釋為“大小”較為妥當(dāng)。

誠然，現(xiàn)代幾何學(xué)是有關(guān)圖形的一門數(shù)學(xué)分科，但是在希臘時代則代表了數(shù)學(xué)的全部。歐幾里得在《幾何原本》中首先敘述了一些定義，然后提出五個公設(shè)和五個公理。其中第五公設(shè)尤為著名：如果兩直線和第三直線相交而且在同一側(cè)所構(gòu)成的兩個同側(cè)內(nèi)角之和小于二直角，那么這兩直線向這一側(cè)適當(dāng)延長后一定相交?！稁缀卧尽分械墓硐到y(tǒng)雖然不能說是那么完備，但它恰恰成了現(xiàn)代幾何學(xué)基礎(chǔ)論的先驅(qū)。

直到19世紀(jì)末，D.希爾伯特才建立了嚴(yán)密的歐氏幾何公理體系。

第五公設(shè)和其余公設(shè)相比較，內(nèi)容顯得復(fù)雜，于是引起后來人們的注意，但用其余公設(shè)來推導(dǎo)它的企圖，都失敗了。這個公設(shè)等價于下述的公設(shè)：在平面上，過一直線外的一點可引一條而且只有一條和這直線不相交的直線。

Η.И.羅巴切夫斯基和J.波爾約獨立地創(chuàng)建了一種新幾何學(xué)，其中揚棄了第五公設(shè)而代之以另一公設(shè)：在平面上，過一直線外的一點可引無限條和這直線不相交的直線。這樣創(chuàng)建起來的無矛盾的幾何學(xué)稱為雙曲的非歐幾里得幾何。

(G.F.)B.黎曼則把第五公設(shè)換作“在平面上，過一直線外的一點所引的任何直線一定和這直線相交”，這樣創(chuàng)建的無矛盾的幾何學(xué)稱橢圓的非歐幾里得幾何。

今天我讀了一本書，叫《幾何原本》。它是古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家歐幾里德的一本不朽之作，集合希臘數(shù)學(xué)家的成果和精神于一書。

《幾何原本》收錄了原著13卷全部內(nèi)容，包含了5條公理、5條公設(shè)、23個定義和467個命題，即先提出公理、公設(shè)和定義，再由簡到繁予以證明，并在此基礎(chǔ)上形成歐氏幾何學(xué)體系。歐幾里德認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一個高貴的世界，即使身為世俗的君主，在這里也毫無特權(quán)。與時間中速朽的物質(zhì)相比，數(shù)學(xué)所揭示的世界才是永恒的。

《幾何原本》既是數(shù)學(xué)著作，又極富哲學(xué)精神，并第一次完成了人類對空間的認(rèn)識。古希臘數(shù)學(xué)脫胎于哲學(xué)，它使用各種可能的描述，解析了我們的宇宙，使它不在混沌、分離，它完全有別于起源并應(yīng)用于世俗的中國和古埃及數(shù)學(xué)。它建立起物質(zhì)與精神世界的確定體系，致使渺小如人類也能從中獲得些許自信。

本書命題1便提出了如何作等邊三角形，由此產(chǎn)生了三角形全等定理。即角、邊、角或邊、角、邊或邊、邊、邊相等，并進(jìn)一步提出了等腰三角形——等邊即等角；等角即等邊。就這樣歐幾里德分別從點、線、面、角四個部分，由淺入深，提出了自己的幾何理論。前面的命題為后面的鋪墊；后面的命題由前面的推導(dǎo)，環(huán)環(huán)相扣，十分嚴(yán)謹(jǐn)。

這本書博大精深，我只能看懂十分之一左右，非常震撼，歐幾里德不愧為幾何之父！他就是數(shù)學(xué)史上最亮的一顆星。我要向他學(xué)習(xí)，沿著自己的目標(biāo)堅定的走下去。

《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的'一部不朽之作，集整個古希臘數(shù)學(xué)的成果和精神于一身。既是數(shù)學(xué)巨著，也是哲學(xué)巨著，并且第一次完成了人類對空間的認(rèn)識。該書自問世之日起，在長達(dá)兩千多年的時間里，歷經(jīng)多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，至今已有一千多種不同版本。

除《圣經(jīng)》以外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠和《幾何原本》相比。漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學(xué)家徐光啟于1607年合作完成的，但他們只譯出了前六卷。證實這個殘本斷定了中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本術(shù)語，諸如三角形、角、直角等。日本、印度等東方國家皆使用中國譯法，沿用至今。近百年來，雖然大陸的中學(xué)課本必提及這一偉大著作，但對中國讀者來說，卻無緣一睹它的全貌，納入家庭藏書更是妄想。

徐光啟在譯此作時，對該書有極高的評價，他說：“能精此書者，無一事不可精；好學(xué)此書者，無一事不科學(xué)。”現(xiàn)代科學(xué)的奠基者愛因斯坦更是認(rèn)為：如果歐幾里得未能激發(fā)起你少年時代的科學(xué)熱情，那你肯定不會是一個天才的科學(xué)家。由此可見，《幾何原本》對人們理性推演能力的影響，即對人的科學(xué)思想的影響是何等巨大。

公理化結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)的主要特征。而《原本》是完成公理化結(jié)構(gòu)的最早典范，它產(chǎn)生于兩千多年前，這是難能可貴的。不過用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)去衡量，也有不少缺點。首先，一個公理系統(tǒng)都有若干原始概念，或稱不定義概念，作為其他概念定義的基礎(chǔ)。點、線、面就屬于這一類。而在《原本》中一一給出定義，這些定義本身就是含混不清的。其次是公理系統(tǒng)不完備，沒有運動、順序、連續(xù)性等公理，所以許多證明不得不借助于直觀。此外，有的公理不是獨立的，即可以由別的公理推出。這些缺陷直到1899年希爾伯特（Hilbert）的《幾何基礎(chǔ)》出版才得到了補救。盡管如此，畢竟瑕不掩瑜，《原本》開創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化的正確道路，對整個數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，超過了歷史上任何其他著作。

《原本》的兩個理論支柱——比例論和窮竭法。為了論述相似形的理論，歐幾里得安排了比例論，引用了歐多克索斯的比例論。這個理論是無比的成功，它避開了無理數(shù)，而建立了可公度與不可公度的正確的比例論，因而順利地建立了相似形的理論。在幾何發(fā)展的歷史上，解決曲邊圍成的面積和曲面圍成的體積等問題，一直是人們關(guān)注的重要課題。這也是微積分最初涉及的問題。它的解決依賴于極限理論，這已是17世紀(jì)的事了。然而在古希臘于公元前三四世紀(jì)對一些重要的面積、體積問題的證明卻沒有明顯的極限過程，他們解決這些問題的理念和方法是如此的超前，并且深刻地影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展。

化圓為方問題是古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯提出的，后來以“窮竭法”而得名的方法?！案F竭法”的依據(jù)是阿基米得公理和反證法。在《幾何原本》中歐幾里得利用“窮竭法”證明了許多命題，如圓與圓的面積之比等于直徑平方比。兩球體積之比等于它們的直徑的立方比。阿基米德應(yīng)用“窮竭法”更加熟練，而且技巧很高。并且用它解決了一批重要的面積和體積命題。當(dāng)然，利用“窮竭法”證明命題，首先要知道命題的結(jié)論，而結(jié)論往往是由推測、判斷等確定的。阿基米德在此做了重要的工作，他在《方法》一文中闡述了發(fā)現(xiàn)結(jié)論的一般方法，這實際又包含了積分的思想。他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，奠定了他在數(shù)學(xué)史上的突出地位。

作圖問題的研究與終結(jié)。歐幾里得在《原本》中談了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作圖，未提及其他正多邊形的作法?？梢娝褔L試著作過其他正多邊形，碰到了“不能”作出的情形。但當(dāng)時還無法判斷真正的“不能作”，還是暫時找不到作圖方法。

高斯并未滿足于尋求個別正多邊形的作圖方法，他希望能找到一種判別準(zhǔn)則，哪些正多邊形用直尺和圓規(guī)可以作出、哪些正多邊形不能作出。也就是說，他已經(jīng)意識到直尺和圓規(guī)的“效能”不是萬能的，可能對某些正多邊形不能作出，而不是人們找不到作圖方法。1801年，他發(fā)現(xiàn)了新的研究結(jié)果，這個結(jié)果可以判斷一個正多邊形“能作”或“不能作”的準(zhǔn)則。判斷這個問題是否可作，首先把問題化為代數(shù)方程。

然后，用代數(shù)方法來判斷。判斷的準(zhǔn)則是：“對一個幾何量用直尺和圓規(guī)能作出的充分必要條件是：這個幾何量所對應(yīng)的數(shù)能由已知量所對應(yīng)的數(shù)，經(jīng)有限次的加、減、乘、除及開平方而得到?！保▓A周率不可能如此得到，它是超越數(shù)，還有e、劉維爾數(shù)都是超越數(shù)，我們知道，實數(shù)是不可數(shù)的，實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，其中有理數(shù)和一部分無理數(shù)，比如根號2，是代數(shù)數(shù)，而代數(shù)數(shù)是可數(shù)的，因此實數(shù)中不可數(shù)是因為超越數(shù)的存在。雖然超越數(shù)比較多，但要判定一個數(shù)是否為超越數(shù)卻不是那么的簡單。）至此，“三大難題”即“化圓為方、三等分角、二倍立方體”問題是用尺規(guī)不能作出的作圖題。正十七邊形可作，但其作法不易給出。高斯（Gauss）在1796年19歲時，給出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并作了詳盡的討論。為了表彰他的這一發(fā)現(xiàn)，他去世后，在他的故鄉(xiāng)不倫瑞克建立的紀(jì)念碑上面刻了一個正十七邊形。

幾何中連續(xù)公理的引入。由歐氏公設(shè)、公理不能推出作圖題中“交點”存在。因為，其中沒有連續(xù)性（公理）概念。這就需要給歐氏的公理系統(tǒng)中添加新的公理——連續(xù)性公理。雖然19世紀(jì)之前費馬與笛卡爾已經(jīng)發(fā)現(xiàn)解析幾何，代數(shù)有了長驅(qū)直入的進(jìn)展，微積分進(jìn)入了大學(xué)課堂，拓?fù)鋵W(xué)和射影幾何已經(jīng)出現(xiàn)。但是，數(shù)學(xué)家對數(shù)系理論基礎(chǔ)仍然是模糊的，沒有引起重視。直觀地承認(rèn)了實數(shù)與直線上的點都是連續(xù)的，且一一對應(yīng)。直到19世紀(jì)末葉才完滿地解決了這一重大問題。從事這一工作的學(xué)者有康托（Cantor）、戴德金（Dedekind）、皮亞諾（Peano）、希爾伯特（Hilbert）等人。

當(dāng)時，康托希望用基本序列建立實數(shù)理論，代德金也深入地研究了無理數(shù)理念，他的一篇論文發(fā)表在1872年。在此之前的1858年，他給學(xué)生開設(shè)微積分時，知道實數(shù)系還沒有邏輯基礎(chǔ)的保證。因此，當(dāng)他要證明“單調(diào)遞增有界變量序列趨向于一個極限”時，只得借助于幾何的直觀性。

實際上，“直線上全體點是連續(xù)統(tǒng)”也是沒有邏輯基礎(chǔ)的。更沒有明確全體實數(shù)和直線全體點是一一對應(yīng)這一重大關(guān)系。如，數(shù)學(xué)家波爾查奴（Bolzano）把兩個數(shù)之間至少存在一個數(shù)，認(rèn)為是數(shù)的連續(xù)性。實際上，這是誤解。因為，任何兩個有理數(shù)之間一定能求到一個有理數(shù)。但是，有理數(shù)并不是數(shù)的全體。有了戴德金分割之后，人們認(rèn)識至波爾查奴的說法只是數(shù)的稠密性，而不是連續(xù)性。由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀(jì)。直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機。

《原本》還研究了其它許多問題，如求兩數(shù)（可推廣至任意有限數(shù)）最大公因數(shù)，數(shù)論中的素數(shù)的個數(shù)無窮多等。

在高等數(shù)學(xué)中，有正交的概念，最早的概念起源應(yīng)該是畢達(dá)哥拉斯定理，我們稱之為勾股定理，只是勾3股4弦5是一種特例，而畢氏定理對任意直角三角形都成立。并由畢氏定理，發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)根號2。在數(shù)學(xué)方法上初步涉及演繹法，又在證明命題時用了歸謬法（即反證法）?？赡苡捎谑軄G番圖（Diophantus）對一個平方數(shù)分成兩個平方數(shù)整數(shù)解的啟發(fā)，350多年前，法國數(shù)學(xué)家費馬提出了著名的費馬大定理，吸引了歷代數(shù)學(xué)家為它的證明付出了巨大的努力，有力地推動了數(shù)論用至整個數(shù)學(xué)的進(jìn)步。1994年，這一曠世難題被英國數(shù)學(xué)家安德魯威樂斯解決。

多少年來，千千萬萬人（著名的有牛頓（Newton）、阿基米德（Archimedes）等）通過歐幾里得幾何的學(xué)習(xí)受到了邏輯的訓(xùn)練，從而邁入科學(xué)的殿堂。

只要上過初中的人都學(xué)過幾何，可是不一定知道把幾何介紹到中國來的是明朝的大科學(xué)家徐光啟和來自意大利的傳教士利瑪竇，更不一定知道是徐光啟把這門“測地學(xué)”創(chuàng)造性地意譯為“幾何”的。從1667年《幾何原本》前六卷譯完至今已有四百年，11月9日上海等地舉行了形式多樣的紀(jì)念活動。來自意大利、美國、加拿大、法國、日本、比利時、芬蘭、荷蘭、中國等9個國家及兩岸四地的60余位中外學(xué)者聚會徐光啟的安息之地——上海徐匯區(qū)，紀(jì)念徐光啟暨《幾何原本》翻譯出版400周年。

“一物不知，儒者之恥?！?/p>

徐光啟家世平凡，父親是一個不成功的商人，破產(chǎn)后在上海務(wù)農(nóng)，家境不佳。徐光啟19歲時中秀才，過了16年才中舉人，此后又7年才中進(jìn)士。在參加翰林院選拔時列第四名，即被選為翰林院庶吉士，相當(dāng)于是明帝國皇家學(xué)院的博士研究生。他殿試排名三甲五十二名，名次靠后，照理沒有資格申請入翰林院。他的同科進(jìn)士、也是他年滿花甲的老師黃體仁主動讓賢，把考翰林院的機會讓給了他。

《明史·徐光啟傳》中開篇用33個字講完他的科舉經(jīng)歷，緊接著就說他“從西洋人利瑪竇學(xué)天文、歷算、火器，盡其術(shù)。遂遍習(xí)兵機、屯田、鹽策、水利諸書”，可見如果沒有跟隨利瑪竇學(xué)習(xí)西方科學(xué)，徐光啟只是有明一代數(shù)以千萬計的官僚中不出奇的一員。但是因為在1600年遇上了利瑪竇，且在翰林院學(xué)習(xí)期間有機會從學(xué)于利瑪竇，他得從一干庸眾中脫穎而出。

利瑪竇（MatteoRicci）1552年生于意大利馬切拉塔，1571年在羅馬成為耶穌會的見習(xí)修士，在教會里接受了神學(xué)、古典文學(xué)和自然科學(xué)的廣泛訓(xùn)練，又在印度的果阿學(xué)會了繪制地圖和制造各類科學(xué)儀器，尤其是天文儀器。

利瑪竇于1577年5月離開羅馬，于1583年2月來到中國。8月在廣東肇慶建立“仙花寺”，開始傳教?？墒且婚_始很不順利。為此，利瑪竇轉(zhuǎn)變了策略，決定采取曲線傳教的方針，為了接近中國人，利瑪竇不僅說中文，寫漢字，而且生活也力求中國化。正式服裝也改成了寬衣博帶的儒生裝束。

1598年6月利瑪竇去北京見皇帝，未能見到，次年返回南京。在南京期間，利瑪竇早已赫赫有名，尤其是他過目不忘、倒背如流的記憶術(shù)給人留下了深刻的印象，一傳十，十傳百，已神乎其神。加之利瑪竇高明的社交手段，以及他的那些引人入勝的、代表著西方工藝水平的工藝品和科學(xué)儀器，引得高官顯貴和名士文人都樂于和他交往。利瑪竇則借此來達(dá)到自己的目的——推動傳教活動。

也正是利瑪竇的學(xué)識和魅力吸引了徐光啟。根據(jù)利瑪竇的日記記載，約在1597年7月到1600年5月之間。徐光啟和利瑪竇曾見過一面，利瑪竇說這是一次短暫的見面。徐光啟主要向利瑪竇討教一些基督教教義，雙方并沒有深談。和利瑪竇分手之后，徐光啟花了兩三年時間研究基督教義，思考自己的命運。1603年，徐光啟再次去找利瑪竇，但利瑪竇這時已經(jīng)離開南京到北京去了。徐光啟拜見了留在南京的傳教士羅如望，和之長談數(shù)日后，終于受洗成為了基督教徒。

1601年1月，利瑪竇再次晉京面圣，此次獲得成功，利瑪竇帶來的見面禮是自鳴鐘和鋼琴，這兩樣?xùn)|西是要經(jīng)常修理的，于是他被要求留在京城，以便可以經(jīng)常為皇帝修理這兩樣?xùn)|西。正好1604年4月，徐光啟中進(jìn)士后要留在北京。兩人的交往也多起來。在此之前，徐光啟對中國傳統(tǒng)數(shù)字已有較深入的了解，他跟利瑪竇學(xué)習(xí)了西方科技后，向利瑪竇請求合作翻譯《幾何原本》，以克服傳統(tǒng)數(shù)學(xué)只言“法”而不言“義”的缺陷，認(rèn)為“此書未譯，則他書俱不可得論?！崩敻]勸他不要沖動，因為翻譯實在太難，徐光啟回答說：“一物不知，儒者之恥。”

《幾何原本》作為數(shù)學(xué)的圣經(jīng)，第一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)著作，牛頓，愛因斯坦，就是以這種形式寫的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《相對論》，斯賓諾莎寫出哲學(xué)著作《倫理學(xué)》，倫理學(xué)可以作為哲學(xué)與社會科學(xué)以及心理學(xué)的接口，都是推理性很強。

幾何原本總共13卷，研究前六卷就可以了，因為后邊的都是應(yīng)用前邊的理論，應(yīng)用到具體的領(lǐng)域，無理數(shù)，立體幾何等領(lǐng)域，幾何原本我認(rèn)為最精髓的就是合理的假設(shè)，對點線面的抽象，這樣才得以使得后面的定理成立，其中第五個公設(shè)后來還被推翻了，以點線面作為基礎(chǔ)，以歐幾里得工具作為工具，進(jìn)行了各種幾何現(xiàn)象的嚴(yán)密推理，我認(rèn)為這些定理成立的條件必須是在，對幾條哲學(xué)原則默許了之后，才能成立。主要是最簡單的幾何形狀，從怎么畫出來，畫出來也是有根據(jù)的，再就是各種形狀的性質(zhì)，以及各種形狀之間關(guān)系的定理，都是一步一步推理出來的。

在幾何原本后續(xù)的有阿波羅尼奧斯的《圓錐截線論》，牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，算是比較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)著作，也都是用歐幾里得工具進(jìn)行證明的，后來的微積分工具的出現(xiàn)，我認(rèn)為是圓周率的求解過程，無限接近的思想，才使得微積分工具產(chǎn)生，現(xiàn)代數(shù)學(xué)看似陣容豪華，可是并沒有新的工具的出現(xiàn)，只是對微積分工具在各個形狀上進(jìn)行應(yīng)用，數(shù)學(xué)主要是在空間上做文章，現(xiàn)在數(shù)學(xué)能干的活看似挺多，但是也要得益于物理學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)一方面往一般性方面發(fā)展，都忘了，細(xì)想數(shù)學(xué)思想是比較沒什么，只是腦力勞作比較大，特別是只是純數(shù)學(xué)研究，不做思想的人，很累也做不出有意義的工作。

看完二十世紀(jì)數(shù)學(xué)史，發(fā)現(xiàn)里面的人的著作，我一本也不想看，太虛。

古希臘大數(shù)學(xué)家歐幾里德是與他的巨著——《幾何原本》一起名垂千古的。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里德最有價值的一部著作，在《原本》里，歐幾里德系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動人民和學(xué)者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，歐幾里德把人們公認(rèn)的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，形成了一個嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué)。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。

兩千多年來，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。

從歐幾里得發(fā)表《幾何原本》到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方法相結(jié)合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻(xiàn)。

少年時代的牛頓在劍橋大學(xué)附近的夜店里買了一本《幾何原本》。開始他認(rèn)為這本書的內(nèi)容沒有超出常識范圍，因而并沒有認(rèn)真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標(biāo)幾何”很感興趣而專心攻讀，后來，牛頓于1664年4月在參加特列臺獎學(xué)金考試的時候遭到落選，當(dāng)時的考官巴羅博士對他說：“因為你的幾何基礎(chǔ)知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的?！边@席談話對牛頓的震動很大，于是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復(fù)進(jìn)行了深入鉆研，為以后的科學(xué)工作打下了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

但是，在人類認(rèn)識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家。都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學(xué)的“根據(jù)”問題并沒有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續(xù)”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。